Z - Unican.es

Tema 2. Líneas de Transmisión Terminadas
Z 0 ,  
2.1 Introducción
2.2 Reflexión
ZL
z0
z
2.3 Ondas estacionarias
2.4 Impedancia de entrada
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador
2.6 Respuesta transitoria
José A. Pereda, Dpto. Ingeniería de Comunicaciones, Universidad de Cantabria
1
Bibliografía Básica para este Tema:
[1] R. Neri, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill, México, 1999.
[2] W. H. Hayt Jr. and J. A. Buck , “Engineering Electromagnetics”,
7ª Ed, McGraw-Hill International Edition, 2006.
[3] D. M. Pozar, “Microwave Engineering” , 3ª Ed, Wiley, 2005.
[4] F. T. Ulaby et. al “Fundamentals od Applied Electromagnetics” ,
6ª Ed, Pearson, 2010.
Neri  Apartados 2.9
Hayt  Apartados 11.9
Pozar  Apartados 2.3, 2.6
Ulaby  Apartados 2.7, 2.8, 2.12
2
M
Waves
2.1 Introducción
- En el tema anterior estudiamos líneas de transmisión de longitud
infinita, lo cuál obviamente no se encuentra en la práctica.
- El objetivo de este tema es ampliar lo visto en el tema anterior
considerando líneas de transmisión terminadas
- En general consideraremos un generador modelado mediante su
equivalente Thevenin y una impedancia de carga unidos por una
longitud finita de línea de transmisión.
VG
ZG
Generador
Línea de
Transmisión
ZL
Carga
3
2.2 Reflexión (Pozar 2.3)-(Hayt 11.9)
- Consideramos una línea terminada en una impedancia de carga ZL:
IL
V ( z )  V0i e z  V0 r e z
I ( z )  I 0i e
 z
 I 0r e
 z
Z 0 ,  
Vi  V0i e z
Vr  V0 r e
 z

VL

ZL
z
z0
- La tensión y la corriente en los terminales de la carga (z = 0) vale:
VL  V0i  V0 r
I L  I 0i  I 0 r 
- Además
VL  Z L I L
1
V0i  V0 r 
Z0
VL 
ZL
V0i  V0 r 
Z0
- Igualando las dos expresiones para VL:
VL  V0i  V0 r
ZL
V0i  V0 r 
VL 
Z0
ZL
V0i  V0 r 
V0i  V0 r 
Z0
4
2.2 Reflexión
- Coeficiente de reflexión en la carga:
V0 r
- Definimos el coeficiente de reflexión en la carga como L 
V0i
- Dividiendo la expresión inicial por V0i , resulta
L 
- Teniendo en cuenta que
Z L  Z0
Z L  Z0
V0 r  LV0i
- Podemos expresar la tensión y corriente totales en la línea como:

V ( z )  V0i e
- Cuando
 z
 L e
 z


V0i z
I ( z) 
e  L e z
Z0

L  0 no hay onda reflejada. Esta situación se da cuando
Z L  Z 0 y se dice que la línea está terminada en una carga adaptada.
- El general, el coeficiente de reflexión es una cantidad compleja.
5
- Ejemplo 1: Una línea de transmisión de impedancia característica 100
Ohm está terminada en una impedancia de carga formada por una
resistencia de 50 Ohm en serie con una capacidad de 10 pF. Calcular
el coeficiente de reflexión en la carga a la frecuencia de 100 MHz.
Ulaby 6ª Ej. 2-3
Solución:
Z 0 ,  
- La impedancia de carga vale
50 
10 pF
1
j
 50 
 (50  j159.2) 
Z L  Z R  Zc  R 
8
11
2  10  10
j C
- El coef de refl. resulta
L 
Z L  Z 0 50  j159.2  100  50  j159.2


 0.37 - j 0.67  0.76e  j 60.7 º
Z L  Z 0 50  j159.2  100 150  j159.2
6
2.2 Reflexión
- Conservación de la potencia:
- En general, cuando Z L  Z 0 una parte de la potencia incidente se
refleja y otra parte es transmitida (disipada) a la carga.
IL
Z 0 ,  
Vi  V0i e z
Vr  V0 r e z

