tema 1 introducción al cálculo numérico y evolución histórica

É
TEMA 1
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
NUMÉRICO Y EVOLUCIÓN
HISTÓRICA
Profesora : Ana Domingo
Despacho: 422(4ª planta)
Teléfono: 913366481
Email : ana.domingo.preciado@upm.es
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1.1- ¿Una posible definición?
-Antigüedad de la disciplina: En 1700 a.C. los babilonios intentaban
calcular valores “precisos” de la raíz de 2 usando técnicas propias del
cálculo numérico.
-Análisis Numérico, Cálculo Numérico o Algorítmica/Algoritmia Numérica:
-”Rama de las Matemáticas que intenta obtener soluciones aproximadas
por medio de operaciones elementales”
“Rama de las Matemáticas que diseña Algoritmos para, a través de reglas
matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real”
-La verdadera potencia del cálculo numérico se muestra en los problemas
en los que la solución algebraica no es posible(la mayoría de los casos)
-Cálculo Numérico + Ciencia de los Computadores = Computación
Científica
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-Pilares de la Investigación Científica:
TEORÍA
Investigación
Científica
EXPERIMENTACIÓN
SIMULACIÓN NUMÉRICA
Fases del proceso de simulación numérica de un sistema físico:
MODELO MATEMÁTICO
SISTEMA
FÍSICO
Datos
Experimentales
Modificación del
esquema numérico
Esquema numérico
Modificación del
método de resolución
Problema numérico
Solución
Analítica
Solución sobre el ordenador
NO
VALIDACIÓN
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- Veamos un ejemplo sencillo para ilustrar las fases del proceso:
Obtención numérica de la velocidad en función del tiempo,v(t), de un
objeto en caída libre sometido a una fuerza de rozamiento del medio que
varía de forma proporcional al cuadrado de la velocidad.
-Problema de la definición: Sus límites no son del todo precisos
-Algoritmo : Procedimiento que nos puede llevar a una solución
aproximada de un problema mediante un nºfinito de pasos que se pueden
ejecutar de una manera lógica:
Métodos Constructivos
-Análisis Numérico : “Andamiaje” que permite llevar a cabo todos los
procedimientos
matemáticos
susceptibles
de
ser
expresados
algorítmicamente
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-Algunos conceptos importantes :
- Algoritmo
-Análisis de errores
-Estabilidad Numérica: Inmunidad a acumulación de Err. de Redondeo
-Estabilidad de los algoritmos
-Representación finita e infinita de números
-ERROR: Aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los
ordenadores
-Estabilidad del algoritmo : Procesos Iterativos y Convergencia
-Forma especial de representación de los nºs en el Ordenador(coma
flotante,etc)
-Aplicaciones del Cálculo Numérico : Siempre que se necesite un Valor
Numérico como solución de un problema matemático( y los
procedimientos exactos no puedan dar una respuesta).
Física e Ingeniería
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1.2- Tipos de Problemas que puede resolver
-Clasificación según su dimensión:
-Problemas de dimensión finita: Su respuesta es un conjunto finito de nºs.
Ejemplos : Ecuaciones, determinantes, valores propios,etc
-Problemas de dimensión infinita: En su solución o planteamiento
intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de nºs
Ejemplos : Integración y Derivación Numérica, Interpolación,etc
-Clasificación según su naturaleza:
1)Problemas que no poseen solución analítica
2) Sí poseen solución analítica pero ésta no puede aplicarse de forma
sencilla en la práctica
3)Los métodos sencillos de resolución requieren una cantidad de cálculos
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excesiva(>>>> método numérico)
1.3- Áreas de Estudio
-Veamos las distintas disciplinas del Análisis Numérico:
1)Cálculo de los Valores de una Función
2)Interpolación, Extrapolación y Regresión
Interpolación: Dado el valor de una función ? en un nº de puntos,¿cuál es el
valor de la función en un punto entre los valores dados?
