EXCITACIÓN DE CIRCUITOS CON CORRIENTE CONTINUA

CIRCUITOS ELECTRICOS
ELEMENTOS, LEYES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
1.1
Sistema de unidades utilizados en la resolución de circuitos
eléctricos
Las magnitudes y unidades que utilizaremos de acuerdo al Sistema Métrico Legal
Argentino (SIMELA), serán las siguientes:
1.2
Magnitud
Nombre
Unidad
u
Tensión
V
Volt
i
Corriente
A
Ampere
p
Potencia
W
Vatio
R
Resistencia
G
Conductancia
S
Siemens
A
Energía
J
Joule
t
Tiempo
s
Segundo
l
Longitud
m
Metro
Ohm
Elementos básicos de un circuito eléctrico
Los elementos básicos de un circuito eléctrico son las fuentes, los receptores y los
conductores de energía eléctrica, los cuales se indican en la figura 1.1.
Conductores eléctricos
Fuente de
energía
eléctrica
Receptor
ó carga
Figura 1.1 elementos básicos de un circuito
Los elementos básicos ideales, tienen 2 terminales, entre los cuales podemos tener una
tensión que llamaremos “u” y la circulación de una corriente eléctrica “i”, según lo mostrado en la
figura 1.2.
Ing. Julio Álvarez 07/10
1
CIRCUITOS ELECTRICOS
Adoptaremos un sentido de corriente indicándolo mediante una flecha, al que denominaremos
“positivo” por convención. Resuelto el circuito y si el resultado fuera contrario al asignado, el
valor numérico de la corriente tendrá antepuesto un signo “menos”.
i
1
+
u
-
2
Figura 1.2 Elemento de dos terminales
Elementos activos
Son aquellos que habitualmente aportan energía al sistema. Las fuentes de energía
eléctrica (Pilas, acumuladores, generadores, etc.) convierten la energía mecánica, química, térmica
ó radiante en energía eléctrica.
Elementos pasivos
Es todo elemento que sustrae energía del sistema, para convertirla irreversiblemente en
otra forma de energía (Térmica en el Resistor “R”) ó acumularla en sus campos conservativos
asociados (Campo magnético en el Inductor “L”, ó campo eléctrico en el Capacitor “C”).
1.2.1 Excitación y respuesta
La excitación está compuesta por los elementos del circuito que aportan energía, es decir,
las fuentes ó también lo pueden ser para lapsos cortos, las bobinas y los capacitores (debido a la
energía acumulada en sus campos respectivos)
1.2.2
Ley de Ohm
En muchos materiales conductores, como el cobre y el aluminio, la tensión que se
establece entre sus terminales es directamente proporcional a la corriente que circula a través del
mismo.
La expresión matemática que lo expresa es:
u = R. i
Donde “R” es la constante de proporcionalidad y la llamaremos “Resistencia” y su unidad
es el Ohm [ ].
Este elemento dentro de ciertos límites, es considerado lineal ó sea que no cambia su valor
con los distintos valores que puedan tomar la tensión ó la corriente.
La representación gráfica de esta Ley es la que se muestra en la figura 1.3.
Ing. Julio Álvarez 07/10
2
CIRCUITOS ELECTRICOS
u
La tangente del
ángulo es el
valor de “R”
i
Figura 1.3 Relación entre la tensión y la corriente en una resistencia
A la inversa de la resistencia la llamaremos Conductancia “G”, siendo su unidad el Siemens
[S] .
u
i
+
R i
1
i
G
R
u
-
Figura 1.4 Definición de la polaridad en una resistencia
En la resistencia la corriente siempre es entrante por el terminal positivo, de acuerdo a lo
indicado en la figura 1.4, lo que nos indica que siempre absorbe energía.
1.3
Fuentes de energía
1.3.1
Fuentes de energía ideales independientes
Hay fuentes de tensión y fuentes de corriente ideales independientes, siendo su símbolo
gráfico el que se indica en la figura 1.5.
e
Fuente de tensión
ideal independiente
i
Fuente de corriente
ideal independiente
Figura 1.5 Dipolos activos ideales
En las mismas está indicado respectivamente, la polaridad y el sentido de circulación de la
corriente.
Característica externa de una fuente de tensión ideal independiente
La fuente de tensión ideal independiente presenta una tensión constante en sus terminales
de salida, independientemente de la corriente que la misma suministre, lo cual se refleja en el
gráfico de la figura 1.6.
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3
CIRCUITOS ELECTRICOS
iL
+
u
e
u
Circuito
Conteniendo
elementos pasivos
y fuentes
u = e = cte
iL
Figura 1.6 Tensión en los terminales de una fuente de tensión
ideal independiente
1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la
misma entregue energía al resto del circuito.
