Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada en una cartera

Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada
en una cartera de préstamos hipotecarios
Juan Bazerque a
Jorge Sander b
BCU – SSF – Depto. Estudios BCU – SSF – Depto. Estudios
Resumen
En este trabajo se analiza un aspecto dejado de lado en la determinación de las pérdidas esperadas de
carteras de crédito de largo plazo, a saber el horizonte temporal de los mismos. Ante la ausencia de
series de default tomadas a partir de incumplimientos en plazos largos surge la necesidad de determinar
como se acumula la probabilidad de incumplimiento anual cuando el vencimiento de un préstamo
excede los doce meses. En el caso particular de la cartera hipotecaria al habitual largo plazo del crédito se
unen dos características particulares que complican el modelo, la fijación de porcentajes de garantía
iniciales y el pago en cuotas del préstamo, lo que tiene como efecto que a partir de determinado período
la pérdida derivada del incumplimiento se anule.
Se desarrolló una fórmula cerrada para el cálculo de la pérdida esperada total a partir de la derivación de
un límite de integración que define el momento en que las garantías exceden los saldos adeudados y se
anula la pérdida esperada del período. Adicionalmente se simularon escenarios de las variables
principales encontrándose que para una cartera a 20 años la pérdida esperada total acumula cerca de
cuatro veces y media el valor de la pérdida esperada anual, dada una garantía del 70% al inicio del
préstamo y una tasa de interés de entre 6% y 8% anual.
JEL: G21, G33
_______________________
Las opiniones vertidas en este artículo son responsabilidad exclusiva de sus autores, y no comprometen la posición
institucional del Banco Central del Uruguay.
a bazerque@bcu.gub.uy
b jjsander@bcu.gub.uy
Introducción
Cuando se hace referencia a la pérdida esperada de una cartera de
créditos generalmente se utilizan conceptos tales como “probabilidad
de default” y “loss given default” sin demasiado análisis de los
fundamentos de tales explicaciones. Así, los requisitos de capital de
Basilea II permiten a los bancos utilizar modelos para determinar su
capital por riesgo de crédito que en principio surgen de estimar la
probabilidad de default (probabilidad de que el deudor impague) y la
pérdida condicionada en el evento anterior, es decir, cuánto deja de
cobrar la institución una vez que el deudor incumple sus obligaciones,
cantidad que dependerá entre otras cosas de las garantías que el
deudor haya presentado al contratar el préstamo.
Al estimarse dichos requisitos, las pérdidas inesperadas (calculadas
en función de la dispersión de la Probabilidad de Default –PD- en
torno a su media y más precisamente la estimación de las pérdidas
hasta un determinado umbral de probabilidad1) conllevan la necesidad
con contar con una distribución de la probabilidad de default además
de su valor medio.
Un extremo que no parece haber sido revisado es que el requisito de
capital y las probabilidades de default se calculan básicamente con un
horizonte
de
un
año,
período
elegido
tan
arbitrariamente
como
cualquier otro. Esta decisión conlleva que para calcular la media y la
dispersión o desviación estándar de esta última variable (de la que
1 Ver Acuerdo de capitales de Basilea II
generalmente se asume distribución normal) se construya una variable
aleatoria que se aplica sobre
los datos de forma que asume un valor
de 1 cuando un deudor2 , al observarse nuevamente al año de haber
entrado en la base de datos aparece en cesación de pagos o con un
atraso estándar, mientras que asume el valor 0 si está pagando sus
deudas
o
desapareció
de
la
base
por
haberlas
cancelado
en
su
totalidad.
De esa manera el cálculo de la probabilidad media de default, por
ejemplo se calculará como:
Nro veces PD  1
Nro total casos
estimando la probabilidad de default de un individuo a partir del
número de casos que hacen default en la población analizada.
Cabe notar que los parámetros estimados dependerán no solamente de las
condiciones
primarias
utilizadas
en
la
definición
del
evento
de
default, es decir los elementos objetivos que debe presentar un deudor
para considerarse en cesación de pagos (días de atraso, porcentaje de
deuda atrasada, etc.) sino también, siendo este el punto central del
trabajo,
del
horizonte
que
se
utilice
para
esta
definición.
Es
evidente que cuanto mayor sea el plazo de un préstamo, existen mayores
2
Cabe señalar que en principio se trata de operaciones y no de deudores,
aunque esto nos traerá la necesidad de definir la continuidad de operaciones
que se renuevan.
probabilidades de ocurrencia de shocks que afecten la capacidad de
pago del deudor por lo que la PD media de un crédito debería aumentar
con el plazo.
El hecho que el mecanismo de fijación de capital por riesgo de crédito
conocido
como
“Basilea
II”
utilice
un
horizonte
de
un
año
para
requerir capital a los bancos, no implica que deba seguirse igual
definición
en
la
valuación
de
créditos,
en
la
medida
que
dicho
requerimiento de capital se calibró para que generara un número que se
supone básicamente previsto de antemano como punto de partida.
Adicionalmente, la fijación de un horizonte de default como parte de
un requerimiento de capital, parte de la base de que un banco deberá
resistir un tiempo determinado de pérdidas sin condiciones de mercado
que le permitan emitir nuevo capital para seguir operando y desde ese
punto de vista, sin entrar a juzgar si el plazo de un año es el más
razonable, la fijación de un horizonte cualquiera dependerá del grado
de holgura de capital que el regulador pretenda tener en función de su
conocimiento de la liquidez de los mercados.
Sin embargo, cuando lo que se calcula es el valor de un crédito y su
pérdida esperada (que surgirá también de la probabilidad de default y
la pérdida en caso de default), es necesario definir un horizonte
teóricamente correcto para el cálculo. Así, un deudor hipotecario con
un préstamo a 15 años,
podrá entrar en default en cualquiera de los
15 años en que mantenga deuda con el banco, mientras que un deudor
comercial, con un préstamo a un año tendrá solamente en ese período
probabilidad de incumplir sus obligaciones con la institución.
Entonces, independientemente de aspectos contables de devengamiento de
la pérdida esperada que un préstamo implique, el precio de un bono
equivalente debería tomar en cuenta la pérdida esperada del mismo en
el horizonte del contrato (quedando por definir el horizonte en el
caso de préstamos comerciales que se renuevan automáticamente3).
En
la
medida
que
no
se
cuenta
con
bases
de
datos
con
períodos
suficientemente prolongados como para poder estimar probabilidades de
default para préstamos hipotecarios o de largo plazo se presenta un
modelo inicial que puede permitir entender la forma en que debiera
acumularse la probabilidad anual de default en caso de préstamos o
bonos
con
este
tipo
de
vencimiento,
incluyendo
la
existencia
de
garantías. Cabe señalar, que más allá de la derivación de fórmulas
definitivas
que
permitan
el
cálculo,
se
trata
de
un
punto
poco
explorado y del que no se tienen referencias, particularmente respecto
a
la
no
linealidad
introducida
por
las
características
de
estos
préstamos, cuyos saldos disminuyen en el tiempo frente a la existencia
de garantías fijadas al inicio del contrato.
3
3 Es difícil obtener de datos contables información acerca de la capacidad de
repago total de créditos que un deudor pueda tener, en la medida que pocas
veces esté evento es observable, debiéndose entrar en un análisis detallado
de carpetas deudor a deudor. De ésta manera no se está en condiciones de
proponer un tratamiento definitivo para fijar el horizonte de default en caso
de préstamos renovables en forma automática, en la medida que los supuestos a
realizar harían diferir los resultados en forma importante.
El modelo
En primera instancia derivaremos la forma de cálculo de la pérdida
esperada para un crédito a más de un año, garantizado parcialmente al
inicio, como es el caso de los créditos hipotecarios.
Un crédito hipotecario a cuota fija presenta como característica que
el saldo del mismo en un período t surge de la siguiente fórmula:

