ii.2 teorema del límite central

Distribuciones de Muestrales
P
ensemos un poco acerca de ¿cuál es el objetivo de realizar un
muestreo? Podríamos afirmar que el objetivo es obtener información
acerca del valor de uno o más de los parámetros de una población,
como sería:
la media de la población o la desviación estándar
poblacional.
Es conveniente mencionar que cuando se vayan a realizar inferencias
acerca de una población, se debe tomar en consideración la “variabilidad
del muestreo” debido a factores aleatorios.
Suele suceder que cuando se toman muestras, surja la pregunta ¿qué tan
próximo está el valor del estadístico de la muestra con respecto al valor real
del parámetro de la población?. La respuesta dependerá de tres factores:

Del valor estadístico que se esté considerando,

Del tamaño de las muestras ( existe más variabilidad en pequeñas
muestras que en grandes),

De la variabilidad que existe en la población que se está muestreando.
Definición: Una distribución de muestreo, es una distribución probabilística
que indica, el grado en el que el valor estadístico de la muestra,
tenderá a cambiar, debido a la variación al azar del muestreo
aleatorio.
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Distribuciones de Muestrales
A pesar del hecho de que las muestras aleatorias tienden a presentar
variabilidad de muestreo, cabe mencionar que los valores estadísticos
señalados
deben
aproximarse
satisfactoriamente
a
los
parámetros
poblacionales.
Existen tres aspectos importantes que deben considerarse:

A medida que aumenta el tamaño muestral, la distribución de los
resultados muestrales se asemeja a la de tipo normal.

A medida que
menos
aumenta
variabilidad
el tamaño de la
entre
medidas
muestra, existirá
muestrales,
de
tal
manera que, el error disminuirá a medida que aumente el tamaño de
la muestra.

La media de la distribución de muestreo es igual a la media de la
población.
II.1
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
DE MEDIAS.
U
na distribución muestral de medias, indica la forma de la distribución
de las medias de la muestra. La distribución, es una función de la
media, de la desviación estándar de la población y del tamaño de
la muestra.
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Distribuciones de Muestrales
II.2
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
E
l Teorema del Límite Central, se describe de la manera siguiente:
1.- Si
la población
que se
muestrea
está
distribuida
normalmente, la distribución de los valores medios de la muestra
estará normalmente distribuida respecto de todos los tamaños
muestrales.
2.- Si la población no es normal, la distribución de los valores
medios de la muestra será aproximadamente normal respecto de un
tamaño muestral grande.
II.3 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
DE PROPORCIONES
U
na distribución de este tipo, indica qué tan probable es un conjunto
particular de proporciones muestrales, dados el tamaño de la
muestra y la proporción de la población . Cuando el tamaño de la
muestra es menor o igual a 20, las probabilidades para los diferentes
resultados posibles se pueden obtener directamente de una tabla de
probabilidades binomiales, convirtiendo el número de éxitos a porcentajes.
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Distribuciones de Muestrales
II . 4
DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DEL
NÚMERO DE OCURRENCIAS.
E
sta distribución comprende el uso de tablas binomiales para
probabilidades deseadas, cuando el tamaño de la muestra es
menor a 30 y se puede aproximar mediante la distribución normal
para tamaños grandes de muestras.
La diferencia entre la distribución de proporciones, es que ésta tiene valores
enunciados como porcentajes, en tanto que, la distribución de muestreo
para el número de ocurrencias, tiene valores enunciados como
conteos.
II . 5
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE
DIFERENCIAS Y SUMAS
E
sta distribución puede ocurrir, siempre y cuando se cuente con dos
poblaciones, de las que se tengan claramente diferenciados: el
tamaño de la muestra, la media y la desviación típica, extraídas de
6
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Distribuciones de Muestrales
cada una de las dos poblaciones.
II.6
NOTACIÓN
 = media poblacional.
 = desviación típica poblacional.
N = tamaño de la población.
 X = media de la distribución muestral de medias.

= desviación típica de la distribución muestral de medias.
X
n = tamaño de la muestra.
 p = media de la distribución muestral de proporciones.
 p = desviación típica de la distribución muestral de proporciones.
p = probabilidad de éxito.
q = probabilidad de fracaso.

= media de la distribución muestral de suma o diferencia de
X1  X 2
medias.



X
1
= media de la distribución muestral de medias de la población 1 .
X1
X
= media de la distribución muestral de medias de la población 2 .
2
X2
= desviación típica de la distribución muestral de suma o diferencia de medias.
 X = desviación típica de la distribución muestral de medias de la
1
población 1.
 1 = desviación típica de la población 1.

X
= desviación típica de la distribución muestral de medias de la
2
población 2 .
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Distribuciones de Muestrales
 2 = desviación típica de la población 2 .
n1 = tamaño de muestra de la población 1 .
n2 = tamaño de muestra de la población 2 .

p 1  p 2 =
media de la distribución muestral de suma o diferencia de
proporciones.

p 1
= media de la distribución muestral de proporciones de la
población 1.
 p = media de la distribución muestral de proporciones de la
2
población 2 .

p 1  p
2
= desviación típica de la distribución muestral de suma o
diferencia de proporciones.
 p = desviación típica de la distribución muestral de proporciones
1
de la población 1 .

p
2
= desviación típica de la distribución muestral de proporciones
de la población 2.
Nota: La distribución del estadístico dependerá del:
- tamaño de la población,
- tamaño de las muestras y
- del método para seleccionarlas.
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Distribuciones de Muestrales
Si muestreamos en una población con distribución desconocida, ya sea finita
o infinita, la distribución muestral de X seguirá siendo aproximadamente
normal, con media 

y variancia
2
n
, si el tamaño de la muestra es
grande.
Lo anterior es una consecuencia del “Teorema del Límite Central”, el cual ya
fue citado en páginas anteriores, quedando expresado de la siguiente
manera:
Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño
n ,
tomada de una población con media 
y
desviación estándar  , entonces la forma limitante
de la distribución de




X



z 
  


 n 
cuando n   es la distribución normal estándar
N(z;0,1)
La aproximación normal para X será en general buena, si n  30 , cualquiera
que sea la forma de la población.
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Distribuciones de Muestrales
Si n<30, la aproximación es buena, sólo si la población no es muy diferente de
una población normal.
Si se conoce que la población es normal, la distribución muestral de X
seguirá una distribución normal exacta, por pequeño que sea el tamaño de
las muestras.
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