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesta por el
resto del circuito), lo que hace que absorba energía.
La tensión en bornes de la fuente es constante cualquiera sea el valor o el sentido de la
corriente.
Característica externa de una fuente de corriente ideal independiente.
La corriente que entrega este tipo de fuente es constante, cualquiera sea el valor de la
tensión en sus terminales, según se ve en la figura 1.7.
iL
u
+
Circuito
Conteniendo
elementos pasivos
y fuentes
u
i
iL = i = cte
iL
Figura 1.7 Corriente en los terminales de una fuente de corriente
ideal independiente
1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la
misma entregue energía al resto del circuito.
4° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesto por el
resto del circuito), lo que hace que absorba energía.
Fuentes de energía reales independientes
Toda fuente ó generador, en la práctica presenta interiormente, pérdidas de energía, que
se representan en su símbolo gráfico por una resistencia, lo que hace que las características antes
estudiadas difieran de la realidad.
A los efectos del análisis correspondiente, vamos a trabajar con sistemas lineales, en los
cuales los elementos del sistema ó circuito no cambian sus parámetros, aunque varíen su tensión
ó corriente.
Se dice que un circuito es lineal, cuando la respuesta aumenta en un factor “K”, cuando la
excitación ha sido aumentada en ese factor “K” (K es real).
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4
CIRCUITOS ELECTRICOS
La representación gráfica de las fuentes reales es la de la figura 1.8.
eTH
iN
RN
RTH
Fuente de tensión real
independiente
Fuente de corriente real
independiente
Figura 1.8 Fuentes reales independientes
Característica externa de una fuente de tensión real independiente
Sea una fuente de tensión real independiente alimentando una carga como lo muestra la
figura 1.9.
iL
+
Circuito
Conteniendo
elementos
pasivos
y fuentes
eTH
u
RTH
-
Figura 1.9 Fuente de tensión real independiente alimentando una carga
La ecuación para el circuito es: u = ETH - RTH .iL
puntos característicos:
De la cual analizaremos dos
a) Haciendo un cortocircuito en los terminales de la fuente, o sea u = 0
iL
+
iCC
eTH
u=0
RTH
Figura 1.10 Fuente de tensión real independiente con sus terminales en cortocircuito
iL
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iCC
eT H
Punto (1) de la figura 1.12
RT H
5
CIRCUITOS ELECTRICOS
b) Si dejamos abiertos los terminales de la fuente, o sea iL= 0, según la figura 1.11.
iL = 0
+
eTH
u
RTH
Figura 1.11 Fuente de tensión real independiente con sus terminales abiertos
u = eTH
Punto (2) de la figura 1.12
u
2
eTH
RTH . iL
1
iCC
iL
Figura 1.12 Característica externa de una fuente de tensión real independiente
1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma
entrega energía al sistema ó circuito.
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del
circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía.
Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.13
iL = - 10 A
+
eTH = 10 V
u = 40 V
+
RTH = 3
10 A
30 V
-
-
Figura 1.13 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente
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6
CIRCUITOS ELECTRICOS
La fuente de corriente impone una corriente de 10 A, en sentido contrario
al adoptado como positivo, con lo cual iL tiene antepuesto el signo negativo.
Este sentido de corriente origina una caída de tensión en la resistencia
interna de la fuente de tensión real de 30 V con la polaridad indicada.
Luego:
u = eTH + RTH iL = 10 + 3. 10 = 40 V
La fuente ideal absorbe: 10 V. 10 A = 100 W:
La fuente también absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna):
2
2
RTH. i L = 3. 10 = 300 W
La potencia absorbida por la fuente real es: 100 + 300 = 400 W
4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe más energía que la que entrega.
Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito
provoque una caída de tensión en la resistencia interna (RTH) de la fuente
que sea mayor que la fuerza electromotriz eTH.
Como ejemplo sea el siguiente circuito de la figura 1.14.
10 A
+
eTH = 10 V
u = - 20 V
RTH = 3
10 A
30 V
+
-
Figura 1.14 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente
u = eTH - RTH iL = 10 - 3. 10 = - 20 V
La fuente ideal entrega: 10 V. 10 A = 100 W:
La fuente absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna):
2
2
RTH. i L = 3. 10 = 300 W
La diferencia es una potencia absorbida por la fuente real de:
300 - 100 = 200 W
Característica externa de una fuente de corriente real independiente
Sea el circuito con una fuente de corriente real independiente como la mostrada en la
figura 1.15.
