Tema 6. Análisis de Circuitos en Régimen Sinusoidal Permanente

Tema 6. Análisis de Circuitos en Régimen
Sinusoidal Permanente
6.1 Introducción
6.2 Fuentes sinusoidales
ZTh
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
6.4 Fasores
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
VTh 

6.6 Impedancia y admitancia
I
A

ZL
V

B
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.8 Potencia instantánea y potencia media
6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada
José A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.
1
Bibliografía Básica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitos
eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”,
7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku  Temas 9, 10 y 11
Dorf  Tema 10 y 11
- Esta presentación se encuentra, temporalmente, en:
http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
2
6.1 Introducción
- En este tema estudiaremos la respuesta de circuitos con fuentes
sinusoidales
- Una señal sinusoidal es aquella que se expresa matemáticamente
mediante una función seno o coseno
- Las fuentes de tensión/corriente sinusoidales también se denominan
fuentes de tensión/corriente alterna
- Los circuitos excitados por fuentes sinusoidales se denominan
circuitos de corriente alterna (circuitos de AC)
- En el mundo de la electrónica y las telecomunicaciones las señales
sinusoidales son muy importantes, ya que son señales fáciles de
generar y transmitir
- Además, mediante el Análisis de Fourier, una señal periódica puede
expresarse mediante una suma de señales sinusoidales.
3
6.1 Introducción
- Una fuente sinusoidal produce tanto respuesta transitoria como
estacionaria
- La respuesta transitoria se extingue con el tiempo. En consecuencia,
un tiempo después de haber encendido las fuentes, sólo tenemos
en el circuito la respuesta estacionaria.
- En este tema abordaremos sólo el estudio del estado estacionario
(respuesta permanente)
4
6.2 Fuentes sinusoidales
- Consideramos la tensión:
v(t )  Vm sin(t )
- Vm : amplitud de pico
t : argumento o fase [rad] o [grados]
-  : frecuencia angular [rad/s]
-
v(t )  Vm sin(t )
- Son funciones que se repiten cada
  2n
con n entero
5
6.2 Fuentes sinusoidales
- Si representamos v(t) frente a t:
v(t )  Vm sin(t )
- La señal se repite cada
t  nT
con n entero
- El intervalo de tiempo T se denomina periodo y vale
T
2

v(t  nT )  Vm sin( (t  nT ))  Vm sin( (t  n 2 ))
 Vm sin(t  2n)  Vm sin(t )  v(t )
v(t  nT )  v(t )
6
6.2 Fuentes sinusoidales
- El inverso del periodo se denomina frecuencia f:
- Entonces:
1
f 
T
2

 2f
T
- Normalmente la frecuencia angular se mide en rad/s
y la frecuencia en hercios -> Hz
- La forma más general de la senoide es:
siendo 0 la fase inicial [rad]
v(t )  Vm sin(t  0 )
7
6.2 Fuentes sinusoidales
- Comparando las señales
- Si 0
v1 (t )  Vm sin(t ) y v2 (t )  Vm sin(t  0 )
 0 las señales están desfasadas
1. 0  0 --> v2 (t ) está adelantada (ver dibujo)
2. 0  0 --> v2 (t ) está atrasada
8
6.2 Fuentes sinusoidales
- Una sinusoide puede expresarse empleando tanto las funciones seno
como coseno
- Basta tener en cuenta las identidades:
sin( )   cos(  2 )  cos(  2 )
cos( )  sin(  2 )   sin(  2 )
- También son de interés las siguientes igualdades:
sin( A  B)  sin( A) cos( B)  cos( B) sin( A)
cos( A  B)  cos( A) cos( B)  sin( A) sin( B )
9
-Ejemplo 1: Determinar la amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia
de la sinusoide v (t )  12 cos(50t  10º )
A&S-3ª Ej 9.1
Solución:
- Comparamos la sinusoide del enunciado con la forma general
v(t )  Vm cos(t  0 )
Vm  12 V
- Fase inicial: 0  10º
- Amplitud:
  50 rad/s
2 2
T

