Tema 3 Formas cuadráticas.

Tema 3
Formas cuadráticas.
3.1.
Definición y expresión matricial
Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : Rn −→ R que a
cada vector ~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn le hace corresponder un número real dado por:
q(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11 x21 +a22 x22 +· · ·+ann x2n +2a12 x1 x2 +· · ·+2a1n x1 xn +· · ·+2an−1n xn−1 xn
con aij ∈ R, ∀i, j = 1, 2, · · · , n, y que corresponde a un polinomio homogéneo de segundo
grado en las n variables x1 , x2 , · · · xn .
Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma;

 
a11 a12 · · · a1n
x1

 
a
 
 12 a22 · · · a2n   x2 
q(x1 , x2 , · · · , xn ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) 
   = X t AX
 · · · · · · · · · · · ·  · · · 

 
a1n a2n · · · ann
xn
donde la matriz A asociada a la forma cuadrática, es una matriz simétrica de orden n
cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los términos cuadráticos
de la expresión polinómica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los
coeficientes de los términos no cuadráticos de dicha expresión.
Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática,
permite obtener fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.
31
Curso 2014/2015
Matemáticas (Grado en Quı́mica)
Ejemplos 3.1.2.
(1.) La forma cuadrática q : R2 −→ R cuya expresión polinómica
es q(x, y) = 3x2 − 6xy + y 2 tiene por expresión matricial:

 
3 −3
x
 
q(x, y) = (x, y) 
−3 1
y
(2.) La forma cuadrática q : R3

1 −1


q(x, y, z) = (x, y, z) −1 −2
2
1
−→ R cuya expresión matricial es:
 
x
2
 


1 y 
 tiene por expresión polinómica:
z
0
q(x, y, z) = x2 − 2y 2 − 2xy + 4xz + 2yz
3.2.
Expresión diagonal de una forma cuadrática
Una expresión diagonal o canónica de una forma cuadrática q : Rn −→ R viene dada
por:

d1
0
···

 0

q(x1 , x2 , · · · , xn ) = d1 x21 +d2 x22 +· · ·+dn x2n = (x1 , x2 , · · · , xn ) 
· · ·

d2
···
···
···
0
···
0
0

x1

 
 
0
  x2 
 
 
· · ·
 · · ·
dn
xn
es decir, la expresión polinómica sólo contiene términos cuadráticos y la matriz asociada
es diagonal.
Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que es la que
viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones,
también pueden existir otras expresiones diagonales.
Teorema 3.2.1. (Expresión diagonal por autovalores). Para toda forma cuadrática
q : Rn −→ R, con A su matriz asociada, y λ1 , λ2 , · · · , λn los autovalores de A, existe una
expresión diagonal dada por q(x1 , x2 , · · · , xn ) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2n .
Ejemplo 3.2.2. Sea la forma cuadrática q : R3 −→ R dada por:

