Tema 4. Contraste de hipótesis.

Contraste de hipótesis
Estadística aplicada a la empresa II
Prof. D. Juan José Pérez Castejón
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CONTRASTE DE HIPOTESIS
Toca ahora la revisión de la tercera técnica de inferencia citada
en temas anteriores: los contraste o tests de hipótesis. Dentro del
campo de los contrastes haremos una amplia revisión tanto de
métodos paramétricos como no paramétricos, a diferencia de lo
hecho con otras técnicas donde fundamentalmente tratamos
siempre el área paramétrico. Ello obliga a dividir en dos temas, el
estudio que haremos de los contrastes. En el primer tema, se
efectuará una amplia introducción general de la cuestión,
centrándonos después en los contrastes de tipo paramétrico. La
revisión de los no paramétricos quedará para el segundo tema.
Tras la introducción de carácter general con la que comenzará
el presente tema, en las secciones posteriores trataremos diferentes
situaciones paramétricas donde se precise contrastar una hipótesis.
Veremos cómo desarrollar contrastes para ellas buscando, si es
posible, el mejor de todos. Comprobaremos el amplio de abanico de
diferentes situaciones que pueden surgir y de respuestas mas o
menos eficaces que se pueden hallar a esa cuestión. Una ultima
sección estará dedicada a las poblaciones normales y a examinar
los contrastes más importante para ellas.
Introducción. Conceptos fundamentales.
La técnica del contraste de hipótesis es una técnica diseñada
de manera que aporte una regla de decisión. Lo que con esa regla
se trata de decidir es si se acepta o rechaza cierta hipótesis que se
ha planteado previamente y que afecta a la variable poblacional X
en estudio. Desde el principio debe advertirse que como toda
técnica que use el razonamiento de tipo inductivo, un contraste
estadístico de hipótesis no pretende ser una demostración
irrefutable de la veracidad o falsedad de la hipótesis
correspondiente. La regla de decisión que a él está asociada solo
nos indicará si dada la muestra de X que se haya observado,
podemos aceptar la hipótesis propuesta como hipótesis plausible
con esos datos, o bien rechazarla como hipótesis difícilmente
compatible con ellos. Desde luego, sea cual sea la decisión que se
adopte, se estará sujeto a la posibilidad de error. La técnica de
contraste de hipótesis no estará completa mientras que la regla de
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decisión que genera, no se acompañe de una medida del grado de
certidumbre de cometer error.
La inducción de tipo paramétrico ha ocupado casi por completo
la totalidad de los contenidos expuestos en temas anteriores. En lo
que se refiere a los contrastes de hipótesis, en cambio, se
comentarán abundantes métodos tanto de carácter paramétrico
como no paramétrico. Los revisión de los segundos se pospondrá al
tema siguiente, mientras que el presente se compondrá de
comentarios de carácter general o de carácter específicamente
paramétrico.
Las técnicas inductivas de tipo paramétrico se desarrollan
todas bajo el supuesto de que para X se ha establecido que X~fπ(x)
ó pπ(x). π es el único elemento desconocido de la distribución de
esa variable y por tanto, es aquel en el que se centra toda la
investigación. Bajo un supuesto así, las hipótesis que se contrastan
en el presente tema, vienen dadas en términos de π. En concreto,
plantear una hipótesis sobre π consistirá en seleccionar cierto
subconjunto ∏0 del espacio paramétrico ∏ y afirmar que π∈∏0. Esa
será, en principio, la hipótesis acerca de la cual nos plantearemos
su aceptación o rechazo.
Realmente, una vez que se plantea una hipótesis como la
anterior, de forma natural aparece su hipótesis contraria. Esta se
obtendría fijando ahora la atención en ∏1=∏–∏0 y afirmando que
π∈∏1. Obviamente, aceptar(rechazar) la primera hipótesis
planteada, es equivalente a rechazar(aceptar) esta segunda. A la
hipótesis π∈∏0 se acostumbra a llamarla hipótesis nula, y se la
denota como H0. Por contra, a π∈∏1 se la conoce como hipótesis
alternativa, H1. Aunque por ahora pueda parecerlo, los papeles que
juegan hipótesis nula y alternativa no son simétricos ni
intercambiables y, por ello, es importante elegir adecuadamente
desde un principio cuál es la que ocupa cada uno de los dos
lugares.
Dentro de las hipótesis posibles, ya se planteen como hipótesis
nulas o alternativas, se suele distinguir entre hipótesis simples e
hipótesis compuestas. En general, ya sea de tipo paramétrico o no,
una hipótesis es simple si bajo ella, la distribución de X queda
perfectamente especificada. En el caso paramétrico, una hipótesis
simple es una en la que se afirme que π=π0 siendo π0 cierto valor fijo
conocido.
