Ejercicios_resueltos(Todos los temas)

4E Matematicas A - cub.B
11/3/08
13:34
Página 1
matemáticas
4º E.S.O.
matemáticas
matemáticas opción A
opción A
4º
Educación
Secundaria
Obligatoria
Germán González
ISBN 978-84-9771-342-9
9
788497 713429
Índice
UNIDAD 1 – NUMEROS RACIONALES………………………………………………………………7
Actividades página 6…………………………………………………………………………………..7
Actividades página 8…………………………………………………………………………………..8
Actividades página 9…………………………………………………………………………………..9
Actividades página 10………………………………………………………………………………..10
Actividades página 11………………………………………………………………………………..11
Actividades página 12………………………………………………………………………………..13
Actividades página 13………………………………………………………………………………..14
Actividades página 14………………………………………………………………………………..15
Actividades página 15………………………………………………………………………………..16
Actividades página 18………………………………………………………………………………..17
Actividades página 19………………………………………………………………………………..20
Actividades página 20………………………………………………………………………………..23
Actividades página 21………………………………………………………………………………..26
Actividades página 22………………………………………………………………………………..29
UNIDAD 2 – LOS NUMEROS REALES……………………………………………………………..30
Actividades página 24………………………………………………………………………………..30
Actividades página 26………………………………………………………………………………..32
Actividades página 27………………………………………………………………………………..33
Actividades página 28………………………………………………………………………………..34
Actividades página 29………………………………………………………………………………..36
Actividades página 30………………………………………………………………………………..37
Actividades página 31………………………………………………………………………………..38
Actividades página 32………………………………………………………………………………..39
Actividades página 33………………………………………………………………………………..41
Actividades página 36………………………………………………………………………………..42
Actividades página 37………………………………………………………………………………..47
Actividades página 38………………………………………………………………………………..53
Actividades página 39………………………………………………………………………………..58
Actividades página 40………………………………………………………………………………..62
UNIDAD 3 – PROPORCIONALIDAD………………………………………………………………..63
Actividades página 42……………………………………………………………………………….63
Actividades página 44……………………………………………………………………………….64
Actividades página 45……………………………………………………………………………….65
Actividades página 46……………………………………………………………………………….66
Actividades página 47……………………………………………………………………………….67
Actividades página 48……………………………………………………………………………….68
Actividades página 49……………………………………………………………………………….69
Actividades página 52……………………………………………………………………………….70
Actividades página 53……………………………………………………………………………….74
Actividades página 54……………………………………………………………………………….80
2
Actividades página 55………………………………………………………………………………85
Actividades página 56………………………………………………………………………………90
UNIDAD 4 – POLINOMIOS…………………………………………………………………………..92
Actividades página 58………………………………………………………………………………92
Actividades página 60………………………………………………………………………………93
Actividades página 61………………………………………………………………………………94
Actividades página 62………………………………………………………………………………95
Actividades página 63………………………………………………………………………………97
Actividades página 64………………………………………………………………………………98
Actividades página 65……………………………………………………………………………..100
Actividades página 66……………………………………………………………………………..102
Actividades página 67……………………………………………………………………………..104
Actividades página 68……………………………………………………………………………..107
Actividades página 69……………………………………………………………………………..108
Actividades página 72……………………………………………………………………………..109
Actividades página 73……………………………………………………………………………..114
Actividades página 74……………………………………………………………………………..124
Actividades página 75……………………………………………………………………………..128
Actividades página 76……………………………………………………………………………..132
UNIDAD 5 – Ecuaciones e inecuaciones………………………………………………………..134
Actividades página 78……………………………………………………………………………..134
Actividades página 80……………………………………………………………………………..136
Actividades página 81……………………………………………………………………………..137
Actividades página 82……………………………………………………………………………..138
Actividades página 83……………………………………………………………………………..140
Actividades página 84……………………………………………………………………………..142
Actividades página 85……………………………………………………………………………..143
Actividades página 86……………………………………………………………………………..144
Actividades página 87……………………………………………………………………………..145
Actividades página 90……………………………………………………………………………..146
Actividades página 91……………………………………………………………………………..155
Actividades página 92……………………………………………………………………………..164
Actividades página 93……………………………………………………………………………..170
Actividades página 94……………………………………………………………………………..177
UNIDAD 6 – Estudio gráfico de funciones………………………………………………………178
Actividades página 96……………………………………………………………………………...178
Actividades página 98……………………………………………………………………………...180
Actividades página 99……………………………………………………………………………...181
Actividades página 100…………………………………………………………………………….183
Actividades página 101…………………………………………………………………………….184
Actividades página 102…………………………………………………………………………….185
Actividades página 103…………………………………………………………………………….186
Actividades página 104…………………………………………………………………………….187
Actividades página 105…………………………………………………………………………….188
3
Actividades página 108……………………………………………………………………………190
Actividades página 109……………………………………………………………………………195
Actividades página 110……………………………………………………………………………200
Actividades página 111……………………………………………………………………………204
Actividades página 112……………………………………………………………………………208
UNIDAD 7 – Funciones algebraicas y exponenciales…………………………………………209
Actividades página 114……………………………………………………………………………..209
Actividades página 116……………………………………………………………………………..210
Actividades página 117……………………………………………………………………………..211
Actividades página 118……………………………………………………………………………..212
Actividades página 119……………………………………………………………………………..215
Actividades página 120……………………………………………………………………………..217
Actividades página 121……………………………………………………………………………..220
Actividades página 122……………………………………………………………………………..223
Actividades página 123……………………………………………………………………………..226
Actividades página 126……………………………………………………………………………..227
Actividades página 127……………………………………………………………………………..237
Actividades página 128……………………………………………………………………………..251
Actividades página 129……………………………………………………………………………..256
Actividades página 130……………………………………………………………………………..265
UNIDAD 8 – Áreas y volúmenes…………………………………………………………………...266
Actividades página 132……………………………………………………………………………..266
Actividades página 134……………………………………………………………………………..268
Actividades página 135……………………………………………………………………………..269
Actividades página 136……………………………………………………………………………..271
Actividades página 137……………………………………………………………………………..273
Actividades página 138……………………………………………………………………………..275
Actividades página 139……………………………………………………………………………..276
Actividades página 142……………………………………………………………………………..277
Actividades página 143……………………………………………………………………………..284
Actividades página 144……………………………………………………………………………..288
Actividades página 145……………………………………………………………………………..291
Actividades página 146……………………………………………………………………………..294
UNIDAD 9 – Introducción a la trigonometría……………………………………………………295
Actividades página 148…………………………………………………………………………….295
Actividades página 150…………………………………………………………………………….296
Actividades página 151…………………………………………………………………………….297
Actividades página 152…………………………………………………………………………….298
Actividades página 153…………………………………………………………………………….299
Actividades página 154…………………………………………………………………………….300
Actividades página 155…………………………………………………………………………….301
Actividades página 156…………………………………………………………………………….302
Actividades página 157…………………………………………………………………………… 303
Actividades página 160…………………………………………………………………………….305
4
Actividades página 161……………………………………………………………………………310
Actividades página 162……………………………………………………………………………315
Actividades página 163……………………………………………………………………………320
Actividades página 164……………………………………………………………………………325
UNIDAD 10 – Vectores………………………………………………………………………………326
Actividades página 166…………………………………………………………………………….326
Actividades página 168…………………………………………………………………………….327
Actividades página 169…………………………………………………………………………….328
Actividades página 170…………………………………………………………………………….330
Actividades página 171…………………………………………………………………………….331
Actividades página 172…………………………………………………………………………….332
Actividades página 173…………………………………………………………………………….333
Actividades página 176…………………………………………………………………………….334
Actividades página 177…………………………………………………………………………….339
Actividades página 178…………………………………………………………………………….345
Actividades página 179…………………………………………………………………………….349
Actividades página 180…………………………………………………………………………….353
UNIDAD 11 – Estadística…………………………………………………………………………...355
Actividades página 182…………………………………………………………………………….355
Actividades página 184…………………………………………………………………………….357
Actividades página 185…………………………………………………………………………….358
Actividades página 186…………………………………………………………………………….359
Actividades página 187…………………………………………………………………………….360
Actividades página 188…………………………………………………………………………….362
Actividades página 189…………………………………………………………………………….363
Actividades página 190…………………………………………………………………………….364
Actividades página 191…………………………………………………………………………….365
Actividades página 192…………………………………………………………………………….367
Actividades página 193…………………………………………………………………………….368
Actividades página 196…………………………………………………………………………….370
Actividades página 197…………………………………………………………………………….374
Actividades página 198…………………………………………………………………………….379
Actividades página 199…………………………………………………………………………….386
Actividades página 200…………………………………………………………………………….393
UNIDAD 12 – Estadística bidimensional…………………………………………………………395
Actividades página 202…………………………………………………………………………….395
Actividades página 204…………………………………………………………………………….396
Actividades página 205…………………………………………………………………………….397
Actividades página 206…………………………………………………………………………….398
Actividades página 207…………………………………………………………………………….399
Actividades página 208…………………………………………………………………………….400
Actividades página 209…………………………………………………………………………….401
Actividades página 212…………………………………………………………………………….403
Actividades página 213…………………………………………………………………………….410
Actividades página 214…………………………………………………………………………….415
5
UNIDAD 13 – Combinatoria…………………………………………………………………………416
Actividades página 216……………………………………………………………………………..416
Actividades página 218……………………………………………………………………………..417
Actividades página 219……………………………………………………………………………..418
Actividades página 220……………………………………………………………………………..419
Actividades página 221……………………………………………………………………………..420
Actividades página 222……………………………………………………………………………..421
Actividades página 223……………………………………………………………………………..424
Actividades página 224……………………………………………………………………………..425
Actividades página 225……………………………………………………………………………..426
Actividades página 228……………………………………………………………………………..428
Actividades página 229……………………………………………………………………………..433
Actividades página 230……………………………………………………………………………..440
Actividades página 231……………………………………………………………………………..446
Actividades página 232……………………………………………………………………………..451
UNIDAD 14 – Probabilidad………………………………………………………………………….452
Actividades página 234……………………………………………………………………………..452
Actividades página 236……………………………………………………………………………..453
Actividades página 237……………………………………………………………………………..454
Actividades página 238……………………………………………………………………………..455
Actividades página 239……………………………………………………………………………..456
Actividades página 240……………………………………………………………………………..457
Actividades página 241……………………………………………………………………………..458
Actividades página 242……………………………………………………………………………..459
Actividades página 243……………………………………………………………………………..461
Actividades página 244……………………………………………………………………………..463
Actividades página 245……………………………………………………………………………..465
Actividades página 248……………………………………………………………………………..467
Actividades página 249……………………………………………………………………………..471
Actividades página 250……………………………………………………………………………..482
Actividades página 251……………………………………………………………………………..494
Actividades página 252……………………………………………………………………………..501
6
Unidad 1 – Números y Fracciones
PÁGINA 6
SOLUCIONES
Operar con números enteros.
a)– 8
c) + 5
b) – 7
d) – 4
e) – 5
f) – 14
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
a) mcd (12, 16) = 4
b) mcd (18, 21) = 3
c) mcd (8, 6) = 2
mcm (12, 16) = 48
mcm (18, 21) = 126
mcm (8, 6) = 24
Operar con fracciones.
1 2 3 8 11
a) + = + =
4 3 12 12 12
5 1 3
5 3
10 9
1
c) − + ⋅ = − + = − + = −
6 2 2
6 4
12 12
12
d) mcd (16, 20) = 4
mcm (16, 20) = 80
3 1 15 4 11
− =
−
=
4 5 20 20 20
1 3 2 ⎛1 ⎞
3
d) − + ⋅ ⎜ − 1⎟ = −
2 4 3 ⎝4 ⎠
4
b)
7
PÁGINA 8
SOLUCIONES
1.
a) -17
b) 12
2. a) 4
c) -8
d) -12
e) -42
f) -6
g) 66
h) -115
b) -4
3. 17, 6, 0, -1, -4, -9, -2000, -2001
8
PÁGINA 9
SOLUCIONES_____________________________________________________________
4. a) -8
b) 16
5. a) 1
b) -12
c) -50
d) 18
e) -343
f) 16
c) -1
d) -64
9
PÁGINA 10
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6. a) No
(divisible entre 3)
b) No (Divisible entre 7) c) No (Divisible entre 7)
7. a) No, No, Sí, No
b) Sí, Sí, Sí, No
c) No, Sí, No, Sí
8. a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
d) Sí
d) Sí, No, No, Sí
10
PÁGINA 11
SOLUCIONES_________________________________________________________________
9.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
10.
a)
b)
11
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
12
PÁGINA 12
SOLUCIONES_________________________________________________________________
11.
Se obtiene trivialmente la solución comparando la representación decimal de cada fracción
a) Sí
b) Sí
c) No
d) Sí
e) No
f) Sí
12.
a)
b)
c)
d)
13
PÁGINA 13
SOLUCIONES_________________________________________________________________
13.
14.
15.
,
,
14
PÁGINA 14
SOLUCIONES_________________________________________________________________
16. Se procede a reducir las fracciones a común denominador y posteriormente se suman.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
17. a)
b) 1
c)
d)
e) 5
f)
15
PÁGINA 15
SOLUCIONES_________________________________________________________________
18. a) 0’3502 , 0’3506
b) 3’4570234 , 3’45700123
19. a) 0’5
c) 0’35
b) 0’3
d)
c) 2’4500001543 , 2’4500003
e)
16
PÁGINA 18
17
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Los números naturales y los enteros.
20.
21. a) 19
b) -4
c) -52
d) -89
c) 4
e) -52
f) -42
22. a) 8
b) 180
d) -3
23. a) -243
b) -16
c) 25
d) -729
e) 256
f) -1
g) -1
24. a) -1
b) -4
c) 4
d) -11
e) 10
f) -33
g) -3
25. a) 0
b) 0
c) 188
d) -13
26. a) -38
b) 43
c) -9
d) 1
e) 61
f) -60
h) 1
i) -8
Los números primos.
27. a) No
(Divisible entre 7) b) No (Divisible entre 13) c) Sí
d) Sí
28. El resultado corresponde a aplicar los criterios de divisibilidad en cada caso
a) No, No, Sí
b) Sí, No, Sí c) No, Sí, No d) Sí, No, No
e) No, No, No f) No, Sí, No g) No, No, No h) Sí, Sí, Sí
29. a) Sí
b) Sí
c) No
d) Sí
e) No
f) No
g) No
h) Sí
30. Basta con analizar si el cociente entre el número y 7 es un número entero
a) Sí
b) Sí
c) Sí
d) Sí
31. 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
32. 15, 30, 60
33. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
18
i)
j)
k)
l)
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
34. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6
i)
35. a) Al ser todos primos:
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Fracciones.
36. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
19
PÁGINA 19
20
SOLUCIONES_________________________________________________________________
37. a)
b)
d)
38. a) No
c)
e)
f)
b) Sí
c) No
d) Sí
39.
40...
41. a)
b)
c)
d)
42. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
43. a)
b)
c)
d)
e)
21
f)
44. a)
b)
c)
d)
e)
f)
45. a)
b)
c)
d)
46. a)
b)
c)
d)
Los números decimales.
47. a)
b)
c)
48. a) 2’31000234 , 2’31000006765
c) -0’4505 , -0’04506
49. a) -0’08
d)
b) 0’3511002 , 0’3511003
d) -3’71002 , -3’71007
b) -1’1
22
PÁGINA 20
23
SOLUCIONES_________________________________________________________________
50. Puesto que las baldosas tienen que ser máximas y no pueden ser divididas la cifra buscada es
el máximo común divisor entre las dos medidas (largo y alto) en centímetros:
mcd(350,210) = 10 cm
51. El resultado es el mínimo común múltiplo entre los dos tiempos por vuelta pues cuando
coincidan los monoplaza se encontrarán a la vez en la línea de meta:
mcm(54,48) = 432 s
Respectivamente, tardarán 8 y 9 vueltas en encontrarse de nuevo en la línea de meta (cociente
entre el tiempo total y el tiempo por vuelta).
52. Naranjos:
Manzanos:
Almendros:
53.
Agua:
Harina:
Levadura =
54. Si se han recorrido 3/5 restan 2/5 que son los 12km de la tarde. Así pues 1/5 corresponde a
la mitad, es decir 6km. Así pues el recorrido por la mañana es de 18 Km, el triple de 1/5.
55. La fracción de dinero invertido en ocio corresponde a deducir de la unidad las fracciones de
gasto de otros conceptos:
Así pues, el gasto en ocio es de
56. Primer socio:
Segundo socio:
Tercer socio:
57.
24
58. Fracción de cromos que le quedaron:
Número de cromos:
es el número de tornillos aptos fabricados
59.
60.
61. La fracción de pulpa es:
Por tanto la masa de manzanas será
62. La fracción de dinero que corresponde a los 25€ sobrantes es:
Por tanto la cantidad de dinero total es:
63. La fracción que aumentó el pantano es:
Por tanto
son los litros que aumentó
64. La fracción de memoria libre es:
por tanto la memoria total es
megabytes.
65. 70 La fracción de puntos que corresponde a 12€ es:
por tanto los puntos
totales son
66. La ecuación del reparto, siendo la incógnita el dinero al tercer nieto es la siguiente:
67. La fracción que corresponde al tipo “C” es:
por tanto el número total de
ordenadores es de
25
PÁGINA 21
26
SOLUCIONES_________________________________________________________________
68. La fracción correspondiente a los 54m es:
Por tanto, la carrera consta de una
distancia total de:
69. La fracción correspondiente a la cantidad de agua que contiene el depósito después de
perder agua por una grieta es:
Por tanto la capacidad total del depósito es:
70. La incógnita representa el dinero que tenía:
71. Fracción
que
corresponde
al
hermano
mediano:
Así pues sabiendo que esa fracción corresponde a 16000€, el dinero total de la herencia se
calcula fácilmente:
De esta manera, los repartos quedan:
- Hermano mayor:
- Hermano menor:
- Hermano mediano:
(dato)
72.
73. La fracción que le queda y corresponde a los 1500Kg es:
por tanto
la cosecha completa tiene una masa de
1. a) -12
b) 29
2. a) -64
b) 625
c) -256
d)
e)
f)
27
3. a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. a)
b)
5. a)
b)
6. a)
b)
7. 0’35001, 0’35024884
8. a) 0’6
b)
c)
9. La fracción correspondiente a lo que pone el Fondo europeo es:
luego la
cantidad total es:
10. La fracción dedicada al consumo es:
luego la cantidad total de agua
gastada es de:
Lavadora:
Aseo personal:
28
PÁGINA 22
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Es imposible formar 51 a través de sumas con los 9 primeros naturales.
29
Unidad 2– Los números reales
PÁGINA 24
SOLUCIONES
Operar con números racionales.
Realiza las siguientes operaciones:
a)
3 1 3 7
3 3
7
30 3 14 41
− ⋅ +
= −
+
=
−
+
=
2 4 5 10 2 20 10 20 20 20 20
b)
3
3 3 6 12 30
18
−2⋅
−
−
−
5
4 = 5 4 = 20 20 = 20 = −3
3
3
3
3
2
5
5
5
5
c)
3 2 ⎛
3 ⎞ 3 2 ⎛
3⎞ 3 2 1 3 1 9 5
4
− ⋅⎜ 2 − ⋅2 ⎟ = − ⋅⎜ 2 − ⎟ = − ⋅ = − = − =
5 3 ⎝
4 ⎠ 5 3 ⎝
2 ⎠ 5 3 2 5 3 15 15 15
d)
1 2
5 − 6 + 15
− +1
3 5
15
=
=
2 ⎛ 3 4 ⎞ 2 ⎛ 15 8 ⎞
:⎜ − ⎟
:⎜ − ⎟
3 ⎝ 2 5 ⎠ 3 ⎝ 10 10 ⎠
14
14
15 = 15 = 49
2 7
20 50
:
3 10 21
30
Fracciones propias e impropias
Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:
a)
2+
3 10 3 13
=
+ =
5 5 5 5
c)
3+
b)
1+
3 4 3 7
= + =
4 4 4 4
1 18 1 19
=
+ =
6 6 6
6
d)
1+
1 4 1 5
= + =
4 4 4 4
Expresa como números mixtos las siguientes fracciones impropias:
a)
7 4 3
3
= + =1 +
4 4 4
4
b)
7 6 1
1
= + = 2+
3 3 3
3
c)
17 14 3
3
=
+ =2+
7
7 7
7
d)
25 24 1
1
=
+ =6+
4
4 4
4
31
PÁGINA 26
SOLUCIONES
1. a) Número decimal exacto.
25
= 0 '6
4
b) Número decimal periódico puro.
2
= 0 '666... = 0 '6
3
c) Número decimal periódico mixto.
5
= 0 '83
6
d) Número decimal periódico puro.
1
= 0 '14285714
7
2. a)
0 '05 =
5
100
b)
o = 274 − 2 = 272
2 '74
99
99
c)
7
0 '07 =
90
d)
o = 2353 − 23 = 2330 = 233
2 '353
990
990
99
e)
29 − 2 27
2 '9 =
=
=3
9
9
32
PÁGINA 27
SOLUCIONES
3. Número racional: 0’320111
Número Irracional: 0’32011101001000100001…
4. a) Racional
12 − 1 11
1' 2 =
= ∈_
9
9
b) Irracional
3
∉_
5
c) Racional
o=
0 '1234
1234 − 12 1222 611
=
=
∈_
9900
9900 4950
d) Racional
1
1
= ± ∈_
4
2
5.
33
PÁGINA 28
SOLUCIONES
6.
a) ( −∞, − 3)
{ x ∈ \ : x < −3}
b) [2, 7)
{ x ∈ \ : 2 ≤ x < 7}
c) [ −5, + ∞ )
{ x ∈ \ : x ≥ −5}
d) (–10, –5)
{ x ∈ \ : −10 < x < −5}
34
7. a) [–2, 5)
{ x ∈ \ : −2 ≤ x < 5}
b) (–2, 3]
{ x ∈ \ : −2 < x ≤ 3}
c) ( −∞, − 1]
{ x ∈ \ : x ≤ −1}
d) (–3, 0)
{ x ∈ \ : −3 < x < 0}
e) [ −1, + ∞ )
{ x ∈ \ : x ≥ −1}
f) [0, 4]
{ x ∈ \ : 0 ≤ x ≤ 4}
35
PÁGINA 29
SOLUCIONES
8.
1
a) 2−5 = 5
2
9. a) 3 34
32 ⋅ 3−2 1
= 5
c)
35
1
23 ⋅ 25 28
= 4 = 24
b)
24
2
b)
4
5
c)
2
d)
d)
4
3
1
10. a) 2 2
4
b) 3 3
5
32 = 6 2 5 = 2
(2 )
3 2
1
= 6
2
(2 ⋅3 )
e)
2 3
5
: 34
2 :3
=
3
8
=3
1
4
=43
3
c) 2 6
6
2
1
d) 2 5
5
6
36
3
2
PÁGINA 30
SOLUCIONES
11.
c) 2 ⋅ 6 3
b) 34 ⋅ 3 32
a) 211 2
d)
3
12.
a) 5 ⋅ 26
b)
2
8
23 ⋅ 3 4 5 2 2 ⋅ 3 3
⋅
53
54
=3
1
4
c) 3 57
33
3 ⋅ 3 = 32 ⋅ 3 = 33
60
13.
36
5 36 = 5
60
=5
3
5
= 5 53
=43
15
64 = 15 2 6 = 2
52 ⋅ 3 5 = 3 56 ⋅ 5 = 3 57
6
15
=2
2
5
= 5 22
2 < 3 3 < 6 32 < 12 59
2 = 12 2 6 = 12 64
3
3 = 12 3 4 = 12 81
4
75 = 12 75 3 = 12 421875
6
32 = 12 32 2 = 12 1024
12
64 < 12 81 < 121024 < 12 421875
2 < 3 3 < 6 32 < 4 75
37
PÁGINA 31
SOLUCIONES
14.
a) − 5
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 6 125 = 2 ⋅ 6 5 3 − 3 ⋅ 6 5 3 = − 6 5 3 = − 5
b) 7 ⋅ 3 72
3 ⋅ 3 7 2 + 4 ⋅ 3 49 = 3 ⋅ 3 72 + 4⋅ 3 72 = 7⋅ 3 72
15.
a) 3 ⋅ 3 = 3
b) 35 ⋅ 3 = 36 = 27
c) 8 ⋅ 2 ⋅ 23 = 8 23
d)
5
3
5
=
1
5
16.
a)
3
= 1 = ±1
3
3 3
3⋅ 4 3 4
c)
=
= 3
3
3
b) 5 53 = 52 5 = 5 4 5
d)
4 2
22
2⋅ 4 2 4
=
= 2
2
38
PÁGINA 32
SOLUCIONES
17. a) A las milésimas: 2'345, 2'346, 2'346.
A las diezmilésimas: 2’3455, 2’3456, 2’3456
b) A las milésimas: 1'732 1'733, 1'732.
A las diezmilésimas: 1’7320, 1’7321, 1’7321.
c) A las milésimas: 1'399, 1'340, 1'340.
A las diezmilésimas: 1’3998, 1’3998, 1’3999.
d) A las milésimas: 3'141, 3'142, 3'142.
A las diezmilésimas: 3’1415, 3’1416, 3’1416.
39
18.
E a = Vr − Va
Er =
V −V
Ea
= r a
Vr
Vr
a) 2'34556:
E a = 2 '34556 − 2 '3456 = 0 '00004
E r = 0 '000017
b) 1'73205...:
E a = 1 ' 32050808 − 1 ' 7321 = 0 ' 00004919
E r = 0 ' 0000284
Cota = 0 ' 000005
c) 1'39984:
E a = 1'39984 − 1'3998 = 0 '00084
E r = 0 '0006
d) π
E a = 3'141592... − 3'1416 = 0 '0000073464
E r = 0 '000002338
Cota = 0 '000005
40
PÁGINA 33
SOLUCIONES
19. a) 3 ' 45 ⋅ 1012
b) 2' 4 ⋅ 107
c) 3 ' 2 ⋅ 10−3
20. a) 3 ' 254 ⋅ 107
c) −8 ' 9 ⋅ 10 −6
b) 3 ' 4 ⋅ 108
d) 3 ' 244 ⋅ 10−4
d) 3 ' 5 ⋅ 10−2
e) 3 ' 48 ⋅ 10−7
f) 2' 3 ⋅ 1013
e) 5 ' 43 ⋅ 106
f)
3 ' 245 ⋅ 10−5
41
PÁGINA 36
42
SOLUCIONES
Los números racionales.
21. a) 0 '16
22.
a)
q
b) 0 ' 6428571
89
25
3'56 =
q e) 0 ' 714285
q
d) 1'153846
f) 1’8
b)3
356 89
=
100 25
92
25
3679 − 367 3312 92
3'679 =
=
=
900
900 25
c)
31
90
34 − 3 31
0 '34 =
=
90
90
e)
g)
c) 0 '13
17
33
o = 51 = 17
0 '51
99 33
29 − 2 27
2 '9 =
=
=3
9
9
7
3
23 − 2 21 7
2 '3 =
=
=
9
9 3
d)
f)
357
1.100
o = 3245 − 32 = 3213 = 357
0 '3245
9900
9900 1100
h)
5
11
o = 45 = 5
0 ' 45
99 11
1 546
495
o = 3123 − 31 = 3092 = 1546
3'123
990
990
495
i)
23.
1 1 1
; ;
3 9 11
24.
1 1 1
; ;
6 15 18
25.
1 1 1
; ;
2 4 5
43
26.
a) 5 ' 789
3' 41 + 2 '378 = 3' 411 + 2 '378 = 5'789
b) 10 ' 962
o + 5'673 = 4760 + 5160 = 9866 = 10 '962
5' 28
900
900
900
o
c) 23 ' 6383
o = 22608 − 423 = 210618 = 23'6383
o
5 ' 23 ⋅ −5 '3 − 4 ' 27
810
99
8910
(
)
Los números reales.
1
; 3 −5⋅ 3
49
; −5 ' 3232 ;
25
27.
Irracionales: 8 ;
28.
3’211009, 3’211008
29.
1’213030030003..., 1’213133133313333...
30.
Tenemos que construir las hipotenusas de los triángulos de medidas siguientes:
a)
6 = 22 + ( 2)2 ;
17
2 = 12 + 12
Racionales:
b) 15 = 32 + 22
121
c) 17 = 42 + 12
31. a) V: Todos los decimales periódicos son infinitos y son números racionales.
b) F: El conjunto de números enteros es el formado por los números naturales y los naturales
cambiados de signo, NUNCA son decimales.
] = {... − 3, −2, −1, 0, 2,3...}
c) F: Sólo podemos expresar como fracción los números racionales.
d) F: Los decimales inexactos no periódicos los asociamos con números irracionales, no
racionales.
e) F: El conjunto de números reales es el formado por todos los números racionales y TODOS los
irracionales.
\ = _ ∪ _c
f) F: El conjunto de los números racionales se define como:
{
}
_ = a : a ∈ ], b ∈ ] *
b
por lo tanto,
]⊂_
44
Topología de la recta real.
32.
a) ( −3, 3) = {x ∈ \ : −3 < x < 3}
b) ( −14, − 5) = {x ∈ \ : −14 < x < −5}
c) [ −4, + ∞ ) = {x ∈ \ : x ≥ −4}
d) ( −∞, 7) = {x ∈ \ : x < 7}
e) [ −3, 8) = {x ∈ \ : −3 ≤ x < 8}
f) [ −3, 5] = {x ∈ \ : −4 ≤ x ≤ 5}
g) ( −∞, − 4] = {x ∈ \ : x ≤ −4}
h)
[ −5, −3) = { x ∈ \ : −5 ≤ x ≤ −3}
45
33.
a) [–6, 3]
b) (–2, 1]
c) [–3, –2)
34.
a) ( −∞, − 5)
b) [ −3, + ∞ )
c) ( −∞, 6]
d) (9, + ∞ )
e) (0, 5)
35.
a) –6, –7, –8
b) –2, –1, 0
c) 5, 4, 3
d) 10, 11, 12
e) 1, 2, 3
46
PÁGINA 37
47
SOLUCIONES
36.
37.
a) –4, –3, –2, –1, 0
b) Infinitos
a) (3, 7) = { x ∈ \ : 3 < x < 7}
b) [ −2, − 4] = {x ∈ \ : −2 ≤ x ≤ 4}
c) Infinitos
d) Infinitos
d) (4, + ∞ ) = {x ∈ \ : x > 4}
e) ( −∞, − 2] = {x ∈ \ : x ≤ −2}
c) ( −8, − 3] = {x ∈ \ : −8 < x ≤ −3}
38.
a) {x ∈ \ : −2 ≤ x ≤ 4}
b) {x ∈ \ : 3 ≤ x < 6}
c) {x ∈ \ : 2 < x ≤ 5}
d) {x ∈ \ : x ≤ 3}
e) {x ∈ \ : −7 < x < −2}
f) {x ∈ \ : −2 ≤ x}
48
Las raíces: propiedades y operaciones.
7 < 2 < 4 8 < 4 53
6
39.
2 = 12 2 6 = 12 64
4
5 3 = 12 5 9 = 12 1953125
4
8 = 12 8 3 = 12 512
6
7 = 12 7 2 = 12 49
12
49 < 12 64 < 12 512 < 121953125
6
7 < 2 < 4 8 < 4 53
40.
a) 6 52 = 9 53
41.
a)
4
42.
b)
8
26 = 12 29
c)
b) 34
23
c)
3
312 = 3 3 = 3 4
d) 4 102 = 6 103
5
d) 5
23
18
218 = 2
30
30
3
= 2 5 = 5 23
6
125 = 5
3
6
=5
1
2
= 5
b) 3 162
3 ⋅ 3 6 = 3 33 ⋅ 6 = 3 162
5 ⋅ 2 = 5 2 ⋅ 2 = 50
4
5
d)
2
a) 22 ⋅ 34 ⋅ 4 33
4
128
27
4
2
2
4
⋅ 5 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ 5 =
5
5
⎝ 5⎠
43.
252 = 9 253
12
64 = 4 2 6 = 2 3
a) 50
c)
6
4 43
4
3
128
⋅
= 4 ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ = 4
3 2
27
⎝3 ⎠ 2
b) 22 ⋅ 3 ⋅ 5 22 ⋅ 32
c) 32 ⋅ 53 ⋅ 2 ⋅ 7 32 ⋅ 5 4 ⋅ 25
d)
2 ⋅ 3 4 2 ⋅ 33
⋅
52
53
44.
a) 2 = 2
1
c) 7 9 = 3
2
b) 5 32 = 3
2
5
d)
( 3)
4
2
7
=3
e)
4
2
( )
= 32
53
2
f)
=5
6
2
= 53
1
−1
=5 2
5
49
45.
a) 3 ⋅ 5 = 15
c) 2 ⋅ 3 2 = 6 23 ⋅ 22 = 6 25
b) 3 4 ⋅ 3 5 = ⋅ 3 20
d) 3 22 ⋅ 5 23 = 15 210 ⋅ 29 = 15 219 = 215 24
46.
3
32 6
a)
= 3
3
b)
23 4 2 6 4 5
=
= 2
4
2
2
4
26 8
c)
=
= 2
8 5
25
2
d)
23
8
2⋅3 2
6
25
=
6
25
6
25
=1
47.
a)
b)
3
2=42
c) 4 3 25 = 12 25
2=62
d) 5 3 3 = 15 3
48.
a) 2 2 = 4 23
c)
3
=43
3
b) 3 3 3 = 6 34
d) 3
3
=63
3
49.
a) 3
3 6 3 18
=
= 3
3
3 93
b)
2 2 = 8 23
c) 3 3 3 = 8 37
d) 3 3 3
3 3 3 ⋅ 6 3 18 7
= 9
= 3
3
3
50
50.
23 ⋅ 5 2
4
a)
4
2 3 ⋅ 5 = 4 23 ⋅ 4 52 = 4 23 ⋅ 52
b) 8 311
c)
3
8
3 ⋅ 4 35 = 8 3 ⋅ 8 310 = 8 311
12
216 ⋅ 317
2 4 ⋅ 4 3 5 ⋅ 6 3 = 12 2 16 ⋅ 3 15 ⋅ 3 2 = 12 2 16 ⋅ 3 17
d) 33
3
e)
3 ⋅ 3 34 =
16
6
3 ⋅ 3 34 =
6
3⋅
6
38 =
6
39 =
33
215
2 2 2 2 = 2 ⋅ 4 2 ⋅ 8 2 ⋅ 16 2 = 16 2 8 ⋅ 2 4 ⋅ 2 2 ⋅ 2 = 16 215
f)
12
3
33 3 3
( 3)
3
2
=
3 ⋅ 6 3 ⋅ 12 3
3
3
2
=
12
36 ⋅ 12 32 ⋅ 12 3
12
3
8
= 12 3
51
51. a) 32 ⋅ 8 37
310 3 3 = 4 3 10 ⋅ 8 3 3 = 8 3 20 ⋅3 3 = 8 3 23 = 3 2 ⋅ 8 3 7
4
b) 22 ⋅ 3 22
2 ⋅ 3 24 ⋅
3
2 5 = 2 ⋅ 3 2 4 ⋅ 6 25 = 6 23 ⋅ 6 28 ⋅ 6 25 = 6 216 = 2 2 ⋅ 6 2 4 = 2 2 ⋅ 3 2 2
c) a 2 ⋅ 6 a
a ⋅ 3 a 5 = 6 a 3 ⋅ 6 a 10 = 6 a 13 = a 2 ⋅ 6 a
d) a ⋅ 3 a 2
3
3
1
1
a2
a2
2
2
2
= a ⋅ 3 =a ⋅
=a ⋅
=a ⋅3 a 2
a ⋅
3
2
3
a
a
a
a⋅ a
2
e)
3
3
32
22 ⋅ 5
1 3 18 1 3 18 ⋅ 3 5 2 1 3 18 ⋅ 5 2 3 32
⋅
= ⋅
= ⋅
= 2
2
5
2 3 5 ⋅ 3 52
2
5
2 ⋅5
f) −4 ⋅ 6
96 − 150 + 486 = 7 ⋅ 2 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 + 2 ⋅ 3 5 = 4 ⋅ 6 − 5 ⋅ 6 + 9 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6
g) 8 ⋅ 6
7 ⋅ 24 − 8 ⋅ 54 + 216 = 7 ⋅ 2 3 ⋅ 3 − 8 ⋅ 2 ⋅3 3 + 2 3 ⋅3 3 =14 ⋅ 2 ⋅3 −24 ⋅ 2 ⋅3 +6 ⋅ 2 ⋅3 = −4 ⋅ 6
h) x 3 ⋅ 4 x
(x
8
x3 ⋅ 4 x
)
2
= x 2 8 x 6 ⋅ 4 x 2 = x 2 8 x 6 ⋅ 8 x 4 = x 2 8 x 10 = x 3 8 x 2 = x 3 4 x
52
PÁGINA 38
53
SOLUCIONES
Aproximaciones. Error absoluto y relativo.
52.
a) 3’47; 3’46; 3’47
b) 0’06; 0’05; 0’06
c) 2’65; 2’64; 2’65
d) 2’90; 2’89; 2’90
e) 3’18; 3’18; 3’19
f) 3’57; 3’56; 3’57
53.
a) 3’4653; 3’4653; 3’4654
b) 0’0556; 0’0556; 0’0557
c) 2’6458; 2’6457; 2’6458
d) 2’8964; 2’8963; 2’8964
e) 3’1849; 3’1849; 3’1850
f) 3’5657; 3’5656; 3’5657
54
54.
E a = Vr − Va
Er =
V −V
Ea
= r a
Vr
Vr
a) 3'465343243:
E a = 3'465343243 − 3'4653 = 0 '000043243
E r = 0 '000012478
b) 0'05564543:
E a = 0 '05564543 − 0 '0556 = 0 '00004543
E r = 0 '000816419
c) √7:
E a = 2 '645751311... − 2 '6458 = 0 '00004868...
E r = 0 '000018402...
cot a = 0 '00005
d) 2'89635433
E a = 2 '89635433 − 2 '8964 = 0 '00035433
E r = 0 '000122336
e)3'18490986
E a = 3 '18490986 − 3 '1849 = 0 '00000986
E r = 0 '0000030958
f)3'565656...
E a = 3 ' 565656 − 3 ' 5657 = 0 ' 000043435
E r = 0 ' 0000121815
cot a : 0 ' 00005
55
55.
Orden
Truncamiento
Redondeo
Aprox. por exceso.
Milésimas
Diezmilésimas
Cienmilésimas
Millonésimas
Diezmillonésimas
0’001
0’0001
0’00001
0’000001
0’0000001
0’0005
0’00005
0’000005
0’0000005
0’00000005
0’001
0’0001
0’00001
0’000001
0’00000001
Notación científica.
56.
a) 20 000
b) –234 000
57.
a) 3 ' 2 ⋅ 107
c) −4 ' 529 ⋅ 10−9
e) 5 ' 67 ⋅ 10−5
b) 3 ' 45 ⋅ 10−7
d) 4 ' 56 ⋅ 1010
f) −8 ' 976 ⋅ 1014
a) 3 ' 45 ⋅ 105
c) 4 ' 387 ⋅ 1019
e) 4 ' 353 ⋅ 10 −25
b) 2 ' 344 ⋅ 10−4
d) 2' 34 ⋅ 1010
f) 2 ' 3 ⋅ 10−9
58.
c) 2 000 000
d) 0’0032
e) 0’00000003
f) 0’000004
59.
a) 3 ' 33 ⋅ 1021
b) 6 ' 497 ⋅ 108
c) 7 ' 35 ⋅ 10−5
d) 4 ' 7073 ⋅ 10−18
60.
a) −2' 966 ⋅ 108
b) 2'112 ⋅ 10−5
61.
a) 1' 23 ⋅ 10−3
b) 2' 389 ⋅ 1012
62.
a) 2 ⋅ 10−5
b) −4 ⋅ 10−12
c) −5 ⋅ 106
d) 90
56
63.
a) 5 ' 7 ⋅ 107
2 '1 ⋅ 10 7 − 2 '4 ⋅ 10 −10 ⋅ ( − 1 '5 ⋅ 1017 ) = 2 '1⋅ 107 + 3 '6⋅ 107 = 5 '7 ⋅ 10 7
b) 2' 377 ⋅ 1051
(1 '3⋅ 10 )
17 3
+ 1'8 ⋅ 1050 = 2 '197 ⋅ 1051 + 0 '18 ⋅ 1051 = 2 '377 ⋅ 10 51
c) −2 ' 9935 ⋅ 10 −11
−1'3 ⋅10 2 + 3 ⋅10 −5 ⋅2 ⋅10 9 −1'3 ⋅10 2 +6 ⋅10 4 −0 '013 ⋅10 4 +6 ⋅10 4 5'987 ⋅10 4
=
=
=
= 2 '9935 ⋅10 −11
15
15
15
15
2 ⋅10
2 ⋅10
2 ⋅10
2 ⋅10
64.
1' 98 ⋅ 1030 kg
330000 = 33 ⋅ 10 4
6 ⋅10 24 ⋅ ( 33 ⋅10 4 ) = 198 ⋅10 28 = 1'98 ⋅ 10 30
65.
1' 09 ⋅ 1021 m3
m
m
→v =
v
d
24
6 ⋅ 10
= 1'09 ⋅ 10 27 m 3
v=
3
5'5 ⋅10
d =
57
PÁGINA 39
58
SOLUCIONES
66.
140.000.571 km
Dada la posición del dibujo, el problema se reduce a aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo
siguiente:
donde C = 1'4.108 km y c = 4.105 km, de forma que nos queda calcular la hipotenusa.
H =C +c
2
2
2
H 2 = (1'4 ⋅10 8 ) + ( 4 ⋅10 5 ) = (1400 ⋅10 5 ) + ( 4 ⋅10 5 ) =1960016 ⋅10 10
2
2
2
2
H = 1960016 ⋅ 1010 = 140000571'4 km
−26
5 ' 34544 ⋅ 10 kg
67.
El átomo de azufre tiene
z
16 electrones:
16 ⋅ 9 ⋅ 10 −31 = 144 ⋅ 10 −31 = 0 '0144 ⋅ 10 −27 kg
z
16 protones y 16 neutrones:
32 ⋅1'67 ⋅10 −27 = 53'44 ⋅10 −27 kg
Entonces, la masa total del átomo de azufre es:
53 '44 ⋅10 −27 + 0 '0144 ⋅ 10 −27 = 53 '4544 ⋅10 −27 = 5 '34544 ⋅10 −26 kg
68.
5 ⋅ 10−5 s
e
e
v = →t =
t
v
e = 15km ≡ 15 ⋅ 10 3m
t=
15 ⋅ 10 3
= 5 ⋅10 −5 s
8
3 ⋅10
59
69.
1' 8 ⋅ 106 J (julios)
1 2
mv
2
2
1
E c = 9 ⋅ 10 −31 ⋅ ( 2 ⋅ 10 8 ) = 18 ⋅ 10 − 15 = 1'8 ⋅ 10− 14 J
2
Ec =
70.
320 m
e
→ e = v ⋅t
t
e = 1 '6 ⋅ 10 3 ⋅ 0 '2 = 0 '32 ⋅ 103 = 3 '2 ⋅ 10 2 = 320 m
v=
1.
87 − 8
79
a) 0 '0087 =
=
9000 9000
q = 32325 − 3 = 32322
b) 3' 2325
9999
9999
2.
1'2301001, 1'23002
3.
a) (∞, -3]
{ x ∈ \ : x ≤ −3}
b) (-2, -1]
{ x ∈ \ : −2 < x ≤ −1}
c) [2, 5]
{ x ∈ \ : 2 ≤ x ≤ 5}
4.
a)18 26 = 3 2
b)30 212 = 5 22
5.
a) 35 = 9 3
b) 4 29 = 4 4 2
c) 4 519 = 625 4 53
60
6.
a)3 2 = 3 ⋅ 2
2
b)2
23
2= 2
3
2
23
c)
2= 2
3
3
7
7.
a) 3 ⋅ 5 32 = 10 39
5 6 2
= 5
5
b) 6
c) 2 2 = 4 23
d)
(
3
3⋅ 3
) ( )
5
=
6
35
5
= 34 6 3
8.
Orden
Milésimas
Millonésimas
Número
3'4195
1'32855435
Aproximación por exceso
3'420
1'328555
Truncamiento
3'419
1'328554
Redondeo
3'420
1'328554
Cota error redondeo
0'0005
0'0000005
Cota error truncamiento
0'001
0'000001
9. a)
3 '5 ⋅1012 + 8 '5 ⋅10 13 = 0 '35 ⋅10 13 + 8 '5 ⋅10 13 = 8 '85 ⋅10 13
b)
2 '7 ⋅1017
= 0 '9 ⋅ 10 −1 = 9 ⋅ 10 −2
18
3 ⋅10
10.
3'2 ⋅10 5 + 2 ⋅10 4 ⋅ 2 '3 ⋅10 2 0 '32 ⋅10 6 + 4 '6 ⋅10 6 4 '92 ⋅10 6
=
=
= 1 '29 ⋅10 13
−7
−7
−7
3 '8 ⋅10
3 '8 ⋅ 10
3 '8 ⋅ 10
61
PÁGINA 40
SOLUCIONES
Números como el 4 (D(4)=1, 2, 4), el 8 (D(8)=1, 2, 4, 8) o el 16 (D(16)=1, 2, 4, 8, 16) tiene todos sus
divisores pares. Ocurrirá lo mismo para todos aquellos números que sean una potencia de 2.
Sin embargo, el 6, el 10 o el 14 tienen el mismo número de divisores pares que impares, puesto que
son el producto de dos por otro número primo.
62
Unidad 3 – Proporcionalidad
PÁGINA 42
SOLUCIONES
Magnitudes directamente proporcionales.
Magnitud A
5
10
15
20
Magnitud B
8
16
24
32
Cada valor se encuentra manteniendo la relación de proporcionalidad (directa) inicial:
Magnitudes inversamente proporcionales.
Magnitud A
20
10
5
4
Magnitud B
8
16
32
40
Cada valor se encuentra manteniendo la relación de proporcionalidad (indirecta) inicial:
Porcentajes.
a)
b)
c)
63
PÁGINA 44
SOLUCIONES
1. a) Directa b) Inversa c) Inversa d) Directa e) Directa f) Inversa g) Directa
64
PÁGINA 45
SOLUCIONES
2.
3.
4.
Primer amigo:
Segundo amigo:
Tercer amigo:
65
PÁGINA 46
SOLUCIONES
5.
6.
7.
66
PÁGINA 47
SOLUCIONES
8.
b)
c)
9.
a)
b)
c)
d)
10.
a)
b)
c)
d)
11.
12.
13.
67
PÁGINA 48
SOLUCIONES
14.
15.
16.
17.
18.
68
PÁGINA 49
SOLUCIONES
19. La fórmula utilizada es
, siendo ‘’i’’ el interés, ‘’r’’ el rédito (4’5%), ‘’t’’ el
tiempo en años y ‘’c’’ el capital (3500 €)
a)
b)
c)
d)
69
PÁGINA 52
70
SOLUCIONES
Magnitudes proporcionales.
