Algebra matricial Cap 1

UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES
E
n esta unidad haremos un estudio de los aspectos más indispensable de matrices y
determinantes. Se utilizan notaciones generalizadas.
2.1 Matrices
DEF. Se llama MATRIZ de orden mxn y se denota con letras mayúsculas A,B,... a un arreglo
rectangular de mn números de un conjunto K, (K mínimo un anillo) dispuestos en m filas y n
columnas encerrados en corchetes o en paréntesis; esto es :
 a 11
a
A   21
 ..

a m1
a 12
a 22
..
a m2
a 1n 
.. . a 2n 
.. .
.. 

.. . a mn 
...
donde: m indica el número de filas y n el número de columnas, a ij es el elemento de A
ubicado en la fila i, y en la columna j; por ejemplo, el elemento a23 está en la fila 2 y en la
columna 3. Si m = n la matriz se dice cuadrada, caso contrario se dice rectangular.
Al conjunto de todas las matrices de orden mxn con elementos en K denotaremos con:
M mxn K  (se lee “conjunto de matrices de orden mxn a valores en K”)
Cada fila o renglón a i1 a i2 . . . a in  de A llamaremos vector fila i-ésima, y
denotaremos con A i ; luego, la matriz A puede expresarse en vectores filas, así:
 A1 
A 
2
A=  
 . . .
 
A m 
 a 1j 
a 
2j
Cada columna   de A llamaremos vector columna j-ésima de A, y denotaremos con
. . .
 
 a mj 
A j ; luego, la matriz A puede expresarse en vectores columnas, así:

A = A1
A2 . . . An

EJEMPLO 1. A continuación tenemos una matriz cuadrada A de orden 3x3, y una matriz
rectangular B de orden 2x3
10
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
 1 2 3
 3 4 2
A   3 7 9 , B  

9 7 5 
2 4 7 
NOTA. En esta parte veamos algunos tipos de matrices:
1) Identidad (I) , si  i =1,...,n aii =1 y ceros los demás elementos; 2) Matriz cero, si i,j
a ij = 0; 3) Si A = (aij) se llama transpuesta de A y se denota A t a la matriz A t = (aji) ;
4) Simétrica si A = A t ; 5) Antisimétrica si A = - A t ; 6) A M nxn K  se dice Escalar si
es de la forma aI; 7) Triangular superior si a ij = 0 cuando i>j; 6) Triangular inferior
si a ij = 0 cuando i<j; 9) A M nxn K  se dice Diagonal si i,j i  j a ij = 0 ; 10)
Idempotente si A 2 = A; 11) Nilpotente si A n =0 para algún entero positivo n;
12) A M nxn K  se dice Involutiva si A 2 = I, 13) Ortogonal si A.t A = I. Se llama Matriz
conjugada de A y se denota A a la matriz A  (a ij ) ; 11) Hermitiana si A = A t ,
12) Antihermitiana si A= - A t ; 13) Unitaria si A A t = I.
DEF. Sea A M nxn K  . Se llama Traza de A al número: Trz(A) =
n
a
i 1
ii
2.1.1 Operaciones algebraicas con matrices: Adición, multiplicación, potenciación
2.1.1.1 Adición
Sean A,B M mxn K 
 a 11
a
21
A= 
 .

a m1
a 12
a 22
.
a m2
. . a 1n 
. . a 2n 
;B=
. . . 

. . a mn 
 b 11
b
 21
 .

b m1
b 12
b 22
.
b m2
. . b 1n 
. . b 2n 
. . . 

. . b mn 
la adición entre A y B se define así:
 a 11  b11
a  b
21
21
A+B := 

.

a m1  b m1
a 12  b12
a 22  b 22
.
. .
. .
. .
a 1n  b1n
a 2n  b 2n
.
a m2  b m2
. . a mn





 b mn 
Ahora de manera corta; sean A  a ij  , B  b ij  matrices de orden mxn; entonces se tiene:
 
A+B = c ij
donde i,j 1im, 1jn c ij  a ij  b ij
DEF. Se llama opuesta de A a la siguiente matriz:
11
Álgebra Lineal
 - a 11
- a
 21
A


 ..

- a m1
Ing. Juan Obando
..... - a 1n 
..... - a 2n 
.....
.. 

..... - a mn 
- a 12
- a 22
..
- a m2
NOTA. La sustracción se define así: A-B:= A+(-B)
2.1.1.2 Multiplicación
Sean: A M mxn K  , B M nxp K  , la multiplicación entre A y B se define así:
 n
  a 1i b i1
 i n1