 0.126 s
 50
- Frecuencia angular:
- Periodo:
- Frecuencia:
f 

 7.958 Hz
2
10
-Ejemplo 2: Calcular el ángulo de desfase entre las tensiones
v1 (t )  10 cos(t  50º ) y v2 (t )  12 sin(t  10º )
A&S-3ª Ej 9.2
Solución:
- Para comparar 2 sinusoides debemos expresarlas
mediante la misma función matemática (por
ejemplo el coseno) y ambas con amplitud positiva
50º
v1 (t )  10 cos(t  50º )
 10 cos(t  50º 180º )
 10 cos(t  230º )
v2 (t )  12 sin(t  10º )
 12 cos(t  10º 270º )
 12 cos(t  260º )
- v2 (t ) se adelanta 30º
 10º
11
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
R
- Consideramos un circuito RL con una
fuente de tensión sinusoidal:
vS (t )  Vm cos(t )
- Aplicamos la KVL a la malla:
vS (t ) 

i (t ) ?
i (t )
L
di
L  Ri  Vm cos(t )
dt
- En un circuito lineal todas las tensiones y corrientes en estado estable
tienen la misma frecuencia que la fuente, por tanto:
i (t )  I m cos(t  0 )
(con
I m y 0 ctes a determinar)
- Conviene expresar i(t) en la forma:
i (t )  I m [cos(t ) cos(0 )  sin(t ) sin(0 )]  A cos(t )  B sin(t )
(con A y B ctes a determinar)
12
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
- La relación entre los dos conjuntos de incógnitas es:
0   tan 1 B / A
A  I m cos(0 )
B   I m sin(0 )
I m  A2  B 2
- Para calcular A y B, sustituimos i (t ) en la ec. diferencial:
di
L  Ri  Vm cos(t )
dt
- Resulta:
L A sin(t )  B cos(t )  RA cos(t )  B sin(t )  Vm cos(t )
- Igualamos los coefs. en coseno:
- Igualamos los coefs. en seno:
- Resolviendo para A y B:
LB  RA  Vm
 LA  RB  0
RVm
A 2
2
R  L 
B
LVm
2
R 2  L 
13
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
- La solución para
I m y 0 es:
0   tan 1 B / A
Im  A  B
2
2
0   tan 1 L / R 
Im 
Vm
R 2  L 
2
- En este problema hemos calculado la respuesta en estado estacionario
de un circuito con un único elemento de almacenaje (la autoinducción)
- Para circuitos con varios elementos de almacenaje, el método de
cálculo empleado (solución directa en el dominio del tiempo) se
complica mucho
- Una alternativa más sencilla pasa por introducir el concepto de fasor
que veremos en el apartado siguiente
14
6.4 Fasores
- Las señales sinusoidales pueden representarse fácilmente mediante
fasores
“Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la
fase de una señal sinusoidal”
- Los fasores permiten analizar de forma sencilla circuitos lineales
excitados por fuentes sinusoidales
- La idea de la representación fasorial se basa en la identidad de Euler:
e  j  cos   j sin 
- Se observa que:
con j   1
 
 sin  Ime 
cos  Re e  j
 j
15
6.4 Fasores
- Dada una señal sinusoidal
- Se observa que
- luego
- alternativamente
- donde
v(t )  Vm cos(t   )

v(t )  Vm cos(t   )  Re Vm e j (t  )

v(t )  Re Vm e j e jt

v(t )  Re Ve jt
V  Vm e j



V  Vm 
- V es la representación fasorial de la señal sinusoidal v(t)
- Un fasor es una representación compleja de la magnitud y fase de
una señal sinusoidal de frecuencia conocida 
- Cuando expresamos una señal sinusoidal mediante un fasor,
el término e jt está implícitamente presente
16
6.4 Fasores
- Entonces, tenemos dos formas de representar una señal sinusoidal:
Dominio de fasorial
(o dominio de la frecuencia)
Dominio del tiempo
V  Vm e j
v(t )  Vm cos(t   )
- Cálculo de v(t) conocido V: se multiplica el fasor V por el factor de
j t
tiempo e y se toma la parte real

v(t )  Re Ve jt

- Cálculo de V conocido v(t): se expresa v(t) como un coseno y se forma
el fasor a partir de la amplitud y la fase de la senoide
v(t )  Vm cos(t   )
V  Vm e j
17
-Ejemplo 3: Calcular la suma de las corrientes
e i2 (t )  5 sin(t  20º )
i1 (t )  4 cos(t  30º )
A&S-3ª Ej 9.6
Solución:
- Realizaremos la suma en el dominio de la frecuencia
i1 (t )  4 cos(t  30º )
I1  4e
 20º
j 30 º
i2 (t )  5 sin(t  20º )  5 cos(t  20º 270º )
I 2  5e j 250 º
I  I1  I 2  4e j 30 º  5e j 250 º  1.754  j2.699  3.218e  j 56.98 º A
- En el dominio del tiempo resulta
I  3.218e  j 56.98 º A
i (t )  Re[Ie jt ]  Re[3.218e j (t 56.98 º ) ]
 3.218 cos(t  56.98º ) A
6.4 Fasores
- Suponemos
v(t )  Vm cos(t   )
- Derivación:
- En el dominio del tiempo
dv
 Vm sin(t   )  Vm cos(t    2 )
dt
- Representación fasorial del resultado:
Vm e
- Luego
j   2 
 jVm e j  jV

