Conozca al señor Movimiento: La situación del resorte Justificación

Conozca al señor Movimiento: La situación del resorte
José David Zaldívar Rojas
Centro Regional de Formación Docente e Investigación Educativa de Sonora
jdzaldivar@crfdies.edu.mx
Justificación de la actividad
Las actividades que se presentan a continuación se integran a un programa de investigación
amplio, emergente y en continuo desarrollo dentro del campo de la Matemática Educativa.
Dicho programa tiene por finalidad entender la construcción social del conocimiento
matemático en escenarios sociales y se ubica dentro de la gama de las tendencias actuales
que abogan por entender la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de una manera
transversal y en escenarios socioculturales, en contraposición con posturas individualistas y
centradas únicamente en los objetos matemáticos. Para ello, tensa aspectos que desde las
investigaciones en la disciplina parecen inamovibles: la noción de aula, el funcionamiento
del conocimiento en escenarios no escolares y otras formas en que las personas se
relacionan con el conocimiento, es decir, de “ser” con el conocimiento.
Las actividades se inscriben dentro de un taller que se denomina “Conozca al señor
Movimiento”, el cual tiene por objetivo general permitir un contacto con los ciudadanos
donde se ponga en discusión la importancia de considerar el movimiento de ciertos
sistemas dinámicos como algo que se puede representar, analizar y anticipar. Para ello, las
actividades que se desarrollan se enfocan en la modelación y la graficación de dichos
sistemas dinámicos a través de un uso de las gráficas y de aspectos de visualización.
La importancia dada a las gráficas y a su uso dentro del proceso de modelación de las
situaciones de movimiento responde sin duda a un posicionamiento epistemológico y
ontológico sobre el conocimiento matemático, su aprendizaje y su socialización. Se obvian
aspectos analíticos, puesto que de entrada se asume, a diferencia de la tradición escolar, que
la gráfica es en sí un modelo argumentativo, que se resignifica y es un medio de enlace con
los saberes del ciudadano con aspectos del conocimiento científico.
El taller de manera general se relaciona con los ciudadanos participantes por medio de
discutir saberes no convencionales, la transversalidad, la funcionalidad y normativas
diferentes a las escolares a partir de problematizar el conocimiento cotidiano de los
ciudadanos. De esta manera, el taller propone una forma de divulgación que incorpora tres
elementos: una población no necesariamente científica, procesos de socialización y de
culturización científica, que permiten al ciudadano otro tipo de “encuentros” con el
conocimiento científico.
Las actividades del taller parten de lo cotidiano que caracteriza al conocimiento del
ciudadano, el cual tensa discursos escolares sobre la matemática y se aleja de éstos, dando
énfasis a aspectos relegados y opacos. De esta manera la discusión en las actividades del
taller no se centran en discutir definiciones o algoritmos matemáticos sin significados. Se
parte de una postura epistemológica del conocimiento y su construcción basado en lo
sociocultural, donde se permite al ciudadano “encuentros” con el conocimiento matemático
a través de problematizarlo y se interviene en la comunidad por medio de un mecanismo
social de mantenimiento-crisis como lo que caracteriza al conocimiento cotidiano del
ciudadano (Zaldívar, 2014). Esto significa que se parte en las actividades del taller desde lo
que los ciudadanos hacen, usan y expresan sobre el movimiento, es decir de formas
culturales de conocimiento puestos en uso, para posteriormente problematizarlas y generar
otros argumentos sobre el conocimiento matemático que se discute.
Dadas las intenciones y la fundamentación de la situación del resorte, el taller y su
implementación se dirige a niños y niñas de nivel básico, preferentemente a partir de 4º
grado.
En este apartado se centra la atención a la descripción de una parte del taller, lo
correspondiente a “La Situación del Resorte”. Dicha situación consiste en modelar por
medio de un uso de las gráficas el comportamiento tendencial de un sistema masa-resorteamortiguamiento (S-MRA) (ver imagen 1) con ayuda de sensores de movimiento. Se busca
de esta manera, anticipar, imitar y caracterizar el tipo de comportamiento estable que un
sistema MRA posee intrínsecamente cuando a un resorte se le pone una pesa, pero
caracterizado a partir de un trabajo enteramente gráfico y visual.
