[Diapositivas Tema 5: Lugar de las Raíces I: Reglas de trazado]
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Universidad de Oviedo Lugar de las Raíces Tema 5 2006 Sistemas Automáticos 1 Universidad de Oviedo Índice • • • • • • • • • • • 2006 Respuesta dinámica de un sistema Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado Definición de Lugar de las Raíces (LR) Ecuación Característica Criterio del Argumento Criterio del Módulo Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Ejemplo Lugares de las raíces básicos Lugar inverso de las raíces Contorno de las raíces Sistemas Automáticos 2 Universidad de Oviedo Respuesta Dinámica de un Sistema Los ceros también influyen a través de los coeficientes (pesos) de los modos transitorios El comportamiento dinámico de un sistema viene dado por los polos de la f.d.t. (raíces de la ecuación característica) y(t) 2006 Sistemas Automáticos 3 Universidad de Oviedo Respuesta Dinámica de un Sistema en Bucle Cerrado C(s) Planta Regulador + - (s) K Y(s) U(s) G(s) • Difícil si el orden de la ec. caract. >=3 • Habitualmente, necesario recalcularlos en función de un parámetro (ej.: K) Captador Ycap(s) H(s) M (s ) = La dinámica del sistema viene dada principalmente por las raíces de la ec. característica 2006 Problemas: KG(s ) 1 + KG(s )H (s ) 1 + KG(s )H (s ) = 0 Sistemas Automáticos 4 Universidad de Oviedo Polos y ceros del sistema realimentado M (s ) = KG(s ) 1 + KG(s )H (s ) M(s) = Ceros de M(s): • Ceros de G(s) Ng (s) Nh (s) , H(s) = G(s) = Dg (s) Dh (s) K Ng (s)Dh (s) Dg (s)Dh (s) + K Ng (s)Nh (s) Polos de M(s): dependen de K • Polos de H(s) 2006 Sistemas Automáticos 5 Universidad de Oviedo Definición de Lugar de las Raíces (LR) C(s) Definición: + El L.R. es el lugar geométrico en el plano complejo que ocupan las raíces de la ecuación característica cuando varía el parámetro K K=5 2006 Planta Regulador - (s) K U(s) Y(s) Captador Ycap(s) K=10 Sistemas Automáticos K=16 K=20 6 Universidad de Oviedo Ecuación Característica El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de la siguiente forma: 2006 Sistemas Automáticos 7 Universidad de Oviedo Criterio del Argumento 2006 Sistemas Automáticos 8 Universidad de Oviedo Criterio del Módulo 2006 Sistemas Automáticos 9 Universidad de Oviedo Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Ejemplo: s-p4 p4 2006 s-p3 p3 s-z1 s-p2 z1 p2 s-p1 s pi p1 Sistemas Automáticos Todo punto s del LR debe satisfacer esta condición general. 10 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 11 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 12 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 13 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 14 Universidad de Oviedo Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Puntos finales del LR Lugar en el eje real Ramas Independientes 1 3 2 Simetría respecto al eje real 4 Puntos de comienzo del LR 2006 Sistemas Automáticos 15 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 16 Universidad de Oviedo Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 17 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 18 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 19 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces Im pi p1 p1 Re z1 z1 p2 p2 2006 Sistemas Automáticos 20 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 21 Universidad de Oviedo Reglas de trazado del Lugar de las Raíces 2006 Sistemas Automáticos 22 Universidad de Oviedo Planta Regulador C(s) + - (s) K U(s) Y(s) Captador Ycap(s) Función de transferencia en bucle abierto: 2006 Sistemas Automáticos 23 Universidad de Oviedo 2 1 4 -20 -10 -7 -5 -2 3 2006 Sistemas Automáticos 24 Universidad de Oviedo -20 2006 -10 -7 -5 -2 Sistemas Automáticos 25 Universidad de Oviedo -20 2006 -10 -7 -5 -2 Sistemas Automáticos 26 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 27 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 28 Universidad de Oviedo Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión Asíntotas Pto. dispersión centroide c=10 -20 2006 -10 -7 -5 -2 Sistemas Automáticos 29 Universidad de Oviedo 37 × 420 (1700 + K ) 37 37 × (2000 + 7K ) - 1× 0 37 2006 Sistemas Automáticos 30 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 31 Universidad de Oviedo Lugar de las Raíces final +j14.439 -20 -10 -7 -5 -2 -j14.439 2006 Sistemas Automáticos 32 Universidad de Oviedo Lugares de las Raíces básicos 2006 Sistemas Automáticos 33 Universidad de Oviedo LR básicos: 1 polo real 2006 Sistemas Automáticos 34 Universidad de Oviedo LR básicos: 2 polos reales 2006 Sistemas Automáticos 35 Universidad de Oviedo LR básicos: 2 polos complejos 2006 Sistemas Automáticos 36 Universidad de Oviedo LR básicos: 3 polos reales 2006 Sistemas Automáticos 37 Universidad de Oviedo LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real) 2006 Sistemas Automáticos 38 Universidad de Oviedo LR básicos: 4 polos 2006 Sistemas Automáticos 39 Universidad de Oviedo LR básicos: 1 polo + 1 cero 2006 Sistemas Automáticos 40 Universidad de Oviedo LR básicos: 2 polos + 1 cero 2006 Sistemas Automáticos 41 Universidad de Oviedo LR básicos: 3 polos + 2 ceros 2006 Sistemas Automáticos 42 Universidad de Oviedo LR básicos: 3 polos + 1 cero 2006 Sistemas Automáticos 43 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 44 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 45 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 46 Universidad de Oviedo Examen Junio 2004 5. Se ha diseñado mediante el lugar de las raíces otro regulador, y se ha obtenido la siguiente representación. Sólo falta calcular su ganancia estática k: a. ¿Para qué valores de k se cumplirá la especificación del apartado 1? b. Indique la función de transferencia del regulador ¿qué tipo de regulador es? 2006 Sistemas Automáticos 47 Universidad de Oviedo 2006 Sistemas Automáticos 48 Universidad de Oviedo Planta Regulador C(s) + (s) K U(s) Y(s) - Captador Ycap(s) Determinar el comportamiento del sistema realimentado en función de la constante de tiempo, , del captador para K=1 2006 Sistemas Automáticos 49 Universidad de Oviedo Solución: La ecuación característica será: Reordenando términos… 2006 Sistemas Automáticos 50 Universidad de Oviedo El problema queda planteado en términos de un LR: pequeñas: comportamiento oscilatorio El LR tiene 3 ceros… =0.688: polo doble amort. crítico 3 polos reales sobreamort. T = 2.6 seg … y dos polos Conclusión Vemos cómo un captador lento influye negativamente en el comportamiento del lazo ralentizándolo 2006 =1: Sistemas Automáticos =10: 3 polos reales sobreamort. muy lento T = 32 seg. 51