20.
a) Directa
b) Indirecta
c) No son proporcionales
d) No son proporcionales
*
e) No son proporcionales
f) Directa
g) Indirecta
h) Indirecta
i) Directa
* Siendo rigurosos el concepto de proporcionalidad no lo sigue, aunque en primera
aproximación podría ser suficiente
21.
Magnitud A
3
6
9
12
15
18
21
Magnitud B
5
10
15
20
25
30
35
Siguiendo la ley de proporcionalidad directa:
22.
Magnitud A
8
4
2
8
24
48
Magnitud B
48
96
192
48
16
8
Siguiendo la ley de proporcionalidad indirecta:
23.
- Área de un rectángulo variando un lado y manteniendo el otro constante
- Precio total y cantidad de unidades
24.
- Velocidad de movimiento y tiempo en recorrer para mismo espacio
- Tipo de interés en un préstamo y tiempo para devolverlo
71
Regla de tres directa e inversa.
25.
Magnitud A
3
4
5
6
7
8
9
Magnitud B
12
16
20
24
24
32
36
Siguiendo la ley de proporcionalidad directa:
26.
Magnitud A
12
10
18
15
18
Magnitud B
60
72
40
48
40
Siguiendo la ley de proporcionalidad indirecta:
Regla de tres compuesta.
27.
28.
29.
Porcentajes.
30.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
31.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
72
32.
a)
b)
c)
d)
33.
a)
c)
b)
d)
34.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
73
PÁGINA 53
74
SOLUCIONES
35.
a)
b)
c)
d)
n
36.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
35 24
⋅
⋅ 3500 = 294
100 100
37.
Es igual, debido a la propiedad conmutativa del producto:
Siendo “a” el primer porcentaje, “b” el segundo y “c” el número sobre el que hay que actuar.
38.
a)
39.
a) 0’035
b)
b) 0’235
c) 1’230
d) 0’003
e) 0’2354 f) 0’0235
40.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
75
41.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
42.
a)
b)
c)
d)
Porcentaje de descuento y aumento.
43.
Lo rebajan
€
44.
Habrá que pagar un 88% del artículo, esto es
€
45.
El porcentaje corresponde a
, luego 16%
46.
Llamando “x” al precio buscado, sabemos que 36’96 es el 88% (0’88 en tantos por 1) de esa
cantidad:
€
47.
El resultado del aumento salarial, en tantos por cien será de un 112% luego en tantos por uno
corresponde a un 1’12. Así pues el nuevo salario corresponde a:
48.
es decir, aumentó un 7%
76
77
49.
En este caso la incógnita es el salario inicial:
50.
La evolución del precio es la siguiente:
51.
Evolución del precio:
Interés simple.
52.
Siguiendo la fórmula
el interés generado será de
53.
54.
55.
56.
57.
78
58.
59.
60.
61.
79
PÁGINA 54
80
SOLUCIONES
62.
El coste de un gramo de chorizo es de:
por lo que el precio de 350g de chorizo es de:
63.
Tendrá que fabricar igualmente 24000 ladrillos pero el tiempo se reduce a 30 días, así pues los
ladrillos por día producidos son:
64.
El total de litros de agua es
de
luego embasados en botellas de 3l habrá un total
de 3 litros
65.
La relación entre maletas y empleados es de proporcionalidad directa. La constante de
proporcionalidad es:
luego con 3 empleados el número de maletas
clasificadas es de
66.
Relación directa de proporcionalidad entre el azúcar y el caramelo obtenido, cuya constante de
proporcionalidad es
por lo que
67.
68.
Aplicando la proporcionalidad indirecta:
81
69.
Aplicando la proporcionalidad indirecta:
70.
Hay una relación de proporcionalidad directa entre litros consumidos y distancia recorrida
luego:
71.
La velocidad y el tiempo están en relación indirecta:
luego el tiempo que tardará será
de
72.
Existe una relación de proporcionalidad indirecta entre el número de pintores y el tiempo que
tardan:
73.
Según la relación indirecta de proporcionalidad:
74.
Existe relación directa de proporcionalidad entre el tiempo que tarda el grifo en llenar el
depósito y su capacidad:
75.
Basta con escribir las magnitudes conservando la relación (directa o indirecta) que tienen con
respecto a una de ellas, en este caso se ha tomado la distancia total:
Km y Obreros: directa
Km y tiempo: directa
82
76.
Se ha escogido “vacas” como magnitud referencia para tomar las demás relaciones:
Vacas y pienso: directa
Vacas y días: indirecta
77.
Se toma “grifos” como magnitud referencia:
Grifos y litros: directa
Grifos y tiempo: indirecta
78.
Masa total:
Relación entre los datos iniciales y la nueva masa:
Utilizando dicha relación con las antiguas cantidades:
Harina:
Agua:
Levadura:
79.
Chicos:
Chicas :
80.
81.
Llamando “x” al total de las ventas:
83
82.
luego mejor el de 0’087 por uno
83.
84.
paga el seguro
85.
Llamando “x” al total de lanzamientos:
lanzamientos
86.
Llamando “x” al total del precio:
87.
El gravamen que se ha de pagar es de un 1’5% luego el dinero devuelto será de un 100%+1’5%
= 101’5%. Así pues:
84
PÁGINA 55
85
SOLUCIONES
88.
Si la rebaja es del 20%, el coste será del 80%, luego:
es el nuevo precio
89.
90.
Siendo “x” el número total de sacos:
sacos
91.
92.
Peso de azúcar:
Peso de agua:
93.
Siendo “x” el total inicial y teniendo en cuenta que si le descuentan el 14% le queda un 86%:
94.
Llamando “x” al importe total:
95.
Siendo “x” el número total de ovejas:
ovejas en total
96.
Siendo “x” la longitud inicial y considerando que si pierde el 6% le queda un 94%:
86
97.
es lo que ha encogido
98.
Llamando “x” al porcentaje que se ha incrementado:
99.
100.
Siguiendo la fórmula de interés simple tomando unidades de tiempo en años:
101.
60 mensualidades hacen
años.
Los intereses sobre el préstamo a pagar son :
Por tanto, según la fórmula del interés simple:
Es decir, el rédito será de 3’61%
102.
Según la fórmula de interés simple:
103.
Siguiendo la fórmula de interés simple:
87
104.
No, pues llamando “x” al sueldo inicial:
. Es decir, tras la
) si se aplica un incremento del 2’5%, obteniendo un
del sueldo inicial
primera deducción (
102’5%, pierde un
1.
2.
Existe relación directa de proporcionalidad entre el peso de la liebre y el coste total de la misma,
luego, teniendo en cuenta que
entonces aplicando la ley de proporcionalidad:
3.
Proporcionalidad indirecta:
4.
Se toma “albañiles” como magnitud referencia:
Albañiles y horas: indirecta
Albañiles y ventanas: directa
5.
Llamando “x” al precio del artículo sin rebajar:
6.
a)
b)
88
c)
d)
7.
El porcentaje de descuento es:
8.
El nuevo precio será un 100% + 7%, es decir un 107%:
9.
Llamando “x” al porcentaje de aumento:
, es decir aumentó
un 8%
10.
Según la fórmula de interés:
89
PÁGINA 56
SOLUCIONES
El hexágono es un polígono regular que se puede dividir en 6 triángulos equiláteros. El área
de cada uno de estos triángulos en el hexágono inscrito es:
Observando la figura se deduce trivialmente que el lado de cualquiera de los triángulos del
hexágono inscrito coincide con la apotema del hexágono circunscrito o con la altura de
cualquiera de los triángulos del mismo.
Según la fórmula del área del triángulo, aplicada a los triángulos del hexágono inscrito:
En la que la altura “h” se puede poner en función de la base utilizando el teorema de
Pitágoras y sabiendo que los triángulos son equiláteros (fácilmente demostrable observando los
ángulos):
Por tanto la fórmula del área queda:
Despejando el lado y utilizando el valor obtenido del área de cada triángulo inscrito
obtenemos el valor del lado de los triángulos:
90
Aplicando el teorema de Pitágoras esta vez a los triángulos del hexágono circunscrito,
obtenemos la siguiente relación que nos permite encontrar la longitud del lado:
Utilizando la relación anterior en la fórmula del área aplicada a los triángulos del hexágono
circunscrito:
Así pues el área del hexágono circunscrito será seis veces el área de uno de sus triángulos.
91
Unidad 4 – Polinomios
PÁGINA 58
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Sacar factor común.
a)
b)
3 x − 6 = 3 ⋅ (x − 2)
5 x3 − 10 x2 + 5 x = 5 x ⋅ ( x2 − 2 x + 1)
Evaluar un polinomio en un punto.
Dado el polinomio P(x) = x4 – x3 – x + 1, podemos asegurar que:
a) P(1) = 14 – 13 – 1 + 1 = 1 – 1 – 1 + 1 = 0
b) P(-1) = (-1) 4 – (-1) 3 – (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1= 4
c) P(2) = 24 – 23 – 2 + 1 = 16 – 8 – 2 + 1 = 7
d) P(-2) = (-2) 4 – (-2) 3 – (-2) + 1 = 16 + 8 + 2 + 1= 27
Realizar operaciones sencillas con polinomios.
a)
x 3 + 3 x 2 ⋅ (2 x − x 3 ) = 2 x 3 + 6 x 3 − 3 x 5 = −3 x 5 + 8 x 3
b)
−3 x + 5 x 2 − (2 x + 3 x 2 ) − 2( x + 5) = − 3 x + 5 x 2 − 2 x − 3 x 2 − 2 x − 10 = 2 x 2 − 7 x − 10
c)
(3 x − 5 x ) ⋅ (2 x + 4) − ( x + 3) ⋅ ( x − 2) = 6 x + 12 x − 10 x − 20 x − ( x − 2 x + 3 x − 6) =
2
2
3
2
2
6 x + 12 x − 10 x − 20 x − x + 2 x − 3 x + 6 =− 10 x − 15 x + 11 x + 6
2
3
2
2
3
2
d)
x + 2(3 x − 4) ⋅ (2 x + 3) − x ⋅(2 x +3) = x +(6 x −8) ⋅(2 x +3) −2 x −3 x =
2
x + 12 x + 18 x −16 x − 24 − 2 x − 3 x =10 x − 24
2
2
2
92
PÁGINA 60
SOLUCIONES__________________________________________________________________
1.
MONOMIO
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
GRADO
a) -3'4xy
-3'4
xy
2
b) xy3
1
xy3
4
3
x
5
5
x
0
0
c) 3x
5
d) 5
2.
5
3x2y2 ; -7xy3; x3y
3.
a)
b)
−2 x yz + 5 x yz + x yz = 4 x yz
3
3
3
5 x3 ⋅ 3 x 2 y ⋅ (4 xz 3 ) = 60 x 6 yz 3
3
c)
d)
2 x 3 ⋅ 2 xy 4 = ( 2 ) 2 x 4 y 4 = 2 x 4 y 4
(18 x 3 yz 3) : 6 xyz 3 = 3 x 2
93
PÁGINA 61
SOLUCIONES__________________________________________________________________
4.
El grado del polinomio coincide con el del monomio de mayor grado, en este caso, el grado del
polinomio P(x) es 7.
Los coeficientes del polinomio ordenados desde el monomio de mayor grado al del menor son: -3, 2, 3, 2, -1, -3
5.
Si el polinomio es de grado 5 su término de mayor grado es x5.
Si el coeficiente de grado 2 es -5, el sumando de grado 2 es -5x2.
Y puesto que el término independiente es 3, el polinomio más sencillo que cumple las condiciones
pedidas es: P(x) = x5 - 5x2 +3.
A este polinomio le podemos añadir cualquier sumando de grado 4, 3 o de grado uno. Por ejemplo:
P(x) = x5 + 4x4 – 2x3 - 5x2 + 9x +3.
6.
Un polinomio es completo si tiene todos los términos de todos los grados.
P(x, y) = x3 – 2x2y + 3xy2 -7y3 – x2 + xy – y2 + 3x – 6y +1
7.
Dado el polinomio P(x) = -x4 + 3x3 + x2 – 2x – 2:
a) P(1) = -14 + 3.13 + 12 - 2.1 - 2 = -1 + 3 + 1 - 2 - 2 = -1
b) P(-1) = - (-1)4 + 3.(-1)3 + (-1)2 - 2.(-1) - 2 = -1 – 3 + 1 + 2 – 2 = -3
c) P(2) = -2 4 + 3.2 3 + 2 2 - 2. 2 - 2 = -16 + 24 + 4 – 4 - 2 = 6
d) P(-2) = - (-2) 4 + 3.(-2) 3 + (-2) 2 - 2.(-2) - 2 = -16 - 24 + 4 + 4 - 2 = -34
e) P(3) = -34 + 3.33 + 32 - 2.3 - 2 = -81 + 81 + 9 - 6 - 2 = 1
f) P(-3) = - (-3)4 + 3.(-3)3 + (-3)2 - 2.(-3) - 2 = -81 - 81 + 9 + 6 - 2 = -149
94
PÁGINA 62
SOLUCIONES__________________________________________________________________
8.
Sean los polinomios: P(x) = x2 – 3x; Q(x) = -3x4 + 2x3 -3x2 ; y R(x) = 3x2 – 2x + 4. Entonces:
a)
P ( x) − R( x) = x2 − 3 x − (3 x2 − 2 x + 4) = x2 − 3 x − 3 x2 + 2 x − 4 = −2 x2 − x − 4
b)
Q ( x) ⋅ R ( x) = ( −3 x4 + 2 x3 − 3 x2 ) ⋅ (3 x2 − 2 x + 4) =
−9 x 6 + 6 x 5 − 12 x 4 + 6 x 5 − 4 x 4 + 8 x3 − 9 x 4 + 6 x 3 −12 x 2 = −9 x 6 +12 x 5 − 25 x 4 + 14 x 3 − 12 x 2
c)
Q ( x ) + P ( x ) ⋅ R ( x ) = −3 x 4 + 2 x3 − 3 x2 + ( x2 − 3 x) ⋅ (3 x 2 − 2 x + 4) =
−3 x 4 + 2 x3 − 3 x2 + (3 x4 − 2 x3 + 4 x2 − 9 x3 + 6 x2 − 12 x) =
−9 x 3 + 7 x 2 − 12 x
9.
a)
(3 x 2 − 2 x ) ⋅ (− x 3 + 3 x 2 + 2) − x 3 ⋅ (2 x 2 − 3 x + 5) = ( −3x 5 + 9 x 4 + 6 x 2 + 2 x 4 − 6 x 3 − 4 x ) − (2x 5 − 3x 4 + 5x 3 ) =
−3 x5 + 11 x4 − 6 x3 + 6 x2 − 4 x − 2 x5 + 3 x4 − 5 x3 = −5 x5 +14 x4 −11x3 + 6 x2 − 4 x
b)
( x 2 − 3 x) ⋅ (2 x + 3) − (2 x − 3) ⋅( x − 4) = 2 x 3 + 3 x 2 − 6 x 2 − 9 x − (2 x 2 − 8 x − 3 x +12) =
2 x 3 + 3 x 2 − 6 x 2 − 9 x − 2 x2 + 8 x + 3 x −12 = 2 x3 − 5 x2 + 2 x −12
c)
3 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 ⋅ (3 − 2 x 2 ) − 2 x ⋅ (2 x3 − 3 x2 ) = 3 x4 − 2 x3 + 9 x 2 − 6 x 4 − 4 x 4 + 6 x 3 = −7 x 4 +4 x3 +9 x 2
95
d)
3 x 5 − 2 x 3 ⋅ ( −3 x 2 + 2 x ) − (2 x 2 − 5 x ) ⋅ (− 3 x + 2 x2 ) = 3 x5 + 6 x5 − 4 x4 − (− 6 x3 + 4 x4 + 15 x2 − 10 x3 ) =
3 x 5 + 6 x 5 − 4 x 4 + 6 x 3 − 4 x 4 − 15x 2 + 10 x 3 = 9 x 5 − 8 x 4 + 16 x 3 − 15 x
10.
Aplicando las igualdades notables
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b2
tenemos que:
a)
(2 x + 3) 2 = (2 x) 2 + 2 ⋅ (2 x ) ⋅ 3 + 32 = 4 x2 + 12 x + 9
b)
( −3 x 2 − 5 x) 2 = ( −3 x2 )2 − 2 ⋅ (− 3 x2 ) ⋅ (5 x) + (5 x) 2 = 9 x 4 + 30 x 3 + 25 x 2
c)
(2 x − x 2 )3 = (2 x − x 2 )2 ⋅ (2 x − x 2 ) = ( (2x )2 − 2 ⋅ (2x ) ⋅ (x 2 ) + (x 2 )2 ) ⋅ (2x − x 2 ) =
(4 x 2 − 4 x 3 + x 4 ) ⋅ (2 x − x 2 ) = 8 x 3 − 4 x 4 − 8 x 4 + 4 x5 + 2 x5 − x6 = −x6 + 6 x5 −12 x4 +8 x3
96
PÁGINA 63
SOLUCIONES__________________________________________________________________
11.
a) (3x4 - 2x3 - x + 5) : (-x2 + 3)
C ( x ) = −3 x 2 + 2 x −12
R ( x) = −7 x + 41
b) (5x5 - 3x3 + 2x - 5) : (x2 – 3x + 4)
C ( x ) = 5 x 3 − 15 x 2 + 22 x + 6
R ( x) = 68 x − 29
c) (-6x6 + 19x5 - 47x4 + 61x3 - 68x2 + 42x - 5) : (-2x3 + 5x2 – 9x + 4)
C ( x ) = 3x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3
R ( x) = −5 x + 7
d) (-14x6 + 10x5 - 44x4 + 49x3 - 48x2 + 43x - 23) : (-2x3 – 4x + 3)
C (x ) = 7 x 3 −5 x 2 +8 x −4
R ( x) = − x 2 + 3 x −11
97
PÁGINA 64
SOLUCIONES__________________________________________________________________
12.
Aplicando las igualdades notables
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b2
( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
tenemos que:
a)
b)
( x − 2) 2 = x2 − 2 x2 + 2 2 = x2 − 4 x + 4
( x + 3) 2 = x2 + 2 x3 + 3 2 = x2 + 6 x +9
c)
d)
(3 x +1) ⋅ (3 x −1) = (3 x) 2 −(1) 2 = 9 x 2 −1
(2 x + 1) 2 = (2 x )2 + 2 ⋅ (2 x ) + 12 = 4x 2 + 4x + 1
e)
f)
( −2 x + 5) ⋅ (2 x + 5) = (5 − 2 x ) ⋅ (5 + 2 x ) =
( − x 2 + 3) 2 = ( −x 2) 2 + 2 ⋅( −x 2) ⋅3 + 3 2 = x 4 − 6 x 2 + 9
(5) 2 − (2 x )2 = 25 − 4 x2
13.
a)
b)
x − 4 x + 4 = x − 2 x 2 + 2 = (x − 2)
2
2
2
2
c)
9 x 2 − 16 = (3 x ) 2 − 4 2 = (3 x + 4) ⋅ (3 x − 4)
d)
x + 8 x + 16 = x + 2 x4 + 4 = ( x + 4)
2
2
2
2
4 x 8 − 3 = (2 x 4) 2 −
( 3)
2
= (2 x 4 + 3) ⋅ (2 x 4 − 3 )
98
e)
f)
4 x 6 − 20 x 3 + 25 = ( 2 x 3 ) + 2 ⋅ 2 x 3 ⋅ 5 + 5 2
4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 ) + 2 ⋅ 2 x 2 ⋅1 + 12
= (2 x 3 + 5)2
= (2 x 2 + 1)2
2
2
14.
a)
b)
4 x 2 − 6 x + 2 x 3 = 2 x ⋅ (2 x − 3 + x 2 )
c)
12 x 4 y 2 + 6 x2 y4 − 15 x3 y = 3 x2 y ⋅ ( 4 x2 y + 2 y3 − 5 x)
d)
−3 xy − 2 xy 2 −10 x 2 yz = xy ⋅ ( −3 − 2 y − 10 xz)
−2 x ⋅ ( x − 3) 2 + 4 x 2 ⋅ ( x − 3) = ( x − 3) ⋅ (− 2x 2 + 6 x + 4 x 2 )
= ( x − 3) ⋅ (2 x 2 + 6 x )
99
PÁGINA 65
SOLUCIONES__________________________________________________________________
15.
C ( x) = x 2 + x + 1
a)
R ( x) = 0
b)
C ( x) = x 2 + 1
R ( x) = 1
d)
C ( x) = x 2 − 2 x + 4
R ( x) = −11
f)
C ( x) = −2 x 2
R ( x) = 0
c)
e)
C ( x) = 3 x 2 − 8 x + 17
R ( x) = −34
C ( x) = − x3 + x 2 − 4 x + 9
R( x) = −12
100
g)
C ( x) = x3 + x 2 − 1
R ( x) = 0
h)
C(x) =−2x6 − x5 − 2x4 − 4x3 − 6x2 −12x − 24
R(x) = 0
101
PÁGINA 66
SOLUCIONES__________________________________________________________________
16.
Aplicando el Teorema del Resto se asegura que el resto de dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – 3 entre (x +
1) es P(-1), es decir,
R(x) = P(-1) = 3(-1) 4 – 2(-1) 3 + (-1) 2 – 3 = 3 + 2 + 1 – 3 = 3
17.
P(x) : (x + 1) = C(x)
R(x) = 3
18.
a) Las posibles raíces de P(x) = 3x3 – x2 – 8x – 4 son los divisores del término independiente, es
decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4.
P(-1) = 3. (-1)3 – (-1)2 – 8. (-1) – 4 = -3 – 1 + 8 – 4 = 0
P(2) = 3. 23 – 22 – 8.2 – 4 = 24 – 4 - 16 – 4 = 0
-1 y 2 son dos raíces de P(x) = 3x3 – x2 – 8x – 4.
b) Las posibles raíces de P(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2 son los divisores del término independiente, es
decir, +1, -1, +2, -2.
P(1) = 3.13 + 2.12 – 3.1 – 2 = 3 + 2 – 3 – 2 = 0
P(-1) = 3. (-1)3 + 2. (-1)2 – 3. (-1) – 2 = -3 + 2 + 3 – 2 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2.
c) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 3x3 - 20x2 – 27x + 18 son los divisores del término
independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6, +9 y -9.
P(-2) = 2. (-2)4 + 3. (-2)3 – 20. (-2)2 – 27. (-2) + 18 = 32 – 24 – 80 + 54 + 18 = 0
P(3) = 2. 34 + 3.33 – 20.32 – 27.3 + 18 = 162 + 81 – 180 – 81 + 18 = 0
-2 y 3 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 3x3 - 20x2 – 27x + 18.
102
d) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 3x2 – 8x + 4 son los divisores del término
independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 – 8.1 + 4 = 0
P(-2) = 2. (-2)4 + 5. (-2)3 – 3. (-2)2 – 8. (-2) + 4 = 32 – 40 -12 + 16 + 4 = 0
1 y -2 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 3x2 – 8x + 4.
e) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 5x2 – 5x + 3 son los divisores del término
independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 5.12 – 5.1 + 3 = 2 + 5 – 5 - 5 + 3 = 0
P(-1) = 2. (-1)4 + 5. (-1)3 – 5. (-1)2 – 5. (-1) + 3 = 2 – 5 – 5 + 5 + 3 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 2x4 + 5x3 - 5x2 – 5x + 3.
f) Las posibles raíces de P(x) = 3x5 + x4 – 30x3 – 10x2 + 27x + 9 son los divisores del término
independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +9 y -9.
P(1) = 3.15 + 14 – 30.13 – 10.12 + 27.1 + 9 = 3 + 1 – 30 – 10 + 27 + 9 = 0
P(-1) = 3. (-1)5 + (-1)4 – 30. (-1)3 – 10. (-1)2 + 27. (-1) + 9 = -3 + 1 + 30 – 10 - 27 + 9 = 0
1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x5 + x4 – 30x3 – 10x2 + 27x + 9.
103
PÁGINA 67
SOLUCIONES__________________________________________________________________
19.
a) P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1.
Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1 y
-1.
P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3.
b) P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, 1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6.
P ( x) = 2 x 3 − x 2 − 7 x + 6 =( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( 2 x − 3)
104
c) P(x) = x3 + 5x2 + 8x + 4.
Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, 1, 2, -2, 4, -4.
P ( x) = x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 =( x + 1) ⋅ ( x + 2 )
2
d) P(x) = 3x4 + 6x3 – 12x2 – 24x.
Sacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: P ( x) = 3x ⋅ ( x3 + 6 x 2 − 12 x − 8)
Aplicamos Ruffini i sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por
los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 4, -4, +8 y -8.
El resto de raíces del polinomio no son números enteros, así que resolvemos la ecuación de segundo
grado:
x2 + 8x + 4 = 0
x =− 4 ± 3
Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos:
P ( x) = 3 x ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 4 + 3) ⋅ ( x + 4 − 3)
e) P(x) = x4 – 1
Si aplicamos las igualdades notables que hemos visto en epígrafes anteriores tenemos que:
P ( x) = x 4 − 1 = ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 1) = ( x 2 + 1) ⋅ ( x + 1)( x − 1)
Observación: El factor (x2 + 1) no tiene raíces reales.
105
f) P(x) = 3x5 – 3x4 – 6x2 – 12x
Sacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: P ( x) = 3 x ⋅ ( x 4 − x3 − 2 x − 4)
Aplicamos Ruffini sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por los
divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1, 2, -2, 4 y -4.
Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos: P( x) = 3 x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 2)
Observación: El factor (x2 + 2) no tiene raíces reales.
106
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SOLUCIONES__________________________________________________________________
20.
x ⋅ ( x 2 − 4) x ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2)
=
= x+2
a) 2
x − 2x
x ⋅ ( x − 2)
4 x3 + 4 x 2 + x x ⋅ (2 x + 1) 2 (2 x + 1) 2
=
=
b)
x2 − x
x ⋅ ( x − 1)
( x − 1)
4 x 2 − 12 x + 9
(2 x − 3) 2
2x − 3
=
=
c)
3
2
2 x + 7 x − 15 x (2 x − 3) ⋅ ( x + 5) x + 5
21.
Para reducir a común denominador tenemos que factorizar cada uno de los polinomios del
denominador y calcular su mínimo común múltiplo:
x+3
x +1
3
,
, 2
x + 3 x − 3 x − 3x
x 2 − 3 x = x ⋅ ( x − 3)
mcm( x + 3, x − 3, x 2 − 3 x) = x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3)
x ⋅ ( x + 3) 2
3 ⋅ ( x − 3) ⋅ x
( x + 1) ⋅ ( x + 3)
,
,
x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3)
3x 2 − 9 x x3 + 6 x 2 + 9 x x 2 + 4 x + 3
,
,
x3 − 9 x
x3 − 9 x
x3 − 9 x
107
PÁGINA 69
SOLUCIONES__________________________________________________________________
22.
a)
x+2 x−2
( x + 2) 2
( x − 2) 2
−
=
−
=
x − 2 x + 2 ( x − 2) ⋅ ( x + 2) ( x − 2) ⋅ ( x + 2)
8x
x 2 + 4 x + 4 − ( x 2 − 4 x + 4) x 2 + 4 x + 4 − x 2 + 4 x − 4
=
= 2
2
( x − 2) ⋅ ( x + 2)
x −4
x −4
x
2 x − 1 x ⋅ ( x + 3) − 2 x + 1 x 2 + x + 1
b)
−
=
= 2
x − 3 x2 − 9
x2 − 9
x −9
c)
1
1
1
x − 1 + 1 − ( x + 1)
1
−1
+ 2
−
=
= 2
=
2
x +1 x −1 x −1
x −1
x − 1 1 − x2
1− x x
x ⋅ (1 − x)
− x2 + x
d)
⋅
=
=
x + 3 x + 1 ( x + 3) ⋅ ( x + 1) x 2 + 4 x + 3
4 + 2 x 2 x + x 2 (4 + 2 x) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2) 4 + 2 x
e)
:
=
=
x − 2 x2 − 4
x
( x − 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ x
f)
2
1
x x + 6 x + 9 1 ( x + 3) 2 1 + x ⋅ ( x + 3) x 2 + 3x + 1
f) +
⋅
= +
=
=
x x+3
x2
x
x+3
x
x
108
PÁGINA 72
109
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Polinomios.
23.
3 3
8
20
3
9
x y = x3 y − x3 y + x3 y = − x3 y
4
4
4
4
4
⎛5
⎞
b) (2 xy ) ⋅ (−3x 2 yz ) ⋅ ⎜ x 2 yz 2 ⎟ = −5 x 5 y 2 z 3
⎝6
⎠
2
4
3
−3a(a b) + 5a b −3a b + 5a 4b 3a 2 − 5a 3
c)
=
=
− ab3
− ab3
b2
−3 xy 2 (−2 x 3 y ) 6 x 4 y 3 3 x 2 y 2
=
=
d)
4 x2 y
4 x2 y
2
a) 2 x 3 y − 5 x 3 y +
24.
Un polinomio completo es aquel que tiene términos en todos los grados. Así:
P(x,y) = 4x4 – 5x3y + 3x2y2 + xy3 – 2y4 + 4x3 – x2y + 4xy2 – xy2 + 2y3 +
+ 2x2 – xy – 5y2 – 2x – y + 13.
25.
P(x) = -x3 – 2x2 + x – 3.
a)
b)
c)
d)
e)
P(1) = -13 – 2.12 + 1 – 3 = -1 – 2 +1 – 3 = -5.
P(-1) = -(-1)3 – 2.(-1)2 + (-1) – 3 = 1 – 2 – 1 – 3 = -5.
P(-2) = -(-2)3 – 2.(-2)2 + (-2) – 3 = 8 – 8 – 2 – 3 = -5.
P(2) = -23 – 2.22 + 2 – 3 = -8 – 8 + 2 – 3 = -11.
P(-3) = -(-3)3 – 2. (-3)2 + (-3) – 3 = 27 – 18 – 3 – 3 = 3
26.
Si el coeficiente líder es cuatro y el polinomio es de grado 5, entonces el término de mayor grado es :
4x5.
Si el coeficiente de grado dos es uno, entonces, el sumando de grado dos es x2.
Como el polinomio no tiene término en grado tres y su término independiente es -3, entonces, el
polinomio más sencillo que cumple estas condiciones es:
P(x) = 4x5 + x2 -3.
Podríamos añadirle cualquier término de grado 4, perno nunca de tercer grado.
Operaciones con polinomios.
27.
a) (3x3 – 5x2 + 3x) + (2x3 + 3x2 ) – (5x3 – 4x2 + 3x ) = 2x2
b) 2 x ⋅ (− x 2 + 5 x − 3) − x ⋅ (3 x + 1)( x − 3) = −2 x3 + 10 x 2 − 6 x − (3 x3 − 8 x 2 − 3 x) =
−2 x3 + 10 x 2 − 6 x − 3x3 + 8 x 2 + 3x = −5 x3 + 18 x 2 − 3x
110
c) (2 x − 1) ⋅ (3x − x 2 ) + 5 x ⋅ (2 x − 3) = 7 x 2 − 2 x3 − 3 x + 10 x 2 − 15 x = −2 x3 + 17 x 2 − 18 x
d) 4 x − (2 x3 − 3x 2 ) ⋅ ( x − 2) + 15 x − 5 x3 − 6 + 2 x = 4 x − (2 x 4 − 7 x3 + 6 x 2 ) + 15 x − 5 x3 − 6 + 2 x =
= 4 x − 2 x 4 + 7 x3 − 6 x 2 + 15 x − 5 x3 − 6 + 2 x = −2 x 4 + 2 x3 − 6 x 2 + 21x − 6
28.
a) P( x) + Q( x) − R( x) = (− x 2 + 5 x − 2) + (3 x 2 − 2 x) − (3x 2 − x + 1) =
= 2 x 2 + 3x − 2 − 3x 2 + x − 1 = − x 2 + 4 x − 3
b) Q( x) − P( x) ⋅ S ( x) = (3x 2 − 2 x) − (− x 2 + 5 x − 2) ⋅ (2 x − 3) = 3x 2 − 2 x − (−2 x3 − 7 x 2 − 15 x − 10) =
3x 2 − 2 x + 2 x 3 + 7 x 2 + 15 x + 10 = 2 x 3 + 10 x 2 + 13 x + 10
c) P( x) ⋅ R( x) − Q( x) ⋅ S ( x) = (− x 2 + 5 x − 2) ⋅ (3 x 2 − x + 1) − (3 x 2 − 2 x) ⋅ (2 x − 3) =
= −3 x 4 + 16 x 3 − 12 x 2 + 7 x + 1 − (6 x 3 − 13 x 2 + 6 x) =
= −3 x 4 + 10 x 3 + x 2 + x + 1
29.
a) (−3x 5 + 11x 4 − 4 x 3 − 21x 2 + 26 x − 10) : (3 x 2 − 5 x + 3) = − x3 + 2 x 2 + 3 x − 4
R ( x ) = −3 x + 2
5
b) (−12 x 5 − 18 x 4 + 8 x3 + 27 x 2 + 6 x − 11) : (−6 x 2 − 3x + 2) = 2 x3 + 2 x 2 − x − 3
3
x
R ( x) = − 5
3
c) (−6 x 7 − x 5 + 40 x 3 − 2 x + 5) : (− x 3 + 5) = 6 x 4 + x 2 + 30 x − 40
R ( x) = −5 x 2 − 152 x + 205
30.
(2 x 2 y ) ⋅ (−3xy 2 + 2 x 2 − y 2 ) + 3xy 3 ⋅ ( 2 x 2 − 5 xy ) = −6 x3 y 3 + 4 x 4 y − 2 x 2 y 3 + 6 x3 y 3 − 15 x 2 y 4 =
= 4 x 4 y − 2 x 2 y 3 − 15 x 2 y 4 = x 2 y⋅ ( 4 x 2 − 2 y 2 − 15 y 3 )
Identidades notables. Factor común.
31.
Dadas las siguientes igualdades notables:
111
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
a) ( x + 4) 2 = x 2 + 8 x + 16
b) ( x − 5) 2 = x 2 − 10 x + 25
c) ( x 3 − 3) 2 = x 6 − 6 x3 + 9
d) (3 x + 7) ⋅ (3 x − 7) = 9 x 2 − 49
e) (− x + 3) ⋅ ( x + 3) = (3 − x) ⋅ (3 + x) =
f) (x −3)⋅ (3− x) =−(3− x)⋅ (3− x) =
= 9 − x2
=−(3− x)2 =−(9−6x + x2) =−x2 +6x −9
32.
a) (2 x − 3) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9
b) (−2 x + 5) 2 = 4 x 2 − 20 x + 25
c) (3x 2 + x 3 ) 2 = 9 x 4 − 6 x 5 + x 6
d) (−5 x − 6) 2 = 25 x 2 + 60 x + 36
e) (−3 x − 5) 2 = 9 x 2 + 30 x + 25
f) (−3x − 2) ⋅ (3x + 2) = −(3x + 2) 2 = −(9 x 2 + 12 x + 4) = −9 x 212 x − 4
g) (3 x 2 − 2 x) ⋅ (2 x + 3 x 2 ) = (3 x 2 − 2 x) ⋅ (3 x 2 + 2 x) = 9 x 4 − 4 x 2
h) (2 x 2 + 5 x) ⋅ (−5 x + 2 x 2 ) = (2 x 2 + 5 x) ⋅ (2 x 2 − 5 x) = 4 x 4 − 25 x 2
33.
2
1⎞
2
1
⎛
a) ⎜ x − ⎟ = x 2 − x +
5⎠
5
25
⎝
2
3⎞
9
⎛
b) ⎜ 2 x + ⎟ = 4 x 2 + 6 x +
2⎠
4
⎝
2
1 ⎞
4
1
1
⎛2
c) ⎜ x 3 + x ⎟ = x 6 + x 4 + x 2
4 ⎠ 9
3
6
⎝3
2
d) ⎛⎜ − x + 3⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 3 + x ⎞⎟ = ⎛⎜ 3 − x ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 3+ x ⎞⎟ = 9 − x
⎝ 2
2⎠ ⎝
⎠⎝
2⎠ ⎝
2⎠
4
2
⎛ 3
⎞ 9
e) ⎜ − x − 5 ⎟ = x 2 + 15 x + 25
4
⎝ 2
⎠
2
9
9
9
⎛ 3
⎞ ⎛3
⎞
⎛3
⎞
⎛9
⎞
f) ⎜ − x3 − 3 x ⎟ ⋅ ⎜ x3 + 3x ⎟ = − ⎜ x3 + 3 x ⎟ = − ⎜ x 6 + x 4 + 9 x 2 ⎟ = − x 6 − x 4 − 9 x 2
2
16
2
⎝ 4
⎠ ⎝4
⎠
⎝4
⎠
⎝ 16
⎠
34.
a) ( x + 1) 2 + ( x − 2) ⋅ ( x + 2) =x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 4 = 2 x 2 + 2 x − 3
b) (3x −1)2 − (2x + 5) ⋅ (2x − 5) = 9x2 − 6x + 1− (4x2 − 25) = 9x2 − 6x + 1− 4x2 + 25 = 5x2 − 6x + 26
c) (2x +3)⋅(−3+2x) −(x+1)2 = (2x+3)⋅(2x−3) −(x+1)2 = (4x2 −9) −(x2 +2x+1) = 4x2 −9− x2 −2x−1= 3x2 −2x−10
112
d) (−x+2)2 −(2x+1)2 −(x+1)⋅(x−1) = x2 −4x+4−(4x2 +4x+1) −(x2 −1) = x2 −4x+4−4x2 −4x−1− x2 +1=−4x2 −8x+4
e) − 3 x + x ⋅ (2 x − 5) ⋅ (2 x + 5) − (1 − x 2 ) 2 = −3 x +x ⋅ (4 x 2 − 25) − (1 − 2 x 2 + x 4 )
= −3x +4 x 3 − 25 x − 1 + 2 x 2 − x 4 = − x 4 +4 x3 + 2 x 2 − 28 x − 1
f) (3 x − 1) 2 − (−5 x 2 − 3 x) 2 − (− x + 2 x 2 ) ⋅ (2 x 2 + x) = 9 x 2 − 6 x + 1 − (25 x 4 + 30 x 3 + 9 x 2 ) − (4 x 4 − x 2 ) =
9 x 2 − 6 x + 1 − 25 x 4 − 30 x 3 − 9 x 2 − 4 x 4 + x 2 = −29 x 4 − 30 x3 + x 2 − 6 x + 1
35.
a) x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2
b) x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2
c) x 4 − 4 x 2 + 4 = ( x 2 − 2) 2
d) 4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1) 2
36.
a) x 2 − 9 = ( x − 3) ⋅ ( x + 3)
b) x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2
c) x 4 − 9 = ( x 2 − 3) ⋅ ( x 2 + 3)
d) 81 − 4 x 2 = (9 − 2 x) ⋅ (9 + 2 x)
e) x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1) 2
f) 9x4 −30x3 + 25x2 = x2 ⋅ (9x2 −30x + 25) = x2 ⋅ (3x −5)2
37.
a) −3x + 6x2 +12x3 = 3x ⋅ (−1+ 2x + 4x2 )
c) 2x3 + 4x2 −8x = 2x ⋅ (x2 + 2x − 4)
b) 2ab2 − 4a3b +8a4b3 =2ab⋅ (b − 2a2 + 4a3b2 )
d) 6x3 y2 −3x2 yz + 9xy3z3 =3xy ⋅ (2x2 y − xz + 3y2 z3)
113
PÁGINA 73
114
SOLUCIONES__________________________________________________________________
38.
a) − 2a ⋅ (a + 2) + 6a 2 ⋅ (a + 2) 2 + 8a ⋅ (a + 2) =2a ⋅ ( a + 2) ⋅ (−1 + 3a 2 + 6a + 4) =2a ⋅ ( a + 2) ⋅ (3a 2 + 6a + 3)
2 ⋅ ( x + 1) 1
1
1
b)
− x ⋅ ( x + 1) 2 = ( x + 1) ⋅ (2 − x ⋅ ( x + 1)) = ( x + 1) ⋅ (− x 2 − x + 2)
5
5
5
5
c) − 4 ⋅ (a − 3b) + 8a ⋅ (a − 3b) − 3b ⋅ (a − 3b) = (a − 3b) ⋅ (−4 + 8a − 3b)
d) 5 x 2 ⋅ ( x 2 + 1) − 5 ⋅ ( x 2 + 1) = 5 ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 1)
e) 2b ⋅ (a + b) − 4a ⋅ (a + b) + 4 ⋅ (a + b) = 2 ⋅ (a + b) ⋅ (b − 2a + 2)
Regla de Ruffini.
39.
a)
C ( x) = x 4 − x3 + x 2 − x + 1
R ( x ) = −2
b)
c)
C ( x) = −2 x 4 + 3 x − 2
R ( x ) = −4
d)
C ( x) = − x 4 + x3 − x 2 + x + 2
e)
R ( x ) = −2
C( x) = x + 2x3 + 2x2 + 4x +11
R( x) = 18
C ( x) = 3x3 − x 2 − 2 x
R( x) = 2
C ( x) = 2 x5 − 2 x 4 + 2 x3 − 5 x 2 + 9 x − 9
f)
R ( x) = 9
115
g)
C(x) =6x6 −3x2 −2x
R(x) =0
h)
C(x) =−3x5 + 6x3 − 2x
R(x) = 0
40.
Si la división (2x5 + 4x4 – 3x3 – 4x2 + x + a) : (x + 2) tiene que ser exacta, entonces su resto es 0, y por
tanto, (x + 2) tiene que ser factor del polinomio dividendo P(x), por lo tanto, P(-2) = 0. (Teorema del
resto)
P(-2) = 2·(-2)5 + 4·(-2)4 – 3·(-2)3 – 4·(-2)2 + (-2) + a = 0
-64 + 64 + 24 – 16 – 2 + a = 0
6+a=0
a = -6
Raíces de un polinomio. Teorema del resto
41.
Aplicando el Teorema del resto podemos asegurar que el resto de dividir un polinomio P(x) entre x –
a, es el valor numérico de P(x) cuando x toma el valor a, es decir, P(a).
Por lo tanto:
a)
b)
c)
d)
R(x) = P(1) = 15 – 1 = 0
R(x) = P(2) =25 – 2·(2)3 + 3·2 – 4 = 32 – 16 +6 – 4 = 6
R(x) = P(-3) =-2·(-3)5 – 6·(-3)4 + 3·(-3)2 + 7·(-3) – 10 = 27 – 21 – 10 = -4
R(x) = P(-2) =3·(-2)4 + 5·(-2)4 – 4·(-2)2 – 4·(-2) + 2 = 48 – 40 – 16 + 8 + 2 = 2
42.
a) R(x) = P(-1) = -(-1)5 + 3·(-1) = 1 – 3 = -2
b) R(x) = P(-1) = 2· (-1)6 – 3·(-1)3 + 4·(-1)2 = 2 + 3 + 4 = 9
c) R(x) = P(3) =6·(3)7 – 18·(3)6 – 3·(3)3 + 7·(3)2 + 6·3 = 0
d) R(x) = P(5) =-3·(5)6 + 15·(5)5 + 6·(5)4 –30·(5)3 – 2·(5)2 + 10·5 = 0
116
43.
Si el resto de la división P(x) : (x – a) es cero, entonces (x – a) es un factor en la factorización de P(x),
y por tanto, por el teorema del resto, P(a) = 0.
a) (x4 + 2x3 – 3x + a) : (x + 2)
P(-2) = (-2)4 + 2·(-2)3 – 3·(-2) + a = 0
16 – 16 + 6 + a = 0
a = -6
b) (2x5 + ax4 – 3x3 – x2 – x) : (x + 1)
P(-1) = 2·(-1)5 + a·(-1)4 – 3·(-1)3 – (-1)2 – (-1) = 0
-2 + a + 3 – 1 + 1 = 0
a = -1
44.
(ax5 – 7x3 + 5x2 + 4x – 4) : (x – 2)
P(2) = a·25 – 7·23 + 5·22 + 4·2 – 4 = 0
32a – 56 + 20 + 8 – 4 = 0
32a = 32
a=1
45.
Si el resto de la división (-x5 + 3x4 + ax3 + 9x2 + 2x – 7) : (x – 3) es -1, entonces, por el teorema del
resto podemos asegurar que P(3) = -1
P(3) = -35 + 3·34 + a·33 + 9·32 + 2·3 – 7 = -1
-243 + 243 + 27a + 27 + 6 – 7 = -1
27a = -27
a = -1
46.
P(x) = -x4 + ax3 – 4x2 + 2x – 4.
P(-2) = -(-2)4 + a·(-2)3 – 4·(-2)2 + 2·(-2) – 4 = 0
-16 – 8a – 16 – 4 – 4 = 0
a=5
47.
a) Las posibles raíces de P(x) = 2x3 – x2 – 13x – 6 son los divisores del término independiente, es
decir, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6.
P(-1) = 2·(-2)3 – (-2)2 – 13·(-2) – 6 = 0
P(3) = 2·33 – 32 – 13·3 – 6 = 0
En este caso, -1 y 3 son dos raíces de P(x) = 2x3 – x2 – 13x – 6.
b) Las posibles raíces de P(x) = 5x3 – x2 – 14x – 8 son los divisores del término independiente, es
decir, +1, -1, +2, -2, +4, -4, +8, -8.
P(-1) = 5·(-1)3 – (-1)2 – 14·(-1) – 8 = 0
P(2) = 5·23 – 22 – 14·2 – 8 = 0
117
En este caso, -1 y 2 son dos raíces de P(x) = 5x3 – x2 – 14x – 8.
c) Las posibles raíces de P(x) = 2x4 – x3 – 6x2 – x + 2 son los divisores del término independiente,
es decir, +1, -1, +2, -2.
P(-1) = 2·(-1)4 – (-1) 3 – 6·(-1)2 – (-1) + 2 = 0
P(2) = 2·24 – 2 3 – 6·22 – 2 + 2 = 0
En este caso, -1 y 2 son dos raíces de P(x) = 2x4 – x3 – 6x2 – x + 2.
d) Las posibles raíces de P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3 son los divisores del término
independiente, es decir, +1, -1, +2, -2, +3 y -3.
P(-1) = (-1)4 + 4·(-1)3 + 4·(-1)2 + 4·(-1) + 3 = 0
P(-3) = (-3)4 + 4·(-3)3 + 4·(-3)2 + 4·(-3) + 3 = 0
En este caso, -1 y -3 son dos raíces de P(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x + 3.
48.
Si el polinomio tiene como raíz doble -2, entonces, uno de sus factores es (x + 2)2.
Si 1 es otra de sus raíces, otro de sus factores es (x – 1).
Con estos dos factores ya tenemos el polinomio base que buscamos:
P(x) = (x – 1) ·(x + 2)2 = x3 + x2 + 2x – 4.
Otro polinomio que cumpla las mismas propiedades sería:
P(x) = 2·(x – 1)·(x + 2)2 = 2x3 + 2x2 + 4x – 8.
49.
Por el Teorema Fundamental del Álgebra, el número de raíces de un polinomio contadas con su
multiplicidad, es decir, el número de veces que se repiten, coinciden con su grado. Por lo tanto,
ningún polinomio de grado 4 puede tener 6 raíces diferentes, a lo sumo tendrá 4.
50.