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7
CIRCUITOS ELECTRICOS
iL
+
i
iN
Circuito
Conteniendo
elementos
pasivos
y fuentes
u
RN
-
Figura 1.15 Fuente de corriente real independiente alimentando una carga
Se cumple : i L
iN - i
Siendo : i
u
Luego : i L
RN
iN -
u
RN
a) Si se hace un cortocircuito en los terminales de la fuente según se muestra en
la figura 1.16:
iL
iCC
i
iN
u=0
RN
Figura 1.16 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en cortocircuito
u = 0 luego
i = 0 y iL =iCC = iN
Punto (1) de la figura 1.18
b) Si en cambio dejamos el circuito abierto o sea
iL = 0
iL = 0
+
i
iN
RN
u
-
Figura 1.17 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en circuito abierto
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8
CIRCUITOS ELECTRICOS
Luego: i = iN
u = RN . iN
Punto (2) de la figura 1.18
u
2
U = RN . iN
1
iL
iCC = iN
1
Figura
1.18 Característica externa de una fuente de corriente real independiente
1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma
entrega energía al sistema ó circuito.
2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del
circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía, según se muestra la
figura 1.19.
iL = - 20 A
30 A
10 A
+
u = 60 V
2
20 A
-
Figura 1.19 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente
i = iN - iL
i = 10 – (– 20) = 30 A
u = RN. i = 2. 30 = 60 V
La fuente de corriente ideal entrega: 10. 60 = 600 W
2
La resistencia absorbe: 2. 30 = 1800 W
La fuente real absorbe: 1800 – 600 = 1200 W
4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe energía.
Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito
sea tal que la caída de tensión en la resistencia interna (RN) de la fuente
origine una polaridad en la cual el borne superior sea negativo y el inferior
positivo, lo cual hace que la corriente salga por el terminal negativo.
Como ejemplo sea el circuito de la figura 1.20.
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9
CIRCUITOS ELECTRICOS
IL = 20 A
+
10 A
u = – 20 V
2
20 A
+
10 A
-
Figura 1.20 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente
i = 10 - 20 = - 10 A
u = RN .i = 2. (- 10) = - 20 V
La fuente de corriente ideal absorbe: 10. 20 = 200 W
2
La resistencia absorbe: 2. 10 = 200 W
La fuente real absorbe: 200 + 200 = 400 W
Equivalencia entre fuentes reales de energía
Una fuente de tensión y una fuente de corriente son equivalentes cuando lo sean sus
características exteriores (desde sus bornes hacia afuera)
Dados los gráficos analizados de las fuentes ideales se llega a la conclusión que dichas
fuentes no pueden ser equivalentes, ya que sus características exteriores no se pueden
superponer.
En cambio las fuentes reales, presentan una característica semejante, ó sea que buscando
los parámetros adecuados se puede reemplazar una fuente por otra. Esta equivalencia es en
cuanto a sus características externas, ya que las fuentes no son iguales, debido a que
interiormente los fenómenos energéticos son distintos.
A
A
+
+
eTH
u
EQUIVALE A:
iN
RN
u
RTH
-
B
B
Figura 1.21 equivalencia entre fuentes reales
Para que las fuentes sean equivalentes se debe cumplir:
a) Si cortocircuitamos los terminales de las fuentes ó sea u = 0
Ing. Julio Álvarez 07/10
10
CIRCUITOS ELECTRICOS
En la fuente de tensión real :
i CC
En la fuente de corriente real: icc = iN
iN
e TH
R TH
Por lo tanto:
e TH
R TH
Internamente los fenómenos energéticos son:
En la fuente de tensión real la resistencia interna produce el
2
siguiente valor de pérdidas por calor: p = RTH . i CC
En la fuente de corriente real por la resistencia interna no circula
corriente por lo que no se desarrollan pérdidas.
b) Si dejamos abiertos los terminales de las fuentes ó sea: iL = 0
En la fuente de tensión real: u = eTH
En la fuente de corriente real: u = RN . iN
RN
u
e TH
e TH
iN
iN
iCC
RN
Por lo tanto:
R TH
Internamente los fenómenos energéticos son:
En la fuente de tensión real al no haber circulación de corriente no hay
pérdidas.
En la fuente de corriente real:
2
N
p = R N. i
En la figura 1.22 observamos las características externas superpuestas de las fuentes de
tensión y corriente reales equivalentes.
u
eTH = RN . iN
iCC = iN
iL
Figura 1.22 Características externas superpuestas de las fuentes reales
de tensión y corriente independientes
Ing. Julio Álvarez 07/10
11
CIRCUITOS ELECTRICOS
1.3.2
Fuente de tensión ideal dependiente ó controlada
Es una fuente en la cual la tensión en sus terminales, está determinada por el valor de la
corriente ó la tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.23.