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Ya en el caso paramétrico y cuando π es unidimensional, una
clase de hipótesis de gran interés es la constituida por las que se
conocen como hipótesis a un lado (laterales) que son aquellas del
estilo π≥π0, π<π0, etc., siendo π0 cierto valor fijo conocido. Esta
definición es fácilmente extensible al caso en el que π no sea
unidimensional pero la hipótesis correspondiente se refiera
únicamente a una de sus componentes.
El papel de los estadísticos muestrales dentro de los contrastes
de hipótesis, sigue siendo fundamental. En particular, para formular
la regla de decisión se escoge cierto estadístico T(X1,...,Xn), que no
podrá depender de ningún elemento desconocido, empezando por
π, y se considera también la función determinista a partir de la cual
está definido, T(x1,...,xn). Con el segundo de esos elementos se
establece lo que se conoce como región crítica: C={(x1,...,xn)∈Rn/
T(x1,...,xn) cumple cierta condición}. Finalmente se decide rechazar
la hipótesis nula H0 (aceptar la alternativa H1) si el valor que se
observe de la muestra cae dentro de C, esto es, si T(X1,...,Xn)
cumple la condición que define a C. Obviamente, algunas de las
cuestiones importantes que se plantean y que habrá que resolver
durante el tema serán: ¿cómo se selecciona T?, ¿cuál es la
condición con la que se determina C?.
Como se deduce del párrafo anterior, es costumbre expresar
un contraste en términos de la región crítica C o región de rechazo
de la hipótesis nula. También suele ser habitual que la condición
sobre T que determina a C –o sobre sus componente– sea de la
forma T>c, T<c, T>c1 ó T<c2, o similar, siendo las constantes c, c1,...
números reales fijos que se conocen con el nombre de valores
críticos del test.
Un procedimiento como el descrito no evita la posibilidad de
tomar una decisión equivocada. Supongamos, por ejemplo, que el
valor verdadero de π pertenezca a H0. Si en ese caso existe
posibilidad de que (X1,...,Xn)∈C, entonces cuando los valores
muestrales que se observen supongan de hecho el que ese suceso
se dé, la hipótesis nula acabará siendo rechazada aún siendo
cierta. De manera análoga, es fácil concluir también cuando ocurrirá
un rechazo de la hipótesis alternativa en el caso en el que ella sea
la cierta. Tenemos pues dos posibles situaciones para el verdadero
valor del parámetro y dos opciones entre las que tenemos que
elegir con nuestra decisión. En principio, cualquier posibilidad de π
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se puede combinar con cualquier tipo de decisión y, como se ha
razonado, algunas de esas combinaciones dan lugar a una toma de
decisión equivocada. En la siguiente tabla aparecen reflejadas
todas las combinaciones posibles, y se les da diferentes
denominaciones a los dos tipos distintos de error que se pueden
cometer:
Estado de la naturaleza⇒
⇓Decisión tomada
Aceptar H0
Rechazar H0
H0 cierta
H1 cierta
Decisión correcta
Error (de tipo I)
Error (de tipo II)
Decisión correcta
La medición del grado de certidumbre que existe de cometer
error de tipo I y error de tipo II, va a ser posible gracias a lo que se
conoce como la función potencia del contraste. Tal función depende
de π y vale β(π)=Pπ((X1,...,Xn)∈C)=Pπ(T(X1,...,Xn) cumpla la
condición que define a C). Cuando H0 sea la hipótesis cierta, y si
π∈H0 es el verdadero valor del parámetro, β(π) mediría para tal
valor, la probabilidad de rechazar la nula (y cometer error de tipo I).
Por el contrario, cuando H1 sea la hipótesis cierta, siendo π∈H1, β(π)
mediría la probabilidad de rechazar la nula, por lo que en este caso
la cantidad 1–β(π) sería la que cuantificaría la probabilidad de
cometer error de tipo II.
Si ya se encontraron numerosas dificultades en temas pasados
a la hora de hallar ‘el mejor estimador’ o ‘el intervalo de confianza
mas preciso’, los problemas van a aumentar cuando lo que se
busca es ‘el mejor contraste’ para unas hipótesis dadas. Problemas
que aparecen ya con la propia definición de ese concepto. ¿Cuál
debería ser la definición formal del ‘mejor contraste’? Parece que se
debería de buscar aquel test que hiciera lo más pequeñas posibles
todas las probabilidades de cometer error, sea este del tipo que
sea. Sin embargo ello parece un poco difícil pues si minimizar esas
probabilidades bajo la nula supondría minimizar β(π) en esa zona
del espacio paramétrico, por contra, hacer lo mismo bajo la
alternativa requeriría minimizar 1–β(π) bajo esta otra zona, o lo que
es igual, maximizar β(π) bajo ella. Se puede intuir ya que será difícil
que exista en la práctica un concepto que requiera, a la vez,
maximizar y minimizar la misma función aunque sea en áreas
diferentes de su dominio de definición.