V
dominio
del tiempo
dv(t )
dominio de
 jV la frecuencia
dt
- Integración:
- Análogamente
dominio
del tiempo
V
 v(t )dt  j
dominio de
la frecuencia
19
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- En este apartado veremos como expresar la relación V-I de
R, L y C en el dominio de la frecuencia
- Resistencia:
Dominio temporal
i
I
R

Dominio frecuencial

v
R


V
- Suponemos
i  I m cos(t   )
- Ley de Ohm:
I  I m e j
v  Ri
v  Ri  RI m cos(t   )
V  RI m e
j
V  RI
Ley de Ohm
- En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase!
20
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- Resistencia:
- Diagrama fasorial para la resistencia
I

R
V

I  I m e j
V  RI m e j
- En una resistencia, la tensión y la corriente están en fase!
21
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- Bobina:
Dominio temporal
i

- Suponemos
L
v
Dominio frecuencial
L
I

i  I m cos(t   )
di

v
L
- Relación v-i:
dt
di
v  L  LI m sin(t   )
dt
v  LI m cos(t    2 )

V

I  I m e j
V  j L I
V  LI m e
j (  2 )
V  jLI m e j
- La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º
22
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- Bobina:
- Diagrama fasorial para la bobina
I

L

V
I  I m e j
V  LI m e
j (  2 )
- La tensión está adelantada respecto de la corriente en 90º
23
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- Condensador:
Dominio temporal
i
C

- Suponemos
Dominio frecuencial
C
I



v
v  Vm cos(t   )
dv
- Relación v-i: i  C
dt
dv
iC
 CVm sin(t   )
dt
i  CVm cos(t    2 )
V
V  Vm e j
I  jCV
I  CVm e
j (  2 )
V
I  jCVm e j
1
I
jC
- La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º
24
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
- Condensador:
- Diagrama fasorial para el condensador
I
C


V
V  Vm e j
I  CVm e
j (  2 )
- La tensión está retrasada respecto de la corriente en 90º
25
6.6 Impedancia y admitancia
- En el apartado anterior hemos obtenido la relación tensión-corriente
en el dominio de la frecuencia para R, L y C:
V  RI
V  jL I
V
1
I
jC
- Estas expresiones recuerdan a la ley de Ohm
(son relaciones V/I algebraicas)
- Definición de impedancia:
“La impedancia Z de elemento de circuito es el cociente entre la
tensión fasorial V y la corriente fasorial I”
- Matemáticamente:
V
Z
I
- Se mide en Ohmios
I

Z
V

- La impedancia NO es un fasor!
26
6.6 Impedancia y admitancia
- Impedancia para los elementos R, L y C vale:
ZR  R
Z L  j L
1
j
ZC 

j C
C
- La impedancia es una función compleja de la frecuencia.
- En general:
Z  R  jX
(R , X son reales)
- La parte real de la impedancia se denomina resistencia R
- La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia X
- Si X > 0 se dice que la reactancia es inductiva
- Si X < 0 se dice que la reactancia es capacitiva
- En los circuitos de AC la impedancia juega un papel análogo a la
resistencia en los circuitos de DC
27
6.6 Impedancia y admitancia
- A veces resulta útil trabajar con el inverso de la impedancia,
conocido como admitancia Y:
1
Y
Z
- Se mide en Siemens (S) o mhos
- En general, la admitancia es una función compleja de la frecuencia:
Y  G  jB
(G, B son reales)
- La parte real de Y se denomina conductancia G
- La parte imaginaria de Y se denomina susceptancia B
28
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial
“Las leyes de Kirchhoff son válidas en el dominio de la frecuencia,
donde deben expresarse en forma fasorial”
N
I
n 1
n
0
M
V
m 1
m
0
- En consecuencia, todas las técnicas de análisis estudiadas para
circuitos de continua pueden extenderse directamente al caso de
circuitos de alterna simplemente empleando fasores.
- Como ejemplo consideramos el circuito RL analizado previamente en
el dominio del tiempo
29
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial
- Volvemos al circuito RL con una fuente de tensión
sinusoidal:
vS (t )  Vm cos(t )
VS  Vm e j 0
- Aplicamos la KVL a la malla y resolvemos:
Vm
Vm
I