Fuente de tensión controlada por tensión
K1 .UX
K1 Adimensional
Fuente de tensión controlada por corriente
K2 .IX
K2: Volt/Amper [ ]
Figura 1.23 Fuentes de tensión controladas o dependientes
1.3.3
Fuente de corriente ideal dependiente ó controlada
Es una fuente la cual la corriente que suministra está determinada por la corriente ó la
tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.24.
Fuente de corriente controlada por tensión
K3 .UX
K3: Amper/Volt [s]
Fuente de corriente controlada por corriente
K4 .IX
K4: Adimensional
Figura 1.24 Fuentes de corriente controladas o dependientes
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12
CIRCUITOS ELECTRICOS
1.4
Agrupamiento de resistencias (Dipolos pasivos)
Agrupamiento en serie
La conexión de resistencias como muestra la figura 1.25, se denomina en serie:
i
R1
R2
RN
-
+
uN
u2
u1
u
Figura 1.25 Agrupamiento de resistencias en serie
De acuerdo al esquema, la corriente que circula por las resistencias es la misma. Por lo
tanto la caída de tensión total es la suma de las caídas de tensión en cada resistencia.
u = u1 + u2 + ……..+ uN = i R1 + i R2 + ……..+ i RN
u = i (R1 + R2 + ……+ RN)
O sea que la resistencia equivalente del conjunto es la suma de las resistencias parciales.
Ri = R1 + R2 + …….+ RN
RS = REQUIVALENTE =
Agrupamiento en paralelo
En este caso la caída de tensión aplicada en todas las resistencias es la misma, como
puede observarse en la figura 1.26
i
+
i1
u
i2
R1
iN
R2
RN
Figura 1.26 Agrupamiento de resistencias en paralelo
i
i
Ing. Julio Álvarez 07/10
i1
u(
i2
iN
u1
u2
uN
R1
R2
RN
1
1
1
R1
R2
RN
)
u
RP
13
CIRCUITOS ELECTRICOS
1
1
1
1
1
RP
R1
R2
RN
Ri
Gi
Donde G: Conductancia [S]
1.5
Leyes de KIRCHHOFF
Primera Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de corrientes en un nodo)
En todo circuito o red de conductores, la suma algebraica de las corrientes que concurren
a un nodo es igual a cero. Generalizando podemos decir que la suma algebraica de las corrientes
que concurren a un recinto cerrado es igual a cero.
i=0
Recinto
cerrado
Nodo
i1
i2
i4
i3
- i1 + i2 + i3 – i4 = 0
i1
i2
i3
i4
- i1 + i2 + i3 – i4 = 0
Para los cálculos a realizar hemos adoptado la convención mostrada en la figura 1.29.
Corriente saliente (+)
Corriente entrante (-)
Nodo ó
Recinto cerrado
i
+
R
-
Corriente saliente (+)
El sentido de la corriente en la resistencia es desde el
punto de mayor potencial al de menor potencial
(concuerda con la caída de tensión en los bornes)
Figura 1.29 Convención de signos para el sentido de las corrientes
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14
CIRCUITOS ELECTRICOS
Ejemplo numérico
Sea el circuito de la figura 1.30.
u
i4
i3
+
-
10 A
15
100 V
25
i1
+
i2
0,1 S
10 V
3A
10
Indica que a dicho punto se le asigna un
potencial de referencia de 0 Volts
Figura 1.30 Circuito de ejemplo
Asignándole potencial cero al nodo inferior y “u” al superior, la suma de las corrientes en
este último será:
u
u 100
u 10
25
10
15
10
u
100
u
10
25
10
10
15
15
1
1
1
25
10
15
100
10
10
15
16,33
i1
i2
i3
u 0,1
u
10
10
3
3
u 0,3067
u
53,26
25
25
u
3
0
u 0,1
0
0,1
0
0
u = 53,26 V
2,13 A
u - 100
10
53,26 - 100
10
u 10
53,26 10
15
15
4,674 A
4,217 A
i4 = u .0,1 = 53,26 . 0,1 = 5,326 A
Sumando las corrientes en el nodo:
- 10 + 2,130 - 4,674 + 4,217 + 3 + 5,326 = 0
Ing. Julio Álvarez 07/10
15
CIRCUITOS ELECTRICOS
Segunda Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de tensiones en un circuito cerrado)
En todo circuito cerrado la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la
suma algebraica de las caídas de tensión en las resistencias.
Adoptaremos la siguiente convención de signos:
Le asignamos un sentido a la corriente arbitrario, con lo cual las caídas de
tensión en las resistencias toman polaridad positiva en los terminales en los cuales
la corriente es entrante.
