Circuitos dinámicos de segundo orden. Respuesta libre en

Circuitos dinámicos de segundo orden. Respuesta libre en el circuito RLC serie y
respuesta estimulada en circuitos de segundo orden
Objetivos
1. Analizar la respuesta libre en el circuito RLC serie, mediante la metodología de este
material.
2. Analizar la respuesta completa en circuitos RLC con estímulos de corriente directa,
utilizando la metodología de este material.
Sumario
a) Respuesta libre del circuito RLC serie.
b) Respuesta completa del circuito RLC.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 9. Epígrafes 9.6, 9.7 y el 9.8 queda para autoestudio.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Terminado el análisis de la respuesta libre en el circuito RLC paralelo, se analizará la
respuesta libre del circuito RLC serie.
En los circuitos lineales la respuesta completa cumple: X(t) = XT + XF y la forma matemática
de la respuesta transitoria es la solución de la ecuación complementaria u homogénea.
Entonces, cuando el circuito es estimulado por fuentes (en este caso por estímulos de
corriente directa), debemos aplicar los conocimientos adquiridos hasta aquí para el cálculo de
la componente forzada XF.
a) Características generales de las ecuaciones en las redes de segundo orden
Como se estableció en las clases anteriores, el orden de la ecuación diferencial que describe
el comportamiento del circuito es igual al orden del circuito. Un circuito de segundo orden se
describe mediante una ecuación diferencial de segundo orden, pues contiene dos elementos
almacenadores diferentes (inductor y capacitor).
Se cumple que la respuesta total = respuesta transitoria (libre, natural) + la forzada
(estimulada), esto es, χ = χ T + χ F
Se estudiará la respuesta libre en los circuitos de segundo orden, o sea, la respuesta sin
fuentes, la que existe debido a la energía almacenada en los campos magnéticos y eléctricos
de inductor y capacitor, la cual tenderá a cero al transformarse en alguna forma de energía
disipativa en el resistor.
1 b) Ecuación característica del circuito RLC paralelo
Analice un circuito RLC paralelo en el cual hay energía inicialmente
almacenada, y en t =0 se desconectan los estímulos de modo que
tendrá lugar un proceso transitorio. El circuito contiene un par de
nodos y la tensión es común, por lo que solo tiene sentido aplicar
LKC.
Se conocen las relaciones entre la corriente y la tensión en los elementos almacenadores:
en el inductor v L = L
di L
dt
t
i L (t ) =
1
v(t )dt + i0
L ∫0
t
dv C
1
en el capacitor iC = C
vC (t ) = ∫ iC (t )dt + vC 0
dt
C0
Aplicando LKC en un nodo
i R + i L + iC = 0
vR 1 t
dv
+ ∫ v(t )dt + i0 + C
= 0 derivando
R L0
dt
d 2v
1 dv
1
+
+
v=0
2
RC dt LC
dt
Esta es la ecuación diferencial característica del circuito de 2do orden RLC paralelo: es una
ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 2do orden, homogénea, de coeficientes constantes.
Resolviendo:
2
S 2 + 2αS + ω 0 = 0 ecuacion a lg ebraica asociada a la ecuacion diferencial
o ecuacion caracteristica
1
α=
coeficiente de amortiguam iento
2 RC
1
ω0 =
frecuencia angular propia de las oscilaciones libres
LC
S1 = −α + α 2 − ω 0
2
S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
Las raíces de la ecuación algebraica de 2do grado en la
variable S, son las frecuencias complejas S1 y S2
Las frecuencias complejas pueden ser reales desiguales y negativas, reales iguales y
negativas o complejas conjugadas dando lugar a diferentes formas de la respuesta libre.
Respuesta libre sobre amortiguada
2
si α > ω 0 entonces S1 = −α + α 2 − ω 0
raices reales negativas diferentes
S 2 = −α − α 2 − ω 0
2
χ (t ) = Ae S t + Be S t
1
2
2 Respuesta libre críticamente amortiguada
si α = ω 0 entonces S1 = S 2 = −α raices reales negativas iguales
χ (t ) = Ae −αt + Bte −αt = ( A + Bt )e −αt
Respuesta libre submortiguada
si α < ω 0 entonces S1 = −α + jω d
siendo ω d = ω 02 − α 2
S1 = −α − jω d raices complejas conjugadas
frecuencia propia de las oscilaciones subamortig uadas
χ (t ) = Ae −αt sin(ω d t + θ )
Esta respuesta tiene carácter oscilatorio y su amplitud decrece exponencialmente.
Las constantes A, θ dependen de las condiciones iniciales.
Ejemplo 1
En el circuito RLC paralelo: R = 6Ω, L= 7H, C =1/42 F.
Condiciones iniciales en t = 0: VC(o) = 0 V, iL(o)= - 10 A
Obtenga VC (t) e iL (t) para t >0
Solución:
Se trata de un circuito en respuesta libre ya que no tiene estímulos conectados.
