AMPLIACIO ESTRUCTURES DE FORMIGO Càlcul d'una biga pretensada La biga pretensada a calcular és una biga DELTA de formigó de les característiques següents: • Cable a utilitzar: 5, 0,6'' • llum biga delta: 22 m • S'utilitza formigó H−350 A partir d'aquí dividim la biga en 22 parts (cada part és d'1 m) i l'analitzarem com si fos una biga contínua El fil de pretensat està a 10 cm del final de la barra. A partir del tipus de cable i de les taules obtenim que la màxima força de pretensat és de 97.7 T, que és la que aplicarem. Aquest esforç axial de pretensat, al no estar centrat ens crearà un moment degut a l'excentricitat de la càrrega respecte el centre de gravetat de la secció, aquest moment, al ser una secció variable, també serà variable. Un moment variable no és tractable directament al RISA−3D, per això s'ha de partir la barra en les 22 subdivisions i per cadascuna de les subdivisions hem de calcular el següent: • Moment actuant als 2 costats de la secció (deguts a l'excentricitat) • Altura mitja de la secció • Àrea mitja de la secció • Inèrcia mitja de la secció • Posició del centre de gravetat al centre de la secció Només esquematitzarem el càlcul de la secció en un dels punts. A partir d'una taula obtindrem totes les altres dades que necessitem per a resoldre la biga. A partir dels valors de l'altura, la inèrcia i la posició del centre de gravetat calcularem els diferents paràmetres: • distància de l'aplicació de l'axial de pretensat al centre de gravetat Al ser horitzontal, aplicat a 10 cm del borde de la biga, sempre es resta 10 del centre de gravetat per obtenir la 1 distància. Si el cable tingués diferents configuracions, hauríem de calcular el valor de XN cada vegada (ex: cable parabòlic) • Diferència absoluta de la distància d'apliació de l'axial entre 2 seccions i moment aplicat Aquesta variable s'utilitza per obtenir el moment que s'aplica a cadascuna de les seccions: El moment aquest resultant és la diferència entre les distàncies dels 2 cables multiplicada per l'esforç normal de pretensat Aquesta taula esquematitza els valors de tots els paràmetres que hem obtingut Secció H Area YCDG Inèrcia (cm) (cm2) (cm) (cm4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 868 988 1108 1228 1348 1468 1588 1708 1828 1948 2068 30.80 36.45 45.56 47.36 52.07 57.98 66.17 68.50 73.61 78.77 83.91 192167 328154 528087 756349 1036837 1421345 1876207 2382830 2984560 3655650 4179672 e (axial) (cm) 20.80 26.45 35.56 37.36 42.07 47.98 56.17 58.50 63.61 68.77 73.91 Moment eN−eN−1 (cm) (KN*cm) 20.80 20321,6 5.65 5520,05 9.11 8900,47 1.80 1758,6 4.71 4601,67 5.91 5774,07 8.19 8001,63 2.33 2276,41 5.11 4992,47 5.16 5041,32 5.14 5021,78 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 149 139 129 119 109 99 89 79 69 59 49 2068 1948 1828 1708 1588 1468 1348 1228 1108 988 868 83.91 78.77 73.61 68.50 66.17 57.98 52.07 47.36 45.56 36.45 30.80 4179672 3655650 2984560 2382830 1876207 1421345 1036837 756349 528087 328154 192167 73.91 68.77 63.61 58.50 56.17 47.98 42.07 37.36 35.56 26.45 20.80 0 0 −5.14 −5021,78 −5.16 −5041,32 −5.11 −4992,47 −2.33 −2276,41 −8.19 −8001,63 −5.91 −5774,07 −4.71 −4601,67 −1.80 −1758,6 −9.11 −8900,47 −5.65 −5520,05 −20.80 −20321,6 Un cop obtinguda la taula, caldria aplicar les càrregues verticals que són les següents (esquema a la pàg 1) − Pes propi de la cuberta i tancaments 50 kg/m2 − Sobrecàrrega de neu 40 kg/m2 − Sobrecàrrega de manteniment 100 kg/m2 − Càrregues totals 190 kg/m2 Si la distància entre corretges és de 10 m, llavors obtindrem la càrrega lineal de: Per tant la càrrega distribuïda per la coberta és de 18.62 