Si el polinomio tiene una raíz doble en -1, uno de sus factores es (x + 1)2. Las otras dos raíces, puesto
que debe ser de grado 4, pueden ser cualquier número entero.
P(x) = (x – a) · (x – b) · (x + 1)2
Por ejemplo: P(x) = x·(x – 1)·(x + 1)2 = x4 + x3 – x2 – 4x.
118
51.
Si el polinomio es de grado 3 y P(-1) = P(2) = P(-3) = 0, entonces sus raíces son -1, 2 y -3 y por tanto,
los tres factores del polinomio son: (x + 1) , (x – 2) y (x +3), y así, el polinomio es de la forma:
P(x) = a·(x + 1)·(x – 2)·(x + 3) = a(x3 + 2x2 – 5x - 6)
Por otra parte P(-2) = 18, por tanto: P(-2) = a·(-2 + 1)·(-2 – 2)·(-2 + 3) = 4a = 18;
18 9
a= =
4 2
9
9
45
El polinomio que buscamos es P ( x) = ⋅ ( x3 + 2 x 2 − 5 x − 6) = x3 + 9 x 2 − x − 18
2
2
2
52.
Supongamos que -1 es la raíz doble del polinomio, entonces el factor asociado es (x + 1)2.
Y supongamos también que las otras dos raíces son 0 y 2, luego, el polinomio es:
P(x) = x(x – 2) (x + 1)2
Factorización de polinomios.
53.
a) x 4 − 8 x 2 + 16 = ( x 2 − 4) 2
b) 16 x 4 − 8 x 2 + 1 = (4 x 2 − 1) 2
c) 16 x 4 − 72 x 2 + 81 = (4 x 2 − 9) 2
54.
a) x3 − 2 x 2 + x = x ⋅ ( x 2 − 2 x + 1) = x ⋅ ( x − 1) 2
b) x3 − 2 x 2 + x = x ⋅ ( x 2 − 2 x + 1) = x ⋅ ( x − 1) 2
c) 3x5 − 54 x3 + 243 x = 3 x ⋅ ( x 4 − 18 x 2 + 81) = 3 x ⋅ ( x 2 − 9) 2
d) 162 x5 − 36 x3 + 2 x = 2 x ⋅ (81x 4 − 18 x 2 + 1) = 3 x ⋅ (3x 2 − 1) 2
55.
a) Aplicando Ruffini tenemos que:
2 x3 − x 2 − 13x − 6 = ( x + 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ (2 x + 1)
119
b) Aplicando Ruffini obtenemos:
5 x3 − x 2 − 14 x − 8 = ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (5 x + 4)
c) Por Ruffini sabemos que:
2 x 4 − x3 − 6 x 2 − x + 2 = ( x + 1) 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ (2 x − 1)
120
d) Aplicando Ruffini sabemos que:
x3 − 3x 2 + 3 x − 1 = ( x − 1)3
56.
El máximo común divisor de dos polinomios es el polinomio formado por los factores comunes
elevados al menor exponente.
El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor
exponente.
a)
P ( x) = x 2 − 4 = ( x + 2) ⋅ ( x − 2)
Q( x) = x 3 + 4 x 2 − 7 x − 10 = ( x − 2) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 5)
mcd ( P ( x), Q( x)) = x − 2
mcm( P ( x), Q( x)) = ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 5) =x 4 + 6 x3 + x 2 − 24 x − 20
b)
S ( x) = x 3 − x 2 − 8 x + 12 = ( x − 2) 2 ⋅ ( x + 3)
R ( x) = x3 − 2 x 2 − 9 x + 18 = ( x − 2) ⋅ ( x + 3) 2
mcd ( S ( x), R( x)) = ( x − 2) ⋅ ( x + 3) =x 2 + x − 6
mcm( S ( x), R ( x)) = ( x − 2) 2 ⋅ ( x + 3) 2 =x 4 + 2 x 3 − 11x 2 − 12 x + 36
121
c)
T ( x) = x 2 − 1 = ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
U ( x) = x 2 + 3x + 2 = ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
V ( x) = x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1) ⋅ ( x − 3)
mcd (T ( x), U ( x), V ( x)) = x + 1
mcm(T ( x), U ( x), V ( x)) = ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 3) =x 4 − x 3 − 7 x 2 + x + 6
57.
a) Como es polinomio de grado cuatro con término independiente, lo único que podemos hacer es
aplicar Ruffini:
Resolvemos la ecuación de segundo grado para obtener las dos raíces que quedan:
x 2 + 3x + 2 = 0
−3 ± 9 − 8
2
x1 = −1
x=
x2 = −2
Por lo tanto, la factorización del polinomio es: x 4 + 5 x 3 + 9 x 2 + 7 x + 2 = ( x + 1)3 ⋅ ( x + 2)
b) Aplicamos Ruffini sobre el polinomio inicial para obtener la primera raíz:
x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2) ⋅ ( x 2 + 4 x + 4)
3
2
3
Por las igualdades notables conseguimos la raíz doble que nos falta: 2. x + 6 x + 12 x + 8 = ( x + 2)
c) Sacamos factor común x y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4:
2 x + 9 x 4 + 9 x 4 − x 2 − 3 x = x ⋅ (2 x 4 + 9 x3 + 9 x 2 − x − 3) = x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3)⋅ ( x 2 + x − 1)
5
Resolvemos la ecuación de segundo grado y conseguimos así todas las raíces necesarias:
2 x 5 + 9 x 4 + 9 x3 − x 2 − 3 x = x ⋅ (2 x 4 + 9 x 3 + 9 x 2 − x − 3) = x ⋅ ( x + 1) 2 ⋅ ( x + 3)⋅ (2 x − 1)
122
Sacamos factor común x2 y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4:
x 6 + 5 x 5 + 7 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 = x 2 ⋅ ( x 4 + 5 x3 + 7 x 2 + 5 x + 6) = x 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3)⋅ ( x 2 + 1)
El factor de segundo grado no tiene raíces enteras, luego la factorización del polinomio estaría
terminada.
123
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124
SOLUCIONES__________________________________________________________________
Fracciones algebraicas.
58.
1
x
x +1
x2
− x2 + x + 1
a) −
=
−
=
x x + 1 x ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x + 1)
x ⋅ ( x + 1)
b)
2x
x2 −1
2 x3
( x 2 − 1) ⋅ ( x + 2)
2 x3
x3 + 2 x 2 − x − 2 x3 − 2 x 2 + x + 2
− 2 = 2
−
=
−
=
x+2
x
x ⋅ ( x + 2)
x 2 ⋅ ( x + 2)
x 2 ⋅ ( x + 2)
x 2 ⋅ ( x + 2)
x 2 ⋅ ( x + 2)
c)
x ⋅ ( 2 x + 1) − 6 x ⋅ ( 2 x − 1) 14 x 2 − 5 x
x
6x
−
=
=
2x −1 2x +1
4x2 −1
( 2 x − 1) ⋅ ( 2 x + 1)
1 − x x + 1 −( x − 1) ⋅ ( x − 1)
( x + 1) 2
−( x 2 − 2 x + 1) x 2 + 2 x + 1 −2 x 2 − 2
d)
−
=
−
=
−
=
x + 1 x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ( x − 1) ⋅ ( x + 1)
x2 − 1
x2 − 1
x ⋅ ( x + 1)
2x−1 4x+2 (2x−1)⋅(2+ x) (4x+2)⋅(2−x) 6x2 −3x−6
−
=
−
=
2−x x+2
4−x2
4−x2
4−x2
5x − 1 2 x − 1
5 x − 1 2 x3 − x 2 x 4 x 4 − 2 x3 + x 2 + 5 x − 1
f)
−
+
x
=
−
+ 3 =
x3
x
x3
x3
x
x3
e)
59.
2 3 4 2 x 2 3x 4 2 x 2 + 3x − 4
a) + 2 − 3 = 3 + 3 − 3 =
x x
x
x
x
x
x3
b)
x −1 3
1
2 x3 − 2 x 2 6 x
1
2 x3 − 2 x 2 + 6 x − 1
+ 2− 3=
+
−
=
2x 2x 4x
4 x3
4 x3 4 x3
4 x3
60.
x 1
x2
x + 2 x2 − x −2
− =
−
=
a)
x + 2 x x2 + 2x x2 + 2x x2 + 2x
b)
x + 4 3x + 1 ( x + 4) ⋅ (2 x − 1) (2 x − 1) ⋅ (3 x + 1) 2 x 2 + 7 x − 4 − (6 x 2 − x − 1) −4 x 2 + 8 x − 3
−
=
−
=
=
2 x − 1 2 x + 1 (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1)
(2 x − 1) ⋅ (2 x + 1)
4x2 − 1
2x x −3 2x⋅( x +3) ( x −3) x2 +12x −9
c)
−
= 2
− 2
= 2
x −3 x + 3
x −9
x −9
x −9
2
d)
x + 3 3x2 −1 x ⋅ (x + 3) 3x2 −1 4x2 + 3x −1
+ 2 =
+ 2 =
x
x
x2
x
x2
125
61.
a)
2
5x
2
5x⋅ (x −1) −5x2 +5x + 2
−
=
−
=
x2 −1 x +1 (x −1)⋅ (x +1) (x −1)⋅ (x +1)
x2 −1
3x −1 2x2 −5x 3⋅ (3x −1) 2x2 −5x −2x2 +14x −3
b)
−
=
−
=
2x −1 6x −3 3⋅ (2x −1) 3⋅ (2x −1)
6x −3
c)
1
1
2x + 3
2x − 3
6
−
=
−
= 2
2 x − 3 2 x + 3 (2 x − 3) ⋅ (2 x + 3) (2 x − 3) ⋅ (2 x + 3) 4 x − 9
d)
x +2 1
(x − 2) ⋅ (x + 2)
1
x2 −3
+ 2 =
+
=
x −2 x −4
(x2 − 4)
(x2 − 4) x2 − 4
e)
x + 5 3x +1 x + 5 2⋅ ( 3x +1) 7x + 7
+
=
+
=
2x + 6 x + 3 2x + 6 2x + 6 2x + 6
f)
x2 + 3x − 2
3x − 2 x 3x − 2 x2
+
=
+
=
x2 − x x −1 x2 − x x2 − x
x2 − x
62.
x − 1 x + 1 ( x − 1) 2 + x ⋅ ( x + 1) 2 x 2 − x + 1
a)
⋅
=
=
x x −1
x ⋅ ( x − 1)
x2 − x
b)
x −1 x − 2
( x − 1) ⋅ ( x − 2)
x−2
⋅ 2
= 2
= 2
x + 1 x − x x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) x ⋅ ( x + 1)
2x −1
1
(2x −1)⋅(x−3)2 2x2 −7x+3
=
=
c) 2
:
x −3x x2 −6x+9
x⋅(x−3)
x
d)
x−2 x +2 x −2
:
=
5−3x 5−3x x +2
e)
3a − b a2 − b2 (3a − b) ⋅ (a + b) ⋅ (a − b)
a+b
⋅
=
=−
b − a 6a − 2b
−(a − b) ⋅ 2 ⋅ (3a − b)
2
63.
1 ⎞ x − 1 x 2 − 1 x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) 2 ⋅ x
⎛
a) ⎜ x − ⎟ : 2
=
: 2
=
= ( x + 1) 2
x
x
+
x
x
x
+
x
x
⋅
(
x
−
1)
⎝
⎠
126
6 − x2 x − 6
(6 − x 2 ) ⋅ ( x − 4) ⋅ x (6 − x 2 ) ⋅ ( x − 4)
⎛ 2 x⎞ x−6
b) ⎜ − ⎟ : 2
=
: 2
=
=
3x x − 4 x
3 x ⋅ ( x − 6)
3( x − 6)
⎝ x 3 ⎠ x − 4x
c)
x3 x2 − 4x + 3
x3 ⋅ ( x −1) ⋅ ( x − 3)
( x − 3)
⋅
=
=
2
4
3
3
x − 1 x − 5x
( x −1) ⋅ ( x + 1) ⋅ x ⋅ ( x − 5) ( x + 1) ⋅ ( x − 5)
x −1 ⎞ x
( x +1) ⋅ ( x2 − x − 2) − ( x −1) ⋅ ( x2 + x − 2)
x
⎛ x +1
− 2
=
=
d) ⎜ 2
:
: 2
⎟ 2
2
2
( x + x − 2) ⋅ ( x − x − 2)
x −4
⎝ x + x−2 x − x−2⎠ x −4
−4
−4 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2)
−4
x
=
=
=
:
( x −1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x +1) ( x + 2) ⋅ ( x − 2) x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x +1) x ⋅ ( x −1) ⋅ ( x + 1)
64.
2x3 + 6x2 + 4x
x 2 − 5x + 6
2x ⋅ ( x +1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 3)
2( x + 2) ⋅ ( x − 3)
⋅
=
= 2
2
6
5
4
3
2
3
2
x − 4x + 4 x + 5x + 7x + 3x
( x − 2) ⋅ x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3)
x ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x +1) ⋅ ( x + 3)
65.
3x ⎞
3x −1
5x ⋅ (1+ 2x) − 3x ⋅ (1− 2x) 3x −1
2x ⋅ (8x +1) ⋅ (1− 2x)2
2x ⋅ (8x + 1) ⋅ (1− 2x)
⎛ 5x
−
=
=
=
:
:
⎜
⎟
2
2
(1− 2x) ⋅ (1 + 2x)
(1− 2x) (1− 2x) ⋅ (1+ 2x) ⋅ (3x −1)
(1+ 2x) ⋅ (3x −1)
⎝ 1 − 2 x 1 + 2x ⎠ 4 x − 4x + 1
66.
a)
b)
−15x3 − 4x2 − 4
x−2
5x x2 − 4 x − 2
5x ⋅ (3x +1)
(x + 2) ⋅ (x − 2)
5x2 ⋅ (3x +1)
−
=
−
=
−
=
:
x3 − 4x x + 2 3x +1 x3 − 4x (x + 2)2 ⋅ (x − 2) x ⋅ (x + 2)2 ⋅ (x − 2) x ⋅ (x + 2)2 ⋅ (x − 2) x4 + 2x3 − 4x2 −8x
x + 3 x +1 2x +1 (x + 3) ⋅ (x + 2) − (x +1) + (2x +1) ⋅ (x − 2) 3x2 + 3x + 3
−
+
=
=
x − 2 x2 − 4 x + 2
x2 − 4
x2 − 4
x −1 x + 3
2x
(x −1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 2) (x + 3) ⋅ (x − 2)2
2x ⋅ (x + 2)
2x3 − 4x2 −18x +10
c)
+
−
=
+
−
= 3
x − 2 x + 2 x2 − 4x + 4
(x + 2) ⋅ (x − 2)2
(x + 2) ⋅ (x − 2)2 (x + 2) ⋅ (x − 2)2
x − 2x2 − 4x + 8
67.
x ⋅ (x +1) + x −1
x
1
+
2
2
x −1 x +1 = (x −1) ⋅ (x +1) = (x −1) ⋅ (x + 2x −1) = x + 2x −1
x
x
(x −1) ⋅ (x +1) ⋅ x
x2 + x
x −1
x −1
127
PÁGINA 75
128
SOLUCIONES__________________________________________________________________
68.
El área de un cuadrado es A = l2 Si el lado del cuadrado grande mide 50cm, entonces su área será: A1
= 502 =2500cm2
Cada uno de los cuadrados de las esquinas tienen un área de A2 = x2, por lo tanto, el área de nuestra
caja es A = A1 – 4A2 = 2500 – 4x2 cm2
El volumen de un paralelepípedo de base cuadrada es V = h·l2, en nuestro caso:
V = x·(2500 – 4x2) = 2500x – 4x3 cm3
69.
La longitud de la circunferencia es L = 2πr. En nuestro caso el radio de la circunferencia es la mitad
del lado del cuadrado, por tanto, su longitud es L = 2πr = πx unidades.
x2 2
u.
En el caso del área, la definimos como A = πr = π
4
2
70.
Definamos x como la edad de mi hija e y, mi edad, entonces:
‘’La edad de mi hija es la mitad de la que yo tenía hace siete años…’’
‘’… y mi hija tendrá 23 dentro de 6 años.’’ x + 6 = 23
x=
y−7
2
71.
bh xy 2
=
u
2
2
bh (2 x − 1) ⋅ y 2 xy − y
y
El área del triángulo morado es: At2 =
=
=
= xy − u2
2
2
2
2
xy
y 3xy − y 2
Así, el área total es At1 + At2 =
u
+ xy − =
2
2
2
El área del triángulo rosa es: At1 =
72.
a) La primera condición nos dice que el polinomio es divisible entre x – 2, por lo tanto, podemos
escribir nuestro polinomio de la forma: P(x) = Q(x)·(x – 2)
b) Con la segunda propiedad nos aseguramos que otro de los factores es (x + 1), es decir, nuestro
polinomio quedaría: P(x) = R(x)·(x – 2) ·(x + 1)
c) La tercera condición nos conduce a aplicar el teorema del resto: P(-5) = -3
3
Así: P(-5) = R(x)·(-5 – 2) ·(-5 + 1) = 28·R(x) = -3; R(x) = −
28
3
Y uno de los polinomios que cumpliría las tres condiciones sería: P ( x) = − ( x 2 − x − 2)
28
Puesto que no nos están diciendo cuál sería el grado del polinomio no podemos asegurar que exista
una solución única.
129
1.
a) 2 x 3 − 3 x 2 + x − 2 x 2 − 3 x 3 + 2 x − 3 = − x 3 − 5 x 2 + 3 x − 3
b) 2 x − 3 x 4 + 2 x 3 − 3 x + x 4 − 2 x3 − ( x 2 + 3 x) = − 2 x 4 + 2 x3 − x 2 − 4 x
2.
P ( x) = − x3 + 3x 2 − x + 2
a) P (−2) = −(−2)3 + 3 ⋅ (−2) 2 − (−2) + 2 = 24
b) P(1) = −(1)3 + 3 ⋅ (1) 2 − (1) + 2 = 3
c) P(−1) = −(−1)3 + 3 ⋅ (−1) 2 − (−1) + 2 = 7
3.
a) 2 x 3 − 3 x 2 + x − 2 x 2 − 3 x 3 + 2 x − 3 = − x 3 − 5 x 2 + 3 x − 3
b) 2 x − 3 x 4 + 2 x 3 − 3 x + x 4 − 2 x3 − ( x 2 + 3 x) = − 2 x 4 + 2 x3 − x 2 − 4 x
4.
x 4 − 2 x 2 + 1 = ( x 2 − 1) 2
5.
4x
1 4x ⋅ ( x −1) − ( x +1) 4x2 − 5x −1
a)
−
=
=
x +1 x −1
x2 −1
( x +1) ⋅ ( x −1)
b)
x + 2 3x (x + 2)2 + 3x ⋅ (x − 2) 4x2 − 2x + 4
+
=
=
x −2 x +2
(x − 2) ⋅ (x + 2)
x2 − 4
6.
a) P( x) − Q ( x) − 2 R ( x) = ( x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 3x + 2) − (3 x 3 + 2) − (−2 x 4 − 6 x3 ) = 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 3x
b) R(x) −[P(x) − Q(x)] = R(x) − P(x) + Q(x) = (−x4 − 3x3 ) − (x4 − 5x3 + 4x2 − 3x + 2) + (3x3 + 2) = −2x4 + 5x3 − 4x2 + 3x
c) P( x) ⋅ S ( x) − Q( x) ⋅ R( x) = ( x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 3 x + 2) ⋅ (3 x 2 − 2) − (3 x3 + 2) ⋅ (− x 4 + 3x3 ) =
3x 6 − 15 x 5 + 10 x 4 − 19 x 3 − 2 x 2 + 6 x − 4 − (−3x 7 + 9 x 6 − 2 x 4 + 6 x 3 ) =
3x 7 − 6 x 6 − 15 x5 + 12 x 4 − 25 x3 − 2 x 2 + 6 x − 4
7.
P ( x) : Q( x) = (12 x 6 − 17 x5 + 18 x 4 + 6 x3 − 19 x 2 + 26 x − 6) : (3 x 2 − 2 x + 3) =4 x 4 − 3x 3 + 5 x − 3
R ( x) = 5 x + 3
130
8.
P ( x) : Q ( x) = (2 x 5 − 3 x 2 + x) : ( x + 1) = 2 x 4 − 2 x3 + 2 x 2 − 5 x + 6
R ( x) = −6
9.
P ( x) = 2 x5 + 7 x 4 − 3 x3 − 17 x 2 + 5 x + 6 = ( x − 1) 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 3) ⋅ (2 x + 1)
10.
El polinomio que buscamos es de la forma P(x) = k·(x – 1)2 ·(x + 2)
Si el resto de la división entre (x + 3) es 9, entonces, aplicando el Teorema del Resto podemos
9
asegurar que P(-3) = k·(-3 – 1)2 ·(-3 + 2) = 9; k = −
16
9
Así, nuestro polinomio será: P ( x) = − ( x3 − 4 x + 2)
16
131
PÁGINA 76
SOLUCIONES__________________________________________________________________
a)
En este caso, el terreno disponible coincide con el área del arco de circunferencia de radio 15 m
descrito en la figura.
3
675π 2
A = π 152 =
m
4
4
b) Tenemos que calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A1), y los dos cuartos
que quedan en las esquinas (A2).
3
⎫
A1 = π 302 = 675π m 2 ⎪
⎪
4
2
⎬ A = 725π m
1
A2 = π 102 = 50π m 2 ⎪
⎪⎭
4
132
c) En este caso, volvemos a calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A1), y la
del sector circular de radio 3 m y amplitud α = 30º (A2).
Observación: Como el triángulo es equilátero, sus ángulos miden 60º, luego la amplitud de nuestro
sector es de 90º - 60º = 30º.
3
⎫
A1 = π 82 = 48π m 2
⎪⎪
160
4
π m2
⎬A=
30
16
3
A2 =
π 102 = π m 2 ⎪
⎪⎭
360
3
133
Unidad 5 – Ecuaciones e inecuaciones
PÁGINA 78
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Resolver ecuaciones de primer grado.
a)
2 x − 3( x + 5) =2 x − ( x + 3)
2 x − 3 x − 15 =2 x − x − 3
− x − 15 = x − 3
−2 x = 12
x = −6
b)
5 x − 3(2 x − 6) − (3x + 2) = 2 x − 6
5 x − 6 x + 18 − 3 x − 2 = 2 x − 6
−6 x = −22
11
x=
3
c)
2x − 3
x+2
=−
4
8
4x − 6 = −x − 2
5x = 4
d)
2( x − 2) 2 x − 3
−
= x −1
3
6
4x − 8 − 2x + 3 = 6x − 6
x=
4
5
−4 x = −1
x=
1
4
134
Resolver sistemas de ecuaciones.
a)
Método de sustitución.
⎧3x + y = −1
⎨
⎩2 x + 3 y = 4
y = −1 − 3x
2 x + 3(−1 − 3 x) = 4
2x − 3 − 9x = 4
−7 x = 7
x = −1
y=2
b) Método de igualación.
⎧2 x − 3 y = 21
⎨
⎩3x + 5 y = −16
21 − 2 x
−3
−16 − 3x
y=
5
21 − 2 x −16 − 3 x
=
−3
5
105 − 10 x = 48 + 9 x
57 = 19 x
x=3
y = −5
y=
c)
Método de Reducción.
⎧−2 x + 3 y = −6 ⎧10 x − 15 y = 30
→⎨
⎨
⎩5 x − 2 y = −7
⎩−10 x + 4 y = 14
−11 y = 44
y = −4
x = −3
135
PÁGINA 80
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1.
a) +4 y -4 son los dos números que elevados al cuadrado dan 16.
b) 0, porque es el elemento absorbente del producto.
c) 1, porque necesitamos que el paréntesis se anule.
d) Si el producto de dos números es 0, es porque el menos uno de los dos es cero. Entonces, una de las
soluciones es x = 0, y la otra es x = -2, que es el valor de x que anula el paréntesis.
e) Necesitamos elevar 3 a la cuarta potencia para conseguir 81, luego x tiene que tomar el valor 5.
f) x tiene que valer 3.
2. Por definición, a es solución de una ecuación, si al sustituir la incógnita por a, la ecuación se hace cierta.
(1 − (−2) )
2
= (−2) 2 + 5
9 = 4+5
9=9
136
PÁGINA 81
SOLUCIONES_________________________________________________________________
3.
a)
2( x + 2) − 3 x + 1 − (−3 + x) = −5(3 − 2 x) + x
2 x + 4 − 3 x + 1 + 3 − x = −15 + 10 x + x
−13x = −23
23
x=
13
c)
2(− x − 3) 3 − 2 x
3− x
−
= x+
6
18
9
−6 x − 9 3 − 2 x 18 x 6 − 2 x
−
=
+
18
18
18
18
−6 x − 9 − 3 + 2 x = 18 x + 6 − 2 x
−20 x = 18
9
x=−
10
b)
2x − 3 2 − x
=
−1
4
6
12 x − 6 x + 9 = 4 − 2 x − 12
8 x = −17
x−
x=−
17
8
d)
3x 2( x + 5) − 3x 3 − x
1
−
−
+ x− =0
4
10
8
2
30 x 8 x + 40 − 12 x 15 − 5 x 40 x 20
−
−
+
−
=0
40
40
40
40 40
30 x − 8 x − 40 + 12 x − 15 + 5 x + 40 x − 20 = 0
79 x = 75
75
x=
79
137
PÁGINA 82
SOLUCIONES_________________________________________________________________
4. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
ax 2 + bx + c = 0
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de
forma ordenada.
a)
2 x2 − 5x + 3 = 0
5 ± 25 − 24 5 ± 1
=
4
4
3
x1 = , x2 = 1
2
x=
b)
x2 − x − 2 = 0
1± 1+ 8 1± 3
=
2
2
x1 = 2, x2 = −1
x=
c)
( x + 2) ⋅ (2 x + 1) − 5 x = 7
2 x2 + 5x + 2 − 5x − 7 = 0
2 x2 − 5 = 0
x=±
5
2
d)
3 x − ( x + 1) ⋅ ( x − 2) =
3x − x 2 + x + 2 = 0
− x2 + 4x + 2 = 0
x=
−4 ± 16 − 8 −4 ± 2 2
=
= −2 ± 2
2
2
x1 = −2 + 2, x2 = −2 − 2
138
5.
a)
x ⋅ (2 x − 3) − ( x − 2) 2 = 2
b)
x + 4 − (2 x + 1) 2 = 2 x ⋅ ( x − 5)
2 x 2 − 3x − x 2 + 4 x − 4 − 2 = 0
x + 4 − 4 x 2 − 4 x − 1 = 2 x 2 − 10 x
x2 + x − 6 = 0
−6 x 2 + 7 x + 3 = 0
−1 ± 1 + 24 −1 ± 5
=
2
2
x1 = 2, x2 = −3
x=
−7 ± 49 + 72 −1 ± 11
=
−12
−12
5
x1 = − , x2 = 1
6
x=
139
PÁGINA 83
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6. El número de soluciones de una ecuación depende del signo de su discriminante:
∆ = b 2 − 4ac < 0 ⇒ ∃soluciones\
∆ = b 2 − 4ac = 0 ⇒ ∃! solución (solución doble)
∆ = b 2 − 4ac > 0 ⇒ ∃2soluciones
a) No tiene ninguna solución real.
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 9 − 20 < 0
b) Existen dos soluciones diferentes.
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 25 − 24 > 0
c) Existe una solución doble.
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 400 − 400 = 0
7. Para que tengan una solución única doble el discriminante debe ser 0:
a)
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 16 − 20d = 0
4
d=
5
b)
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 9 + 4d = 0
9
d =−
4
8. Para resolver una ecuación bicuadrada: ax 4 + bx 2 + cx = 0
1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z
140
2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: az 2 + bz + c = 0 , de la que obtenemos dos
soluciones: z1, z2.
x1 = ± z1
3.Deshacemos el cambio de variable:
x2 = ± z2
a)
c)
x 4 − 5x 2 − 36 = 0
x2 = z
z 2 − 5z − 36 = 0
12x 4 − 19x 2 = 18 ⇒ 12x 4 − 19x 2 − 18 = 0
x2 = z
12z 2 − 19z − 18 = 0
19 ± 361 + 864 19 ± 35
=
24
24
9
3
3
z1 = ⇒ x1 = , x2 = −
4
2
2
5 ± 25 + 144 5 ± 169 5 ± 13
=
=
2
2
2
z1 = 9 ⇒ x1 = 3, x2 = −3
z=
z2 = −4 ⇒ x3 = x4 = −4
2
2
z2 = − ⇒ x3 = x4 = −
3
3
z=
b)
15x 4 +31x 2 + 10 = 0
x2 = z
15z 2 +31z+10 = 0
z=
−31 ± 961 − 600 −31 ± 19
=
30
30
2
2
z1 = − ⇒ x1 = x2 = −
5
5
5
5
z2 = − ⇒ x3 = x4 = −
3
3
141
PÁGINA 84
SOLUCIONES_________________________________________________________________
9. a)
⎧−x + 5 y = 17
⎨
⎩2x + 3y = 5
x = 5 y −17
2 ⋅ (5 y −17) + 3y = 5
10 y − 34 + 3y = 5
13y = 39
y =3
x = −2
b)
⎧3x − y = −5
⎨
⎩ x + 5 y = −1
y = 3x + 5
x + 5 ⋅ (3x + 5) = −1
x + 15 x + 25) = −1
16 x = −26
x=−
y=
1
8
13
8
c)
⎧4 x + 3 y = 2
⎨
⎩5 x + 2 y = −3
2 − 4x
3
⎛ 2 − 4x ⎞
5x + 2 ⋅ ⎜
⎟ = −3
⎝ 3 ⎠
15 x 4 − 8 x −9
+
=
3
3
3
7 x = −13
y=
x=−
13
33
,y=
7
7
142
PÁGINA 85
SOLUCIONES_________________________________________________________________
10.
a)
⎧3 x + 2 y = 7
⎨
⎩5 x + 3 y = 11
7 − 3x
11 − 5 x
,y=
2
3
7 − 3x 11 − 5 x
=
2
3
21 − 9 x = 22 − 15 x
6x = 1
y=
1
13
x= ,y=
6
4
b)
⎧12 x − 6 y = 1
⎨
⎩ −4 x − 3 y = 8
12 x − 1
−4 x − 8
,y=
6
3
12 x − 1 −4 x − 8
=
6
3
12 x − 1 = −8 x − 16
20 x = −15
y=
3
5
x=− ,y=−
4
3
c)
⎧−2 x + 3 y = −2
⎨
⎩x − 5y = 3
x=
3y
+ 1, x = 5 y + 3
2
3y
+1 = 5y + 3
2
3 y + 2 = 10 y + 6
−7 y = 4
4
1
y = − ,x =
7
7
11.
a)
b)
c)
⎧3x+5y =5 ⎧3x+5y =5
→⎨
⎨
⎩2x+ y =−8 ⎩−10x−5y = 40
⎧3x+8y=−5 ⎧3x+8y=−5
→⎨
⎨
5
4
17
x
y
−
=−
⎩
⎩10x−8y=−34
⎧4x+3y = 2
⎧−20x−15y =−10
→⎨
⎨
⎩20x+36y =3 ⎩20x+36y =3
−7x = 45
13x=−39
21x =−7
45 34
x =− , y =
7
7
1
x=−3, y=
2
x =−3, y =
14
3
143
PÁGINA 86
SOLUCIONES_________________________________________________________________
12.
a) − x + 5 > 3 x − 2
−4 x > −7
x<
7
7⎞
⇒ x ∈ (−∞, ⎟
4
4⎠
b) 3x − 5 > − x + 5
4 x > 10
x>
5
⎛5
⇒ x ∈ ⎜ , +∞)
2
⎝2
x 2x
x
−
≤ −1 +
4 3
6
− 5 x ≤ −12 + 2 x → −7 x ≤ −12
d)
x≥
12
⎛ 12
⇒ x ∈ ⎜ , +∞ )
7
⎝7
2 − x 3x + 2 x − 2
−
<
−1
3
6
2
4 − 2 x − 3x − 2 < 3x − 6 − 6
e)
− 8 x < −14
x>
3x − 2 x + 2
−
≥x
4
8
5x − 6 ≥ 8x
−3 x ≥ 6
7
⎛7
⇒ x ∈ ⎜ , +∞ )
4
⎝4
2 x − 3( x + 1) 2 x + 1
−
> x+2
5
2
4 x − 6 x − 6 − 10 x − 5 > x + 2
− 11x > 13
c)
f)
x ≤ −2 ⇒ x ∈ (−∞, −2 )
x<−
13
13 ⎞
⇒ x ∈ (−∞, − ⎟
11
11 ⎠
144
PÁGINA 87
SOLUCIONES_________________________________________________________________
13.
a)
7
⎧
<
x
⎧−3 x + 5 > 7 x − 2 ⎧−10 x > −7 ⎪⎪ 10
⎡ 1 7⎞
→⎨
→⎨
⇒ x ∈ ⎢− , ⎟
⎨
⎣ 2 10 ⎠
⎩5 x − 3 ≥ −4 + 3 x
⎩ 2 x ≥ −1
⎪x ≥ − 1
⎪⎩
2
b)
⎧2( x − 3) − 5 x ≥ −2 x + 22
⎧ x ≤ −28
⎧ − x ≥ 28 ⎪
⎪
⎡1
⎞
→⎨
→⎨
⎨2 − x
1 ⇒ x ∈ ( −∞, −28] ∪ ⎢ , +∞ ⎟
x≥
⎣2
⎠
⎩2 x ≥ 1
⎪⎩ 3 ≥ − x + 1
2
⎩⎪
c)
⎧ x ≤ −1
⎧−2( x + 2) − 5 x ≥ 4 − (5 x + 6) ⎧−2 x ≥ 2 ⎪
→⎨
→⎨
5 ⇒ x ∈ ( −∞, −1]
⎨
⎩2 x − (4 x − 5) ≤ 2(3 − 2 x) + 5 ⎩6 x ≤ 10
⎪⎩ x ≤ 3
d)
⎧x < 2
⎧x < 2
→⎨
⇒ x ∈ ( −∞,1]
⎨
⎩ −3 x + 1 ≥ − 2 ⎩ x ≤ 1
145
PÁGINA 90
146
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Ecuaciones de primer grado.
14.
a)
b)
−(− x + 3) + 4 ⋅ [2 x − (5x + 1)] − 3x = 1 − 5 ⋅ (2 − x)
x − 3 − 12 x − 4 − 3x = 1 − 10 + 5x
−19 x = −2
2
x=
19
3x − (3 − 5x) + 4 ⋅ (−2 x + 5) = −3 − 2 ⋅ ( x − 5)
3x − 3 + 5x − 8x + 20 = −3 − 2 x + 10
2 x = −10
x = −5
c)
d)
−2 ⋅ (3x − 1) 3x + 2
−
= −x +1
3
6
−12 x + 4 − 3x − 2 = −36 x + 6
21x = 8
8
x=
21
5− x
−2 + ( x − 3)
=−
3
2
−10 + 2 x = −15 + 3 x
x=5
e)
3 ⋅ (5 x + 1) 3x + 2 1
−
= x −1
4
8
2
16 x − 30 x − 6 − 3 x − 2 = 4 x − 8
2x −
−21x = 0
x=0
15.
a)
2 x − 4 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 3) = 3x − (2 x − 1)2
b)
−( x + 3) ⋅ (2 x + 1) + (2 x − 3)2 = (− x − 2) ⋅ (2 − x) + x2
2 x − 4 x2 + 4 x + 24 = 3x − (4 x2 − 4 x + 1)
−2 x2 − 7 x − 3 + 4 x2 − 12 x + 9 = −4 + 2 x2
−4 x2 + 6 x + 24 = −4 x2 + 7 x − 1
−19 x + 10 = 0
6 x + 24 = 7 x − 1
x = 25
x=
10
19
c)
x2 − ( x + 3) ⋅ ( x − 3) = x2 − 1 − ( x + 2)2
x2 − x2 + 9 = x2 − 1 − x2 − 4 x − 4
4 x + 14 = 0
x=
7
2
147
Ecuaciones de segundo grado.
16.
a) No tiene ninguna solución real.
∆ = b 2 − 4ac
c) No tiene ninguna solución real.
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 9 − 40 < 0 ⇒ ∃soluciones\
∆ = 4 − 8 < 0 ⇒ ∃soluciones\
b) Existen dos soluciones diferentes.
− x ⋅ (2 x + 1) = 3 x 2 + x − 2
d) Existen dos soluciones diferentes.
x2 + 2 x − 2 = 0
2 x 2 − 4 x + x 2 = 3x
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 4 + 8 > 0 ⇒ 2 soluciones.
3x 2 − 7 x = 0
x=
∆ = b 2 − 4ac
∆ = 49 > 0 ⇒ 2 soluciones.
−2 ± 4 + 8 −2 ± 2 3
=
2
2
x1 = 0, x2 =
x1 = −1 + 3, x2 = −1 − 3
17.
a)
(−x +1) ⋅ (x +1) + 2x ⋅ (x − 2) = 2x − (x − 3)2
7
3
b)
8x2 + (x + 3)2 − (2x −1) ⋅ (2x +1) = (2x + 3)2
x2 − 6x + 5 = 0
∆ = 36 − 20 = 16 > 0 ⇒ 2soluciones.
−x2 − 6x +1 = 0
∆ = 36 + 4 = 40 > 0 ⇒ 2soluciones.
c)
2x − (x +1)2 = −x ⋅ (x − 2) + (x +1)2
d)
(x − 2)2 + x ⋅ (2x −1) = (x +1) ⋅ (x −1)
x2 + 4x + 2 = 0
∆ = 16 − 8 = 8 > 0 ⇒ 2soluciones.
2x2 − 5x + 5 = 0
∆ = 25 − 40 = −15 > 0 ⇒ ∃soluciones
18. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
ax2 +10x +1 = 0
∆ = 100 − 4a = 0
a = 25
19. Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante debe ser nulo:
4x2 + ax + 9 = 0
∆ = a2 −144 = 0
a = ±12
148
20. El valor de la x en una ecuación de segundo grado completa viene dada por:
ax 2 + bx + c = 0
−b ± b 2 − 4ac
2a
Si la ecuación de segundo grado es incompleta vamos transponiendo los términos según las reglas y de
forma ordenada.
x=
a)
6 x 2 + 3x − 45 = 0
−9 ± 9 + 1080 −9 ± 33
=
12
12
7
x1 = 2, x2 =
2
d)
−10 x 2 + 23x − 12 = 0
−23 ± 529 − 480 −23 ± 7
=
−20
−20
4
3
x1 = , x2 =
5
2
x=
x=
b)
e)
2
3 x − 10 x + 8 = 0
10 ± 100 − 96 10 ± 2
=
6
6
4
x1 = 2, x 2 =
3
x=
c)
6x2 − x − 2 = 0
1 ± 1 + 48 1 ± 7
=
12
12
2
1
x1 = , x2 = −
3
2
x=
21.
a)
2
3x − 5 x = 0
x ⋅ (3x − 5) = 0 → x = 0,3 x − 5 = 0
x1 = 0, x2 =
b)
5
3
3 2 1
1
x + x = − → −3x2 + 5 x + 2 = 0
10
2
5
−5 ± 25 + 24
−5 ± 7
x=
=
−6
−6
−
x1 = −
1
, x2 = 2
3
f)
20 x 2 + 7 x − 60 = 0
x=
−7 ± 49 + 4800 −7 ± 4849
=
40
40
x1 =
−7 + 4849
−7 − 4849
, x2 =
40
40
c)
−5 x 2 + 20 x = 0
5 x ⋅ (− x + 4) = 0 → 5 x = 0, − x + 4 = 0
x1 = 0, x2 = 4
d)
149
6 2
x + 17 = 0
5
85
x2 =
6
−
−3 x 2 + 15 = 0
x2 = 5
x1 = 5, x2 = − 5
x1 =
22.
a)
85
, x2 = −
6
c)
2x − (2x −1) ⋅ (x + 4) = (x − 2)2
(x−2)⋅(2x−5) = x⋅(x−9)
−3x2 − x = 0
x2 +10=0⇒x = −10 ⇒ ∃soluciones\
−x ⋅ (3x +1) = 0 →−x = 0,3x +1 = 0
x1 = 0, x2 = −
b)
(2x − 3) − (x − 3) ⋅ (x + 3) = 6
−x2 + 2x = 0
x ⋅ (−x + 2) = 0 → x = 0, −x + 2 = 0
1
3
d)
6 − x ⋅ (3x − 5) = 2 − (x − 4)2 − 3x
−2x2 + 20 = 0 → x2 = 10
x1 = 10, x2 = − 10
x1 = 0, x2 = 2
23.
a)
c)
(x − 3)2 + (x − 3) ⋅ (x + 3) = 3 − 7x
x2 + x = 0
x ⋅ (x +1) = 0 → x = 0, x +1 = 0
x1 = 0, x2 = −1
b)
85
6
−2x2 −16x − 5 = 0
x=
16 ± 256 − 40 16 ± 6 6
=
−4
−4
x1 = −1−
2
3 6
3 6
, x2 = −1+
2
2
d)
(2x + 5) + 6x = 49 − (2x − 3)
7 − (2x − 3)2 − (2x −1)2 = 2x
8x2 +14x −15 = 0
−8x2 +14x − 3 = 0
x=
2
(3x +1) − (x − 2) ⋅ (x + 2) − (x + 8)2 = 3⋅ (x −18)
14 ± 196 + 480 14 ± 26
=
16
16
5
3
x1 = , x2 = −
2
4
x=
−14 ± 196 − 96 −14 ±10
=
−16
−16
1
3
x1 = , x2 =
4
2
150
24. Para resolver una ecuación bicuadrada:
ax 4 + bx 2 + cx = 0
1.Hacemos un cambio de variable: x2 = z
2.Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda: az 2 + bz + c = 0 , de la que obtenemos dos
soluciones: z1, z2.
x1 = ± z1
3.Deshacemos el cambio de variable:
x2 = ± z2
a)
3x 4 − 2 x 2 − 8 = 0
x2 = z
3z 2 − 2z − 8 = 0
2±
z=
4 + 96 5 ± 10
=
6
6
5
⇒ x1 =
2
z1 =
z2 = −
5
5
, x2 = −
2
2
5
5
⇒ x3 = x 4 = −
6
6
b)
10x 4 -3x 2 − 4 = 0
x2 = z
10z 2 - 3z - 4 = 0
3±
z=
z1 =
9 + 160 3 ± 13
=
20
20
4
2 5
2 5
⇒ x1 =
x2 = −
5
5
5
z2 = −
1
1
⇒ x3 = x 4 = −
2
2
c)
4x 4 − 25x 2 + 36 = 0
x2 = z
4z 2 − 25z + 36 = 0
z=
25 ± 625 + 576 25 ± 1201
=
8
8
z1 =
25 + 1201
25 + 1201
25 + 1201
, x2 = −
⇒ x1 =
8
8
8
z2 =
25 − 1201
25 − 1201
⇒ x3 = x4 =
8
8
151
d)
5x 4 − 100 = 0
x = 4 20
e)
−3 x 4 +7x 2 = 0
x 2 ⋅ (−3x 2 +7) = 0 → x 2 = 0, −3 x 2 +7=0
x1 = 0, x2 =
z2 =
7
7
, x3 = −
3
3
25 − 1201
25 − 1201
⇒ x3 = x4 =
8
8
f)
4x 4 + 29x 2 + 45 = 0
x2 = z
4z 2 + 29z +45 = 0
z=
− 29 ± 841 − 720 − 29 ± 11
=
8
8
z1 = −
9
9
⇒ x1 = x 2 = −
4
4
z 2 = − 5 ⇒ x3 = x 4 = − 5
25.
a) (15 x 4 − 12 x 2 − 5 x 2 + 4 ) − ( 8 x + 16 x 2 − 4 − 8 x ) = ( −2 − 2 x 2 )
(15 x
4
− 17 x 2 + 4 ) − (16 x 2 − 4) = −2 − 2 x 2
15 x 4 − 33x 2 + 8 = −2 − 2 x 2
15 x 4 − 31x 2 + 10 = 0
z = x2
15 z 2 − 31z + 10 = 0
+31 ±
( −31)
2
− 4·15·10
31 ± 961 − 600 31 ± 361
=
=
2·15
30
30
31 ± 19
31 + 19 50 5
=
→ z1 =
=
=
30
30
30 3
31 − 19 12 2
z2 =
=
=
30
30 5
z=
x12 =
5
5
→ x1 = ±
3
3
Soluciones : +
=
x22 =
2
2
→ x2 = ±
5
5
5
5
2
2
,− ,+ ,−
3
3
5
5
152
b)(4 x 4 + 4 x 2 + 1) − x 2 ( x 2 − 3 x + 3x − 9) − ( x 4 + 6 x 2 ) = 22 + 6 x 2
4 x 4 + 4 x 2 + 1 − x 4 + 3x 3 − 3 x3 + 9 x 2 − x 4 − 6 x 2 = 22 + 6 x 2
2 x 4 + 7 x 2 + 1 = 22 + 6 x 2
2 x 4 + x 2 − 21 = 0
z = x2
2 z 2 + z − 21 = 0
−1 ± 12 − 4·2·(−21) −1 ± 1 + 168
=
=
2·2
4
−1 ± 169 −1 ± 13
−1 + 13
=
=
→ z1 =
=3
4
4
4
7
−14
z2 =
=−
4
2
2
x1 = 3 → x1 = ± 3
z=
x22 = −
7
2
No existen soluciones reales para x2
Soluciones: + 3 ,- 3
26.
a)
⎧3x + 5 y = 3
⎨
⎩−10 x + 5 y = −23
3 − 3x
−23 + 10 x
,y=
5
5
3 − 3x −23 + 10 x
=
5
5
13x = 26
y=
x = 2, y = −
3
5
c)
⎧4 x + 3 y = 2
⎪
⎨
3
⎪⎩−2 x + 2 y = 4
2 − 3y
3
x=
, x = −2 + y
4
4
2 − 3y
3
= −2 + y
4
4
2 − 3 y = −8 + 3 y
6 y = 10
5
3
y = ,x = −
3
4
153
b)
5
⎧
⎪2 x − 3 y = −
4
⎨
⎪⎩− x = 1 − 2 y
5
x = − + 3 y , x = −1 + 2 y
4
5
− + 3 y = −1 + 2 y ;
− 5 + 12 y = −4 + 8 y
4
4y =1
1
1
y= ,y=−
4
2
d)
⎧15 x − 10 y = −15
⎨
⎩−21x + 14 y = −2
10 y
14 y + 2
− 1, x =
15
21
70 y − 105 = 70 y + 10
−105 = 10
x=
∃ soluciones.