R  j  L | Z | e j
VS  Z R I  Z L I
Vm j0
e
I
|Z |
con 0   
- En el dominio del tiempo:
i (t )  Re[Ie
jt

 VS
R
ZR  R
Z L  jL
I
| Z | R 2   2 L2
  tan 1 L / R 
 Vm j (t 0 ) 
 Vm j0 jt 
e e   Re 
e
]  Re 

Z
Z
|
|
|
|




Vm
i (t ) 
cos(t  0 )
|Z |
- Hemos obtenido i(t) de forma mucho más sencilla que resolviendo
30
directamente en el dominio del tiempo !!
L
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.2 Asociación de impedancias
- Asociación de impedancias en serie:
A
Z1
Z2
 V   V 
1
2
I

VN

V
ZN
B
A
I

V

B
N
Zeq
Zeq  Z1  Z 2    Z N   Z n
n 1
31
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.2 Asociación de impedancias
- Asociación de impedancias en paralelo:
A

1
Yn 
Zn
I
I1
Z1
V
IN
I2
Z2
ZN

B
A
N
1
1
1
1
1


 

Zeq Z1 Z 2
Z N n 1 Z n
I

V

B
Zeq
N
Yeq  Y1  Y2    YN   Yn
n 1
32
-Ejemplo 4: Calcular la impedancia de entrada del circuito de la figura
suponiendo que funciona a  = 50 rad/s
A&S-3ª Ej 9.10
33
Solución:
j
1
Z1 

  j10 
3
jC 50  2 10
1
j
Z2  3 
 3
 3  j2 
2
50 10
j C
Z3  R2  jL  8  j 50  0.2  8  j10 
Z1
Zin  Z1  ( Z 2 || Z3 )  Z1 
Z 2 Z3
Z 2  Z3
Zin
(3  j 2)  (8  j10)
  j10 
11  j8
- Operando
Z3
Z2
Zin  3.22  j11.07 
34
-Ejemplo 5: Determinar v0(t) en circuito de la figura.
A&S-3ª Ej 9.11
35
Solución:
- En primer lugar transformamos el
circuito al dominio de la frecuencia
- Fuente:
vS (t )  20 cos(4t  15º )
VS  20 |  15º
  4 rad/s
- Condensador:
10 mF
1
j
ZC 

jC 4 10 10 3
  j 25 
- Bobina:
5H
Z L  jL  j 4  5  j 20 
36
- Asociamos las impedancias en paralelo:
Z 2  Z L || ZC 
Z L ZC
Z L  ZC
Z1  60 
VS 

 j 25  j 20

 j100 
 j 25  j 20

V0

Z 2  Z L || ZC
- Aplicando la fórmula del divisor de tensión:
j 90 º
Z2
100
j100
e
 j15 º
 (20e  j15 º ) 

e
V0 
VS 
(
20
)
j 59.04 º
Z1  Z 2
60  j100
116.62e
100  20 j ( 90 º 15 º 59.04 º )

e
 17.15e j15.96 º V
116.62
v0 (t )  Re V0 e jt


v0 (t )  17.15 cos(4t  15.96º ) V
37
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.3 Análisis de nudos y de mallas
- La resolución de circuitos de alterna puede hacerse según los
siguientes pasos:
1- Se transforma el circuito del dominio del tiempo al dominio
fasorial (o de la frecuencia)
2- Se resuelve el circuito aplicando las técnicas estudiadas en
los temas 1-3 (análisis de nudos, análisis de mallas,
superposición, etc…)
3- Se transforma la solución obtenida al dominio del tiempo
- A continuación veremos algún ejemplo de análisis nodal y de mallas.
38
- Ejemplo 5: Determinar ix en el circuito de la figura utilizando
análisis nodal.
A&S-3ª Ej 10.1
39
Solución:
- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia
20 cos(4t  0º )
1H
0.1 F
20 | 0º
  4 rad/s
j L  j 4  1  j 4 
0.5 H
j  L  j 4  0 .5  j 2 
j
1

  j 2.5 
jC 4  0.1
Circuito problema en el dominio de la frecuencia
40
- Resolvemos en el dominio
de la frecuencia mediante
análisis de nudos
- Nudo 1:
20  V1
V1
V1  V2