3 −2

2
2
2
q(x, y, z) = 3x + 3y + 5z − 4xy = (x, y, z) 
−2 3
0
0
32
 
0
x
 
 
0
 y 
5
z
Grupos A y D
Curso 2014/2015
La matriz asociada A tiene los autovalores λ1 = 1, λ2 = λ3 = 5 por lo que una expresión
diagonal de q es q(x, y, z) = x2 + 5y 2 + 5z 2 .
Teorema 3.2.3. (Expresión diagonal de Jacobi). Sea una forma cuadrática
q : Rn −→ R , A su matriz asociada, D1 , D2 , · · · , Dn los menores principales de A
(los formados con las i primeras filas y las i primeras columnas) y rg(A) = r ≤ n. La
expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por:
q(x1 , x2 , · · · , xn ) = D1 x21 +
D2 2
Dr 2
x + ··· +
x ,
D1 2
Dr−1 r
siempre que D1 6= 0, D2 6= 0, · · · , Dr 6= 0.
Ejemplo 3.2.4. Sea q la forma cuadrática
del ejemplo anterior: Los menores principales
3 −2 0
3 −2
son D1 = 3, D2 = = 5, D3 = −2 3 0 = 25 Como rg(A) = 3 y los tres
−2 3 0
0 5
menores principales son distintos de cero, la expresión diagonal de Jacobi es:
5
25
5
q(x, y, z) = 3x2 + y 2 + z 2 = 3x2 + y 2 + 5z 2 .
3
5
3
3.3.
Clasificación de las formas cuadráticas
Definición 3.3.1. Sea q : Rn −→ R una forma cuadrática y ~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn .
Se dice que:
q(~x) es definida positiva si q(~x) > 0, ∀~x ∈ Rn , ~x 6= ~0.
q(~x) es definida negativa si q(~x) < 0, ∀~x ∈ Rn , ~x 6= ~0.
q(~x) es semidefinida positiva si q(~x) ≥ 0, ∀~x ∈ Rn , y ∃~u 6= ~0 : q(~u) = 0.
q(~x) es semidefinida negativa si q(~x) ≤ 0, ∀~x ∈ Rn , y ∃~u 6= ~0 : q(~u) = 0.
q(~x) es indefinida si ∃~u, ~v ∈ Rn : q(~u) > 0, q(~v ) < 0.
Ejemplos 3.3.2.
La forma cuadrática q(x, y) = x2 + y 2 es definida positiva pues al
ser una suma de cuadrados será positiva salvo para el vector nulo.
33
Curso 2014/2015
Matemáticas (Grado en Quı́mica)
La forma cuadrática q(x, y) = (x − y)2 es semidefinida positiva pues
q(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R2 y q(x, x) = 0.
La forma cuadrática q(x, y) = x2 − y 2 es indefinida pues q(1, 2) = −3 y q(2, 1) = 3.
Vamos a estudiar unas caracterizaciones del signo de una forma cuadráticas que vienen
dadas, bien por los autovalores de su matriz asociada, bien por los menores principales de
dicha matriz.
Proposición 3.3.3. Sea q : Rn −→ R una forma cuadrática y λ1 , λ2 , · · · , λn los autovalores de su matriz asociada.Se verifica:
q(~x) es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos.
q(~x) es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos.
q(~x) es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos.
q(~x) es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos y nulos.
q(~x) es indefinida si y sólo si los autovalores de A son positivos y negativos.
Proposición 3.3.4. Sea q : Rn −→ R una forma cuadrática, A su matriz asociada,
Di : 1 ≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = rg(A).
1 |A| =
6 0 (nunca es semidefinida y r = n)
• Si D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dn > 0, entonces q es definida positiva.
• Si D1 < 0, D2 > 0, · · · , (−1)n Dn > 0, entonces q es definida negativa.
• Indefinida en otro caso.
2 |A| = 0 (nunca es definida y r < n)
a) ∀i : 1 ≤ i ≤ r, Di 6= 0:
◦ Si D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dr > 0, entonces q es semidefinida positiva.
◦ Si D1 < 0, D2 > 0, · · · , (−1)r Dr > 0, entonces q es semidefinida negativa.
◦ Indefinida en otro caso.
b) ∃i : 1 ≤ i ≤ r, : Di = 0. Este criterio no se puede aplicar.
34
Grupos A y D
3.4.
Curso 2014/2015
Formas cuadráticas restringidas
En el estudio del signo de una forma cuadrática real de n variables es frecuente que
éstas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector
~x pertenezca a algún subespacio de Rn . Por tanto, interesa clasificar la forma cuadrática
en el subespacio en el que están restringidas las variables.
Definición 3.4.1. Sean q : Rn −→ R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial
de Rn .
q restringida a E es definida positiva si q(~x) > 0, ∀~x ∈ E, ~x 6= ~0.
q restringida a E es definida negativa si q(~x) < 0, ∀~x ∈ E, ~x 6= ~0.
q restringida a E es semidefinida positiva si
q(~x) ≥ 0, ∀~x ∈ E, y ∃~u ∈ E, ~u 6= ~0 : q(~u) = 0.
q restringida a E es semidefinida negativa si
q(~x) ≤ 0, ∀~x ∈ E, y ∃~u ∈ E, ~u 6= ~0 : q(~u) = 0..
q(~x) es indefinida si ∃~u, ~v ∈ E : q(~u) > 0, q(~v ) < 0.
Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio
Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio:


 x1



 x2
..