Se adopta un sentido de circulación arbitrario. En nuestro caso adoptaremos un
sentido de circulación horario.
Sobre la base de estas premisas adoptaremos como positivas las fuerzas
electromotrices y caídas de tensión cuando nos encontremos con la polaridad
positiva (+) en el terminal por el cual entramos, cuando estamos efectuando la
circulación.
Si en los resultados nos aparece un signo menos (-), nos indica que el sentido real
de la corriente es contrario al adoptado.
Ejemplo numérico
Consideremos el circuito de la figura 1.31.
20 V
70 V
15
- +
E2
-
+ R3 -
8
+E3
+ R4
-
R2
10
+
+
+
-
100 V
Sentido de
circulación
E1
i
R1
+
12
-
5
R5
Sentido de
la corriente
adoptado como
positivo
Figura 1.31 Circuito de ejemplo
Será:
i. R1 - E1 + i. R2 + E2 + i. R3 - E3 + i. R4 + i. R5 = 0
- E1 + E2 - E3 + i (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) = 0
Ing. Julio Álvarez 07/10
16
CIRCUITOS ELECTRICOS
i
R1
100 20 70
5 10 15 8 12
i
1.6
E1 E 2 E 3
R2 R3 R 4 R5
1A
Resolución de circuitos por medio de las corrientes auxiliares de
malla (Método de las mallas)
En todo circuito eléctrico ramificado encontramos un cierto número de ramas, nodos y
mallas.
Llamamos Rama de un esquema eléctrico, aquella parte que vincula dos nodos. Consta de
elementos conectados en serie (Fuentes y resistencias).
Llamamos nodo de un esquema eléctrico el punto en el cual concurren por lo menos tres
ramas. Cabe aclarar que nodo también es el punto al cual concurren solo dos ramas, pero el
mismo no agrega nada a la resolución de circuitos.
Llamamos malla a todo circuito elemental cerrado que no encierra a otros circuitos.
Llamamos lazo o supermalla a un circuito cerrado que encierra a dos ó más mallas.
Resolver un circuito implica determinar las tensiones de los nodos y las corrientes de las
ramas. El método que analizaremos se basa en la segunda Ley de Kirchhoff.
Sea el circuito de la figura 1.32.
E1
R1
_
+
IAC
I1
R3
R4
B
C
A
IAB
R2
I2
E2
IBC
IOA
R5
R6
I3
_
+
ICO
+
_
IBO
E3
O
Figura 1.32 Circuito de análisis
En dicho circuito existen tres mallas, cuyas corrientes denominaremos I 1 – I2 – I3, y de
acuerdo a las convenciones utilizadas, se cumple:
IAC = I1
IAB = I2 – I1
IBC = I3 – I1
IOA = I2
IBO = I2 – I3
ICO = I3
Se observa que las corrientes de las ramas externas, coinciden con lo que denominamos
corrientes de malla. Apliquemos la segunda ley de Kirchhoff en cada malla y nos queda:
Ing. Julio Álvarez 07/10
17
CIRCUITOS ELECTRICOS
Malla 1:
R1. IAC – E1 – R4. IBC – R3. IAB = 0
Malla 2:
R3. IAB + R5. IBO + E2 + R2. IOA = 0
Malla 3:
R4. IBC + E3 + R6. ICO – R5. IBO = 0
Reemplazando las corrientes de rama por las de malla:
Malla 1:
R1. I1 – E1 – R4. (I3 – I1) – R3. (I2 – I1) = 0
Malla 2:
R3. (I2 – I1) + R5. (I2 – I3) + E2 – R2. I2 = 0
Malla 3:
R4. (I3 – I1) + E3 + R6. I3 – R5 (I2 – I3) = 0
Agrupando:
Malla 1:
(R1+ R3 + R4) I1 – R3. I2 – R4. I3 = E1
Malla 2:
- R3. I1 + (R2 + R3 + R5). I2 – R5. I3 = - E2
Malla 3:
- R4. I1 – R5. I2 + (R4 + R5 + R6). I3 = - E3
Presentándolo en forma matricial, nos queda:
(R1+ R3 + R4)
- R3
– R3
– R4.
– R5
(R2 + R3 + R5)
– R5
- R4.
(R4 + R5 + R6)
.
I1
E1
I2
= - E2
I3
- E3
En forma genérica para “n” mallas, la forma sería:
R11
– R12
- …… – R1n.
- R21
R22
- ....... – R2n
I1
.
………………………………..
- Rn1.
– Rn2.
- ……
Rnn
I2
E1
=
E2
..