AxB :=   a 2i b i1
i 1

.
 n
 a mi b i1
 i 1
n
1i
b i2
a
2i
b i2
i 1
n
i 1
n
.
a

b ip 
i 1

n
. .  a 2i b ip 

i 1

. .
.
n

. .  a mi b ip 

i 1
n
a
mi
i 1
b i2
. .
a
1i
resulta una matriz de orden mxp, donde m es el número de filas de A y p el número de
columnas de B.
De manera corta, la multiplicación se define así:
n
AB = (aij)(bjk) = (cik), donde i 1im , k 1kp
cik =  a ij b jk
j 1
NOTA. Por ejemplo, el elemento c11 se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 1
de B, esto es:
n
c11= a11b11+a12b21+a13b31+ . . . +a1nbn1 =
a
1j
b j1
j 1
el elemento c12 se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 2 de B, esto es:
n
c12= a11b12+a12b22+a13b32+ . . . +a1nbn2 =  a 1j b j2
j 1
EJEMPLO 2
Dadas las matrices:
 1 2 1 
 2 3 1
 1 1 2 2




0  2 , C   0 2 3 1 
A   1 0 2 , B   2


 1 3
1 2 1 
3 2 1 1
1 
Hallar: a) A+B, b) A-B, c) 2A-3B, d) AB, e) BC
12
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
 2 3  1  1  2 1   2 + 1 3  2  1 + 1   3 1 0 
0  2   1 + 2 0 + 0  2  2   3 0  4
a) A + B   1 0  2   2
 1 2 1   1 3
1   1  1 2 + 3 1 + 1   2 5 2 
 2 3  1   1  2 1   2  1 3 + 2  1  1   1 5  2
0  2   1  2 0  0  2 + 2   1 0
0 
b) A - B   1 0  2   2
 1 2 1   1 3
1   1 + 1 2  3 1  1   0  1 0 
 2 3  1  1  2 1   4  3 6 + 6  2  3  1 12  5

 
0  2   2  6 0  0  4 + 6   4 0
2 
c) 2A - 3B  2 1 0  2  3 2

 
 1 2 1   1 3
1   2 + 3 4  9 2  3   1  5  1
 2 3  1  1  2 1 
0  2 
d) AB   1 0  2  2
 1 2 1   1 3
1 
9  7  5 
3  8  1 


2 5  4
 1  2 1   1  1 2  2   2 5  3  5 
0  2  0  2 3 1    8  6 2  2
e) BC =  2
 1 3
1   3 2 1  1  4  3 8
4 
TEOREMA 1. El conjunto de las matrices cuadradas de orden n con elementos en K
“ M nxn (k) ” con las operaciones internas adición (+) y multiplicación (x) es un Anillo
Prueba
1. (M nxn (k),) es un grupo abeliano; ya que:
a) M nxn (k) es cerrado respecto al +; esto es
A,B M nxn (k) A+B M nxn (k)
En efecto, Sean
 a 11 a 12
 a a
 21 22
A. . . . . .
. . . . . .
 a a
 n1 n2
a 13 . . . a 1n 
 b 11 b 12

b b
a 23 . . . a 2n 
 21 22
. . . . . . . . , B . . . . .
.....
........ 

b b
a n3 . . . a nn 
 n1 n2
b 13 . . . b 1n 
b 23 . . . b 2n 
....... 
....... 
b n3 . . . b nn 
la adición entre A y B es:
 a 11  b 11 a 12  b 12
a  b a  b
21
22
22
A  B   21
 . . . . . . . . . . . .. .

 a n1  b n1 a n2  b n2
a 13  b 13 . . . a 1n  b 1n 
a 23  b 23 . . . a 2n  b 2n 
 M nxn (k)
............... 

a n3  b n3 . . . a nn  b nn 
13
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
Ahora de manera corta.
Poniendo A  [a ij ], B  [b ij ] de orden n , se tiene:
A  B  [a ij ]  [b ij ]  [a ij  b ij ] M nxn (k).
NOTA. Se puede sumar tranquilamente dos matrices A,B M mxn (k)
b) El + es conmutativo en M nxn (k) ; esto es
A,B M nxn (k) A+B = B+A
c) El + es asociativo en M nxn (k) ; esto es
A,B,C  M nxn (k) (A+B)+C = A+(B+C)
d) Existe la matriz o como elemento neutro respecto al + en M nxn (k) ; esto es
o M nxn (k) / A M nxn (k) A+o = A
e) Cada A M nxn (k) tiene su simétrica respecto al +; esto es
A M nxn (k)  (-A) M nxn (k) / A+(-A) = o
2. ( M nxn (k) , x) es un semigrupo; ya que:
f) M nxn (k) es cerrado respecto al x; es decir se cumple que:
A,B M nxn (k) AxB M nxn (k)
En efecto:
 n
  a 1k b k1
 k 1
 n
a 2k b k1
AxB =  
k 1

 n .
 a b
  nk k1
 k 1
n
1k b k2
a
2k
k 1
n
k 1
b k2
.
n
a
k 1

b kn 
k 1

n

. . .  a 2k b kn 
 M nxn (k)
k 1

. . .
.