154
PÁGINA 91
155
SOLUCIONES_________________________________________________________________
27.
a)
c)
⎧− x + 3 y = 5
⎪
⎨
20
⎪⎩2 x − y = − 3
x = −5 − 3 y
2 ⋅ (−5 − 3 y ) − y = −
−10 − 6 y − y = −
−7 y =
y=−
b)
10
3
20
3
20
3
10
25
,x = −
21
7
7
⎧x
⎪ +y=−
4
⎨2
⎪⎩3 x + 8 y = −9
7 x
y=− −
4 2
7 x
3 x + 8 ⋅ ( − − ) = −9
4 2
3 x − 14 − 4 x = −9
3
x = −5, y =
2
28.
a)
⎧3x−2y =−21 ⎧3x−2y =−21
→⎨
⎨
⎩−x+2y =11 ⎩−3x+6y =33
4y =12
x =−5, y =3
7
⎧
⎪2x − y = −
4
⎨
⎪⎩−3x = 3 − 2 y
7
y = 2x −
4
7⎞
⎛
−3x = 3 − 2 ⋅ ⎜ 2x − ⎟
4⎠
⎝
7
−3x = 3 − 4x +
2
13
45
x= ,y=
2
4
d)
⎧0'5x − 0'2 y = −2'3
⎨
⎩−0'3x + 0'5 y = 2'9
−2'3 + 0'2 y
0'5
−0'3⋅ (−5 − 3y) + 0'5 y = 2'9
1'4 y = 1'4
x=
y = 1, x = −4'2
c)
8 ⎧
8
⎧
⎧−18x+45y = 24
⎪−2x+5y =
⎪−2x+5y =
3 →⎨
3 →⎨
⎨
⎪⎩9x =7−6y ⎪⎩9x+6y =7 ⎩18x+12y =14
57x =38
2 1
x= , y=
3 6
156
b)
d)
⎧5x +3y =−7 ⎧10x + 6y =−14
→⎨
⎨
⎩2x −5y = 7 ⎩−10x + 25y =−35
31x =−49
x =−
49
63
,y=
31
31
⎧ 0 '5 x − 0 '3 y = − 2 '9
→
⎨
⎩ 0 '3 x + 0 '1 y = − 0 '3
0 '14 x = − 0 '38
x = − 2 ' 71, y = 5 '14
29.
a)
⎧ x y − 11
⎪− =
6
⎨ 2
⎪⎩2 x − 4 = 5 y
11 − y
3
⎛ 11 − y ⎞
2⋅⎜
⎟ − 4 = 5y
⎝ 3 ⎠
17 y = 10
x=
y=
⎧ 0 ' 05 x − 0 ' 03 y = − 0 ' 29
⎨
⎩ 0 ' 09 x + 0 ' 03 y = − 0 ' 09
10
59
,x =
17
17
c)
⎧2x +1 = − y
⎪
⎨
15
⎪⎩3x − 2 y = 4
−2x −1 = y
3x − 2 ⋅ (−2x −1) =
7
4
1
3
x= ,y=−
4
2
15
4
7x =
b)
d)
11'6 + 3x
, y = 3'1 − 2 x
5
11'6 + 3x
= 3'1 − 2 x
5
13x = 3'9
⎧0'8 x + y = −1'35
⎧2 x + 2'5 y = −3'375
→⎨
⎨
⎩0'3x − 2'5 y = −1'225 ⎩0'3x − 2'5 y = −1'225
⎧3x − 5 y = −11'6
⎨
⎩2 x + y = 3'1
y=
2'3x = −4'6
x = −2, y = 0'73
x = 0 '3, y = 2 '5
Inecuaciones lineales con una incógnita.
30.
a)5 x − 3 > −2 + 7 x
1
1
−2 x > 1 → 2 x < −1 → x < − → x ∈ (−∞, − )
2
2
157
b)3 − (2 − 5 x) ≤ −3x + 4
3 − 2 + 5 x ≤ −3x + 4
5 x + 1 ≤ −3x + 4 → 8 x ≤ 3 → x ≤
3
3⎤
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, ⎥
8
8⎦
⎝
c)2 x − 3(2 − x) ≥ −3 x + 6
2 x − 6 + x ≥ −3 x + 6
12
6 x ≥ 12 → x ≥ = 2 → x ≥ 2 → x ∈ [ 2, ∞ )
6
d ) − 2 x + 3 − 2(3 x + 1) − 4 > 0
−2 x + 3 − 6 x − 2 − 4 > 0
3
3⎞
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, ⎟
8
8⎠
⎝
e)3 x + 2 − (2 − 3x) ≤ 7 x − 5
3x + 2 − 2 + 3x ≤ 7 x − 5
−8 x > −3 → 8 x < 3 → x <
− x ≤ −5 → x ≥ 5 → x ∈ [5, ∞ )
31.
2x −1
> x −3
a)
4
2 x − 1 > 4( x − 3)
2 x − 1 > 4 x − 12
−2 x > −11 → 2 x < 11 → x <
11
11 ⎞
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, ⎟
2
2⎠
⎝
−3 x + 1 x + 5
−
≥ x +1
2
6
3(−3x + 1) − ( x + 5)
≥ x +1
6
−9 x + 3 − x − 5
−10 x − 2
≥ x +1 →
≥ x +1
6
6
−10 x − 2 ≥ 6( x + 1) → −10 x − 2 ≥ 6 x + 6 → −16 x ≥ 8 → 16 x ≤ −8 →
b)
1⎤
⎛ 8⎞
⎛ 1⎞ ⎛
→ x ≤ ⎜ − ⎟ → x ≤ ⎜ − ⎟ → ⎜ −∞, − ⎥
2⎦
⎝ 16 ⎠
⎝ 2⎠ ⎝
158
1
2(1 − x)
> 2x −1
( −2 x + 1) +
5
3
2
1 2 2x
− x+ + −
> 2x −1
5
5 3 3
( 6 + 10 ) x + ( 3 + 10 ) > 2 x − 1
−
15
15
−16 x + 13
> 2 x − 1 → −16 x + 13 > 15(2 x − 1) → −16 x + 13 > 30 x − 15 →
15
28 14
14
⎛ 14 ⎞
→ −46 x > −28 → 46 x > 28 → x >
=
→x>
→ x∈⎜ ,∞⎟
46 23
23
⎝ 23 ⎠
3 − 2( x − 2) 1 + 3(2 − x)
3x − 1
d)
−
≤−
6
4
12
6 − 4( x − 2) 3 + 9(2 − x)
3x − 1
−
≤−
12
12
12
6 − 4 x + 8 − 3 − 18 + 9 x ≤ 1 − 3 x → 5 x − 7 ≤ 1 − 3x → 8 x ≤ 8 → x ≤ 1
c)
x ∈ (1, ∞ ]
32.
2
x( x + 2)
⎛x
⎞
a) ⎜ − 3 ⎟ + 3x − 1 ≤
4
⎝2 ⎠
x2
x2 + 2x
− 3x + 9 + 3x − 1 ≤
4
4
2
x − 12 x + 36 + 12 x − 4 x 2 + 2 x
≤
4
4
32 ≤ 2 x → 16 ≤ x → x ∈ ( −∞,16]
2
3⎞
⎛
b) ⎜ 2 x − ⎟ − ( 2 x + 1)( 2 x − 3) ≥ 0
2⎠
⎝
9
4 x 2 − 6 x + − ( 4 x 2 − 6 x + 2 x − 3) ≥ 0
4
9
4 x2 − 6 x + − 4x2 + 6 x − 2 x + 9 ≥ 0
4
45
−8 x + 45
45
−2 x +
≥0→
≥ 0 → −8 x + 45 ≥ 0 → 45 ≥ 8 x → x ≤
4
4
8
45 ⎤
⎛
x ∈ ⎜ −∞, ⎥
8⎦
⎝
159
2
1 ⎞⎛
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
c) ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ − ⎜ x + ⎟ < 0
2 ⎠⎝
2⎠ ⎝
4⎠
⎝
1 ⎛
1
1⎞
1
1
1
x2 − − ⎜ x2 + x + ⎟ < 0 → x2 − − x2 − x − < 0
4 ⎝
2
16 ⎠
4
2
16
−8 x − 5
1
(4 + 1)
− x−
<0→
< 0 → −8 x < 5 → 8 x > −5 →
2
16
16
5
⎛ 5 ⎞
x > − → x ∈⎜ − ,∞⎟
8
⎝ 8 ⎠
7
d ) − x + 5 > 3x − 2 → 7 > 4 x → x <
4
3 x − 2 ≤ x + 12 → 2 x ≤ 14 → x ≤ 7
7⎞
⎛
x ∈ ⎜ −∞, ⎟
4⎠
⎝
e) − 2( x + 1) ≤ 1 − 3( x + 2) → −2 x − 2 ≤ 1 − 3 x − 6 → x ≤ −3
1 + (2 x − 1) ≥ 3 x − 4 → 2 x ≥ 3 x − 4 → x ≤ 4
x ∈ ( −∞, −3]
f )2 x − 1 > − x + 3 → 3 x > 4 → x >
x + 2 ≤ 2 x + 5 → x ≥ −3
4
3
⎛4 ⎞
x∈⎜ ,∞⎟
⎝3 ⎠
33.
a)( x − 2)( x + 2) > ( x + 3) 2
x 2 + 2 x − 2 x − 4 > x 2 + 6 x + 9 → −4 > 6 x + 9 → −13 > 6 x → x < −
13
→
6
13 ⎞
⎛
x ∈ ⎜ −∞, − ⎟
6⎠
⎝
b)(2 x − 1)( x − 2) ≤ ( x + 1) 2 + ( x − 1) 2
2 x2 − 4 x − x + 2 ≤ x2 + 2 x + 1 + x2 − 2 x + 1
2 x 2 − 5 x + 2 ≤ 2 x 2 + 2 → −5 x + 2 ≤ 2 → − 5 x ≤ 0 → 5 x ≥ 0 → x ≥ 0 →
x ∈ [ 0, ∞ )
c)( x + 2)(3 − x) + ( x − 2)( x + 2) > 0
3x − x 2 + 6 − 2 x + x 2 + 2 x − 2 x − 4 > 0
x + 2 > 0 → x > −2 → x ∈ ( −2, ∞ )
160
d ) ( 2 x − 1) − (2 x + 1) 2 ≤ −3
2
4 x 2 − 4 x + 1 − (4 x 2 + 4 x + 1) ≤ −3
4 x 2 − 4 x + 1 − 4 x 2 − 4 x − 1 ≤ −3
−8 x ≤ −3 → 8 x ≥ 3 → x ≥
3
⎡3 ⎞
→ x∈ ⎢ ,∞⎟
8
⎣8 ⎠
e) ( 3 + 4 x )( x + 5 ) − ( 2 x + 3) > 0
2
3x + 15 + 4 x 2 + 20 x − ( 4 x 2 + 12 x + 9 ) > 0
23 x + 15 + 4 x 2 − 4 x 2 − 12 x − 9 > 0
11x + 6 > 0 → 11x > −6 → x > −
6
⎛ 6
⎞
→ x∈⎜− ,∞⎟
11
⎝ 11 ⎠
f ) (1 − 6 x )( x + 3) + 3 ( 2 x 2 − x ) ≥ 0
x + 3 − 6 x 2 − 18 x + 6 x 2 − 3 x ≥ 0
−20 x + 3 ≥ 0 → x ≤
3
3⎤
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, ⎥
20
20 ⎦
⎝
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
34.
a )2 x − 1 > 3 → 2 x > 4 → x > 2 → x ∈ ( 2, ∞ )
3 x + 5 < 20 → 3 x < 15 → x < 5 → x ∈ ( −∞,5 )
x ∈ ( 2,5 )
b)2 x − 3 < 3 → 2 x < 6 → x < 3 → x ∈ ( −∞,3)
1
⎛ 1 ⎞
4 x + 2 < 6 x + 3 → −1 < 2 x → x > − → x ∈ ⎜ − , ∞ ⎟
2
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
x ∈ ⎜ − ,3 ⎟
⎝ 2 ⎠
c)2 − x ≥ 3 x − 2 → 4 ≥ 4 x → x ≤ 1 → x ∈ ( −∞,1]
5
⎛ 5 ⎞
3x − 5 > x − 10 → 2 x > −5 → x > − → x ∈ ⎜ − , ∞ ⎟
2
⎝ 2 ⎠
⎛ 5 ⎤
x ∈ ⎜ − ,1⎥
⎝ 2 ⎦
161
d ) − x + 5 > 3x − 2 → 7 > 4 x → x <
7 ⎛
7⎞
→ ⎜ −∞, ⎟
4 ⎝
4⎠
3 x − 2 ≤ x + 12 → 2 x ≤ 14 → x ≤ 7 → ( −∞, 7 ]
7⎞
⎛
x ∈ ⎜ −∞, ⎟
4⎠
⎝
e) − 2( x + 1) ≤ 1 − 3( x + 2) → −2 x − 2 ≤ 1 − 3 x − 6 → x ≤ −3 → x ∈ ( −∞, −3]
1 + (2 x − 1) ≥ 3x − 4 → 2 x ≥ 3x − 4 → x ≤ 4 → x ∈ ( −∞, 4]
x ∈ ( −∞, −3]
f )2 x − 1 > − x + 3 → 3x > 4 → x >
x + 2 ≤ 2 x + 5 → −3 ≤ x → x ≥ − 3
4
3
⎛4 ⎞
x∈⎜ ,∞⎟
⎝3 ⎠
35.
a)2 x − 5 ≥ 5 x − 3 → 3 x ≤ −2 → x ≤ −
2
2⎤
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, − ⎥
3
3⎦
⎝
x − 2( x + 3) ≥ 1 − 3( x + 1) → x − 2 x − 3 ≥ 1 − 3 x − 3 → 2 x ≥ 1 → x ≥
1
→
2
⎡1 ⎞
x∈ ⎢ ,∞⎟
⎣2 ⎠
Ambos intervalos no tienen puntos en común; por lo tanto, el sistema no tiene solución.
b)3 + 2( x − 3) ≥ −2 + 5 ( x + 2 ) → 3 + 2 x − 6 ≥ −2 + 5 x + 10 → 3 x ≤ −11 →
→x≤−
11
11 ⎤
⎛
→ x ∈ ⎜ −∞, − ⎥
3
3⎦
⎝
5
x − ( x − 3) < 5 + 3(1 + x) → x − x + 3 < 5 + 3 + 3x → 3x > −5 → x > − →
3
⎛ 5 ⎞
→ x ∈⎜ − ,∞⎟
⎝ 3 ⎠
36.
a) − 4 x + 2 ≥ −3 x + 5 → − x ≥ 3 → x ≤ −3 → x ∈ ( −∞, −3]
2x − 3 > 4 → 2x > 7 → x >
7
⎛7 ⎞
→ x∈⎜ ,∞⎟
2
⎝2 ⎠
3
⎛ 3 ⎞
− x + 4 > −3 x + 1 → 2 x > −3 → x > − → x ∈ ⎜ − , ∞ ⎟
2
⎝ 2 ⎠
El sistema no tiene solución, pues los intervalos no tienen puntos comunes.
162
b)3( x + 1) − 2(1 + x) ≤ 7 + 2 x
3x + 3 − 2 − 2 x ≤ 7 + 2 x → x ≥ −6 → x ∈ [ −6, ∞ )
x−4
≥ −2 → x − 4 ≥ −6 → x ≥ −2 → x ∈ [ −2, ∞ )
3
3 − 2x
< 1 → 3 − 2 x < 5 → 2 x > −2 → x > −1 → x ∈ ( −1, ∞ )
5
x ∈ ( −1, ∞ )
163
PÁGINA 92
164
SOLUCIONES_________________________________________________________________
37.
x + ( x + 1) = 35
2 x + 1 = 35 ⇒ x = 17
Solución: El número que buscamos es el 17.
38.
3x + ( x + 1) = 41
4 x + 1 = 41 ⇒ x = 10
Solución: El número que buscamos es el 10.
39.
x 2x
+
= 56
2 3
3x + 4 x = 56 ⋅ 6 ⇒ x = 48
Solución: El número que buscamos es el 48.
40.
2 x + (2 x + 2) = 50
4 x + 2 = 50 ⇒ x = 12
Solución: Los números que buscamos son el 24 y el 26.
41.
(2 x + 1) + (2 x + 3) = 128
4 x + 4 = 128 ⇒ x = 31
Solución: Los números que buscamos son el 63 y el 65.
42.
x = Precio de los lápices.
3x = precio de los cuadernos.
3x + 2(3 x) = 5 − 1' 4
9 x = 3'6 ⇒ x = 0 '4
Solución: Un lápiz cuesta 0'4 euros y un cuaderno 1'2 euros.
165
43.
x = Número de gladiolos.
3x = Número de rosales.
x + 3x = 20 ⇒ x = 5
Solución: Se han sembrado 15 rosales.
44.
x = Dinero que tengo en el bolsillo.
x 2 − 3 x = 10 ⇒ x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇒ x =
x1 = 5
3 ± 9 + 40
2
x2 = −2 → Descartamos esta solución por ser negativa.
Solución: Tengo 5€.
45.
x = Mi edad actual.
x ⋅ ( x − 3) = 4 x ⇒ x 2 − 3x − 4 x = 0 ⇒ x ⋅ ( x − 7) = 0
x1 = 0 → Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.
x2 = 7
Solución: Tengo 7 años.
46.
x x x x
+ + + = x + 20
2 3 4 6
15 x
= x + 20 ⇒ x = 80
12
Solución: El abuelo tiene 80 años.
47.
x = Número de conejos ⇒
x
= Número de gallinas.
2
x
= 110
2
5 x = 110 ⇒ x = 22
4x + 2 ⋅
Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.
166
x = Número de bocadillos de jamón.
y = Número de bocadillos de queso.
⎫⎪
x + y = 150
⎫ x = 150 − y
⎬⇒
⎬ ⇒ y = 66
2 '6 x + 2 '1 y = 357 ⎭ 2 '6 ⋅ (150 − y ) + 2 '1 y = 357 ⎪⎭
Solución: Se vendieron 66 bocadillos de queso y 84 bocadillos de jamón.
49.
x = kilos de café de 7€ el kilo.
y = kilos de café de 11€ el kilo.
⎫⎪
x + y = 25
⎫ x = 25 − y
⎬⇒
⎬ ⇒ y = 20
7 x + 11 y = 235⎭ 7 ⋅ ( 25 − y ) + 11 y = 235⎪⎭
Solución: Se necesitan 5 kilos de café de 7€ el kilo, y 20 kilos de café de 11 € el kilo.
50.
x = Mi edad actual.
( x + 10) = 2 ⋅ ( x − 4)
x + 10 = 2 x − 8 ⇒ x = 18
Solución: Tengo 18 años.
51.
Ana
Lucía
Ernesto
3x
= 77
3x + x +
2
11x = 154 ⇒ x = 14
3x
x
3x/2
Solución: Ana tiene 42 años, Lucía 14 años y Ernesto 21 años.
52.
x = ancho.
2 ⋅ ( x + 3 x) = 65 ⇒ x = 8'125
Solución: El largo mide 24'375 m.
167
43.
x = Número de gladiolos.
3x = Número de rosales.
x + 3x = 20 ⇒ x = 5
Solución: Se han sembrado 15 rosales.
44.
x = Dinero que tengo en el bolsillo.
x 2 − 3 x = 10 ⇒ x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇒ x =
x1 = 5
3 ± 9 + 40
2
x2 = −2 → Descartamos esta solución por ser negativa.
Solución: Tengo 5€.
45.
x = Mi edad actual.
x ⋅ ( x − 3) = 4 x ⇒ x 2 − 3x − 4 x = 0 ⇒ x ⋅ ( x − 7) = 0
x1 = 0 → Descartamos esta solución porque no puedo tener 0 años.
x2 = 7
Solución: Tengo 7 años.
46.
x x x x
+ + + = x + 20
2 3 4 6
15 x
= x + 20 ⇒ x = 80
12
Solución: El abuelo tiene 80 años.
47.
x = Número de conejos ⇒
x
= Número de gallinas.
2
x
= 110
2
5 x = 110 ⇒ x = 22
4x + 2 ⋅
Solución: Hay 22 conejos y 11 gallinas.
48.
168
x = precio de la hora extra en día festivo.
x − 5 = precio de la hora extra en día laboral.
12 ⋅ ( x − 5 ) + 9 = 381 ⇒ x = 21
Solución: El precio de la hora extra en día festivo es de 21€.
59.
x = número de estudiantes incial.
120 x = 200 ⋅ ( x − 2 ) ⇒ 120 x − 200 x = −400 ⇒ x = 5
120 ⋅ 5 = 600
Solución: El alquiler cuesta 600€.
60.
x = precio del cuaderno.
y = precio del lápiz.
5'4 − 6 y
⎫
⎪⎪
4 x + 6 y = 5'4 ⎫
4
⎬⇒
⎬ ⇒ 16 ' 2 − 18 y + 32 y = 20 '4 ⇒ y = 0 '35
3x + 8 y = 5'1 ⎭
⎛ 5'4 − 6 y ⎞
3⋅⎜
⎟ + 8 y = 5'1⎪⎪
4
⎝
⎠
⎭
x=
Solución: Un cuaderno cuesta 0'825€ y un lápiz 0'35€
61.
x = número de monedas auténticas.
200 − x = número de monedas falsas.
15 x + 12 ⋅ ( 200 − x ) = 2610 ⇒ x = 70
Solución: Hay 130 monedas falsas.
169
PÁGINA 93
170
SOLUCIONES_________________________________________________________________
62.
h = altura.
b = 2h + 1 = base.
2 ⋅ ( 2h + 1) + 2h = 44 ⇒ h = 7 ⇒ b = 15
Solución: La altura mide 7 cm y la base 15 cm.
63.
x = número de amigos incial.
25 x = 23 ⋅ ( x − 2 ) ⇒ 25 x − 23x = 46 ⇒ x = 23
23 ⋅ 25 = 575
Solución: El alquiler cuesta 575€.
64.
b = base.
h = 4 + b = altura.
A = b⋅h
b ⋅ ( 4 + b ) = 96 ⇒ b 2 + 4b − 96 = 0 ⇒ b =
b1 = 8 ⇒ h = 12
−4 ± 16 + 384 −4 ± 20
=
2
2
b2 = −12 → Descartamos esta opción por ser negativa.
Solución: La altura mide 12 cm.
65.
2x
= 100
3
9 x + 2 x = 300 − 3
x = 27
2x + x +1+
Solución: Roberto ha puesto 54€; Juan, 27€; y Elena 19€.
Roberto
Juan
Elena
2x
x
1+
2x
3
54€
27€
19€
171
66.
7
m.
30
5
Si en 8 zancadas recorre 5 metros, en cada una avanza m.
8
Sabiendo esto podemos plantear el siguiente sistema, donde p son los pasos y z las zancadas.
Si en 30 pasos recorre 7 metros, en cada paso avanza
7
5 ⎫
p + z⎪
30
8 ⎬ Resolviendo el sistema obtenemos que p = 60 y z = 32.
⎪⎭
92 = z + p
34=
Solución: Da 60 pasos y 32 zancadas.
67.
e
v
Ambos tardarán el mismo tiempo en encontrarse, luego
x
20 − x
=
⇒ x = 7 '5 metros ⇒ t = 2 '5 segundos
3
5
N
t=
Javier
Portero
Solución: El portero tarda 2'5 segundos en alcanzar a Javier después de que este haya
recorrido 7'5 metros.
68.
x = número de cafés vendidos.
75 − x = número de vasos de leche vendidos.
0 '75 x + 0 '85 ⋅ ( 75 − x ) = 60 '25 ⇒ 0 '1x = 3'5 ⇒ x = 35
Solución: Se han vendido 35 cafés y 40 vasos de leche.
69.
e
⇒ e = v ⋅t
t
Gonzalo:e = 2 '5 ⋅ t
v=
⎫
⎬2 '5 ⋅ t = 4 ⋅ (t − 12) ⇒ t = 32
Mónica: e = 4 ⋅ (t − 12) ⎭
32 − 12 = 20
Solución: Mónica tardará 20 segundos en alcanzar a Gonzalo.
172
1.
2 x − 1 5 ⋅ (1 − 2 x)
=
8
4
8 x − 16 − 2 x + 1 = 10 − 20 x
26 x = 25
a) x − 2 −
x=
25
26
1
x
⋅ (2 x − 1) + − 1 = 0
3
4
8x − 4 + 3 x − 12 = 0
11x = 16
x=
2.
a)3x 2 − 5 x − 2 = 2 ⋅ ( x − 1)
16
11
b)5 x 2 − x ⋅ ( x − 3) = 0
3 x 2 − 7 x = 0 ⇒ x ⋅ (3 x − 7) = 0
x1 = 0 x2 =
b)
7
3
4 x 2 + 3x = 0 ⇒ x ⋅ (4 x + 3) = 0
x1 = 0 x2 = −
3
4
3.
2
a) ( 2 x + 1) − ( 3 x − 1) ⋅ ( x + 3) = 0
4 ± 16 − 16
=2
2
x = 2, solución doble.
x2 − 4x + 4 = 0 ⇒ x =
b) ( 2 x − 5 ) ⋅ ( x + 2 ) + x ⋅ ( 3 − x ) + 10 = 0
x2 + 2x = 0 ⇒ x ⋅ ( x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = −2
c) ( 2 x − 1) ⋅ ( 2 x + 1) − ( x − 3) = 6 x
2
3 x 2 − 10 = 0
x=±
x=
10
3
± 30
3
4.
173
a) 2x 4 − 2 x 2 − 40 = 0 → x 4 − x 2 − 20 = 0
x2 = z
z 2 − z − 20 = 0
z=
1 ± 1 + 80 1 ± 81 1 ± 9
=
=
2
2
2
z1 = 5 ⇒ x1 = 5, x2 = − 5
z2 = −4 ⇒ x3 = x4 = −4
b) ( 3 x 2 + 1) ⋅ ( x 2 − 2 ) + 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) = 0
3x 4 − 3 x 2 − 20 = 0
x2 = z
3z 2 − 3 z − 20 = 0
z=
3 ± 9 + 240 3 ± 249
=
6
6
z1 =
3 + 249
3 + 249
3 − 249
, x2 = −
⇒ x1 =
6
6
6
z2 =
3 − 249
3 ± 249
⇒ x3 = x4 =
6
6
5.
⎧ −3x + 2 y = −21
a) ⎨
⎩ 2 x + 5 y = −5
3 x − 21
2x
y=
y = −1 −
2
5
3 x − 21
2x
= −1 −
2
5
11x = 115
x=
115
57
, y=
11
11
⎧ 2 x − y = −4
b) ⎨
⎩6 x + 7 y = 15
y = 2x + 4
6 x + 7 ( 2 x + 4 ) = 15
20 x = −13
x=−
13
27
, y=
20
10
6.
174
⎧ 4 x − 3 y = 0 ⎧8 x − 6 y = 0
⎪
⎪
a) ⎨ x
3 →⎨
9
⎪⎩ 3 + 2 y = 2
⎪⎩ x + 6 y = 2
9x =
⎧ 2 x − y = −4
⎧ y = 2x + 4
b) ⎨
→⎨
⎩6 x + 7 y = 15 ⎩6 x + 7 y = 15
9
2
2
1
x= , y=
2
3
6 x + 7 ⋅ ( 2 x + 4 ) = 15 → 20 x = −13
x=−
13
14
, y=
20
10
7.
2 x + 1 3x − 1
−
2
4
−9 x < −15
−2 x + 5 <
x>
5
⎛5
⎞
⇒ x ∈ ⎜ , +∞ ⎟
3
⎝3
⎠
8.
⎧
⎪2( x − 1) > 3 − 2( x + 5)
⎪
⎪ x + 1 5x + 1
−
≤ 2x −1
⎨
4
8
⎪
⎪1 − 2 x < −5
⎪
⎩
5
4
19
→x≥
5
→ x > −2
→x>−
⎡19
⎞
x ∈ ⎢ , +∞ ⎟
⎣5
⎠
9.
x = vasos de 0'2 litros.
y = vasos de 0'4 litros.
50 − 0 '2 x
⎫
⎪⎪
0 '2 x + 0 ' 4 y = 50 ⎫
0'4
⇒
⎬
⎬ ⇒ x = 74
1'35 x + 1'8 y = 258'3⎭
⎛ 50 − 0 ' 2 x ⎞
1'35 ⋅ x + 1'8 ⎜
⎟ = 258'3⎪⎪
⎝ 0 '4 ⎠
⎭
y=
Solución: Se han vendido 74 vasos de 0'2 litros.
10.
175
x = ancho.
3 + x = largo.
A = b⋅h
x ⋅ ( 3 + x ) = 70 ⇒ x 2 + 3b − 70 = 0 ⇒ x =
x1 = 7 ⇒ largo = 10
−3 ± 9 + 280 −3 ± 17
=
2
2
x2 = −10 → Descartamos esta opción por ser negativa.
Solución: El ancho mide 7 cm y el largo 10 cm.
176
PÁGINA 94
SOLUCIONES_________________________________________________________________
No sabemos si el número de cerillas es par o impar, así que no podemos averiguar cuál de los dos jugadores
tiene ventaja, eso sí, para ganar hay que dejar 4 cerillas en la antepenúltima tirada.
177
Unidad 6 – Estudio gráfico de funciones
PÁGINA 96
SOLUCIONES
Representar puntos en un eje de coordenadas.
178
Evaluar un polinomio.
a)
b)
c)
d)
e)
Escribir intervalos.
a)
b)
c)
179
PÁGINA 98
SOLUCIONES
1.a) Sí corresponden a una función, definida a trozos.
b) No corresponde a la gráfica de una función porque existen valores de la variable
independiente “x” que tienen asignados dos valores de la dependiente “y”
2. No puede porque para el valor de la variable independiente 2 hay varios valores de la
dependiente.
180
PÁGINA 99
SOLUCIONES
3.
a)
b)
x
c)
y
x
y
x
y
3
0
1
0
0
0
1
0
1
1
-3
16
1
-1
-1
5
-1
5
-1
3
2
-1
2
1
2
0
-2
7
-2
9
-2
8
3
-3
3
4
3
3
0
0
Puntos de corte OX:
Puntos de corte OY
OY:
OY:
OY:
181
4.
a) La gráfica representa una parábola con ecuación
x
y
0
2
2
2
2
2
b) Es una recta cuya ecuación es
x
y
0
1
2
0
1
1/2
182
PÁGINA 100
SOLUCIONES
a)
5.
b)
a) Dado que “0” es el único valor de x que anula el denominador, el dominio es:
6.
b) En este caso el denominador se anula para 3, luego el dominio es:
c)
es:
El denominador se anula para 2 valores, luego el dominio
183
PÁGINA 101
SOLUCIONES
7.
a) Hay dos valores para analizar,
y
. En el primer caso es claramente una
discontinuidad evitable, pues con tan sólo cambiar la imagen de
para que sea
la
función sería continua. En el caso de
es una discontinuidad de salto finito .
b) En
y de
la función parece no estar definida por lo que en ambos casos hay una
discontinuidad de salto infinito.
184
PÁGINA 102
SOLUCIONES
8.
a) La función es creciente en
Máximos relativos:
La función es decreciente en
Mínimos relativos:
b) La función es creciente en
Máximos relativos:
La función es decreciente en
Mínimos relativos:
185
PÁGINA 103
SOLUCIONES
9.
Para analizar la concavidad o convexidad sígase el criterio expuesto en la página 103 del
libro de texto.
a) La función es convexa en:
La función es cóncava en:
b) La función es convexa en:
La función es cóncava en:
186
PÁGINA 104
SOLUCIONES
a)
10.
La función no tiene simetría par ni impar respecto al
origen. Tiene simetría impar respecto al punto
cambio de variable
b)
, que puede comprobarse haciendo el
La función tiene simetría impar respecto
al origen
c)
d)
e)
f)
La función tiene simetría impar respecto al origen
La función tiene simetría impar respecto al origen
La función tiene simetría par respecto al origen
La función tiene simetría impar respecto al
origen
187
PÁGINA 105
SOLUCIONES
11.
En el caso de
aproximaremos con valores cercanos a por la izquierda, es decir, menores:
-
…
La tendencia es hacia infinito negativo:
En el caso de por la derecha, aproximaremos con valores mayores:
-
…
La tendencia es hacia infinito positivo:
Para comprobar las tendencias se tomarán los valores
12.
a)
:
luego
luego
b)
luego
188
luego
c)
luego
luego
189
PÁGINA 108
190
SOLUCIONES
Concepto de función.
13.
a) Es función, pues se conserva la relación unívoca: un solo valor de la variable dependiente
para cada valor de la variable independiente.
b), c), d) No son funciones pues existen valores de la variable independiente que tienen varios
valores de la dependiente.
14.
a)
b)
c)
d)
Gráfica de una función.
15.
a)
b)
x
y
x
y
0
5
0
2
2
3
3
1
2
3
6
0
3
0
3
3
3
0
6
4
16.
a)
b)
c)
d)
x
y
x
y
x
Y
x
y
0
1
0
-6
0
-2
0
-2
1
-1
1
-6
1
-1
-1
1
-1
3
2
-4
-1
-3
1/3
-1
2
-3
-2
0
2
6
1
1/2
191
17.
a)
b)
x
y
x
y
4
0
0
2
0
2
3
0
2
4
5
0
2
0
4
2
3
1
2
2
18.
16a)
Eje OX:
Eje OY:
16b)
Eje OX:
Eje OY:
16c)
Eje OX:
Eje OY:
16d)
Eje OX:
sólo corta el eje OX en el infinito
Eje OY:
17a)
Eje OX:
Eje OY:
192
17b)
Eje OX: la naturaleza periódica de la gráfica hace que corte el eje OX infinitas veces:
Eje OY:
19.
a) Eje OX:
Eje OY:
b) Eje OX:
Eje OY:
c) Eje OX:
Salvo para
no se corta el eje OX
Eje OY:
d) Eje OX:
Eje OY:
Dominio e imagen de una función.
20. En todos los casos las funciones son polinómicas, luego su dominio de definición es el
conjunto de los números reales:
21.
a) Esta función presenta únicamente un problema para
Por tanto, su dominio es:
, pues el denominador se hace 0.
b) Comprobamos, igualmente, los posibles valores para los que el denominador se anula:
c) Igualmente buscamos los valores que anulen el denominador:
193
d) Buscamos los valores que anulen el denominador
22. En este caso los valores problemáticos serán aquellos que fuercen radicandos menores que
cero, luego habrá que resolver una inecuación
definición.
para encontrar el dominio de
a)
b)
En este caso el intervalo requiere analizar el comportamiento de la función
En primer lugar buscaremos los puntos con el eje de abscisas:
Por
último
comprobaremos evaluando en cuales de los tres posibles intervalos
la función está por encima del eje OX, es decir, es mayor que 0:
Por tanto,
Nota: -5 y 0 están incluidos porque la función vale 0 en ambos casos.
c) Nos encontramos ante la misma situación del apartado b). Tenemos una ecuación cuadrática
en el radicando, luego procedemos de la misma manera:
El análisis de los tres posibles intervalos revela que el radicando es mayor que cero en el caso de
y
luego el dominio de definición es:
d) En este caso tendremos que analizar igualmente el radicando, pues el otro sumando es un
polinomio y no presenta ningún problema.
Así pues el dominio de definición es:
194
PÁGINA 109
195
SOLUCIONES
23.
a) En este caso la función presenta una doble problemática. Por una lado, el radicando siempre
tendrá que ser mayor o igual a 0 y, por otro, habrá que prestar atención a posibles valores que
anulen el denominador:
excluimos el -5 del dominio.
Para resolver esta inecuación vamos a analizar algunos intervalos en los que la función
puede cambiar de signo. Los extremos de dichos intervalos serán, evidentemente, los puntos en
los que la función corte al eje OX pero también aquéllos en los que la función tenga una
discontinuidad:
Luego el dominio de definición es:
b) En este caso tenemos que asegurar que el radicando sea mayor o igual que 0:
Conviene hacer el cambio de variable
segundo grado:
y analizarlo como si fuera una ecuación de
Igualando a 0 para ver los puntos en los que cambia de signo:
Deshaciendo el cambio de variable:
196
Descartamos las que pertenecen al conjunto de los complejos y nos quedamos con las reales,
estableciendo los intervalos a evaluar:
Luego, finalmente, el dominio queda como:
c) Vamos a analizar, como en el resto de los apartados, el signo del radicando, forzándolo a que
sea positivo o nulo:
Ahora buscaremos los intervalos a analizar, obteniendo los puntos en los que la función
corta el eje de abscisas:
Analizamos los intervalos:
El domino de definición es, por tanto:
d) En este caso hay que analizar que el denominador sea distinto de 0 pero también que el
radicando no sea menor que 0.
En primera instancia el dominio será
pues hay una raíz cuadrada con radicando x. En
segundo lugar vamos a ver para qué valores el denominador se anula:
197
Después de comprobar que verifican la ecuación, exponemos finalmente el dominio:
24.
a) Dominio:
Recorrido:
b) Dominio:
Recorrido:
c) Dominio:
Recorrido:
Continuidad.
25.
a) En
En
es una discontinuidad evitable
es una discontinuidad esencial de salto finito
b) Tanto en
verticales)
y
son discontinuidades esenciales de salto infinito (asíntotas
Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.
26.
a) Crecimiento:
Decrecimiento:
b) Crecimiento:
198
Decrecimiento:
c) Crecimiento:
Decrecimiento:
27.
a) Crecimiento:
Decrecimiento:
Extremos relativos en:
b) Crecimiento:
Decrecimiento:
Extremos relativos en:
c) Crecimiento: (-1,2)
Decrecimiento: (-∞,-1)U (2,+∞)
Extremos relativos en: (0,-1) hay un mínimo relativo, y (2,3) un máximo relativo.
199
PÁGINA 110
200
SOLUCIONES
Concavidad y convexidad.
28.
a) Convexa:
Cóncava:
b) Convexa:
Cóncava:
c) Convexa:
Cóncava:
Simetría y periodicidad.
29.
a) Presenta simetría impar respecto al origen, pues
b) Tiene simetría par respecto al eje
c) Tiene simetría par respecto al eje de ordenadas
d) Presenta simetría impar respecto al origen
30.
a)
, por lo que, respecto al sistema de referencia inicial, no es ni par ni impar,
no obstante, si se hace el cambio de variable
presentará simetría impar. Podría
considerarse con simetría impar respecto al punto
b)
, es decir, presenta simetría par.
c)
luego presenta simetría impar
d)
, es decir, simetría par.
31.
y
luego, a priori, no presenta simetría ni par ni impar. No
a)
obstante, haciendo el cambio de variable
presentará simetría impar respecto al
nuevo origen. En este caso, la gráfica es una hipérbola equilátera que tiene múltiples simetrías:
-
Respecto a su centro
-
Respecto a sus asíntotas
-
Respecto a sus ejes
b)
c)
d)
luego presenta simetría impar respecto al origen.
, es decir, simetría impar respecto al origen
presenta simetría par respecto al eje de ordenadas.
201
Tendencias de las funciones.
32.
a)
…
b)
…
c)
…
d)
…
33.
En este caso, al disponer de la gráfico es mucho más sencillo obtener las tendencias, basta con
interpretar la gráfica:
a)
b)
c)
d)
34.
Se analizan las tendencias para
202
203
PÁGINA 111
204
SOLUCIONES
35.
Crecimiento:
Decrecimiento:
36.
a) Aproximadamente 2’3 metros
b) Aproximadamente 35 km/h
1. a) Al ser un polinomio el dominio es el conjunto de los números reales:
b)
2. La única condición es que el radicando sea mayor o igual a 0:
La función
estudiar son:
corta el eje de abscisas en
, luego los intervalos a
Así pues el dominio de la función es:
3. a) Eje OX:
Eje OY:
b) Eje OX:
Eje OY:
4. Dominio:
205
Recorrido:
5. a) Crecimiento:
Decrecimiento:
b) Extremos relativos en:
c) Eje OX:
Eje OY:
función par
6. a)
b)
función impar
7. Discontinuidades para
Función continua en:
8. a)
b)
9. a)
…
b)
206
…
c)
…
d)
…
10. Se analizan las tendencias para
207
PÁGINA 112
SOLUCIONES
Llamamos “x” al total de las naranjas:
Primera pérdida:
Segunda pérdida
Tercera pérdida
Luego igualando y despejando:
es el total de naranjas que robó
208
Unidad 7 – Funciones algebraicas y exponenciales
PÁGINA 114
SOLUCIONES
Evaluar polinomios.
a)
b)
c)
d)
Raíces de un polinomio.
Usando el teorema del factor:
Resolver ecuaciones de segundo grado.
a)
b)
c)
209
PÁGINA 116
SOLUCIONES
1.
2. Sustituyendo en la ecuación “punto-pendiente”:
obtenemos que la ecuación
es
210
PÁGINA 117
SOLUCIONES
3.
a)
Decreciente en
Continua en
Discontinuidad de salto infinito en
b)
Decreciente en
Creciente en
Continua en
Discontinuidad de salto infinito en
211
PÁGINA 118
SOLUCIONES
4. El dominio en todos los casos es
, pues son polinomios. Igualmente todas las parábolas
tendrán un extremo relativo, pues son parábolas no degeneradas. Finalmente, serán cóncavas o
convexas en todo su dominio, pues al ser polinomios de grado dos o menor:
.
Para un eficaz análisis de la concavidad conviene prestar atención en el signo del término al
cuadrado. En caso de ser menor que cero, la parábola será cóncava y viceversa.
a)
Creciente en
Decreciente en
Cóncava en todo su dominio
Máximo en
b)
Creciente en
Decreciente en
Convexa en todo su dominio
Mínimo en
212
c)
Creciente en
Decreciente en
Cóncava en todo su dominio
Mínimo en
d)
Creciente en
Decreciente en
Cóncava en todo su dominio
Máximo en
e)
Creciente en
Decreciente en
Convexa en todo su dominio
Mínimo en
f)
Creciente en
Decreciente en
Cóncava en todo su dominio
Máximo en
213
5.
a) OX:
OY:
b) OX:
No corta el eje OX
OY:
c) OX:
OY:
d) OX:
OY:
e) OX:
OY:
f) OX:
OY:
214
PÁGINA 119
SOLUCIONES
6. Todas las parábolas tienen dominio de definición
y concavidad / convexidad constante (ver
ejercicio 4). El vértice se calcula con
a)
Vértice (mínimo):
Creciente en:
Decreciente en:
Convexa en todo su dominio
Corte OX:
Corte OY:
b)
Vértice (máximo):
Creciente en:
Decreciente en:
Cóncava en todo su dominio
Corte OX:
Corte OY:
215
c)
Vértice (mínimo):
Creciente en:
Decreciente en:
Convexa en todo su dominio
Corte OX:
Corte OY:
d)
Vértice (mínimo):
Creciente en:
Decreciente en:
Convexa en todo su dominio
Corte OX:
Corte OY:
216
PÁGINA 120
SOLUCIONES
7.
a)
x
1
2
-1
-2
4
-4
y
2
1
-2
-1
1/2
x
1
2
-1
-2
4
-4
y
-1
-1/2
1
1/2
-1/4
1/4
-1/2
b)
217
c)
x
1
2
-1
-2
3
-3
y
3
3/2
-3
-3/2
1
-1
x
1
2
-1
-2
4
-4
y
-2
-1
2
1
-1/2
1/2
d)
218
e)
x
1
2
-1
-2
1/2
-1/2
y
1/2
1/4
-1/2
-1/4
1
-1
x
1
2
-1
-2
5
-5
y
10
5
-10
-5
2
-2
f)
219
PÁGINA 121
SOLUCIONES
8. En este ejercicio se utilizará el siguiente razonamiento para determinar las asíntotas
horizontales:
Sea
Sí
, es decir, la función
tiende a 0 para valores muy
grandes (o muy pequeños) de x. Se demuestra trivialmente valorando la función con cantidades
suficientemente grandes (ver página 105 del libro de texto).
Para las asíntotas verticales se buscaran valores que anulen el denominador.
a)
b)
Tiene asíntota horizontal en
Tiene asíntota horizontal en
y vertical en
y vertical en
220
c)
Asíntota horizontal en
d)
Asíntota horizontal en
y vertical en
y vertical en
221
e)
Asíntota horizontal en
f)
Asíntota horizontal en
y vertical en
y vertical en
222
PÁGINA 122
SOLUCIONES
9.
a)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
81
Creciente en
b)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
27
9
3
1
1/3
1/9
1/27
1/81
223
Decreciente en
c)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-1/8
-1/4
-1/2
-1
-2
-4
-8
-16
Decreciente en
10.
a)
ver ap. b) del ejercicio 9
b)
224
c)
225
PÁGINA 123
SOLUCIONES
11.
es la función a representar. Construimos una tabla de valores:
12.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1500
1551
1603
1658
1714
1772
1833
1895
1959
226
PÁGINA 126
227
SOLUCIONES
Funciones lineales.
13. Al ser funciones afines la representación gráfica es una recta, por lo que es suficiente utilizar
dos valores para su representación. Se tomarán los puntos que cortan los ejes.
a)
Eje OY:
Eje OX:
b)
Eje OY:
Eje OX:
c)
Eje OY:
Eje OX:
d)
228
Eje OY:
Eje OX:
14. Utilizaremos la forma “punto-pendiente” de la recta para encontrar la ecuación:
Siendo
las coordenadas del punto y
la pendiente de la recta.
a)
b)
c)
15. Positiva (crecientes) :
Negativa (decrecientes) :
Nula (constantes) :
16. Tomaremos pendiente
por lo que la recta en forma “punto-pendiente” quedará
como
17. La pendiente de la recta será la del vector que va desde un punto a otro:
La pendiente de dicho vector es
luego ecuación de la recta es la siguiente:
18. Consiste en aplicar para cada ejemplo lo propuesto en el ejercicio 17. Así pues, en primer lugar
calcularemos la pendiente asociada a esa recta y posteriormente utilizando uno de los puntos
obtendremos una ecuación de la recta.
a)
229
b)
c)
d)
19.
: Sobre esta función conocemos dos puntos:
mismo procedimiento que en el ejercicio anterior.
: Procederemos de la misma manera, pues conocemos
y
por lo que aplicamos el
y
Funciones lineales definidas a trozos.
20. a)
Creciente en
Continua en
b)
Creciente en
Decreciente en
Continua en
Discontinuidad de salto finito en
230
21.
a)
Creciente en
Continua en
Discontinuidad de salto finito en
b)
Creciente en
Decreciente en
Continua en
Discontinuidad de salto finito en
c)
Creciente en
Decreciente en
Continua en
Discontinuidad de salto finito en
22.
x
y
x
y
x
y
x
y
-5
2
-5
-6
3
10
7
7
-8
-1
3
10
7
-2
12
12
231
Funciones parabólicas.
23.
a)
x
0
1
-1
2
y
0
1
-3
0
232
b)
x
0
1
-1
2
y
0
2
-4
2
x
0
1
-1
2
y
0
4
-2
10
x
0
1
-1
2
y
0
-3
7
-2
c)
d)
233
e)
x
0
1
-1
2
y
0
-1
5
2
x
0
1
-1
2
y
0
6
-10
0
x
0
1
-1
2
y
-1
1
-1
5
f)
24.
a)
234
b)
x
0
1
-1
2
y
-6
-4
-6
0
x
0
1
-1
2
y
-1
0
-9
-9
x
0
1
-1
2
y
-1
2
-6
6
c)
d)
235
e)
x
0
1
-1
2
y
3
-4
6
-15
x
0
1
-1
2
y
3
6
2
11
f)
236
PÁGINA 127
237
SOLUCIONES
25.
a)
x
0
1
-1
2
-2
y
-1
0
0
3
3
x
0
1
-1
2
-2
y
3
5
5
11
11
x
0
1
-1
2
-2
y
4
7/2
7/2
2
2
b)
c)
238
d)
x
0
1
-1
2
-2
y
3
1
1
-5
-5
26. a) Eje OX:
Eje OY:
b) Eje OX:
No corta el eje OX
Eje OY:
c) Eje OX:
Eje OY:
d) Eje OX:
Eje OY:
27.