.




xn
=
α1 u11 + α2 u21 + · · · + αk uk1
=
α1 u12 + α2 u22 + · · · + αk uk2
..
.
=
α1 u1n + α2 u2n + · · · + αk ukn
α1 , α2 , · · · , αn ∈ R.
Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analı́tica de la forma
cuadrática.
Se clasifica la forma cuadrática restringida
35
q|E (α1 , α2 , · · · , αn ).
Curso 2014/2015
3.5.
Matemáticas (Grado en Quı́mica)
Ejercicios resueltos
1.- Obtener la expresión matricial y una forma diagonal de las siguientes formas cuadráticas:
a) q(x, y) = 2x2 + 6xy + 2y 2

2
La expresión matricial es: q(x, y) = (x, y) 
3
 
3
x
 
2
y
Para obtener le expresión diagonal podemos usar el método de Jacobi o los
autovalores:
2 − λ
|A − λI| = 3
3 = 0 tiene como solución λ = 5, λ = −1, por lo que
2 − λ
una expresión diagonal será: q(x, y) = 5x2 − y 2 .
Como los menores principales de A son D1 = 2, D2 = |A| = −5, la expresión
5
diagonal de Jacobi es: q(x, y) = 2x2 − y 2 .
2

 
0 4
x
  .
b) q(x, y) = 8xy. Su expresión matricial: q(x, y) = (x, y) 
4 0
y
Como D1 = 0 no existe la expresión diagonal de Jacobi, utilizamos, por tanto,
la de los autovalores:
−λ 4 = 0 tiene como solución λ = 4, λ = −4, por lo que una
|A − λI| = 4 −λ
expresión diagonal será: q(x, y) = 4x2 − 4y 2 .
c) q(x, y, z) = 3x2 + 3z 2 + 4xy + 8xz + 4yz.

3 2


Matricialmente: q(x, y, z) = (x, y, z) 2 0
4 2
 
x
4
 


2 y 
.
z
3
0 2 = −4, D3 = |A| = 8, por lo
Los menores principales son: D1 = 3, D2 = 2 0 que la expresión diagonal de Jacobi es:
4
8
4
q(x, y, z) = 3x2 − y 2 − z 2 = 3x2 − y 2 −2z 2 . Dado que los autovalores de A son
3
4
3
λ = −1 (doble) y λ = 8, una expresión diagonal será: q(x, y, z) = −x2 −y 2 +8z 2 .
d) q(x, y, z) = 2xy − 2xz + 2yz.
36
Grupos A y D
Curso 2014/2015

0

En forma matricial: q(x, y, z) = (x, y, z) 
1
−1
 
x
 


1  y 
.
z
0
1 −1
0
1
Como D1 = 0, no podemos utilizar la expresión diagonal de Jacobi, lo que nos
obliga a calcular los autovalores de A:
−λ 1 −1 |A − λI| = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ − 2 = 0, que tiene por solución: λ = 1
−1 1 −λ
(doble) y λ = −2, por lo que una forma diagonal será: q(x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 .
2.- Obtener la expresión analı́tica y una expresión diagonal de las formas cuadráticas
cuya matriz es:

−2

a) A = 
4
0
4
−8
0

0

0
.
1
La expresión analı́tica la obtenemos:

 
−2 4 0
x

 
2
2
2



q(x, y, z) = (x, y, z)  4 −8 0 y 
 = −2x − 8y + z + 8xy
0
0 1
z
−2 4 = 0, no existe la expresión diagonal de Jacobi.
Como D2 = 4 −8
−2 − λ
4
0 Los autovalores: |A − λI| = 4
−8 − λ
0 = (1 − λ)(λ2 + 10λ) = 0,
0
0
1 − λ
que tiene por solución: λ = 1, λ = 0 y λ = −10, por lo que una forma diagonal
será: q(x, y, z) = x2 − 10z 2 .


