Evolución de los niveles de pensamiento geométrico de estudiantes

Resumen: D-019
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2005
Evolución de los niveles de pensamiento geométrico
de estudiantes del Profesorado en Matemática.
Beltrametti, María C. - Esquivel, Mónica L. - Ferrari, Elvira E.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura
Avenida Libertad 5470. 3400. Corrientes. Argentina.
E-mail/ Teléfono y Fax: macribel@exa.unne.edu.ar Te / fax.03783 473930.
Antecedentes
Esta presentación forma parte del proyecto denominado Teoría de Van Hiele y Cabrí Géométre en la construcción del
concepto de transformaciones rígidas del plano: Simetría Axial y es continuación de los trabajos “Determinación de
los niveles de pensamiento geométrico según la Teoría de Van Hiele de estudiantes de Profesorado de Matemática al
inicio de un curso de Geometría Métrica.”(Beltrametti, Esquivel, Ferrari, 2003) y Análisis de la evolución de los
niveles de pensamiento geométrico en la construcción del concepto de Transformaciones Rígidas del Plano según la
Teoría de Van Hiele y el empleo del Soft Cabrí Géomètre de estudiantes del Profesorado en Matemática que cursaron
la asignatura Geometría Métrica y Trigonometría en el año 2003 (Beltrametti, Esquivel, Ferrari, 2004).
El objetivo principal del proyecto consiste en caracterizar las posibilidades y progresos de los estudiantes del
Profesorado en Matemática que cursan la asignatura Geometría Métrica y Trigonometría en la construcción del
concepto de Simetría Axial empleando el Modelo de Van Hiel y el soft Cabrí Géomètre a efectos de verificar o rechazar
la hipótesis de que los alumnos que emplean o utilizan el soft Cabrí en una situación de enseñanza aprendizaje avanzan
del nivel de deducción informal a niveles superiores según la Teoría de Van Hiele.
Marco Teórico
La determinación de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico en los alumnos del Profesorado en
Matemática que cursaron la asignatura Geometría Métrica y Trigonometría en el año 2004 en la Facultad de Ciencia
Exactas y Naturales y Agrimensura de la UNNE se basa en la Teoría de Niveles del pensamiento geométrico de Van
Hiele (Modelo de Van Hiele) y en el empleo del Soft Cabrí Géomètre. El modelo de Van Hiele explica cómo se
produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es posible ayudarlos a pasar de un nivel a
otro. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco niveles de razonamiento y dentro de cada nivel propone una
serie de fases de aprendizaje para pasar de un nivel a otro. El aprendizaje es comparado a un proceso inductivo. En un
nivel n -1 pueden ser estudiadas ciertas cuestiones limitadas de los objetos geométricos. En el nivel n se suponen
conocidas los conocimientos del nivel n -1 y se explicitan las relaciones que estaban implícitas en el nivel anterior,
aumentando así el grado de comprensión del conocimiento. Así los objetos de nivel n son extensiones del nivel n-1.A
los niveles se los denomina de la siguiente manera: Nivel 0: Básico, reconocimiento o visualización. Nivel 1: Análisis,
Nivel 2: Deducción informal u orden. Nivel 3: Deducción. Nivel 4: Rigor y en geometría se caracterizan de la siguiente
manera: Nivel 0: Los individuos perciben las figuras como un todo global. No reconocen las partes y componentes de
las figuras. No explicitan las propiedades determinantes de las figuras. Pueden sin embargo producir una copia de cada
figura particular o reconocerla. Nivel I: Los individuos pueden analizar las partes y propiedades particulares de las
figuras, pero no explicitan relaciones entre distintas familias de figuras. Las propiedades de las figuras se establecen
experimentalmente. Nivel 2: Los individuos determinan las figuras por sus propiedades pero son incapaces de organizar
una secuencia de razonamientos que justifiquen sus observaciones. Se pueden comprender las primeras definiciones que
describen las interrelaciones con sus partes constituyentes. Nivel 3: Los individuos pueden desarrollar secuencias de
proposiciones para deducir una propiedad de otra. Sin embargo, no se reconoce la necesidad del rigor en los
razonamientos. Nivel 4: Los individuos están capacitados para analizar el grado de rigor de varios sistemas deductivos.
Pueden apreciar la consistencia, la independencia y la completitud de los axiomas de los fundamentos de la geometría.