239
Funciones de proporcionalidad inversa.
28. Todas las funciones de este apartado tienen asíntota horizontal en
mismo tema) y asíntota vertical en
(ver ejercicio 8 de este
, pues el denominador se anula en
a)
x
1
-1
2
-2
3
y
-3
3
-3/2
3/2
-1
x
1
-1
2
-2
3
y
4
-4
2
-2
4/3
x
1
-1
2
-2
3
y
-1/2
1/”
-1/4
1/4
-1/6
b)
c)
240
d)
x
1
-1
2
-2
3
y
1/4
-1/4
1/8
-1/8
1/12
x
1
-1
2
-2
3
y
-3/2
3/2
-3/4
3/4
-1/2
x
1
-1
2
-2
3
e)
f)
241
y
5/2
-5/2
5/4
-5/4
5/6
29. Todas las funciones de este apartado tienen asíntota horizontal en
(ver ejercicio 8 de este
mismo tema). Para encontrar la asíntota vertical habrá que ver para qué valores de
el
denominador se anula.
a)
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
3
y
-1
-1/2
-1/3
1
-1/4
b)
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
-3
y
-3
-1
-2
-2/5
-1/3
242
c)
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
-3
y
1/5
1/7
1/9
1
-1
d)
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
3
y
-1
1
1/3
-1/5
1/5
e)
243
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
3
y
-2
-1/2
-2/7
2/5
-1/5
f)
Asíntota vertical en
x
0
1
2
-2
3
y
-3
3
1
-3/5
3/5
30. En este caso la determinación de asíntotas horizontales requiere un estudio individualizado para
cada caso, pero siempre teniendo en cuenta que
siendo
(ver ejercicio 8 de
este tema).
Las asíntotas verticales se hallarán, igualmente, buscando valores que anulen
denominadores.
los
a)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
244
b)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
c)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
d)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
245
e)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
f)
Asíntota horizontal en
Asíntota vertical en
Función exponencial.
31.
a)
b)
c)
d)
246
e)
f)
g)
h)
32. a)
x
0
1
-1
2
-2
y
1
4
1/4
16
1/16
x
0
1
-1
2
-2
y
-1
-4
-1/4
-16
1/16
x
0
1
-1
2
-2
y
1
3/2
2/3
9/4
4/9
b)
c)
247
d)
x
0
1
-1
2
-2
y
1
1/4
4
1/16
16
33.
34. a)
248
b)
c)
d)
249
35. a)
b)
c)
d)
250
PÁGINA 128
251
SOLUCIONES
36.
Tramo 1:
Tramo 2:
Tramo 3:
Tramo 4:
37. Existe una relación de proporcionalidad directa entre el número de persianas y el tiempo que el
operario necesita, luego:
siendo
el
tiempo
y
el
número
de
persianas.
En
este
caso
a)
x
3
4
1
2
5
y
30
40
10
20
50
b) El resultado es una recta:
38. Existe una relación de proporcionalidad indirecta entre el número de grifos y el tiempo que se
tarda:
donde
es el tiempo, es el número de grifos y
es la constante de proporcionalidad
que vale
a)
x
2
3
1
6
4
y
3
2
6
1
1‘5
252
b) La gráfica es una hipérbola en la cuál sólo hay que considerar la rama de valores positivos:
39.
Representando una recta con pendiente 12/100 podemos calcular la abscisa correspondiente a la
ordenada 4:
El valor exacto se consigue analíticamente con la ecuación de la recta:
40. a) Los botes en el suelo corresponden con los puntos de corte con el eje OX de la función
:
Luego el balón golpea el suelo a los 7 metros.
b) La altura máxima corresponde a la ordenada del vértice de la parábola, que es
, luego la altura máxima es:
253
Gráfica de la función:
41. a) El punto coincide con la abscisa del vértice de la parábola, es decir:
b) La altura máxima es
c) El punto de partida y llegada son los cortes con el eje OX:
42. El número de células en función del tiempo (discretizado en minutos) es:
a)
b)
c)
43. a) Siguiendo la fórmula del interés:
b)
44. De fórmula de interés:
Sustituyendo:
254
45. De la fórmula de interés:
Sustituyendo:
255
PÁGINA 129
256
SOLUCIONES
46. Existe una relación de proporcionalidad indirecta entre el número de desagües y el tiempo que
tarda en descargarse el depósito.
siendo el tiempo, los desagües y
luego la función es:
la constante de proporcionalidad. En este caso
47. Según la fórmula de interés simple:
luego
La función es, en este caso,
48. La parábola de la figura tiene como puntos de corte con el eje OX a
teorema del factor, sabemos que la ecuación tendrá la forma
siendo
y
, luego, por el
una constante a determinar. Para ello, basta con valorar con un punto, por ejemplo
Luego finalmente, la ecuación queda como
49. a) La altura máxima es la ordenada del vértice:
b) La distancia corresponde con el punto de corte con el eje OX más lejano del origen:
luego la distancia que alcanza es 10
50. Llamando
a la base y a la altura, imponemos la primera restricción:
La fórmula del área es:
Sustituyendo por el valor obtenido anteriormente encontramos la ecuación buscada:
257
1. Al ser lineales con 2 puntos es suficiente, pues la recta queda totalmente determinada.
a)
x
0
1
y
0
1
x
0
2
y
5
3
b)
2. Sustituyendo en la ecuación “punto-pendiente”:
3.
Creciente en
Decreciente en
Continua en
Discontinuidad de salto finito en
4.
a)
x
0
1
-1
2
-2
y
0
1/4
1/4
1
1
258
b)
x
0
1
-1
2
-2
y
0
-3/2
1/2
-4
0
5. Las coordenadas del vértice son
a)
259
b)
c)
6.
x
0
1
-1
2
-2
y
10
6
12
0
12
x
-2
-1
1
2
3
y
-1
-2
2
1
2/3
7. a)
260
b)
x
-2
-1
1
2
3
y
1/2
1
-1
-1/2
-1/3
x
-2
-1
1
2
3
y
1/6
1/3
-1/3
-1/6
-1/9
8. a)
261
b)
x
1/2
1/4
1/8
-1/4
-1/8
y
4
5
7
1
-1
x
1/2
-1/2
1
-1
2
y
1/4
1/2
1/5
1
1/7
x
0
1
-1
-2
3
y
3/2
2
4/3
5/4
0
c)
d)
262
9. Basta con analizar las tendencias para poder representar las graficas suficientemente bien
a)
b)
263
10. De la fórmula de interés compuesto:
Por tanto:
264
PÁGINA 130
No se puede completar, pues se producen contradicciones:
Las unidades del primer factor deben ser 5 obligatoriamente (pues centenas del segundo factor
por unidades del primero tiene que tener como resultado algo que termine en 5). Así pues las
unidades de la primera fila tiene por valor 0.
Yendo ahora a la última fila, vemos que el segundo valor debe ser un 4 y dado que el
inmediatamente a la izquierda de este es un 2, deducimos que las centenas del primer factor han
de ser un 4.
Así pues en la primera fila tendríamos un 8 como valor a la izquierda del 3, lo cual hace
imposible la operación, pues 8+2+3 = 13 y debería acabar en 5 para lo que tendría que añadirse
12 unidades.
265
Unidad 8 – Áreas y Volúmenes
PÁGINA 132
SOLUCIONES
Unidades de medida.
Pasa a centímetros cuadrados las siguientes cantidades.
a)
b)
c)
Pasa a metros cúbicos las siguientes unidades.
a)
b)
c)
¿Cuántos litros son 250 cm3?
266
Perímetro de los polígonos.
a)
b)
Calcula la longitud de una circunferencia de 8 cm de radio.
267
PÁGINA 134
SOLUCIONES
1. a)
b)
c)
268
PÁGINA 135
SOLUCIONES
2. Aplicando el teorema de Pitágoras a un lado y la mitad de otro:
3. La diagonal y dos lados forman un triángulo rectángulo isósceles:
4. Dibujamos el triángulo y planteamos las ecuaciones utilizando el teorema de Pitágoras:
Restando ambas ecuaciones:
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones y despejando:
10
17
h
x
21
21-x
5. El lado es la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos 24 y 10:
269
6. El hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros, luego el valor buscado es uno de
los catetos del triángulo rectángulo formado por medio lado como otro cateto y lado como
hipotenusa:
7. Al tener dos lados iguales, es un triángulo isósceles. La altura es uno de los catetos del
triángulo rectángulo formado por medio lado desigual como el otro cateto e hipotenusa uno de
los lados iguales:
270
PÁGINA 136
SOLUCIONES
8. a) Antes que el área, hay que calcular la altura del trapecio aplicando, por ejemplo, el teorema
de Pitágoras al triángulo formado por el lado oblicuo de 26 cm (como hipotenusa), la proyección
de este sobre la base (como cateto) y finalmente la altura:
b) Igualmente hay que calcular la altura previamente, para luego utilizar la fórmula del área del
trapecio. Aplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por la hipotenusa de 17cm,
la proyección de este lado sobre la base como cateto y la altura como otro cateto:
9. Para calcular la altura de este triángulo aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado
por uno de los lados, la mitad de la base y la altura:
271
10. Seguimos el mismo razonamiento que en el ejercicio 4, que es el mismo triángulo. Una vez
sabida la altura el área se obtiene con la fórmula:
11. El hexágono se compone de 6 triángulos equiláteros cuyo lado, en este caso, será 20 cm.
Seguimos el mismo razonamiento que en el ejercicio 9 para calcular el área de este triángulo:
272
PÁGINA 137
SOLUCIONES
12. a) Calcularemos el área del cuadrado y restaremos la de la circunferencia:
b) Calcularemos el área del sector circular y le restaremos el área del triángulo:
Para calcular el área del triángulo aplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo con
hipotenusa uno de los radios, un cateto la altura y el otro la mitad de la base:
c) Calculamos el área de ambas circunferencias y restamos el área de la pequeña a la grande:
273
d) En este caso hallaremos el área de ambas circunferencias y posteriormente lo restringiremos
al sector de 100º:
e) Restamos el área del sector circular de 90º al cuadrado de lado 5:
f) Es idéntico al ejercicio anterior pero con área doble:
274
PÁGINA 138
SOLUCIONES
13.
14.
Por teorema de Pitágoras:
275
PÁGINA 139
SOLUCIONES
15. a)
b) La generatriz, por definición, no puede ser menor que el radio en un cono recto.
16.
276
PÁGINA 142
277
SOLUCIONES
Teorema de Pitágoras y aplicaciones.
17. Por teorema de Pitágoras:
a)
b)
18. Por teorema de Pitágoras:
19. Aplicando el teorema de Pitágoras:
20. Por teorema de Pitágoras:
21. Aplicando el teorema de Pitágoras:
22. Siguiendo el mismo razonamiento y procedimiento que el ejercicio 4:
Restando ambas ecuaciones:
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones y despejando:
13
x
h
15
14
15-x
23.
a)
En primer lugar obtenemos el valor del otro lado usando el teorema de Pitágoras:
278
Posteriormente planteamos las dos ecuaciones (de manera semejante al ejercicio 4:
Restándolas:
5
12
h
x
13-x
13
b) Procedemos igual que en el caso anterior.
Lado que falta del triángulo:
Sistema de ecuaciones:
Restando:
24. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 20 y 15:
25. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por la hipotenusa y los dos
lados para encontrar la longitud del lado que falta:
26. a) Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo que forma la altura, media base y uno de los
lados:
b) Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos que se forman para obtener un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas:
279
Restando:
20
h
4
x
18
27. Sabiendo que el hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros, se aplica el teorema de
Pitágoras a la mitad de la base de uno, un lado y la altura, que coincide con la apotema del
hexágono:
28. a) Aplicamos Pitágoras al triángulo formado por la altura, el cateto mayor y la proyección de
este sobre la hipotenusa:
El lado que falta por calcular se haya aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo entero por
un lado y al otro triángulo interior para llegar al sistema:
Sumándolas:
Por tanto el perímetro es:
C
c
x
280
b) Seguimos el mismo razonamiento que en el caso anterior:
Sumándolas:
Luego el perímetro es:
29.
8
6
h
H-x
x
En primer lugar, aplicando el teorema de Pitágoras hallamos el valor de la hipotenusa:
Ahora plantearemos un sistema de dos ecuaciones para encontrar el valor de h (altura)
Las restamos:
30. El planteamiento y el procedimiento es idéntico al problema 28.
a)
c
20
h
x
16
281
Sumándolas:
Luego el perímetro es
b)
C
c
5
x
5’25
Sumándolas:
Área de un polígono.
31. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por dos lados del cuadrado y una
diagonal::
32. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por un lado del triángulo como
hipotenusa, la altura (incógnita) y medio lado como catetos:
282
Ahora aplicamos la fórmula del área del triángulo:
283
PÁGINA 143
284
SOLUCIONES
33. Seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 32, utilizando el teorema de Pitágoras
para encontrar la altura:
Ahora aplicamos la fórmula del área del triángulo:
34. Necesitamos calcular la altura para aplicar la fórmula del área, así que aplicamos el teorema de
Pitágoras a uno de los lados (hipotenusa), a la mitad de la diferencia entre base mayor y base
menor y a la altura:
Ahora aplicamos la fórmula del área de un trapecio:
35. Seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 31, aplicamos el teorema de Pitágoras a
la diagonal (hipotenusa) y a los dos lados (catetos):
36. Las semidiagonales forman parte de un triángulo rectángulo al que, aplicando el teorema de
Pitágoras, podremos obtener la longitud de uno de los lados (hipotenusa de dicho triángulo):
Por tanto, el perímetro es:
37. Necesitamos conocer la apotema, así que aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo
formado por una semidiagonal (hipotenusa), medio lado y la apotema (catetos):
Ahora aplicamos la fórmula del área de un polígono regular
38. Calculamos la apotema con el mismo procedimiento que antes:
285
Aplicamos la fórmula del área de un polígono regular:
Figuras circulares.
39.
a) Restaremos el área de la circunferencia pequeña a la grande:
b) En primer lugar calcularemos el área del disco y luego la restringiremos al sector de 150º:
c)
d)
40. a)
b) Es idéntica al anterior
Cuerpos geométricos.
41.
42.
Para calcular el volumen necesitamos el área de la base. Para ello vamos a encontrar la altura de
uno de los seis triángulos (coincidente con la apotema del hexágono) equiláteros que forman el
hexágono aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por un lado de dichos
triángulos (hipotenusa), la apotema del hexágono y medio lado (catetos):
Una vez conocida la apotema podemos calcular el área de la base:
43. Para calcular el volumen son necesarias la altura y el área de la base.
Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por una arista (hipotenusa), media
diagonal y la altura (catetos) para obtener la altura:
286
Para calcular el área de la base basta con aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo formado
por la diagonal (hipotenusa) y dos lados de la base (catetos):
Finalmente, el volumen:
44. Para calcular el volumen son necesarias la altura y el área de la base. Dado que la base es un
hexágono, está formada por seis triángulos equiláteros, de tal manera que las semidiagonales del
hexágono son coincidentes con lados de estos triángulos.
Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por una arista (hipotenusa), un lado y la
altura (catetos) para obtener la altura:
Para calcular el área de la base necesitamos conocer la altura de uno de los triángulos, que
coincide con la apotema del hexágono (ver ejercicio 42):
El área de la base, queda entonces:
Finalmente, el volumen:
Cuerpos de revolución.
45.
46.
47. Calculamos la generatriz, necesaria para calcular el área, mediante el teorema de Pitágoras:
48.
49.
287
PÁGINA 144
288
SOLUCIONES
50. La escalera (hipotenusa), el muro y la distancia (catetos) de la escalera al suelo forman un
triángulo rectángulo del que conocemos 2 de sus lados, luego aplicando el teorema de Pitágoras:
51. La distancia será dos veces el cateto del triángulo rectángulo que forman la altura, un brazo de
la escalera y el suelo:
52. En primer lugar calculamos la distancia entre los puntos de inserción del cable con el suelo,
hipotenusa del triángulo, aplicando el teorema de Pitágoras:
Ahora planteamos un sistema de ecuaciones utilizando de nuevo el teorema de Pitágoras donde
“x” y “h” son las incógnitas:
6
8
h
x
9’17- x
Restándolas:
53.
54.
55.
289
56.
57.
Hallamos primero la altura, utilizando el teorema de Pitágoras:
58.
Imponemos la condición:
luego existen infinitos recipientes
cilíndricos que cumplen con esa condición, simplemente se debe verificar que
59. Consideramos el barril como cilíndrico:
Imponemos ahora las condiciones:
60.
61. El volumen corresponde a ¾ de lo que sería el cilindro completo, luego:
62. Pesará como máximo el volumen del agua desalojada, es decir, la mitad de su volumen:
63.
290
PÁGINA 145
291
SOLUCIONES
64. Tenemos un paralelogramo del que conocemos la altura de uno de sus triángulos y la base,
luego podemos calcular su área, que será la mitad de la buscada:
El precio final será de
65.
El precio final será de
66.
La altura la calculamos con el teorema de Pitágoras:
67.
La altura la calculamos con el teorema de Pitágoras:
1. Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de uno de los lados, tomando
las semidiagonales como catetos:
2. Necesitamos calcular la altura del trapecio, por lo que aplicamos el teorema de Pitágoras a
uno de los lados (hipotenusa), la proyección de este sobre la base y la altura (catetos):
3.
4.
292
5. En la figura no se aprecia con claridad las características de la base, pero el volumen será
Suponiendo que es un triángulo equilátero, calculamos la altura mediante el teorema de
Pitágoras:
El área queda como
y finalmente el volumen
6.
7. Es necesaria la altura, que se calcula aplicando el teorema de Pitágoras a la generatriz
(hipotenusa), al radio y a la altura (catetos):
8. El lado de la base lo calculamos mediante el teorema de Pitágoras:
También necesitamos la altura, luego aplicamos igualmente el teorema de Pitágoras a una arista
(hipotenusa), la semidiagonal y la altura (catetos):
Finalmente el volumen:
9.
10.
293
PÁGINA 146
Pardo lleva la corbata roja, Blanco lleva la parda y Rojo lleva la blanca.
294
Unidad 9 – Introducción a la trigonometría
PÁGINA 148
SOLUCIONES
El sistema sexagesimal.
Realiza las siguientes operaciones.
b)
a)
Pasa a grados, minutos y segundos.
b)
a)
c)
c)
Pasa a segundos.
a)
b)
c)
Expresa en grados, minutos y segundos.
a)
b)
c)
295
PÁGINA 150
SOLUCIONES
1. El lado que falta se calcula por teorema de Pitágoras
a)
b)
c)
296
PÁGINA 150
SOLUCIONES
2. a)
b)
c)
3. a)
b)
c)
297
PÁGINA 152
SOLUCIONES
4. La hipotenusa del triángulo vale:
5. La altura del triángulo vale:
6. Ver apartado 3.1 de la página 152 del libro de texto.
298
PÁGINA 153
SOLUCIONES
7. a)
b)
c)
8. a)
b)
299
PÁGINA 154
SOLUCIONES
9. a)
b)
c)
d)
e)
10. a)
b)
c)
d)
e)
11. A aquéllos cuyo coseno sea 0 , es decir,
300
PÁGINA 155
SOLUCIONES
12. a)
b)
(mismo caso que el anterior)
13. a)
b)
14. a)
b)
301
PÁGINA 156
SOLUCIONES
15. a)
b)
c)
d)
e)
f)
16. a)
b)
c)
d)
e)
f)
302
PÁGINA 157
SOLUCIONES
17. a)
b)
c)
d)
e)
303
f)
18. Realizado en el anterior (ver valores numéricos)
19. a)
b)
c)
304
PÁGINA 160
305
SOLUCIONES
Razones trigonométricas de ángulos agudos.
20. a) Al tener los dos lados iguales, seno y coseno valen lo mismo:
y la tangente
b)
c)
d)
e)
f)
Tomaremos por ejemplo como cateto opuesto 1 y como hipotenusa 4. El
21.
otro lado lo hallamos aplicando el teorema de Pitágoras:
Propiedades de las razones trigonométricas.
22. a)
b)
306
c)
d)
23. a)
b)
24. a)
b)
c)
d)
25. a)
b)
c)
d)
26. No, pues si
27. No, pues el coseno valdrá 0 y dividiríamos entre 0, luego la tangente no existe si el seno vale
28. En ningún caso el seno o el coseno pueden ser mayores que la unidad, puesto que, por
definición, son un cociente entre catetos e hipotenusa, siendo siempre la hipotenusa mayor que
cualquiera de los catetos.
29. Ver ejercicio 28.
307
no obstante, el coseno únicamente vale uno en
30.
luego la condición entre parámetros:
es decir, sólo se cumple para ángulos
Razones trigonométricas sencillas.
31. Los cuadrados tienen ángulos de 90º, luego el ángulo que forma la diagonal con uno de los
lados es justamente la mitad, 45º. Utilizamos, por ejemplo, el seno:
32. Trabajamos sobre ángulos de 60, luego analizando el triángulo formado por altura, un lado y la
mitad de otro y aplicando el seno al ángulo que forman el lado y el semilado:
33.
a)
0’54
0’84
0’63
b)
0’22
0’98
0’22
c)
0’31
0’95
0’32
d)
0’71
0’71
1
e)
0’84
0’55
1’53
f)
0’22
0’98
0’22
34. a) 18’67º
b) 55’41º
c) 45º
d) 60º
e) 60º
f) 45º
35. a)
b)
c)
308
d)
36. Ver ejercicio 28.
37. Ver ejercicio 28
38. Sí existen, todos aquellos que se encuentren en el intervalo:
309
PÁGINA 161
310
SOLUCIONES
Razones trigonométricas de ángulos orientados.
39. a)
b)
c)
d)
40. a)
b)
c)
d)
e)
f)
41.
a)
º
b)
º
c)
º
d) -2 345 + 6·360 = -185º ⇒ 360 – 185 = 175º
º
e)
f)
42.
Coseno
Seno
Tan
0
1
0
0
90
0
1
180
-1
0
270
0
-1
360
1
0
0
Coseno
Seno
Tan
-90
0
1
-180
-1
0
0
43.
0
311
-270
0
-1
-360
1
0
0
44.
El objetivo es normalizar el ángulo de tal manera que quede en los márgenes de la
circunferencia goniométrica.
Para normalizarlo iteramos sobre el valor de
hasta que encontremos un
sea mayor o igual que le ángulo. Tomamos el valor de
La diferencia es el ángulo normalizado.
el primero que
y se lo restamos al ángulo.
Ángulo
normaliza
do
Coseno
Seno
1800º
0
0
1
1980º
180
-1
0
990º
270
0
-1
1530º
90
0
1
Tan
0
45.
Igualmente debemos normalizar el ángulo de tal manera que quede en los márgenes de la
circunferencia goniométrica. Para normalizar en este caso seguiremos los mismos pasos que en
el ejercicio anterior pero sumaremos el ángulo al valor de
Ángulo
normaliza
do
Coseno
Seno
-1440º
0
1
0
-990º
90
0
1
-1620º
180
-1
0
-1170º
270
0
-1
Tan
Valores máximo y mínimo del seno y el coseno.
46.
luego no existe ningún ángulo que lo verifique
312
47.
luego existen infinitos ángulos que lo verifican
48. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
190º ∈ III ⇒ sn g ( sen190º ) < 0
i)
49. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
50. a)
b)
c)
d)
51. En el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno es negativo.
a)
313
b)
c)
d)
52. En el tercer cuadrante ambos seno y coseno son negativos.
a)
b)
c)
d)
53. En el cuarto cuadrante el seno es negativo y el coseno positivo.
a)
b)
c)
d)
54. No, pues incumple la relación fundamental de la trigonometría:
314
PÁGINA 162
315
SOLUCIONES
Radianes y sistema sexagesimal.
55. a)
b)
c)
d)
e)
f)
56. a)
b)
c)
d)
e)
f)
57.
Coseno
Seno
0
1
-1
0
0
-1
1
0
Tan
0
0
58. a) 0’71
b) -0’71
c) 0’92
d) -2’41
e) 0’59
f) 0’20
316
59.
>0
>0
>0
>0
<0
<0
<0
>0
<0
<0
<0
>0
<0
<0
>0
<0
<0
>0
60.
Ángulo
normaliza
do
Coseno
Seno
0
-1
1
0
0
1
-1
0
0
Tan
0
0
61.
I y III tienen seno y coseno del mismo signo, en I positivos y en III negativos. En II y IV están
alternados, estando en II positivo el seno. (Véase circunferencia goniométrica, pág 154 del libro
de texto)
Cuadrante
-0’35
-0’93
0’37
III
0’84
0’54
1’56
I
0’75
-0’67
-1’12
II
-0’95
0’28
-3’38
IV
-0’99
-0’06
16’00
III
0’12
0’99
0’11
I
317
62.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
63. a)
b)
c)
d)
e)
f)
Reducción de ángulos al primer cuadrante.
64.
Ángulo
en I
cuadran
te
Coseno
Seno
Tan
318
65.
Ángulo
en I
cuadran
te
Coseno
Seno
Tan
66.
a)
b)
c)
319
PÁGINA 163
320
SOLUCIONES
67.
h
25
68.
7
h
69.
h
20
70.
d
65
321
71.
23
h
72. Vuelve a mirar al frente, pues
73.
vueltas
74.
75.
Pedro ha recorrido menos distancia que Juan
76.
Posición de Juan:
Posición de Pedro:
Juán
, es decir, está a 210º
es decir, está en la posición -150º (210º), la misma que
77.
Podemos calcularlas sin hacer uso de la calculadora, pues
que es un ángulo del
que conocemos las razones. En cambio, 150 pertenece al segundo cuadrante, por lo que el
coseno será opuesto:
322
1. a) En primer lugar calculamos la hipotenusa del triángulo mediante el teorema de Pitágoras:
b) Calculamos el valor del otro cateto usando el teorema de Pitágoras:
2. Ver página 152 del libro de texto.
3. a)
Por teorema de Pitágoras, obtenemos la hipotenusa:
b)
4. a) Usando el teorema del coseno:
b) Usando el teorema del seno:
5. a)
b)
c)
6. a)
b)
7. En el cuarto cuadrante el seno es negativo, luego:
323
8. a)
b)
9. a)
b)
c)
10. Calculamos las vueltas que ha dado:
Estableciendo una proporción entre la esfera completa y el sector recorrido encontramos la
posición de la manecilla que indica los minutos:
324
PÁGINA 164
Vamos a hallar el área de la circunferencia y posteriormente restarle las 4 partes que no están
sombreadas:
325
Unidad 10 – Vectores
PÁGINA 166
SOLUCIONES
Representa gráficamente puntos en el plano.
Calcular razones trigonométricas.
Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la calculadora.
a)
b)
c)
Determina un ángulo que verifique.
a)
b)
c)
326
PÁGINA 168
SOLUCIONES
1.
2.
327
PÁGINA 169
SOLUCIONES
3. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
328
4.
329
PÁGINA 170
SOLUCIONES
a)
5.
a)
b)
c)
330
PÁGINA 171
SOLUCIONES
6. a)
b)
son paralelos
no son paralelos
7. Basta con multiplicar cada vector con un escalar, por ejemplo, el 2:
a)
b)
8. a) No están alineados,
c)
no es paralelo a
b) Sí están alineados,
9. Para que sea un paralelogramo deben ser paralelos dos a dos.
a)
331
PÁGINA 172
SOLUCIONES
10.
11.
12.
13.
332
PÁGINA 173
SOLUCIONES
14. a)
b)
15. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo:
a)
b)
Son perpendiculares
No son perpendiculares
16. Utilizamos el producto escalar, que debe ser nulo para que ambos vectores sean
perpendiculares:
a)
b)
c)
son perpendiculares
son perpendiculares
son perpendiculares
17. De la definición de producto escalar:
a)
b)
333
PÁGINA 176
334
SOLUCIONES
Vectores.
18.
Verde:
Azul:
Negro:
Marrón:
Naranja:
Morado:
Amarillo:
Rosa:
19.
335
a) Granate
b) Rojo
c) Azul
d) Verde
a) Rojo
b) Verde
c) Azul
d) Naranja
20.
21.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
22.
a)
b)
c)
336
d)
e)
f)
23.
a)
b)
c)
Vectores de posición de un punto.
24.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
25.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
26.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
337
27.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
28.
338
PÁGINA 177
339
SOLUCIONES
29.
Vectores paralelos.
30.
a)
paralelos
c)
b)
paralelos
d)
paralelos
paralelos
31.
a)
c)
b)
d)
32. Los paralelogramos se caracterizan por tener lados paralelos dos a dos:
y
Llamamos a
e imponemos las condiciones analíticas consecuentes:
Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:
340
33. Para que tres puntos estén alineados debe verificarse que
a)
No alineados
Alineados
b)
c)
Alineados
d)
Alineados
Producto escalar.
34.
a)
b)
c)
d)
e)
35.
a)
No perpendicular
b)
Perpendicular
c)
d)
e)
No perpendicular
Perpendicular
Perpendicular
36.
Puesto que el producto escalar debe ser 0, bastea con permutar ambas coordenadas y alternar el
signo de una de ellas:
a) (-3,2)
b) (-5,-2)
c) (1,-4)
d) (7,5)
Ecuaciones de la recta.
37. Siguiendo la forma “punto-pendiente”:
38. Siguiendo la forma “punto-pendiente”:
341
39. La pendiente del vector que une ambos puntos es:
Según la forma “punto-pendiente”:
40. Simplemente
valorando arbitrariamente una variable y resolviendo la ecuación
encontraremos puntos:
41. La pendiente del vector que une ambos puntos es:
luego:
42.
a)
b)
c)
d)
43.
a)
b) Un vector normal tiene los coeficientes de x e y en la forma general:
342
c) Un vector director es perpendicular al normal, luego (ver ejercicio 36):
(-1,3)
44.
En primer lugar encontraremos la pendiente, luego la forma “punto-pendiente” y, finalmente,
despejando, la forma general:
a)
b)
c)
d)
45.
Un vector normal tiene los coeficientes de
perpendicular al normal (ver ejercicio 36):
e
en la forma general. Un vector director es
a)
b)
c)
d)
46.
Construimos en primer lugar la recta en forma “punto-pendiente”. La pendiente, por definición,
será el cociente de las componentes del vector director:
Despejando:
47.
El procedimiento será, en primer lugar, encontrar la pendiente, posteriormente poner la forma
“punto-pendiente” y finalmente despejar para obtener la forma general.
48. Seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 47.
343
49. a) Ver ejercicio 36:
b) Puesto que
, no son paralelos
c) Obviamente no, pues los vectores directores no son paralelos.
344
PÁGINA 178
345
SOLUCIONES
50. Seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 49:
a)
b) No lo son, pues
c) Resolvemos el sistema para encontrar las coordenadas:
Punto de corte:
51. Puesto que ha de ser paralela, la ecuación general de la nueva recta sólo difiere en el término
independiente:
Sustituyendo con el punto que tenemos:
Luego la ecuación general buscada es:
52. Seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior:
53. Para que tres puntos estén alineados debe verificarse que
alineados.
54. Comprobamos si los vectores son paralelos:
son paralelos, pero de sentido contrario, luego se cruzarán.
55. La tienda (punto B) es el punto medio entre A y C que es el de la madre:
346
Luego la madre está en
56.
a) El total recorrido es:
b)
Dado que
se ahorran el tramo
, es decir
57. Recorrido verde:
Recorrido naranja:
58. a) Suponiendo que sale del origen, y teniendo en cuenta que la pendiente es
:
b)
59. Sí, pues no están alineados. (Rigurosamente tres puntos siempre forman un triángulo,
aunque estén alineados, ya que en tal caso tendríamos un triángulo degenerado en un segmento)
60. Los tres puntos forman un triángulo pues no están alineados. (Rigurosamente tres puntos
siempre forman un triángulo, aunque estén alineados, ya que en tal caso tendríamos un triángulo
degenerado en un segmento)
Para ver si es un triángulo rectángulo veamos si verifica el teorema de Pitágoras:
d ( A, B ) = 20 ⎫
⎪⎪ 2 P? 2 2
2
2
2
d ( B, C ) = 40 ⎬ H = C + c → 40 = 20 + 20 → 40 = 20 + 20
⎪
d (C , A) = 20 ⎪⎭
El triángulo verifica el teorema de Pitágoras luego es rectángulo en A.
347
61. Un vector normal a la recta es
, luego uno director es
.
luego llevan la misma dirección con diferente sentido.
62. De la recta conocemos el punto
y el
luego la pendiente es:
Tomando la forma “punto-pendiente”:
348
PÁGINA 179
349
SOLUCIONES
63.
a) La propiedad triangular garantiza que siempre es igual o más corto el camino directo.
b)
64. Debemos encontrar el punto medio:
65. Sumamos, trayecto a trayecto, la longitud:
Casa-Casa amigo:
Casa amigo – Trabajo:
Trabajo-Restaurante:
Restaurante-Kiosko:
Kiosko-Trabajo:
Trabajo-Casa:
66. El punto medio de ambos es el punto buscado:
67.
a) El centro es el punto medio de ambos:
b) El radio es la distancia de uno de los dos puntos al punto medio:
68. a) El radio corresponde a la distancia del centro a uno de los puntos:
b) Dado que el centro será el punto medio de ambos extremos del segmento diámetro, utilizamos
la fórmula del punto medio para obtener
:
350
69. La pendiente, por definición, es la tangente del ángulo que forma el vector director con la
horizontal, por tanto, buscaremos el arco cuya tangente vale 0’07 usando la función
arcotangente de la calculadora:
70. Debe ser paralela, luego mantendremos los coeficientes de x e y utilizando “k” como
término independiente incógnita:
1.
a)
b)
2.
Total:
3.
Alineados
4.
5. Paralelos (basta con multiplicarlo por un escalar):
Perpendiculares (ver ejercicio 36):
6. En este ejercicio se presupone que si no son paralelos han de ser perpendiculares
inequívocamente.
351
a) Paralelos, pues
b) Perpendiculares pues
c) Perpendiculares pues
d) Paralelos, pues
7. En primer lugar obtenemos la pendiente:
8. Obtendremos la pendiente, posteriormente la forma “punto-pendiente” y finalmente la
forma general:
9. Vector normal (coeficientes de x e y):
normal:
. El vector director es perpendicular al
10. Si es paralela conservará los coeficientes de x e y, variando tan sólo el término
independiente (ver ejercicio 70):
352
PÁGINA 180
Denominamos al radio de la circunferencia mayor.
Debemos encontrar el área de la intersección de las dos circunferencias interiores para poder
calcular el área total. Para ello, debemos prestar atención en cómo descomponer las figuras para
que, mediante sumas y restas, podamos encontrar el área final:
A
B
El área del triángulo
O
es conocida:
Por otro lado, el área del sector circular es:
Así pues el área de la mitad buscada será el doble de la resta del sector al triángulo:
El área total será el área de un cuarto de circunferencia grande menos el área de una
circunferencia pequeña más el área interior que se resta dos veces:
353
354
Unidad 11 – Estadística
PÁGINA 182
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Aproximaciones y redondeo.
a) 2'3456 ≈ 2'346
b) 3'09955 ≈ 3'1
c) 12'500478 ≈ 12 '500
d) 25'8506 ≈ 25'851
Representación en un eje de coordenadas.
355
Intervalos.
356
PÁGINA 184
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1.
a) Color de los ojos de un conjunto de
personas.
Lugares para pasar el verano.
b) Número de aprobados en una clase.
Tamaño de crías de conejos.
c) Número de hermanos de una familia.
Número de libros que utiliza un alumno.
d) Kilos de fruta consumida.
Producción de acero de una fábrica.
2.
a) El número de horas de estudio: variable cuantitativa discreta.
b) Los metros cuadrados de vivienda: variable cuantitativa continua.
c) El color de ojos: variable cualitativa.
d) La intención de voto de unas elecciones: variable cualitativa.
357
PÁGINA 185
SOLUCIONES_________________________________________________________________
3.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
1
2
fi
14
17
hi
0’28
0’34
pi
28
34
3
13
0’26
26
4
6
0’12
12
4.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
10
11
12
13
14
15
16
fi
2
3
8
6
9
7
5
hi
0’05
0’075
0’2
0’15
0’225
0’175
0’125
pi
5
7’5
20
15
22’5
17’5
12’5
Totales
Totales
N=50
N=40
Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
acumulada
acumulada
.
.
Fi
Hi
14
0’28
14+17 =
0’62
31
31+13 =
0’88
44
44+6 = 50
1
1
100
Porcentaje
acumulad
o.
Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
acumulada
acumulada
.
.
Fi
Hi
2
0’05
2+3 = 5
0’125
5+8 = 13
0’325
13+6 = 19
0’475
19+9 = 28
0’7
28+7 = 35
0’875
35+5 = 40
1
1
100
Porcentaje
acumulad
o.
Pi
28
62
88
100
Pi
5
12’5
32’5
47’5
70
87’5
100
358
PÁGINA 186
SOLUCIONES_________________________________________________________________
5.
Intervalos
de clase.
li
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15)
[15,17]
Totales
Marca
de
clase.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
2
4
6
8
10
12
14
16
fi
10
15
20
25
16
12
6
3
107
hi
0’0935
0’1402
0’1869
0’2336
0’1495
0’1121
0’0561
0’0280
0’9999
pi
9’3
14
18’7
23’4
14’9
11’2
5’6
2’8
99’99
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
10
25
45
70
86
98
104
107
Frecuencia
relativa
acumulada
.
Hi
0’0935
0’2337
0’4206
0’6542
0’8037
0’9158
0’9719
0’9999
Porcentaje
acumulad
o.
Pi
9’35
23’37
42’06
65’42
80’37
91’58
97’19
99’99
359
PÁGINA 187
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
3’2
3’3
3’4
3’5
3’6
3’7
fi
7
12
5
4
9
3
hi
0’175
0’3
0’125
0’1
0’225
0’075
pi
17’5
30
12’5
10
22’5
7’5
Totales
N=40
Frecuencia
Frecuencia
absoluta
relativa
acumulada
acumulada
.
.
Fi
Hi
7
0’175
19
0’475
24
0’6
28
0’7
37
0’925
40
1
1
100
Porcentaje
acumulad
o.
Pi
17’5
47’5
60
70
92’5
100
12
10
8
fi 6
4
2
0
3'2
3'3
3'4
3'5
3'6
3'7
xi
360
7.
Intervalos
de clase.
li
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
Totales
Marca
de
clase.
Frec.
absoluta.
Frec.
relativa.
Porcentaje
.
xi
2’5
3’5
4’5
5’5
6’5
7’5
8’5
9’5
fi
2
5
8
10
12
9
7
4
57
hi
0’0351
0’0877
0’1404
0’1754
0’2105
0’1579
0’1228
0’0702
0’9999
pi
3’51
8’77
14’04
17’54
21’05
15’79
12’28
7’02
99’99
Frec.
absoluta
acumulada
.
Fi
2
7
15
25
37
46
53
57
Frec.
relativa
acumulada
.
Hi
0’0351
0’1228
0’2632
0’4386
0’6491
0’807
0’9298
1
Porcentaje
acumulado.
Pi
3’51
12’28
26’32
43’86
64’91
80’7
92’98
100
12
10
8
fi
6
4
2
0
3'2
3'3
3'4
3'5
3'6
3'7
xi
361
PÁGINA 188
SOLUCIONES_________________________________________________________________
8.
20
8
10
12
14
15
fi 10
5
0
8
10
12
14
xi
9.
Frecuencia absoluta.
Frecuencia absoluta acumulada.
20
80
15
60
fi 10
fi 40
5
20
0
0
32'5 37'5 42'5 47'5 52'5 57'5
32'5 37'5 42'5 47'5 52'5 57'5
xi
xi
362
PÁGINA 189
SOLUCIONES_________________________________________________________________
10.
a) N = 23 + 27 + 28 + 35 + 10 + 6 = 129
1 n
1
1548
xi fi =
= 12
(10 ⋅ 23 + 11⋅ 27 + 12 ⋅ 28 + 13 ⋅ 35 + 14 ⋅10 + 15 ⋅ 6 ) =
∑
N i =1
129
129
Mo( x) = 13
x=
Solución: x = 12, Mo( x) = 13
b)
li
xi
fi
[7,10)
8’5
12
[10,13)
11’5
18
[13,16)
14’5
23
[16,19)
17’5
27
[19,22)
20’5
11
[22,25)
23’5
8
[25,28]
26’5
4
N = 12 + 18 + 23 + 27 + 11 + 8 + 4 = 103
x=
1 n
∑ xi fi =
103 i =1
1
1634 '5
= 15'869
( 8'5 ⋅12 + 11'5 ⋅18 + 14 '5 ⋅ 23 + 17 '5 ⋅ 27 + 20 '5 ⋅11 + 23'5 ⋅ 8 + 26 '5 ⋅ 4 ) =
103
103
Mo( x) = 17 '5
Solución: x = 15'869, Mo( x) = 17 '5
363
PÁGINA 190
SOLUCIONES_________________________________________________________________
11.
a) N = 10 + 12 + 18 + 23 + 4 = 67, impar
N + 1 67 + 1
=
= 34
2
2
F1 = 10; F2 = 10; F3 = 40; F4 = 63; F5 = 67
Solución: Me( x) = 12 '9
b) N = 12 + 17 + 18 + 21 + 10 = 78, par
N 78
=
= 39
2
2
F1 = 12; F2 = 29; F3 = 47; F4 = 68; F5 = 78
6+8
=7
2
Solución: Me( x) = 7
Me( x) =
c) N = 15 + 18 + 20 + 10 + 3 = 66, par
N 66
=
= 33
2
2
F1 = 15; F2 = 33; F3 = 53; F4 = 63; F5 = 66
13 + 15
= 14
2
Solución: Me( x) = 14
Me( x) =
364
PÁGINA 191
SOLUCIONES_________________________________________________________________
12.
li
xi
fi
Fi
[2,4)
3
15
15
[4,6)
5
18
33
[6,8)
7
23
56
[8,10)
9
27
83
[10,12)
11
25
108
[12,14)
13
19
127
[14,16]
15
11
138
N = 15 + 18 + 23 + 27 + 25 + 19 + 11 = 138
x=
1 n
∑ xi fi =
138 i =1
1
1226
= 8'884
( 3 ⋅15 + 5 ⋅18 + 7 ⋅ 23 + 9 ⋅ 27 + 11⋅ 25 + 13 ⋅19 + 15 ⋅11) =
103
138
Mo( x) = 9 ⇒ Clase modal: [8,10)
N 138
=
= 69
2
2
Como ninguna frecuencia absoluta acumulada coincide con
N
´construimos el histograma:
2
150
100
Fi
50
0
3
5
7
9
11
13
15
xi
365
27 2
= ⇒ x = 0 '97
13 x
Me( x) = 8 + 0 '97 = 8'97
Solución: x = 8'884, Clase modal: [8,10), Me( x) = 8'97
366
PÁGINA 192
SOLUCIONES_________________________________________________________________
13.
Re corrido absoluto: R a = xn − x1 = 27 − 20 = 7
Re corrido relativo: R r =
x1 20
p
=
= 0 '740
xn 27
p
Solución: R a = 7, R r = 0 '740
367
PÁGINA 193
SOLUCIONES_________________________________________________________________
14.
a)
[3,7)
5
15
75
375
li
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
[7,11)
9
18
162
1458
[11,15)
13
23
299
3887
[15,19)
17
27
459
7803
[19,23)
21
25
525
11025
[23,27)
25
19
475
11875
[27,31]
29
11
319
9251
2
1 n
1 n
fi ( xi − x) 2 = ∑ fi xi 2 − x
∑
N i =1
N i =1
N = 15 + 18 + 23 + 27 + 25 + 19 + 11 = 138
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
1
[75 + 162 + 299 + 459 + 525 + 475 + 319] = 16 '7681
138
1
[375 + 1458 + 3887 + 7803 + 11025 + 11875 + 9251] − 281'1697 = 49 '8013
138
σ = 7 '057
σ2 =
Solución: σ 2 = 49 '8013, σ = 7 '057
b)
xi
fi
fi ·xi
fi ·xi2
20
10
200
4000
22
15
330
7260
24
24
576
13824
26
67
1742
45292
28
23
644
18032
30
12
360
10800
32
5
160
5120
34
6
204
6936
36
3
108
3888
38
7
266
10108
368
2
1 n
1 n
2
(
)
f
x
−
x
=
f i xi 2 − x
∑
∑
i
i
N i =1
N i =1
N = 10 + 15 + 24 + 67 + 23 + 12 + 5 + 6 + 3 + 7 = 172
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
1
[ 200 + 330 + 576 + 1742 + 644 + 360 + 160 + 204 + 108 + 266] = 26 '686
172
1
[ 4000 + 7260 + 13824 + 45292 + 18032 + 10800 + 5120 + 6936 + 3888 + 10108] − 712 '1451 = 16 '1107
172
σ = 4 '0138
σ2 =
Solución: σ 2 = 16 '1107, σ = 4 '0138
369
PÁGINA 196
370
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Variables estadísticas. Frecuencias estadísticas.
15.
a) Variable cuantitativa discreta: x = {12,13,15,16...} = [12, +∞ )
b) Variable cualitativa:
⎧ El Mundo, El País, ABC, El Periódico, La Razón, La Vangüardia, Marca, Sport, ⎫
x=⎨
⎬
⎩ Mundo Deportivo, AS, Expansión, Cinco Días...
⎭
+
c) Variable cuantitativa continua: x = {0 ' 4€, 0 ' 45€, 0 '50€, 0 '53€, 0 '58€, 0 '60€...} = \
d) Variable cuantitativa continua: x = {40€,50€,55€,55'32€, 73€,102€...} = \ +
e) Variable cuantitativa continua: x = {40kg , 41kg , 41'5kg , 43kg ,50kg ,55kg...} = [ 40,80]
f) Variable cuantitativa continua: x = {0 ' 2h, 0 ' 25h, 0 '3h, 0 '32h, 0 ' 45h,1'3h...} = [ 0, 24]
16.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
3
4
5
6
7
8
fi
12
16
23
11
9
6
hi
0’1558
0’2078
0’2987
0’1429
0’1169
0’0779
pi
15’58
20’78
29’87
14’29
11’69
7’79
17.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
fi
23
35
12
21
33
57
19
hi
0’115
0’175
0’06
0’105
0’165
0’285
0’095
pi
11’5
17’5
6
10’5
16’5
28’5
9’5
Totales
Totales
N=77
N=200
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
12
28
51
62
71
77
1
100
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’1558
15’58
0’3636
36’36
0’6623
66’23
0’8052
80’52
0’9221
92’21
1
100
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
23
58
70
91
124
181
200
1
100
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’115
11’5
0’29
29
0’35
35
0’455
45’5
0’62
62
0’905
90’5
1
100
a) Al sábado le corresponde un porcentaje de 28’5%.
b) Durante el fin de semana visitan la biblioteca 38%.
371
c) P4 toma el valor 45’5 %m y quiere decir, que el porcentaje de visitantes acumulado desde
el lunes hasta el jueves es de 45’5%.
18.
23
= 0 '184, entonces, N = 125.