St 1 y t S0 CV t
1  1  y 
V 
y

(1)
t
siendo
t
1
la sumatoria del factor de descuento
a la tasa y hasta el período t,
y
C
1  y  j
S 0 la cuota del préstamo.
Vn
Asumiendo que no existieran comportamientos estratégicos, es decir que
el
deudor
hará
default
solo
como
causa
de
eventos
ajenos
a
su
voluntad, y que la probabilidad de default anual es independiente4,
existirán pérdidas para el prestamista cuando el saldo del deudor
exceda las garantías5.
4 En este primer modelo se trabaja con una probabilidad invariante que se
derivaría como la media anual estimada a lo largo del ciclo económico.
5 También en este caso se optó por mantener el valor de la garantía en el
tiempo, a efectos de la simplicidad y en la medida que se trata de una
primera aproximación.
De esa manera se llega a que el impago esperado anual del período t
(que luego se sumará a lo largo de la vida del préstamo) sea en
términos de valor actual:
MaxSt  Gt ;0  PDt
1  y t
donde Gt
(2)
indica el valor de la garantía en el período t,
PDt
la
probabilidad de default o incumplimiento en el mismo período e y la
tasa de descuento.
La fórmula permite entonces ver que existirá un impago anual positivo
cuando en el momento de incumplimiento el saldo adeudado sea mayor que
el valor de la garantía.
A efectos de realizar un primer cálculo simplificado consideremos que
la probabilidad de impago es invariante de un año a otro, eso es:
PDt  PD
y el valor de la garantía es asimismo invariante:
Gt  G
Así, solo resta definir el período
t  t
en que la disminución del
saldo hace que el banco, de ejecutar la garantía, no sufra pérdidas.
De ese modo, esto sucederá para el primer t tal que:
que es lo mismo, habrá impago positivo cuando:
St  G  0
St  G  0
, o lo
, pudiendo
demostrarse que habrá impagos positivos para todo t tal que6:


  S 0  G 1  y n  G  
 ln 

S0
 
   t
t  Int 

ln 1  y 






siendo Int () el operador que da como resultado el número entero que
corresponde al resultado de la expresión contenida entre paréntesis.
El impago total descontado vendrá dado entonces por (podemos omitir el
operador de máximo al sumar hasta t* sustituyendo (1) en (2):
j

1  y  S0  CV j   G
E(I )  
 PD 
1  y  j
j 0
t*
(3)
t
t
t
G 
j
E ( I )  PD  S0  C V 

j 


1

y
j 0
j 0
 j 0

*
*

S
E ( I )  PD S 0 t   1  0n
V


6
Ver Anexo.

*
t*
V
j 0
j




 G V t 1  

t*
descomponiendo
V
j
 V o  V 1  V 2  ....  V t 
*
(4)
j 0
1  1  y 
y
0
sacando
y
1  1  y 
1  1  y 


y
y
1
2
1  1  y 
 ........ 
y
t *

hacia fuera, viendo que el primer sumando se anula, y
agrupando nos queda:
  j 11 
t*
 t 
1
1
1


...


t*
1  y  1  y 2
1  y 
 t  V t
y
1
1
1


...


t*
1  y  1  y 2
1  y 
*
sustituyendo
(4)
en
la
última
expresión
definitivamente la pérdida total esperada:
de
(3)
nos
queda