Los requerimientos para que un contraste pueda ser
considerado el mejor, van a tener que ser mucho menores que los
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esbozados más arriba. Se recogen más adelante en la definición de
test uniformemente mas potente (test u.m.p.) de tamaño α, donde α
es cierta constante elegida por nosotros y tal que 0<α<1. Para
poder entender adecuadamente esa definición, se debe de precisar
primero lo que se denomina como tamaño de un test.
Sea el contraste de H0 contra H1. Sea C su correspondiente
región crítica. Se denomina tamaño de ese contraste al
supπ∈H0β(π)=supπ∈H0Pπ((X1,...,Xn)∈C). Como se aprecia, el tamaño de
un test no es nada mas que el máximo de la probabilidad de
cometer error de tipo I con ese test, esto es, de rechazar H0 siendo
cierta.
Definición de test u.m.p.: Sea α cierta constante prefijada de
antemano tal que 0<α<1. Sea un contraste de H0 contra H1 cuya
función potencia y región crítica denotaremos como β(π) y C
respectivamente. Tal test se dirá que es el contraste uniformemente
más potente (u.m.p.) de tamaño α para esas hipótesis si:
a) Su tamaño es menor o igual que α.
b) Cualquier otro contraste para las mismas hipótesis y también
de tamaño menor o igual a α, cuya función potencia denotaremos
β’(π), cumple que β’(π)≤β(π) ∀π∈H1.
Como se deduce, lo que se exige a un test u.m.p. es bastante
menos de lo que al principio se indicaba. Primero se escoge α, el
nivel máximo de probabilidad de cometer error de tipo I que
estamos dispuestos a admitir, y se trabaja solo con tests cuyos
tamaños estén por debajo de tal nivel. Después, entre ellos se
selecciona como test u.m.p. a aquel que maximiza la potencia bajo
todo punto de la alternativa, o lo que es igual, el que minimice la
probabilidad de cometer error de tipo II (1–β(π)).
Nótese, que como ya se adelantó, en el contraste u.m.p., el
trato que se da a cada hipótesis no es simétrico. La hipótesis nula
es, en cierto sentido, la más ‘mimada’ pues bajo ella no estamos
dispuestos a admitir un test cuyo nivel de error pueda estar alguna
vez por encima de una cantidad α que nos parezca correcta. El
valor que se suele escoger para α es más bien pequeño (entre el
1% y el 10%). Por su lado, bajo la alternativa, solo nos
preocupamos de que la probabilidad de cometer error de tipo I sea
lo más pequeña posible pero sin exigir que de hecho esté por
debajo de algún valor que estemos dispuestos a aceptar. Nótese
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que aún siendo mínimos, los valores 1–β(π) pueden permanecer en
valores elevados.
Realmente, como ha ocurrido con toda definición en la que se
ha exigido cierta optimización uniforme (o sea, válida para todo
valor de π en una cierta región), la segunda condición para ser test
u.m.p., por ser tan exigente, impide afirmar que con seguridad ese
tipo de test siempre existirá. Así, del contraste u.m.p. no tendremos
siempre asegurada su existencia. En el resto del tema,
investigaremos métodos de obtención de contrastes y, si es posible,
se investigará si el método desarrollado produce contrastes u.m.p.
Las distintas secciones del tema se organizarán según el tipo de
hipótesis a tratar y/o el método de obtención del contraste que se
emplee. Veremos que a medida que la situación se haga más y más
compleja, tanto por el tipo de hipótesis que se analiza como por la
técnica de obtención de contrastes que se emplee, serán cada vez
mas raros resultados que afirmen que los tests que se obtengan
sean u.m.p.
Hipótesis simples y contrastes u.m.p. Lema de NeymanPearson.
Los ejemplos en los que las hipótesis a contrastar son simples,
especialmente si lo son tanto la nula como la alternativa, resultan
poco realistas. Sin embargo, sí son interesantes pues sirven como
introducción sencilla de los métodos de obtención de contrastes
u.m.p. y porque asociado a ellos surge uno de los resultados
fundamentales en la cuestión de los contrastes de hipótesis: el
Lema de Neyman-Pearson.
Supongamos que se desea contrastar H0:π=π0 contra H1:π=π1
siendo π0 y π1 valores fijos conocidos. Como se ha comentado
antes, en el ámbito paramétrico, esa debe ser la forma que adopten
tanto H0 como H1, para poder ser hipótesis simples. Alguno de los
conceptos generales revisados anteriormente, se simplifican mucho
en esta situación. Nótese que, para empezar, la potencia de un
contraste tendrá solamente dos valores diferentes: β(π0)=β0 y
β(π1)=β1. El tamaño de un contraste será siempre β0. Y un test
u.m.p. de tamaño α será uno que β0≤α y que además cumpla que
β1≥β’1 para todo otro contraste de potencia β’(π) que también
cumpla β’0≤α
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Se utiliza para contrastar tales hipótesis, un método con una
fundamentación muy intuitiva. Retomemos la función de
verosimilitud muestral, en sus dos versiones, determinista y
aleatoria:
Lπ(x1,...,xn)
y
Lπ(X1,...,Xn).