VL

ZL
z
z0
- Según hemos visto la tensión y la corriente en la línea son:

V ( z )  V0i e z  L e z


V0i z
I ( z) 
e  L e z
Z0

7
2.2 Reflexión
- Como vimos en el tema anterior, el valor medio de la potencia
2
incidente es


V0i
1
*
 2z
Pi ( z )   Vi ( z ) I i ( z ) 
R
e
0
2
2
2 Z0
- La potencia reflejada resulta

V0i L
2

2
1
 2z
Pr ( z )   Vr ( z ) I r* ( z ) 
R
e
0
2
2
2 Z0
Pr  L Pi
2
- En los terminales de la carga (z = 0):
- La potencia transmitida es Pt  Pi  Pr

Pt  1  L
2
, luego
P
i
8
- Ejemplo 2: Una línea de transmisión de impedancia característica
50 Ohm y sin pérdidas esta terminada en una impedancia de carga
Z L  (50  j 75) . Si la potencia incidente vale 100 mW, determinar la
potencia disipada en la carga.
Hayt 7ª Ej. 11-5
Solución:
- La potencia disipada viene dada por

Pt  1  L
2
P
i
- El coef. de refl. en la carga vale
L 
- de donde
Z L  Z 0 50  j 75  50

 0.36  j 0.48
Z L  Z 0 50  j 75  50
L  0.36   0.48  0.36
2
2
2
- La potencia disipada resulta

Pt  1  L
2
P  1  0.36100 10
i
3
 64 mW
9
2.2 Reflexión
- Coeficiente de reflexión en una posición arbitraria:
- Hemos definido el coef. de refl. en los terminales de la carga.
- Podemos generalizar esta definición para cualquier posición de la
línea (z = -l)
Vi ( z )  V0i e z
Z 0 ,  
L

ZL
Vr ( z )  V0 r e  z
z   vale
Vr () V0 r e  V0 r  2
 ( ) 


e

Vi () V0i e
V0i
- El coef. de refl. en
- Entonces

z0
z
()  L e 2
- Para una línea sin pérdidas, el coef. de refl. es una función periódica
de periodo  2
10
- Ejemplo 3: Una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia
característica 50 Ohm está terminada en una impedancia de carga
de valor 100 Ohm. Determinar el coeficiente de reflexión a una
distancia 0.1 de la carga.
Solución:
- Los datos del problema son:
Z 0  50 
Z L  100 
Z 0 ,  
L

ZL
  0.1
  j , con   R

- Según hemos visto, el coef. de refl. a una distancia  vale: ()  L e 2
Z L  Z 0 100  50 1


Z L  Z 0 100  50 3
- donde:
L 
- luego
1
1
  L e  2  e  j 0.4  e  j 72 º
3
3
  j  j
2

0.1  j 0.2
11
2.3 Ondas estacionarias (Neri 2.9)
- Consideramos una línea sin pérdidas terminada en una impedancia ZL:
Z 0 ,  
Vi  V0i e  jz
Vr  V0i L e
 j z

L   L e  j L
L
ZL
z0
z
- La tensión total en la línea es el resultado de la interferencia (suma)
de la onda incidente con la reflejada:
V ( z )  Vi  Vr


V ( z )  V0i e  jz  L e  jz

- Como consecuencia de la interferencia se produce una onda
estacionaria. Para estudiar sus propiedades debemos obtener | V ( z ) |
12
2.3 Ondas estacionarias

V ( z )  V0i e  jz  L e  jz


V ( z )  V0i e  jz 1   L e  j 2 z  L 
- Teniendo en cuenta que
| e  jz | 1
y
e  j 2 z  L   cos(2 z   L )  j sin(2 z   L )

2
2


V
(
z
)