  V n t   1 y  t   V t
E ( I )  PD S0 
Vny
 





  G V t 1 



(5)
A partir de la pérdida esperada que surge de la fórmula anterior se
simularon
los
valores
del
pérdida esperada anual que
ratio
normalmente
entre
se
siendo la pérdida dado el incumplimiento o
calculándose
el
referido
ratio
para
dicha
expresa
LGD
pérdida
la
como PDanual  LGD
computada
diferentes
y
como (1  G) ,
valores
de
plazo,
garantía y tasa de interés.
El resultado del ratio depende de la tasa de interés del préstamo y
evidentemente
del
plazo
(pues
a
más
años
se
acumulan
más
probabilidades de default) así como también al valor de la garantía en
términos
del
valor
presente
del
préstamo
o
bono.
Se
obtuvo
el
resultado esperable de que el ratio en cuestión es invariante frente
al valor de la probabilidad de default anual.
Se presentan tablas del ratio referido para tasas de interés del 0% al
10% anual, plazos de 1 a 25 años, y ratio de garantías a valor
presente de 0% a 100%.
TABLAS 1 a 6
CONVERSIÓN DE PÉRDIDA ESPERADA ANUAL A PÉRDIDA ESPERADA
TASAS DE INTERÉS de 0% a 10%
0%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2%
1
5
10
15
20
25
1
3,00
5,50
8,00
10,50
13,00
1
2,78
5,00
7,26
9,50
11,76
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,50
2,29
2,00
1,80
1,50
1,33
1
1
1
4,50
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1
1
6,50
5,76
5,00
4,27
3,50
2,78
2,00
1,33
1
8,50
7,50
6,50
5,50
4,50
3,50
2,50
1,50
1
10,50
9,26
8,00
6,76
5,50
4,27
3,00
1,80
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
5
10
15
20
25
1
2,96
5,34
7,63
9,84
11,97
1
2,76
4,91
7,04
9,11
11,13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,50
2,29
2,02
1,82
1,54
1,35
1
1
1
4,48
4,03
3,57
3,10
2,61
2,12
1,61
1
1
6,43
5,78
5,13
4,43
3,72
2,95
2,21
1,41
1
8,35
7,54
6,69
5,80
4,86
3,87
2,83
1,74
1
10,23
9,28
8,28
7,19
6,05
4,82
3,49
2,07
1
4%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
6%
1
5
10
15
20
25
1
2,92
5,18
7,27
9,21
10,99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,73
2,49
2,29
2,04
1,83
1,57
1,37
1
1
1
4,82
4,43
4,03
3,61
3,17
2,70
2,21
1,70
1
1
6,80
6,30
5,77
5,18
4,57
3,89
3,17
2,37
1,48
1
8,68
8,09
7,46
6,77
6,00
5,15
4,21
3,15
1,93
1
10,43
9,80
9,10
8,33
7,46
6,46
5,33
4,01
2,42
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
5
10
15
20
25
1
2,88
5,02
6,93
8,61
10,07
1
2,71
4,71
6,55
8,22
9,69
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,49
2,29
2,06
1,85
1,60
1,39
1
1
1
4,38
4,02
3,64
3,22
2,77
2,29
1,78
1
1
6,15
5,70
5,21
4,65
4,04
3,33
2,55
1,64
1
7,78
7,29
6,74
6,11
5,37
4,51
3,46
2,19
1
9,26
8,77
8,20
7,52
6,72
5,73
4,49
2,84
1
8%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10%
1
5
10
15
20
25
1
2,85
4,87
6,59
8,04
9,23
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,68
2,48
2,29
2,08
1,86
1,63
1,40
1
1
1
4,61
4,32
4,00
3,64
3,25
2,83
2,36
1,85
1
1
6,30
5,97
5,60
5,19
4,71
4,15
3,51
2,73
1,79
1
7,75
7,43
7,06
6,63
6,12
5,50
4,74
3,76
2,43
1
8,97
8,68
8,33
7,93
7,43
6,81
6,00
4,90
3,27
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
5
10
15
20
25
1
2,81
4,73
6,28
7,51
8,46
1
2,66
4,50
6,05
7,30
8,29
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2,47
2,29
2,09
1,87
1,65
1,41
1
1
1
4,24
3,96
3,64
3,29
2,89
2,43
1,91
1
1
5,78
5,48
5,13
4,72
4,24
3,63
2,89
1,90
1
7,06
6,78
6,45
6,05
5,55
4,90
4,01
2,72
1
8,09
7,85
7,57
7,21
6,75
6,12
5,20
3,70
1
GRÁFICO 1 – RATIO DE CONVERSIÓN PARA TASA DE INTERÉS DEL 6%
Adicionalmente pueden calcularse para cada tabla (tasa de interés) los
ratios de garantía a valor presente que igualan pérdida esperada anual