..
In
En
Las resistencias que tienen los dos subíndices iguales, se llaman resistencia propia de la
malla, y es la suma de las resistencias que se encuentran al recorrer la malla mencionada.
Las resistencias que tienen los dos subíndices distintos, se llaman resistencias comunes a
ambas mallas.
La columna de las fuerzas electromotrices, son las de malla y su valor se obtiene como la
suma de las fuerzas electromotrices que se encuentran al recorrer la malla, con signo positivo
si se pasa de menor a mayor potencial y negativo en caso contrario.
Pasemos a resolver el siguiente ejemplo:
Ing. Julio Álvarez 07/10
18
CIRCUITOS ELECTRICOS
6
4
I1
+
-
42 V
A
I2
+
3
IOA
IAO
10 V
IAOF
O
El número de mallas está dado por: M = R - (N - 1)
Donde:
M: Número de mallas
R: Número de ramas
N: Número de nodos
M = 3 - (2 - 1) = 2
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a cada malla:
Malla 1: – 42 + 6. IA + 3 (I1 – I2) = 0
Malla 2: – 10 + 3 (I2 – I1) + 4 I2 = 0
Malla 1:
Desarrollando este nos queda:
9 I1 – 3 I2 = 42
Malla 2: – 3 I1 + 7 I2 = 10
Resolviendo el sistema:
I1 = 6 A
I2 = 4 A
IOA = I1 = 6 A
IAO = I1 – I2 = 6 - 4 = 2 A
IAOF = I2 = 4 A
u = 3. IAO = 3. 2 = 6 V
Indeterminación en mallas. Supermalla.
Cuando una fuente de corriente (ideal independiente o controlada), está presente una de
las ramas del circuito, nos queda indeterminada la caída de tensión en bornes de dicha fuente, ya
que la misma depende del resto del circuito.
Para resolver el circuito se hace una especie de supermalla, a partir de dos mallas que
tengan como elemento común dicha fuente de corriente, estando la misma dentro de la
supermalla.
Veamos el ejemplo de la figura 1.33.
Ing. Julio Álvarez 07/10
19
CIRCUITOS ELECTRICOS
7V
- +
IAC
I1
7A
1
2
B
A
IBA
C
ICB
I2
+
-
I3
3
12 V
I0B
I0A
4
5
IC0
0
Figura 1.33 Circuito de análisis
En este circuito tenemos 3 mallas que denominamos A, B y C, pero observamos que en la
rama entre las mallas A y B se encuentra una fuente de corriente, lo que nos obliga a formar una
supermalla, que es la que presenta el recorrido: 0 - Resistencia de 4 - A - Fuente de 7 V- C –
Fuente de 12 V - Resistencia de 5 - 0.
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff nos queda:
Supermalla:
4. I2 – 7 + 12 + 5. I3 = 0
Malla 3:
12 + 5. I3 + 3 (I3 – I2) + 2 (I3 – I1) = 0
Rama A-B
I1 – I2 = 7
Agrupando:
La corriente de la fuente
4. I2 + 5. I3 = – 5
– 2 I1 – 3. I2 + 10. I3 = – 12
I1
I1 = 6,08 A
– I2
= 7
I2 = - 0,92 A
Resolviendo este sistema:
I3 = - 0,26 A
IAC = I1 = 6,08 A
IBA = 7 A
ICB = I1 – I3 = 6,08 – (– 0,26) = 6,34 A
I0A = I2 = – 0,92 A
IOB = I3 – I2 = (– 0,26) – (– 0,92) = 0,66 A
ICD = I3 = – 0,26 A
uA - u0 = uA = – 4 . I0A = – 4. (– 0,92) = 3,68 V
uB - u0 = uB = – 3 . I0B = – 3. 0,66 = – 1,98 V
uC - u0 = uC = uA + 7 = 10,68 V
Ing. Julio Álvarez 07/10
20
CIRCUITOS ELECTRICOS
La tensión sobre la fuente de corriente será:
uA – uB + 1 . 7 = 3,68 – (– 1,98) + 7 = 12,66 V
Procederemos a volcar los resultados en lo que llamaremos diagrama del circuito, en el cual
dibujamos con trazos las ramas sin colocar ningún elemento activo ó pasivo, e indicando los
valores de corrientes y tensiones con sus signos reales, según se muestra en la figura 1.34.
6,08 A
- 1,98 V
10,68 V
3,68 V
7A
6,34 A
0,92 A
0,66 A
0,26 A
Figura 1.34 Diagrama del circuito
1.6.1
Balance energético
Para efectuar el balance de la energía puesta en juego en el circuito adoptaremos la
convención indicada en la figura 1.35.