Extrapolación: Similar a la interpolación pero ahora buscamos el valor de la
función en valores no comprendidos entre los valores dados.
Regresión: Considerando los datos con algún grado de imprecisión(MMCC)
3)Resolución de Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
-S. de Ecuaciones Lineales :
Métodos directos(LU,Choleski,QR,etc)
Métodos iterativos(Jacobi,Gauss-Seidel,etc)
-Ecuaciones no Lineales(bisección,secante,Newton,linealización)7
4)Descomposición Espectral(valores y vectores propios) y en Valores
Singulares
5)Optimización: Búsqueda de max y mín considerando ciertas restricciones.
Programación Lineal, método de los multiplicadores de Lagrange
6)Integración Numérica: Métodos basado en “divide y vencerás”: Se divide
el intervalo de integración en subintervalos y calculan integrales en cada
uno de ellos.
7)Ecuaciones Diferenciales: Soluciones Aproximadas
-EDO
-EDP´s
Se basan en la discretización de la E. Diferenciales.
Métodos de los Elementos Finitos
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1.4.- Una mirada a la historia de las matemáticas
-Nuestra definición se basa en el “Método Constructivo”, pero
podemos preguntarnos:
-¿No es toda la Matemática constructiva en ese sentido?
-Hubo un tiempo en que sí fue así: Periodos de los triunfos
clásicos de la matemática :
-Predicción de eclipses de Sol y Luna
-Predicción precisa de la aparición de un cometa
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-No consistía simplemente en mostrar que existían soluciones del
problema matemático subyacente , se encontraban empleando Métodos
Constructivos
-Punto Culminante de la Historia del Algoritmo: Leonard Euler(17071783)
Hagamos una pequeña reflexión sobre su fe ciega en el poder de las
Matemáticas
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-A partir de Euler comienza un periodo de en el que la fe en la utilidad
numérica del algoritmo decrece.
-Preferencia por el estudio de Existencia de Soluciones frente a la propia
Construcción
+
Problemas causados por las exigencias
computacionales de estos métodos = Sentimiento de “Impotencia
Algorítmica”
-Los matemáticos se inclinan por los Métodos Lógicos en lugar de
Constructivos :
Dedekind(1831-1916), Cantor(1845-1918)
-Victoria casi absoluta de los Métodos Lógicos en la 1ª mitad del siglo
XX
-Curiosamente,
la
llegada
de
las
primeras
herramientas
computacionales(1940), ha producido un renacer de las técnicas de
Cálculo Numérico
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1.5- Modelos Matemáticos y solución de problemas en Ingeniería
Esquema del Proceso de Solución de problemas en Ingeniería:
Definición del
problema
TEORÍA
MODELO
DATOS
Herramientas para resolver problemas:
ordenadores,estadística,métodos numéricos,gráficos
Resultados
numéricos o gráficos
Relaciones grupales:
programación,optimización,
Instauración
comunicación, etc
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-Primer paso en la resolución de un problema : Planteamiento del Modelo
Matemático
-Una posible definición: Formulación que expresa las características
esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos.
-Representación general de un Modelo Matemático:
Variable dependiente = f (variables independientes,parámetros,funciones
de fuerza)
Variable dependiente : Característica que refleja el comportamiento o
estado de un sistema
Variables independientes: Dimensiones como tiempo y espacio para
determinar el comportamiento del sistema
-Parámetros : Reflejan las propiedades del sistema
-Funciones de fuerza : Influencias externas sobre el sistema
Veamos algunos ejemplos
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-Ejemplo 1: 2ª Ley del Movimiento de Newton
F=ma
a=F/m
a: variable dependiente
F: función de fuerza
m: parámetro , no hay variables independientes
1)Describe un proceso natural en términos matemáticos
2)Idealización y simplificación de la realidad
3)Se puede emplear con la finalidad de predecir
-Ejemplo 2: Utilizar la ley anterior para determinar la velocidad final de la
caída libre de un cuerpo(problema del paracaídas)
dv F
=
dt m
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-Vamos a expresar F en términos de variables y parámetros mensurables:
F = FD (+)+ FU(-)
FD atracción gravitatoria = mg
FU fuerza contraria debida a la resistencia del aire = -cv
c: coeficiente de resistencia(depende de las propiedades del
objeto que cae)
c
dv mg − cv
=
=g− v
m
dt
m
MODELO
La solución exacta no se puede obtener mediante manipulaciones
algebraicas.
