Fundamentos de Vibraciones Mecánicas. Definiciones y Terminolog

Fundamentos de Vibraciones Mecánicas.
Definiciones y Terminologı́a.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, México
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1
Introducción
Estas notas tienen como objetivo proporcionar al lector las definiciones, clasificación y resultados fundamentales de vibraciones mecánicas. El propósito es agilizar el aprendizaje de estos temas que, usualmente, no requieren de conocimientos muy profundos de otras materias.
2
Vibración: Definición y Clasificación.
En esta sección se definirán las vibraciones mecánicas y se clasificarán en base
a sus caracterı́sticas fundamentales.
Definición 1: Vibración. Es la variación con respecto al tiempo, de la
magnitud de un parámetro que define, totalmente o parcialmente, el estado de
un sistema –mecánico, eléctrico, económico, biológico–, respecto a una referencia especı́fica, cuando la magnitud del parámetro es alternativamente mayor y
menor que la de referencia.
Una vibración es, simplemente, una función no monótonica del tiempo, f (t);
ası́ pues, en sentido estricto, las funciones constantes; es decir aquellas que
∀t ∈ Id ,
f (t) = c
(1)
donde Id es el intervalo de definición de la función, no satisfacen definición 1.1
Existen ejemplos muy variados de vibraciones:
1. El voltaje de un circuito de corriente alterna.
1 En
el resto de estas notas, el lector puede emplear como sinónimos las palabras vibración
y función.
1
2. La presión dentro de un tanque de almacenamiento de una compresora
durante su llenado y descargado.
3. La presión interna de la cabina de un avión durante un viaje.
4. La distancia que se comprime un resorte en los “amortiguadores” de la
suspensión de un automóvil durante el viaje a través de una carretera
llena de baches.
5. El valor relativo de la moneda de un paı́s con respecto a la moneda de
otro.
6. La temperatura de un paciente afectado de paludismo.
Aún cuando muchos de las definiciones y resultados obtenidos en este curso
son aplicables a cualquier tipo de sistema –frecuentemente denominado sistema
dinámico–, el énfasis en este curso es el estudio de los sistemas mecánicos.
La definición 1 es demasiado amplia y es posible, y conveniente, restringir
la definición a clases particulares de vibraciones.
Definición 2: Vibraciones Deterministı́cas y Probabilı́sticas o Estocásticas. Una vibración se denomina determinı́stica si es posible conocer la
función, f (t), que describe la función. En contraste, una vibración se denomina
probabilı́stica o estocástica si lo único a lo que es posible aspirar es conocer una
función de probabilidad de la amplitud del parámetro descrito por la función.
En un curso introductorio de vibraciones mecánicas, las únicas vibraciones
que se estudian son las determinı́sticas. Las vibraciones probabilı́ticas o estocásticas han encontrado un campo de aplicación importante en el estudio de
las vibraciones producidas por la interacción de fluidos y sólidos, por ejemplo
en las vibraciones de aviones supersónicos y cohetes.
Definición 3: Vibraciones Periódicas y Aperiódicas. Las vibraciónes
determinı́sticas se clasifican en vibraciones periódicas y aperiódicas. Una vibración periódica es aquella que se repite con todas sus caracterı́sticas después
de un intervalo de tiempo concido como Periodo de la Vibración y representado por T . Matemáticamente, la función que describe la vibración o función
priódica debe satisfacer la condición
f (t + T ) = f (t) ∀t ∈ Id .
(2)
Si la vibración o función no satisface la ecuación 2, la vibración o función se
denomina aperiódica.
En la práctica de la ingenierı́a mecánica, la gran mayoria de las vibraciones
son aperiódicas; sin embargo, en un curso introductorio de vibraciones mecánicas
las que se estudian a mayor profundidad son las vibraciones periódicas. Las
razones de esta aparente contradicción son:
• El estudio de las vibraciones periódicas es mucho mas simple que las vibraciones aperiódicas.
2
• Frecuentemente, las vibraciones aperiódicas están constituidas por una
componente periódica y una componente aleatoria2. De manera que los
problemas que ocasionan las vibraciones aperiódicas pueden resolverse mediante el análisis de la componente periódica, eliminando de alguna manera, por ejemplo promediando, la componente aleatoria.