10
j4
 j 2.5
- Nudo 2:
V1  V2 V2
2I x 

j4
j2
V1
Ix 
 j 2.5
- Se obtiene el siguiente sistema:
(1  j1.5)V1  j 2.5V2  20
11V1  15V2  0
- Cuya solución es:
V1  18 + j 6  18.97e j18.43º V
V2  13.2  j 4.4  13.91e j198.3º V
- Entonces:
V1
Ix 
  2.4 + j 7.2  7.59e j108.4 º A
 j 2.5
- En el dominio temporal:

ix (t )  Re I x e jt

ix (t )  7.59 cos(4t  108.4º ) A
41
- Ejemplo 6: Calcular I0 en el circuito de la figura aplicando análisis de
mallas.
A&S-3ª Ej 10.3
42
Solución:
- Malla 1:
8I1  (I1  I 3 ) j10  (I1  I 2 )( j 2)  0
- Malla 2:
(I 2  I1 )( j 2)  (I 2  I 3 )( j 2)  I 2 4  20e j 90 º  0
- Malla 3:
I3  5 A
- Se obtiene el siguiente sistema:
(8  j8)I1  j 2I 2  j 50
j 2I1  (4  j 4)I 2   j 30
- Resolviendo:
I 2  6.12e  j 35.22 º A
- Luego,
I 0  I 2  6.12e  j 35.22 º
 6.12e j 35.22 º 180 º 
 6.12e j144.38 º A
43
6.7 Análisis de circuitos mediante fasores
6.7.4 Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton
- Los teoremas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos de
alterna de forma análoga a como se hace en los de continua
A
VTh 

ZTh
A
Equivalente de Thevenin
circuito lineal
de dos
terminales
A
B
Circuito original
B
IN
VTh  ZTh I N
Z N  ZTh
ZN
B
Equivalente de Norton
44
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- Potencia instantánea:
- Según se definió en el Tema 1, la potencia absorbida o suministrada
por un elemento es el producto de la tensión entre los extremos del
elemento por la corriente que pasa a través de él
p (t )  v(t )i (t )

v

i
- La potencia instantánea p(t) representa la potencia para cualquier
instante de tiempo t
- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente.
45
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- Potencia instantánea en estado sinusoidal permanente:
- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente
- La tensión y la corriente en los terminales del circuito serán de la
forma:
i (t )
v(t )  Vm cos(t  v )
i (t )  I m cos(t  i )
fuente
sinusoidal

v(t )

red lineal
pasiva
- La potencia instantánea vale
p (t )  v(t )i (t )  Vm I m cos(t  v ) cos(t  i )
- Aplicando la identidad: cos( A) cos( B ) 
1
2
cos( A  B)  cos( A  B)
- resulta
p (t )  12 Vm I m cos(v  i )  12 Vm I m cos(2t  v  i )
46
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- La potencia instantánea tiene dos partes:
p (t )  12 Vm I m cos(v  i )  12 Vm I m cos(2t  v  i )
parte constante
parte dependiente del tiempo
- La parte constante depende de la diferencia de fases
- La parte temporal tiene frecuencia doble, 2
- p(t) es positiva parte del ciclo y negativa la otra parte
- Si p(t) > 0, el circuito absorbe potencia
- Si p(t) < 0, la fuente absorbe potencia
47
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- Potencia media:
- La potencia instantánea cambia con el tiempo, por tanto es difícil de
medir.
- Definición de potencia media
“Es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo”
- Matemáticamente:
1
P
T

T
0
p (t )dt
- En el laboratorio la potencia media se mide con el vatímetro
- Recordando que la potencia instantánea vale
p (t )  12 Vm I m cos(v  i )  12 Vm I m cos(2t  v  i )
- y sustituyendo en la definición de P, se obtiene
1
P
T

T
1
0 2
1
Vm I m cos(v  i )dt 
T

T
1
0 2
Vm I m cos(2t  v  i )dt
48
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- Integrando
P  Vm I m cos(v  i )
1
2
1
T