n
. . .  a nk b kn 
k 1

n
a
nk
b k2
. . .
a
1k
g) El x es asociativo en M nxn (k) ; es decir
A,B,C M nxn (k) (AxB) xC = Ax(BxC).
Probemos de manera corta que esta propiedad vale en todos los casos en que el producto esté
bien definido; en decir, AxB se puede realizar siempre que el número de columnas de A sea
igual al número de filas de B. Veamos:
Sean las matrices:
A M pxq (K) , B M qxr (K) , C M rxs (K) ; se tiene:
q
AxB = D = (d ij) con d ij =
a
k 1
r
ik
b kj , BxC = E = (e kh) con e kh =
b
j1
kj
c jh
14
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
r
(AxB) xC = DxC = F = (f ih) con f ih =
d
j1
ij
c jh
q
Ax(BxC) = AxE = G = (g ih) con g ih =
a
k 1
ik
e kh
debe cumplirse que f ih= g ih ; en efecto
r
 q

 q



f ih =  d ij c jh     a ik b kj c jh     a ik b kjc jh  
j1
j1  k 1
j1  k 1


q
q
q
r
r




=    a ik b kjc jh    a ik   b kjc jh    a ik e kh  g ih
k 1  j1
 k 1  j1
 k 1
r
r
También se puede probar de esta manera directa:
r
 q

(AxB) xC =   a ik b kj C  
j1
 k 1

q
=
 a ik
k 1
q
 a ik b kjc jh 
k 1
q
r
k 1
j1
 a
ik
b kjc jh 
 r

  b kjc jh   Ax(BxC)
b
c

A

kj jh


j1
 j1

r
3. El x es distributivo con el +; esto es
A,B,C M nxn (k) Ax(B+C) = AxB+AxC
Probemos en forma abreviada:
 n
Ax(B+C) =   a ij b jh  c jh
 j1
= AxB+AxC

    a
n
 
j1
n
  n

  n

    a ij c jh  

a
b
b

a
c



ij
jh
ij jh
ij jh 

 

j1
  j1
  j1

2.1.1.3 Potenciación
DEF. Sea A M nxn K  , entonces: A k :  A.A k 1 con kZ 
Sean A,B M nxn K  . Si una de las dos matrices es una matriz escalar, esto es, de la forma
aI, entonces podemos aplicar la fórmula del Binomio de Newton a su suma, es decir:
n
 n
n
A

B


    A n  p B p con nZ 
p  0  p
NOTA. El binomio de Newton no vale para la suma de dos matrices cualesquiera; ya que, el
binomio de Newton se aplica a elementos mínimo de un anillo conmutativo, y las matrices
forman una estructura de anillo pero no es conmutativo.
15
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
EJEMPLO 3
3 2 1
Hallar A siendo A  0 3 4


0 0 3
n
Expresamos la matriz A como una suma de una matriz escalar y una matriz B, esto es:
3 0 0 0 2 1
A = 0 3 0 + 0 0 4 = 3I+B con B =

 

0 0 3 0 0 0
0 2 1
0 0 4 


0 0 0
Hallamos las potencias de B; esto es:
0 2 1 0 2 1 0 0 8
B = 0 0 4 0 0 4 = 0 0 0  ; B3 =


 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 
2
0 0 8 0 2 1 0 0 0
0 0 0  0 0 4 = 0 0 0


 

0 0 0  0 0 0 0 0 0
Como desde B3 en adelante son las matrices ceros, se tiene
n
A
 
n(n  1)
n
= 3I  B    (3I) n  p B p = (3I)n +n(3I)n-1B+
(3I)n-2 B2 =
p
2
2
n
p 0
 
0  0 2n3 n 1
 
0
0  + 0
n
0
3  0
3 n

= 0
0

0
3n
0
3 n

= 0
0

2n3 n 1
3n
0
n3 n 1  0 0 4n(n  1)3 n  2 
 

4n3 n 1  + 0 0
0
=

0  0 0
0

n(7  4n)3 n  2 

4n3 n 1

n

3

2.1.2 Operaciones elementales entre filas o columnas de una matriz
DEF. Sea A M mxn K  . Se llaman operaciones elementales sobre las filas (columnas) de A
a las siguientes:
1. Intercambio de 2 filas (columnas) de A
2. Multiplicación de una fila (columna) de A por un a K * ; K * = K-{0}
3. Adición a una fila (columna) de A otra fila (columna) de A multiplicada por un b K * .
NOTA. Una operación elemental sobre filas (columnas) se dice del tipo 1, 2 o 3 según sea la
operación elemental 1, 2 o 3.
DEF. Dos matrices: A = a ij  y B = b ij  de M mxn K  son iguales sí y sólo sí
i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , n
a ij = b ij
Álgebra Lineal
16
Ing. Juan Obando
DEF. Si una matriz B se obtiene de A mediante operaciones elementales, entonces se dice
que A y B son equivalentes por filas.
DEF. Se llama MATRIZ ELEMENTAL de orden n a la matriz E que se obtiene de la matriz
identidad I mediante una operación elemental.
2.1.3 Matriz escalonada
DEF. Se dice que una matriz A M mxn K  está ESCALONADA por filas ( en forma
reducida o canónica) si:
1. Todas las filas con elementos no nulos preceden a las filas que tienen todos los elementos
nulos.
2. En cada fila el primer elemento no nulo es 1 y es el único elemento no nulo de su
respectiva columna.
3. El primer elemento no nulo 1 de cada fila pertenece a una columna que sigue a las
columnas que tienen 1 como primer elemento de las filas anteriores.
DEF. Se llama RANGO de A y se denota Rng(A), al número r que es el número de filas
no nulas de la matriz escalonada de A; esto es: Rng(A) = r
TEOREMA 2. Toda matriz A M mxn  K se puede escalonar de una y una sola manera
mediante un número finito de operaciones elementales por filas.
TEOREMA 3. Las operaciones elementales de una matriz conservan el rango de una matriz.
EJEMPLO 4.
Escalone la siguiente matriz A en forma reducida, e indique su rango.
2 1 1 7 
A= 1 2 2 1 
3 1 1 12
Intercambiando las dos primeras filas, se tiene
1  2 2 1 
2 1  1 7 