La figura 1 muestra un ejemplo de una vibración periódica. Note que la
vibración se repite con todas sus caracteristicas después de un intervalo de
tiempo.
Ejemplo de Vibracion Periodica
2.5
2
1.5
Desplazamiento, u.l.
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo, segundos
70
80
90
100
Figure 1: Ejemplo de Vibración Periódica.
La figura 2 muestra un ejemplo de una vibración aperiódica.
3
Propiedades de Vibraciones Periódicas.
En esta sección se analizarán, con mayor profundidad, las caracterı́sticas de
las vibraciones periódicas. En primer lugar puede observarse que si T es un
intervalo de tiempo que satisface la ecuación 2, entonces
f (t + 2T ) = f ((t + T ) + T ) = f (t + T ) = f (t).
(3)
2 En sentido estricto estas vibraciones deberian caracterizarse como probabilı́sticas o estocásticas.
3
Comparacion de los Desplazamiento en un Sistema Bajo un Pulso Cuadrado de 10 seg.y Bajo Condiciones Iniciales
100
← Condicion Inicial
80
60
Desplazamiento, u.l.
40
20
← Pulso
0
−20
−40
−60
−80
0
5
10
15
Tiempo, segundos
20
25
30
Figure 2: Ejemplo de Vibración Aperiódica.
Mediante inducción es fácil probar que si
f (t + T ) = f (t)
Entonces, para cualquier valor de entero n,
f (t + n T ) = f (t).
(4)
La conclusión es que si T es un periodo de la vibración, entonces todo n T es
también un periodo de la vibración. Ası́ pues, es necesario diferenciar uno de
esos periodos.
Definición 4. Periodo Fundamental. El intervalo de tiempo mas pequeño
que satisface la ecuación 2, es decir f (t + T ) = f (t), se conoce como el periodo fundamental. En el resto del curso y a menos que se diga lo contrario,
siempre que se refiera a un periodo deberá entenderse que se refiere al periodo
fundamental.
Una vez definido el periodo fundamental, es posible determinar la frecuencia
de una vibración periódica.
Definición 5. Frecuencia. La frecuencia de una vibración periódica, f ,
se define como el número de veces que una vibración se repite en un intervalo
de tiempo.
1
(5)
f= .
T
4
Las unidades de la frecuencia son ciclos/segundo, también denominados Hertz,
o ciclos por minuto.
Existen dos parámetros importantes en el estudio de las vibraciones periódicas,
que son el valor promedio y el valor cuadrático medio de una vibración.
Definición 6. Valor Promedio y Valor Cuadrático Medio de una
Vibración Periódica. Sea y = f (t) una vibración periódica de periodo T .
Entonces, el valor promedio3 y el valor cuadrático medio, root mean square, de
la vibración se definen respectivamente como
1 a+T
| f (t) | dt.
(6)
ȳ =
T a
y
2
yr.m.s
=
1
T
a+T
2
(f (t)) dt.
(7)
a
El valor promedio se emplea en la teoria de comunicación mediante redes y
no encuentra mucha aplicación en el campo de las vibraciones mecánicas. Por
el contrario, el valor cuadrático medio tiene una aplicación importante en el
campo de las vibraciones mecánicas, pues se asocia al contenido de energı́a de
una vibración.
Considere el sistema mostrado en la figura 3. Incidentalmente, el sistema es
un sistema vibratorio de un grado de libertad. Suponga que el resorte es lineal y
de constante k y que la masa del sistema, m, es constante. Además suponga que
en la posición mostrada la longitud del resorte es su longitud libre; es decir, en
esa posición la deformación del resorte es nula. Sea x(t) el movimiento periódico
de la masa y T su periodo, entonces en un momento dado la energı́a potencial
de deformación del resorte está dada por
Ep =
1
k x(t)2 .
2
Si se desea obtener el valor promedio de la energı́a potencial del resorte durante
el movimiento periódico se tiene que
1 t+T
1 t+T 1
1 1 t+T
1
2
Ēp =
k x(t) dt = k
Ep dt =
x(t)2 dx = kx2r.m.s.
