DIVISIBILIDAD

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO: 6
TALLER 3
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
DIVISIBILIDAD
RESEÑA HISTÓRICA
La división es una operación aritmética de descomposición
que consiste en averiguar cuántas veces un número (el
divisor) está contenido en otro número (el dividendo).
La división surgió por la necesidad del hombre de repartir
cantidades iguales de cosas. Por medio de la práctica el
hombre se dio cuenta de que este proceso no siempre podía
llevarse a cabo, lo que condujo al estudio de la divisibilidad.
Babilonios e hindúes fueron los primeros en conocer la
división. Los métodos actuales para resolver la división se
derivan de los hindúes, que disponían en una mesa de arena
los elementos de La operación: dividendo, divisor, cociente y resíduo. Estos conocimientos
fueron transmitidos a Europa por los árabes. Leonardo de Pisa los expuso en 1202.
Oughtred, en 1647, propuso el signo (:) para indica La división.
Siendo la división la más compleja de las operaciones elementales de la aritmética, muchos
sucesos se desarrollaron desde el uso del rudimentario ábaco hasta las más modernas
representaciones de las operaciones indicadas.
 OBJETIVO GENERAL
Despertar la curiosidad por enfrentarse a problemas numéricos, e investigar las
regularidades en los números en relación con la divisibilidad.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Determinar los divisores y los múltiplos de un número y conocer sus propiedades.
2. Establecer la relación entre los múltiplos y divisores de un número.
3. Realizar la descomposición de un número en factores primos y así poder distinguir
números primos y compuestos.
4. Cálculo del máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm).
1
5. Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad.
 PALABRAS CLAVES
Número entero, multiplicación, división.
 DESARROLLO TEÓRICO
DIVISIBILIDAD
¿Cuándo un número es divisible por otro?
Un número entero m es divisible por entre otro entero n (distinto de cero) cuando m contiene
a n exactamente un número entero de veces. En otras palabras, cuando existe un entero p
tal que
m  n p
Por ejemplo, 8 es divisible entre 4 porque 8  4  2 .
Cuando un entero a es divisible por otro entero b, el residuo de la división es cero.
DIVISORES
Cuando un número entero a es divisible por b se dice que b es divisor de a. Por ejemplo, 3
es divisor de 15 porque 15  5  3 .
Todo número entero tiene a 1 y al mismo número como divisores. Por ejemplo 11 tiene a 1 y
a 11 como divisores porque 11  1 11 . Los divisores propios de un entero son todos los
divisores distintos a 1 y al mismo número. Los divisores propios de 15 son 3 y 5.
MULTIPLOS
Cuando un número entero a es divisible por b se dice que a es múltiplo de b. Por ejemplo,
15 es múltiplo de 5 y también de 3 porque 15  5  3 .
Como múltiplos de 2 tenemos a 2, 4, 6, 8, …
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Algunos números como el 2, 3, 5, 7, 11, 13,... solo tienen dos divisores: 1 y el mismo número.
A los números que cumplen esta propiedad se les llaman números primos. A los números
2
que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos son:
6, 8, 24.
Cabe anotar que todo número compuesto se puede descomponer en sus factores primos, es
decir, se puede escribir como el producto de los primos que lo dividen.
NOTA: El número 1 no se considera número primo ni compuesto.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por
otro sin necesidad de realizar la división.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o
cifra par. Ejemplo: 132, 450, 36, 1586.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 3. Ejemplo: 198, 6455, 54.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 4: Un número es divisible por 4 si
últimas cifras son 00 o múltiplo de 4. Ejemplo: 1348, 412, 1620.
sus dos
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por 5 si la última de sus
cifras es 5 o es 0. Ejemplo: 2345, 340, 45, 10.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 6: Un número es divisible por 6 si es divisible por
2 y por 3. Ejemplo: 24, 30.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7: Si el número es de 3 cifras, Al número formado
por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es
múltiplo de 7, el número original también lo es. Para números de más de 3 cifras:
Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar
alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final
es un múltiplo de 7.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 8: El número formado por las tres últimas cifras
es 000 ó múltiplo de 8.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 648, 7866.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 10: La última cifra es cero.
 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por 11 cuando la
diferencia de la suma de las cifras en posición par y la de las cifras en posición impar
es cero o múltiplo de 11. Ejemplo 176, 9845, 39259.
3
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos números, es el mayor de los divisores comunes de
dichos números. Por ejemplo, los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8 y los divisores de 12 son 1, 2,
3, 4, 6,12. El mayor de los divisores comunes de 8 y 12 es 8 y por tanto el MCD de 8 y 12 es
4. Llamamos primos relativos o primos entre si a dos números tal que su máximo común
divisor es 1.
El Mínimo común múltiplo (mcm) de dos números, es el menor de los múltiplos comunes de
dichos números. Por ejemplo, los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … y los de 6