-Si inicialmente el paracaidista está en reposo: v=0, t=0
Mediante Cálculo Integral:
v(t) =
c
− t
mg
(1 − e m )
c
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c
− t
mg
v(t) =
(1 − e m )
c
donde
v(t) variable dependiente
t variable independiente
c,m parámetros
g función de fuerza
Como aplicación, veremos la solución analítica y la numérica para este
problema y los datos:
masa paracaidista= 68.1 kg
c= 12.5 kg/s
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1.6 - Estructura de la Asignatura
Tema 1: Introducción al Cálculo Numérico y Evolución histórica
(presentación de la asignatura y motivaciones)
Tema 2 : Introducción a MATLAB(nuestra herramienta de
trabajo)
-Primeros pasos
-Ficheros .m
-Gráficos en 2D
-Programación con Matlab
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Tema 3: Álgebra Lineal con Matlab(revisión de complementos)
-Ecuaciones Lineales
-Problemas sin solución y Matlab
-Problemas mal condicionados
-Descomposición LU
-Resolución Iterativa
Tema 4 : Polinomios e Interpolación
-Comandos propios de Matlab para polinomios
-Interpolación Lineal
-Interpolación Polinómica con forma de series de
potencias
-Polinomios de Interpolación de Lagrange
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-Diferenciación
e Integración
Interpolación de Lagrange
de
la
fórmula
de
-Interpolación bidimensional
Tema 5 : Integración Numérica
-Regla de los Trapecios
-Regla de Simpson
-Integración Adaptativa
-Cuadratura Gaussiana
Tema 6 : Derivación Numérica
-Diferenciación Numérica
-Diferenciación directa
-Derivadas de orden superior
-Extrapolación de Richardson
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Tema 7 : Ecuaciones algebraicas de una variable
-Método de Bisección
-Método de Regula Falsi
-Método de Aproximaciones Sucesivas
-Método de Newton-Raphson
-Cálculo de ceros de polinomios(método de Horner)
Tema 8 : Ajuste de Curvas a Datos de mediciones
-Ajuste de Líneas rectas
-Ajuste de Curvas no Lineales con una función de
potencia
-Ajuste de Curvas con un polinomio de orden superior
-Ajuste
de Curvas con una combinación lineal de
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funciones
Tema 9 : Funciones de splines
-Definición de Spline. Tipos
-Construcción de splines cúbicos
-Herramientas de Matlab para splines
TIPOS DE PRÁCTICAS
1)Aplicación directa de comandos de Matlab
2) Aplicación de funciones de Matlab
3)Programación de algoritmos en Matlab(ficheros .m)
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1.7 - Tipo de Evaluación
Se ofrecen 2 opciones de evaluación a elección del alumno:
1)Evaluación Continua: La puntuación final se obtendrá de la siguiente
forma:
PORTAFOLIO: La entrega a final de curso del conjunto de todas las
prácticas realizadas en clase y propuestas supondrá 3 puntos de la nota
final.
2 CONTROLES TEÓRICO-PRÁCTICOS: Uno a mitad de semestre y otro
a finales de mayo. Se puntúan ambos sobre 7 puntos y se realiza la nota
media.
2)Evaluación Final: Examen final el día 5 de junio(teórico y práctico)
El alumno debe manifestar por escrito en las primeras semanas de clase
la opción elegida.
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