T t
T t
2
2 T t
2
De manera similar, la energı́a cinética de la masa del sistema está dada por
Ec =
1
m ẋ2 .
2
Si se desea obtener el valor promedio de la energı́a cinética de la masa del sistema
1 t+T
1 t+T 1
1 1 t+T
1
m ẋ(t)2 dt = m
Ec dt =
ẋ(t)2 dx = m ẋ2r.m.s.
Ēc =
T t
T t
2
2 T t
2
3 No
debe confundirse el valor promedio con el promedio de una función
5
Figure 3: Sistema Vibratorio Para Mostrar el Significado del Valor Cuadrático
Medio.
4
Vibraciones Armónicas
Dentro de las vibraciones periódicas existe una clase muy importante de vibraciones denominadas armónicas, posteriormente se mostrará que cualquier
vibración periódica puede escribirse como una serie de vibraciones armonı́cas,
de manera que, el estudio de las vibraciones armónicas constituye la piedra
fundamental para el estudio de vibraciones periódicas. Es importante señalar
que hasta este punto, no se ha expresado la función, f (t), que describe la vibración. En el estudio de las vibraciones armónicas, por primera vez, la función
se describe de manera explı́cita.
Definición 7: Vibración Armónica. Una vibración se denomina armónica
si la relación entre el parámetro de la vibración y el tiempo está dada por
x(t) = x0 Sen(ω t + φ),
(8)
donde, por convención, el valor de x0 es siempre positivo. La figura 4 muestra
una vibración armónica
Existen muchas propiedades y definiciones acerca de las vibraciones armónicas.
Trataremos de indicarlas de una manera lógica y sistemática.
1. Una vibración armónica es periódica. De la trigonometrı́a, se tiene
que
Sen(α + 2 π) = Sen(α) Cos(2 π) + Cos(α) Sen(2 π) = Sen(α)
(9)
Además, 2 π es el ángulo mas pequeño que satisface esta identidad. Por
6
Desplazamiento Versus Tiempo en un Sistema No Amortiguado
2
1.5
Desplazamiento, u.l.
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo, segundos
7
8
9
10
Figure 4: Vibración Armónica.
lo tanto,
x(t +
2π
) =
ω
=
2π
2π
) + φ) = x0 Sen(ω t + φ + ω
)
ω
ω
x0 Sen((ω t + φ) + 2 π) = x0 Sen(ω t + φ).
(10)
x0 Sen(ω (t +
Este resultado indica que el periodo fundamental de una vibración
armónica está dado por
2π
.
(11)
T =
ω
Como consecuencia, la frecuencia de una vibración armónica está
dada por
1
1
ω
= 2π =
.
(12)
f=
T
2π
ω
La ecuación 11 indica que ω y f representan la misma dimensión. De aquı́
que ω se denomine frecuencia circular. Sin embargo, las unidades de ω
son rad./seg.
2. Amplitud de una vibración periódica. De la trigonometrı́a se sabe
que los valores máximos y mı́nimos de la función Seno están dados por
M ax Sen(α) = +1,
7
y
M in Sen(α) = −1.
Por lo tanto, el mayor valor absoluto que el parámetro de una vibración
armónica puede tener está dado por
M ax | x(t) |= M ax | x0 Sen(ω t + φ) |= x0 | Sen(ω t + φ) |= x0 .
(13)
La magnitud x0 se denomina la amplitud de la vibración armónica.
Además, la magnitud 2 x0 , que es la distancia entre un máximo y un
mı́nimo de la vibración se denomina amplitud pico a pico de la vibración armónica.
3. Forma polar y algebraica de una vibración armónica. Aplicando
la ecuación (8), se tiene que
x(t)
= x0 Sen(ω t + φ) = x0 (Sen(ω t) Cosφ + Cos(ω t) Senφ)
= (x0 Cosφ)Sen(ω t) + (x0 Senφ)Cos(ω t)
= b0 Sen(ω t) + a0 Cos(ω t)
(14)
Esta expresión de la función de una vibración armónica se denomina
forma algebraica de una vibración armónica, en contraste la expresión original de la vibración armónica, dada por la ecuación (8), se
denomina forma polar de una vibración armónica.