V
1


cos(
2

z


)


sin
(2 z   L )
- Resulta
L
L
L
0i
- Operando
2

V ( z )  V0i 1  2  L cos(2z   L )  
- Haciendo en cambio z  

2
L

V ()  V0i 1  2  L cos(2   L )   L2

1
2
1
2

1
2
- La función |V(z)| (o |V(l)|) se denomina patrón de onda estacionaria
de tensión.
13
2.3 Ondas estacionarias
- Propiedades del patrón de onda estacionaria
- |V(z)| es una función periódica de periodo 
2 ya que
 2

cos2 z   L   cos
z   L 
 2

- Los máximos de tensión ocurren cuando cos2  z   L   1 y valen:
V ( z ) max  V0i (1   L )
- Los mínimos de tensión ocurren cuando
cos2 z   L   1 y valen:
V ( z ) max  V0i (1   L )
- La distancia entre 2 máximos (o 2 mínimos) consecutivos es 
- La distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos es
- Veamos algunos casos:
2
 4
14
2.3 Ondas estacionarias
V0i  1 V
Cortocircuito
Circuito Abierto
V ()
V ()

5
4
3
4
Z 0 ,  

4
ZL  0
2
2
1
1
0
0

5
4
3
4

4
Z 0 ,  
L  1
L  1
Vmax  2 V Vmin  0
Vmax  2 V Vmin  0
0
0
ZL  
15
2.3 Ondas estacionarias
Carga Adaptada
Carga Arbitraria
V ()
V ()
2
2

2
1
1

2

5
4
3
4
Z 0 ,  

4
0
0
Z L  Z0

5
4
3
4
Z 0 ,  

4
0
0
ZL
L  0
Vmax  1 V Vmin  1 V
16
- Ejemplo 4: Considérese una línea de transmisión sin pérdidas
terminada en una carga. El coeficiente de reflexión en el plano de la
carga vale L  0.5e  j 60 º y la longitud de onda   24 cm . Determinar la
posición del mínimo y el máximo en tensión más cercanos a la carga.
Ulaby 6ª Exercise 2.10
Solución:
- Los máximos de tensión ocurren para cos2 z   L   1
- Haciendo el cambio z   queda cos2    L   1 , de donde
2  max   L  2n (n  0,1,2...)
 max 
2n   L
(n  0,1,2...)
2
- como  L  0 , el primer máximo se corresponderá con n = 1:
 max 
2   L 2   3

 10 cm
2
4 
17
- Los mínimos de tensión ocurren para cos2 z   L   1
- Empleando la variable l: cos2    L   1
2  min   L  n (n  1,3,...)
- Para n = 1:
 min 
 min 
n   L
(n  1,3,...)
2
 L    3

 4 cm
2
4 
- Se observa que, efectivamente  max   min  10  4  6 cm , que se
corresponde con  4
18
2.3 Ondas estacionarias
- Definimos la Razón de Onda Estacionaria ROE (también S o VSWR)
como el cociente entre las tensiones máxima y mínima del patrón de
onda estacionaria en tensión.
ROE 
V ( z ) max
V ( z ) min
1 L

1 L
- Veamos algunos ejemplos:
- Carga adaptada.
 L  0  ROE  1
- Corto circuito y circuito abierto.
 L  1  ROE  
- Carga pasiva de valor arbitrario.
 L  [0, 1]  ROE  [1, )
19
- Ejemplo 5: Una línea de transmisión sin pérdidas y de impedancia
característica 140 Ohm está terminada en una impedancia de carga
Z L  (280  j182)  . Sabiendo que la longitud de onda en la línea vale
72 cm, calcular:
a) El coeficiente de reflexión en el plano de la carga
b) La razón de onda estacionaria
c) La posición de los máximos de tensión
d) La posición de los mínimos de tensión
Ulaby 6ª Exercise 2.11
Solución:
a) El coef de refl en los terminales de la carga vale
L 
Z L  Z 0 280  j182  140

 0.439  j 0.243  0.5e  j 29 º
Z L  Z 0 280  j182  140
b) La razón de onda estacionaria en la línea es
ROE 
1   L 1  0.5

3
1   L 1  0.5
20
c) Localización de los máximos de tensión
Según el ejemplo anterior, los máximos se sitúan a distancias
 max 
2 n   L
(n  0,1,2...)
2
Teniendo en cuenta que   2  resulta:  max 
 L n

(n  0,1,2...)
4
2
Además  L  29º  29 180 rad
Luego
n 
n

 29
 max    L    72
   (2.9  36n) cm (n  0,1,2...)
 180  4 2 
 4 2 
d) Localización de los mínimos de tensión
 min   max 