3 1
1 12
luego, con el 1 de la primera columna y primera fila hacemos ceros en los otros puestos de la
columna; así: se multiplica la fila 1 por -2 y se suma a la segunda, luego se multiplica la
primera fila por -3 y se suma a la tercera, esto es
1 2 2 1  1 2 2 1
2 1 1 7  ~ 0 5 5 5

 

3 1 1 12 0 7 5 9
simbólicamente se expresa: F2  2F1  F2 y F3  3F1  F3
17
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
Luego, dividiendo la segunda fila por 5 y con el uno que se obtiene en el puesto 22 se hace
ceros en los otros lugares de la columna; esto es
1 2 2 1 1 0 0 3
0 1 1 1 ~ 0 1 1 1


 
0 7 5 9 0 0 2 2
simbólicamente se expresa: F1  2F2  F1 y F3  7F2  F3
finalmente se divide la tercera fila
en el puesto 23, esto es
1
0

0
hemos hecho F2  F3  F2
por 2 y con este 1 obtenido en el puesto 33 se hace cero
3 1 0 0 3
1 1 1 ~ 0 1 0 2
0 1 1 0 0 1 1
0
0
siendo esta última la matriz escalonada de A en forma canónica; por lo tanto Rng(A) = 3
2.1.4 Inversa de una matriz, varios métodos
DEF. Una matriz A M nxn K  es INVERTIBLE si existe una matriz B M nxn K  tal que:
AB = BA = I . La matriz B se llama inversa de A y se denota A 1 .
DEF. Sean: A M mxn K  , B M mxp K  . Se llama MATRIZ AUMENTADA entre A y B a
la matriz (AB)  M mx(n  p) (K)
2.1.4.1 PRIMER MÉTODO para hallar la inversa.
TEOREMA 4. A M nxn K  es invertible si y sólo si la matriz aumentada [A|I] mediante
operaciones elementales por filas se puede convertir en la matriz aumentada [I|B]. En este
caso B es la inversa de A; esto es A 1 =B.
EJEMPLO 5. Halle la inversa de
 1 3 2 


A =  4 11 8 


5 15 9
Partimos de [A|I] para mediante operaciones elementales por filas llegar a [I|B]; esto es:
 1 3 2 1 0 0
[A|I] =  4 11 8 0 1 0 ~
5 15 9 0 0 1
1 3 2 1 0 0
0 1 0 4 1 0


0 0 1 5 0 1
Para hacer ceros en los puestos 21 y 31, se ha multiplicado la fila 1 por -4 y se ha sumado a la
fila 2; luego se ha multiplicado la fila 1 por 5 y se ha sumado a la fila 3; en símbolos:
18
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
F2  4F1  F2 y F3  5F1  F3
con el 1 del puesto 22 hacemos cero en el puesto 12, haciendo: F1  3F2  F1 ; o sea:
1 0 2 11 3 0
0 1 0 4 1 0


0 0 1 5 0 1
con el 1 del puesto 33 hacemos cero en el puesto 13, haciendo: F1  2F3  F1 ; o sea:
1 0 0 21 3 2
0 1 0 4 1 0 


0 0 1 5 0 1 
luego, la inversa de A es :
21 3 2
A =  4 1 0 
 5 0 1 
-1
2.1.4.2 SEGUNDO MÉTODO para hallar la inversa
Para hallar la inversa de la matriz A de orden n, se puede considerar la matriz incógnita X de
orden n, de tal manera que AX = I ; luego A-1 = X
3
1

EJEMPLO 6. Halle la inversa de A =  4

5
a
consideremos la matriz incógnita X = d
g
2

11 8 

15 9
b c
e f 
h i 
 1 3 2 


haciendo AX = I, se tiene:  4 11 8 


5 15 9
a b c   1 0 0
d e f  =  0 1 0

 

g h i   0 0 1
de donde se obtienen los siguientes sistemas:
 a  3d  2g  1

 4a  11d  8g  0 ;
5a  15d  9g  0

 b  3e  2h  0

 4b  11e  8h  1 ;
5b  15e  9h  0

 c  3f  2i  0

 4c  11f  8i  0
5c  15f  9i  1

resolviendo éstos, se obtiene la matriz X que es la inversa de A; es decir:
19
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
21 3 2
A-1 = X =  4 1 0 


 5 0 1 
2.1.4.3 TERCER MÉTODO para hallar la inversa
Ahora se puede considerar las matrices incógnita X e identidad I expresadas en filas; esto es:
 F1 
 e1 
F 
e 
 2
 2


X = . , I=  . 
 