Recuérdense
las
interpretaciones probabilísticas que cada una tiene. Por existir
solamente dos valores posibles para π, existirán dos posibles
expresiones para esas funciones: Lπ0(x1,...,xn) y Lπ1(x1,...,xn) en el
caso determinista, y expresiones análogas en el aleatorio.
El cociente Λc(x1,...,xn)=Lπ0(x1,...,xn)/Lπ1(x1,...,xn) puede servir
para comparar entre sí las probabilidades que tiene la muestra de,
bajo nula y alternativa, caer en un punto (x1,...,xn) escogido de
manera determinista. Si ahora lo valoramos sobre la muestra,
Λc(X1,...,Xn), lo que tendríamos es un cociente que compara las
probabilidades a priori que teníamos, bajo H0 y H1 respectivamente,
de que la muestra tome los valores que se observen en ella. Nótese
que Λc(X1,...,Xn) es una v.a. mayor o igual que 0 siempre y, además,
es un estadístico que no depende de valores desconocidos pues en
él intervienen las cantidades conocidas π0 y π1.
Un valor de Λc(X1,...,Xn) más bien pequeño sería señal de que
la probabilidad bajo H0 de que se dieran los valores observados en
la muestra, es mucho menor que bajo H1. Análogamente, un valor
alto indicaría lo contrario. Un criterio bastante intuitivo que se podría
pensar en adoptar es el de rechazar H0 cuando se observe una
muestra en la que Λc tome un valor lo bastante pequeño. El
siguiente lema, que es un resultado fundamental para el desarrollo
de la teoría de contrastes, demuestra que ese proceder es correcto
pues aporta el contraste u.m.p. de H0 frente a H1. Además, concreta
de manera precisa la vaga expresión ‘valor lo bastante pequeño’
que hemos empleado al introducir el criterio.
Lema de Neyman–Pearson: Supongamos que X~fπ(x) ó pπ(x)
y que se desea contrastar que H0:π=π0 contra H1:π=π1. Supongamos
que para ello se dispone de una m.a.s. de X, X1,...,Xn. Un test con
región crítica C es el test u.m.p. de tamaño α para ello si cumple:
a) Su tamaño es exactamente α: β(π0)=Pπ0((X1,...,Xn)∈C)=α
b) Existe cierta constante k>0 tal que ∀(x1,...,xn)∈C se cumple
que Λc(x1,...,xn)≤k, mientras que ∀(x1,...,xn)∉C se cumple que
Λc(x1,...,xn)≥k.
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El Lema anterior es una herramienta que puede emplearse en
dos sentidos. En primer lugar, directamente se puede usar para
comprobar si un test disponible es u.m.p. Se trataría de demostrar si
el test cumple las condiciones señaladas.
Pero de forma inversa, y como resultado mucho más
interesante, el Lema también se puede usar para construir un test
u.m.p. Si por definición, se construye un contraste que tenga como
región crítica C={(x1,...,xn)∈Rn t.q. Λc(x1,...,xn)≤k} cuidando de que k
sea tal que Pπ0((X1,...,Xn)∈C)=Pπ0(Λc(X1,...,Xn)≤k)=α, tendremos ya
un test que cumple las condiciones del Lema y que será por ello el
u.m.p. de tamaño α.
Desde luego, el Lema en sí no asegura que siempre sea
posible llevar adelante el proceso señalado en el párrafo anterior.
Solo asegura que caso de poder hacerse, el resultado es un test
u.m.p. Un caso relevante y frecuente en el que no está asegurada la
finalización con éxito del proceso, es aquel en el que la distribución
de Λc sea discreta bajo H0, lo que suele ocurrir, a su vez, cuando
también lo es la distribución de X. En tal caso, debido al
característico crecimiento a saltos de la función de distribución de
Λc, fácilmente puede ocurrir que para un α determinado, la
constante k tal que Pπ0(Λc≤k)=α simplemente no exista.
Afortunadamente, en estos casos de ocurrencia tan frecuente, para
aquellos α en lo que sí que exista Pπ0(Λc≤k)=α, el proceso sí que se
desarrolla en las mismas condiciones generales que se han
descrito.
La variedad y complejidad que puede tener la distribución del
estadístico Λc(X1,...,Xn), puede provocar que, en las aplicaciones
prácticas del Lema de Neyman–Pearson, aún sabiendo que una
constante k como la que venimos tratando existe, su cálculo
efectivo se convierta en una tarea complicada o imposible de
realizar. Por ello, si es factible transformar Λc≤k en otra expresión
equivalente pero en la que los estadísticos involucrados sean mas
fáciles de manejar, es aconsejable proceder a tal transformación.
Ello permitiría trabajar con la región crítica C de manera más
sencilla. El saber que la nueva expresión es equivalente a la de
partida y que por ello, se trata de la misma región de rechazo, nos
aseguraría que seguimos ajustándonos a los requerimientos del
Lema y que por tanto se trata de un test u.m.p., test que sin
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embargo no vendría dado en términos del complejo estadístico Λc
sino de otro(s) de manejo más sencillo.