N
125 − 23 − 35 − 31 = 36.
Con estos dos datos, podemos completar la tabla:
Si
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
10
20
30
40
fi
23
35
36
31
hi
0’184
0’28
0’288
0’248
pi
18’4
28
28’8
24’8
19.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
1
2
3
4
5
fi
9
16
16
11
14
hi
0’1364
0’2424
0’2424
0’1667
0’2121
pi
13’64
24’24
24’24
16’67
21’21
20.
Intervalos
de clase.
li
[20,23)
[23,26)
[26,29)
[29,32)
[32,35)
Totales
Totales
Totales
N=125
N=66
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
23
58
94
125
1
100
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’184
18’4
0’464
46’4
0’752
75’2
1
100
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
9
25
41
52
66
1
100
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’1364
13’64
0’3788
37’88
0’6212
62’12
0’7879
78’79
1
100
Marca
de
clase.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
21’5
24’5
27’5
30’5
33’5
fi
9
13
15
15
8
60
hi
0’15
0’2167
0’25
0’25
0’1333
1
pi
15
21’67
25
25
13’33
100
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
9
22
37
52
60
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’15
15
0’3667
36’67
0’6167
61’67
0’8667
86’67
1
100
372
21.
80 − 12 − 23 − 9 = 36.
x
Si
= 0 '2375, entonces, x = 19.
80
36 − 19 = 17
Con estos dos datos, podemos completar la tabla:
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
7
17
27
37
47
fi
12
19
23
9
17
hi
0’15
0’2375
0’2875
0’1125
0’2125
pi
15
23’75
28’75
11’25
21’25
Totales
N=80
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
12
31
54
63
80
1
100
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’15
15
0’3875
38’75
0’675
67’5
0’7875
78’75
1
100
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
32
56
96
152
160
100
1
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’2
20
0’35
35
0’6
60
0’95
95
1
100
22.
f1
= 0 '2, entonces, f1 = 32.
160
f
f 2 : Si 2 = 0 '15, entonces, f 2 = 24.
160
f
f3 : Si 3 = 0 '25, entonces, f3 = 40.
160
f
f 4 : Si 4 = 0 '35, entonces, f 4 = 56.
160
f
f5 : Si 5 = 0 '05, entonces, f5 = 8.
160
Con estos dos datos, podemos completar la tabla:
f1: Si
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
5
10
15
20
25
fi
32
24
40
56
8
hi
0’2
0’15
0’25
0’35
0’05
pi
20
15
25
35
5
Totales
N=160
373
PÁGINA 197
374
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Gráficos asociados a una tabla de frecuencias.
23.
30
25
20
15
10
5
0
fi
li
12'5
17'5
22'5
27'
132'5
24.
a) Frecuencia absoluta.
40
30
fi
li
20
10
0
100
200
300
400
500
600
700
b) Frecuencia absoluta acumulada.
150
100
Fi
50
0
100
200
300
400
500
375
25.
Negro;
3
Rojo; 5
Amarill
o; 12
Azul; 10
26.
100
80
60
Fi
40
20
0
6'5
9'5
12'5
15'5
18'5
27.
xi
fi
Fi
10
35
35
20
23
58
xi
fi
Fi
[5,10)
15
15
xi
fi
Trimestre 1
10
30
32
90
40
40
130
50
20
150
60
50
200
28.
[10,15)
8
23
[15,25)
6
29
[25,30)
9
33
[30,35]
12
50
29.
Trimestre 2
15
Trimestre 3
5
376
Medidas de centralización.
30.
5
3
15
xi
fi
fi · xi
10
4
40
15
7
105
20
12
240
25
8
200
30
2
60
35
1
35
N = 3 + 4 + 7 + 12 + 8 + 2 + 1 = 37
1 n
1
695
xi fi = (15 + 40 + 105 + 240 + 200 + 60 + 35 ) =
= 18'7838
∑
N i =1
37
37
Mo( x) = 20
x=
Solución: x = 18'7838, Mo( x) = 20
31.
xi
fi
fi · xi
15
3
45
16
5
80
17
7
119
18
12
216
19
16
304
20
8
160
21
3
63
22
2
44
23
5
115
N = 3 + 5 + 7 + 12 + 16 + 8 + 3 + 2 + 5 = 61
1 n
1
1146
xi fi = ( 45 + 80 + 119 + 216 + 304 + 160 + 63 + 44 + 115 ) =
= 18'7869
∑
N i =1
61
61
Mo( x) = 19
x=
Solución: x = 18'7869, Mo( x) = 19
32.
li
xi
fi
fi · xi
[1,6)
3’5
5
17’5
[6,11)
7’5
7
52’5
[11,16)
13’5
10
135
[16,21)
18’5
6
111
[21,26]
23’5
3
70’5
N = 5 + 7 + 10 + 6 + 3 = 31
x=
1
N
n
∑x f
i =1
i i
=
1
386 '5
= 12 ' 4677
(17 '5 + 52 '5 + 135 + 111 + 70 '5) =
31
31
Solución: x = 12 '4677
33.
xi
fi
Fi
20
9
9
21
12
21
22
16
37
23
7
44
24
4
48
25
10
58
26
5
63
27
2
65
377
N = 9 + 12 + 16 + 7 + 4 + 10 + 5 + 2 = 65, impar
N + 1 65 + 1
=
= 33
2
2
Solución: Mo( x) = 22, Me( x) = 22
34.
xi
fi
Fi
3
3
3
4
5
8
5
9
17
6
9
26
7
18
44
8
4
48
9
3
51
52
12
26
53
16
42
54
7
49
55
4
53
56
3
56
93
21
40
94
10
50
95
19
69
96
7
76
97
4
80
N = 3 + 5 + 9 + 9 + 18 + 4 + 3 = 51, impar
N + 1 51 + 1
=
= 26
2
2
Solución: Mo( x) = 7, Me( x) = 6
35.
xi
fi
Fi
50
5
5
51
9
14
N = 5 + 9 + 12 + 16 + 7 + 4 + 3 = 56, par
N 56
=
= 28
2
2
Solución: Mo( x) = 53, Me( x) = 53
36.
xi
fi
Fi
91
7
7
92
12
19
N = 7 + 12 + 21 + 10 + 19 + 7 + 4 = 80, par
N 80
=
= 40
2
2
Solución: Mo( x) = 93, Me( x) = 93
378
PÁGINA 198
379
SOLUCIONES_________________________________________________________________
37.
li
xi
fi
fi · xi
Fi
[10,20)
15
8
120
8
[20,30)
25
12
300
20
[30,40)
35
16
560
36
[40,50)
45
21
945
57
[50,60)
55
11
605
68
N = 8 + 12 + 16 + 21 + 11 = 68
x=
1
N
n
∑x f
i =1
i i
=
1
2530
= 37 '2059
(120 + 300 + 560 + 945 + 605) =
68
68
N 68
=
= 34
2
2
Como ninguna frecuencia absoluta acumulada coincide con
y resolvemos la proporción:
N
, construímos el histograma
2
16 10
= ⇒ x = 8'75
14 x
Me( x) = 30 + 8'75 = 38'75
Solución: x = 37 ' 2059, Me( x) = 38'75
38.
100
0’15
15
xi
fi
fi · xi
110
0’2
22
120
0’125
15
130
0’05
6’5
140
0’25
35
150
0’2
30
160
0’025
4
N = 0 '15 + 0 '2 + 0 '125 + 0 '05 + 0 '25 + 0 '2 + 0 '025 = 0 '75
x=
1
N
n
∑x f
i =1
i i
=
1
127 '5
= 170
(15 + 22 + 15 + 6 '5 + 35 + 30 + 4 ) =
0 '75
0 '75
Solución: x = 170
380
Medidas de dispersión.
39.
Re corrido absoluto: R a = xn − x1 = 27 − 15 = 12
x 15
Re corrido relativo: R r = 1 =
= 0 '5
xn 27
Solución: R a = 12, R r = 0 '5
40.
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
10
10
100
1000
11
14
154
1694
1 n
1
f i ( xi − x) 2 =
∑
N i =1
N
N = 10 + 14 + 18 + 22 + 9 + 5 + 3 = 81
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
12
18
216
2592
n
∑fx
i =1
i i
13
22
286
3718
2
−x
14
9
126
1764
15
5
75
1125
16
3
48
768
2
1
[100 + 154 + 216 + 286 + 126 + 75 + 48] = 12 ' 4074
81
1
[1000 + 1694 + 2592 + 3718 + 1764 + 1125 + 768] − 153'9438 = 2 '3649
81
σ = 1'378
σ2 =
Solución: σ 2 = 2 '3649, σ = 1'378
41.
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
30
12
360
10800
40
22
880
35200
50
35
1750
87500
60
15
900
54000
70
9
630
44100
80
7
560
44800
90
5
450
40500
381
2
1 n
1 n
f i ( xi − x) 2 = ∑ f i xi 2 − x
∑
N i =1
N i =1
N = 12 + 22 + 35 + 15 + 9 + 7 + 5 = 105
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
1
[360 + 880 + 1750 + 900 + 630 + 560 + 450] = 52 '6667
105
1
[10800 + 35200 + 87500 + 54000 + 44100 + 44800 + 40500] − 2773'7778 = 244 '3175
105
σ = 15'6307
σ2 =
Solución: σ 2 = 244 '3175, σ = 15'6307
42.
[1,6)
3’5
15
52’5
183’75
li
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
[6,11)
7’5
18
25’5
191’25
[11,16)
13’5
21
283’5
3827’25
1 n
1
fi ( xi − x) 2 =
∑
N i =1
N
N = 15 + 18 + 21 + 16 + 7 = 77
Varianza: σ 2 =
1
x=
N
n
∑fx
i =1
i i
=
n
∑fx
i =1
2
i i
−x
[16,21)
18’5
16
296
5476
[21,26)
23’5
7
164’5
3865’75
2
1
[52 '5 + 25'5 + 283'5 + 296 + 164 '5] = 10 '6753
77
1
[183'75 + 191' 25 + 3827 ' 25 + 5476 + 3865'75] − 2773'7778 = 61'9341
77
σ = 7 '8698
σ2 =
Solución: σ 2 = 61'9341, σ = 7 '8698
43.
li
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
[1,4)
2’5
4
10
25
[4,7)
5’5
5
27’5
151’25
[7,10)
8’5
8
68
578
[10,13)
11’5
16
184
2116
[13,16)
14’5
7
101’5
1471’75
[16,19]
17’5
8
140
2450
382
1 n
1
fi ( xi − x) 2 =
∑
N i =1
N
N = 4 + 5 + 8 + 16 + 7 + 8 = 48
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
n
∑fx
i =1
2
i i
−x
2
1
[10 + 27 '5 + 68 + 184 + 101'5 + 140] = 11'0625
48
1
[ 25 + 151' 25 + 578 + 2116 + 1471'75 + 2450] − 2773'7778 = 19 '1211
48
σ = 4 '3728
σ2 =
Solución: σ 2 = 19 '1211, σ = 4 '3728
44.
100
15
1500
150000
xi
fi
fi · xi
fi · xi2
110
23
2530
278300
120
35
155
18600
130
20
2600
338000
140
13
1820
254800
150
11
1650
247500
160
3
480
76800
2
1 n
1 n
2
(
)
f
x
−
x
=
f i xi 2 − x
∑
∑
i
i
N i =1
N i =1
N = 15 + 23 + 35 + 20 + 13 + 11 + 3 = 120
Varianza: σ 2 =
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
1
[1500 + 2530 + 155 + 2600 + 1820 + 1650 + 480] = 89 ' 4583
120
1
[150000 + 278300 + 18600 + 338000 + 254800 + 247500 + 76800] − 2773'7778 = 3363'8733
120
σ = 57 '9989
σ2 =
Solución: σ 2 = 3363'8733, σ = 57 '9989
383
45.
li
[0,60 000)
xi
30 000
fi
12
Fi
12
fi · xi
360 000
[60 000,90 000)
75 000
18
30
1 350 000
[90 000,120 000)
105 000
30
60
3 150 000
[120 000,150 000)
135 000
35
95
4 725 000
[150 000,200 000)
175 000
15
110
2 625 000
[200 000,300 000]
250 000
10
120
2 500 000
Total
120
fi · xi2
10 800 000
000
101 250 000
000
330 750 000
000
637 875 000
000
459 375 000
000
625 000 000
000
Si la encuesta se le ha realizado a 120 personas, entonces N = 120.
1 n
1
f i xi =
[360 000 + 1 350 000 + 3 150 000 + 4 725 000 + 2 625 000 + 2 500 000] = 122 583'3333
∑
N i =1
120
N 120
=
= 60
2
2
Me( x) = 105 000.
a) x =
Solución: x = 122 583 '3333 euros; Me( x) = 105 000.
b) Varianza: σ 2 =
1
N
n
∑
i =1
fi ( xi − x)2 =
1
N
n
∑fx
i =1
i i
2
−x
2
1
⎡⎣1'08 ⋅1010 + 1'0125 ⋅1011 + 3'3075 ⋅1011 + 6 '37875 ⋅1011 + 4 '59375 ⋅1011 + 6 ' 25 ⋅1011 ⎤⎦
120
−122 583'33332 = 3 015 368 064
σ = 54 912 '36713
σ2 =
Solución: σ 2 = 3 015 368 064, σ = 54 912 '36713
c) La media no nos da una información representativa de lo que debería pagar cada individuo.
384
46.
Si ha tenido tres exámenes, entonces, N = 3.
Sabemos que x =
1
N
n
∑fx
i =1
i i
= 5' 2
1
[7 '3 + 6 ' 2 + x ] = 5' 2 ⇒ x = 2 '1
3
Solución: La calificación del tercer examen fue de 2'1 puntos.
47.
f 2 :Como existe un 25% de individuos que prefieren manzanas,
entonces su frecuencia relativa es 0'25.
f2
= 0 ' 25, entonces, f 2 = 45.
180
f
f 6 : Si 6 = 0 '05, entonces, f 6 = 9.
180
f1:180 − 45 − 57 − 32 − 12 − 9 = 47.
Si
Con estos datos podemos completar la tabla de frecuencias:
Variable
Frecuencia
Frecuencia
Porcentaje.
Frecuencia
Frecuencia
estadística.
absoluta.
relativa.
absoluta
relativa
acumulada
acumulada
.
.
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Peras
25
0’1389
13’89
25
0’1389
Manzanas
45
0’25
70
0’3889
25
Naranjas
0’3167
31’27
127
0’7056
57
Plátanos
0’1778
17’78
159
0’8834
32
Cerezas
0’0667
6’67
171
0’95
12
Ciruelas
9
5
180
1
0’05
Totales
1
100
N=180
Porcentaje
acumulad
o.
Pi
13’89
38’89
70’56
88’34
95
100
a) Un 31’27% de individuos prefieren naranjas.
b) 17’78 + 6’67 = 24’45% de individuos prefieren plátanos o cerezas.
385
PÁGINA 199
386
SOLUCIONES_________________________________________________________________
48.
Variable
estadística.
xi
Sin casco
Conductor había
consumido alcohol
Sin cinturón de seguridad
Vehículo en malas
condiciones.
Exceso de velocidad.
Totales
Frecuencia
absoluta.
fi
43
65
Frecuencia
relativa.
hi
0’215
0’325
Porcentaje.
36
13
0’18
0’065
18
6’5
43
N=200
0’215
1
21’5
100
pi
21’5
32’5
a)
Leyenda
A: Sin casco.
B: Conductor había consumido alcohol.
C: Sin cinturón de seguridad.
D: Vehiculo en malas condiciones.
E: Exceso de velocidad.
E; 43
A; 43
D; 13
C; 36
B; 65
b)
70
60
50
40
30
20
10
0
A
B
C
D
E
c) Un 32’5%.
387
49.
a)
50
40
30
fi
20
10
0
900
1100
1300
1500
1700
b)
xi
900
1 100
1 300
1 500
1 700
1 900
2 100
li
[800,1 000)
[1 000,1 200)
[1 200,1 400)
[1 400,1 600)
[1 600,1 800)
[1 800,2 000)
[2 000,2 200]
Total
fi
15
32
46
12
8
5
2
120
Fi
15
47
93
105
113
118
120
fi · xi
13 500
35 200
59 800
18 000
13 600
9500
4 200
fi · xi2
12 150 000
38 720 000
77 740 000
27 000 000
23 120 000
18 050 000
8 820 000
N = 120.
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
=
1
[13 500 + 35 200 + 59 800 + 18 000 + 13 600 + 9 500 + 4 200] = 1281'6667
120
Solución: x = 1281'6667 euros
46 200
=
⇒ x = 56 '5217
13
x
Me( x) = 1200 + 56 '5217 = 1256 '5217
Solución: Me( x) = 1256 '5217
c)
Varianza: σ 2 =
1
N
n
∑ f ( x − x)
i =1
i
i
2
=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
2
−x
2
1
⎡1' 215 ⋅107 + 3'872 ⋅107 + 7 '774 ⋅107 + 2 '7 ⋅107 + 2 '312 ⋅107 + 1'805 ⋅107 + 8'820 ⋅106 ⎦⎤
σ2 =
⎣
120
−1 281'6667 2 = 413 330 '5573
σ = 642 '9079
Solución: σ 2 = 413 330 '5573, σ = 642 '9079
388
1.
16
= 0 '1 ⇒ N = 160
N
f 2 :Como el porcentaje p 2 es de 18'75% entonces su frecuencia relativa es 0'1875.
f2
= 0 '1875, entonces, f 2 = 30.
160
f
f3 : Si 3 = 0 '125, entonces, f3 = 20.
160
f 4 :180 − 16 − 30 − 20 = 114.
Si
Con estos datos podemos completar la tabla de frecuencias:
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
100
200
300
400
fi
16
30
20
94
hi
0’1
0’1875
0’125
0’5875
pi
10
18’75
12’5
58’75
2.
Intervalos
de clase.
li
[2 500,
2 600)
[2 600,
2 700)
[2 700,
2 800)
[2 800,
2 900)
[2 900,
3 000)
[3 000,
3 100)
[3 100,
3 200)
[3 200,
Totales
N=160
Frecuencia
Frecuencia Porcentaje
absoluta
relativa
acumulado.
acumulada
acumulada
.
.
Fi
Hi
Pi
16
0’1
10
46
0’2875
28’75
66
0’4125
41’25
160
1
1
1
100
Marca
de
clase.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
2550
fi
4
hi
0’067
pi
6’7
Frecuencia
absoluta
acumulada
.
Fi
4
Frecuencia Porcentaje
relativa
acumulado.
acumulada
.
Hi
Pi
0’067
6’7
2650
3
0’05
5
7
0’116
11’6
2750
6
0’1
10
13
0’216
21’6
2850
4
0’067
6’7
17
0’283
28’3
2950
6
0’1
10
23
0’383
38’3
3050
2
0’033
3’33
25
0’416
41’6
3150
4
0’067
6’7
29
0’483
48’3
3250
11
0’183
18’3
40
0’666
66’6
389
3 300)
[3 300,
3 400)
[3 400,
3 500)
[3 500,
3 600)
[3 600,
3 700)
[3 700,
3 800)
[3 800,
3 900)
Totales
3350
5
0’083
8’3
45
0’749
74’9
3450
5
0’083
8’3
50
0’832
83’2
3550
4
0’067
6’7
54
0’899
89’9
3650
3
0’05
5
57
0’949
94’9
3750
1
0’016
1’6
58
0’965
96’5
3850
2
0’033
3’33
60
1
100
60
1
100
b)
12
10
8
6
4
2
0
37
35
50
50
50
33
31
50
50
29
27
25
50
50
fi
3.
x=
1
N
N
∑x f
i =1
i i
En nuestro caso: x = 3166 '67
4.
11 100
=
⇒ x = 9 '0909
1
x
Me( x) = 3200 + 9 '0909 = 3209 '0909
Solución: Me( x) = 3209 '0909
5.
Varianza: σ 2 =
1
N
n
∑ f ( x − x)
i =1
i
i
2
=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
2
−x
2
N = 60
390
x=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
= 3166 '67
σ 2 = 10019333'33
σ = 3165'3331
Solución: σ 2 = 10019333'33, σ = 3165'3331
6.
Variable
estadística.
Frecuencia
absoluta.
Frecuencia
relativa.
Porcentaje.
xi
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25]
fi
10
17
21
12
hi
0’1667
0’2833
0’35
0’2
pi
16’67
28’33
35
20
Totales
N=60
Frecuencia
Frecuencia Porcentaje
absoluta
relativa
acumulado.
acumulada
acumulada
.
.
Fi
Hi
Pi
10
0’1667
16’67
27
0’45
45
48
0’8
80
60
1
100
1
100
7.
xi
fi
Fi
35
10
10
40
14
24
45
18
42
50
20
62
55
11
73
60
9
82
65
2
84
N = 84, par.
N 84
=
= 42
2
2
Me( x) = 45.
Solución: Me( x) = 45
8.
xi
fi
Fi
2’5
7
7
2’6
12
19
2’7
9
28
2’8
4
32
2’9
1
33
N = 33, impar.
N + 1 33 + 1
=
= 17
2
2
Me( x) = 2 '6.
Solución: Me( x) = 2 '6
9.
391
xi
fi
Fi
150
5
5
160
12
17
170
23
40
180
22
62
190
15
77
200
2
79
N = 79, impar.
N + 1 79 + 1
=
= 40
2
2
Me( x) = 170.
Solución: Me( x) = 170
10.
Queremos que la media de todas las notas nos de un cinco:
N = 6.
1 n
1
f i xi = [3'7 + 4'5 + 5'6 + 6 '8 + 7 ' 2 + x ] = 5
∑
6 i =1
6
x = 2'2
x=
Solución: Como mínimo debe sacar un 2 ' 2.
392
PÁGINA 200
SOLUCIONES_________________________________________________________________
MÉTODO 1
Siendo m el número de medallas y n los días que tarda en repartirlas, construimos la sucesión
ak= número de medallas repartidas el día k.
1
1
a1 = 1 + (m − 1) = (m + 6)
7
7
2
1⎛
1
1
⎞
⎛1⎞
a2 = 2 + ⎜ m − 2 − (m + 6) ⎟ = 2 + (m − 2) − ⎜ ⎟ (m + 6)
7⎝
7
7
⎠
⎝7⎠
2
2
3
⎞
1⎛
1
1
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
a3 = 3 + ⎜ m − 3 − (m − 2) + ⎜ ⎟ (m + 6) ⎟ = 3 + (m − 3) − ⎜ ⎟ (m − 2) + ⎜ ⎟ (m + 6)
⎟
7 ⎜⎝
7
7
⎝7⎠
⎝7⎠
⎝7⎠
⎠
n
1
⎛1⎞
Luego, el término general de la sucesión es a n = n + (m + 6) + ∑ (−1) 2 k +1 ⎜ ⎟
7
⎝7⎠
k =2
Como el último día reparte n medallas, a n = n
n − k +1
(m − k ).
n − k +1
n
1
⎛1⎞
(m + 6) + ∑ (−1) 2 k +1 ⎜ ⎟
(m − k ) = 0.
7
⎝7⎠
k =2
Resolviendo esta ecuación (usando el binomio de Newton), obtenemos los valores de m = 72 y n = 6
luego
Se han repartido 36 medallas en 6 días.
MÉTODO 2
Si cada día n reparte n medallas y un séptimo de las que le quedan, el número de medallas que le
quedan tiene que ser un múltiplo de 7. En total, cada día repartirá 6 medallas:
393
Día
1
2
3
4
5
6
Medallas que reparte
1+5=6
2 + 28/7 = 2 + 4 = 6
3 + 21/7 = 3 + 3 = 6
4 + 14/7 = 4 + 2 = 6
5 + 7/7 = 5 + 1 = 6
6
Medallas que le quedan
36 – 6 = 30
30 – 6 = 24
24 – 6 = 18
18 – 6 = 12
12 – 6 = 6
0
Luego, tiene 36 medallas y las reparte e 6 días.
394
Unidad 12 – Estadística bidimensional
PÁGINA 202
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Estadística unidimensional.
xi
fi
6
5
23
10
21
15
10
20
3
25
63
Totales
hi
0’095
0’365
0’333
0’159
0’048
1
pi
9’5
36’5
33’3
15’9
4’8
100
xi· fi
30
230
315
200
75
xi2· fi
150
2 300
4 725
4 000
1 875
a) N = 63
x=
1
N
n
∑x f
i =1
i i
=
1
( 30 + 230 + 315 + 200 + 75) = 13' 49
63
Solución: x = 13' 49
b) Varianza: σ 2 =
1
N
n
∑ f ( x − x)
i =1
i
i
2
=
1
N
n
∑fx
i =1
i i
2
−x
2
N = 63
1
σ 2 = [150 + 2 300 + 4 725 + 4 000 + 1 875] − 13'49 = 193'6508
63
σ = 13'9158
Solución: σ 2 = 193'6508, σ = 13'9158
395
PÁGINA 204
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1. a) y b)
Y
X
1
2
3
4
Totales
10
20
30
40
50
60
Totales
2
12
15
3
32
4
6
1
2
13
4
1
3
5
13
2
5
6
3
16
3
7
8
8
26
2
1
3
2
8
17
32
36
23
108
c)f23=1
396
PÁGINA 205
SOLUCIONES_________________________________________________________________
2.
X
10
11
12
13
Totales
Y
1
2
3
4
Totales
fi
43
27
19
17
106
fi
23
29
31
23
106
x=
1
N
σ x2 =
y=
n
∑x f
1
N
1
N
σ y2 =
i i
i =1
= 7 '5566
n
∑ f ( x − x)
i
i =1
n
∑y f
i i
i =1
1
N
n
∑
i =1
i
2
=
1
N
n
∑fx
i =1
2
i i
2
− x = 65'6038
= 2 '5094
fi ( yi − y ) 2 =
1
N
n
∑fy
i =1
i
i
2
2
− y = 4 '9057
397
PÁGINA 206
SOLUCIONES_________________________________________________________________
3.
a)
X/y=12
10
20
30
Totales
x=
1
N
σ x2 =
n
∑x f
i i
i =1
1
N
n
∑
i =1
fi12
3
1
5
9
= 22 ' 2222
f i ( xi − x) 2 =
1
N
n
∑fx
i =1
2
i i
2
− x = 555'55556
b)
Y/x=20
f20j
y=
1
N
σ y2 =
n
∑y f
i i
i =1
1
N
n
∑
i =1
10
3
11
7
12
1
13
2
Totales
13
= 11'1538
fi ( yi − y ) 2 =
1
N
n
∑fy
i =1
i
i
2
2
− y = 114 '1538
398
PÁGINA 207
SOLUCIONES_________________________________________________________________
4.
Y
X
10
20
30
fj
10
11
4
3
3
10
400
600
900
5
7
4
16
12
550
1540
1320
3
1
5
9
13
360
240
1800
1
2
5
8
130
520
1950
fi
fi ·xi
13
13
17
N=43
130
260
510
n
∑x f
i i
i =1
fj ·yj
100
176
108
104
n
∑x f
i =1
i i
=488
⎛
=900
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
10310
ij
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅yi =
⎠
Observación: Los datos en rojo son los valores de fij ⋅ xi ⋅ yi .
x=
y=
1
N
n
∑x f
1
N
σ xy =
i i
= 20 '9302
∑y f
= 11'3488
i =1
n
i =1
1
N
i i
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 2 '23
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
399
PÁGINA 208
SOLUCIONES_________________________________________________________________
5.
Y
X
10
11
12
13
fj
1
10
2
0
1
13
2
100
22
0
13
4
8
0
8
20
3
80
176
0
208
0
8
5
3
16
0
264
180
117
4
fi
fi ·xi
0
0
5
220
7 336
5 260
17
14
23
12
17
N=66
140
253
144
221
n
∑x f
i =1
13
Fj ·yj
40
48
68
n
∑ yi fi =169
i =1
Definimos el coeficiente de correlación como: r =
1 n
x = ∑ xi fi = 11'4848
N i =1
1 n
y = ∑ yi fi = 2 '5606
N i =1
σ xy =
r=
1
N
i i
=758
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi =
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
1 976
σ xy
σ x ⋅σ y
2
1 n
σ x = ∑ fi xi 2 − x = 121'6061 ⇒ σ x = 11'0275
N i =1
2
1 n
σ y 2 = ∑ fi yi 2 − y = 5'1515 ⇒ σ y = 2 '2697
N i =1
2
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 0 '5312
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
σ xy
⇒ r = 0 '02122
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = 0 '02122.
400
PÁGINA 209
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6.
Y
X
5
7
9
11
13
15
17
fj
5
6
0 0
0 0
0 0
0 0
3 195
4 300
2 170
9
0
0
0
3
3
2
1
9
0
0
0
198
234
180
102
7
8
9
10
fi
fi ·xi
fi ·xi2
0 0
0 0
3 189
1 77
2 182
3 315
1 119
10
0 0
0 0
3 216
5 440
2 208
2 240
0 0
12
3 135
4 252
4 324
3 297
5 585
0 0
0 0
19
1 50
4 280
7 630
0 0
0 0
0 0
0 0
12
4
8
17
12
15
11
4
N=71
20
56
153
132
195
165
68
100
392
1 377
1452
2 535
2 475
1 156
n
∑x f
i =1
fj ·yi
45
54
70
96
171
120
∑y f
225
324
490
768
1 539
1 200
i i
=
i =1
ij
= 5 918
556
n
∑y
i =1
⎛
i
2
i
2
fi
= 9 487
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
∑x
i =1
789
n
i =1
fj ·yj2
i i
n
=
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅
⎠
fi
= 4 546
401
1 n
∑ xi fi = 11'1127
N i =1
1 n
y = ∑ yi fi = 7 '8310
N i =1
x=
σ xy =
r=
1
N
2
1 n
f i xi 2 − x = 122 '5070 ⇒ σ x = 11'0683
∑
N i =1
2
1 n
= ∑ f i yi 2 − y = 56 '1972 ⇒ σ y = 7 ' 4965
N i =1
σ x2 =
σ y2
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = −3'6714
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
σ xy
⇒ r = −0 '0442
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = −0 '0442.
a)
Recta de regresión de Y sobre X (Y / X )
y− y =
σ xy
3'6714
( x − x) ⇒ y − 7 '831 =
( y − 11'1127)
2
σx
122 '507
El valor de Y para X=3 es Y=8’074.
b)
Recta de regresión de X sobre Y ( X / Y )
x−x =
σ xy
3'6714
( y − y ) ⇒ x − 11'1127 =
( y − 7 '831)
2
56 '1972
σy
El valor de X para Y=11 es X=10’9058.
402
PÁGINA 212
403
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Variables estadísticas bidimensionales. Distribuciones marginales.
7.
a)
b) x =
X
10
11
12
13
Totales
1
N
n
∑ xi fi = 11'5862
i =1
2
1 n
f i xi 2 − x = 123'93
∑
N i =1
d) σ x = 11'1324
c) σ x 2 =
e) Me( x) =
8.
a)
Y
1
2
3
4
Totales
fi
13
15
13
17
58
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
fi
10
13
14
21
58
= 2 '7931
2
1 n
fi yi 2 − y = 6 '2414
∑
N i =1
σ y = 2 ' 4983
σ y2 =
N
= 12
2
Y
fi
[1,5)
12
3
[5,9)
14
7
[9,13)
25
11
23
Observación: Los números que aparecen en [13,17)
15
clase de la variable Y.
Totales
74
n
n
1
1
b) x = ∑ xi fi = 6 '7027
y = ∑ yi fi = 10 '1892
N i =1
N i =1
X
3
5
7
9
Totales
fi
10
15
25
24
74
2
1 n
f i xi 2 − x = 42 '4054
∑
N i =1
d) σ x = 6 '5119
c) σ x 2 =
e) Como
rojo son la marca de
2
1 n
fi yi 2 − y = 111'3513
∑
N i =1
σ y = 10 '5523
σ y2 =
N
= 37 no coincide con ninguna frecuencia acumulada resolvemos la proporción
2
11 y
= , que es cierta para y=1'76.
25 4
Me( y ) = 7 + 1'76 = 8'76
404
Distribuciones condicionadas.
9.
a)
X/y=10
2
3
4
Totales
fi10
3
4
6
13
x=
b)
Y/x=3
f3j
5
2
10
4
15
4
20
3
Totales
13
y=
1
N
1
N
n
∑x f
i =1
i i
n
∑y f
i =1
i i
= 2 '1538
= 13'0769
10.
a)
Y/x=[2,4) 3
3
f3j
y=
1
N
σ y2 =
n
∑y f
i i
i =1
1
N
n
i =1
11
3
15
4
Totales
15
= 9 '1333
∑ f ( y − y)
i
7
5
i
2
=
1
N
n
∑fy
i =1
i
i
2
2
− y = 91'2009
b)
X/y=[5,9)
1
3
5
7
9
11
13
Totales
fi7
2
5
7
8
4
2
1
29
x=
1
N
σ x2 =
n
∑x f
i i
i =1
1
N
n
∑
i =1
= 6 '1724
f i ( xi − x) 2 =
1
N
n
∑fx
i =1
i i
2
2
− x = 36 '5862
405
Covarianza.
11.
Y
X
10
11
12
13
fj
1
2
0
2
3
5
10
0
22
36
65
3
3
3
1
6
13
60
66
24
156
4
4
4
5
1
14
120
132
180
39
6
6
2
5
19
240
264
96
260
fi
fi ·xi
13
15
11
17
N=56
130
165
132
221
n
∑x f
i =1
10
fj ·yj
26
42
76
i i
=648
∑ xi fi =154
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi =
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
1 760
fi
fi ·xi
10
15
25
24
N=74
30
75
175
216
n
i =1
Observación: Los datos en rojo son los valores de fij ⋅ xi ⋅ yi .
1 n
∑ xi fi = 11'5714
N i =1
1 n
y = ∑ yi fi = 2 '75
N i =1
x=
σ xy =
1
N
⎛
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
ij
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = −0 '3928
⎠
12.
Y
X
3
5
7
9
fj
3
7
1
0
8
3
12
9
0
168
81
3
3
5
3
14
11
63
105
245
189
4
4
8
9
25
15
132
220
616
891
2
6
4
9
23
90
600
420
1 215
n
∑x f
i =1
fj ·yj
36
98
253
345
n
∑x f
i =1
x=
1
N
σ xy =
n
∑ xi fi = 6 '7027
i =1
1
N
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
i i
=732
i i
=496
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi =
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
5 044
= 9 '8919
⎛ n
⎞
f ij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 1'8598
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
406
13.
Y
X
1
3
5
7
9
11
13
fj
3
7
1
3
4
7
8
2
1
26
3
27
60
147
216
66
39
2
5
7
8
4
2
1
29
11
14
105
245
392
252
154
91
8
3
4
7
6
5
3
36
15
88
99
220
539
594
605
429
2
4
6
1
6
8
2
29
30
180
450
105
810
1 320
390
fi
fi ·xi
13
15
21
24
24
17
7
N=121
13
45
105
168
216
187
91
n
∑x f
i =1
fj ·yj
78
203
396
435
n
∑ xi fi =
i =1
1 112
x=
1
N
σ xy =
n
∑ xi fi = 6 '8182
i =1
1
N
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
i i
=825
⎛ n
⎞
fij ⋅ xi ⎟ ⋅yi =
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
7 670
= 9 '1901
⎛ n
⎞
f ij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 0 '7288
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
407
Coeficiente de correlación. Rectas de regresión.
14.
Y
X
1
2
3
4
5
fj
0
1
2
3
4
5
6
7
fi
fi ·xi
fi ·xi2
12
0
15
0
7
0
0
0
0
0
34
7
7
11
22
4
12
0
0
0
0
22
0
0
6
24
2
12
3
24
1
10
12
0
0
0
0
6
54
7
84
6
90
19
0
0
0
0
7
84
9
144
7
140
23
0
0
0
0
8
120
9
180
7
175
24
0
0
0
0
0
0
10
240
7
510
27
0
0
0
0
0
0
15
420
21
735
36
19
19
19
32
64
128
34
102
306
53
212
848
59
295
1 475
N=197
∑x f
i =1
fj ·yi
0
22
24
57
92
120
162
252
0
22
48
17
1
368
600
972
1 764
i i
=
692
n
∑y f
i =1
fj
·yj2
n
n
i i
=
i =1
2
i
fi =
2 776
⎛ n
⎞
f ij ⋅ xi ⎟ ⋅
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
= 3 087
729
n
∑y
i =1
∑x
2
i
fi =
3 945
a) x =
1
N
n
∑ xi fi = 3'5127
i =1
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
= 3'7001
2
1 n
f i xi 2 − x = 10 '5787 ⇒ σ x = 3'2525
∑
N i =1
2
1 n
= ∑ fi yi 2 − y = 16 '3249 ⇒ σ y = 4 '0404
N i =1
b) σ x 2 =
σ y2
c) σ xy =
d) r =
1
N
⎛
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
ij
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 2 '6727
⎠
σ xy
⇒ r = 0 '2034
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = 0 ' 2034.
e) Recta de regresión de X sobre Y ( X / Y )
x−x =
σ xy
2 '6727
( y − y ) ⇒ x − 3'5127 =
( y − 3'7001)
2
4 '0404
σy
408
Recta de regresión de Y sobre X (Y / X )
y− y =
σ xy
2 '6727
( x − x) ⇒ y − 3'7001 =
( x − 3'5127)
2
σx
3'2525
409
PÁGINA 213
410
SOLUCIONES_________________________________________________________________
15.
Y
X
0
1
2
3
fj
0
1
2
3
4
5
6
fi
fi ·xi
fi ·xi2
0
0
0
0
10
0
25
0
35
0
0
0
0
23
46
16
48
39
0
0
0
0
7
28
0
0
7
0
0
3
9
0
0
0
0
3
0
0
7
28
0
0
0
0
7
0
0
15
75
0
0
0
0
33
0
0
15
90
0
0
0
0
38
41
0
0
40
40
40
40
80
160
41
123
369
n
n
N=162
∑ xi fi =
∑x
243
569
i =1
fj ·yi
0
39
14
9
28
165
228
n
∑y f
i =1
fj
·yj2
0
39
a) x =
1
N
n
28
27
∑ xi fi = 1'5
112
y=
i =1
1
N
825
n
∑y f
i =1
i i
1 368
i i
=483
2 399
⎛
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
= 324
ij
i =1
i
2
fi =
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅
⎠
= 2 '9815
2
1 n
f i xi 2 − x = 2 '0123 ⇒ σ x = 1' 4186
∑
N i =1
2
1 n
= ∑ fi yi 2 − y = 11'8272 ⇒ σ y = 3' 4391
N i =1
b) σ x 2 =
σ y2
c) σ xy =
d) r =
1
N
⎛ n
⎞
f ij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = −2 ' 47225
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
σ xy
⇒ r = −0 '5067
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = −0 '5067.
e) Recta de regresión de X sobre Y ( X / Y )
x−x =
σ xy
2 ' 47225
( y − y ) ⇒ x − 1'5 =
( y − 2 '9815)
2
3' 4391
σy
Recta de regresión de Y sobre X (Y / X )
y− y =
σ xy
2 ' 47225
( x − x) ⇒ y − 2 '9815 =
( x − 1'5)
2
σx
1'4186
411
f) Lo que tenemos que calcular es e valor de la y cuando x=5. Si sustituimos x=5 en la recta de
regresión de Y sobre X, obtenemos que y=9’08108. Luego, un conductor que haya bebido 5
copas cometería, aproximadamente, 9 errores.
16.
1
2
3
4
5
6
7
fi
fi ·xi
fi ·xi2
X
0
0 0
18
13
26
52
12
36
17
168
29
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
18
3
8
0
12
72
0
0
0
0
0
0
20
18
0 0
0
0
6
30
7
70
0
0
0
0
13
0
2
0
0
0
0
6
48
0
0
0
0
6
0
0 0
0
0
0
0
0
0
18
162
0
0
18
20
1
0
0
0
0
0
0
21
126
15
120
36
51
153
459
32
128
512
n
n
Y
4
fj
N=134
∑ xi fi =
∑x
325
1 041
i =1
fj ·yi
29
72
54
24
65
120
84
n
∑y f
i =1
fj
·yj2
29
144
162
96
325
720
588
i i
=
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
= 732
448
n
∑y
i =1
⎛
n
i
2
ij
i =1
2
i
fi =
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅
⎠
fi
= 2 064
a) x =
b) σ x
2
1
N
n
∑x f
i =1
1
=
N
σ y2 =
c) σ xy =
d) r =
n
∑fx
i =1
1
N
1
N
i i
= 2 ' 4254
2
i i
n
∑fy
i =1
i
i
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
= 3'3433
2
− x = 5'3433 ⇒ σ x = 2 '3116
2
2
− y = 12 '0597 ⇒ σ y = 3' 4727
⎛ n
⎞
f ij ⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = −2 '6461
∑j ⎜⎝ ∑
i =1
⎠
σ xy
⇒ r = −0 '3296
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = −0 '3296.
e) Recta de regresión de X sobre Y ( X / Y )
x−x =
σ xy
2 '6461
( y − y ) ⇒ x − 2 '4254 =
( y − 3'3433)
2
σy
3'4727
412
Recta de regresión de Y sobre X (Y / X )
y− y =
σ xy
2 '6461
( x − x) ⇒ y − 3'3433 =
( x − 2 '4254)
2
σx
2 '3116
f) Es cierto que, al ser negativo el coeficiente de regresión, la nube de puntos que se formaría
con los datos que tenemos, se acerca a una recta de pendiente negativa. Lo que implica, que
conforme aumentan las dosis del medicamento, menos días es necesario esperar para que haga
efecto. Luego, es útil tomar el medicamento en dosis relativamente altas.
Y
X
1
2
3
4
5
6
7
8
fj
10
20
30
40
50
fi
fi ·xi
fi ·xi2
10
100
3
60
2
60
1
40
1
50
0
0
0
0
0
0
17
7
140
4
160
7
420
3
240
2
200
0
0
0
0
0
0
23
2
60
4
240
9
810
4
480
3
450
3
540
0
0
0
0
25
0
0
0
0
0
0
5
800
5
1000
4
960
9
2520
4
1280
27
0
0
0
0
0
0
2
400
9
2250
7
2100
2
700
3
1280
23
19
19
19
11
22
44
18
54
162
15
60
240
20
100
500
14
84
504
11
77
539
7
56
448
115
n
∑x f
i =1
fj ·yi
170
460
750
1 080
1 150
1 700
9 200
22 500 43 200 57 500
=
2 456
454
n
∑y f
i =1
fj ·yj2
i i
i i
=
∑y
i =1
i
2
n
j
i =1
ij
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅
⎠
= 16 396
3 610
n
⎛
∑ ⎜⎝ ∑ f
fi
= 2 064
413
1)
fi
X
19
11
18
15
20
14
11
7
115
1
2
3
4
5
6
7
8
fj
2) x =
Y
10
20
30
40
50
fi
fj
17
23
25
27
23
115
1
N
n
∑ xi fi = 3'9478
i =1
y=
1
N
n
∑y f
i =1
i i
= 31'3913
2
1 n
f i xi 2 − x = 21'3565
∑
N i =1
2
1 n
= ∑ fi yi 2 − y = 1134 '6957
N i =1
3) σ x 2 =
σ y2
4) σ xy =
5) r =
1
N
⎛
n
∑ ⎜⎝ ∑ f
j
i =1
ij
⎞
⋅ xi ⎟ ⋅yi − x ⋅ y = 18'6406
⎠
σ xy
⇒ r = 0 '1197
σ x ⋅σ y
El coeficiente de correlación es r = 0 '1197
6) Recta de regresión de Y sobre X (Y / X )
y− y =
σ xy
18'6406
( x − x) ⇒ y − 31'3913 =
( x − 3'9478)
2
σx
21'3565
7) Recta de regresión de X sobre Y ( X / Y )
x−x =
σ xy
18'6406
( y − y ) ⇒ x − 3'9478 =
( y − 31'3913)
2
1134 '6957
σy
8) x=4’5821
9) y=36’6738
10)
Y/
x=3
f3j
10
20
30
40
50
Total
3
2
7
9
0
21
414
PÁGINA 214
SOLUCIONES_________________________________________________________________
La ecuación a resolver es muy sencilla:
4
4
x+ = x⇒ x =4
5
5
Alicia tiene 4 gatos.
415
Unidad 13 – Combinatoria
PÁGINA 216
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Fracciones.
Simplifica las siguientes fracciones:
8 4
32 1
72 3
a) =
b)
=
c)
=
6 3
128 4
120 5
d)
Opera y simplifica:
3 3
a) 2 ⋅ =
4 2
2 3 1
b) ⋅ =
3 4 2
6 15 5
c)3 : = =
5 6 2
1350 25
=
216
4
2
8
d) 5 =
3 15
4
416
PÁGINA 218
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1.a) Por el principio fundamental de enumeración puede vestirse de 5·4 = 20 formas diferentes.
b) Podría vestirse de 20·4 = 80 formas diferentes.
2.Existen 5·3·2 = 30 menús diferentes.
3.Un dado tiene 6 posibilidades diferentes, y una baraja española 40 cartas distintas, luego
podrán producirse 6·40 = 240 resultados diferentes.
4.En realidad tiene tres clases diferentes, de dos, tres y dos ejemplares cada una, así, puede
realizar 2·3·2 = 12 combinaciones distintas.
417
PÁGINA 219
SOLUCIONES_________________________________________________________________
5. a) P5 = 120
b) P6 = 720
c) P3 = 6
d) P2 = 2
e) P10 = 3 628 800
6. La manera de sentarse es una permutación de seis elementos, luego pueden sentarse de P6 =
720 maneras diferentes.
7. Si tener en cuenta el orden pude colocarlos de P16 = 16! = 2’0923 · 1013 maneras diferentes.
Si no los quiere mezclar, entonces tiene 80 640 formas distintas.
P8 = 8! = 40320
P8 · P8 = 80 640.
8. Se pueden formar tantas palabras como combinaciones de cinco letras sean posibles, es decir
P5 = 5! = 120.
418
PÁGINA 220
SOLUCIONES_________________________________________________________________
9.
4!
= 24
(4 − 3)!
10!
=
= 5 040
(10 − 3)!
8!
= 1 680
(8 − 4)!
12!
=
= 665 280
(12 − 6)!
a) V4,3 =
b) V8,4 =
d) V10,3
e) V12,6
c) V7,4 =
7!
= 210
(7 − 4)!
10.
Estamos hablando de variaciones de nueve elementos tomados de cinco en cinco sin repetir
ninguno, es decir:
9!
V9,5 =
= 24.
(9 − 5)!
Tendríamos 24 posibilidades.
11.
Serían variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 sin repetir ninguno, es decir:
5!
V5,3 =
= 20.
(5 − 3)!
Tendrían 20 posibilidades diferentes.
419
PÁGINA 221
SOLUCIONES_________________________________________________________________
12.
a) VR4,3 = 43 = 64
b) VR2,6 = 26 = 64
d) VR5,2 = 52 = 25
e)VR10,5 = 105 = 100 000
c) VR3,4 = 34 = 81
13.
Estamos hablando de variaciones con repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4, es decir:
VR7,4 = 7 4 = 2 401
Tendríamos 2 401 posibilidades.
14.
En cada tirada hay 6 posibilidades, pero necesitamos que los resutados sean distintos, luego
estamos hablando de variaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir:
6!