Este último nivel por su alto grado de abstracción debe ser considerado en una categoría aparte, tal como sugieren los
últimos estudios sobre el tema. (Alsina, Fortuny y Pérez Gómez, 1997).Van Hiele propuso cinco fases de enseñanza que
guían al docente en el diseño de experiencias de aprendizaje adecuadas para el progreso del estudiante en su aprendizaje
de la Geometría. La descripción de las fases dadas por Alsina (1997), es la siguiente: Fase1: Discernimiento. En esta
fase se presentan a los estudiantes situaciones de trabajo dando el vocabulario y las observaciones necesarias para el
trabajo. Fase 2: Orientación dirigida. En esta fase se propone a los estudiantes una secuencia de actividades graduadas
a realizar y explorar. La ejecución y la reflexión propuesta servirá de motor para propiciar el avance en los niveles de
conocimiento. Fase 3: Explicitación. Los estudiantes, una vez realizadas las experiencias, expresan sus resultados y
comentarios. Durante esta fase el estudiante estructura el sistema de relaciones exploradas. Fase 4: Orientación libre.
Con los conocimientos adquiridos, los estudiantes aplican sus conocimientos de forma significativa a otras situaciones
distintas de las presentadas, pero con una estructura comparable. Fase 5:Integración. Los objetos y las relaciones son
unificadas e interiorizadas en su sistema mental de conocimientos. Superada la fase 5, se alcanza un nuevo nivel.
El software Cabrí Géomètre es un programa computacional desarrollado por Ives Baulac, Franck Bellemain y JeanMarie Laborde del laboratorio de estructuras discretas y de didáctica LSD2 del Instituto de Informática y Matemáticas
Aplicadas de Grenoble (IMAG) Francia, de la Universidad Joseph Fourier de Grenoble con el apoyo del Centro
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Nacional de Investigación Científica (CNRS) de Francia, que permite visualizar los objetos geométricos creados,
moverlos y conservar sus propiedades e identificar sus invariantes.
Estas características hacen que la visualización estática de una construcción sea modificada por una dinámica
redundando en una mejor comprensión de los conceptos que se desean aprender. El análisis de cuestiones métricas con
Cabrí permite seguir el siguiente proceso Diseñar→Explorar→Modelizar→Conjeturar→Definir→Argumentar
→Demostrar para inducir descubrimientos. El empleo de este programa permite diagnosticar las habilidades iniciales,
planificar un aprendizaje secuencial, evaluar los progresos y tomar decisiones que reorienten la enseñanza de temas
geométricos y al contar con un “sub-menú histórico”, las acciones realizadas en las fases de construcciones geométricas
pueden ser retomadas por los alumnos, siendo posible así analizar el desarrollo de los procesos mentales.
Método
Para el análisis de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico en el tema Simetría Axial en los estudiantes
del Profesorado el Matemática del curso de Geometría Métrica y Trigonometría 2004 según la Teoría de Van Hiele y
el empleo del soft Cabrí, se implementaron dos test a quince estudiantes (test inicial y final), diseñados siguiendo las
propuestas que presentan Jaime Pastor y Gutiérrez Rodríguez (1996), de manera que las respuestas de los alumnos
pudieran ser evaluadas desde la teoría de niveles de Van Hiele y siguiendo la caracterización propuesta por Alsina,
Fortuny y Pérez Gómez (1997).
El test inicial se aplicó luego de proporcionar conceptos teóricos sobre el tema y consistió en la realización de
actividades características de los Niveles: 0, I y II considerando las diferentes fases (Discernimiento, Orientación
dirigida, Explicitación, Orientación Libre, Integración) siguiendo las propuestas para el tema Transformaciones
Rígidas brindadas por Alsina, Fortuny y Pérez Gómez, (1997, Cuadro 2.1 Pág. 39) y partiendo de los resultados
obtenidos en el test de diagnóstico inicial presentado en el trabajo “Determinación de los niveles de pensamiento
geométrico según la Teoría de Van Hiele en estudiantes de Profesorado de Matemática al inicio de un curso de
Geometría Métrica.”(Beltrametti, Esquivel, Ferrari, 2003).
El segundo test (Test final) se aplicó luego de haber trabajado el tema en las clases prácticas en las cuales se
presentaron situaciones de aprendizaje que incluyeron las fases para cada uno de los niveles 0, I, II, y III, y a efectos
de verificar o rechazar la hipótesis de trabajo: que los alumnos que emplean o utilizan el soft Cabrí en una situación de
enseñanza aprendizaje avanzan del nivel de deducción informal a niveles superiores según la Teoría de Van Hiele, se
realizó un estudio comparativo, dividiendo el grupo de estudiantes en dos de igual número de integrantes, donde uno de
ellos realizó las tareas empleando el soft Cabrí y el otro prácticas tradicionales. Para la asignación de niveles de
razonamiento de los alumnos se tuvieron en cuenta tanto el tipo de respuesta a una situación planteada como el grado de
adquisición de un nivel de razonamiento.