4
 (20.9  36n) cm (n  0,1,2...)
21
2.3 Ondas estacionarias
- Análogamente al caso de la tensión, también es posible definir un
un patrón de onda estacionaria respecto de la corriente.
- Siguiendo el mismo procedimiento que con la tensión se llega a
I ( ) 
V0i
Z0
1  2
L
cos(2    L )  
2
L

1
2
V ()
I ()

3
2


2
0
0
- Los máximos de corriente están en la misma posición que los mínimos
22
de tensión y viceversa
2.4 Impedancia de entrada (Ulaby 2.7-2.8)
- Consideramos una línea de transmisión sin pérdidas y desadaptada
- Sabemos que en una línea desadaptada, tanto la tensión como la
corriente totales son función de la posición, z
- Por tanto, el cociente V(z)/I(z) también será función de la posición
- Entonces, podemos definir la impedancia “vista” en una posición
arbitraria de la línea (z), como
Z ( z) 
V ( z)
I ( z)
Z 0 ,  
Z (z )
ZL
23
2.4 Impedancia de entrada
- Suele interesar el valor de Z(z) en los terminales de entrada de una
línea cargada. En este caso, se denomina impedancia de entrada Zin:

V ( z )  V0i e  jz  L e  jz

V0i  jz
I ( z) 
e
 L e  jz
Z0
Z  Z0
L  L
Z L  Z0

Z 0 ,  
V (z )

ZL
I (z )
Z in
z  

z0
z
- La impedancia de entrada se puede expresar como:
 e  jz  L e  jz
V ( z)
 Z 0   jz
Z in ( z ) 
 j z


I ( z)
e
e
L


Z L  jZ 0 tan(  z )
  Z 0
Z 0  jZ L tan(  z )

24
2.4 Impedancia de entrada
- La expresión anterior indica que la impedancia varía a lo largo de la
línea
- Al igual que el patrón de onda estacionaria, la impedancia es una
función de periodo espacial  2
- Los máximos y mínimos de la impedancia se sitúan en las mismas
posiciones que los máximos y mínimos de tensión, respectivamente.
25
2.4 Impedancia de entrada
- Los máximos de impedancia valen:
| V ( z ) |max | V0i | (1   L )
1 L
Z |max 

 Z0
 Z 0 ROE
| I ( z ) |min | V0i | (1   )
1 L
L
Z0
- y los mínimos:
Z0
| V ( z ) |min | V0i | (1   L )
1 L
Z |min 

 Z0

| I ( z ) |max | V0i | (1   )
1   L ROE
L
Z0
- Se observa que los valores de Z |max y Z |min son reales
- Evaluando la expresión de Z in ( z ) en z = -l, resulta
Z L  jZ 0 tan(  )
Z in ()  Z 0
Z 0  jZ L tan(  )
26
- Ejemplo 6: Se dispone de una línea bifiliar en aire, sin pérdidas, de
impedancia característica 50 Ohm y de longitud 2.5 m. Si la línea está
terminada en una impedancia de carga Z L  (40  j 20)  a la frecuencia
de 300 MHz, determinar la impedancia de entrada.
Ulaby 6ª P 2.27
Solución:
- La impedancia de entrada vale:
Z in  Z 0
- donde:
Z L  jZ 0 tan(  )
Z 0  jZ L tan(  )
Z in
Z 0 ,  
ZL
z

Z L  (40  j 20) 
z0
z  
Z 0  50 
  2.5 m
 2f 2  300 106
6
 

 2 rad/m
f  300 10 Hz
8
vp
c
3 10
Línea en aire  v p  c
  2  2.5  5
(es una línea 5  ( 2) )
0
Z L  jZ 0 tan(  )
Z in  Z 0
 Z L  (40  j 20) 
Z 0  jZ L tan(  )
0
27
2.4 Impedancia de entrada
- Veamos algunos casos particulares de la expresión para Z in :
- Línea de media onda:
m

con m  0, 1, 2,...
2
Z 0 ,  
Z in
- Luego
  m
- Entonces
z  
m

ZL
z0
z
2
2 
 m
 2
Z in (m  2)  Z L
¡ La impedancia de entrada es
igual a la impedancia de carga!
28
2.4 Impedancia de entrada
- Línea de cuarto de onda:
  (2m  1)

