El conjunto de puntos de continuidad de una función real

EL CONJUNTO DE PUNTOS DE CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL
MARIANO SUÁREZ-ALVAREZ
Fijemos una función f : R → R. Si A ⊆ R es no vacío, ponemos
ω f ( A) = sup | f ( x ) − f (y)|.
x,y∈ A
Es inmediato que
A ⊆ B ⊆ R =⇒ ω f ( A) ≤ ω f ( B).
Para cada x ∈ R, definimos
ω f ( x ) = ı́nf ω f ( x − δ, x + δ) .
δ >0
Es 0 ≤ ω f ( x ) ≤ ∞ para todo x ∈ R, y el valor ∞ puede alcanzarse; por ejemplo, si
p
f es la función tal que f ( x ) = 0 si x ∈ R \ Q, y f ( x ) = q si x = q ∈ Q y ( p, q) = 1,
entonces ω f ( A) = ∞ siempre que A◦ 6= ∅.
Proposición 1. La función f es continua en x0 ∈ R sii ω f ( x0 ) = 0.
En vista de este resultado, podemos ver a ω f ( x0 ) como una medida de la discontinuidad de f en x0 .
Demostración. Supongamos primero que f es continua en x0 y sea ε > 0. Existe
entonces δ > 0 tal que
| x − x0 | < δ =⇒ | f ( x ) − f ( x0 )| < ε,
y, en consecuencia, si x, y ∈ ( x0 − δ, x0 + δ) tenemos que
| f ( x ) − f (y)| ≤ | f ( x ) − f ( x0 )| + | f ( x0 ) − f (y)| ≤ 2ε.
Esto nos dice que ω f ( x0 − δ, x0 + δ) < 2ε, así que ω f ( x0 ) < 2ε. Como esto vale
cualquiera sea ε, concluimos que de hecho es ω f ( x0 ) = 0.
Recíprocamente, supongamos que ω f ( x0 ) = 0 y sea ε > 0. La hipótesis im
plica que existe δ > 0 tal que ω f ( x0 − δ, x0 + δ) < ε, y esto significa que si
x, y ∈ ( x0 − δ, x0 + δ) entonces | f ( x ) − f (y)| < ε. Por supuesto, en particular
vemos que
| x − x0 | < δ =⇒ | f ( x ) − f ( x0 )| < ε.
Así, f es continua en x0 , como queríamos.
Proposición 2. Si γ > 0, el conjunto { x ∈ R : ω f ( x ) < γ} es abierto en R.
FACULTAD DE C IENCIAS E XACTAS Y N ATURALES , U NIVERSIDAD DE B UENOS A IRES , C IUDAD U NI PABELLÓN I, B UENOS A IRES (1428) A RGENTINA .
E-mail address: mariano@dm.uba.ar.
Date: 30 de abril, 2010; compiled: 9 de mayo de 2015.
VERSITARIA ,
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Demostración. Llamemos A al conjunto del enunciado y sea x0 ∈
A, de manera
que ω f ( x0 ) < γ. Existe entonces δ > 0 tal que ω f ( x0 − δ, x0 + δ) < γ.
Si x1 ∈ ( x0 − δ, x0 + δ) y δ0 > 0 es tal que ( x1 − δ0 , x1 + δ0 ) ⊆ ( x0 − δ, x0 + δ),
entonces
ω f ( x1 ) ≤ ω f ( x1 − δ0 , x1 + δ0 ) ≤ ω f ( x0 − δ, x0 + δ) < γ,
de manera que x1 ∈ A. Luego ( x0 − δ, x0 + δ) ⊆ A, y vemos que x0 ∈ A◦ .
Proposición 3. El conjunto { x ∈ R : f es continua en x } es Gδ .
Demostración. De la proposición 1 sabemos que el conjunto del enunciado coincide
con { x ∈ R : ω f ( x ) = 0}, que a su vez es claramente lo mismo que
\
{ x ∈ R : ω f ( x ) < n1 }.
n ≥1
De acuerdo a la proposición 2, cada uno de los conjuntos que aparecen en esta
intersección numerable es abierto, así que esta intersección es un conjunto Gδ . Proposición 4. Todo conjunto Gδ de R es el conjunto de puntos de continuidad de alguna
función f : R → R.
Demostración. Sea G ⊆ R un conjunto Gδ , de manera que existe una sucesión de
T
abiertos ( Gn )n≥1 de R tal que G = n≥1 Gn . Sin pérdidad de generalidad, podemos suponer que G1 = R y que, más aún, Gn ⊇ Gn+1 para cada n ≥ 1; en efecto,
si no fuese este el caso podríamos
considerar en cambio la sucesión de abiertos
T
( Gn0 )n≥1 que tiene Gn0 = 1≤i<n Gn para cada n ≥ 1, que también tiene como
intersección a G. Notemos que { G } ∪ { Gn \ Gn+1 : n ≥ 1} es una familia de subconjuntos disjuntos con unión igual a R.
Sean α = (αn )n≥1 y β = ( β n )n≥1 sucesiones en R tales que αn > β n > αn+1 para
cada n ≥ 1 y lı́mn→∞ αn = lı́mn→∞ β n = 0, y consideremos la función f : R → R
tal que para cada x ∈ R es


si x ∈ G;
0,
f ( x ) = αn , si x ∈ ( Gn \ Gn+1 ) ∩ Q;


β n , si x ∈ ( Gn \ Gn+1 ) ∩ (R \ Q).
Afirmamos que el conjunto de puntos de continuidad de f es precisamente G. Esto
sigue de la consideración de los siguientes dos casos:
• Sea x0 ∈ G y sea ε > 0. Existe N ∈ N tal que α N < ε y, como x ∈ GN , existe
δ > 0 tal que B( x0 , δ) ⊆ GN .
Sea x ∈ B( x0 , δ). Si x ∈ G, entonces f ( x ) = 0 < ε. Por otro lado, si
existe n tal que x ∈ Gn \ Gn+1 , entonces necesariamente n ≥ N y, como
f ( x ) ∈ {αn , β n }, vemos que también en este caso f ( x ) < α N < ε.
Así, vemos que 0 ≤ f ( x ) < ε cualquiera sea x ∈ B( x0 , δ) y, como
f ( x0 ) = 0, esto nos dice que f es continua en x0 .
• Sea ahora n ∈ N y x0 ∈ Gn \ Gn+1 . Si x0 es interior a Gn \ Gn+1 , entonces
en todo entorno de x0 hay puntos donde f vale αn y puntos donde vale β n .
Como αn 6= β n , f no es continua en x0 . Supongamos entonces que x0 está
en la frontera de Gn \ Gn+1 y, para llegar a un absurdo, que f es continua en x0 . Existe una sucesión (yk )k≥1 con valores en R \ ( Gn \ Gn+1 ) que
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converge a x0 y la hipótesis implica que f ( x0 ) = lı́mk→∞ f (yk ). Si notamos
A = f (R \ ( Gn \ Gn+1 )) = {0} ∪ {αk , β k : k ∈ N, k 6= n},
entonces f (yk ) ∈ A para cada k ≥ 1 y f ( x0 ) 6∈ A, así que f ( x0 ) ∈ A0 . Pero
la elección de las sucesiones α y β implica inmediatamente que A0 = {0},
así que debe ser f ( x0 ) = 0. Esto es imposible.
Concluimos así que f no es continua en los puntos de Gn \ Gn+1 .
c
2010
Mariano Suárez-Alvarez
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