Figura 1. Sistema masa-resorte-amortiguamiento
Caracterizar dentro de la situación del resorte el comportamiento estable del fenómeno por
medio de la modelación-graficación (Suárez, 2014) consiste en asumir que las gráficas y su
uso, resignifican la estabilidad del sistema dinámico como un comportamiento gráfico con
tendencia.
De esta manera, la situación del resorte y todo el programa socioepistemológico que
sostiene su fundamentación, pone en evidencia ciertos saberes sobre el movimiento, las
gráficas y la estabilidad misma, que se excluyen en la conformación de los discursos
escolares y planes de estudio de diversos niveles, lo cual implica el no reconocer lo
cotidiano, es decir, una función pragmática, rutinaria y asociada al conocimiento de la vida
de las personas.
No obstante, la importancia que revisten los métodos de resolución algebraicos alrededor
del estudio de las soluciones de una ecuación diferencial (ED), muy poco podría decirse
sobre sus comportamientos cualitativos. En el mejor de los casos, se grafican las soluciones
o los campos pendiente únicamente para “tener una idea” visual de las soluciones sin una
discusión profunda sobre los comportamientos y significados de los tipos de soluciones.
Mucho menos es considerado el hecho de poder analizar y anticipar el comportamiento
cualitativo de las soluciones de dichas ecuaciones sin haberlas primero resuelto por
métodos algebraicos (Solís, 2012).
Por ejemplo, consideremos el caso de la ED lineal de primer orden 𝑎𝑦 ′ (𝑥 ) + 𝑦(𝑥 ) = 𝑓.
Sus soluciones son de la forma 𝑦 = 𝑓 ̅ + 𝑔, de tal forma que cuando x tiende a infinito, la
función g tiende a cero, ya que es de la forma 𝐵𝑒 −𝑥 , lo cual implica un comportamiento
asintótico de la solución y sobre 𝑓.̅ Además, la función 𝑓 ̅ será de la misma naturaleza de 𝑓;
es decir, si f es un polinomio de grado n, 𝑓 ̅ es un polinomio del mismo grado, mientras que
1
g es de la forma 𝐵𝑒 −𝑎𝑥 . Siempre y cuando a >0, se tendrá que 𝑓 ̅ será asíntota de la solución
1
y, puesto que 𝐵𝑒 −𝑎𝑥 → 0, cuando 𝑥 → ∞.
Esta es una propiedad que está opaca dentro del discurso asociado a la resolución de una
ED, como si se tratara de una propiedad de las soluciones que es obvia para los estudiantes.
Una propiedad y análisis similar se podría encontrar para el caso donde la ecuación
diferencial es de segundo orden con coeficientes constantes. Si consideramos a la ecuación
diferencial 𝑦 ′′ (𝑥 ) + 𝑎𝑦 ′ (𝑥 ) + 𝑏𝑦(𝑥 ) = 𝑓, sus soluciones serán de la forma 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦𝑐 ,
donde 𝑦𝑝 es la solución particular no homogénea y 𝑦𝑐 es la solución característica de la
ecuación homogénea asociada.
Al igual que en el caso anterior, la solución particular 𝑦𝑝 es igual a una función 𝑓 ̅ que tiene
la misma naturaleza que f, mientras que la solución característica se determina por el
polinomio característico asociado a través de los coeficientes a y b de la ecuación
homogénea.
Si 𝑥 → ∞ y las raíces del polinomio característico tengan parte real negativa se cumple que
𝑦𝑐 → 0, lo cual implica que se presente la relación 𝑦 ∼ 𝑓 .̅ Esta relación anterior significará
bajo los elementos que se mencionaron, que las soluciones de la ED de segundo orden son
estables. Pero esta relación de estabilidad entre la solución y la función f asociada a la
ecuación, será por medio de un comportamiento tendencial y relacionado al concepto de
asintoticidad (Domínguez, 2003).