+
u
i
i
u
Suministran energía
u
Absorben energía
-
u
i
i
+
u
+
-
-
u
+
Absorben energía
i
R
R
i
Figura 1.35 Convenciones a utilizar en el balance energético
Ing. Julio Álvarez 07/10
21
CIRCUITOS ELECTRICOS
Haremos el balance energético para el ejercicio anterior el cual resumiremos en un cuadro:
Potencia [W]
Referencia
Cálculo
Entregada
Absorbida
Fuente de tensión [7 V]
42,56
---
E .i1 = 7. 6,08
Fuente de corriente
88,62
---
ufuente . i2 = 12,66. 7
Fuente de tensión [12 V]
3,12
---
12 .i6 = 12. 0,26
Resistencia 1
---
49,00
R. i 2 = 1. 7
Resistencia 2
---
80,39
R. i 3 = 2. 6,34
Resistencia 3
---
1,31
R. i 5 = 3. 0,66
Resistencia 4
---
3,39
R. i 4 = 4. 0,92
Resistencia 5
---
0,34
R. i 6 = 5. 0,26
134,30
134,43
La diferencia entre las
columnas se debe a las
aproximaciones
Totales
1.7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Resolución de circuitos mediante los potenciales de nodos (Método
de los nodos)
Mediante este método se determinan las tensiones de los nodos y luego las corrientes de
cada rama. Se basa en la primera Ley de Kirchhoff.
Analicemos el mismo circuito que utilizamos para el método de las mallas, el cual tiene
cuatro nodos, A uno de ellos le asignaremos potencial “cero”, con lo cual solamente necesitaremos
plantear tres ecuaciones, para obtener los potenciales de los nodos “A”, “B” y “C”.
E1
R1
_
+
ICA
IAC
R3
R4
B
C
A
IAB
IBA
IAO
R2
ICB
R6
ICO
IBO
E2
IBC
R5
_
+
_
+
E3
O
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22
CIRCUITOS ELECTRICOS
Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado, es más positivo que el
resto, con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la primera
Ley de Kirchhoff obtenemos:
Nodo A:
IAC + IAB + IAO = 0
Nodo B:
IBA + IBC + IBO = 0
Nodo C:
ICA + ICO + ICB = 0
Con asignado a las corrientes el valor de las mismas surge de:
I AC
uA
uC
R1
E1
I AB
u A uB
R3
I AO
uB u C
R4
IBO
IBA
uB u A
R3
IBC
ICB
u C uB
R4
ICA
uC
uA
R1
E1
ICO
uA
E2
R2
uB
R5
uC
E3
R6
Reemplazando en cada nodo nos queda:
Nodo A:
uA
uC
R1
E1
+
u A uB u A E 2
+
=0
R3
R2
Nodo B:
u
uC uB
uB u A
+ B
+
=0
R3
R4
R5
Nodo C:
u C uB u C u A
+
R1
R4
E1
+
uC
E3
R6
=0
Agrupando:
Nodo A:
1
R1
1
R2
1
uA
R3
Nodo B:
1
uA
R3
1
R3
Nodo C:
1
1
uA
uB
R1
R4
1
uB
R3
1
R4
1
R1
1
uB
R5
1
R4
1
uC
R1
1
uC
R4
1
uC
R6
-
E1
R1
E2
R2
0
E1
R1
E3
R6
Si trabajamos con las inversas de las resistencias o sea con lo que denominamos
conductancias, las ecuaciones en forma matricial nos queda:
Ing. Julio Álvarez 07/10
23
CIRCUITOS ELECTRICOS
– G3
(G1+ G2 + G3)
- G3
– G1.
– G4
(G3 + G4 + G5)
– G4
- G1.
- G1. E1 – G2. E2
uA
.
(G1 + G4 + G6)
uB
uC
=
0
G1. E1 + G6. E3
En forma genérica para “N” nodos, la forma sería:
GAA
– GAB
- …… – GAN.
- GBA
GBB
- ....... – GBN
.
………………………………..
- GNA.
– GNB.
- ……
GNN
uA
Σ GA. EA + Σ IA
uB =
Σ GB. EB + Σ IB
..
………………….
uN
Σ GN. EN + Σ IN
Las conductancias que tienen los dos subíndices iguales, representa la suma de las
conductancias de las ramas que concurren a ese nodo.
Las conductancias que tienen los dos subíndices distintos, es la suma de las conductancias de
las ramas que unen dichos nodos.