Finalmente, indicaremos que los puntos (x1,...,xn) de Rn sobre
los que realmente hay que decidir si se incluyen o no en la región C
del test derivado del Lema, son aquellos en los que no se anulan ni
Lπ0(x1,...,xn) ni Lπ1(x1,...,xn). Ello es así porque si en un punto es
Lπ0(x1,...,xn)=0, obviamente ese punto debe pertenecer siempre a C,
mientras que si es Lπ1(x1,...,xn)=0, entonces ese punto debe ser de
aceptación de H0. Aún más, de los puntos en los que ambas
cantidades sean nulas, no hay ni que preocuparse, pues en ellos, la
muestra nunca caería. Podemos concluir que el cociente Λc –en su
versión determinista o aleatoria–, precisa solo ser calculado y
manejado cuando ambos, numerador y denominador, sean no
nulos. Este punto, al igual que el señalado en el párrafo anterior,
simplifica mucho la aplicación práctica del Lema de Neyman–
Pearson.
Ejemplo 1: El tiempo de vida (en días) de un determinado
componente sigue una distribución e(λ). Se desea contrastar si la
media de esa distribución es 175 (H0) ó 200 (H1) días. Empleando
un tamaño del 5%, razone qué decisión tomaría si en una m.a.s. de
60 componentes, se obtuvieron los siguientes resultados:
Tiempo de vida de los componentes (medido en días)
339.0
68.1
21.6
386.7
319.6
224.2 283.6 557.1 800.0 86.3 329.3 534.2 142.6 221.4 162.0 826.5
275.2 211.5 101.6 168.0 69.2 446.3 611.7
8.6 20.6 72.5 23.0
125.2 59.5 330.7 182.2 244.4 12.8 204.8 60.7 62.5 136.8 147.1
75.6 44.8 459.9 121.6 223.5 122.8 36.2 24.6 22.5 56.7 19.7
152.1 511.6 227.6 34.6
3.1 30.6 91.8 935.4 402.6 65.0 12.6
Hipótesis compuestas y test u.m.p.
Cuando las hipótesis pasan de ser simples a ser compuestas –
con lo que, a su vez, se vuelven en general más realistas– ya no es
siempre posible encontrar test u.m.p para contrastarlas. Solo se
puede asegurar su existencia restringiendo el tipo de hipótesis y
haciendo lo mismo con el tipo de distribución de probabilidad de la
v.a. poblacional. Además de ser necesarias otras restricciones
adicionales.
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En lo que sigue, supondremos, para empezar, que estamos
trabajando con una población en la que el parámetro desconocido
es unidimensional. Por otro lado, también supondremos que las
hipótesis paramétricas que consideramos, tanto en el caso de la
nula como de la alternativa, serán todas del tipo a un lado. Ya se
definió anteriormente cómo son tales hipótesis aunque, más
adelante, al presentar los resultados pertinentes se concretará más
las forma de las hipótesis laterales con las que se trabajará.
La restricción que se debe imponer sobre el tipo de distribución
poblacional para conseguir llegar a contrastes u.m.p. requiere una
definición pausada, definición que se va a hacer a continuación.
Adelantemos que lo que se trata es de exigir que la familia de
distribuciones, fπ(x) ó pπ(x), que se ha supuesto desde el principio
cierta para X, cumpla la propiedad que se conoce como la de
cociente de verosimilitudes monótono (c.v.m.).
Para caracterizar adecuadamente la propiedad de c.v.m.
empezaremos por definir lo que denominaremos a partir de ahora
como
el
cociente
de
verosimilitudes,
Λc(x1,...,xn,π0,π1)=
=Lπ0(x1,...,xn)/Lπ1(x1,...,xn), que es la extensión directa de la versión
determinista del cociente Λc introducido en relación con el Lema de
Neyman–Pearson. Nótese que por no tratar ahora con hipótesis
simples, las cantidades π0 y π1 serán dos cantidades
unidimensionales, pues π lo es, pero no fijas, sino que varían dentro
de todo el espacio paramétrico. Λc dependerá de ellas, por lo que
las hemos introducido como dos argumentos más de esa función.
Realmente vamos a imponer siempre la condición de que π0<π1. Y
por razones análogas a las que se comentaron al final de la sección
anterior, Λc(x1,...,xn,π0,π1) se calculará únicamente en los puntos en
los que su numerador y denominador no se anule.
La familia de densidades o de probabilidades fπ(x) ó pπ(x), se
dirá a partir de ahora que posee cociente de verosimilitudes
monónotono si Λc(x1,...,xn,π0,π1) se puede poner de la forma
Λc(x1,...,xn,π0,π1)=h(T(x1,...,xn),π0,π1) ∀(x1,...,xn,π0,π1) siendo T una
función que tome valores en la recta real y que no dependa ni de π0
ni de π1, y h una función monótona (no creciente o no decreciente)
como función de su primer argumento, esto es, de T. Como se
deduce de la igualdad anterior, la clave de la descomposición
exigida es que la dependencia que Λc presente respecto de los xi,
se concentre de forma monótona en la función real T(x1,...,xn).