1 0 −1



b) A = 
 0 2 0 .
−1 0 1
La expresión analı́tica la

1

q(x, y, z) = (x, y, z) 
0
−1
obtenemos:
 
0 −1
x
 
2
2
2
 
2 0
 y  = x + 2y + z − 2xz
0 1
z
37
Curso 2014/2015
Matemáticas (Grado en Quı́mica)
Los menores principales de A son D1 = 1, D2 = 2, D3 = 0, pero como el
rango de A es 2, puede obtenerse la expresión diagonal de Jacobi que será:
q(x, y, z) = x2 + 2y 2 .
Los autovalores de A son λ = 0 y λ = 2 (doble) por lo que también podemos
escribir:
q(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2 .
3.- Clasificar las formas cuadráticas:
a) q(x, y) = x2 − 2xy + 4y 2 .

La matriz asociada es: A = 
1
−1

−1
 y los menores principales son:
4
D1 = 1 > 0, D2 = 3 > 0, por lo que la forma cuadrática es definida positiva.
b) q(x, y) = −4xy + 3y 2

0

−2
. Como D1 = 0, no podemos utilizar
3
La matriz asociada es: A = 
−2
este método de clasificación. −λ
−2 = λ2 − 3λ − 4 = 0 cuya solución es
Por los autovalores: |A − λI| = −2 3 − λ
λ = −1, λ = 4, por lo que la forma cuadrática es indefinida.
c) q(x, y, z) = x2 + 4xy + 4y 2 + 3z 2

1 2

La matriz asociada es: A = 
2 4
0 0
utilizar el método de los menores

0

0
. Como |A| = 0 y D2 = 0, no podemos
3
principales
por ello, hay que calcular los
1 − λ
2
0
autovalores de la matriz: |A − λI| = 2
4 − λ 0 = 0, cuya solución es
0
03 − λ
λ = 0, λ = 3, λ = 5, por lo que la forma cuadrática es semidefinida positiva.
d) q(x, y, z) = −3x2 + 2xy − y 2 + z 2


−3 1 0



La matriz asociada es: A = 
 1 −1 0. Los menores principales:
0
0 1
D1 = −3 < 0, D2 = 2 > 0, D3 = 2 > 0, por lo que la forma cuadrática es
indefinida.
38
Grupos A y D
Curso 2014/2015
e) q(x, y, z) = −x2 − 3y 2 − 3z 2 + 4yz


−1 0
0



La matriz asociada es: A = 
 0 −3 2 . Los menores principales:
0
2 −3
D1 = −1 < 0, D2 = 3 > 0, D3 = −5 < 0, por lo que la forma cuadrática es
definida negativa.
4.- Calcular el valor del parámetro a para que la forma cuadrática q(x, y, z) = 3x2 +
2xy + y 2 − 2axz + 3z 2 sea semidefinida positiva.

3
1

La matriz de la forma cuadrática es: A = 
 1
1
−a
0

−a

0 
.
3
Se verifica que D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que para que q sea semidefinida
positiva debe ser D3 = 0, es decir:
3 1
1 1
−a 0
−a
√
0 = 6 − a2 = 0, =⇒ a = ± 6.
3 5.- Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a los subespacios:
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0},
S2 = {(x, y) ∈ R2 : x + 5y = 0}
a) q(x, y) = 3x2 − 2xy + y 2

3
La matriz asociada a q es A = 
−1

−1
.
1
Sus menores principales son D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que la forma
cuadrática es definida positiva, por tanto, restringida a cualquier subespacio
seguirá siendo definida positiva.
b) q(x, y) = −x2 + 2xy

−1
La matriz asociada a q es A = 
1

1
.
0
Sus menores principales son D1 = −1 < 0, D2 = −1 < 0, por lo que la forma
cuadrática es indefinida.
39
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Matemáticas (Grado en Quı́mica)
Restringida a S1 , se tiene que x = y, por tanto q|S1 = −x2 +2xx = −x2 +2x2 =
x2 > 0 ∀(x, y) 6= (0, 0), por tanto es definida positiva.
Restringida a S2 , se tiene que x = −5y, por tanto q|S2 = −(−5y)2 + 2(−5y)y =
−35y 2 < 0 ∀(x, y) 6= (0, 0), por tanto es definida negativa.
6.- Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a los subespacios:
S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0},
S2 = h(0, 1, 1)i
a) q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz


0 1 1


. Para clasificarla debemos utilizar los
La matriz asociada es A = 
1
0
1


1 1 0
autovalores, pues D1 = 0.
−λ 1
1 1 −λ 1 = 0 cuyas soluciones son λ = 2, λ = −1 (doble), por lo que la
1
1 −λ
forma cuadrática es indefinida.
Restringida a S1 se tiene que x − y + z = 0 de donde y = x + z que sustituido
es q queda:

2
q(x, z) = 2x(x + z) + 2xz + 2(x + z)z = 2x2 + 6xz + 2z 2 = (x, z) 
3
 
x
  .
2
z
3
Los menores principales son D1 = 2 > 0, D2 = −5 < 0, por tanto también es
indefinida si se restringe a S1 .
Restringida a S2 = h(0, 1, 1)i, sus ecuaciones paramétricas son x = 0, y =
α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda:
q(α) = 2 · 0α + 2 · 0α + 2αα = 2α2 > 0∀α 6= 0 que es definida positiva.
b) q(x, y, z) = 2x2 − 2xy + 3y 2


0



La matriz asociada es A = 
−1 3 0.
0
0 0
Como D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, D3 = 0, la forma cuadrática es semidefinida
2
−1
positiva.
Restringida a S1 se tiene que x − y + z = 0 de donde z = y − x que sustituido
es q queda:
40
Grupos A y D
Curso 2014/2015

2
q(x, y) = 2x2 − 2xy + 3y 2 = (x, y) 
−1
 
−1
x
  .
3
y
Los menores principales son D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, por tanto es definida
positiva si se restringe a S1 .
Si la restringimos a S2 = h(0, 1, 1)i, sus ecuaciones paramétricas son
x = 0, y = α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda:
q(α) = 2 · 0 − 2 · 0α + 3α2 = 3α2 > 0∀α 6= 0 que es definida positiva.
3.6.
Ejercicios propuestos
1.- Calcular la expresión matricial de las formas cuadráticas cuyas expresiones analı́ticas
son:
a) q(x, y) = −2x2 − 2xy + 5y 2
b) q(x, y, z) = x2 + y 2 + 4xy − 2xz + 6yz
c) q(x, y, z) = x2 − 2xy + 3z 2 − 2yz + 4xz
Encontrar una expresión diagonal para cada una de ellas.
2.- Calcular la expresión analı́tica de las formas cuadráticas cuya matriz asociada es:






−1 1 −1
1 0 −1




0 2
 , A2 =  0 1 1  A3 =  1 2 1  .
A1 = 




2 3
−1 1 0
−1 1 −2
Encontrar una expresión diagonal para cada una de ellas.
3.- Clasificar las formas cuadráticas:
a) q(x, y) = 3x2 + 6xy + 3y 2
b) q(x, y) = −x2 − xy
c) q(x, y, z) = x2 − y 2 − 3z 2 + 2xy + 2xz − 2yz
d) q(x, y, z) = −x2 + 3z 2 − 2xy + 4xz − 2yz
e) q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy
f) q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy
41
Curso 2014/2015
Matemáticas (Grado en Quı́mica)
4.- Clasificar la forma cuadrática q(x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 restringida a los subespacios:
S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + z = 0},
S2 = h(1, 1, −1)i.
5.- Sea la forma cuadrática: q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide:
a) Determinar su expresión matricial.
b) Encontrar una expresión diagonal para q.
c) Clasificar la forma cuadrática sin restringir y restringida al subespacio
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y − 2z = 0}.
6.- Sea la forma cuadrática: q(x, y, z) = 2x2 − 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide:
a) Determinar su expresión matricial.
b) Encontrar una expresión diagonal para q.
c) Clasificar la forma cuadrática sin restringir y restringida a los subespacios
S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2z = 0},
S2 = h(0, 0, −1)i,
S3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − z = 0, y + z = 0}.
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