UNIDAD 3: MEDIDAS DESCRIPTIVAS: Medidas de tendencia central

Escuela de Economía – UTPL
Estadistica I
Autor: Econ. Carlos Correa Granda
UNIDAD 3:
MEDIDAS DESCRIPTIVAS: Medidas de tendencia central
1.1 INTRODUCCIÓN:
Una vez que conoce tanto la forma de recoger información como la forma de presentar a la
misma, sea en forma de tablas o con el tratamiento realizado para elaborar una tabla de
frecuencias, ahora es conveniente seguir con las características que permiten describir a un
conjunto de datos que se recogen de un problema a investigarse.
Siempre se observan indicadores o elementos referenciales de los cuales se extraen
conclusiones respecto al tema investigado.
En esta ocasión iniciamos la búsqueda de esas características y para ello iniciamos con el
estudio de las medidas de tendencia central que no son más que la determinación de una
característica puntual de acuerdo a la necesidad del investigador y al objeto en estudio.
Vamos entonces a ir conociendo cada una de estas herramientas.
Para nuestro estudio tomaremos inicialmente en esta unidad una primera parte del capítulo
que se encuentra desarrollado en el texto, por ello vayamos revisando la guía para ir luego al
texto.
3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
También se conocen como medidas de ubicación. Para que entienda estos conceptos remítase
al texto en la parte introductoria del capítulo 3.
3.2.1. MEDIA ARITMÉTICA:
3.2.1.1 DEFINICIÓN:
Lea en el texto la explicación sobre la media poblacional y la media muestral; allí se va a
encontrar con dos conceptos previamente analizados en esta guía como son el parámetro y el
estadístico, pues ya sabemos que son las características de la población y de la muestra
respectivamente.
Ahora, luego de la lectura realizada, usted puede enunciar una definición propia de lo que
considera como media aritmética, independientemente si se trata de una población o de una
muestra, entonces escríbala en su cuaderno de trabajo.
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir
igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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3.2.1.2 CARACTERÍSTICAS:
Remítase ahora al texto en la página 59, donde encuentran desarrolladas las propiedades de la
media aritmética, analice cada una de ella y preséntelas en un cuadro resumen.
3.2.1.3 FORMAS DE CÁLCULO:
Para llegar a determinar el valor de la media aritmética podemos resumir la forma de hacerlo
de acuerdo a las características de los datos, que le ayudará a comprender mejor, puesto que
en el texto no se encuentran especificadas las variaciones que pudieran existir.
FORMA DE
PRESENTACIÓN DE
LOS DATOS
Datos no agrupados
FORMAS DE CÁLCULO
Muestra
Población
Xi= valor observado
n = número de datos
Xi= valor observado
N = número de datos
Xi= valor observado
ni= frecuencia de cada valor
n = número de datos
Xi= valor observado
ni= frecuencia de cada valor
N = número de datos
Xi= marca de clase
ni= frecuencia de cada clase
n = número de datos
Xi= marca de clase
ni= frecuencia de cada clase
N = número de datos
Serie ordenada
Tabla de distribución
de frecuencias
Para comprender mejor la aplicación de cada una de estas variantes, realice los ejercicios que
se encuentran en el texto básico páginas 57 y 58.
¿Qué es lo importante aquí?
Adicionalmente a determinar el valor, es también saber intepretar el resultado, en este caso
cualquiera sea el tipo de datos con el que contamos, el resultado obtenido nos indica que es
un valor representativo del conjunto, por tanto podemos hacer referencia a ese valor
obtenido porque nos representa a todos los valores observados.
Revise los ejercicios desarrollados en el texto básico, allí usted podrá observar el
procedimiento a seguir para calcular el valor de la media aritmética.
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Ahora vamos a desarrollar un ejemplo de cálculo de la media aritmética para datos agrupados,
en base al ejercicio que hemos venido trabajando anteriormente.
Recordemos que llegamos a obtener la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Número de solicitudes
0–6
6 – 12
12 – 18
18 – 24
24 – 30
30 – 36
Total
Frecuencia
absoluta (ni)
27
11
7
3
1
1
50
Para calcular la media aritmética, seguiremos los siguientes pasos:
a.
Número de Frecuencia Marcas de
solicitudes absoluta (ni) clase (Xi)
Establecer la marca de clase
Xini
0–6
27
3
81
6 – 12
11
9
99
12 – 18
7
15
105
18 – 24
3
21
63
24 – 30
1
27
27
30 – 36
1
33
33
Total
50
408
b. Obtener el producto entre la
marca de clase y la frecuencia
absoluta
c.
Sumar cada uno de los
productos anteriores
d. Dividir esta suma para el número
de datos analizados
= 8,16
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¿Qué significado tiene entonces este resultado?
En efecto, como se trata de una variable discreta se puede tomar el valor entero esto es 8, y se
diría que en los 50 bancos se han tramitado 8 solicitudes de préstamos para casas durante un
mes.