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La mayoría –pero no todas– de las familias de distribuciones
continuas y discretas que habitualmente manejamos, son a su vez
familias c.v.m. Aparte de la propia definición, existe otra forma de
comprobar si una familia tiene esta propiedad, si previamente
demostramos que esa familia es una familia exponencial. Una vez
demostrado el carácter de familia exponencial y si la
descomposición de fπ(x) ó pπ(x) como tal es a( π)b( x )e c ( π )d( x ) –nótese
que aquí es k=1–, entonces si se cumple que c(π) es una función no
creciente o no decreciente de π, la familia de distribuciones tiene
c.v.m. siendo T(x1,...,xn)=∑d(xi). Hay que advertir que, en este caso,
el comportamiento de la función h respecto de T presenta el
carácter inverso que c respecto de π, esto es, es monótona no
decreciente si c(π) es no creciente y viceversa.
Como ya se ha adelantado, la propiedad c.v.m. resulta clave
para que la existencia de contrastes u.m.p. se pueda extender a
hipótesis compuestas. El siguiente resultado afirma tal cosa. En él
se señalan, los tipos de hipótesis compuestas para los que se
puede hallar contrastes u.m.p. y cuáles son estos. Aunque no se va
a hacer una demostración rigurosa del resultado sí que se puede
indicar que tal demostración se basa en una aplicación directa a las
nuevas hipótesis, del test suministrado por el Lema de Neyman–
Pearson, y una comprobación de que también es u.m.p. para ellas,
hecho este último que es posible gracias a la propiedad de c.v.m.
Teorema: Supongamos cierto todo lo indicado hasta ahora (π
unidimensional y X~fπ(x) ó pπ(x) familia con c.v.m) y supongamos
que disponemos de una m.a.s. de X. Entonces, para algunas
hipótesis compuestas, existe un contraste u.m.p. de tamaño α. La
lista de hipótesis y la de los contrastes u.m.p. correspondientes es
la siguiente:
– Caso 1: H0:π≤π0 (ó π=π0) contra H1: π>π0
– si h es no decreciente como función de T, entonces la región
crítica C={(x1,...,xn)∈Rn t.q. T(x1,...,xn)≤k} corresponde a un test
u.m.p.
– si h es no creciente como función de T, entonces la región
crítica C={(x1,...,xn)∈Rn t.q. T(x1,...,xn)≥k} corresponde a un test
u.m.p.
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– Caso 2: H0:π≥π0 (ó π=π0) contra H1: π<π0
– si h es no decreciente como función de T, entonces la región
crítica C={(x1,...,xn)∈Rn t.q. T(x1,...,xn)≥k} corresponde a un test
u.m.p.
– si h es no creciente como función de T, entonces la región
crítica C={(x1,...,xn)∈Rn t.q. T(x1,...,xn)≤k} corresponde a un test
u.m.p.
siendo, en todo caso, k la constante tal que Pπ0((X1,...,Xn)∈C)=α.
Ejemplo 1 (continuación): En la misma situación y con los
mismos datos del Ejemplo 1, es el fabricante del componente quien
afirma que el tiempo medio de vida de sus componentes es mayor
que el de la competencia (este último se establece en 175 días).
Empleando un tamaño del 5%, razone si se debe aceptar o
rechazar esa afirmación.
Ejemplo 2: De una población P(λ) se conoce que λ, como
mínimo, vale cierto valor conocido λ0. Como contrastaría a un
tamaño dado, si λ es igual a ese valor o no. ¿Es ese el test u.m.p.?.
Como ocurría con el Lema de Neyman–Person, el resultado
anterior no asegura realmente que el test u.m.p. vaya a existir. Su
existencia realmente queda pendiente de que una constante como
la k descrita se pueda hallar. Este hecho tendrá lugar siempre si el
estadístico T(X1,...,Xn) es de tipo continuo, y solo para ciertos α, si
fuera de tipo discreto.
Al aplicar estos contrastes se aprecia con toda su fuerza, un
hecho general que se advirtió en la introducción del tema, y que se
refería al diferente comportamiento de la función potencia de un
tests u.m.p. bajo nula o alternativa. Los tests que se derivan de la
aplicación de c.v.m. tienen, obviamente, probabilidad de error de
tipo I que no supera a α para níngun valor de π en la nula. Sin
embargo, el hecho de haber minimizado la probabilidad de error de
tipo II no quiere decir que para todos los valores de la alternativa tal
probabilidad llegue a ser muy baja. De hecho, en las aplicaciones
prácticas se obtienen tests u.m.p. con una función potencia bajo la
altenativa –o sea, uno menos la probabilidad de error de tipo II– que
va desde valores muy próximos a uno si π se encuentra en una
zona de H1 muy alejada de H0, hasta valores casi iguales a α –y,
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por ello, bajos normalmente– cuando π está en zonas de H1
cercanas a H0.
