Práctico Espacio Vectorial, Conjuntos Generadores y Base

Matemática 2
Práctico
Conjuntos Generadores y Base
Universidad de la República
Centro Universitario de la Región Este
1.
Indicar si las siguientes afirmaciones son V o F justificando brevemente, las operaciones son las usuales:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
El
El
El
El
El
conjunto
conjunto
conjunto
conjunto
conjunto
de
de
de
de
de
vectores (x, y, 1) es un S.E.V. (subespacio vectorial) en R3 .
vectores (x, 0, z) es un S.E.V. en R3 .
matrices diagonales 3 × 3 es un E.V. (espacio vectorial).
matrices triangulares 3 × 3 es un E.V.
polinomios de grado 3 es un E.V.
2.
Indicar si los siguientes conjuntos son subespacios de R2 o R3 según corresponda:
x
2
∈ R : −x + y = 0
(a) S =
y
x
∈ R2 : −x + y = 1
(b) S =
y
x
2
∈R :x≥0
(c) S =
y
 

 x

3


y ∈ R : x + 2y − z = 0
(d) S =


z
3.
Demostrar las siguientes afirmaciones:
x
2
(a) S =
∈ R : ax + by = 0 es un subespacio de R2 cualesquiera sean a y b reales.
y
 

 x

(b) S = y  ∈ R3 : ax + by + cz = 0 es un subespacio de R3 cualesquiera sean a, b y c reales.


z
4.
En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar las condiciones que deben cumplir las componentes de
un vector para que pertenezca al subespacio generado por U .
2
1
(a) U =
3
5
1
−3
(b) U =
0
0
1
(c) U =
−1
   
1 
 −1
(d) U =  1  2


1
3
1
Matemática 2
5.
6.
2015
       
−1
1
0 
 4







−2
1
2
0
(e) U =


1
1
0
1
     
1
1 
 −1
Sea U =  1  2 1


1
1
3
(a) Demostrar que U es generador de R3 .
(b) Modificar uno de los vectores de U de modo de obtener un nuevo generador de R3 .
(c) Probar que U es l.i.. ¿Es posible reducir U de manera de obtener otro generador de R3 ?
 

 x

3


y ∈ R , −x + y + z = 0 .
Sea S =


z
Hallar dos conjuntos U y V diferentes que sean generadores de S.
7.
2
2
Si
n U = {u
o1 , u2 } es un generador de R determine si los siguientes conjuntos son generadores de R : (a)
~u1 , ~u2 , ~0 (b) {~u1 , ~u2 , ~u1 − ~u2 } (c) {~u1 } (d){~u1 , ~u1 + ~u2 }
8.
Demostrar que S es subespacio de R3 , encuentre una base de S y determine su dimensión:
 

 x

(a) S = y  ∈ R3 , 3x + y − 2z = 0


z
 

 x

(b) S = y  ∈ R3 , x − y = 0


z
 

 x

3


y ∈ R , x − y = 0, z = 0
(c) S =


z
 


 x
(d) S = y  ∈ R3 , z = 0


z
     
3
−2 
 −1





0
2
2
Sea U =


0
2
1
9.
(a) Demostrar que S es una base de R3
 
 
 
−1
2
3
(b) Calcular las coordenadas de ~u =  0 , ~v = 2, w
~ = 0.
0
2
2
10.
Sean S y V dos subespacios de Rn tales que dim(S) = dim(V ). ¿Esto implica que necesariamente S = V?
Justifique.
11.
Sea F = {(1, 1, 1), (2, 0, 3), (0, 0, −1)} ⊂ R3 Verificar que es imposible encontrar vectores de R3 que no sean
c.l. de F . ¿ Que se concluye acerca de F ?
12.
Justifica que los siguientes subconjuntos de Rn son l.d.
n
o
(a) v~1 , v~2 , ..., v~p , ~0
(b) {v~1 , v~2 , ..., v~p , 5v~2 }
(c) {v~1 , v~2 , ..., v~p , v~1 + v~2 }
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Matemática 2
13.
Indicar conjuntos de vectores en cada una de las siguientes condiciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
14.
2015
Que
Que
Uno
Que
Que
Que
Que
sea base de R3 que no contenga el vector (1, 0, 0).
sea l.i. pero que no sea generador de R3 .
que sea generador de R3 pero que no sea l.i.
no sea ni l.i. ni generador de R3 .
sea base de R3 y contenga el vector (1, 1, 1).
sea l.d. y contenga un subconjunto que sea base de R3 .
sea l.d. y no contenga un subconjunto que sea base de R3 .
Justificar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Si
Si
Si
Si
Si
Si
B
B
B
B
B
B
es generador de Rn y B ⊂ F entonces F es generador de Rn
es generador de Rn y H ⊂ B entonces H es generador de Rn
⊂ Rn l.i. y B ⊂ F entonces F es un conjunto l.i.
⊂ Rn l.i. y H ⊂ B entonces H es un conjunto l.i.
⊂ Rn l.d. y B ⊂ F entonces F es un conjunto l.d.
⊂ Rn l.d. y H ⊂ B entonces H es un conjunto l.d.
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