 
.
 .
 Fn 
 e n 
siendo e1 = (1,0, . . . ,0); e2 = (0,1,0, . . . ,0); ... ; en = (0,0, . . . ,1)
haciendo AX = I , se obtiene la X que es la inversa de A
1

EJEMPLO 7. Utilizando este método, halle la inversa de A =  4

5
 1 3 2   F1   e 1 
AX = I  AX =  4 11 8   F2  =  e 2 

   
5 15 9  F3   e 3 
de donde se tiene
 F1  3F2  2F3  e 1

 4F1  11F2  8F3  e 2
5F  15F  9F  e
1
2
3
3

3
2

11 8 

15 9
= I
resolviendo el sistema se obtiene: F1 = [-21 3 -2], F2 = [-4 1 0], F3 = [5 0 1] que son las filas
de X, luego de la inversa; por lo tanto:
21 3 2
A = X =  4 1 0 


 5 0 1 
-1
2.2 Determinante de una matriz cuadrada
NOTA. Antes de ver la definición de determinante, recordemos que: Dada una matriz A, a la
submatriz de orden n-1 que resulta de A eliminando la fila i y la columna j denotaremos
con A ij ( algunos autores lo llaman adjunta de A, nosotros la llamaremos simplemente
submatriz A ij de orden n-1)
20
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
DEF. El determinante de una matriz cuadrada A que denotaremos  A  es una aplicación de
M nxn K  en K; esto es:
 : M nxn K   K / A   A 
donde  A  se calcula de la siguiente manera inductiva:
1. Si A = a 11  entonces  A  = a 11  := a 11
 a 11 a 12
a
 21 a 22
2. Si A =  .
.

.
 .
a n1 a n2
. . a 1n 
. . a 2n 
. . .  entonces  A  :=

. . . 
. . a nn 
n
 -1
1+ j
a 1j A 1j
j 1
Hemos aplicado esta definición a los elementos de la primera fila de A.
NOTA. Aplicando esta definición vamos a ver que los resultados que se obtienen son los que
ya se conocían elementalmente:
Si n =1, se tiene:
Si n =2, se tiene:
A = a 11    A  = a 11
2
a 11 a 12
a 11 a 12 
A = 


A

=
=
-11+ j a 1j A 1j =


a 21 a 22
j 1
a 21 a 22 
= a 11 a 22  a 12 a 21 = a 11a 22  a 12 a 21
 a 11
Si n =3, se tiene: A =  a 21

 a 31
= a 11
a 22
a 32
a 23
a 21
 a 12
a 33
a 31
a 12
a 22
a 32
a 11
a 13 

a 23    A  = a 21
a 31
a 33 
a 23
a 21
 a 13
a 33
a 31
a 12
a 13
a 22
a 32
a 23 =
a 33
3
 -1
1+ j
a 1j A 1j =
j 1
a 22
= a 11 (a 22 a 33  a 23 a 32 )  a 12 (a 21 a 33  a 23 a 31 ) +
a 32
a 13 (a 21 a 32  a 22 a 31 ) = a 11 a 22 a 33  a 12 a 23 a 31  a 13 a 21 a 32  a 11 a 23 a 32  a 12 a 21 a 33  a 13 a 22 a 31
Así se prosigue con n4. Hasta aquí hemos obtenido las reglas elementales del cálculo de
determinantes de segundo y tercer orden; esto es:
a 11
a 12
a 21
a 22
a 11
a 12
a 13
a 21
a 31
a 22
a 32
a 23 = a 11 a 22 a 33  a 12 a 23 a 31  a 13 a 21 a 32  a 11 a 23 a 32  a 12 a 21 a 33  a 13 a 22 a 31
a 33
= a 11a 22  a 12 a 21
Estas reglas deben aplicarse directamente al resolver ejercicios.
NOTA. Así como tomamos los elementos de la primera fila, podemos tomar los de la primera
columna o de cualquier fila o columna; luego, se tienen las siguientes 4 fórmulas para hallar
el determinante de una matriz cuadrada:
21
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
1. La definición anterior es aplicada a los elementos de la primera fila, la fórmula es:
n
 - 1
A=
1+ j
a 1j A 1j
j1
(1)
2. Aplicando la definición a los elementos de la primera columna, la fórmula es:
n
 - 1
A=
i +1
i 1
a i1 A i1
(2)
3. Aplicando la definición a los elementos de cualquier fila, la fórmula es:
n
 -1
A=
i+J
a ij A ij
(3)
j 1
4. Aplicando la definición a los elementos de cualquier columna, la fórmula es:
A=
n
 - 1
i+J
i 1
a ij A ij
(4)
NOTA. Las 4 fórmulas anteriores, podemos presentarlas en una sola; esto es:
A=
n
 - 1i+J a ij A ij
i o j 1
 1 3 2
EJEMPLO 8. Hallar el determinante de A =  4 13 8
1 3 3 
Aplicando la fórmula (1) se tiene :
1
3
2
A  4 13 8 =
1 3 3
3
 -1
1+ j
j 1
a 1j A 1j = 1
13 8
3
3
-3
4
8
1
3
-2
4
13
1 3
=
= 39-24-3(12-8)-2(12-13) = 15-12+2 = 1
DEF. Se llama adjunto (o cofactor) del elemento a ij de A y se denota α ij al siguiente
número:
α ij = (1) i  j A ij
A la MATRIZ de los ADJUNTOS denotaremos con A y a la TRANSPUESTA de ésta
denotaremos con Adj(A); estas matrices son respectivamente :
 α 11 α 12
α
 21 α 22
A=  .
.