El reconocimiento de esta propiedad de estabilidad se atribuye a un análisis del
comportamiento tendencial de las funciones (CTF) (en este caso, soluciones) (Cordero,
2008). Dicho comportamiento implica la variación de los parámetros en lugar de resolver la
ecuación para hallar las soluciones. Implica además el considerar a las soluciones de una
ED ahora como un modelo que determina comportamientos y tendencias, ya que la
solución tiende a “parecerse” a otra bajo ciertas condiciones. Una de las características de
la consideración anterior es que el tipo de actividades que se generen bajo esta postura de la
estabilidad implican a la modelación y un énfasis en la gráfica como modelo tendencial.
Objetivos de la actividad
Con las actividades que se incluyen en el taller del señor movimiento lejos de reflexionar
sobre cómo hacer accesible cierto conocimiento al evitar tecnicismos propios de las
ciencias, los énfasis se encuentran en el conocimiento del cotidiano y dar cabida a las
formas culturales de conocimiento que los participantes ponen en juego a través de permitir
cierta presencia de las ciencias en la cultura de los mismos (Roqueplo, 1983).
De manera general, el taller tiene por objetivo problematizar desde los ciudadanos,
nociones y significados sobre la variación, el cambio y comportamientos con tendencia,
por medio de un uso de las gráficas que se generan a partir de modelar un fenómeno de
movimiento.
En particular, la situación del resorte problematiza, a través de las gráficas, la propiedad de
estabilidad de las soluciones de una ecuación diferencial asociada al comportamiento de un
sistema físico MRA, usando para ello sensores de movimiento. De esta forma, la situación
provee un marco de referencia alternativo donde se resignifica a la estabilidad como un
comportamiento asintótico y tendencial a partir de los usos de las gráficas pero desde lo que
los ciudadanos usan y hacen.
Ficha técnica de la situación
Título de la actividad: La situación del resorte.
Características del público a quien va dirigido: Público en general. Se recomienda que
se realice la actividad con niños y niñas a partir de los 9 años de edad (cuarto grado del
nivel básico en México).
Materiales: acetatos, proyector de acetatos, software TI-Nspire-CX con la aplicación
“Laboratorio”, sensor de movimiento (CBR), hojas en blanco, plumones de colores, resorte,
pesas.
Es importante mencionar que para esta situación se propone el empleo de sensores de
movimiento (CBR). Sin embargo, en los primeros momentos de la situación dichos
dispositivos tecnológicos se dejan de lado para generar en los estudiantes argumentos desde
su cotidiano. Sin embargo, conforme se avanza en las actividades se procura integrar a la
tecnología como un medio que provee un nuevo grafismo y permite visualizar en tiempo
real el comportamiento tendencial del sistema, anticiparlo y caracterizarlo.
Posiblemente se pudiera pensar que no contar con el sensor de movimiento o el resorte
físicamente pudieran ser limitantes para el desarrollo de las actividades, sin embargo, es
posible encontrar en la red simuladores de la situación que podrían usarse para explicar las
actividades. Consultar por ejemplo: http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/massspring-lab_es.html
Preámbulo
Al inicio de la actividad se pide a los participantes que describan con sus palabras dónde y
en qué situaciones del día a día han visto o usado resortes. Se pueden dar ejemplos sobre la
construcción de edificios en lugares con actividad sísmica o los amortiguadores de los
automóviles. Posteriormente se muestra el resorte y la pesa. Sin hacer el experimento, se
comenta en qué consiste la primera actividad y se reparte entre los participantes hojas de
acetatos para que dibujen sus propuestas.
Tiempo aproximado de la actividad: 30 minutos.
Desarrollo de las actividades
Actividad 1. Dibuja el movimiento
Instrucción. Dibuja el movimiento que se produce cuando en un
extremo de un resorte se pone una pesa, mientras lo sostienes
por el otro extremo. Dibuja lo que consideres.
Una vez que se haya dejado un tiempo considerable para que los
participantes elaboren sus propuestas en los acetatos, se revisan
grupalmente usando el proyector de acetatos. Durante este
momento se proponen las siguientes preguntas:

El resorte con la pesa, ¿se detiene?

Del dibujo que elaboraste; ¿dónde se puede ver que el resorte se detuvo o se está
deteniendo?

En el dibujo que elaboraste, ¿dónde va más rápido el resorte?, ¿dónde va más lento?
Estas preguntas provocarán en los participantes una reflexión sobre el tipo de propuestas
que realizaron que generalmente estarán basadas en dibujar flechas que indican dirección y
sentido del movimiento, es decir, trayectorias.
