Fórmulas de cuadratura.

PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integración numérica.
Objetivos: Aprender los métodos más sencillos de integración númerica y aplicarlos en diversos
problemas.
Fórmulas de cuadratura.
Sea f (x) una función continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo será encontrar
Z b
f (x) dx. En caso de conocer la primitiva F (x) es
fórmulas aproximadas para calcular la integral
a
evidente que podemos
Z b encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del
cálculo integral:
f (x) dx = F (b) − F (a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo,
a
2
para la función f (x) = e−x no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funciones
elementales. En esta práctica vamos a aprender tres métodos para calcular aproximadamente el valor
númerico de las integrales definidas.
Fórmula de los rectángulos.
Una aproximación de la integral
Z
b
f (x) dx consiste en aproximar el área bajo la curva y = f (x)
por un rectángulo de base b − a y altura f a+b
(ver figura 1), entonces
2
a
Z
b
f (x) dx = (b − a)f
a
a+b
2
+ R(ξ),
ξ ∈ [a, b],
(1)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma
R(ξ) =
f
(b − a)2 00
f (ξ),
24
(2)
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
AREA BAJO LA CURVA f
a
ξ ∈ [a, b].
b
a
b
Figura 1: Aproximación de una integral por el método de los rectángulos.
Ahora si queremos aproximar la integral
Z
b
f (x) dx con mejor exactitud podemos dividir el intera
valo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partición del intervalo
[a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [xn−2 , xn−1 ] ∪ [xn−1 , b],
donde
xk = a +
De
Z
b
f (x) dx =
a
Z
b−a
k,
n
n = 0, 1, 2, ..., n,
x1
f (x) dx + · · · +
a
Z
x0 = a, xn = b.
xk+1
f (x) dx + · · · +
xk
1
Z
b
f (x) dx.
xn−1
Z
si aplicamos a cada integral
xk+1
f (x) dx la fórmula (1)obtenemos la ecuación
xk
Z
n−1
b
b−a X
f
n
f (x) dx =
a
k=0
y
(b − a)2
,
24n2
|R(ξ)| ≤ M
xk + xk+1
2
+ R(ξ),
(3)
M = máx |f 00 (x)|.
(4)
x∈[a,b]
Problema 1 Utilizando las fórmulas (1) y (2) demostrar las fórmulas (3) y (4).
Problema 2 (Opcional)
Prueba la fórmula (1) y (2) .
Fórmula de los trapecios.
Otra aproximación de la integral
Z
b
f (x) dx consiste en aproximar el área bajo la curva y = f (x)
a
no por un rectángulo sino por un trapecio de base b − a (ver figura 2), entonces
Z b
f (a) + f (b)
+ R(ξ),
f (x) dx = (b − a)
2
a
(5)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma
R(ξ) = −
f
(b − a)2 00
f (ξ),
12
(6)
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
AREA BAJO LA CURVA f
a
ξ ∈ [a, b].
b
a
b
Figura 2: Aproximación de una integral por el método de los trapecios.
Problema 3 Demostrar las fórmulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:
1.
Demostrar que
Z
b
f 00 (x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)[f (a) + f (b)] + 2
a
2.
3.
Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que
Z b
(b − a)3 00
f (ξ),
f 00 (x)(x − a)(x − b) dx = −
6
a
Z
b
f (x) dx.
(7)
a
ξ ∈ [a, b].
(8)
Usando los dos apartados anteriores obtén las fórmulas (5) y (6).
Ahora podemos aproximar la integral
Z
b
f (x) dx con mejor exactitud dividiendo, igual que antes,
a
el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partición del intervalo
[a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [xn−2 , xn−1 ] ∪ [xn−1 , b],
2
donde
xk = a +
b−a
k,
n
k = 0, 1, 2, ..., n,
x0 = a, xn = b.
Nuevamente,
Z
b
f (x) dx =
a
Z
x1
f (x) dx + · · · +
a
Z
y, por tanto, si aplicamos a cada integral
Z
b
a
|R(ξ)| ≤ M
xk+1
f (x) dx + · · · +
xk
Z
b
f (x) dx,
xn−1
xk+1
f (x) dx la fórmula (1) obtenemos la expresión
xk
b−a
f (x) dx =
2n
donde
Z
f (a) + f (b) + 2
n−1
X
f (xk )
k=1
(b − a)2
,
12n2
!
+ R(ξ),
(9)
M = máx |f 00 (x)|.
(10)
x∈[a,b]
Problema 4 Utilizando las fórmulas (5) y (6) demostrar las fórmulas (9) y (10).
Problema 5 (Opcional)