KN/m. Càlcul de la fletxa màxima Pel calcul de la fletxa màxima utilitzarem el factor de majoració de 1 (servei) i farem 2 hipòtesis de calcul • HIPÒTESI 1: CONSIDERAR TOTA LA SOBRECARREGA DE MANTENIMENT • HIPÒTESI 2: NO CONSIDERAR LA SOBRECARREGA DE MANTENIMENT Esquema utilitzat per resoldre el problema al RISA 3 En l'esquema hi falten els moments, la magnitud de les càrregues és la calculada als apartats anteriors i les seccions es corresponen amb les dels apartats anteriors. Un cop realitzat el càlcul obtenim la següent deformada, obtinguda amb un nivell de magnificació de 40. TAULA DE RESULTATS PER SOBRECÀRREGA DE 100 Reaccions 244.409 KN de reacció a cadascun dels extrems de la biga pretensada NODE 1 2 fletxa (mm) vertical 0,000 −9,539 fletxa (mm) Horitz. 4,686 4,351 Tallants barra (KN) 244,409 1−2 223,661 2−3 Moment 1 (KN*m) −199,20 −19,27 Moment 2 (KN*m) 34,84 193,88 axial (Mpa) 11,014 9,676 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 −19,110 −27,570 −34,632 −40,215 −44,472 −47,613 −49,818 −51,224 −51,979 −52,210 −51,979 −51,224 −49,818 −47,613 −44,472 −40,215 −34,632 −27,570 −19,110 −9,539 0,000 4,057 3,795 3,558 3,343 3,145 2,962 2,792 2,633 2,484 2,343 2,202 2,053 1,894 1,724 1,541 1,343 1,128 0,891 0,629 0,335 0,000 202,619 181,283 159,652 137,727 115,508 92,995 70,187 47,086 23,690 0,000 −23,690 −47,086 −70,187 −92,995 −115,508 −137,727 −159,652 −181,283 −202,619 −223,661 −244,409 3−4 106,68 4−5 281,43 5−6 400,79 6−7 498,88 7−8 547,10 8−9 629,05 9−10 661,74 10−11 670,98 11−12 657,17 12−13 669,01 13−14 706,37 14−15 720,38 15−16 710,64 16−17 651,35 17−18 625,50 18−19 549,48 19−20 451,89 20−21 298,63 21−22 193,88 22−23 34,84 298,63 451,89 549,48 625,50 651,35 710,64 720,38 706,37 669,01 657,17 670,98 661,74 629,05 547,10 498,88 400,79 281,43 106,68 −19,27 −199,20 8,628 7,785 7,092 6,512 6,02 5,597 5,23 4,908 4,623 4,623 4,908 5,23 5,597 6,02 6,512 7,092 7,785 8,628 9,676 11,014 Aquest són els resultats per a una sobrecàrrega de 190 Kg a la coberta. Comprobació de fletxa: cm < 5,212 cm (NO CUMPLEIX) Si establim L/300 compleix. Càlcul de les pèrdues per fricció Pèrdues instantànies Pèrdua de fricció en els ancoratges Es considera que la força a aplicar és la de 97.7 T, en el qual ja estan incloses les perdues per fricció dels cables a la trompeta i a la placa d'ancoratge. Pèrdues per fricció en la vaina Es calculen a partir de la fórmula del fregament de Coulomb Els valors de i de K són de 0,21 (barres sense lubricar) i 0.00126 (Fricció paràsita de càlcul a taules). 5 Utilitzant aquest valors, per un cable recte i per cada metre perdem: A cada metre perdem el 0.126% de la força de presentat, la força al final serà de: , que és una pèrdua del 2,73% Pèrdues per penetració de falques En el nostre cas el cable és de 22 m i la pèrdua per penetració de falques serà petita: Càlcul de comprobació: cm Ap = àrea del tendó, en el nostre cas 5 cables de 0,6'' (15 mm) Ep = mòdul d'elasticitat de l'acer de pretensat, que és 1,9*106 a = penetració de falques, en el cas es considera de 3 mm Po / Px = són la tensió inicial i final després de les pèrdues per fricció i X la distància en metres del cable. Pèrdues per deformació elàstica del formigó En el centre de gravetat de les armadures actives les pèrdues són, utilitzant una tensió mitjana: Aquest valor és aproximat, no es possible obtenir−lo a partir d'anàlisi, per fer−ho bé s'hauria de calcular la tensió àrea per àrea i llavors aplicar la formula per totes les tensions a totes les àrees, la pèrdua mitjana seria la pèrdua total. Ap = àrea del tendó, en el nostre cas 5 cables de 0,6'' (15 