Instrucción. Con base en las preguntas anteriores, ¿qué cambios le harías a tu dibujo
para que exprese las características solicitadas?
Actividad 2. Comparando movimientos
La idea central de esta actividad es que los participantes confronten el tipo de movimiento
característico del resorte con otros tipos de movimiento. Para ello, con ayuda del sensor de
movimiento se modela el caso de una persona que camina frente al sensor en línea recta de
un punto A a un punto B y regresa.
Instrucción. Vamos a considerar el siguiente experimento donde se usará ciertos
dispositivos tecnológicos con los cuales podremos “analizar” el movimiento y “dibujarlo”.
El experimento trata sobre el movimiento de una persona cuando se dirige de un punto A
hacia un punto B y regresa. Lo anterior caminando en línea recta y frente al sensor que se
ubica en el punto A. Una vez que hayas realizado algunas simulaciones con distintas
formas “de moverse” y de apreciar la gráfica que se genera, ¿cómo crees que sería ahora
el dibujo del movimiento del resorte?, es decir, ¿cómo es la gráfica del movimiento del
resorte cuando se ubica el sensor debajo de la pesa en movimiento?
Una vez que los participantes realizan el experimento usando la tecnología, se explica la
gráfica resultante de la situación poniendo énfasis en qué tipo de variación se produce en la
gráfica cuando la persona se mueve rápido, lento o no se mueve y cuando se aleja o acerca
al sensor de movimiento, el cual es tomado como el punto de referencia. Se revisan algunas
gráficas de los participantes y se realizan las siguientes preguntas:
 ¿Dónde se mueve más rápido el resorte?, ¿dónde más lento?
 ¿Qué forma crees que tendrá la gráfica del movimiento del resorte a los 10 minutos?
 ¿Por qué la parte final de la gráfica es una recta?, ¿qué significado tiene que la gráfica
sea una recta?
Actividad 3. El comportamiento del resorte
Instrucciones. Observa las siguientes gráficas. Todas se obtuvieron a partir del
movimiento de un resorte al cual se le ha puesto una pesa con ayuda del sensor de
movimiento. ¿Cuáles son las diferencias y semejanzas entre cada uno de los
comportamientos anteriores?
Construye cada una de las gráficas anteriores con ayuda de la tecnología. Describe cómo
las hiciste.
Durante esta actividad y de acuerdo a los tiempos que se consideren para la actividad, se
puede reflexionar con los participantes sobre algunas preguntas y situaciones como las
siguientes:
 ¿Qué pasaría ahora con la gráfica si se ponen 2 pesas al resorte en lugar de una?
 ¿Qué pasaría si se pone en el resorte la pesa y se jala el resorte para abajo y se suelta?,
y si se suelta la pesa sin estirar el resorte, ¿en ambos casos, cómo y dónde inicia la
gráfica?
 ¿Cómo sería la gráfica si se pone en el resorte una pesa, se deja moverse y después de 7
segundos se pone otra pesa?, ¿cómo crees que se comporte la gráfica?
Intenciones
La situación del resorte se articula en tres momentos que permiten un desarrollo de las
argumentaciones de los participantes cuando se problematiza a la estabilidad a través de las
gráficas: momento de mantenimiento, de crisis y de funcionalidad. Estos momentos además
responden a una epistemología que se fundamenta en un mecanismo de mantenimientocrisis que caracteriza al conocimiento cotidiano del ciudadano (Zaldívar, 2014).
I.
Momento de mantenimiento (M1): se pretende que los participantes expresen, desde
sus experiencias, con su propio lenguaje y vivencias, aspectos que tienen que ver con el
fenómeno. En la primera actividad se espera que se haga referencia a lo estable por
medio de representaciones pictográficas alusivas al resorte, a cómo se mueve y en la
dirección en la que lo hace. Principalmente se espera que las producciones se basen en
el uso de trayectorias para representar el movimiento, aspectos gestuales particulares y
dibujos pictográficos que expliquen la situación de movimiento (Zaldívar, 2014). Este
momento expresa las formas culturales de los participantes sobre el movimiento, las
gráficas y la estabilidad.