Se muestra a continuación un algoritmo para realizar la solución en forma sistemática.
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria y su forma matemática, calculando α y ω:
α = 1/2RC= 3,5 s-1 ω = (1/LC)1/2 = 2,45 s-1 ⇒ α >ω caso sobre amortiguado
ο
ο
- Calculando las frecuencias complejas:
(raíces reales y desiguales)
- Forma matemática
VC(t) = A1 e-t + A2 e-6t (1)
S1 = - 3,5 + 2,5 = -1 s-1
S2 = - 3,5 - 2,5 = - 6 s-1
iL(t) = A3 e-t + A4 e-6t (2)
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
En este ejemplo específico se conocen las corriente en el inductor y la tensión en el capacitor
en t = 0, por lo que no es necesario el circuito equivalente en t = 0 –. En caso contrario lo
primero que hay que hacer es ir al circuito equivalente en t = 0 – y calcular estas variables que
son las únicas que cumplen continuidad.
Son dato en el ejemplo: VC(o) = 0 V, iL(o)= - 10 A
3 3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+,
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
t
di
1
en el inductor v L = L L
i L (t ) = ∫ v(t )dt + i0
dt
L0
en el capacitor iC = C
t
dv C
1
vC (t ) = ∫ iC (t )dt + vC 0
dt
C0
Circuito equivalente en t = 0+
Las representaciones equivalentes de los elementos son válidas
solamente para este instante, lo cual se hace partiendo de las
variables que cumplen continuidad.
dvC iC (0 + )
dι L v L (0 + )
=
= 420 V / s
=
= 0 A/ s
dt
C
dt
L
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
- Evaluando (1) en t = 0 se tiene
A1 + A2 = 0 (3)
- Derivando (1) y evaluando la expresión en t = 0+ se tiene
- A1 -6 A2 = 420 (4)
- Con (3) y (4) se calculan las constantes A1 y A2. Sustituyendo esos valores en (1) se obtiene
la expresión para la tensión en el capacitor.
Con igual metodología se obtiene evaluando (2) en t = 0, derivando (2) y evaluando la
expresión en t = 0+
A3 + A4 = -10
- A3 - 6 A4 = 0
t=0
t = 0+
Resolviendo y sustituyendo:
vC (t ) = 84e −t − 84e −6t V
ι L (t ) = −12e −t + 2e −6t V
Se pueden representar gráficamente cada respuesta superponiendo las exponenciales .Es un
buen ejercicio para resolver empleando PSPICE o MATLAB.
Observe que en t = ∞ las respuestas se anulan lo cual corresponde a que en el circuito no
quedan fuentes conectadas y la energía se disipa en el resistor, como se había mencionado.
4 Ejemplo 2
Calcule VC en el Ejemplo 1 con iguales condiciones iniciales, si R se
ajusta para que la respuesta libre del circuito sea críticamente
amortiguada manteniendo los valores de L y C.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria y su forma matemática, calculando α y ω :
Como se trata del caso críticamente amortiguado, α = ω0 = √6 s-1 = 2,45 s-1 (raíces reales
negativas e iguales). Igualando las expresiones matemáticas de α y ω , 1/2RC= (1/LC)1/2, y
despejando R se tiene: R = (LC)1/2 /2C = 8,57Ω, mayor que en el ejemplo 1
ο
ο
- Calculando las frecuencias complejas:
S1 = S2 = - α = - √6 s-1 (raíces reales e iguales)
- Forma matemática
vC (t ) = A1te −
6t
− A2 e −
6t
V
¿Por qué la denominación de críticamente amortiguado?
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
En este ejemplo específico se conocen las corriente en el inductor y la tensión en el capacitor
en t = 0, por lo que no es necesario el circuito equivalente en t = 0 –. En caso contrario lo
primero que hay que hacer es ir al circuito equivalente en t = 0 – y calcular estas variables que
son las únicas que cumplen continuidad.
Son dato en el ejemplo: VC(o) = 0 V, iL(o)= - 10 A
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+,
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Circuito equivalente en t = 0+
Las representaciones equivalentes de los elementos son válidas
solamente para este instante, lo cual se hace partiendo de las
variables que cumplen continuidad.
dvC iC (0 + )
dι L v L (0 + )
=
= 420 V / s
=
= 0 A/ s
dt
C
dt
L
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
VC(0-) = VC(0+) = A2 = 0 V
dv C
dt
=
0
iC (0 + )
= 420 V / s = A1
C
Sustituyendo: vC (t ) = 420te − 6 t V
Represente el gráfico.
Si se compara con el caso anterior, el valor máximo es que alcanza la tensión en el capacitor
es mayor. Es el caso límite entre la no oscilación y la oscilación de la respuesta.