4
- Luego

2 
  (2m  1)
 (2m  1)
 4
2
- Entonces
2
0
Z 0 ,  
Z in
Z
Z in ( 4) 
ZL
- Normalizando
con m  0, 1, 2,...
z     (2m  1) 
4
ZL
z
z0
1
Z in ( 4) 
ZL
¡ La impedancia de entrada normalizada es
el inverso de la impedancia de carga normalizada!
- Una aplicación muy importante de la línea cuarto de onda es
la adaptación de impedancias.
29
Ejemplo 7: Una línea de impedancia Z 0  50  esta terminada en una
carga de Z L  100  . Como consecuencia se producen reflexiones en la
carga. Para eliminar estas reflexiones (adaptar la carga a la línea)
se emplea un transformador  4 como se indica en la figura.
Determinar la impedancia característica de dicho transformador.
Z0
¿ Zt ?
ZL
Ulaby 6ª Ex 2-10
 4
Solución:
- La situación inicial (sin transformador) se muestra en la figura
- En este caso hay reflexión ya que
Z  Z0
L  L
0
Z L  Z0
Z0
ZL
30
- Para eliminar la reflexión utilizamos un transformador como indica
el enunciado
Z0
¿ Zt ?
Z in
ZL
 4
- El coef. de refl. en los terminales de la línea vale

Z in  Z 0
Z in  Z 0
- Para eliminar la reflexión debe verificarse Z in  Z 0
- Por otra parte, según sabemos Z in 
2
t
Z
ZL
Z t2
 Z0
ZL
- Por tanto
Z t  Z 0 Z L  50 100  70.7 
31
2.4 Impedancia de entrada
- Línea terminada en cortocircuito:
ZL  0
L  1
ROE  
- Tensión en la línea:
V ()  2 jV0i sin( )
Z in
Z 0 ,  

0
- Corriente en la línea:
I ()  2 VZ00i cos( )
- Impedancia:
Z insc ()  jZ 0 tan( )
- Si 0     
- Si 
2  Z in es inductiva
2      Z in es capacitiva
32
2.4 Impedancia de entrada
- Línea terminada en circuito abierto:
ZL  
L  1
ROE  
- Tensión en la línea:
V ()  2V0i cos( )
Z in
Z 0 ,  

0
- Corriente en la línea:
I ()  2 j VZ00i sin( )
- Impedancia:
Z inoc ()   jZ 0 cot( )
- Si 0     
- Si 
2  Z in es capacitiva
2      Z in es inductiva
33
- Ejemplo 8: Determinar la longitud física de una línea de transmisión
de 50 Ohm terminada en cortocircuito para que su impedancia de
entrada a la frecuencia de 2.25 GHz sea igual a la impedancia de un
condensador de 4 pF. La velocidad de fase en la línea vale 0.75c.
Ulaby 6ª Ex 2-8
Solución:
- Debe verificarse: Z insc ()  Z C
1
jC
1
- de donde tan(  )  
 0.3537
Z 0C
- luego
jZ 0 tan(  ) 
Z insc
- entonces
Z 0 ,  
ZL  0

(4º cuadrante)
  0.34 rad
  arctan(0.3537)  
 0.34    2.8 rad (2º cuadrante)
- Tomamos la solución del 2º cuadrante (la de longitud más corta)

2.8


2.8v p

2.8  0.75  3  108

 4.46 cm
9
2  2.25  10
34
2.4 Impedancia de entrada
- Reflexión y transmisión en la unión de dos líneas de transmisión:
- Consideramos la unión de 2 líneas semiinfinitas de distinta impedancia:
Z1 ,  1 
Vi  V0i e  1z
Vt  V0t e  2 z
Vr  V0 r e   1z
Z 2 ,  2 
z0
- Una onda incidente se propaga por la línea 1
- Cuando la onda incidente “ve” un cambio de impedancia se produce
una onda reflejada y otra transmitida
- Queremos calcular los coefs. de reflexión  y de transmisión T
en la unión (z = 0)
V0 r

