1. Derivadas parciales 2 1.1. Definición de derivadas

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Índice
1. Derivadas parciales
1.1. Definición de derivadas parciales . . . . .
1.2. Actividades iniciales . . . . . . . . . . . .
1.3. Costo marginal . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Una actividad . . . . . . . . . . .
1.4. Productos competitivos o complementarios
1.5. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.
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1.1.
Derivadas parciales
Definición de derivadas parciales
Sea z = f (x, y) una función de dos variables.
1. La derivada parcial de f con respecto a x, es la función
fx, definida por:
f (x + h, y) − f (x, y)
fx(x, y) = lı́m
h−→0
h
siempre y cuando el lı́mite exista.
f (x, y + h) − f (x, y)
h−→0
h
siempre y cuando el lı́mite exista.
fy (x, y) = lı́m
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2. La derivada parcial de f con respecto a y, es la función
fy , definida por:
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1.2.
Actividades iniciales
2 +y 2
a) Si z = ex
, calcular y simplificar la expresión:
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xzx + yzy
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b) Si z = x3 + y 3, calcular y simplificar la expresión:
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xzx + yzy
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1.3.
Costo marginal
El costo marginal se define como la variación en el
costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una
unidad adicional.
Si la función de costo1 conjunto de producir las cantidades
x e y de 2 bienes viene dado por
C = C(x, y)
Entonces las funciones de costo marginal son
1
es el costo marginal con respecto a x
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∂C
∂x
∂C
∂y
es el costo marginal con respecto a y
En general, ¿los costos marginales son positivos o negativos?
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1.3.1.
Una actividad
Si la función de costo conjunto, en $M, de producir las
cantidades x e y de 2 bienes viene dado por
C = C(x, y) = 20 + 2x2 + 3xy + 6y 2
1. Calcular los costos marginales, con respecto a ambas
variables, en el punto (4, 6)
2. Interpretar los resultados anteriores
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1.4.
Productos competitivos o complementarios
Sean A y B dos artı́culos relacionados tales que el
precio de uno afecta la demanda del otro. Denotemos
con pA y pB los precios unitarios de los dos artı́culos.
Entonces, sus demandas xA y xB se supone que son
funciones de ambos precios pA y pB , esto es,
xA = f (pA, pB )
y xB = g(pA, pB )
entonces:
A y B se dicen competitivos entre sı́ cuando
y
∂xA
>0
∂pB
esto es, si un incremento en el precio de uno de
ellos da como resultado un incremento en la demanda del otro.
A y B se dicen complementarios entre sı́ cuando
∂xB
<0
∂pA
y
∂xA
<0
∂pB
esto es, si un incremento en el precio de un artı́culo
da como resultado una disminución en la demanda
del otro (suponiendo que su precio permanece sin
cambio).
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∂xB
>0
∂pA
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1.4.1.
Una actividad
Si las funciones de demanda para 2 productos relacionados
A y B son
16
−(pA +pB )
qA = e
y
qB = 2 2
pA pB
donde qA y qB son los números de unidades demandadas
de A y B, cuando los precios unitarios (en miles de pesos)
son pAy pB , respectivamente.
2. Si los precios unitarios de A y B son $1000 y $2000,
respectivamente, determinar el cambio en la demanda
de A cuando el precio de B disminuye $20 y el precio
de A se mantiene constante.
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1. ¿Estos productos son competitivos, complementarios o
ninguno de ellos?
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1.5.
Actividades
1. Cambio en el nivel de producción
La función de producción de una empresa está dada
por
P (L, K) = 450L3/5K 2/5
en donde P representa la producción cuando se emplean L unidades de mano de obra y K unidades de
capital.
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a) Determinar la producción de la empresa si L = 243
y K = 32
b) Determinar el efecto de incrementar la mano de
obra a 244 unidades y manteniendo constante el
capital
c) Usando derivadas parciales, encontrar un valor aproximado de lo pedido en (c)
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2. Costos marginales
Si la función de costo conjunto, en M$, de producir las
cantidades x e y de 2 bienes viene dado por
C = C(x, y) = 20 + 2x2 + 3xy + 6y 2
a) Calcular los costos marginales, con respecto a ambas variables, en el punto (4, 6)
b) Interpretar los resultados anteriores
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3. Conceptos marginales
Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de
ventas x se incrementa como una función del tiempo
t y depende también de la cantidad A gastada en la
campaña publicitaria. Si, con t medido en meses y A
en dólares,
x = 200(5 − e−0,002A)(1 − e−t)
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∂x
a) Calcular ∂x
y
∂t
∂A
b) Evaluar las derivadas parciales recién encontradas
en t = 1 y A = 400
c) Interpretar las derivadas parciales calculadas en (b).