.
 .
α n1 α n2
. . α 1n 
. . α 2n 
. . .  , Adj(A) =

. . . 
. . α nn 
 α 11
α
 12
 .

 .
α 1n
α 21 . . α n1 
α 22 . . α n2 
. . . . 

. . . . 
α 2n . . α nn 
22
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
NOTA. Estamos en condiciones de considerar el CUARTO MÉTODO para hallar la
inversa de una matriz, que se obtiene mediante la siguiente fórmula:
A 1 
1
Adj(A)
A
EJEMPLO 9
 1 2 3
Por el cuarto método, hallar la inversa de A =  3 7 9


1 2 4 
1
2
3
Hallemos A , esto es : A = 3 7 9 = 28+18+18-18-24-21 = 1
1 2 4
Ahora, hallemos los 9 adjuntos α ij de A ; esto es:
α 11  (1)11
7 9
 28  18  10
2 4
α 12  (1)1 2
3 9
 (12  9)  3
1 4
α 13  (1)13
3
7
 6  7  1
1  2
α 21  (1) 21
2 3
 (8  6)  2
2 4
α 22  (1) 2 2
1 3
 4  3 1
1 4
α 23  (1) 23
1
2
 (2  2)  0
1  2
α 31  (1) 31
2 3
 18  21  3
7 9
α 33  (1) # 3
1 2
 (7  6)  1
3 7
α 32  (1) 3 2
 10 3 1
luego, A = 2 1 0 , por lo tanto Adj(A) =
 3 0 1
1 3
 (9  9)  0
3 9
10 2 3
3 1 0 ; así, la inversa de A es:


 1 0 1
10 2 3
1
Adj(A) = 3 1 0
A =


A
 1 0 1
-1
2.2.1 Propiedades de los determinantes (14 propiedades), determinantes generalizados
Por sencillez, consideraremos una matriz A expresada en columnas, así:
A = A1 A 2 . . . A n
De esta manera, podemos expresar las propiedades de la manera más general posible.
(Rogamos a los docentes ir presentando ejemplos en cada propiedad). Estas son:


23
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
1. El determinante de una matriz que tiene una columna ( o fila) multiplicada por un escalar
no nulo a, es igual al escalar a por el determinante de la matriz sin el escalar como factor de
dicha columna (o fila); esto es:
A 1 , A 2 ,..., aA j ,..., A n = a A 1 , A 2 ,..., A j ,..., A n
2. Si una matriz A tiene una columna (o fila) formada por dos sumandos; su determinante es
igual a la suma de dos determinantes de la matriz, poniendo en el primer determinante los
primeros sumandos y en el segundo determinante los segundos sumandos de dicha columna;
esto es:
,
,
A1 , A 2 ,..., A i  A i ,..., A n = A1 , A 2 ,..., A i ,..., A n + A1 , A 2 ,..., A i ,..., A n
3. Si intercambiamos dos columnas ( o dos filas) de una matriz, su determinante cambia de
signo; esto es:
A1 , A 2 ,..., A i ,..., A j ,..., A n = - A 1 , A 2 , ..., A j , ..., A i , ..., A n
4. El determinante de la matriz Identidad es igual a 1; esto es: I n =1
5. Si todos los elementos de una columna (o fila) de una matriz son ceros, entonces su
determinante es cero; esto es:
A 1 , A 2 , ...,0, ..., A n = 0
6. Si una matriz tiene dos columnas (o filas) iguales, su determinante es cero: esto es:
A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A i , ..., A n = 0
7. Si una columna (o fila) de una matriz es el producto de otra por un escalar no nulo, su
determinante es cero; esto es:
A 1 , A 2 , ..., A i , ..., aA i , ..., A n = 0
8. Si una columna ( o fila) de una matriz es la combinación lineal de otras, su determinante
es cero; esto es:
A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A j , ..., aA i  bA j , ..., A n = 0
9. Si B se obtiene de A sumando a la columna j la columna i multiplicada por un escalar no
nulo, esto es:
Si A = A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A j , ..., A n y B = A 1 , A 2 , ..., A i , ..., aA i  A j , ..., A n
entonces  B  =  A 
10. Si A tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces  A  = 0
11. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes
 AB = A . B 
12. A es invertible si y sólo si  A   0 y en este caso el determinante de la inversa es igual
al inverso del determinante; esto es:
24
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
A 1  A
1
13. Si A es triangular superior o triangular inferior o diagonal, su determinante es el producto
de los elementos de la diagonal principal; esto es:
A=
n
a
ii
i 1
(Sugerencia: demuestre por inducción)
14. La suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra es cero;
esto es:
n
 a ij α hj
= 0 si ih
j1
Demostración:
Vamos a demostrar unas pocas propiedades, el resto lo hará el lector.
1) Aplicando la definición de determinante a los elementos de la columna j, o sea la fórmula
4, se tiene:
n
A 1 , A 2 ,..., aA j ,..., A n =
 -1
i+J
i 1
n
a.a ij A ij = a  -1
i+J
a ij A ij =a A1 , A 2 , A j ,..., A n
i 1
2) Aplicando la definición de determinante a los elementos de la columna j, o sea la fórmula
4, se tiene:
n
A1 , A 2 ,..., A i  A i ,..., A n =  - 1
,
i 1
n
+  - 1
i 1
i+J
i+J
n
(a ij  a ij ) A ij =  -1
,
i+J
a ij A ij +
i 1
,
,
a ij A ij = A1 , A 2 ,..., A i ,..., A n + A1 , A 2 ,..., A i ,..., A n
6) Para demostrar esta propiedad es suficiente aplicar la 3 intercambiando las columnas
iguales, cambia el signo del determinante, y quedaría:
A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A i , ..., A n = - A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A i , ..., A n
y esto se cumple únicamente cuando A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A i , ..., A n = 0
8) Es suficiente aplicar la 2 para separar en dos determinantes, y luego la 1; esto es:
A 1 , A 2 , ..., A i , ..., A j , ..., aA i  bA j , ..., A n = A 1 , A 2 ,..., A i ,..., A j ,..., aA i ,..., A n +
+ A 1 , A 2 ,..., A i ,..., A j ,..., bA j ,..., A n =
= a A 1 , A 2 ,..., A i ,..., A j ,..., A i ,..., A n +b A 1 , A 2 ,..., A i ,..., A j ,..., A j ,..., A n = 0
como estos dos determinantes tienen dos columnas iguales, por la 6 son iguales a cero.
25
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
12) Si A es invertible existe A 1 , luego A. A 1 =I, aplicando determinantes a los dos
1
1
-1
miembros y la propiedad 11, se tiene: A.A  1  A . A 1  I  A 1 
 A 1  A
A
EJEMPLO 10
1) Dadas las siguientes matrices, hallar sus determinantes:
  3 4
a) A = 
  A = -3-8 = -11
 2 1
1 3 2 
b) A = 4  1 2  A = -2+18-8+6-24+2 = -8
3  1 2
4 
 1 2 3
2
1
3  2

c) A =
 A =
0
2 3 1 


2  2
 3 1
4
=
1
2
2
1
0
3
2
1
5
 - 1
i +1
i 1
3
3
4
2
3 1
2 2
=
1 2 3
4
0 5  3  10
0 2 3
0  5 11
1
10
=
 3  10
a i1 A i1 = 1. 2  3
 5 11
1
= -150+15-220+150+60-55 = -200
10
Como la matriz A del c) es de orden 4, hemos utilizado la propiedad 9 de los determinantes
para introducir ceros en los puestos 21 y 41 de la primera columna. El cero del puesto 21 se
obtuvo multiplicando la fila 1 por -2 y sumando a la fila 2; el cero del puesto 41 se obtuvo
multiplicando la fila 1 por 3 y sumando a la fila 4; luego utilizamos la fórmula 2 de los
determinantes aplicando a los elementos de la columna 1.
2) Sea d n 
2
1
0
1 2
1
0 1 2
0
0 1
0
0
1
2
.
0
0
0
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 1. 2
1
0 1 2
0
0 1
0
0
0
0
.
0
1
2
Demostrar que: a) d1  2, d 2  5 , b) n n3 d n  2 d n -1  d n 2
26
Álgebra Lineal
Ing. Juan Obando
Desarrollo
2 1
= 5. Para hallar d n aplicamos la segunda fórmula de
1 2
los determinantes en el primer paso, y la primera en el segundo paso; así:
En efecto, d1 = 2 = 2, d2 =
2
1
0
1 2
1
0 1 2
0
0 1
0
0
1
2
.
0
0
0
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
.
.
.
1 2
1
0 1 2
0
0 1
1
0
0
.
.
.
0
1
2
1
.
.
.
0
0
1 2
.
.
.
0
.
0
1
2
2
=  - 1
i 1
+ .
.
.
.
.
.
. = 2 d n 1 +
0
.
1
.
0
2
1
1
0
.
.
0
1
0
.
.
0
0
1 2
2
i +1
1
0
.
.
.
0
1
2
1
.
.
.
0
0
1 2
.
.
.
0
a i1 A i1 =2 .
.
.
.
.
.
. +
0
.
.
1
2
1
0
0
.
.
0
1
2
1
0
.
.
0
0
1 2
.
.
.
.
0
0
2 1
1 2
.
.
.
.
2
.
.
.
.
0
1
.
.
.
1 2
1
0 1 2
0
0 1
.
= 2 d n 1 + d n  2
0
1
2
luego, hemos probado que n n3 d n  2 d n -1  d n 2
ACTIVIDAD EVALUATIVA 2
1) Escriba 1 ejemplo de cada uno de los 12 tipos de matrices de mayor comprensión suya.
2) Dadas las matrices:
 5  3 2
 2  1 2  2
1  3  2