V0i
V0t
T
V0i
35
2.4 Impedancia de entrada
- El problema planteado no cambia si tomamos una longitud finita
de línea 2 y la terminamos en su impedancia característica.
Z1 ,  1 
Vi  V0i e  1z
Vr  V0 r e
Vt  V0t e  2 z
Z 2 ,  2 
 1z
Z2
z0
- Tomamos una longitud nula de línea 2
Z1 ,  1 
Vi  V0i e  1z
Vr  V0 r e
Z2
 1z
z0
- Este problema ya lo estudiamos en el apartado 2.2
36
2.4 Impedancia de entrada
- El coef. de refl. vale:
Z 2  Z1

Z 2  Z1
Z1 ,  1 
Vi  V0i e  1z
Vr  V0 r e
z0
- Para calcular el coef. de trans. tenemos en cuenta que
- Dividiendo por
V0i resulta T  1  
Z2
 1z
V0t  V0i  V0 r
2Z 2
T
Z1  Z 2
- Es usual expresar , T en decibelios a través de cantidades
conocidas como Pérdidas de Retorno
RL  -20 log |  | (dB)
(Return Loss)
- y Pérdidas de Inserción
IL  -20 log | T | (dB)
(Insertion Loss)
37
- Ejemplo 9: Calcular, en el circuito de la figura, las potencias incidente,
reflejada y transmitida a la línea de 100 Ohm.
50 
 2
Z1  50 
2V

Pi
Pr
Z 2  100 
Pt
Ulaby 6ª P 2.44
Solución:
- Comenzaremos calculando la potencia incidente. Para ello, consideramos
la siguiente situación
50 
50 

Pi
2V
- Entonces
Z1  50 
2V
1 Vi 2 1 1
Pi 

 10 mW
2 Ri 2 50

Vi

Ri  50 
38
- Teniendo en cuenta la línea  2 no tiene pérdidas, la potencia
transmitida es la misma que la potencia disipada en la impedancia de
entrada vista desde los terminales del generador
50 
 2
Pi
Z1  50 
2V
50 

Pt
Pr
Z 2  100 
2V
Z in

Vin

Z in
100 4
Vin  2
 V
150 3
- En este caso Z in  100 
1 Vin2 1 (4 3) 2
Pt 

 8.9 mW
2 Rin 2 100
- El coef de refl vale

Z 2  Z1 100  50 1


Z 2  Z1 100  50 3
- La potencia reflejada resulta
1
Pr |  | Pi  10 mW  1.1 mW
9
2
39
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador (Pozar 2.6)
- Consideramos una línea sin pérdidas terminada en una impedancia de
carga ZL y alimentada mediante un generador de impedancia ZG
ZG

VG
Z in
- En general
I in

Vin

IL
Z 0 ,  
z  
L

VL

ZL
z0
ZG  Z0  Z L
- Como ya sabemos:
Z L  jZ 0 tan( )
Z in  Z 0
Z 0  jZ L tan( )
Z L  Z0
L 
Z L  Z0
40
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador
- Potencia media entregada a la carga:

1
P   Vin I in*
2

1  V 
  Vin

2  Z 
*
in
*
in
- Sustituyendo la expresión de Vin :
Z in 
1
2
P  | Vg |
2
| Z g  Z in |2
Z in  Rin  jX in
Z G  RG  jX G
ZG
VG
I in

Vin

Z in
Z in
Vin  Vg
Z g  Z in
Rin
1
2
P  | Vg |
2
( Rg  Rin ) 2  ( X g  X in ) 2
- Veamos varios casos:
41
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador
1. Impedancia de carga adaptada a la línea:
- En este caso:
ZG
L  0
Z in  Z 0
2
1 | Vg |
P
Z0
2
2 | Z g  Z0 |
2. Línea adaptada el generador:
- En este caso:
0
I in

Vin


VG
Z in
Z L  Z0
z  
IL
Z 0 ,  
L

VL

ZL
z0
Z in  Z g
Rg
1
2
P  | Vg |
2
4( Rg2  X g2 )
- Surge la siguiente cuestión: ¿cuál es la impedancia Z in óptima para
que se produzca la máxima transferencia de potencia a la carga?
42
2.5 Desadaptación en la carga y en el generador
ZG
- Según sabemos de la Teoría de Circuitos,
la respuesta es:
Z in  Z G*
!Adaptación Conjugada!
VG
I in