El proceso de evaluación del nivel del razonamiento se inició asignando el nivel según el tipo de respuesta que dio cada
estudiante a las cuestiones que conformaron el test escrito. Se tuvo especialmente en cuenta que “Las diferentes
capacidades de razonamiento asociadas a los niveles de Van Hiele no sólo se reflejan en la forma de resolver los
problemas propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a un determinado vocabulario”
(Jaime y Gutiérrez. Pág. 313) y que “para determinar el nivel de razonamiento lo más importante no es evaluar si los
estudiantes contestan bien o mal, sino cómo contestan y por qué lo hacen así” (Jaime y Gutiérrez, 1990,Pág. 321).
Para establecer las diferencias entre ambos grupos de estudiantes se utilizó el test χ2 de homogeneidad en tabla de
contingencia al nivel de significación del 5%.
Discusión de los resultados:
Test Inicial: De los quince alumnos encuestados, ninguno se encuentra en Nivel 0, nueve (60%) en Nivel I y seis
(40%) en el Nivel II, es decir que el 100% de los estudiantes fueron capaces de identificar una transformación rígida,
aplicar una transformación rígida a una figura, e identificar y definir los elementos básicos de una transformación. El
60% de los alumnos pudo encontrar las propiedades de las imágenes de puntos del plano por medio de una
transformación rígida,
descubrir y enunciar las propiedades que permanecen invariantes en una transformación rígida. El 40% fue capaz de
efectuar diferentes composiciones de transformaciones, justificar los pasos una demostración guiada sobre el producto
de dos simetrías axiales, de componer dos reflexiones, y caracterizar en forma general la composición de dos
reflexiones. (Cuadro I)
Test Final: De los quince alumnos encuestados, dos (13%) se encuentra en Nivel I, diez (67%) en Nivel II y tres
(20%) en el Nivel III, es decir que el 13 % de los estudiantes sólo pudo encontrar las propiedades de las imágenes de
puntos del plano por medio de una transformación rígida, descubrir y enunciar las propiedades que permanecen
invariantes en una transformación axial. El 67% es capaz de efectuar diferentes composiciones de transformaciones,
explicitar todas las posibilidades de componer dos reflexiones, descomponer un movimiento y caracterizar en forma
general la composición de dos reflexiones y únicamente el 20% es capaz de realizar el estudio de cualquier isometría
como producto de reflexiones.
(Cuadro II)
Comparando los niveles alcanzados por cada uno de los estudiantes en los tests Inicial y Final, se ha observado que
seis estudiantes (40%) se mantuvieron en el mismo nivel de razonamiento, mientras que nueve (60%), adquirieron un
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nuevo nivel de los cuales ocho ( 53%) pasaron al nivel inmediato superior, mientras que un estudiantes (6%) superó dos
niveles. (Cuadro III y Cuadro IV)
Por otra parte, cinco (71%) de los siete estudiantes que realizaron las prácticas empleando el soft Cabrí pasaron a un
nivel superior de razonamiento, mientras que dos (29%), permanecieron en el mismo nivel. De los ocho estudiantes
que realizaron prácticas tradicionales, cuatro (50%) alcanzaron niveles superiores y cuatro (50%) no variaron su
situación anterior. (Cuadro V)
Cuadro I (Niveles alcanzados Test Inicial)
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 2
40%
0
9
6
0
Nivel 3
0
0%
Nivel 1
60%
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Cuadro II (Niveles alcanzados Test final)
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
0
2
10
3
Nivel 3
20%
8
6
6
4
2
3
2
0 0
Igual
nivel
40%
0
0
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
10
9
10
Nivel 1
13%
Nivel 2
67%
Nivel 0
12
Nivel 0
0%
Nivel 1
Test Inicial
Nivel 2
Subiero
n de
nivel
60%
Subieron de
nivel
Mantuvieron
igual nivel
Nivel 3
Test Final
Cuadrado III (Cuadro comparativo test inicial test final)
resultado
Total
no
mejoraro
mejoraro n
n
Cabri no Count
4
4
8
% within 50%
50% 100,0%
Cabri
si Count
2
5
7
% within 29%
71% 100,0%
Cabri
Total
Count
6
9
15
% within 40,0%
60,0% 100,0%
Cabri
Cuadro IV
Variación de niveles
6
4
2
0
1
Con Cabrí
Cuadro V
2
Sin Cabrí
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Conclusiones:
Los resultados obtenidos indican que la mayoría de los estudiantes han adquirido niveles superiores de razonamiento al
que poseían al inicio del estudio del tema Simetría Axial considerando los tests inicial y final respectivamente, sin
embargo persiste la dificultad de desarrollar secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de otra y del rigor
en los razonamientos, lo que es deseable para los estudiantes de un curso universitario de Geometría. Al inicio de la
experiencia el 40 % de los estudiantes se encontraba en el Nivel II y los resultados del test final señalan que
únicamente tres estudiantes (50%) han logrado el Nivel III de razonamiento. Cabe destacar que si bien el 67% de los
estudiantes al finalizar la experiencia se encuentran en el Nivel II, muchos han podido alcanzar fases del Nivel III, pero
no pueden superarlo pues persiste la imposibilidad de formalizar razonamientos deductivos y expresarlos
rigurosamente, característica fundamental de este Nivel. Del grupo de estudiantes que empleó el soft Cabrí Géomètre
en sus prácticas, el 71% pasó a un nivel superior de razonamiento, mientras que el 29%, permaneció en el mismo nivel.