Existen otras hipótesis compuestas en las que también es
posible hallar contrastes u.m.p., pudiendo consultarse los resultados
correspondientes en la literatura estadística correspondiente. Aquí,
no se van a revisar, y solo indicaremos, que esos resultados a su
vez requieren condiciones adicionales o simplemente distintas de
los que aquí hemos comentado.
Métodos generales de obtención de contrastes.
En lo que sigue, ya no nos ocuparemos más de dar resultados
que busquen específicamente el test u.m.p. Enunciaremos criterios
generales de obtención de contrastes que no necesariamente
tienen porqué ser los uniformemente más potentes. Estos criterios
deberán de emplearse cuando los condiciones del problema en
estudio lo permitan y en ausencia de resultados más potentes que
sí que aportaran contrastes u.m.p.
CRITERIO
BASADO
EN
VEROSIMILITUDES GENERALIZADO.
EL
COCIENTE
DE
El criterio basado en el cociente de verosimilitudes
generalizado constituye un procedimiento de obtención de
contrastes de uso casi general y que muchas veces, caso de existir
un contraste u.m.p para una determinada situación, es de hecho un
método que lo proporciona. Sin entrar en la demostración de
ninguno de los resultados que se expongan, comentaremos en lo
que sigue los fundamentos de ese procedimiento.
El elemento central de este nuevo método de contraste es el
estadístico que se denomina cociente de verosimilitudes
(generalizado). El calificativo ‘generalizado’ lo emplearemos cuando
exista confusión entre el nuevo estadístico y otros ya tratados
anteriormente y que también recibieron el nombre de cociente de
verosimilitudes. Una vez expuesta su fórmula resultará fácil apreciar
que aún teniendo expresiones parecidas, no se trata de los mismos
estadísticos, y que, a veces, para saber a cual de ellos se hace
referencia es preciso añadir el calificativo citado a la denominación
del estadístico que ahora definimos.
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Como ha pasado con más de un estadístico, el estadístico
cociente de verosimilitudes tendrá dos versiones: la versión
determinista y la aleatoria. La primera será, realmente, la función
determinista que aplicada sobre la muestra dé lugar a la segunda, la
cual a su vez constituirá el verdadero estadístico. La versión
determinista es ΛG(x1,...,xn)=supπ∈H0Lπ(x1,...,xn)/supπ∈ΠLπ(x1,...,xn).
Obviamente, el estadístico –esto es, la versión aleatoria– será
entonces ΛG(X1,...,Xn). La principal diferencia entre Λc y ΛG radica
en que, en el segundo, numerador y denominador se calculan con
sendos supremos, el del numerador hallado sobre H0, y el del
denominador sobre todo Π, mientras que los elementos análogos
del primero se hallan sobre valores individuales de π. Cuando ΛG se
emplea sobre hipótesis simples como en el Lema de Neyman–
Pearson, su numerador coincide con el de Λc, pero no así su
denominador. Nótese también que si denotamos como π̂ al e.m.v.
de π, el denominador de ΛG(X1,...,Xn) valdría L π̂ (X1,...,Xn), mientras
que lo mismo ocurriría con el numerador pero si ese estimador
máximo verosímil lo calculáramos restringidos a considerar que H0
es el verdadero espacio paramétrico.
ΛG(X1,...,Xn) se debe interpretar como el cociente entre la
máxima probabilidad bajo la nula de que la muestra tome sus
valores allí donde sea observada, y la máxima probabilidad de lo
mismo en todo el espacio paramétrico –incluyendo tanto nula como
alternativa–. Desde luego, siempre es 0≤ΛG≤1. Valores cercanos a
cero de ΛG indicarían que para la muestra observada existen
opciones de π no contenidas en H0 para las que la probabilidad de
que la muestra tome su valor es muy superior a cualquiera de las
probabilidades de que hiciera lo mismo si H0 fuera cierta. Por el
contrario, valores cercanos a uno indicarían que esas mismas
probabilidades alcanzan ya su valores mayores con ciertos π
incluidos en la propia H0. Extendiendo la forma de razonar ya
empleada en el Lema de Neyman–Pearson, se puede adoptar el
siguiente criterio de rechazo de la nula: ‘rechazar si ΛG es lo
suficientemente pequeño’.
Pero es preciso formalizar mejor la ambigua expresión: ‘lo
suficientemente pequeño’. En concreto se rechazará la nula si ΛG≤k
siendo k la constante positiva que asegure un tamaño α para el
contraste: supπ∈H0Pπ(ΛG≤k)=α.
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Se puede demostrar que los contrastes basados en ese criterio
presentan muy buenas propiedades, al menos asintóticamente.