Se reconoce que aquello en lo cual los participantes basen sus argumentaciones
responderá a una estructura funcional. Es justo en estas producciones donde será
posible apreciar aquel conocimiento matemático opaco en la matemática escolar, en
este sentido nos referimos a lo estable como el aspecto funcional cotidiano de la
estabilidad.
II. Momento de crisis del mantenimiento (M2): Este momento lo conforma la última
parte de la primera actividad y la actividad 2. Los significados que se tratan de generar
en los participantes tienen que ver con los modelos que se obtienen con ayuda del
sensor de movimiento, y que están relacionados con argumentos que involucran lo
periódico (movimientos repetitivos) y lo asintótico, principalmente. Lo anterior
permite la aparición de otros usos de las gráficas más acorde con caracterizar el
comportamiento global del sistema por medio de curvas y en elementos como su
amplitud, altura, variaciones, periodicidad y tendencia.
Se problematizan las estructuras de saberes iniciales de mantenimiento al someter a los
participantes intencionalmente a una estructura no considerada con anterioridad: lo
referido a la tendencia. La tecnología por su parte permite múltiples realizaciones y
enlazar una estructura culturalmente propias del momento de mantenimiento con
estructuras más escolares referidas a las gráficas y a la aparición del plano cartesiano
(posición y tiempo, puntos de referencia, origen cartesiano y fenomenológico)
(Miranda, Radford & Guzmán, 2007).
La anticipación, lo asintótico y el análisis local surgen entonces como las herramientas
que se ponen a discusión para generar un argumento más centrado en el
comportamiento tendencial.
III. Momento de funcionalidad (M3): La intencionalidad de este momento es mantener
una estructura más compleja de argumentaciones sobre lo estable a partir de la
construcción de gráficas cartesianas como modelos explicativos de la situación
planteada a partir de la tendencia y la variación. Así mismo, encontrar y analizar las
condiciones bajo las cuales el comportamiento del resorte se mantiene y los parámetros
involucrados en tipos de comportamientos particulares de la situación con respecto a la
solución: subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado.
Se pretende generar significados sobre los elementos que intervienen en un
comportamiento específico, así mismo, se promueve a la gráfica como un modelo
manipulable y predecible. Por otro lado, se hace fuerte la relación entre el
comportamiento de la gráfica con la situación específica que se discute, permitiendo de
esta manera una relación directa e indisociable entre el fenómeno y la gráfica, y las
condiciones iniciales que pueden entrar en juego. Estas condiciones iniciales del
comportamiento implican el reconocimiento de “dónde empieza” la gráfica en el eje de
la posición.
En síntesis, la situación del resorte aporta evidencia de que la necesidad de orientar el
movimiento con un patrón de ajuste basado en trayectorias cobra vital importancia dentro
de lo situacional y permite elaborar argumentaciones de la estabilidad basado en un
comportamiento permanente y sin cambios, que conforma el momento de mantenimiento.
Sin embargo, ante argumentos situacionales de variación, tendencia y análisis local es
posible resignificar dicha noción de estabilidad cuando se elaboran patrones de ajuste más
complejos y globales, que se integran en una noción de curva, donde se comienza a analizar
la estructura interna del sistema y se elaboran maneras para indicar que el sistema se
comporta de cierta manera.
Bibliografía
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socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R. M. Farfán, J. Lezama & A. Romo
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Domínguez, I. (2003). La resignificación de lo asintótico en una aproximación
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Avanzados del IPN, Departamento de Matemática Educativa, México.
Miranda, I.; Radford, L. & Guzmán, J. (2007). Interpretación de gráficas cartesianas sobre
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Roqueplo, P. (1983). El Reparto del Saber. Ciencia, cultura, divulgación. Buenos Aires:
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Solís, M. (2012). Las gráficas de las funciones como una argumentación del cálculo. Caso
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orden. (Tesis inédita de Doctorado). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del IPN, Departamento de Matemática Educativa, México.
Suárez, L. (2014). Modelación-graficación para la matemática escolar. Díaz de Santos:
México.
Zaldívar, D. (2014). Un estudio de la resignificación del conocimiento matemático del
ciudadano en un escenario no escolar. (Tesis inédita de Doctorado). Centro de
Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, Departamento de Matemática
Educativa, México.