5 Ejemplo 3
Realizar de nuevo el cálculo de las variables pedidas en el circuito
del Ejemplo 2, con iguales condiciones iniciales y R = 10,5Ω,
manteniendo constantes L y C.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria y su forma matemática, calculando α y ω :
ο
En este caso
α = 2s-1
ω0 = 2,45s-1
α < ω0 ⇒ infra-amortiguada y
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 2 + j √2 s-1 y
ωd = √2 = 1,41 rad/s
S2 = - 2 - j √2 s-1
- Forma matemática
Vc(t) = Ae- t sin(ωd t + θ)
α
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
En este ejemplo específico se conocen las corriente en el inductor y la tensión en el capacitor
en t = 0, por lo que no es necesario el circuito equivalente en t = 0 –. En caso contrario lo
primero que hay que hacer es ir al circuito equivalente en t = 0 – y calcular estas variables que
son las únicas que cumplen continuidad.
Son dato en el ejemplo: VC(o) = 0 V, iL(o)= - 10 A
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+,
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Circuito equivalente en t = 0+
Las representaciones equivalentes de los elementos son válidas
solamente para este instante, lo cual se hace partiendo de las
variables que cumplen continuidad.
dvC iC (0 + )
dι L v L (0 + )
=
= 420 V / s
=
= 0 A/ s
dt
C
dt
L
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
A sinθ = 0 ⇒ θ = 0o o 180o
dVc
= −αAe −αt sin(ω d t + θ ) + ω d Ae −αt cos(ω d t + θ )
dt
6 evaluando en t = 0+
dVc
i (0 + )
= C
= 420V / s
dt 0
C
Operando algébricamente
A cosθ = 420/√2 ⇒ θ = 0o A = 420/√2 = 210√2, obteniéndose la respuesta siguiente:
Vc (t) = 210√2 e-2t sin (1,41t) V
Esta respuesta es oscilatoria amortiguada por la exponencial decreciente, de período
T = 2 п / ωd = 2 п /√2 = √2п (s), como se puede apreciar.
Físicamente debe puntualizarse que es la mayor resistencia de las 3 situaciones analizadas y
como, al aumentar la resistencia en el circuito RLC paralelo manteniendo el resto de los
parámetros constantes y las condiciones iniciales, el amortiguamiento disminuye y el proceso
transitorio pasa de sobre amortiguado a infra amortiguado u oscilatorio.
La energía, inicialmente almacenada en el campo magnético del inductor, se transfirió
parcialmente al capacitor cargándolo. El capacitor se descarga comenzando a transferir
energía al inductor y así sucesivamente manteniéndose en todo instante las pérdidas de
energía en el resistor. Teóricamente así seguiría hasta el infinito, pero cada vez con menor
amplitud en la tensión del capacitor, debido a la parte de energía que se va disipando el
resistor, hasta que se transforma toda la energía almacenada en los elementos
almacenadotes en alguna energía disipativa y desaparecen las oscilaciones.
Puntualice la necesidad de utilizar circuitos equivalentes en t = 0 – y en t = 0+, lo cual simplifica
la operatoria matemática pero en el caso de circuitos de segundo orden es imprescindible una
operatoria algébrica, que es necesario saber hacer. El caso más complejo es el oscilatorio por
tener raíces complejas conjugadas, pero hay que saber trabajar con ellas. La forma que se
plantea en el material es más simple que la utilizada en el texto pues es posible ver la forma
oscilatoria matemáticamente, lo cual no es posible cuando la respuesta se plantea como la
suma de funciones exponenciales.
Conclusiones
Se puntualiza que en el circuito RLC paralelo, si inductor y capacitor permanecen constantes,
entonces al aumentar la resistencia del circuito, se puede pasar del caso sobre amortiguado,
al críticamente amortiguado y al subamortiguado, infra amortiguado u oscilatorio.
Es importante hacerlo de la forma que se sigue en el material, pues es más fácil que el
método utilizado por el texto y proporciona una metodología a seguir siempre.
Se necesita realizar circuitos equivalentes en t = 0 – y en t = 0+, lo cual simplifica la operatoria
matemática pero en el caso de circuitos de segundo orden es imprescindible una operatoria
algébrica, que es necesario saber hacer.
El caso más complejo es el oscilatorio por tener raíces complejas conjugadas, pero hay que
saber trabajar con ellas. Con la forma que se plantea en el material sale directamente y es
posible ver la forma oscilatoria matemáticamente, lo cual no es posible cuando la respuesta se
7 plantea como la suma de funciones exponenciales, aunque operando algébricamente también
se puede llegar a la función exponencial decreciente también, partiendo de las exponenciales.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudie la bibliografía señalada. Capítulo 9. Epígrafes 9.1 al 9.5, Ejemplos 9.1 y 9.2. Realice
las prácticas 9.1, 9.2 (a, b, c, d), 9.3 (a), 9.4 (a, b, c, d).
Se estudiará la respuesta libre del circuito RLC serie y la respuesta estimulada o respuesta
completa en circuitos de segundo orden.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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