T
0
dt  V I
1
2
1
m m T

T
0
cos(2t  v  i )dt
1
- queda
0
P  12 Vm I m cos(v  i )
- expresión que no depende del tiempo
-También se puede calcular la potencia media a partir de los fasores
tensión y corriente
j v
v(t )  Vm cos(t  v )
i (t )  I m cos(t  i )
- Se observa que
1
2
- Entonces
V  Vm e
I  I m e ji
VI*  12 Vm e jv I m e  ji  12 Vm I m e j v i 
 12 Vm I m cos(v  i )  j sin(v  i )


P  Re 12 VI*  12 Vm I m cos(v  i )
49
6.8 Potencia instantánea y potencia media
- Consideramos 2 casos particulares de interés:
1. Circuito puramente resistivo (R):
v  i
P  12 Vm I m cos(v  i )  12 Vm I m  12 I m2 R  12 | I |2 R  0
- La potencia media para un circuito resistivo es
siempre positiva (absorbe energía)
2. Circuito puramente reactivo (L o C):
v  i  2
P  12 Vm I m cos(v  i )  12 Vm I m cos( 2 )  0
- La potencia media para un circuito puramente reactivo es
siempre nula (no absorbe energía)
50
- Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las potencias medias
suministrada por la fuente y disipada por la resistencia
A&S-3ª Ej 11.3
51
Solución:
- Para calcular las potencias medias
emplearemos las fórmulas fasoriales:

Pf  12 Re Vf I*f


PR  12 Re VR I*R

- Comenzamos calculando la corriente:
V 5e j 30
If  IR  I  
 ??  1.118e j 56.57 º A
Z 4  j2
Vf  5e j 30 º V
- La potencia media suministrada por la fuente vale:



Re5.59e
Pf  12 Re Vf I*f  12 Re 5e j 30 º  1.118e  j 56.57 º

1
2
 j 26.57 º

  2.795cos(26.57º )  2.5 W
- La tensión en la resistencia vale:
VR  RI f  4 1.118e j 56.57 º  4.472e j 56.57 º V
- La potencia media disipada en la resistencia es:




PR  12 Re VR I*R  12 Re 4.472e j 56.57 º 1.118e  j 56.57 º  2.5 W
52
6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada
- En este apartado vamos a generalizar al caso de circuitos de alterna,
el teorema de máxima transferencia de potencia visto en el tema 3:
En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la
transferencia de potencia media a la carga es máxima cuando la
impedancia de carga ZL es igual al complejo conjugado de la
impedancia del equivalente Thevenin del circuito fuente ZTh
I
circuito lineal
de dos
terminales
ZTh
A

ZL
V

VTh 

B
I
A

ZL
V

B
P  Pmax  Z L  Z*Th
53
6.9 Máxima transferencia de potencia media. Adaptación conjugada
- Demostración
- Partimos del equivalente Thevenin
del circuito fuente
VTh
I
Z Th  Z L
ZTh
A

VTh 

2
|
V
|
RL / 2
2
Th
1
P  2 | I | RL 
( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2
I
ZL
V

B
ZTh  RTh  jX Th
Z L  RL  jX L
- Para encontrar el máximo derivamos e igualamos a cero:
P
 0  X L   X Th ;
X L
- Resulta:
RL  RTh
X L   X Th
P
2
 0  RL  RTh
 ( X Th  X L ) 2
RL
Z L  Z*Th (Adaptación Conjugada)
- La potencia media máxima resulta:
Pmax
| VTh |2

8 RTh
54
-Ejemplo 8: Determinar la impedancia de carga ZL que maximiza la
potencia media absorbida del circuito. ¿Cuánto vale dicha potencia
A&S-3ª Ej 11.3
máxima?
55
Solución:
- Comenzaremos calculando el equivalente
de Thevenin del circuito fuente
- Impedancia de entrada:
ZTh  [4 || (8  j 6)]  j 5
4  (8  j 6)
 j5

4  8  j6
40e  j 36.87 º

 j5
 j 26.57 º
13.416e
 2.983e  j10.31º  j 5
 2.983cos(10.31º )  jsin(10.31º )  j 5
 2.933  j 4.467 
56
- Tensión de Thevenin:
- Por división de tensión
8  j6
 10
VTh 
4  8  j6
100e  j 36.87 º
 j10.31º


7
.
45
e
V
 j 26.57 º
13.416e
ZTh  2.99  j 4.47 
- La impedancia de carga deberá ser:
ZL  Z
*
Th
 2.93  j 4.47 
VTh 

ZL
- Para esta impedancia de carga, la potencia media disipada es:
Pmax
| VTh |2 (7.45) 2


 2.37 W
8RTh
8  2.93
57