mm) Ep = mòdul d'elasticitat de l'acer de pretensat, que és 1,9*106 CP = Tensió de compressió produïda per la força de pretensat després de pèrdues 6 Ecj = Mòdul d'elasticitat instantani del formigó a la edat j. Corresponent al moment de tensat. Suposem 3,29*105 Per tant, al final degut a les pèrdues instantànies, la tensió al final de la biga enlloc de ser de 97,7 T serà de: Per tant, en total s'ha perdut un 9,9 % de força de pretensat Pèrdues Diferides Pèrdues degudes als següents fenomens del formigó • Retracció • Fluència • Relaxació La fòrmula utilitzada unifica els 3 tipus de pèrdues en una de sola, segons la norma aplicarem: La tensió en el formigó a la fibra corresponent al c.d.g. de les armadures actives degudes al pretensat, pes propi (no considerat) i càrrega morta és la següent (calculada a partir dels diagrames de moments i un valor aproximat) n és el factor de mòduls de Young, en el cas del pretensat, agafem aquest valor com a 1,9/0,329 que és 5,7 El coeficient de fluència s'agafa com a valor aproximat 2 El mòdul d'elasticitat (Ep) de l'acer el considerem de 1,9*106 kg/cm2 El coeficient d'envelliment del formigó () s'agafa de 0,8 El quocient AP/AC és: Es un valor petit El valor de Yp, distància del cable a armadures es considera el valor mig, que és 50,6 cm El denominador té el següent valor: 7 Si volguessim estar del costat de la seguretat fariem el denominador = 1 Essent pf el coeficient de relaxació del formigó que l'agafem de 0,06 i Pk la força de pretensat desprès de pèrdues. Kg Les pèrdues diferides són de 17,97 T (aproximat) Falta incloure les pèrdues degudes a l'escalfament del formigó que es realitza per accelerar−ne el seu fraguat. T La força de pretensat que obtindrem degut a totes les pèrdues al final de la biga és de 70,15 T, la perdua és d'un 28,2% Armat de la biga pretensada El càlcul s'ha fet secció per secció, considerant els moments i axials que obtenim del RISA i utilitzant el teorema d'Ehlers. Per fer l'armat cal majorar els moments i els axials per 1,6. El teorema d'Ehlers: • Un problema de flexió composta pot transformar−se a un de flexió simple: barra Mmàx 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6 6−7 (KN*m) −199,2 193,88 298,63 451,89 549,48 625,5 exc (M/N) (cm^4) (cm^2) (cm) majorat (cm) 192167 868 19,60 −0,2962 24,49 328154 988 19,17 0,2033 25,25 528087 1108 19,29 0,2275 36,19 756349 1228 18,41 0,2752 52,20 1036837 1348 17,65 0,2750 62,39 1421345 1468 17,58 0,2540 70,33 Inèrcia Area b (fict) M.reduit M.reduit Ehlers −0,0782 0,3617 0,3925 0,4654 0,4619 0,4250 8 7−8 8−9 9−10 10−11 11−12 12−13 13−14 14−15 15−16 16−17 17−18 18−19 19−20 20−21 21−22 22−23 651,35 710,64 720,38 706,37 669,01 669,01 706,37 720,38 710,64 651,35 625,5 549,48 451,89 298,63 193,88 −199,2 1876207 1588 2382830 1708 2984560 1828 3655650 1948 4179672 2068 4179672 2068 3655650 1948 2984560 1828 2382830 1708 1876207 1588 1421345 1468 1036837 1348 756349 1228 528087 1108 328154 988 192167 868 17,39 16,97 16,68 16,33 15,16 15,16 16,33 16,68 16,97 17,39 17,58 17,65 18,41 19,29 19,17 19,60 0,2206 0,2069 0,1816 0,1566 0,1391 0,1391 0,1566 0,1816 0,2069 0,2206 0,2540 0,2750 0,2752 0,2275 0,2033 −0,2962 73,03 79,22 80,24 78,78 74,87 74,87 78,78 80,24 79,22 73,03 70,33 62,39 52,20 36,19 25,25 24,49 0,3687 0,3450 0,3026 0,2611 0,2322 0,2322 0,2611 0,3026 0,3450 0,3687 0,4250 0,4619 0,4654 0,3925 0,3617 −0,0782 A partir dels moments reduïts de Ehlers dimensionem les àrees d'acer a cadascun dels cantells de la biga delta pretensada M.reduit cuantia Ehlers −0,0782 0,074 0,3617 0,535 0,3925 0,612 0,4654 0,842 0,4619 0,831 0,4250 0,714 