Vin

Z in
(suponemos Z G fija)
- La potencia máxima transferida a la carga vale
Pmax
| VG |2

8 RG
- Comentarios:
- Este resultado no implica que los coefs. de refl.  y  sean nulos
- Si Z g es real este resultado coincide con el caso 2 de la hoja anterior
- Siempre hay pérdida de potencia en el generador. La mayor
eficiencia en la transmisión se consigue haciendo Z g lo más pequeña
posible
43
- Ejemplo 10: Calcular la potencia entregada a la carga en el circuito de
la figura. Vg  15 2 V, Z g  75 , Z 0  75 , Z L  (60  j 40) ,   0.7.
ZG

VG
Z0
z  
ZL
z0
Pozar 3ª 2.15
Solución:
- Según hemos visto, la potencia entregada a la carga vale
P
Z in 
1
| Vg | 2
2
| Z g  Z in |2
- La impedancia de entrada en z   se calcula mediante la expresión:
Z in  Z 0
Z L  jZ 0 tan( )
Z 0  jZ L tan( )
44
- Los datos para calcular Z in son: Z 0  75 , Z L  (60  j 40) ,   0.7.
- Entonces
- Luego
 
2


2

0.7  1.4
Z L  jZ 0 tan( )
Z in  Z 0
Z 0  jZ L tan( )
 75
60  j 40  j 75 tan(1.4 )
 (48.19  j 27.33) 
75  j (60  j 40) tan(1.4 )
- Sustituyendo en la expresión de la potencia
P
Z in 
1
48.19
2
| Vg |2

15
 0.68 W
2
2
2
| Z g  Z in |
| 75  48.19  j 27.33 |
- La máxima potencia entregable a la carga es (no lo piden)
Pmax 
| Vg |2
8 Rg
 0.75 W
45
2.6 Respuesta transitoria (Ulaby 2-12)
- Hasta ahora hemos estudiado líneas de transmisión en el dominio de la
frecuencia
- En este apartado abordamos en estudio de la respuesta transitoria
- Para ello, consideramos un circuito formado por un generador de
continua conectado a una línea de transmisión sin pérdidas y terminada
en una impedancia de carga resistiva pura, tal como se muestra en
la figura.
- Supondremos que el interruptor se cierra en t = 0.
46
2.6 Respuesta transitoria
- Comenzaremos estudiando el circuito en el instante t = 0+
- Justo en el instante en el que se cierra el interruptor, la impedancia
vista desde los terminales del generador (z=0) es igual a la impedancia
característica de la línea.
- Por tanto, el circuito equivalente en t = 0+ es:
- Entonces, la tensión y la corriente, en la entrada de la línea, en t = 0+
valen:
Vg Z 0
V
I1 
g
Rg  Z 0
V1 
Rg  Z 0
- En consecuencia, la señal comienza a propagarse con velocidad vp a lo
largo de la línea
47
2.6 Respuesta transitoria
- En un intervalo de tiempo T=l/vp
la señal habrá llegado hasta la
posición de la carga (z=l).
- Si, por ejemplo, hacemos una
foto en el instante t = T/2
observamos que la señal ha
recorrido la mitad de la línea
- En t = T, la señal llega a la carga
y se produce otra señal reflejada
V1  LV1
RL  Z 0
L 
RL  Z 0
- Después de la primera reflexión,
la tensión en la línea es la suma de
la onda incidente y la reflejada
V  V1  V1
- de donde
V  (1  L )V1
48
2.6 Respuesta transitoria
- Por ejemplo, la tensión en la
línea en t = 3T/2 sería la
mostrada en la figura.
- La onda V2 viaja hacia la carga,
sumándose a la señal que ya existe
en la línea
V  V1  V1  V2
- de donde
V  (1  L  L g )V1
- Por ejemplo, la tensión en la
línea en t = 5T/2 sería la
mostrada en la figura

- En t = 2T, la señal V1 llega a la
carga (z = l). Si Rg  Z 0 , se
produce una nueva onda reflejada