V6,2 =
= 30
(6 − 2)!
Tendríamos 30 resultados posibles.
15.
Estamos hablando de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2, es decir:
VR6,2 = 62 = 36
Tendríamos 36 números diferentes.
420
PÁGINA 222
SOLUCIONES_________________________________________________________________
16.
a)
421
b)
c)
422
17.
423
PÁGINA 223
SOLUCIONES_________________________________________________________________
18.
3!
=3
2!⋅ (3 − 2)!
4!
=
=4
3!⋅ (4 − 3)!
7!
= 21
2!⋅ (7 − 2)!
10!
=
=1
10!⋅ (10 − 10)!
a) C3,2 =
b) C7,2 =
d) C4,3
e) C10,10
c) C10,5 =
10!
= 252
5!⋅ (10 − 5)!
19.
Estaríamos hablando de combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4, es decir:
6!
= 15.
4!⋅ (6 − 4)!
Habría 15 combinaciones posibles.
C6,4 =
424
PÁGINA 224
SOLUCIONES_________________________________________________________________
20.
7!
= 35
3!⋅ (7 − 3)!
7!
=
= 35
4!⋅ (7 − 4)!
a) C7,3 =
C7,4
b) C8,1 =
8!
=8
1!⋅ (8 − 1)!
7!
= 35
4!⋅ (7 − 4)!
8!
C8,4 =
= 70
4!⋅ (8 − 4)!
C7,4 + C7,3 = C8,4
c) C7,4 =
C7,3 =
7!
= 35
3!⋅ (7 − 3)!
21.
⎛12 ⎞
12!
12 ⋅11⋅ 10!
= 6 ⋅11 = 66
a) ⎜ ⎟ =
=
10! ⋅ 2
⎝10 ⎠ 10!(12 − 10)!
⎛ 10 ⎞
10!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6!
b) ⎜ ⎟ =
=
= 210
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 6!
⎝ 4 ⎠ 4!(10 − 4)!
⎛8 ⎞
8!
8 ⋅ 7 ⋅ 6!
c) ⎜ ⎟ =
=
= 28
2 ⋅ 6!
⎝ 2 ⎠ 2!(8 − 2)!
⎛ 40 ⎞
40!
40 ⋅ 39 ⋅ 38!
d) ⎜ ⎟ =
=
= 780
38! ⋅ 2
⎝ 38 ⎠ 38!(40 − 38)!
425
PÁGINA 225
SOLUCIONES_________________________________________________________________
22.
Binomio de Newton:
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛ n ⎞ 2 n − 2 ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n
(a + b) = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n −1b + ⎜ ⎟ a n − 2b 2 + ... + ⎜
⎟a b +⎜
⎟ ab + ⎜ ⎟ b
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ n − 2⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞ 2 n − 2 ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞
(a + b) n = ⎜ ⎟ a n − ⎜ ⎟ a n −1b + ⎜ ⎟ a n − 2b 2 − ... + ⎜
⎟ ab + ⎜ ⎟ b
⎟a b −⎜
⎝n⎠
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝2⎠
⎝ n − 2⎠
⎝ n − 1⎠
n
n
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
a) (a + b)5 = ⎜ ⎟ a 5 + ⎜ ⎟ a 5−1b + ⎜ ⎟ a 5− 2b 2 + ⎜ ⎟ a 5−3b3 + ⎜ ⎟ a 5− 4b 4 + ⎜ ⎟ a 5−5b5 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠
a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b5
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛ 6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛6⎞
⎛ 6⎞
b) (a + b)6 = ⎜ ⎟ a 6 + ⎜ ⎟ a 6−1b + ⎜ ⎟ a 6− 2b 2 + ⎜ ⎟ a 6−3b3 + ⎜ ⎟ a 6− 4b 4 + ⎜ ⎟ a 6−5b5 + ⎜ ⎟ a 6−6b 6 =
⎝ 4⎠
⎝5⎠
⎝ 6⎠
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
a 6 + 6a 5b + 15a 4b 2 + 20a 3b3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b 6
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
c) (a − b)5 = ⎜ ⎟ a 5 − ⎜ ⎟ a 5−1b + ⎜ ⎟ a 5− 2b 2 − ⎜ ⎟ a 5−3b3 + ⎜ ⎟ a 5− 4b 4 − ⎜ ⎟ a 5−5b5 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠
2 3
4
5
5
4
3 2
a − 5a b + 10a b − 10a b + 5ab − b
23.
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
a) ( x + 1) 4 = ⎜ ⎟ x 4 + ⎜ ⎟ x 4−11 + ⎜ ⎟ x 4− 212 + ⎜ ⎟ x 4−313 + ⎜ ⎟ x 4− 414 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎛3⎞
⎛ 3⎞
b) ( x − 2)3 = ⎜ ⎟ x3 − ⎜ ⎟ x3−1 2 + ⎜ ⎟ x 3− 2 22 − ⎜ ⎟ x3−3 23 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
x3 − 6 x 2 + 12 x − 8
426
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
4
4 −1
4− 2
4−3
4− 4
c) (2 x + 1) 4 = ⎜ ⎟ ( 2 x ) + ⎜ ⎟ ( 2 x ) 1 + ⎜ ⎟ ( 2 x ) 12 + ⎜ ⎟ ( 2 x ) 13 + ⎜ ⎟ ( 2 x ) 14 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
16 x 4 + 32 x 3 + 24 x 2 + 8 x + 1
427
PÁGINA 228
428
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Utilización del producto para contar.
24.
Por el principio fundamental de enumeración podemos obtener 5·3·2 = 30 enchufes diferentes.
25.
Puede montar el móvil de 5·3 = 15 formas distintas.
26.
Puede hacer 10·7·5 = 350 muñecos diferentes.
Permutaciones. Factorial de un número.
27.
a) P8 = 8! = 40 320
b) P15 = 15! = 1’3077·1012
28.
a) P5 = 5! = 120
b) P9 = 9! = 362 880
29.
a) 5! = 120
b) 2· 3! = 8
c) P1 = 1
c) 6! = 720
c) P10 = 3 628 800
d) P11 = 11! = 39916800
d) 3· 3! = 18
30.
Si no tenemos en cuenta el orden, entonces, estamos hablando de permutaciones de cinco
elementos, es decir, existen 5! = 120 maneras de colocar los libros.
31.
Hablamos de permutaciones de cinco elementos, esto es, 5! = 120 números distintos con dichos
dígitos.
32.
Corresponderían a permutaciones de ocho elementos, es decir, 8! = 40 320 palabras diferentes.
33.
Supongamos que las palabras pueden tener sentido o no tenerlo. Como la primera letra es fija,
entonces, el problema se reduce a calcular el número de permutaciones de seis elementos.
6! = 720. Existen 720 palabras diferentes, con o sin sentido.
429
Variaciones.
34.
7!
= 840
(7 − 4)!
15!
=
= 2730
(15 − 3)!
10!
= 151 200
(10 − 6)!
10!
=
= 1 814 400
(10 − 8)!
a) V7,4 =
b) V10,6 =
c) V15,3
d) V10,8
35.
a) VR4,2 = 42 = 16
b) VR5,3 = 53 = 125
c) VR2,5 = 25 = 32
d) VR3,4 = 34 = 81
36.
6!
= 360
(6 − 4)!
20!
= 390700800
b) V20,7 =
(20 − 7)!
9!
= 72
c) V9,2 =
(9 − 2)!
a) V6,4 =
16!
= 16
(16 − 1)!
25!
= 600
e) V25,2 =
(25 − 2)!
15!
= 36036
f) V15,5 =
(15 − 5)!
d) V16,1 =
37.
a) VR4,2 = 42 = 16
d) VR7,2 = 7 2 = 49
b) VR2,12 = 212 = 4096
e) VR5,4 = 54 = 625
c) VR4,6 = 46 = 4096
f) VR3,6 = 36 = 729
38.
Trabajamos con variaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3, puesto que necesitamos que sean
números distintos, luego importa el orden.
V7,3 =
7!
= 210
(7 − 3)!
Existen 210 números diferentes.
39.
Serían variaciones de 7 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir,
7!
V7,4 =
= 840
(7 − 4)!
Existen 840 palabras, con o sin sentido.
430
40.
Que no empiecen por N necesariamente existirían 360 palabras.
6!
V6,4 =
= 360
(6 − 4)!
Si queremos que empiecen por N, entonces, estamos fijando uno de los elementos y
trabajaríamos con variaciones de 5 elementos tomados de cuatro en cuatro.
5!
V5,4 =
= 120
(5 − 4)!
Es decir, 120 palabras que empiecen por N.
41.
Existirían 2401 números diferentes.
VR7,4 = 7 4 = 2401
42.
Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades
diferentes.
El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro
9!
V9,4 =
= 3 024
(9 − 4)!
Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 3 024·5 = 15 120 números
diferentes.
43.
Mantenemos el último dígito fijo, siendo 0 ò 5, luego tenemos dos posibilidades diferentes.
El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro
6!
V6,4 =
= 360
(6 − 4)!
Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 360·2 = 720 números
diferentes.
44.
Como los números tienen que ser menores que 10 000, y no podemos repetir cifras, el problema
se reduce a calcular el número de variaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
10!
V10,4 =
= 5 040
(10 − 4)!
Existen 5 040 números menores de 10 000, con cifras diferentes.
45.
7!
= 2 520
(7 − 5)!
Existen 2 520 palabras distintas, no necesariamente con sentido.
V7,5 =
431
46.
En este caso tenemos que tener en cuenta las palabras de 4, 5, 6, 7 y 8 letras, es decir:
VR6,4 = 64 = 1 296
VR6,5 = 65 = 7 776
VR6,6 = 66 = 46 656
En total 2 015 280 palabras diferentes.
VR6,7 = 67 = 279 936
VR6,8 = 68 = 1 679 616
47.
7!
= 2 520
(7 − 5)!
Pueden formarse 2 520 números diferentes.
V7,5 =
432
PÁGINA 229
433
SOLUCIONES_________________________________________________________________
48.
Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos tres posibilidades
diferentes: 2, 4, 6.
El resto de número los combinamos de cuatro en cuatro
6!
V6,4 =
= 360
(6 − 4)!
Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 360·3 = 1 080 números
diferentes.
49.
6!
= 120
(6 − 3)!
Existen 120 números distintos, suponiendo que no podemos repetir los dígitos.
V6,3 =
Si pudiéramos repetir los dígitos habría VR6,3 = 63 = 216 números distintos.
50.
Mantenemos el último dígito fijo, siendo un número par, luego tenemos cinco posibilidades
diferentes: 0, 2, 4, 6, 8.
El resto de número los combinamos de tres en tres
9!
V9,3 =
= 720
(9 − 3)!
Por el principio fundamental de la enumeración, tenemos existirían 720·5 = 3 600 números
diferentes.
51.
En este caso tenemos que tener en cuenta los números de 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, es decir:
VR4,1 = 41 = 4
VR4,2 = 42 = 16
VR4,3 = 43 = 64
En total 1 364 números diferentes.
VR4,4 = 44 = 256
VR4,5 = 45 = 1 024
434
Diagramas de árbol.
52.
53.
54.
Existen 12 opciones distintas. Las cuatro primeras serían:
435
Las ocho restantes:
Combinaciones. Número combinatorio.
55.
7!
= 21
2!⋅ (7 − 2)!
6!
=
= 20
3!⋅ (6 − 3)!
10!
= 120
3!⋅ (10 − 3)!
8!
=
= 56
5!⋅ (8 − 5)!
a) C7,2 =
b) C10,3 =
d) C6,3
e) C8,5
56.
⎛5⎞
a) ⎜ ⎟ = 5
⎝ 4⎠
⎛ 20 ⎞
b) ⎜ ⎟ = 4 845
⎝16 ⎠
⎛18 ⎞
c) ⎜ ⎟ = 3 060
⎝14 ⎠
⎛ 50 ⎞
d) ⎜ ⎟ = 1
⎝0 ⎠
57.
⎛18 ⎞
18!
= 153
a) ⎜ ⎟ = C18,16 =
16!⋅ (18 − 16)!
⎝16 ⎠
c) C50,2 =
50!
= 1 225
2!⋅ (50 − 2)!
⎛ 100 ⎞
e) ⎜
⎟ =1
⎝ 100 ⎠
⎛ 27 ⎞
f) ⎜ ⎟ = 17 550
⎝ 4⎠
⎛12 ⎞
12!
= 220
d) ⎜ ⎟ = C12,3 =
3!⋅ (12 − 3)!
⎝ 3⎠
⎛9⎞
9!
= 36
b) ⎜ ⎟ = C9,2 =
2!⋅ (9 − 2)!
⎝ 2⎠
⎛ 1 000 ⎞
1 000!
e) ⎜
⎟ = C1 000,998 =
998!⋅ (1 000 − 998)!
⎝ 998 ⎠
= 499 500
⎛10 ⎞
10!
c) ⎜ ⎟ = C10,7 =
= 120
7!⋅ (10 − 7)!
⎝ 7⎠
⎛ 1 250 ⎞
1 250!
f) ⎜
⎟ = C1 250,2 =
2!⋅ (1 250 − 2)!
⎝ 2 ⎠
= 780 625
58.
C10,3 =
10!
= 120
3!⋅ (10 − 3)!
Podemos elegirlos de 120 formas diferentes.
436
59.
C9,5 =
60.
C10,6 =
9!
= 126
5!⋅ (9 − 5)!
Puede confeccionar 126 equipos distintos.
10!
= 210
6!⋅ (10 − 6)!
Puede hacer 210 exámenes diferentes.
61.
C15,4 =
62.
C6,3 =
15!
= 1 365
4!⋅ (15 − 4)!
Pueden elegirlas de 1 365 formas diferentes.
6!
= 20
3!⋅ (6 − 3)!
Pueden sentarse de 20 formas diferentes.
Propiedades de los números combinatorios.
63.
⎛10 ⎞
a) ⎜ ⎟ = 1
⎝10 ⎠
⎛1 000 ⎞
d) ⎜
⎟ = 1 000
⎝ 1 ⎠
⎛ 100 ⎞
b) ⎜
⎟ =1
⎝ 0 ⎠
⎛15 ⎞ ⎛15 ⎞ ⎛ 16 ⎞
16!
16 ⋅15 ⋅14 ⋅ 13!
=
= 560
e) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
13! ⋅ 3 ⋅ 2
⎝12 ⎠ ⎝13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13!⋅ (16 − 13)!
⎛ 50 ⎞ ⎛ 50 ⎞
c) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 50
⎝ 49 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞
20!
20 ⋅19 ⋅ 18!
+ 20 =
f) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + 20 =
+ 20 = 210
18!⋅ (20 − 18)!
18! ⋅ 2
⎝ 18 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 18 ⎠
437
El binomio de Newton.
64.
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎛3⎞
⎛ 3⎞
a) (a + b)3 = ⎜ ⎟ a 3 + ⎜ ⎟ a 3−1b + ⎜ ⎟ a 3− 2b 2 + ⎜ ⎟ a 3−3b3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎛3⎞
⎛ 3⎞
b) (a − b)3 = ⎜ ⎟ a 3 − ⎜ ⎟ a 3−1b + ⎜ ⎟ a 3− 2b 2 − ⎜ ⎟ a 3−3b3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
65.
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
a) (1 + x)5 = ⎜ ⎟15 + ⎜ ⎟15−1 x + ⎜ ⎟ 15− 2 x 2 + ⎜ ⎟15−3 x3 + ⎜ ⎟ 15− 4 x 4 + ⎜ ⎟ 15−5 x5 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠
2
3
4
5
= 1 + 5 x + 10 x + 10 x + 5 x + x
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛5⎞
⎛ 5⎞
b) ( x − 1)5 = ⎜ ⎟ x 5 − ⎜ ⎟ x 5−11 + ⎜ ⎟ x5− 212 − ⎜ ⎟ x5−313 + ⎜ ⎟ x5− 414 − ⎜ ⎟ x 5−515 =
⎝ 5⎠
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
5
4
3
2
= x − 5 x + 10 x − 10 x + 5 x − 1
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
c) ( x + 2) 4 = ⎜ ⎟ x 4 + ⎜ ⎟ x 4−1 2 + ⎜ ⎟ x 4− 2 22 + ⎜ ⎟ x 4−3 23 + ⎜ ⎟ x 4− 4 24 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
= x 4 + 8 x3 + 24 x 2 + 32 x + 16
4
4 −1
4− 2
4 −3
4−4
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
d) ( x 2 + 1) 4 = ⎜ ⎟ ( x 2 ) + ⎜ ⎟ ( x 2 ) 1 + ⎜ ⎟ ( x 2 ) 12 + ⎜ ⎟ ( x 2 ) 13 + ⎜ ⎟ ( x 2 ) 14 =
⎝ 4⎠
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
= x8 + 4 x 6 + 6 x 4 + 4 x 2 + 1
66.
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎛3⎞
⎛ 3⎞
3
3−1
3− 2
3− 3
a) (2 x − 1)3 = ⎜ ⎟ ( 2 x ) − ⎜ ⎟ ( 2 x ) 1 + ⎜ ⎟ ( 2 x ) 12 − ⎜ ⎟ ( 2 x ) 13 = 8 x3 − 12 x 2 + 6 x − 1
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
4
4 −1
4− 2
4−3
4− 4
b) (− x + 3) 4 = ⎜ ⎟ ( − x ) + ⎜ ⎟ ( − x ) 3 + ⎜ ⎟ ( − x ) 32 + ⎜ ⎟ ( − x ) 33 + ⎜ ⎟ ( − x ) 34 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
= x 4 − 12 x 3 + 54 x 2 − 108 x + 81
3
3−1
3− 2
3− 3
⎛3⎞
⎛ 3⎞
⎛3⎞
⎛ 3⎞
c) (2 x 3 − 3)3 = ⎜ ⎟ ( 2 x 3 ) − ⎜ ⎟ ( 2 x 3 ) 3 + ⎜ ⎟ ( 2 x3 ) 32 − ⎜ ⎟ ( 2 x 3 ) 33 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
9
6
3
8 x − 36 x + 54 x − 27
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
4
4 −1
4− 2
4−3
4− 4
d) (−2 x − 3) 4 = ⎜ ⎟ ( −2 x ) − ⎜ ⎟ ( −2 x ) 3 + ⎜ ⎟ ( −2 x ) 32 − ⎜ ⎟ ( −2 x ) 33 + ⎜ ⎟ ( −2 x ) 34 =
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ 4⎠
= 16 x 4 + 96 x3 + 216 x 2 + 72 x + 81
438
67.
3
3
3−1
3− 2
3− 3
⎛3⎞⎛ 1 ⎞
⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞
1
3
3
⎛1
⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞
2
a) ⎜ − x ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x3 =
− x + x 2 − x3
125 25
5
⎝5
⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎝ 2⎠⎝ 5 ⎠
⎝ 3⎠ ⎝ 5 ⎠
3
3
3−1
3− 2
2
3− 3
3
2
x3
⎛ 1 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ 1 x x
b) ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − + −
⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 8 4 6 27
3
2
3
27 x 9 x 2 x 3
x ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3 ⎛ 3 ⎞ 3−1 ⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3− 2 ⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3−3 ⎛ x ⎞
⎛
c) ⎜ 3 + ⎟ = ⎜ ⎟ ( 3) − ⎜ ⎟ ( 3) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ( 3) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ( 3) ⎜ ⎟ = 27 −
+
−
2 ⎠ ⎝0⎠
2
4
8
⎝
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝2⎠
⎝1 ⎠
3
2
3
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
3 ⎞ ⎛3⎞
3
3−1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
3− 2 ⎛ 3 ⎞
3− 3 ⎛ 3 ⎞
⎛
d) ⎜ − x + ⎟ = ⎜ ⎟ ( − x ) + ⎜ ⎟ ( − x ) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ( − x ) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ( − x ) ⎜ ⎟ =
2 ⎠ ⎝0⎠
⎝
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝2⎠
⎝1 ⎠
9
27
27
x+
− x3 + x 2 −
2
4
8
439
PÁGINA 230
440
SOLUCIONES_________________________________________________________________
68.
Queremos relacionar 5 elementos, sin repetirlos, tomados de dos en dos, es decir:
5!
C5,2 =
= 10
2!(5 − 2)!
Solución: Pueden repartirse los premios de 10 formas diferentes.
69.
Queremos repartir 3 elementos entre seis personas, pero nadie nos dice que no podamos darle
dos artículos a una misma personas, luego:
VR3,6 = 36 = 729
Solución: Pueden repartirse los artículos de 729 maneras diferentes.
Si suponemos que no podemos dar dos artículos a una misma persona, entonces
6!
V6,3 =
= 120
(6 − 3)!
Solución: Pueden repartirse los artículos de 120 maneras diferentes.
70.
Queremos repartir 3 elementos entre cinco personas, luego:
5!
C5,3 =
= 10
3!(5 − 3)!
Solución: Pueden repartirse las entradas de 10 maneras diferentes.
Observación : Suponemos que las entradas no están numeradas.
71.
Por el principio fundamental de enumeración puede elegirse el coche de 5·4·2 = 40 formas
diferentes.
72.
Si por cada pregunta hay que mandar un mensaje y son cinco preguntas, entonces, necesitamos
enviar 5·3 = 15 mensajes para acertar con seguridad.
Si cada mensaje cuesta 20 ctm, los 15 costarán 30 €. Frente a los 1 000€ del premio, compensa
mandar todos los mensajes.
73.
Como no podemos repetir letras y queremos hacer grupos de 4, hay que calcular el número de
variaciones de 7 elementos que tenemos tomados de cuatro en cuatro.
441
7!
= 840
(7 − 4)!
Solución: Pueden construirse 840 palabras diferentes.
V7,4 =
Si queremos que las palabras empiecen por B, estamos fijando uno de los elementos, y por lo
tanto, sólo podemos variar los tres restantes:
6!
V6,3 =
= 120
(6 − 3)!
Solución: Pueden construirse 120 palabras diferentes que empiecen por B.
74.
Queremos hacer grupos de tres sabores con los 12 que tenemos. El orden no nos interesa, luego
estamos trabajando con combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3.
12!
C12,3 =
= 220
3!(12 − 3)!
Solución: Pueden hacerse 220 helados diferentes.
75. No estamos trabajando con todos los dígitos a la vez, y al ordenar números tenemos que tener
en cuenta el orden, luego, suponiendo que no podemos repetir ningún dígito, hay que calcular el
número de variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4.
6!
V6,4 =
= 30
(6 − 4)!
Solución1: Pueden construirse 30 números diferentes.
Si suponemos que podemos repetir el mismo dígito, entonces, habría que contar el número de
variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4.
VR6,4 = 64 = 1 296
Solución 2 : Pueden formarse 1 296 distintos.
76.
Estudiamos las letras primero. Tenemos 21 letras para combinar (no contamos LL, Ñ ni vocales).
Importa el orden y podemos repetirlas, luego hay que calcular el número de variaciones con
repetición de 21 elementos tomados de 3 en 3.
VR21,3 = 213 = 9 261
Por otra parte, tenemos 10 dígitos combinables de cuatro en cuatro, que también podemos
repetir, y en los que hay que tener en cuenta el orden, es decir
VR10,4 = 104 = 10 000
Por el principio fundamental de la enumeración tenemos: 9 261·10 000 = 92 610 000
Solución: Existen 92 610 000 de matrículas diferentes.
442
77.
a) La manera de sentarse las siete personas coincide con el número de permutaciones de siete
elementos, es decir 7! = 5 040 maneras diferentes.
b) Contemos a Ana y a Alberto como una única persona, entonces, habría que ver las distintas
formas de colocar a 6 personas, es decir, permutaciones de 6 elementos (720 maneras diferentes).
Por otra parte, Ana y Alberto pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían con el
número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes).
Por el principio fundamental de la enumeración: P6 · P2 = 1 440.
Solución: Existen 1 440 maneras de colocar a todos los amigos, estando Ana y Alberto juntos.
c) A todas las posibilidades de colocar a los siete amigos (7! = 5 040) hay que quitarle las veces
que coinciden Ana y Alberto (2!), es decir, quedarían: P7 - P6 · P2 = 3 600.
Solución: 3 600 formas diferentes.
78.
P10 = 10! = 3 628 800 formas diferentes.
79.
Cada uno de los bloques se ordenaría, respectivamente de las siguientes formas posibles:
Álgebra: P5 = 5! = 120
Análisis: P4 = 4! = 24
Geometría: P6 = 6! = 720
Estadística: P3 = 3! = 6
Como además podemos permutar los cuatro bloques entre sí, el producto de todas ellas por P4
nos da todas las posibilidades.
Solución: Existen 298 598 400 de posibilidades diferentes.
80.
4!
=4
3!(4 − 3)!
Solución: Puede hacerse de cuatro formas diferentes.
C4,3 =
81.
7!
= 840
(7 − 4)!
Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes.
V7,4 =
443
82.
El número de pesas coincide con el número de permutaciones de 6 elementos: 6! = 720 formas
diferentes de pesar.
6 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + 1 = 63
Solución: Puede elegir los libros de 63 formas diferentes.
83.
15!
= 455
3!(15 − 3)!
Solución: Puede elegir los libros de 455 formas diferentes.
C15,3 =
84.
a) VR10,3 = 103 = 1 000
Solución: Podemos formar 1 000 números diferentes.
b) VR10,5 = 105 = 100 000
Solución: Podemos formar 100 000 números diferentes.
c) Si queremos que sean pares, mantemos fija la última cifra, que tiene que ser par: 0, 2, 4, 6 u 8, es
decir, cinco opciones diferentes.
Por otra parte, cuento con 10 cifras para formar números de 4 dígitos, luego son tantas opciones como
variaciones con repetición de 10 elementos tomados de cuatro en cuatro, es decir, 104 .
En total cuento con 10 000 ⋅ 5 = 50 000.
Solución: Existen 50 000 posibilidades diferentes.
d) 3 primeros dígitos: VR10,3 = 103 = 1 000.
Último dígito: 0 ò 5.
Solución: 2 000 números diferentes.
85.
Un número PIN tiene cuatro cifras, luego hay tantas posibilidades como permutaciones de 4
elementos, P4 = 4! = 240 posibilidades distintas.
86.
Tenemos dos posibilidades:
a)
Elegir tres colores diferentes: V11,3 =
11!
= 990 .
(11 − 3)!
444
b)
Elegir dos colores y colocar uno en medio: V11,2 =
11!
= 110
(11 − 2)!
Existen 1 100 posibilidades distintas.
87.
a) VR6,3 = 63 = 216
Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes.
b) VR6,4 = 64 = 1 296
Solución: Podemos formar 1 296 palabras diferentes.
c) VR6,2 = 62 = 36
VR6,2 + VR6,3 + VR6,4 = 1 548
Solución: Existen 1 548 posibilidades diferentes.
d) VR6,2 = P6 = 6! = 720
Solución: 720 palabras diferentes.
e) Fijamos la primera letra y estudiamos las combinaciones posibles de las 3 siguientes:
VR6,3 = 63 = 216
Solución: Podemos formar 216 palabras diferentes.
f) Fijamos la primera y la última letra y estudiamos las combinaciones posibles de las 4 restantes:
VR6,4 = 64 = 1 296
Solución: Podemos formar 1 296 palabras diferentes.
6! 6! 6! 6! 6!
+ + + + = 30 + 120 + 360 + 720 + 720 = 1950
4! 3! 2! 1! 0!
Solución: Podemos formar 1 950 palabras diferentes.
g) V6,2 + V6,3 + V6,4 + V6,5 + V6,6 =
88.
Nos da igual el orden, luego, trabajamos con combinaciones de 12 elementos cogidos de 4 en 4.
12!
C12,4 =
= 495
4!(12 − 4)!
Solución: Puede elegir las chapas de 495 formas diferentes.
445
PÁGINA 231
446
SOLUCIONES_________________________________________________________________
89.
Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de jugador y luego combinarlas:
Porteros: C3,1 = 3
Defensas: C7,4 = 35
Centrocampistas: C5,3 = 10
Delanteros: C6,3 = 20
3 ⋅ 35 ⋅10 ⋅ 20 = 21 000
Solución: Puede constituir el equipo de 21 000 formas diferentes.
90.
VR2,6 = 26 = 64
Solución: Podemos formar 64 números diferentes.
91.
6!
= 20
3!(6 − 3)!
Solución: Tengo 20 opciones.
a) C6,3 =
5!
= 10
3!(5 − 3)!
Solución: Tengo 10 opciones.
b) C5,3 =
92.
Como no importa el orden, estamos hablando de combinaciones.
10!
15!
C10,2 =
= 45
C15,2 =
= 105
2!(10 − 2)!
2!(15 − 2)!
Solución: Un polígono de 10 vértices tiene 45 diagonales y uno de 15 tiene 105 diagonales.
93.
8!
= 56
3!(8 − 3)!
Solución: Pueden construirse 56 triángulos.
C8,3 =
94.
Si los tres números que tenemos están ordenados, actúan como si fueran uno solo. Para el
número que me falta tengo 10 opciones: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y uno de estos dígitos con los
447
tres anteriores puede combinarse de dos formas diferentes, luego, existen 2 ·10 = 20 alternativas
distintas.
95.
a) La manera de sentarse las diez personas coincide con el número de permutaciones de diez
elementos, es decir 10! =3 628 800 maneras diferentes.
b) Contemos a los tres hermanos como una única persona, entonces, habría que ver las distintas
formas de colocar a 8 personas, es decir, permutaciones de 8 elementos (40 320 maneras
diferentes).
Por otra parte, los tres hermanos pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían
con el número de permutaciones de 3 elementos (6 formas diferentes).
Por el principio fundamental de la enumeración: P8 · P3 = 241 920.
Solución: Existen 241 920 maneras de colocar a todos los amigos, estando los tres hermanos
juntos.
c) A todas las posibilidades de colocar a los diez amigos (10! = 3 628 800) hay que quitarle las
veces que coinciden los tres hermanos (3!), es decir, quedarían: P10 / P3 = 604 800.
Solución: 604 800 formas diferentes.
1.
a) VR3,5 = 35 = 243
c) P6 = 6! = 720
⎛15 ⎞
15!
b) C15,5 = ⎜ ⎟ =
= 3 003
⎝ 5 ⎠ 5!(15 − 5)!
5!
d) V5,2 =
= 20
(5 − 2)!
2.
⎛150 ⎞ ⎛150 ⎞ 150! 150 ⋅149 ⋅ 148!
a) ⎜
=
= 75 ⋅149 = 11 175
⎟=⎜
⎟=
148! ⋅ 2
⎝ 2 ⎠ ⎝148 ⎠ 148!2!
⎛ 200 ⎞
200!
200 ⋅198 ⋅ 197!
b) ⎜
= 6 600
=
⎟=
3 ⋅ 2 ⋅ 197!
⎝ 197 ⎠ 197!(200 − 197)!
⎛1000 ⎞ ⎛1000 ⎞
c) ⎜
⎟=⎜
⎟ = 1000
⎝ 999 ⎠ ⎝ 1 ⎠
d) V5,3 ⋅ P3 =
5!
5⋅ 4 ⋅3⋅ 2 ⋅3⋅ 2
= 360
⋅ 3! =
(5 − 3)!
2
448
3.
Por el principio fundamental de enumeración puede hacer el regalo de 7·10·4 = 280 formas
diferentes.
4.
VR6,3 = 63 = 216 números diferentes.
5.
P5 = 5! = 120 palabras diferentes.
6.
7!
= 840
4!(7 − 4)!
Solución: Pueden sentarse de 840 formas diferentes.
C7,4 =
7.
P10 = 10! = 3 628 800 formas diferentes.
8.
4!
=4
3!(4 − 3)!
Solución: Pueden formarse 4 grupos distintos.
C4,3 =
9.
Contamos a Roberto y a Alicia como una única persona, entonces, habría que ver las distintas
formas de colocar a 5 personas, es decir, permutaciones de 5 elementos (120 maneras diferentes).
Por otra parte, los Roberto y Alicia pueden cambiarse de sitio, luego, sus posiciones coincidirían
con el número de permutaciones de 2 elementos (2 formas diferentes).
Por el principio fundamental de la enumeración: P5 · P2 = 240.
Solución: Existen 240 maneras de colocar a todos los amigos, estando Roberto y Alicia juntos.
10.
Tenemos que ver las distintas posibilidades de elegir cada tipo de trabajador para combinarlas:
449
Mecánicos: C7,2 = 21
Aprendices: C5,3 = 10
Soldadores: C4,2 = 6
Torneros: C8,3 = 56
21 ⋅10 ⋅ 6 ⋅ 56 = 70 560
Solución: Puede constituir el equipo de trabajo de 70 560 formas diferentes.
450
PÁGINA 232
SOLUCIONES_________________________________________________________________
x+ y+ z =a
⎫
⎪
x + y +z =b ⎬
⎪
2 xy = z 2
⎭
Sustituyendo la tercera ecuación en la segunda tenemos: (x + y ) 2 = b 2
Luego, b = x + y.
Despejando de la primera tenemos:a − x − y = z ⇒ z = a − b
2
2
2
2
Igualando la primera y la tercera llegamos a la ecuación de segundo grado:
2 y 2 − 2by + (a − b) 2 = 0, que tiene como soluciones y =
Las soluciones a nuestro sistemas son:
b ± b 2 − 2(a − b) 2
2
x =b− y
⎫
⎪
b ± b 2 − 2(a − b) 2 ⎪
y=
⎬
2
⎪
z = a −b
⎪
⎭
451
Unidad 14 – Probabilidad
PÁGINA 234
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Calcular variaciones.
3!
a) V3,2 =
=6
(3 − 2)!
b) V5,3 =
5!
= 60
(5 − 3)!
c) VR2,4 = 24 = 16
Calcular permutaciones.
a) P3 = 3! = 6
b) P5 = 5! = 120
c) P10 = 10! =3 628 800
P11 = 11! =39 916 800 palabras diferentes.
Números combinatorios.
⎛ 5⎞
5!
a) ⎜ ⎟ =
= 10
⎝ 3 ⎠ 3!(5 − 3)!
⎛10 ⎞ ⎛ 10 ⎞
b) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 10
⎝ 9⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛7⎞
7!
c) ⎜ ⎟ =
= 35
⎝ 3 ⎠ 3!(7 − 3)!
452
PÁGINA 236
SOLUCIONES_________________________________________________________________
1.
Experimentos deterministas.
a) Lanzar un objeto.
b) Calentar agua a 100º.
Experimentos aleatorios.
a) Sacar una moneda de una bolsa.
b) Saca una carta de la baraja.
2.
a) E = {cara, cruz}
b) E = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6),
(cruz, 1), (cruz, 2), (cruz, 3), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6)}
c) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8),
(7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (7, 8),
(8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8)}
d) E = {as de oros, dos de oros, tres de oros, cuatro de oros, cinco de oros, seis de oros, siete de
oros, sota de oros, caballo de oros, rey de oros,
as de copas, dos de copas, tres de copas, cuatro de copas, cinco de copas, seis de copas,
siete de copas, sota de copas, caballo de copas, rey de copas,
as de espadas, dos de espadas, tres de espadas, cuatro de espadas, cinco de espadas, seis
de espadas, siete de espadas, sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas,
as de bastos, dos de bastos, tres de bastos, cuatro de bastos, cinco de bastos, seis
de bastos, siete de bastos, sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos}
d) E = {(cara, cara, cara), (cara, cara, cruz), (cara, cruz, cara), (cruz, cara, cara),
(cruz, cruz, cruz), (cruz, cruz, cara), (cruz, cara, cruz), (cara, cruz, cruz)}
453
PÁGINA 237
SOLUCIONES_________________________________________________________________
3.
a) Suceso seguro = E = {Ø, cara, cruz, (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)}
Sucesos elementales: {cara}, {cruz}
b) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)}
Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
c) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12},
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)}
Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}
d) Suceso seguro = E = {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11},
{12}, {15}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36},
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6,6)}
Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11},
{12}, {15}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36}.
4.
a) Sucesos compuestos: (cruz, cara), (cruz, cruz).
b) Sucesos compuestos: (5, 4), (5, 5).
c) Sucesos compuestos: (2, 2), (2, 3).
d) Sucesos compuestos: (3, 3), (3, 4).
454
PÁGINA 238
SOLUCIONES_________________________________________________________________
5.
a) A ∪ B = {Sacar un número múltiplo de 3 o múltiplo de 5}
b) A ∪ C = {Sacar un número múltiplo de 3 o múltiplo de 4}
c) B ∪ C = {Sacar un número múltiplo de 5 o múltiplo de 4}
d) A ∩ B = {Sacar un número múltiplo de 3 y múltiplo de 5} = {Sacar un número múltiplo de 15}
e) A ∩ C = {Sacar un número múltiplo de 3 y múltiplo de 4} = {Sacar un número múltiplo de 12}
f) B ∩ C = {Sacar un número múltiplo de 5 y múltiplo de 4} = {Sacar un número múltiplo de 20}
g) A ∩ B = {Sacar un número que no sea múltiplo de 3 pero sí de 5}
h) B ∩ C = {Sacar un número que sea múltiplo de 5 pero no de 4}
i) C ∩ C = {∅}
455
PÁGINA 239
SOLUCIONES_________________________________________________________________
6.
Cara
Frecuencia absoluta
1
20
2
23
3
17
4
16
5
16
6
8
Si la probabilidad es el valor al que tiende la frecuencia relativa, calculemos la frecuencia
relativa de cada cara.
h(1) = 0’2
h(2) = 0’23
h(3) = 0’17
h(4) = 0’16
h(5) = 0’16
h(6) = 0’08
1
La probabilidad es aproximadamente 0’14, es decir, aproximadamente .
6
456
PÁGINA 240
SOLUCIONES_________________________________________________________________
7.
a)P( A) = 1 − P( A) = 1 − 0 '3 = 0 '7
b)P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0 '3 + 0 ' 25 = 0 '55
0
porque A y B son
incompatibles.
c)P( A ∩ B) = P(∅) = 0
d)P( B) = 1 − P ( B) = 1 − 0 '25 = 0 '75
e)P( B ∪ B) = P( B) + P( B) − P( B ∩ B) = P( B) + 1 − P( B) = 1
0
B ∩ B =∅
f)P ( A ∩ A) = 0 porque A ∩ A = ∅
457
PÁGINA 241
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Regla de Laplace P ( A ) =
casos favorables
casos posibles
8.
i
a) P ( A) = P (4) =
8
= 0'2
40
4
= 0 '1
40
16
c) P ( A) =
= 0'4
40
b) P ( A) =
4
= 0 '1
40
1
e) P ( A) =
= 0 '025
40
10
= 0 '25
f) P( A) =
40
d) P ( A) =
9.
1
= 0 '33
3
1
b) P ( XC ) = = 0 '33
3
a) P ( XX ) =
c) P ( XC ∪ XX ) = P ( XC ) + P ( XX ) =
d) P (C ) = 1 − P (C ) = P ( XX ) =
2
= 0 '67
3
1
= 0 '3
3
458
PÁGINA 242
SOLUCIONES_________________________________________________________________
10.
El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de cuatro caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos
tomados de dos en dos: VR4, 2 = 42 = 16
Suceso
{2}
Casos favorables
(1, 1)
Número de casos favorables
1
{3}
(1, 2), (2, 1)
2
{4}
(1, 3), (2, 2), (3,1)
3
{5}
(1, 4), (2,3), (3,2), (4,1)
4
{6}
(2, 4), (3, 3), (4,2)
3
{7}
(3, 4), (4, 3)
2
{8}
(4, 4)
1
Probabilidad
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
11.
El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de cuatro caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de cuatro elementos
tomados de dos en dos: VR4, 2 = 42 = 16
459
a)
Suceso
{1}
Casos favorables
(1, 1)
Número de casos favorables
1
{2}
(1, 2), (2, 1)
2
{3}
(1, 3), (3,1)
2
{4}
(1, 4), (2, 2), (4,1)
3
{6}
(2,3), (3,2)
2
{8}
(2, 4), (4,2)
2
{9}
(3, 3)
1
{12}
(3, 4), (4, 3)
2
{16}
(4, 4)
1
Probabilidad
1
16
2
16
2
16
3
16
2
16
2
16
1
16
2
16
1
16
b)
i
P (2) = P (2 ∪ 4 ∪ 6 ∪ 8 ∪ 12 ∪ 16) = P(2) + P(4) + P(6) + P(8) + P(12) + P(16) =
2 3 2 2 2 1 12
= + + + + + =
16 16 16 16 16 16 16
Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir
la diferencia de las intersecciones.
c)
i
P (3) = P(3 ∪ 6 ∪ 9 ∪ 12) = P(3) + P (6) + P (9) + P (12) =
2 2 1 2
7
= + + + =
16 16 16 16 16
Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir
la diferencia de las intersecciones.
d)
i
i
i
P (2∩ 3) = P (6) = P(6 ∪ 12) = P(6) + P(12) =
2 2
4
= + =
16 16 16
Observación : Todos los sucesos incluídos son incompatibles, por eso no es necesario añadir
la diferencia de las intersecciones.
460
PÁGINA 243
SOLUCIONES_________________________________________________________________
12.
Llamaremos C a la posibilidad de obtener cara y X a la de obtener cruz. Ambas tienen la
1
misma probabilidad de ocurrir: P (C ) = P ( X ) = .
2
a)P(C ) = P(CXX ) + P( XCX ) + P ( XXC ) =
= P(C ) ⋅ P ( X ) ⋅ P( X ) + P( X ) ⋅ P(C ) ⋅ P( X ) + P( X ) ⋅ P( X ) ⋅ P(C ) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
b)P(2C ) = P (CCX ) + P( XCC ) + P (CXC ) =
= P(C ) ⋅ P (C ) ⋅ P( X ) + P( X ) ⋅ P(C ) ⋅ P(C ) + P(C ) ⋅ P( X ) ⋅ P(C ) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
1 1 1 1
c)P(3C ) = P(CCC ) = P(C ) ⋅ P (C ) ⋅ P(C ) = ⋅ ⋅ =
2 2 2 8
d)P(al menos una cara) = 1 − P(ninguna cara) = 1 − P(tres cruces) =
1 1 1 7
1 −P( XXX ) = P ( X ) ⋅ P( X ) ⋅ P( X ) = 1 − ⋅ ⋅ =
2 2 2 8
13.
a) El suceso ''obtener un cinco y un seis'' puede darse sacando (5, 6) ó (6, 5).
1 1 1
P ({(5, 6)}) = P({(6, 5)}) = P(5) ⋅ P(6) = ⋅ =
6 6 36
2
1
P ( A) = P({(5, 6)}) + P({(6, 5)}) =
=
36 18
461
b)El suceso ''obtener un cinco en el primer dado'' puede darse sacando (5, x ) con x ∈ [1,6] .
1 1 1
P ({(5, x)}) = P(5) ⋅ P( x) = ⋅ =
6 6 36
6
6 1
P ( A) = ∑ P({(5, x)}) =
=
36 6
x =1
c)El suceso ''obtener al menos un cinco'', es el complementario de ''no obtener ningún cinco'', entonces
podemos sacar cualquier combinación ( x, y ), siempre y cuando x, y ∈ [1, 6] / {5}
P (al menos un cinco) = 1 − P(ningún cinco)
Si contamos el número de casos que tenemos, coinciden con el número de variaciones con
repetición de cinco elementos tomados de dos en dos, es decir, VR5,2 = 52 = 25. Por lo tanto,
1 1 1
si P({( x, y )}) = P( x) ⋅ P( y ) = ⋅ = ,
6 6 36
1 25
= .
36 36
25 11
P (al menos un cinco) = 1 − P(ningún cinco) = 1 −
=
36 36
la probabilidad de que no salga ningún cinco es 25 ⋅
d)P(obtener un número par en ( x, y )) = P ( x par) ⋅ P ( y impar) + P ( x impar) ⋅ P( y par) =
= [ P(2) + P(4) + P(6)] ⋅ [ P (1) + P(3) + P(5)] + [ P(1) + P (3) + P(5)] ⋅ [ P(2) + P(4) + P(6)] =
3 3 3 3 9
9 18 1
= ⋅ + ⋅ =
+
=
=
6 6 6 6 36 36 36 2
462
PÁGINA 244
SOLUCIONES_________________________________________________________________
14.
a) Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente:
1ª Blanca → B1
2ª Roja → R 2
3ª Negra → N 3
Por lo tanto, tenemos que calcular
N
⎞ ⋅ P ⎛ R2 ⎞ ⋅ P B
P ( B1 ∩ R2 ∩ N 3 ) = P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ B ⎟ ( 1)
∩
B
R
⎝
1
2⎠
1⎠
⎝
7
8
N
R
⎞= 3
P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ,
P ⎛⎜ 3
P ( B1 ) = ,
⎟
⎝ B1 ⎠ 17
⎝ B1 ∩ R2 ⎠ 16
18
N
⎞ ⋅ P ⎛ R2 ⎞ ⋅ P B = 3 ⋅ 8 ⋅ 7 = 7
P ⎛⎜ 3
⎟ ( 1)
⎟ ⎜
⎝ B1 ∩ R2 ⎠ ⎝ B1 ⎠
16 17 18 204
Solución: P ( B1 ∩ R2 ∩ N 3 ) =
7
204
b) Queremos que las extracciones sean negras, por lo tanto tenemos que calcular
N
⎞ ⋅ P ⎛ N2 ⎞ ⋅ P N
P ( N1 ∩ N 2 ∩ N 3 ) = P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ N ⎟ ( 1)
∩
N
N
⎝
1
2⎠
1⎠
⎝
3
2
N
N
⎞= 1
P ( N1 ) = ,
P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ,
P ⎛⎜ 3
⎟
∩
N
N
N
⎝
1⎠
1
2⎠
⎝
18
17
16
N
⎞ ⋅ P ⎛ N2 ⎞ ⋅ P N = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1
P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ N ⎟ ( 1)
∩
N
N
⎝
1
2⎠
1⎠
⎝
16 17 18 816
Solución: P( N1 ∩ N 2 ∩ N 3 ) =
1
816
c) Queremos que las extracciones sean dos bolas negras y una blanca, por lo tanto tenemos
que calcular:
B
⎞ ⋅ P ⎛ N2 ⎞ ⋅ P N
P ( N1 ∩ N 2 ∩ B3 ) = P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ N ⎟ ( 1)
N
∩
N
⎝
1
2⎠
1⎠
⎝
463
B
⎞= 7
⎞= 2 ,
P ⎛⎜ 3
⎟
⎟
N1 ⎠ 17
⎝ N1 ∩ N 2 ⎠ 16
B
⎞ ⋅ P ⎛ N2 ⎞ ⋅ P N = 7 ⋅ 2 ⋅ 3 = 7
P ⎛⎜ 3
⎟ ( 1)
⎟ ⎜
16 17 18 816
⎝ N1 ∩ N 2 ⎠ ⎝ N1 ⎠
P ( N1 ) =
3
,
18
P ⎛⎜
⎝
N2
Solución: P( N1 ∩ N 2 ∩ B3 ) =
7
816
d) Queremos que las extracciones sean todas rojas, es decir:
R
⎞ ⋅ P ⎛ R2 ⎞ ⋅ P R
P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = P ⎛⎜ 3
⎟ ( 1)
⎟ ⎜
⎝ R1 ∩ R2 ⎠ ⎝ R1 ⎠
8
7
R
R
⎞= 6
P ( R1 ) = ,
P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ,
P ⎛⎜ 3
⎟
∩
R
R
R
⎝
1⎠
1
2⎠
⎝
18
17
16
N
⎞ ⋅ P ⎛ N2 ⎞ ⋅ P N = 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 7
P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ N ⎟ ( 1)
∩
N
N
⎝
1
2⎠
1⎠
⎝
16 17 18 102
Solución: P( R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =
7
102
464
PÁGINA 245
SOLUCIONES_________________________________________________________________
15.
a) Queremos que las dos bolas que saquemos sean blancas:
10 9
9
B
P ( B1 ∩ B2 ) = P ( B1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ =
⋅ =
B
⎝
1⎠
20 19 38
Solución: P ( B1 ∩ B2 ) =
9
38
b) Queremos que sólo una de las dos bolas que saquemos sea blanca:
⎛B
⎞
⎛B
⎞ 10 10 10 10 10
P ( B1 ∩ B2 ) = P ( B1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ + P B1 ⋅ P ⎜ 2 ⎟ =
⋅ + ⋅ =
⎝ B1 ⎠
⎝ B1 ⎠ 20 19 20 19 19
( )
Solución: P( B1 ∩ B2 ) =
10
19
c) El suceso ''ninguna bola blanca'', es el complementario del suceso ''las dos bolas blancas''.