y pérdida esperada para los préstamos a plazos de 15, 20 y 25 años,
los que se presentan a continuación:
TABLA 7
NIVELES DE GARANTÍA QUE IGUALAN PÉRDIDA ESPERADA ANUAL Y TOTAL
a 15, 20, 25 años
TASA
PLAZO
Como
puede
apreciarse,
15
20
25
0%
93,33
95,00
96,00
2%
94,22
95,88
96,88
4%
95,00
96,64
97,60
6%
95,70
97,28
98,18
8%
96,32
97,81
98,63
10%
96,85
98,25
98,98
para
el
ejercicio
realizado,
la
pérdida
esperada total es igual a la pérdida anual esperada para los plazos
generalmente observados de préstamos hipotecarios, sólo en caso de
niveles
de
garantía
extremadamente
altos
donde
ya
en
el
segundo
período la deuda quedaría cubierta totalmente, resultado que valida la
necesidad del cálculo propuesto.
Conclusiones
El
modelo
presentado
permite
calcular
la
pérdida
esperada
en
el
horizonte de largo plazo de préstamos hipotecarios tomando en cuenta
la
no
linealidad
garantías
de
introducida
este
tipo
de
por
las
contrato,
características
mostrando
una
de
flujos
y
divergencia
significativa entre el cálculo así realizado y la pérdida esperada
calculada en el horizonte de un año.
Como ya se dijo existen dos principales supuestos a levantar, el
primero de ellos referido a la utilización de una PD constante y el
segundo que es la utilización de un valor de garantía constante.
Ambos supuestos fueron utilizados a los efectos de poder desarrollar
una fórmula cerrada sencilla y su levantamiento supone en principio
algunos cambios al resultado. En primer lugar una PD variable cuyo
nivel subiera hacia el final de
presentar
resultados
del
ratio
la vida del préstamo tendería a
calculado
incrementaría la probabilidad de default
menores,
puesto
que
en momentos en que el saldo
fuera menor y reduciría dicha probabilidad con saldos impagos mayores.
Del mismo modo, si se introduce correlación negativa (razonable) entre
las probabilidades de default y el valor de la garantía a partir de
estimaciones de variables macro como ser el precio de la vivienda y la
morosidad bancaria los resultados del ratio que convierte la pérdida
esperada anual en pérdida esperada también se reducirían7.
Sin perjuicio de dicha disminución y de la volatilidad del ratio
calculado, generada por la no linealidad de las fórmulas involucradas,
se entiende que este modelo reducido permite pensar en una forma de
estimar
el
valor
de
una
cartera
de
préstamos
hipotecarios
y
las
variables que se deben tener en cuenta para la determinación de un
modelo más completo.
Las deducciones del modelo surgen del apalancamiento del préstamo tipo
que introduce no linealidad en la medida que la garantía exceda o no
al saldo adeudado en cada fecha y permiten delinear un instrumento
para valuar créditos ilíquidos de plazos largos ante la ausencia de
datos de incumplimientos en horizontes de varios años.
Por último, se señala una vez más la falta de estudio del tema a nivel
general, y en particular acerca de la no linealidad introducida por
las
características
contractuales
de
los
préstamos
hipotecarios,
resaltando la necesidad de seguir el trabajo con el levantamiento de
de
los
supuestos
utilizados
de
probabilidad
de
incumplimiento
y
garantías invariantes en el tiempo y su reemplazo por un modelo para
estas dos variables que permita simular escenarios más ajustados para
utilizar en la práctica.
7
No se tienen relevados datos en la actualidad sobre los ratios de garantías
exigidos por las instituciones bancarias en distintos momentos del ciclo, que
podrían ser parte relevante de un modelo más ajustado.
ANEXO
DERIVACIÓN DEL LÍMITE DE INTEGRACIÓN DE LA SUMA DE IMPAGOS ANUALES