2

g 1
V V
g 
Rg  Z 0
Rg  Z 0
49
2.6 Respuesta transitoria
- Este proceso de múltiples reflexiones continua indefinidamente
- Después de mucho tiempo (t  inf) se alcanza el estado estacionario
- La tensión en la línea en el estado estacionario vale
V  V1  V1  V2  V2  V3  V3  ...
- Escribiendo esta expresión en función de tensión incidente V1
V  (1  L  L g  L2 g  L2 g2  L3g2  ...)V1
 (1  L )(1  L g  L2 g2  L3g3  ...)V1
1
- El segundo paréntesis es una serie geométrica cuya suma vale
1  L g
- Entonces
1  L
V 
V1
1  L g
50
2.6 Respuesta transitoria

- Sustituyendo las expresiones de V1 , L , g , y simplificando, resulta
RL
V  Vg
Rg  RL
- Esta expresión representa la tensión en estado estacionario que,
como cabe esperar, coincide con el resultado obtenido en un análisis
de DC en el que la línea se sustituye por una conexión ideal.
- La corriente en estado estacionario vale
Vg
V
I 

RL Rg  RL
51
2.6 Respuesta transitoria
Diagramas espacio-tiempo
- En general, resulta difícil calcular la tensión y/o corriente en un punto
de la línea debido a las múltiples reflexiones que se producen
- Esta tarea se simplifica considerablemente mediante el uso de
representaciones gráficas de tipo espacio-tiempo
- Un diagrama espacio-tiempo consta de:
- Un eje horizontal que se utiliza para representar la posición a lo
largo de la línea
- Un eje vertical que representa el tiempo
- En z = 0 y z = l aparecen indicados los coefs. de refl. en el generador
y en la carga, respectivamente.
- El diagrama consiste en una línea en zigzag que indica la evolución de
la onda de tensión (o corriente) en la línea
52
2.6 Respuesta transitoria
- La primera recta (del zigzag) indica que la onda V1 comienza a
propagarse hacia z > 0 en z = t = 0, llegando a la carga (z = l) en t = T.
- La segunda recta indica que la onda reflejada se propaga hacia z < 0
llegando al generador en t = 2T y así sucesivamente
- En cada reflexión se multiplica por
el coef. de refl. correspondiente
- Este diagrama permite calcular
la tensión total en un punto y en
un instante determinados
- Así, para calcular V(z1,t1) hacemos
lo siguiente:
- se traza una vertical en z = z1,
desde t = 0 hasta t = t1
- se suman todas las ondas que
corten a la vertical trazada
- Por ejemplo
V ( 4 ,4T )  (1  L  g L  g L2 )V1
53
2.6 Respuesta transitoria
- La variación temporal de la tensión en una posición específica z1 de
la línea puede determinarse dibujando los valores de V(z1,t) obtenidos
al recorrer la línea vertical z = z1 desde t=0 hasta el instante deseado
- En la figura se muestra la tensión en z = l/4
54
- Ejemplo 10: El circuito de la figura se excita con un pulso de tensión
rectangular de altura 5 V y de anchura 1 ns. Calcular la forma de
onda de la tensión en los terminales de la carga sabiendo que la
línea de transmisión tiene 0.6 m de longitud y la velocidad de fase
es c.
Ulaby 6ª Ex 2.15
Solución:
- Trataremos el pulso como la suma de 2 funciones salto
5V
5V
1 ns
0
1 ns
0
5V
- Debemos dibujar el diagrama espacio-tiempo incluyendo las 2
funciones salto.
55
- Antes hay que calcular los parámetros necesarios:
- Tiempo necesario para recorrer la línea:
0.6

T 
 2 ns
8
c 3 10
- Coefs. de refl.:
Rg  Z 0
12.5  50
g 

 0.6
Rg  Z 0 12.5  50
RL  Z 0 150  50
L 

 0.5
RL  Z 0 150  50
- Tensión inicial:

1
V 
Vg Z 0
Rg  Z 0

5  50
 4 V (para el escalón positivo)
12.5  50
- Para el escalón negativo será -4V
56
- Se obtiene el siguiente diagrama
espacio temporal
- Con la información de este diagrama
se puede obtener la representación
de la tensión en la carga que se
muestra abajo
57