Es fácil observar que para pasar de la forma algebraica a la forma polar,
b0 = x0 Cosφ,
y
a0 = x0 Senφ.
(15)
En sentido contrario, para pasar de la forma algebraica a la forma polar,
se tiene que elevando al cuadrado y sumando estas dos últimas ecuaciones,
se tiene que
a20 + b20 = x20 (Sen2 φ + Cos2 φ) = x20 ,
por lo tanto
x0 =
a20 + b20
Además,
T an φ =
x0 Senφ
a0
Senφ
=
=
Cosφ
x0 Cosφ
b0
por lo tanto
a0
.
(16)
b0
El ángulo φ se denomina el ángulo de fase de una vibración armónica.
φ = T an−1
La figura 5 muestra dos vibraciones de la misma frecuencia que están desfazadas un cierto ángulo de fase. Puede observarse como una de las gráficas
de la figura cruza la lı́nea x = 0, llega a su máximo, de nuevo cruza la lı́nea
x = 0 y llega a su mı́nimo con el mismo adelanto o retraso respecto a la segunda
gráfica. Debe notarse que para que esta caracterı́stica se presente la frecuencia
circular de ambas funciones, ω, debe ser la misma. De otra manera, el adelanto
o retraso de una vibración respecto a la otra variarı́a a través del tiempo y se
harı́a imposible hablar de un ángulo de fase.
8
Dos Funciones Armonicas Desfazadas
1.5
1
Funciones Armonicas.
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
2
4
6
8
10
Tiempo, seg.
12
14
16
18
20
Figure 5: Dos Vibración Armónicas Desfazadas.
5
Derivadas de una Vibración Armónica.
En esta sección se analizarán las derivadas de una vibración armónica. Suponga
que una vibración armónica está dada por
x(t) = x0 Sen(ω t + φ),
Entonces la primera derivada de esta vibración, es otra vibración cuya ecuación
está dada por
ẋ(t) =
d
π
x(t) = x0 ωCos(ω t + φ) = x0 ωSen(ω t + φ + ),
dt
2
(17)
donde, aplicando identidades trigonométricas, se ha transformado la función
Coseno en función Seno. La segunda derivada de la vibración estará dada por
ẍ(t) =
d
ẋ(t) = −x0 ω 2 Sen(ω t + φ) = x0 ω 2 Sen(ω t + φ + π),
dt
(18)
donde, aplicando identidades trigonométricas, se ha incluido el signo menos,
incrementando el ángulo de fase.
Debe notarse que la segunda derivada de la función armónica puede escribirse
en términos de la misma función armónica como se muestra a continuación
ẍ(t) = −x0 ω 2 Sen(ω t + φ) = −ω 2 x0 Sen(ω t + φ) = −ω 2 x(t).
9
Por lo tanto
ẍ(t) + ω 2 x(t) = 0.
(19)
La ecuación 19 es la ecuación diferencial mas simple que una función armónica
debe satisfacer. La ecuación diferencial es ordinaria, lineal, de coeficientes constantes, homogenea y de segundo orden. Este resultado es la primera indicación
de la importancia del conocimiento de las ecuaciones diferenciales para el estudio
de las vibraciones mecánicas.
Finalmente, mostraremos como las vibraciones armónicas pueden representarse como vectores rotatorios o “fasores”. Considere la vibración armónica y
sus derivadas introducidos en esta sección. En particular, la vibración armónica
puede representarse mediante un vector vibratorio de longitud igual a su magnitud, x0 , y tal que en un instante arbitrario, el vector forma con el eje horizontal
un ángulo ω t + φ, vea la Figura 6. Es fácil mostrar que la componente vertical
del vector está dada en el mismo instante arbitrario por
x0 Sen(ω t + φ).
De aquı́ que, el vector rotatorio o “fasor” represente la vibración. El mismo
argumento puede aplicarse a la primera y segunda derivada de la vibración.4
Figure 6: Representación de una Vibración Armónica y sus Derivadas.
4 En
este caso, se seleccionó un valor de ω > 1.
10