S

t
t
S t  G  0  1  y  S 0  CV t  G  0  1  y   S 0  0n V t   G  0 
V


V n V
 1  y  S 0 
 Vn

t
t

G  0 


t
 1  1  y  n
1  1  y 


y
y

t
 1  y  S 0 
n
1  1  y 


y

 1  y t  1  y  n
t
 1  y  S 0 
n
1  1  y 

 1  1  y t  n
 S 0 
n
 1  1  y 
 S 0 1  y 
t n



G  0 




 1  1  y t n
  G  0  S0 

 1  1  y  n







  G  0  S 0 1  1  y t  n  G 1  1  y n  0 




 S 0  G  G1  y 
n
0
S
 S 0 1  y  1  y 
n
t
 1  y 
t
S

0


0
G
G
1  y 
t
 1  y  
n
1  y 

n
 S0  G 


G
1  y  1  y n 
S0
n

n
 S 0  G 1  y n  G 
 G 1  y   G
t

 ln 1  y   ln 

S0
S
0





 S 0  G 1  y 
 t ln 1  y   ln 

S0



G  0 



n



  S 0  G 1  y n  G  
 ln 


 
S
G
0

t  
 



ln
1

y







  S 0  G 1  y n  G  
 ln 


 
S
0


t  Int  
 t


ln
1

y






Bibliografía

Basel II: International Convergence of Capital Measurement and
Capital Standards: A Revised Framework.

Benston J.B. and Wall L.D. (2005) How should banks account for
loan losses, Journal of Accounting and Public Policy 24, 81-100.

Hlawatsch
Stefan,
Ostrowski
S.
(2009):
Economic
Loan
Loss
Provision and Expected Loss, FEMM Working Paper Nº 13.

Perez D., Salas V., and Saurina J. (2006): Earnings and Capital
Management
in
Alternative
Loan
Loss
Provision
Regulatory
Regimes, Working Paper, Banco de España.

Wall L.D. and Koch T.W. (2000): Bank Loan Loss Accounting: A
Review of Theoretical and Empirical Evidence, Federal Reserve
Bank of Atlanta Economic review 85, 1-19.