0,3687 0,551 0,3450 0,489 0,3026 0,398 0,2611 0,335 0,2322 0,281 0,2322 0,281 0,2611 0,335 0,3026 0,398 0,3450 0,489 0,3687 0,551 0,4250 0,714 0,4619 0,831 0,4654 0,842 0,3925 0,612 0,3617 0,535 −0,0782 0,074 cuantia* As (*) As' (*) 0,510 0,165 0,297 0,554 0,564 0,473 0,330 0,282 0,203 0,151 0,096 0,096 0,151 0,203 0,282 0,330 0,473 0,564 0,554 0,297 0,165 0,510 3,94 3,68 8,22 11,03 13,67 17,53 21,05 23,87 23,04 17,99 11,37 11,37 17,99 23,04 23,87 21,05 17,53 13,67 11,03 8,22 3,68 3,94 21,83 6,13 12,61 31,38 32,98 25,83 11,87 6,06 6,06 11,87 25,83 32,98 31,38 12,61 6,13 21,83 9 A partir dels valors de As es procedeix a l'armat de la biga. Càlcul a tallant de la biga pretensada La comprovació s'ha fet amb càrregues sense majorar. • Les comprovacions a fer pel tallant en cadascuna de les seccions són: Essent: • Comprovació de Vu1 K no major que 1 Essent Nd l'esforç normal considerat a la secció (de càlcul, positiu per tracció, negatiu per compressió) Ac és l'area de la secció de formigó (cadascuna de les 22 que es fan a la pràctica) Fcd és 166.7 per un formigó de H−250 b0 és l'amplada maxima de la biga, en el nostre cas, al no saber aquest paràmetre el considerem 20 cm invariable. F1cd és la resistència del formigó La comprobació a tallant es farà per cadascuna de les 22 seccions: barra 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6 6−7 Tcd K (kg/cm2) 112,56 0,863 98,89 0,960 88,18 1 79,56 1 72,48 1 66,55 1 b*d 868 988 1108 1228 1348 1468 f1cd angle teta (º) 140 18,76 140 19,78 140 20,70 140 21,54 140 22,31 140 23,03 Vu1 (kg) 78253 97705 112586 123268 133806 144214 10 7−8 8−9 9−10 10−11 11−12 12−13 13−14 14−15 15−16 16−17 17−18 18−19 19−20 20−21 21−22 22−23 61,52 57,20 53,45 50,15 47,24 47,24 50,15 53,45 57,20 61,52 66,55 72,48 79,56 88,18 98,89 112,56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,960 0,863 1588 1708 1828 1948 2068 2068 1948 1828 1708 1588 1468 1348 1228 1108 988 868 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 23,70 24,32 24,90 25,45 25,96 25,96 25,45 24,90 24,32 23,70 23,03 22,31 21,54 20,70 19,78 18,76 154506 164693 174785 184790 194715 194715 184790 174785 164693 154506 144214 133806 123268 112586 97705 78253 ·El tallant màxim és de 25000 Kg, per tant, la biga compleix Vu1 Comprovació de Vu2 Es realitza el càlcul considerant l'efecte del pretensat en la resistència a tallant del formigó barra 1−2 2−3 3−4 4−5 5−6 6−7 7−8 8−9 9−10 10−11 11−12 12−13 13−14 14−15 15−16 16−17 Tcd b*d (kg/cm2) 112,56 868 98,89 988 88,18 1108 79,56 1228 72,48 1348 66,55 1468 61,52 1588 57,20 1708 53,45 1828 50,15 1948 47,24 2068 47,24 2068 50,15 1948 53,45 1828 57,20 1708 61,52 1588 Eps Ro (sect) 1,63888 0,0297 1,58222 0,0099 1,53838 0,0188 1,50315 0,0345 1,47405 0,0346 1,44947 0,0295 1,42835 0,0207 1,40996 0,0175 1,39375 0,0126 1,37932 0,0092 1,36637 0,0055 1,36637 0,0055 1,37932 0,0092 1,39375 0,0126 1,40996 0,0175 1,42835 0,0207 Vc1 formigo 59783 45601 61513 81584 87882 89269 84567 84895 80472 76509 67687 67687 76509 80472 84895 84567 Vc1 Total 74438 60256 76168 96239 102537 103924 99222 99550 95127 91164 82342 82342 91164 95127 99550 99222 11 17−18 18−19 19−20 20−21 21−22 22−23 66,55 72,48 79,56 88,18 98,89 112,56 1468 1348 1228 1108 988 868 1,44947 0,0295 1,47405 0,0346 1,50315 0,0345 1,53838 0,0188 1,58222 0,0099 1,63888 0,0297 89269 87882 81584 61513 45601 59783 103924 102537 96239 76168 60256 74438 En el cas de la biga, com que porta molta armadura l'acer fa que resisteixi el tallant, en el cas d'armadura de tallant el que farem serà disposar uns cèrcols de diàmetre 8 cada 30 cm, com a armadura mínima de tallant. 12