Solución

II Concurso de Resolución de Problemas
Curso 2011-2012
Solución del Problema de la esfera.
Si cortamos la esfera por el plano que contiene al triángulo obtenemos una circunferencia que toca en tres puntos al triángulo: uno en cada lado. Se trata pues de la
circunferencia inscrita en dicho triángulo. Para encontrar los puntos de contacto hay
que trazar dicha circunferencia encontrando su centro, el incentro. Es conocido que
el incentro de un triángulo es el punto donde se corta las bisectrices de cada ángulo
(la bisectriz de un ángulo es la recta que, pasando por el vértice, lo divide en dos
ángulos iguales).
Para encontrar la bisectriz de un ángulo, trazamos una circunferencia cualquiera
concentro el vértice del ángulo que corte a los dos lados que forman dicho ángulo
(véase la figura 1); ahora señalamos los puntos de intersección entre esta circunferencia y los lados citados y con centro en tales puntos, dibujamos dos circunferencias
que pasen por el vértice. La recta que une el vértice y el punto de intersección de
estas dos circunferencias es la bisectriz (véase de nuevo la Figura 1). De la misma
forma se trazan las bisectrices restantes y el incentro es el punto donde éstas se
cortan.
Figura 1: Buscamos el incentro.
Una vez que hemos encontrado el incentro, tenemos que trazar la circunferencia
inscrita, pare esto hay que determinar los puntos de contacto con cada lado; dichos
puntos son la intersección de las rectas que pasan por el incentro y son perpendiculares a cada lado. Podemos encontrarlos para cada lado de la siguiente forma:
Trazamos una circunferencia centrada en el incentro que pasa por uno de los vértices
de un lado. A continuación marcamos el punto de corte de esta circunferencia con
dicho lado; ahora trazamos dos nuevas circunferencias, una con centro en el punto
de corte citados y la otra con centro en el vértice, ambas pasando por el incentro
(véase la Figura 2). La recta perpendicular al lado en cuestión es la que pasa por el
incentro y el otro punto de corte de las dos últimas circunferencias (véase de nuevo
la Figura 2). El punto de contacto de la circunferencia inscrita y el lado que hemos
manejado es la intersección de la recta perpendicular obtenida y dicho lado. Los
otros tres puntos se trazan igual. No obstante podemos querer calcular la distancia
Figura 2: Encontramos los puntos donde colocar las almohadillas.
exacta a la que los puntos donde tenemos que colocar las almohadillas se encuentran
de un vértice para ası́, midiendo sobre la estructura triangular, ponerlas en el lugar
exacto. Como sabemos que el lado menor del triángulo mide `, si llamamos s al
inradio, observemos en la Figura 3 que en el vértice correspondiente al ángulo recto,
tenemos un cuadrado de lado s, con lo que a esta distancia de dicho vértice hay que
colocar las almohadillas de los catetos. Para la hipoténusa, observemos de nuevo en la
Figura 3 que entre el inradio y la bisectriz del ángulo de 60o se forman dostriángulos
rectángulos y la distancia del punto donde colocar la almohadilla en la hipotenusa
es ` − s.
Figura 3: Distancia de las almohadillas a un vértice.
Para calcular los que mide s en función de la longitus ` del lado, observemos que
1
s
tan 30o = √ =
;
`−s
3
y despejando s =
`
√
1+ 3
y por tanto la otra distancia buscada es
√
` 3
√ .
`−s=
1+ 3
Esto significa que el radio de la esfera ha de ser r > s, pues en caso contrario no se
soportarı́a sobre el triángulo.
Por último, sólo nos resta estudiar cómo debe ser la relación entre la altura a la que
está el triángulo y el radio de la esfera para que ésta no toque en el suelo. Si cortamos
la esfera por el plano que contiene al triángulo, obtenemos una circunferencia (la
inscrita), de radio s (ya calculado) y si, a la vez, tomamos una sección plana de la
esfera que pase por su ecuador, tenemos la situación que se presenta en la Figura 4,
donde x es la distancia desde el polosur de la esfera al plano del triángulo. Este valor
de x nos proporciona la información buscada y si la altura a la que está el triángulo
es h cuando r sea tal que x sea mayor o igual que h la esfera tocará el suelo. Entonces
Figura 4: La altura del triángulo y el radio de la esfera.
si observamos el triángulo rectángulo de la figura, se cumple r2 = (r − x)2 + s2 lo
que √
da lugar a la ecuación
de segundo grado x2 − 2rx + s2 = 0, cuyas soluciones son
√
r + r2 − s2 y r − r2 − s2 (correctas puesto que r > s). La primera no puede ser
válida porque la medida de la porción de esfera que estarı́a por debajo del triángulo
serı́a mayor que el radio. Por tanto sólo tenemos la segunda y este es el valor que
hay que tener en cuenta para compararlo
con la posible altura del triángulo.
√
2
2
Observemos que la función r − r − s , en nuestro caso válida para r > s es
decreciente y por tanto si h > s la esfera nunca tocará el suelo. Por último, teniendo
en cuenta esta última observación, si h es la altura a la que se coloca el triángulo, h
√
h2 + s2
coincide con x si h = r − r2 − s2 , es decir si r =
.
2h