3.2.2 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Podríamos decir que ésta es una variante de la media aritmética, cuando a los datos se
presentan de otra manera a las mencionadas anteriormente.
Lea en el texto básico esta parte y defina entonces lo que usted considera que es una
ponderación.
Si en el enunciado que usted realiza, hace referencia a la presencia o asignación de algún peso,
importancia o un valor relacionado con el valor que toma la variable, está en lo correcto.
En el texto usted encuentra que en el ejemplo inicial se hace referencia al precio de las bebidas
de acuerdo a cada una de las presentaciones, entonces se determina el precio promedio.
Como veremos allí es fácil determinar la variable, a través de la interrogante que ha sido:
establecer el precio promedio. Luego, la cantidad de bebidas en cada una de las
presentaciones constituye la ponderación porque no se ha vendido en iguales cantidades.
¿Cómo vamos a calcular?
Seguimos el mismo procedimiento que para la media aritmética de una serie ordenada, en
donde la diferencia sería que ni, será ahora la ponderación (wi).
La fórmula quedaría así:
Analice ahora usted el ejemplo que se ha desarrollado sobre la aplicación de la media
ponderada que consta en el texto básico página 61.
3.2.3 MEDIANA
3.2.3.1 DEFINICIÓN:
Remítase al texto básico y en el acápite titulado como Mediana, lea, analice y establezca su
propia definición de este indicador. Su definición la puede escribir en su cuaderno de trabajo.
Con la lectura y reflexión, se ha podido dar cuenta que mientras la media aritmética utiliza
todos los valores que se han recogido de una investigación, la mediana solamente establece el
valor que se encuentra utilizando la posición central dentro del conjunto.
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3.2.3.2 CARACTERÍSTICAS:
Siguiendo con la lectura, puede ahora establecer las características de este indicador, y luego
las puede enunciar, de manera resumida, en su cuaderno de trabajo.
3.2.3.3. FORMAS DE CÁLCULO:
Al igual que en el cálculo de la media aritmética, también en la mediana debería identificarse
el tipo de datos que se tiene para luego identificar el procedimiento.
Esta parte no se encuentra desarrollada en el texto básico, por lo que lo voy a explicar aquí:
Mediana para datos no agrupados:
Los datos no agrupados son aquellos que no tienen una ordenación previa para presentarlos;
por ello, se debe realizar lo siguiente:
a. Con los datos recogidos se procede a ordenarlos de manera ascendente o descendente
b. Establece el dato que ocupa la posición central
c. Identificar el valor del dato que ocupa la posición central que vendría a ser el valor
mediano.
En este caso para encontrar el dato que ocupa la posición central debemos identificar si se
trata de un número de datos par o impar.
Si se trata de datos pares, haremos lo siguiente:
Con cuyo resultado contaremos la posición desde el valor menor y desde el valor mayor, por
ejemplo, si tenemos los siguientes datos: 6, 9, 3, 7, 4, 8, 6, 9, 1, 2
Procedemos a ordenarlos: 1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 9, luego identificamos la posición que ocupa el
valor central:
Significa que desde el valor menor ubicamos el dato número 5, que para el caso es el valor 6,
luego hacemos lo mismo desde el valor mayor y en este caso la posición 5 está ocupada por el
valor 6. Posteriormente establecemos el promedio entre los valores encontrados y estamos
encontrando el valor mediano:
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Por tanto 6 es el valor que se encuentra ocupando la posición central o el valor que divide en
dos partes iguales al conjunto.
Si se trata de datos impares, entonces encontramos la posición, haciendo lo siguiente:
Hagamos un ejemplo de aplicación, supongamos los siguientes datos: 5, 8, 3, 9, 1, 5, 7, 3, 8, 6,
4.
Procedemos a ordenar los datos: 1, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9
Ahora establecemos el dato que ocupa la posición central
Identificamos el sexto valor, aquí no hay problema empezar por el menor o por el mayor
puesto que será un solo valor: 1, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9.
Por simple observación llegamos a determinar que el valor mediano es:
Mediana para datos agrupados:
Para datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, vamos a llevar el siguiente
procedimiento:
a. Con la tabla de distribución de frecuencias, encontramos la frecuencia acumulada.
b. Establecemos el dato que se encuentra ocupando la posición central. Para ello
utilizamos la siguiente fórmula:
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c. Identificamos el intervalo mediano a través de la frecuencia acumulada y la posición
encontrada.
d. Aplicamos la fórmula de la mediana que es la siguiente:
Donde: Li = límite real inferior del intervalo mediano
n= número total de observaciones
FA= frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano
ni = frecuencia absoluta simple del intervalo mediano
i = tamaño o anchura del intervalo de clase
Realicemos el cálculo de la mediana en el siguiente ejercicio:
Un estudio de 241 autores famosos reveló los siguientes datos acerca de la distribución de las edades a
las que fue publicado su mejor libro. Determine la edad que corresponde al 50% de los autores
Edad del autor
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
70 a 80
Total
Número de
autores (ni)
20
73
80
44
22
2
241
Frecuencia
acumulada (FA)
20
93
173
217
239
241
Aplicamos la fórmula para encontrar el valor mediano:
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Con lo aprendido usted puede interpretar este resultado. Explique su significado.