El segundo miembro de cada una de las ecuaciones contiene la suma algebraica de los
productos de la fuerzas electromotrices por las conductancias correspondientes a todas las
ramas que concurren a ese nodo, con signo positivo si originan corriente entrante a ese nodo y
a esto se le deben sumar las corrientes que puedan originar fuentes de corriente.
Analicemos como ejemplo el circuito de la figura 1.36.
u
120 A
30 s
30 A
i1
15 s
i2
Figura 1.36 Circuito de análisis
Este circuito tiene dos nodos y cuatro ramas.
A uno de los nodos lo tomaremos como referencia, y le asignaremos potencial cero, por lo
tanto se necesita una sola ecuación para resolver el circuito, ya que la incógnita es el potencial “u”.
Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado (El superior en este análisis)
es más positivo con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la
primera Ley de Kirchhoff obtenemos:
– 120 + u. 30 + 30 + u. 15 = 0
u
Ing. Julio Álvarez 07/10
120 30
30 15
2V
24
CIRCUITOS ELECTRICOS
Al obtener un resultado positivo nos indica que el sentido asignado es correcto.
i1 = u. G1 = 2. 30 = 60 A
i2 = u. G2 = 2. 15 = 30 A
Supernodo
Cuando en una de las ramas del circuito aparece una fuente de tensión ideal independiente
o controlada, la corriente que circula por la misma, depende del resto del circuito lo cual, hace que
no podamos calcular la misma en forma directa.
Para solucionar esto, se agrupan los nodos entre los cuales se encuentra la mencionada
fuente, y se forma lo que llamaremos un supernodo.
Analizaremos el circuito de la figura 1.37.
4S
IAC
3A
22 V
3S
B
A
IBC
IAB
8A
1S
C
- +
IB0
5S
IC0
25 A
Figura 1.37 Circuito de análisis
Nodo A:
3 (uA – uB) + 3 + 4 (uA – uC) + 8 = 0
Supernodo B-C:
3 (uB – uA) – 3 + 4 (uC – uA) – 25 + 5 uC + 1 uB = 0
Agrupando nos queda:
7 uA – 3 uB – 4 uC = – 11
– 7 uA + 4 uB + 9 uC = 28
La ecuación restante es: uC – uB = 22 V
Resolviendo el sistema obtenemos:
uA = – 4,50 V
uB = – 15,50 V
uC =
Las corrientes son:
Ing. Julio Álvarez 07/10
6,50 V
IAB = 3 (uA - uB) = 3 (– 4,50 + 15,50) = 33 A
25
CIRCUITOS ELECTRICOS
IAC = 4 (uA - uC) = 4 (– 4,50 – 6,50) = – 44 A
IB0 = 1 uB = 1. (– 15,50) = – 15,50 A
IC0 = 5 uC = 5. 6,50 = 32,50 A
IBC = IAB – IB0 + 3 = 33 – (– 15,50) + 3 = 51,50 A
El diagrama del circuito es el de la figura 1.38.
44 A
3A
6,50 V
- 15,50 V
- 4,50 V
51,50 A
33 A
15,50 A
8A
32,50 A
25 A
Figura 1.38 Diagrama del circuito
El balance energético será:
Potencia [W]
Referencia
Cálculo
Entregada
Absorbida
Fuente de tensión
1133,00
---
E .i5 = 22. 51,5
Fuente de corriente de 3 A
---
33
3(uB - uA)=3(-15,5+4,5)
Fuente de corriente de 8 A
36,00
---
8 (- uA) = 8 . 4,50
Fuente de corriente de 25 A
162,50
---
25 .uC = 25. 6,50
Conductancia 1 s
---
240,25
i 3/G1 = 15,5 /1
Conductancia 3 s
---
363,00
i 1/G3 = 33 /3
Conductancia 4 s
---
484,00
i 2/G4 = 44 /4
Conductancia 5 s
---
211,25
i 4/G5 = 32,5 /5
1331,50
La diferencia que
pueda haber entre
las columnas se
debe a las aproximaciones
Totales
Ing. Julio Álvarez 07/10
1331,50
2
2
2
2
2
2
2
2
26
CIRCUITOS ELECTRICOS
1.7
Circuitos con fuentes controladas
Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.39, el cual planteamos la resolución por el
método de los nodos:
u 42
6
u
6
42 V
u 9
3 u
3
0
3
+
-
+
3u
i1
i2
9V
i3
Figura 1.39 Circuito con fuente controlada
De la ecuación en el nodo “u”, nos queda:
u
1
6
1
3
3
u( 2,5)
i1
7
u 42
6
42
6
9
3
3
0
u
1,6 V
7,27 A
i2 = - 3. u = 4,8 A
i3 =
Ing. Julio Álvarez 07/10
u 9
2,47 A
3
27