Prueba la fórmula (5) y (6) .
Método de Simpson.
El método de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral
la siguiente forma
Z
b
f (x) dx = A f (a) + B f
a
a+b
2
+ C f (b) + R(ξ),
Z
b
f (x) dx de
a
(11)
donde A, B, C son tales que R(ξ) es igual a cero si f (x) = 1, f (x) = x y f (x) = x 2 , respectivamente.
Es decir si sustituimos en (11) la función f por cualquiera de las funciones f (x) = 1, f (x) = x o
f (x) = x2 , la fórmula es exacta, o sea R(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el área debajo de f
por una parabola (ver figura 3)
f
f
AREA BAJO LA CURVA f
a
FORMULA DE SIMPSON
b
a
b
Figura 3: Aproximación de una integral por el método de Simpson.
Problema 6 Sustituyendo f (x) = 1, f (x) = x y f (x) = x 2 en (11) encontrar un sistema de ecuaciones para las incógnitas A, B, C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma
Z
a
b
4(b − a)
b−a
f (a) +
f
f (x) dx =
6
6
a+b
2
+
b−a
f (b) + R(ξ).
6
(12)
Si f es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrar
que R(ξ) se expresa de la forma
R(ξ) =
(b − a)5 (4)
f (ξ),
2880
3
ξ ∈ [a, b].
(13)
Problema 7 Demostrar la fórmula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos.
1.
Comprobar que la función F (x, t), con x = a+b
2 , definida por
Z x+t
t
f (ξ)dξ − [f (x − t) + 4f (x) + f (x + t)] ,
F (x, t) =
3
x−t
es continua y tres veces diferenciable para todo t ∈ [0,
además F (x, 0) = F 0 (x, 0) = F 00 (x, 0) = 0.
b−a
2 ],
(14)
y F 000 (x, t) = − 3t [f 000 (x+t)−f 000 (x−t)],
2.
Probar que F 000 (x, t) es tal que existen dos números reales m y M (¿quiénes son dichos números?)
tales que
2
2 2
mt ≤ F 000 (x, t) ≤ M t2 ,
3
3
y deducir de aquı́ que
1
1
mt2 ≤ F (x, t) ≤
M t5 .
90
90
3.
deducir el resultado deseado.
Z b
Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral
f (x) dx con mejor exactitud
Finalmente, substituyendo t =
b−a
2 ,
a
dividiendo el intervalo [a, b] en 2n puntos de la forma
[a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [x2n−2 , x2n−1 ] ∪ [x2n−1 , b],
donde
b−a
k, k = 0, 1, 2, ..., 2n,
x0 = a, x2n = b.
2n
Apliquemos ahora la fórmula de Simpson (12) para cada subintervalo [x 2k , x2k+2 ], k = 0, 1, ..., n − 1,
o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales
Z b
Z x2k+2
Z x2
Z b
f (x) dx + · · · +
f (x) dx.
f (x) dx + · · · +
f (x) dx =
xk = a +
a
x2k
a
x2n−2
y apliquemos el método de Simpson a cada uno de los sumandos. Nótese que los intervalos siguen
teniendo una longitud x2k+2 − x2k = b−a
n igual que antes. Esto nos conduce a la expresión
!
Z b
n
n−1
X
X
b−a
f (x) dx =
f (a) + f (b) + 4
f (x2k−1 ) + 2
f (x2k ) + R(ξ),
(15)
6n
a
k=1
donde
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)5
,
2880n4
k=1
M = máx |f (4) (x)|.
x∈[a,b]
(16)
Problema 8 Utilizando las fórmulas (12) y (13) demostrar las fórmulas (15) y (16).
Comparación de los métodos de cuadratura de los rectángulos, los trapecios y de
Simpson.
Problema 9 Sea la función f (x) = cos x. Calcular la inegral
Z 1
2
I=
cos xdx,
0
utilizando las fórmulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto
Z 1
2
1
cos xdx = sin = 0,4794255386 . . .
2
0
Calcular una aproximación de la integral cambiando la función f (x) por su polinomio de McLaurin
de orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.
4
Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral

sin x

Z 1

, x 6= 0
x
I=
f (x) dx
f (x) =

0

1,
x=0
por los métodos de de los rectángulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todos
ellos una partición del intervalo [0, 1] con n = 4 puntos. ¿Quién aproxima mejor?
Problema 11 (Opcional)
Calcular la integral
I=
Z
1
2
e−x dx,
0
utilizando los métodos de de los rectángulos, los trapecios y de Simpson cuando n = 4. Comparar los
resultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...
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