son 6, 12, 18, 24, 30, … El menor de los múltiplos comunes es 12 y por tanto el mcm de 4 y 6
es 12.
 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
¿Qué es la suma de un múltiplo de 5 con un múltiplo de 5? ¿Por qué?
2.
¿Por qué no puede ser impar la suma de dos múltiplos pares?
3.
¿Qué clase de número será la suma de tres números pares? ¿Por qué?
4.
¿Es par o impar la suma de dos números impares? ¿Por qué?
5.
¿Será divisible por 5 la suma de 17, 21 y 37? ¿Por qué?
6.
¿Será divisible por 5 la suma de 9, 11 y 25? ¿Por qué?
7.
¿Será divisible por 5 la suma de 17, 21 y 36? ¿Por qué?
8.
¿Será divisible por 3 la suma de 6, 9 y 11? ¿Por qué?
9.
Si un número divide al sustraendo y al resto, divide al minuendo. ¿Por qué?
10. Diga, sin efectuar la división, cuál es el residuo de dividir la suma de 11, 14 y 21 entre
5 ¿Por qué?
11. Diga, sin efectuar la división, cuál es el residuo de dividir la suma de 21 y 35 entre 5
¿Por qué?
12. ¿Es par o impar la suma de un número par con uno impar? ¿Por qué?
13. ¿3 divide a 9? ¿Por qué divide a 27?
14. ¿Qué es la diferencia entre un múltiplo de 11 y otro múltiplo de 11? ¿Por qué?
15. Si un número divide al minuendo y al resto, ¿divide al sustraendo? ¿Por qué?
4
16. ¿Divide 7 a 21 y 35? ¿Dividirá a 14? ¿Por qué?
17. ¿Es par o impar la diferencia entre dos números pares? ¿Por qué?
18. ¿Es divisible por 2 la diferencia de dos números pares? ¿Por qué?
19. ¿Divide 5 a la diferencia de 132 y 267? ¿Por qué?
20. ¿Es divisible por 2 la diferencia entre un numero par y uno impar? ¿Por qué?
21. ¿Divide 3 a 19 y 21? ¿Dividirá a 40? ¿Por qué?
22. Si un número divide al sustraendo y no divide al resto, ¿divide al minuendo?
¿Por qué?
23. ¿Qué clase de número es el residuo de la división de dos números pares, si los hay
Por qué?
24. Si el divisor y el residuo de una división inexacta son múltiplos de 5, ¿Qué ha de ser el
dividendo? ¿Por qué?
25. El residuo de la división de 84 entre 9 es 3. Diga sin efectuar la división. ¿Cuál será el
residuo de dividir 168 entre 28; 28 entre 3?
26. ¿Qué clase de números serán los múltiplos de los números pares? ¿Por qué?
27. ¿Cuáles tres números habría que agregar al número 562 para formar un múltiplo de 3
de 4 de 7?
28. ¿Qué cifra hay que suprimir en 857 para que resulte un número de dos cifras y divisible
por 3, divisible por 5?
29.
¿Qué número debe añadirse a la derecha de 3254 para que resulte un número
divisible por 11?
30. Para hallar el mayor múltiplo contenido en 7345. ¿En cuánto se debe disminuir éste
número?
31. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 9 contenidos en 7276?
32. ¿Cuál es la diferencia entre 871 y el mayor múltiplo de 9 contenido en el.
33. Hallar el cociente de:
a) 355670 entre 10
b) 234400 entre 100
c) 6789000 entre 1000
5
34.
Descomponer en factores primos los siguientes números: 288, 360 y 2520.
34. Indica cuales de las siguientes parejas de números son primos entre ellos:
a) 9 y 36
b) 27 y 10
c) 35 y 26
35. Calcula el mcm y MCM de los siguientes números:
a) 14 y 18
b) 675 y 336
c) 450 y 180
d) 21 y 7
Además verifica para cada pareja que cumplen la propiedad: axb = MCD(a,b) x mcm(a,b)
37. ¿Cuántos divisores positivos tiene 22, 72, 52, 33,23, 53 y 24?
 PEQUEÑOS RETOS
1. Cuatro dados idénticos se arreglan en una fila como se muestra en la figura. Los
dados pueden no ser estándares, es decir, la suma de sus caras opuestas podría no
ser necesariamente 7. ¿Cuál es la suma total de los puntos de las seis caras que se
tocan de los dados de la figura?
a) 23
b) 21
c) 19
d) 22
e) 20
2. El día de hoy, Carmen puede decir que dentro de dos años, mi hijo Carlos tendría el
doble de la edad que tenía hace dos años. Y, dentro de tres años, mi hija Sara tendría
tres veces la edad que tenía hace tres años". Con base en la información anterior,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Carlos y Sara tienen la misma edad
b) Sara tiene un año más que Carlos
c) Carlos tiene un año más que Sara
d) Sara tiene dos años más que Carlos
e) Carlos tiene dos años más que Sara
3. Los números 2, 3, 4 y algún otro número se encuentran escritos en las celdas de una
tabla 2x2 como la que se muestra en la figura. Se sabe que la suma de los números
de la primera columna es igual a 9 y que la suma de los números de la segunda
columna es igual a 6. El número desconocido es:
a)5
b) 6
c) 7
d)8
e) 4
4. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar al unir con segmentos los puntos de la figura?
a) 2
b) 3
c) 4
d)5
e) 6
5. Si se lanzan dos dardos a un blanco pintado en una pared como se muestra en la
figura, ¿cuántos son todos los posibles puntajes distintos que se pueden obtener?
(Se acepta que los dardos caigan fuera del blanco)
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
6. Podrías decir los números primos comprendidos entre 1 y 200… ¿Existirá una manera
más fácil para determinar si un número es primo, existirán al igual que los criterios de
divisibilidad, criterios que me permitan decir si un número es primo?
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Ensaya el siguiente procedimiento en la tabla que se dará a continuación:

Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.

Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.

Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.

Los números encerrados son los números primos.

Los restantes corresponde a los números compuestos, con excepción del 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Esta es llamada La Criba de Eratóstenes y consiste en eliminar los números que no sean
primos y que por tanto sean múltiplos de algún número.
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