Si en su interpretación indica que es el valor que se encuentra ocupando la posición central y
que es el que supera al 50% de los valores observados, entonces usted se encuentra en lo
correcto.
3.2.4. MODA
3.2.4.1 DEFINICIÓN
Volvamos a trabajar en el texto y revise lo que nos explican al respecto los autores. Con sus
propias palabras, exprese una definición de la moda, hágalo en su cuaderno de trabajo.
3.2.4.2 CARACTERÍSTICAS:
Con la lectura realizada puede también extraer algunas características de la moda, para
establecer las diferencias y sus aplicaciones con respecto a la media aritmética y a la mediana.
3.2.4.3 FORMAS DE CÁLCULO:
Trabajaremos en forma más amplia aquí, puesto que en el texto no existe mayor detalle de
este indicador.
Al igual que en las dos medidas anteriores vamos a diferenciar entre los tipos de datos que
tenemos a disposición.
Para datos no agrupados, por simple observación se puede determinar el valor o los valores
de la moda, si es que existieran.
Si tenemos los siguientes valores: 4, 5, 7, 5, 8, 1, 3, 5, 6, 8, 5
Procedemos a ordenarlos para mayor facilidad de observación: 1, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8.
En este caso el valor modal es 5 porque es el que se repite el mayor número de veces en este
grupo.
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Para el caso de datos agrupados en una serie ordenada de frecuencias, se considera
únicamente la mayor frecuencia y el valor de la variable será el valor modal.
Cuando trabajamos con datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias,
deberemos considerar los siguientes pasos:
a. Considerar el intervalo que mantiene la frecuencia absoluta simple más alta, lo que
sería intervalo modal.
b. Determinar la diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y del premodal.
c. Determinar la diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y del postmodal.
d. Aplicar la siguiente fórmula:
Donde:
Li = límite real inferior de la clase modal
Δ1= diferencia entre la frecuencia absoluta simple del intervalo modal y del premodal
Δ2= diferencia entre la frecuencia absoluta simple del intervalo modal y del postmodal
i= tamaño o anchura de la clase modal
Calculemos ahora el valor modal del ejercicio anterior:
Edad del autor
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
70 a 80
Total
Número de
autores (ni)
20
73
80
44
22
2
241
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Con este resultado usted puede extraer una conclusión que le permite describir a la variable
en mención.
3.2.5 RELACIÓN ENTRE LA MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA
Pasemos a revisar el texto básico en su página 67, que se refiere al análisis de las posiciones
relativas de la media, mediana y moda.
Recuerde usted que ha venido trabajando las características de las tres medidas, de forma que
puede establecer cuándo se pueden aplicar, en qué casos es útil cada una de ellas y en qué
aportan para establecer características y conclusiones sobre el objeto investigado.
Encuentra entonces que hay tres casos que se pueden determinar en cuanto se refiere a la
forma en la que se presentan los datos, resúmalos en un cuadro sinóptico:
DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA
DISTRIBUCIÓN CON SESGO POSITIVO
DISTRIBUCIÓN CON SESGO NEGATIVO
Con estas características, puede usted ya identificar cada uno de los gráficos que se presentan
y el tipo de sesgo que tiene cada uno, escriba bajo cada uno de ellos.
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3.2.6. MEDIA GEOMÉTRICA:
Adicionalmente a los indicadores que hemos analizado hasta ahora, existe la media geométrica
que nos permite también calcular promedios de acuerdo al tipo de variable e información con
la que estamos trabajando. Su uso obedece también a la necesidad del investigador, revisemos
ahora.
3.2.6.1. DEFINICIÓN:
Lea en el texto básico lo referente a esta herramienta y con sus propias palabras defina su
significado.
3.2.6.2. CARACTERÍSTICAS:
De la lectura realizada para establecer la definición también puede llegar a identificar
características propias por las cuales se la aplica en las diferentes investigaciones. En forma
resumida puede enunciarlas a través de un cuadro sinóptico, en su cuaderno de trabajo.
3.2.6.3. FORMAS DE CÁLCULO:
En este caso, a diferencia de las medidas anteriores, usted puede revisar en el texto la
aplicación que tiene, encontrando dos formas de resolver un problema:
1. utilizando la fórmula que considera la raíz n-ésima del producto de las variables.
2. utilizando la fórmula para establecer el promedio de los porcentajes o incrementos por cada
período en donde se considera la cantidad final y la cantidad inicial.
Revise los ejercicios resueltos para cada uno de los casos establecidos y que se encuentran en
la página 70 del texto básico.
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