A  1  2 3  , B   1  2 0 , C   3  2  1 1 
 3 3 1
 3 2  1 0 
3 2
1 
Hallar: a) A+B, b) A-B, c) 4A-3B, d) AB, e) BC, f) 21 A  23 B , g) Halle la matriz D tal que
A+ 21 D = B , h) Hallar la matriz E tal que sea AE = B, i) Escriba las opuestas de A,B,C
3) Demuestre que toda A M nxn K  se puede expresar como la suma de una matriz
simétrica con una antisimétrica.
Álgebra Lineal
27
Ing. Juan Obando
(Sugerencia: Utilice el hecho de que toda matriz simétrica se puede obtener como
A  At
y
2
A  At
toda matriz antisimétrica se puede obtener como
)
2
4) Demuestre por inducción que si A 2 = A entonces
nN A n =A
5) Si A M nxn K  es simétrica e invertible, entonces A 1 es simétrica.
(Sugerencia: Aplicar la transpuesta miembro a miembro a la igualdad A.A 1  I )
5 2 1
3 6 3


6) Hallar A , siendo: 1) A  0 5 6 , 2) A  0 3 6




0 0 5
0 0 3
n
7) Escalone las siguientes matrices e indique sus respectivos rangos.
2 3 1 4
1) A =  1 2 2 1  ; 2) C =
 3 2 1 14 
2
1

2

3
5
2
3
3
5

5

5 11 10
9
4
7
8) Halle la inversa de las siguientes matrices por todos los métodos vistos
 1 2 1 2
 1 3 2
2
5 2 4




1) A= 4 13 8 ; 2) D=


 3 6 4
6
1 3 3 


5
2 4 2
9) Halle los determinantes de las siguientes matrices:
3  1 3 
2  3
A= 
, B = 2 8  4 , C =

5 4 
2 1  1
2  1
0  2

4 2

6 0
3 
3 
5  2

2  1
1
1
10) Hallar el valor de k en la siguiente matriz para que su determinante sea igual a 1
 1  1 3
A = k  1 6
 2  k 7 
SUGERENCIA: Para resolver del 11 al 15, utilice la siguiente operación elemental:
 i 2  i  n Fi-1  Fi  Fi-1
28
Álgebra Lineal
 
11) Sea A = a ij
 
Ing. Juan Obando
donde cada a ij  maxi, j . Hallar  A 
min i, j
n 2 n  2
2 2
12) Sea A = a ij
donde cada a ij  2
13) Sea A = a 
maxi, j
donde cada a ij  2
. Hallar  A . Resp:  A  = (1) n 1 2
ij
. Hallar  A . Resp:  A  =
 
donde cada a ij  3
min i, j
 
donde cada a ij  3
max i, j
14) Sea A = a ij
15) Sea A = a ij
n(n 1)
2
. Hallar  A 
. Hallar  A 
AYUDA. Las matrices de los ejercicios 12 y 13 son respectivamente las siguientes:
2
2

2

2
A= 
.

2
2

2
2
22
22
22
2
22
23
23
2
22
23
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
22
.
23
23
23
.
24
24
24
.
.
.
.
.
.
n 2
. 2
. 2 n -1
. 2 n -1
a
16) Sea d n 
 2
 2
2
 23
 4
2
 .
 n -2
2
 2 n -1

 2 n
.
.
.
0
b a
b 0
0 b a b
0
0 b a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
0
0
0
0





,A=
. 

2 n 2 
2 n -1 

2 n 
2
22
23
24
0
.
0
0
0
b
2
22
23
24
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
.
n -2
2
23
23
23
24
.
n -2
2
24
24
24
24
.
n -2
2
.
.
.
.
.
.
2 n -1
2n
2 n -1
2n
2 n -1
2n
. . 2 n -1
. . 2n
.
.
.
.
b a
b 0
0 b a b
0
0 b a
2
Demostrar que: a) d 1  a, d 2  a 2  b 2 , b) n n3 d n  a. d n -1  b .d n 2
.
.
.
.
.
.
2 n -1
2 n -1
2 n -1
2 n -1
.
n -1
2
2n 

2n 
2n 

2n 
. 

2n 
2n 

2 n 