Handout 6 - Universidad de Montevideo

Universidad de Montevideo
Macroeconomia II
Danilo R. Trupkin
Notas Adicionales
Interpretacion Economica del Control Optimo
Dado que la primera aplicacion que hemos visto sobre optimizacion dinamica en tiempo
continuo, es el modelo de crecimiento de Ramsey, entonces usaremos dicha notacion como
punto de partida para el presente analisis. Recordemos que el problema del agente representativo era maximizar su “lifetime utility”,
Z
U=
∞
u(c(t))e−ρt dt,
(1)
0
sujeto a
dk
≡ f (k(t)) − c(t) − δk(t).
dt
(2)
Recordemos tambien que c es la variable de control y k, la variable de estado.
El procedimiento de control optimo se basa en formar el Hamiltoniano
H = u(c(t))e−ρt + λ[f (k(t)) − c(t) − δk(t)],
donde λ es la variable de co-estado asociada a la variable de estado k.
Una alternativa levemente diferente dentro del control optimo (ver Dorfman, 1969), es
definir
V (t) = λ(t)k(t)
como el valor del stock de capital en cada punto del tiempo t, con λ como el “precio sombra”
de una unidad de capital. Diferenciando esta expresion respecto del tiempo nos da
.
.
.
V (t) = λ(t)k(t) + λ(t)k(t).
(3)
La expresion (3) nos dice que, en cada punto del tiempo, el valor del stock de capital
cambia, primero, por los cambios en el stock fisico y, segundo, por los cambios en el precio
sombra de cada unidad. La interpretacion del problema de optimizacion, entonces, es que
para cada punto en el tiempo el plan optimo debe maximizar la suma de, i) la utilidad
directa provista por el consumo, y ii) la tasa a la cual el capital esta cambiando [expresion
(3)]. Esto se puede expresar a traves de un “Hamiltoniando modificado”,
1
.
.
e = u(c(t))e−ρt + λ(t)k(t) + λ(t)k(t).
H
Tomando las 2 variables c y k como aquellas cuyas secuencias deben ser elegidas por el
agente, entonces el procedimiento actual se basa en maximizar el Hamiltoniano modificado
.
con respecto a estas variables [donde reemplazamos k(t) por la ecuacion (2)], lo cual nos
da las siguientes condiciones de primer orden:
e
∂H
= uc e−ρt − λ = 0
∂c
(4)
e
.
∂H
= λ[f 0 (k(t)) − δ] + λ = 0
∂k
(5)
Notemos que la expresion (5) es identica a la que vimos en clase, donde teniamos que
.
∂H
= λ[f 0 (k(t)) − δ] = −λ.
∂k
(6)
De esta manera, la interpretacion economica descripta en las presentes notas muestra
resumidamente una forma alternativa de entender esta ultima expresion (6).
Referencia:
• Dorfman, R. (1969), “An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”,
American Economic Review, 59(5), 817-831.
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