9 29
Por lo tanto, P ( B1 ∩ B2 ) = 1 − P ( B1 ∩ B2 ) = 1 − =
38 38
29
Solución: P( B1 ∩ B2 ) =
38
d) Queremos que la primera bola sea blanca y la segunda negra:
7 10 7
B
P ( B1 ∩ N 2 ) = P ( N 2 ) ⋅ P ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = ⋅ =
N
2⎠
⎝
19 20 38
Solución: P ( B1 ∩ N 2 ) =
7
38
465
16.
Queremos que el alumno elegido sea niño, y moreno, entonces:
(
P (Niño ∩ Moreno) = P ( Niño ) ⋅ P Moreno
Solución: P(Niño ∩ Moreno) =
Niño
) = 1228 ⋅ 127 = 14
1
4
466
PÁGINA 248
467
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Experimentos deterministas y aleatorios.
17.
a) Experimento aleatorio.
b) Experimento determinista.
c) Experimento aleatorio.
d) Experimento aleatorio.
e) Experimento aleatorio.
f) Experimento aleatorio.
g) Experimento aleatorio.
18.
a) E = {(cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (cara, 7), (cara, 8),
(cruz, 1), (cruz, 2), (cruz, 3), (cruz, 4), (cruz, 5), (cruz, 6) , (cruz, 7) , (cruz, 8)}.
b) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),
(7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6),
(8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6)}.
c) E = {(cara, cara, 1), (cara, cara, 2), (cara, cara, 3), (cara, cara, 4),
(cruz, cruz, 1), (cruz, cruz, 2), (cruz, cruz, 3), (cruz, cruz, 4)}.
d) E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)
(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)
(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.
19.
Experimentos aleatorios
a) Elegir un número y anotar su resultado al dividirlo entre tres.
b) Sacar unos calcetines del cajón al azar.
Experimentos deterministas
a) Pesar 1 dm3 de agua.
b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2 de área.
20.
E={R, B, N}
21.
a) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
468
b) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 36}
c) E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (0, 9),
(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9),
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9),
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9),
(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9),}.
d) E = {(B, B), (B, R), (B, N), (R, R), (R, B), (R, N), (N, N), (N, R), (N, B)}
e) E = { (B, B, B), (B, B, N), (B, N, B), (N, B, B), (B, N, N), (N, B, N), (N, N, B), (N, N, N)}
Sucesos.
22.
a) El único suceso imposible es el conjunto vacío: Ø.
b) El suceso seguro es el formado por todos los sucesos.
E = { Ø , {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio},
(varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio),
(mujer, morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia)}
c) Los sucesos elementales son: {varón}, {mujer}, {moreno}, {castaño}, {rubio}.
d) Los sucesos compuestos son: (varón, moreno), (varón, castaño), (varón, rubio), (mujer,
morena), (mujer, castaña), (mujer, rubia).
23.
a) {0}, {2}, {3}.
b) {1, 3, 5, 7, 9}, {2, 4, 6, 8}
c) E
d) Ø
Operaciones con sucesos.
24.
A ={2, 4, 6, 8, 10}
B ={6, 12, 18}
C ={1, 3, 4, 6, 8}
a) A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 18}
b) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
c) B ∪ C ={1, 3, 4, 6, 8, 12, 18}
d) A ∩ B = {6}
e) A ∩ C = {4, 8}
f) B ∩ C = {6}
g) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
h) B ∩ C = {1, 3, 4, 8}
i) C ∪ C = E
469
25.
A ={2, 4, 5, 7, 8}
B ={3, 5, 7, 9}
C ={1, 2, 3, 4}
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
a) A ∩ ( B ∪ C ) = {2, 4, 5, 7}
b) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = {2, 4, 5, 7}
c) A ∪ B ={1, 6, 10}
d) A ∩ B = {1, 6, 10}
e) A ∪ ( B ∩ C ) = {2, 3, 4, 5, 7, 8}
f) ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = {2, 3, 4, 5, 7, 8}
g) A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
h) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
26.
Se pueden asegurar las dos propiedades siguientes.
a) A ∪ B = A ∩ B
b) A ∩ B = A ∪ B
Frecuencia de un suceso. Ley de los grandes números.
27.
Normalmente, el número de veces que sale cara tiene que ser aproximadamente el mismo que la
probabilidad de que salga cruz, por lo tanto, es probable, que esté trucada, puesto que el número
de cruces casi triplica al de caras.
28.
La probabilidad de cruces no varía a lo largo del experimento, si no que hay que estudiarla una
vez terminado el mismo y habiendo lanzado la moneda una cantidad de veces lo suficientemente
grande para que las frecuencias puedan estabilizarse.
29.
La probabilidad es el número al que tiende la frecuencia relativa después de realizar el
experimento un número de veces considerablemente grande. Por lo tanto, en este caso, la
probabilidad de acertar la canasta de dos puntos la conseguimos calculando la frecuencia relativa
después de 3127 lanzamientos:
2318
= 0 '74
hi =
3127
La probabilidad de encestar un tiro de dos puntos es 0’74.
470
PÁGINA 249
471
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Probabilidad de un suceso.
30.
P ( A) = 1 − P( A) = 1 − 0 '3 = 0 '7
Solución: P ( A) = 0 '7
31.
P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B) = 0 '5 + 0 '1 = 0 '6
0
porque A y B son
incompatibles.
Solución: P ( A ∪ B) = 0 '6
32.
a) Verdadera. Todos los sucesos elementales sn incompatibles porque su intersección es el
conjunto vacío.
b) Falsa. Los sucesos elementales son incompatibles.
c) Falsa. La probabilidad nunca toma valores mayores que 1.
d) Verdadera.
E = { A} ∪ { B} ∪ {C}⎫⎪
⎬ ⇒ P ({ A} ) + P ({ B} ) + P ({C} ) = 1
P( E ) = 1
⎪⎭
e) Verdadera.
P ( A ∪ C ) = P ( A) + P ( C ) − P ( A ∩ C ) = P ( A) + P ( C )
0
porque son
sucesos incompatibles
f) Verdadera. A y B son sucesos incompatibles.
33.
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 1 − P( A) = 1 − 0 '3 = 0 '7
Solución: P( B) = 0 '7
34.
a)P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 0 '7 = 0 '3
Solución: P( A) = 0 '7
b)P( B) = 1 − P( B) = 1 − 0 '6 = 0 '4
Solución: P( B) = 0 '4
472
c)P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0 '7 + 0 '6 − 0 '5 = 0 '8
Solución: P ( A ∪ B ) = 0 '8
d)P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − 0 '8 = 0 ' 2
Solución: P ( A ∪ B ) = 0 '2
d)P ( A ∩ B) = P( A ∪ B) = 0 ' 2
Solución: P ( A ∩ B ) = 0 '2
e)P ( A ∪ B ) = P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A ∩ B) = 1 − 0 '5 = 0 '5
Solución: P ( A ∪ B ) = 0 ' 5
La ley de Laplace.
35.
Regla de Laplace P ( A ) =
P (Chico) =
casos favorables
casos posibles
12 3
=
28 7
Solución: La probabilidad de que sea chico es
3
.
7
36.
LLamaremos N al suceso ''bañador negro'', A al suceso ''bañador azul'' y R al suceso ''bañador rojo''.
a)P(N) =
2
1
=
20 10
Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro es
b)P(A) =
1
.
10
8 2
=
20 5
Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color azul es
c)P(R) = 1 − P( R) = 1 −
2
.
5
10 1
=
20 2
Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color rojo es
1
.
2
473
d)P(N ∪ R) = P( N ) + P( R) − P(N ∩ R) =
0
porque son
sucesos incomptibles
2 10 3
+
=
20 20 5
Solución: La probabilidad de que su bañador sea de color negro o rojo es
e)P(N) = 1 − P( N ) = 1 −
3
.
5
2
9
=
20 10
Solución: La probabilidad de que su bañador no sea de color negro es
9
.
10
37.
LLamaremos B al suceso ''bola blanca'', N al suceso ''bola negra'' y A al suceso ''bola azul'', y
R al suceso ''bola roja''.
3
a)P(B) =
14
3
Solución: La probabilidad de sacar una bola blanca es
.
14
b)P(R ) =
4 2
=
14 7
Solución: La probabilidad de sacar una bola roja es
c)P(N) =
2
.
7
5
14
Solución: La probabilidad de sacar una bola negra es
d)P(A) =
5
.
14
2 1
=
14 7
Solución: La probabilidad de sacar una bola azul es
38.
a)P(Par) = P(2) + P(4) + P(6) =
1
.
7
3 1
=
6 2
Solución: La probabilidad de sacar un número par es
1
.
2
474
b)P(Impar) = P(1) + P(3) + P(5) =
3 1
=
6 2
Solución: La probabilidad de sacar un número impar es
c)P( x < 4) = P(1) + P(2) + P(3) =
1
.
2
3 1
=
6 2
Solución: La probabilidad de sacar un número menor que cuatro es
d)P( x ≤ 4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) =
1
.
2
4 2
=
6 3
Solución: La probabilidad de sacar un número menor o igual que cuatro es
e)P(2) =
2
.
3
1
6
Solución: La probabilidad de sacar dos es
f)P(2 ∪ 5) = P(2) + P (5) =
1
.
6
2 1
=
6 3
1
.
3
Solución: La probabilidad de sacar un dos o un cinco es
i
g)P(3) = P(3) + P(6) =
2 1
=
6 3
Solución: La probabilidad de sacar un múltiplo de tres es
h)P(Primo) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) =
4 2
=
6 3
Solución: La probabilidad de sacar un número primo es
39.
a)P (12) =
1
.
3
2
.
3
1
12
Solución: La probabilidad de sacar el volumen número doce es
1
.
12
475
6 1
=
12 2
1
Solución: La probabilidad de sacar un volumen par es .
2
b)P(Par) = P (2) + P (4) + P(6) + P(8) + P (10) + P(12) =
i
c)P (3) = P (3) + P (6) + P (9) + P(12) =
4 1
=
12 3
Solución: La probabilidad de sacar un volumen múltiplo de tres es
1
.
3
40.
Queremos que las extracciones se den en el orden siguiente:
1ªR → R1
2ª U → U 2
3ª B → B3
4ª I → I 4
5ª O → O5
Por lo tanto, tenemos que calcular
P ( R1 ∩ U 2 ∩ B3 ∩ I 4 ∩ O5 ) =
B
U
⎞ ⋅ P ⎛ I4
⎞ ⎛O
⎞
P ( R1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟ ⎜ R ∩U ∩ B ⎟ ⋅ P ⎜ 5 R ∩U ∩ B ∩ I ⎟
∩
R
R
U
⎝
1
2⎠
1
2
3⎠
1
2
3
4⎠
1⎠
⎝
⎝
⎝
B
⎞=1
⎞= 1
P ⎜⎛ 3
⎟
⎟
R1 ⎠ 4
⎝ R1 ∩ U 2 ⎠ 3
O
I
⎞=1
⎞ =1
P ⎛⎜ 4
P ⎛⎜ 5
⎟
⎟
∩
∩
∩
∩
∩
R
U
B
R
U
B
I
1
2
3⎠
1
2
3
4⎠
⎝
⎝
2
P ( R1 ) =
1
5
P ⎛⎜
⎝
U2
1 1 1 1
1
P( R1 ∩ U 2 ∩ B3 ∩ I 4 ∩ O5 ) = ⋅ ⋅ ⋅ =
5 4 3 2 120
Solución: La probabilidad de que las letras salgan en el mismo orden es
7
120
41.
1 3 1
a)P ((6, Par)) = P (6) ⋅ P(par) = P (6) ⋅ [ P(2) + P(4) + P(6) ] = ⋅ =
6 6 12
Solución: La probabilidad de sacar 6 en la primera tirada y un par en la segunda es
1
.
12
476
⎡
⎤
b)P((primo, 2 ∪ 5)) = P(primo) ⋅ P(2 ∪ 5) = [ P(1) + P(2) + P(3) + P(5) ] ⋅ ⎢ P(2) + P(5) − P(2 ∩ 5) ⎥ =
⎢⎣
⎥⎦
0
4 2 8
= ⋅ =
6 6 36
Solución:
La probabilidad de sacar un primo en la primera tirada y un dos o un cinco en la segunda es
2
.
9
c) Sea la tirada obtenida ( x, y ), queremos saber P ( x + y = 8)
El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
Número de casos
favorables
1
Probabilidad
{2}
(1, 1)
{3}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{4}
(1, 3), (2, 2), (3,1)
3
3
{5}
(1, 4), (2,3), (3,2), (4,1)
4
4
{6}
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2), (5, 1)
5
5
{7}
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)
6
6
{8}
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
5
5
{9}
(3, 6), (4,5), (5,4), (6,3)
4
4
{10}
(4, 6), (5, 5), (6,4)
3
3
{11}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{12}
(6, 6)
1
Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 8 es
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
1
16
5
.
36
477
d) Sea la tirada obtenida ( x, y ), queremos saber P ( x ⋅ y = 12)
El espacio muestral de nuestro suceso es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
{1}
(1, 1)
Número de casos
favorables
1
Probabilidad
{2}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{3}
(1, 3), (3,1)
2
2
{4}
(1, 4), (2, 2), (4,1)
3
3
{5}
(1, 5), (5, 1)
2
2
{6}
(1, 6), (2,3), (3,2), (6,1)
4
4
{8}
(2, 4), (4, 2)
2
2
{9}
(3, 3)
1
1
{10}
(2, 5), (5, 2)
2
3
{12}
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
4
2
{15}
(3, 5), (5, 3)
2
2
{16}
(4, 4)
1
1
{18}
(3, 6), (6, 3)
2
2
{20}
(4, 5), (5, 4)
2
2
{24}
(4, 6), (6, 4)
2
2
{25}
(5, 5)
1
1
{30}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{36}
(6, 6)
1
1
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
478
Solución: La probabilidad de que el producto de las dos tiradas sea 12 es
1
.
18
3 3 1
e)P ((Par, Impar)) = P (Par) ⋅ P(Impar) = [ P(2) + P(4) + P(6) ] ⋅ [ P(1) + P(3) + P(5) ] = ⋅ =
6 6 4
Solución: La probabilidad de sacar par en la primera tirada y un impar en la segunda es
1
.
4
42.
a) El número de piezas de un dominó son 28, y sólo una de ellas es doble blanca. Aplicando la
ley de Laplace tenemos:
casos favorables 1
=
P ( doble blanca ) =
casos posibles
28
Solución: P ( doble blanca ) =
1
28
b) Si queremos que salga un seis, tenemos las siguientes posibilidades: (blanco,6), (1,6), (2,6),
(3,6), (4,6), (5,6), (6,6). Es decir,
P ( sacar seis ) =
casos favorables 7
=
casos posibles
28
Solución: P ( sacar seis ) =
1
4
c) Sólo existen siete fichas blancas: (blanco, blanco), (blanco, 1), (blanco, 2), (blanco, 3),
(blanco, 4), (blanco, 5), (blanco, 6).
casos favorables 7
=
P ( sacar blanco ) =
casos posibles
28
Solución: P ( sacar blanco ) =
1
4
d) Las fichas que suman diez son dos: (4,6) y (5,5).
casos favorables 2
=
P ( sumar diez ) =
casos posibles
28
Solución: P ( sumar diez ) =
1
14
e) Las fichas cuyo producto es 12 son 2: (2, 6) y (3, 4).
479
P ( producto sea doce ) =
casos favorables 2
=
casos posibles
28
1
14
f) Las fichas cuya puntuación suma un número par son: (blanca, 2), (blanca, 4), (blanca, 6),
(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 6)
casos favorables 15
=
P ( suma par ) =
casos posibles
28
Solución: P ( producto sea doce ) =
Solución: P ( suma par ) =
15
28
43.
a) El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
Número de casos
favorables
1
Probabilidad
{2}
(1, 1)
{3}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{4}
(1, 3), (2, 2), (3,1)
3
3
{5}
(1, 4), (2,3), (3,2), (4,1)
4
4
{6}
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2), (5, 1)
5
5
{7}
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)
6
6
{8}
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
5
5
{9}
(3, 6), (4,5), (5,4), (6,3)
4
4
{10}
(4, 6), (5, 5), (6,4)
3
3
{11}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{12}
(6, 6)
1
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
1
16
480
Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 5 es
b)
P(4 ∪ 6) = P(4) + P(6) − P(4 ∩ 6) =
0
4
.
36
3
5
8
+
=
36 36 36
Solución: La probabilidad de que entre las dos tiradas sumen 4 o 6 es
c)
P(x > 10) = P(11) + P(12) =
2
1
3
+
=
36 36 36
Solución: La probabilidad de que obtener un número mayor que 10 es
d)
i
P( 3) = P(3) + P (6) + P(9) + P(12) =
i
P( 5) = P(5) + P(10) =
1
.
12
2
5
4
1 12
+ + +
=
36 36 36 36 36
Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de tres es
e)
2
.
9
1
.
3
4
3
7
+
=
36 36 36
Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es
7
.
36
f)
1
3
5
5
3
1 18
+ + + + +
=
36 36 36 36 36 36 36
1
Solución: La probabilidad de obtener un número par es .
2
i
P( 2 ) = P(2) + P(4) + P(6) + P(8) + P(10) + P(12) =
481
PÁGINA 250
482
SOLUCIONES_________________________________________________________________
44. Por la regla de Laplace sabemos que la probabilidad de elegir un chicos la calculamos
dividiendo los casos favorables entre los posibles, entonces:
casos favorables x
P ( chico ) =
=
= 0 '6 ⇒ x = 18
casos posibles
30
Solución: En la clase hay 18 chicos.
45.
El espacio muestral de nuestro suceso es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
{1}
(1, 1)
Número de casos
favorables
1
Probabilidad
{2}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{3}
(1, 3), (3,1)
2
2
{4}
(1, 4), (2, 2), (4,1)
3
3
{5}
(1, 5), (5, 1)
2
2
{6}
(1, 6), (2,3), (3,2), (6,1)
4
4
{8}
(2, 4), (4, 2)
2
2
{9}
(3, 3)
1
1
{10}
(2, 5), (5, 2)
2
3
{12}
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
4
2
{15}
(3, 5), (5, 3)
2
2
{16}
(4, 4)
1
1
{18}
(3, 6), (6, 3)
2
2
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
483
{20}
(4, 5), (5, 4)
2
2
{24}
(4, 6), (6, 4)
2
2
{25}
(5, 5)
1
1
{30}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{36}
(6, 6)
1
1
36
36
36
36
36
a)
Solución: La probabilidad de obtener seis es
1
.
9
b)
Solución: La probabilidad de obtener 20 es
1
.
18
c)
i
P( 2 ) =
P (2) + P(4) + P(6) + P(8) + P(10) + P(12) + P(16) + P(18) + P(20) + P(24) + P(30) + P(36) =
2
3
4
2
3
2 1
2
2
2
2 1 26
+ + + + + + + + + + +
=
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
13
Solución: La probabilidad de obtener un número par es
.
18
d)
Solución: La probabilidad de obtener ocho es
1
.
18
e)
i
P( 5) = P(5) + P (10) + P (15) + P (20) + P(25) + P(30) =
2
3
2
2
1
2 12
+ + + + +
=
36 36 36 36 36 36 36
Solución: La probabilidad de obtener un múltiplo de cinco es
f)
P(x < 4) = P(1) + P(2) + P(3) =
1
.
3
1
2
2
3
+ +
=
36 36 36 36
Solución: La probabilidad de obtener un número menor que cuatro es
1
.
12
484
46.
Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª M → M 1
2ª E → E2
caso b) 1ª M ∩ E → M 1 ∩ E1
2ª M → M 2
caso c) 1ª M ∩ E → M 1 ∩ E1
2ª M ∩ E → M 2 ∩ E2
3ª M → M 3
caso d) 1ª M ∩ E → M 1 ∩ E1
3ª M ∩ E → M 3 ∩ E3
3ª E → E3
4ªE → E4
2ª M ∩ E → M 2 ∩ E2
4ª M → M 4
5ªE → E5
caso e) 1ª M ∩ E → M 1 ∩ E1
2ª M ∩ E → M 2 ∩ E2
3ª M ∩ E → M 3 ∩ E3
4ª M ∩ E → M 4 ∩ E4
5ª M → M 5
6ªE → E6
Por lo tanto, tenemos que calcular
P ( M n ∩ En +1 ) = P(caso a) + P(caso b) + P(caso c) + P(caso d) + P(caso e) =
1 1 4 1 1 4 3 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1
1
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 =
6 5 6 5 4 6 5 4 3 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
6
1
Solución: La probabilidad de que salgan ME es .
6
47.
Llamemos A al suceso ''Ana y Alberto sentados juntos''. Existen dos posibilidades,
posición a) ANA-ALBERTO.
posición b)ALBERTO-ANA.
casos favorables P(a ) + P(b) 2
P (A) =
=
=
casos posibles
V5, 3
60
Solución: La probabilidad de que se sienten juntos es
1
30
Composición de sucesos independientes.
48.
a)P ( A ∩ B ) = 0 porque los sucesos son incompatibles.
b)P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0 '3 + 0 ' 4 = 0 '7
0
porque A y B son
incompatibles.
c)P( A ∩ B )= P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B) = 0 '3
d)P( A ∪ B) = P( A ∩ B) = 1 − P( A ∩ B) = 1
485
49.
1 1 1
⋅ =
10 2 20
*
* Esa igualdad es cierta porque ambos sucesos son independientes.
a)P(3 ∩ C ) = P(3) ⋅ P(C ) =
b)P(0 ∩ X ) = P(0) ⋅ P( X ) =
•
1 1 1
⋅ =
10 2 20
•
c)P(3∩ C ) = P(3) ⋅ P(C ) = [ P(3) + P (6) + P(9) ] ⋅ P(C ) =
•
d)P(2) = P(2) + P(4) + P(6) + P(8) =
4 2
=
10 5
3 1 3
⋅ =
10 2 20
50.
a)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª 1 → 11
2ª 3 → 32
3ª 5 → 53
caso b) 1ª 1 → 11
2ª 5 → 52
3ª 3 → 33
caso c) 1ª 3 → 31
2ª 1 → 12
3ª 5 → 53
caso d) 1ª 3 → 31
2ª 5 → 52
3ª 1 → 13
caso e) 1ª 5 → 51
2ª 1 → 12
3ª 3 → 33
caso f) 1ª 5 → 51
2ª 3 → 32
3ª 1 → 13
Por lo tanto, tenemos que calcular
P (1 ∩ 2 ∩ 3) = P (caso a) + P(caso b) + P(caso c) + P(caso d) + P(caso e) + P(caso f ) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 36
1
Solución: La probabilidad de que salgan un 1, un 3 y un 5 es
.
36
b)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª 2 → 21
2ª 3 → 32
3ª par → par3
caso b) 1ª 2 → 21
2ª par → par3
3ª 3 → 33
caso c) 1ª 3 → 31
2ª 2 → 22
3ª par → par3
caso d) 1ª 3 → 31
2ª par → par3
3ª 2 → 23
caso e) 1ª par → par3
2ª 2 → 22
3ª 3 → 33
caso f) 1ª par → par3
2ª 3 → 32
3ª 2 → 23
Por lo tanto, tenemos que calcular
•
P (2 ∩ 3 ∩ 2) = P(caso a) + P(caso b) + P (caso c) + P (caso d) + P (caso e) + P (caso f ) =
1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 12
Solución: La probabilidad de que salgan un 2, un 3 y un par es
1
.
12
486
c)Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª 2 → 21
2ª 2c → 2c 2
3ª 2c → 2c 3
caso b) 1ª 2c → 2c1
2ª 2 → 23
3ª 2c → 2c 3
caso c) 1ª 2c → 2c1
2ª 2c → 2c 2
3ª 2 → 23
Por lo tanto, tenemos que calcular
P (2 ∩ 2c ∩ 2c ) = P(caso a) + P(caso b) + P(caso c) =
1 5 4 5 1 5 5 5 3 25
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
6 6 6 6 6 6 6 6 6 24
Solución: La probabilidad de que salga un único dos es
25
.
24
51.
a) Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª 1 → 11
2ª 2 → 22
caso b) 1ª 2 → 21
2ª 1 → 12
Por lo tanto, tenemos que calcular
P (1 ∩ 2) = P (caso a) + P(caso b) =
1 1 1 1 1
= ⋅ + ⋅ =
6 6 6 6 18
Solución: La probabilidad de que salgan un 1 y un 2 es
1
.
18
b) Las extracciones puede darse en el orden siguiente:
caso a) 1ª 5 → 51
2ª cualquier número distinto de 5 → 52
caso b) 1ª cualquier número distinto de 5 → 52
2ª 5 → 52
Por lo tanto, tenemos que calcular
P (5) = P (caso a) + P (caso b) =
1 5 5 1 5
= ⋅ + ⋅ =
6 6 6 6 18
Solución: La probabilidad de que salga un 5 es
5
.
18
1 1 1
5
c) P (5) = P (51 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ =
⎝ 51 ⎠ 6 6 36
Solución: La probabilidad de que salgan dos 5 es
1
.
36
487
( 5 ) = 56 ⋅ 56 = 3625
d) P(5) = P(51 ) ⋅ P 52
1
Solución: La probabilidad de que no salga ningún 5 es
e) P (al menos un 5) = 1 − P(5) = 1 −
25
.
36
25 11
=
36 36
Solución: La probabilidad de que salga al menos un 5 es
11
.
36
52.
a) El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, pero los
sucesos no son equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis
caras’’. Su espacio muestral
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
{2}
(1, 1)
Número de
casos favorables
1
{3}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{4}
(1, 3), (2, 2), (3,1)
3
3
{5}
(1, 4), (2,3), (3,2), (4,1)
4
4
{6}
5
5
6
6
{8}
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2),
(5, 1)
(1, 6), (2, 5), (5, 2), (3, 4),
(4, 3), (6,1)
(2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2)
4
4
{9}
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
4
4
{10}
(4, 6), (5, 5), (6, 4)
3
3
{11}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{12}
(6, 6)
1
1
{7}
Solución: La probabilidad de que sumen 7 es
Probabilidad
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
1
.
6
488
b) El espacio muestral de nuestro suceso es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 24, 25, 30, 36}, pero los sucesos no son
equiprobables, así que consideremos el suceso ‘’lanzar dos veces un dado de seis caras’’. Su
espacio muestral es E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
y su sucesos elementales son equiprobables.
El número de sucesos coincide con el número de variaciones con repetición de seis elementos
tomados de dos en dos: VR6, 2 = 62 = 36
Suceso
Casos favorables
{1}
(1, 1)
Número de casos
favorables
1
Probabilidad
{2}
(1, 2), (2, 1)
2
2
{3}
(1, 3), (3,1)
2
2
{4}
(1, 4), (2, 2), (4,1)
3
3
{5}
(1, 5), (5, 1)
2
2
{6}
(1, 6), (2,3), (3,2), (6,1)
4
4
{8}
(2, 4), (4, 2)
2
2
{9}
(3, 3)
1
1
{10}
(2, 5), (5, 2)
2
3
{12}
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
4
2
{15}
(3, 5), (5, 3)
2
2
{16}
(4, 4)
1
1
{18}
(3, 6), (6, 3)
2
2
{20}
(4, 5), (5, 4)
2
2
{24}
(4, 6), (6, 4)
2
2
{25}
(5, 5)
1
1
{30}
(5, 6), (6, 5)
2
2
{36}
(6, 6)
1
1
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
489
Solución: La probabilidad de que el producto sea 24 es
1
.
18
c) Las extracciones puede ser las siguientes:
caso a) obtener 1 en el primer dado pero no en el segundo.
caso b) obtener 1 en el segundo dado pero no en el primero.
1 5 5 1 5
P (1) = P(caso a) + P(caso b) = ⋅ + ⋅ =
6 6 6 6 18
5
Solución: La probabilidad de que salga un 1 es
.
18
5 5 25
d) P(1) = ⋅ =
6 6 36
Solución: La probabilidad de que no salga ningún 1 es
e) P (al menos un 1) = 1 − P(1) = 1 −
25
.
36
25 11
=
36 36
Solución: La probabilidad de que salga al menos un 1 es
11
.
36
53.
Si la probabilidad de cara es el doble que la de cruz, entonces:
1
2
P ( X ) = y P(C ) =
3
3
C
C
⎞= 2⋅2⋅2 = 8
a) P (3 caras) = P (C1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
⎝ C1 ⎠ ⎝ C1 ∩ C2 ⎠ 3 3 3 27
Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es
8
.
27
490
b) Los casos posibles son:
caso a) 1ª C → C1
2ª C → C2
3ª X → X 3
caso b) 1ª C → C1
2ª X → X 2
3ª C → C3
caso c) 1ª X → X 1
2ª C → C2
3ª C → C3
2 2 1 4
P (2 caras) = P(caso 1) + P (caso 2) + P(caso 3) = 3 ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 9
4
Solución: La probabilidad de que salgan dos caras es .
9
X
X
⎞ = 1⋅1⋅1 = 1
c) P (C ) = P (3 X ) = P ( X 1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
X
X
X
∩
1⎠
1
2⎠
⎝
3 3 3 27
⎝
Solución: La probabilidad de que no salga ninguna cara es
d) P (al menos una C) = 1 − P(C ) = 1 −
1
.
27
1 26
=
27 27
26
.
27
Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es
54.
3 3
1
A
a) P(2 A) = P( A1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ =
⎝ A1 ⎠ 12 12 16
Solución: La probabilidad de que salgan dos bolas azules es
1
.
16
3 1
1
R
b) P( B1 ∩ R2 ) = P( B1 ) ⋅ P ⎜⎛ 2 ⎟⎞ = P( B1 ) ⋅ P ( R2 ) = ⋅ =
⎝ B1 ⎠
12 12 48
Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda roja es
1
.
48
1 11 1 1
1
⎛R
⎞
R
c) P ( R ) = P( R1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ + P ( R1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = P ( R1 ) ⋅ P R2 + P( R1 ) ⋅ P ( R2 ) = ⋅ + ⋅ =
R
R
⎝
1⎠
1⎠
12 12 12 12 12
⎝
( )
Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es
1
.
12
491
5 7 5 5
5
⎛V ⎞
V
d) P(V ) = P(V1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ + P(V1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = P(V1 ) ⋅ P V2 + P(V1 ) ⋅ P (V2 ) = ⋅ + ⋅ =
V
V
1 ⎠
1⎠
⎝
12 12 12 12 12
⎝
( )
Solución: La probabilidad de que alguna bola sea verde es
5
.
12
5 5
25
V
e) P (2V ) = P(V1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = P(V1 ) ⋅ P (V2 ) = ⋅ =
V
1⎠
⎝
12 12 144
Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean verdes es
25
.
144
7 7
49
⎛V ⎞
f) P(V ) = P(V1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ = P(V1 ) ⋅ P V2 = ⋅ =
12 12 144
⎝ V1 ⎠
( )
Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es
g) P (al menos una bola verde) = 1 − P (V ) = 1 −
49
.
144
49
95
=
144 144
Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea verde es
95
.
144
Probabilidad de sucesos dependientes.
55.
Llamaremos A al suceso ''salir chica' y O al suceso ''salir chico''.
11 14 77
A
a) P (O1 ∩ A2 ) = P (O1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ =
= 0 '2567
O
1⎠
⎝
25 24 300
Solución: La probabilidad de que el primero sea chico y la segunda sea chica es 0 '2567.
11 10 11
O
b) P (O1 ∩ O2 ) = P (O1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ =
= 0 '1833
⎝ O1 ⎠ 25 24 60
Solución: La probabilidad de que los dos sean chicos es 0 '1833.
14 13 91
A
c) P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ =
= 0 '3033
A
1⎠
⎝
25 24 60
Solución: La probabilidad de que las dos sean chicas es 0 '3033.
11 14 14 11 77
A
O
= 0 '5133
d) P (O) = P (O1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + P( A1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ + ⋅ =
⎝ O1 ⎠
⎝ A1 ⎠ 25 24 25 24 150
Solución: La probabilidad de que haya al menos un chico es 0 '5133.
492
11 49
=
= 0 '8167
60 60
Solución: La probabilidad de que al menos haya una chica es 0 '8167.
e) P (al menos una chica) = 1 − P ( A) = 1 − P (O1 ∩ O2 ) = 1 −
56.
Llamaremos A al suceso ''salir chica', O al suceso ''salir chico'' y Ch al suceso ''llevar chandal''
12 7 15 3 10
⋅ + ⋅ =
a) P(Ch) = P (O) ⋅ P Ch + P( A) ⋅ P Ch =
O
A 27 12 27 15 27
(
)
(
)
Solución: La probabilidad de que lleve chandal es
10
.
27
( O ) = 1227 ⋅ 125 = 275
b) P (O ∩ Ch) = P(O) ⋅ P Ch
Solución: La probabilidad de elegir a un chico sin chandal es
(
c) P ( A ∩ Ch) = P ( A) ⋅ P Ch
5
.
27
15 3 1
=
⋅ =
)
A 27 15 9
Solución: La probabilidad de elegir a una chica con chandal es
1
.
9
( A) = 1527 ⋅ 1215 = 94
d) P ( A ∩ Ch) = P ( A) ⋅ P Ch
Solución: La probabilidad de elegir a una chica sin chandal es
(
e) P (O ∩ Ch) = P(O) ⋅ P Ch
4
.
9
12 7
7
=
⋅ =
)
O 27 12 27
Solución: La probabilidad de elegir a un chico con chandal es
7
.
27
493
PÁGINA 251
494
SOLUCIONES_________________________________________________________________
57.
1
= 0 '00139
( 1 ) ⋅ P ( 41 ∩ 2) = 101 ⋅ 19 ⋅ 18 = 720
a) P (1 ∩ 2 ∩ 4) = P(1) ⋅ P 2
Solución: La probabilidad de sacar el 1, el 2 y el 4 ordenadamene es 0 '00139.
•
⎛•
⎞
⋅ P⎜ 2
= P(0) ⋅ P 9 ⋅ P 2 ∪ 4 ∪ 6 ∪ 8
=
⎟
0
0∩9
0
0∩9
⎝
⎠
1 1 4
1
= ⋅ ⋅ =
= 0 '0056
10 9 8 180
( )
( ) (
b) P (0 ∩ 9 ∩ 2) = P (0) ⋅ P 9
)
Solución: La probabilidad de sacar el 0, el 9 y un par es 0 '0056.
c) P(1) = P(11 ) + P (12 ) + P (13 ) =
1 9 1 9 8 1 3
+ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0 '3
10 10 9 10 9 8 10
Solución: La probabilidad de sacar un 1 es 0 '3.
⎞
⎛3 ⎞ ⎛3
d) P(3) = P(31 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ ⋅ P ⎜ 3
⎟=
⎝ 31 ⎠ ⎝ 31 ∩ 32 ⎠
9 8 7 7
= ⋅ ⋅ = = 0 '7
10 9 8 10
Solución: La probabilidad de no sacar un 3 es 0 '7.
58.
Aplicando Laplace tenemos que
casos favorables 12
P (figuras) =
=
= 0 '3
casos posibles
40
Solución: La probabilidad de sacar tres figuras es 0 '3.
59.
5 4 3 2 13
N
B
P( N ) ∪ P ( B) = P( N1 ) ⋅ P ⎜⎛ 2 ⎟⎞ + P( B1 ) ⋅ P ⎜⎛ 2 ⎟⎞ = ⋅ + ⋅ =
= 0 '4643
N
B
⎝
⎝
1⎠
1⎠
8 7 8 7 28
Solución: La probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es 0 ' 4643.
60.
2 4
4
V
a) P ( B1 ∩ V2 ) = P ( B1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ = = 0 '044
B
1⎠
⎝
14 13 91
Solución: La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda verde es 0 '044.
495
3 2
3
N
b) P ( N1 ∩ N 2 ) = P( N1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⋅ = = 0 '033
N
1⎠
⎝
14 13 91
Solución: La probabilidad de que las dos bolas sean negras es 0 '033.
⎛R
⎞
⎛R
⎞ 5 9 9 5 45
c) P( R ) = P( R1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ + P( R1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ = ⋅ + ⋅ =
= 0 '4945
R
1⎠
⎝
⎝ R1 ⎠ 14 13 14 13 91
Solución: La probabilidad de que alguna bola sea roja es 0'4945.
⎛R
⎞ 9 8 36
d) P( R) = P( R1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ = ⋅ =
= 0 '3956
⎝ R1 ⎠ 14 13 91
Solución: La probabilidad de que ninguna bola sea roja es 0 '3956.
36 55
=
= 0 '6044
91 91
Solución: La probabilidad de que al menos una bola sea roja es 0 '6044.
e) P (al menos una bola roja) = 1 − P ( R ) = 1 −
61.
Llamaremos N i a los nombres y Pi a las profesiones.
1 1 1
a) P ( N1 ∩ P1 ) + P( N 2 ∩ P2 ) + P( N 3 ∩ P3 ) = 3 ⋅ ⋅ =
3 3 3
Solución: La probabilidad de que coincidan los nombres y las profesiones es
1
.
3
1 2 2
b) P ( N1 ∩ P1 ) + P ( N 2 ∩ P2 ) + P ( N 3 ∩ P3 ) = 3 ⋅ ⋅ =
3 3 3
Solución: La probabilidad de que no coincidan los nombres y las profesiones es
62.
2
.
3
10 1
⋅ =
( O ) = 14
30 14 3
a) P (O ∩ F ) = P (O ) ⋅ P F
Solución: La probabilidad de elegir a un chico que le guste el futbol es
1
.
3
( A) = 1630 ⋅ 1612 = 52
b) P( A ∩ F ) = P( A) ⋅ P F
Solución: La probabilidad de elegir a una chica que no le guste el futbol es
2
.
5
496
( O ) = 1430 ⋅ 144 = 152
c) P(O ∩ F ) = P (O) ⋅ P F
Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste el futbol es
2
.
15
4
2
⋅ =
( A) = 16
30 16 15
d) P( A ∩ F ) = P( A) ⋅ P F
Solución: La probabilidad de elegir a una chica que le guste el futbol es
2
.
15
63.
4 1 3 4 3 3 1
7
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
= 0 '0583
10 4 9 10 4 9 4 120
Solución: La probabilidad de que los dos sean machos y uno ellos blanco es 0 '0583.
a) P (O1 ∩ B1 ∩ O2 ) + P(O1 ∩ B1 ∩ O2 ∩ B2 ) =
b) P( A1 ∩ O2 ) + P (O1 ∩ A2 ) =
6 4 4 6 8
⋅ + ⋅ =
10 9 10 9 15
Solución: La probabilidad de que uno de ellos sea hembra es
c) P ( A1 ∩ B1 ) ⋅ P( A2 ∩ B2 ) =
8
.
15
6 2 5 1 1
⋅ ⋅ ⋅ =
10 6 9 5 45
Solución: La probabilidad de que las dos sean hembras blancas es
d) P ( A1 ∩ B1 ) ⋅ P (O2 ) + P (O1 ) P ( A2 ∩ B2 ) =
1
.
45
6 2 4 4 6 2 8
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
10 6 9 10 9 6 45
Solución: La probabilidad de que tener una hembra blanca y un macho es
e) P( B1 ∩ B2 ) =
8
.
45
casos favorables 3
=
casos posibles 10
Solución: La probabilidad de que ambos sean blancos es
3
.
10
497
64.
P( N ) =
casos favorables 4 + 5 9
=
=
casos posibles
13
13
Solución: La probabilidad de sacar alguna bola negra es
9
.
13
1. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
2. El espacio muestral de nuestro suceso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
La probabilidad de obtener un número mayor que doce es:
3
P( x > 9) = P(10) + P (11) + P (12) =
12
3
Solución: La probabilidad de obtener un número mayor que 9 es
.
12
3.
A ={1, 2, 3, 4, 7}
B ={2, 4, 7}
C ={2, 4, 8, 9}
E = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}
a) A ∩ B = {2, 4, 7} = B
b) A ∪ B = {2, 4, 7, 8, 9}
c) A ∪ C = A ∩ C = ∅
d) A ∪ ( B ∩ C ) = {1, 2, 3, 4, 7} = A
4.
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0 '3 + 0 '64 − 0 '3 ⋅ 0 '64 = 0 '748
P(A)⋅P(B)
porque A y B son
independientes.
Solución: P ( A ∪ B) = 0 '748
5.
120 119 238
⋅
=
= 0 '1592
300 299 1495
Solución: La probabilidad de elegir a dos alumnos que les guste el futbol es 0 '1592.
a) P( F1 ∩ F2 ) =
498
120 57
57 120
⋅
+
⋅
= 0 '1525
300 299 300 299
Solución: La probabilidad de elegir a un alumno que le guste el futbol y oto el baloncesto es 0 '1525.
b) P ( F1 ∩ B2 ) + P ( B1 ∩ F2 ) =
88 22
=
= 0 ' 2933
300 75
Solución: La probabilidad de elegir a un chico que no le guste ningún deporte es 0 '2933.
c) P( F ∩ B ∩ T ) =
6.
P (Futbol) =
casos favorables
x
=
= 0 '7 ⇒ x = 112
casos posibles 160
Solución: Existen 112 alumnos que juegan al futbol.
7.
C
C
⎞= 1⋅1⋅1 = 1
a) P (3C ) = P (C1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
∩
C
C
C
⎝
1⎠
1
2⎠
⎝
2 2 2 8
Solución: La probabilidad de que salgan tres caras es
1
.
8
X
C
⎞ + P(C ) ⋅ P ⎛ X 2 ⎞ ⋅ P ⎛ C3
⎞
b) P(2C ) = P(C1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎜ C ⎟ ⎜ C ∩X ⎟
⎟
1
∩
C
C
C
⎝
⎝
1⎠
1
2⎠
1⎠
1
2⎠
⎝
⎝
C
C
⎞=
+ P( X 1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
∩
X
X
C
⎝
1⎠
1
2⎠
⎝
1 1 1 3
= 3⋅ ⋅ ⋅ =
2 2 2 8
Solución: La probabilidad de que salgan dos caras es
3
.
8
1 7
c) P (al menos una C) = 1 − P(C ) = 1 − P(3 X ) = 1 − =
8 8
Solución: La probabilidad de que salga al menos una cara es
7
.
8
8.
B
B
⎞ = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1 = 0 '0045
a) P ( B ) = P ( B1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
⎝ B1 ⎠ ⎝ B1 ∩ B2 ⎠ 12 11 10 220
Solución: La probabilidad de que todas las bolas sean blancas es 0 '0045.
499
N
A
⎞ = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 1 = 0 '045
b) P ( A1 ∩ A2 ∩ N 3 ) = P ( A1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⋅ P ⎛⎜ 3
⎟
⎝ A1 ⎠ ⎝ A1 ∩ A2 ⎠ 14 11 10 22
Solución: La probabilidad de que las dos primeras bolas sean azules, y la tercera negra es 0 '045.
⎞
⎛N
⎞ ⎛N
c) P( N ) = P ( N1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ ⋅ P ⎜ 3
⎟+
N
1⎠
⎝
⎝ N1 ∩ N 2 ⎠
⎞
⎛N
⎞ ⎛N
P( N1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ ⋅ P ⎜ 3
⎟+
⎝ N1 ⎠ ⎝ N1 ∩ N 2 ⎠
⎛N
⎞ ⎛N
⎞
P( N1 ) ⋅ P ⎜ 2 ⎟ ⋅ P ⎜ 3
⎟=
⎝ N1 ⎠ ⎝ N1 ∩ N 2 ⎠
5⋅6⋅7
21
= 3⋅
=
= 0 '4773
12 ⋅11⋅10 44
Solución: La probabilidad de que sacar una bola negra es 0 ' 4773.
9.
( T ) = 1025 ⋅ 103 = 253
a) P(T ∩ N ) = P(T ) ⋅ P N
Solución: La probabilidad de que salga un toro y no sea negro es
(
b) P(V ∩ BN ) = P(V ) ⋅ P BN
V
3
.
25
2
=
) = 1525 ⋅ 10
15 5
Solución: La probabilidad de que salga una vaca blanca y negra es
2
.
5
( T ) = 1025 ⋅ 107 = 257
c) P(T ∩ N ) = P(T ) ⋅ P N
Solución: La probabilidad de que salga un toro negro es
7
.
25
10.
R
N
P ( R1 ∩ R2 ) + P( N1 ∩ N 2 ) = P ( R1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + P( N1 ) ⋅ P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ =
R
⎝
⎝ N1 ⎠
1⎠
16 15 12 11 31
= ⋅ + ⋅
=
= 0 '4921
28 27 28 27 63
Solución: La probabilidad de sacar dos calcetines del mismo color es 0 '4921.
500
PÁGINA 252
SOLUCIONES_________________________________________________________________
Para resolver una inecuación racional, trasponemos términos de forma que consigamos 0 en uno
de los miembros.
2
4 x2
(1 −
1+ 2x
2
)
2
2x
⎛
⎞
< 2x + 9 → ⎜
⎟ < 2x + 9
⎝ 1− 1+ 2x ⎠
>0
>0
2
2
4x
4x
= 1− 1+ 2x ⇒
= 2 − 2 1+ 2x + 2x
2x + 9
2x + 9
4x2
− 2 − 2 x = −2 1 + 2 x (Reduciendo a común denominador)
2x + 9
11x + 9
= 1+ 2x
(1)
2x + 9
Resolvemos la ecuación radical y nos salen dos soluciones:
x1 = 0, Solución doble.
x2 =
(
)
45
8
Comprobamos cuál de estas soluciones verifican la ecuación (1), y vemos que sólo es válida x2 =
45
.
8
45 ⎞ ⎛ 45
⎛
⎞
Así, las posibles soluciones de nuestra desigualdad son los intervalos: ⎜ −∞, ⎟ y ⎜ , +∞ ⎟ .
8 ⎠ ⎝ 8
⎝
⎠
45
Sustituyendo descartamos todos los valore mayores que
.
8
45 ⎞
⎛
Los valores reales que hacen cierta la desigualdad son x ∈ ⎜ −∞, ⎟ .
8 ⎠
⎝
501