Aún teniendo en cuenta la relación señalada antes entre ΛG y el
e.m.v., el trabajo estadístico con el cociente de verosimilitudes
puede ser muy complejo por la complicada expresión analítica que
llega a tener. De hecho, más de una vez ni siquiera se dispone de
tal expresión analítica. Afortunadamente, existe un resultado
asintótico que afirma que si H0 es cierta, la distribución de –2lnΛG es
asintóticamente una χ2 con ciertos grados de libertad s,
independientemente del valor de π. Ello permite que trabajando con
el estadístico –2lnΛG en lugar del propio ΛG y rechazando la nula si
–2lnΛG≥χ2 s,α, tengamos un contraste equivalente al anterior y que,
al menos asintóticamente, posee tamaño α. Desde luego, esta
aproximación asintótica se empleará siempre que el trabajo con la
distribución exacta de ΛG resulte inabordable.
CONTRASTES BASADOS EN INTERVALOS DE CONFIANZA.
En diferentes tipos de investigaciones estadísticas, suele
ocurrir que la hipótesis H0 a contrastar sea del tipo h(π)=h0 frente a
H1: h(π)≠h0, siendo h cierta función unidimensional de π, y h0 cierto
valor hipotético conocido. Existe un procedimiento estándar para
contrastar esas hipótesis, procedimiento que además nos da por
primera vez una pista acerca de la relación entre los dos técnicas
inferenciales más importantes: la estimación por intervalos de
confianza y los contrastes de hipótesis.
Cuando se desea hallar un contraste de tamaño igual a α para
esas hipótesis, un forma de proceder estándar consiste en hallar un
intervalo de confianza c=1–α para h(π) y rechazar la hipótesis nula
en el caso en el que h0 no esté dentro de ese intervalo.
Sin entrar a demostrar qué propiedades puede tener el
contraste así obtenido, si vamos a demostrar que al menos su
tamaño vale α, con lo que de paso justificamos la relación entre esa
cantidad y c. Nótese que supπ∈H0β(π)=supπ∈H0Pπ((X1,...,Xn)∈C)=
supπ∈H0Pπ(h0=h(π)∉intervalo aleatorio de probabilidad c). Pero por la
propia definición de intervalo de confianza, la ultima probabilidad
que aparece en esas igualdades es independiente de π y siempre
vale 1–c=α con lo que se llega al resultado buscado.
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CRITERIO GENERAL PARA CUALQUIER CONTRASTE.
No hay que dejar pasar la oportunidad de resumir brevemente
el proceso intuitivo que subyace detrás de todas las reglas de
rechazo que se han ido obteniendo en el tema. Esto incluiría desde
las que se razonaron rigurosamente al principio del capítulo, hasta
las últimas presentadas únicamente de una manera informal. El
comentario que se haga podrá, además, ser tomado como una
regla intuitiva a aplicar para obtener nuevos contrastes allí donde
otro procedimiento con un fundamente teórico más profundo sea
impracticable.
La idea que subyace a todos los contrastes comentados es la
siguiente. Se ha buscado un cierto estadístico T(X1,...,Xn) que sirva
para basar en él el contraste. Aparte de no depender de parámetros
desconocidos, la propiedad clave de T es siempre la de que tiende
a presentar comportamientos claramente diferentes bajo nula y
alternativa. Inmediatamente se busca una zona C de valores
posibles para T donde tienda a caer bajo H1 y, sin embargo, tenga
poca probabilidad de tomar sus valores bajo H0. En particular, si el
tamaño que se desea que tenga el contraste es α, C se configura
de manera definitiva teniendo en cuenta esa afirmación: C debe
cumplir que supπ∈H0Pπ(T∈C)=α. Tomando C como región crítica, se
obtiene un test que, al menos, tendrá tamaño α.
Contrastes de hipótesis en poblaciones normales.
Siguiendo la tónica de lo hecho en temas anteriores, se
pretende revisar en esta última sección, los principales contrastes
de hipótesis para poblaciones normales. Supondremos pues, a
partir de ahora, que la v.a. X analizada es normal. Para simplificar,
añadiremos la hipótesis de que la muestra obtenida de ella, es una
m.a.s. Los distintos tests que hay que presentar se organizan según
las diferentes situaciones inferenciales que se pueden presentar en
este tipo de poblaciones, que coinciden con las que se distinguían
cuando analizábamos los más importantes resultados muestrales
para poblaciones normales en el tema dedicado a inferencia y
estadísticos.
Pero ahora, también hay que considerar, dentro de cada
situación, diferentes posibilidades según el tipo de hipótesis que se
desee contrastar. Dado la inmensa variedad de combinaciones que
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pueden surgir por ello, se puede imaginar el lector que no se van a
tratar todas, sino, solamente, las que se consideren más
importantes. Y además, como a pesar de que se resuma el número,
su enumeración y comentario detenido todavía puede ser muy
largo, solamente las enumeramos en la tabla adjunta.
Algunos de los contrastes que se recogen en la tabla sirven
además como ejemplos de aplicación de los distintos métodos de
obtención que hemos ido comentando en este tema.
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