De los estudiantes que no emplearon el soft, el 50% permaneció en el mismo nivel y el 50% pasó al nivel superior.Teniendo en cuenta estos valores, los estudiantes que emplearon el soft, obtuvieron mejores rendimientos lo que
validaría nuestra hipótesis de trabajo, sin embargo no se encontraron diferencias significativas en el rendimiento de los
dos grupos de alumnos, mediante el estadístico (χ2 = 0.0.714, gl =1, p = 0.398) debido al tamaño reducido de la
muestra.
Nuevamente, el trabajar con el Soft Cabrí despertó en los estudiantes, tanto la curiosidad e interés por la geometría
como por la herramienta misma, sus posibilidades y limitaciones y permitió alcanzar uno de los objetivos propuestos
que era el conocimiento por parte de los futuros docentes de una tecnología educativa y de la posibilidad de acceder a
prácticas pedagógicas diferentes. A los efectos de evaluar el impacto del empleo del soft en el aprendizaje del tema se
interrogó a los alumnos mediante una encuesta sobre los aspectos que consideran que esta herramienta contribuye a
facilitar su aprendizaje. Todos los estudiantes coincidieron en que el empleo del soft facilita la visualización, la
construcción, la realización de composiciones de simetrías y la descomposición de movimientos, pero no lo destacan
como facilitador del proceso de demostración.
Los resultados del estudio tienen implicaciones prácticas tanto para los docentes como para los estudiantes, aún
teniendo en cuenta limitaciones tales como: a) las características del grupo: el tamaño de la muestra: es pequeño debido
al escaso número de alumnos que cursaron la asignatura en el ciclo lectivo 2004; b) la selección de las actividades:
encontrar actividades significativas de cada una de las fases correspondientes a cada nivel como así también la
determinación de los criterios de éxito ha sido muy difícil, y si bien se ha seguido bibliografía específica no podemos
dejar de lado factores subjetivos, coincidiendo con Mayberry (1983); c) el tiempo asignado a la práctica con
ordenadores no ha sido el deseado debido a la organización curricular como así también el tiempo que los estudiantes
destinan al cumplimiento de las tareas obligatorias (clases prácticas) y no obligatorias (clases teóricas) ya que el
conocimiento por parte de los docentes acerca del tipo de razonamiento empleado por sus estudiantes les permitirá crear
situaciones de aprendizaje que faciliten a sus alumnos avanzar en su nivel de razonamiento y evitar grandes fracasos al
proponerle actividades que no están en condiciones de realizar.
Bibliografía:
Alsina, C.; Fortuny, J.M.; Pérez, R. (1997): ¿Por qué geometría? (Colección "Educación matemática en Secundaria" Nº
5). Síntesis: Madrid, España. Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1996): El grupo de las isometrías del plano (colección
"Educación matemática en Secundaria" Nº 13). (Síntesis: Madrid, España).Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1990): Una
propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele, en Teoría y Práctica en
Educación Matemática. Ediciones Alfar. Sevilla. (1990), Gutiérrez, A.; Jaime, A. (1991 (Síntesis: Madrid). Mayberry
Joanne “Los niveles de pensamiento geométrico en estudiantes para profesor”Jornal for Research in Mathematics
Education (1983)Vol.14.n.1Pp. 58-69.Traducción de Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla. Determinación
de los niveles de pensamiento geométrico según la Teoría de Van Hiele en estudiantes de Profesorado de Matemática
al
inicio
de
un
curso
de
Geometría
Métrica.(Beltrametti,
Esquivel,
Ferrari(2003)http//www.unne./cyt/comunicaciones/educación_D013.