z = 12 2 xy

PROBLEMAS RESUELTOS
1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie:
z = 12  x 2  2 y 2 con el plano y=2, en el punto (2,1, 6 )
Solución
La pendiente buscada es:
z
1
2 x
(2,1) 
x
2 12  x 2  2 y 2
(2,1)
z
2
(2,1) 
x
6
2. La ecuación: (y- z)2 = 3-z-5x, define a z como una función implícita de x e y.
2 z
z
Determine i)
ii)
x
xy
Solución






( y  z ) 2  (3  z  5 x) , esto implica que: 2(y-z)
( y  z) =
3 z 5 x
i)
x
x
x
x
x
x
2 (y-z) (
ii)
z
5




z

y  z ) = 0  z  5 x  - 2 (y-z)
=  z 5 

x
x
x
x
x
x
x 2 y  2 z  1






( y  z ) 2  (3  z  5 x) esto implica que: 2(y-z)
( y  z) =
3 z 5 x
y
y
y
y
y
y
2 (y-z) (




z

y  z ) = 0  z  5 x 2 (y-z) (1  ) = 0  z  5  0
y
y
y
y
y
y
z
2( y  z )


y 2 y  2 z  1


[ 2( y  z )](2 y  2 z  1)  [ 2 y  2 z  1](2( y  z ))
2 z
 z
 2( y  z )
x
)
( ) (
) = x
=
xy
(2 y  2 z  1) 2
x y
x 2 y  2 z  1





[2 y  2 z )](2 y  2 z  1)  [2 y  2 z  1](2( y  z ))
x
x
x
x
)
= x
2
(2 y  2 z  1)


[2 z )](2 y  2 z  1)  [2 z ](2( y  z ))
 (2 y  2 z  1)  4( y  z )
x
= x
)
) = 2[ z ]
2
x
(2 y  2 z  1) 2
(2 y  2 z  1)
= 2[
5
6 y  6z 1
6 y  6z 1
]
= 10
2
2 y  2 z  1 (2 y  2 z  1)
(2 y  2 z  1)3
3. Dado u=f(y2-x2,y-x-4) una función continua con derivadas parciales de segundo
u
 2u
ii)
orden continuas. Hallar i)
xy
x
Solución
Se observa que u es una función de dos variables.
u= f(v,w), donde v=y2-x2; w= y-x-4
i) Para calcular
u
, aplicaremos la regla de la cadena:
x
u u v
u w
v
w
=
+
= f1
+ f2
= f1  (-2 x) + f2  (-1)
x v x
w x
x
x
u
= -2x f1 - f2, en donde f1 y f2 son las derivadas de parciales de f respecto v y w
x
, respectivamente.
ii)
 2u
:
xy
u u v
u w
v
w
=
+
= f1
+ f2
= f1  (2 y) + f2  (1)
y
y v y
y
w y
u
=2y f1 + f2
y
 u





v
w
 2u
= ( )  (2y f1 + f2) = 2y
f1 +
f2 =2y[ f1 
+
f1 
]+
xy x y
x
x
x
v
x w
x


v
w
[ f2 
+
f2 
]
v
x w
x
=2y[f11(-2x) + f12(-1)] + [f21 (-2x)+ f22 (-1)]
=-4xy f11 - 2y f12 – 2x f21 –f22
Como f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces, f12 = f21.
Luego,
 2u
= =-4xy f11 –2(y+x) f12 – f22
xy
uv  xy
, que define a u, v con funciones de x e y.
u  v  4 x
4. Dado el sistema de ecuaciones 
Determinar
u u v v
,
,
,
x y x y
Solución

Como: uv  xy ,entonces,
uv xy

.
x
x
y
u
v
x
u
y
x
x
x
x
x
u
v
v
u
 y. .......( 1)
x
x
Esto implica (por la derivada del producto) que: v
Por otro lado, u  v  4 x . Luego,
 (u  v)  4 x
u v

. Esto implica que:

 4 .......(2)
x
x
x x
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1)y (2), tenemos:

Como: uv  xy ,entonces,
v
u
v
u
 x.
y
y
u y  4u u y  4v

,

x
vu
y
uv
y
uv xy
u
v
x

. Esto implica que: v  u  y  x
y
y
y
y
y
y
.......( 3)
 (u  v)  4 x
u
. Esto implica que:


y
y
y
u
x
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3)y (4), tenemos:

,
y v  u
También, u  v  4 x . Luego,
v
 0 .......(4)
y
u
x

y u  v
5. La distribución de la temperatura en una placa metálica, viene dada por la función:
T ( x, y ) 
70
, donde T está medida en grados centígrados y x,y,z en metros.
1 x  3 y 2  2z 2
2
¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto(1, 3,2)? ¿Cuál es
la máxima tasa de incremento ?
Solución
Se sabe que la gradiente de T es la dirección en la cual aumenta más rápido la temperatura.
más rápido
El gradiente de T es:
 f(x,y,z) = < fx (x,y,z), fy (x,y,z), fz (x,y,z) >
=<
 140 x
 210 y
 480 x
,
,
>
2
2 2
2
2
2 2
2
(1  x  3 y  2 z ) (1  x  3 y  2 z )
(1  x  3 y 2  2 z 2 ) 2
 f(1,3,2) =<
2
 140  630  560
>
,
,
1369 1369 1369
La tasa máxima de crecimiento es la longitud del vector gradiente.
  f(1,3,2)  =
70 149
1369
6. Resolver la ecuación: y5 e2x +
dy
=0
dx
Solución
y5 e2x +
 dy = - y5 e2x dx 
dy
dy
=0
= - y5 e2x
dx
dx
1
dy = - e2x dx ( se logrado separar la variables)
y5
Integrando cada término:

1
dy = y5

e2x dx  
e2x
1
=
+ c
2
4 y4
7. Resolver la ecuación: (x 3 + y3 )dx + 3 x y 2 dy = 0
Solución Veamos si la EDO es homogénea:
P(x, y) = x 3 + y3
P es homogénea de grado 3
P(tx, ty) = (t x)3 + (ty)3 =t3(x3 + y3 )= t3 P(x,y)
Q(x, y) = 3 x y 2
Q es homogénea de grado 3
Q(tx, ty) = 3 (t x )(t y) 2 = t3(3x y2) = t3 Q(x, y)
Luego, la EDO es homogénea.
Hacemos el cambio de variable: z =
y
 y = z x  dy = x dz + z dx
x
(x 3 + y3 ) dx + 3 x y 2
dy=0



(x 3 + (zx)3 ) dx + 3x(zx)2 (x dz + z dx) = 0
x3 (1+z3 ) dx + 3z2 x3 (x dz + z dx) = 0
Dividiendo por x3:
(1+z3 ) dx + 3z2 x dz + 3 z3 dx = 0
(1+4z3 ) dx + 3z2 x dz = 0
Separando variables:

dx
1
3 z 2 dz

 ln(1  4 z 3 ) = - ln(x) +cte
3
x
4
1  4z
1
 ln(1  4 z 3 ) + ln(x) = cte
4

1
 ln(1  4 z 3 ) 4 x = cte  (1+4z3)1/4 x = cte  (1+4 z3) x4 = cte
3
Sustituyendo z =
y
 y
: (1+4   ) x4 = cte  x4 + 4xy3 = c
x
x
8 Resolver la ecuación: (x3+ 2 y)
dy
+ 3 x (x y -2) = 0.
dx
Solución
 Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O) es exacta:
Recordar: La ecuación diferencial: P dx + Q dy = 0, es exacta si y solo si
 P Q

.
y x
(x3 + 2 y)
dy
+ 3 x (x y -2) = 0  (3 x2 y – 6x) dx + (x3 + 2 y) dy = 0
dx

P(x,y)
P(x,y) = 3 x2 y – 6x 
Q(x,y) = x3 + 2 y 
P
= 3 x2
y
Q
= 3 x2
x
(*)

dx + Q(x,y) dy = 0
 P Q

y x
De esto, la E.D.O es exacta. Por lo tanto, su solución es: F(x,y)=c, de modo que :
F
= P(x,y) = 3 x2 y – 6x
x
(1)
F
= Q(x,y)= x3 + 2 y
y
(2)
De la ecuación (1) :
F
= 3 x2 y – 6x  F(x,y) =
x
 (3 x
2
y - 6x ) dx
 F(x,y) = x3 y – 3x2+  (y)
F
 3
F
=
( x y - 3x 2 ) +  ‘ (y) 
= x3 +  ‘ (y)
Luego,
y
y
y
(3)
(4)
Reemplazando (2) en (4): x3 + 2 y = x3 +  ‘ (y)   ‘ (y) = 2 y
   ' ( y )dy   2 y dy   (y) = y2
Reemplazando (5 ) en (3): F(x,y) = x3 y – 3x2 + y2.
Finalmente, x3 y – 3x2 + y2= c, es la solución de la ecuación ordinaria .
(5)
9 Resolver la ecuación: x2
dy
+ 5 x y + 3 x5 = 0.
dx
Solución

Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O) es exacta:
x2
dy
+ 5 xy + 3 x
dx
5
= 0  ( 5 x y + 3 x 5 ) dx + x2 dy = 0

P(x,y)
P(x,y) = 5 x y + 3 x5 

Q(x,y) = x2
(*)

dx + Q(x,y) dy = 0
P
= 5x
y
 P Q

y x
Q
=2x
x
De esto, la E.D.O no es exacta.

Determinación de factores integrantes:
Recordar:
 Si (P y – Q x)/ Q es una función exclusiva de x, entonces  (x) = e
el factor integrante.
 Si (Q x – P y)/ P es una función exclusiva de y, entonces  (y)= e
el factor integrante.


Py Q x
dx
Q
Q x Py
P
dy
 Si (P y – Q x)/ Q = (5 x - 2 x) /x2 = 3/x es una función exclusiva de x
Luego,  (x) = e

Py Q x
dx
Q

 (x) = e
3
 x dx
  (x) = e3 lnx   (x) =x3
Ahora multiplicamos por el factor integrante  (x)= x3, a ambos miembros de la
ecuación (*), obtenemos:
x3 ( 5 x y + 3 x5 ) dx + x3 x2 dy = 0  ( 5 x 4 y + 3 x8 ) dx + x5 dy = 0


P(x,y)
dx + Q(x,y) dy = 0
P(x,y) = 5 x 4 y + 3 x8 
P
= 5x4
y
 P Q

y x
es
es

Q(x,y) = x 5
Q
=5x
x
4
De esto, la E.D.O es exacta. Luego, existe su solución es F(x,y) = c, de modo que :
F
= P(x,y) = 5 x
x
4
y + 3 x8
F
= Q(x,y)= x 5
y
De la ecuación (1) :
(1)
(2)
F
= 5 x 4 y + 3 x8  F(x,y) =
x
 (5 x
 F(x,y) = x 5 y 
Luego,
4
x9
+  (y)
3
 5
x9
F
F
( x y  ) +  ‘ (y) 
=
= x5 +  ‘ (y)
3
y
y
y
Reemplazando (2) en (3): x 5 = x5 +  ‘ (y)   ‘ (y)= 0 
 (y) = 0
(3)
  ' ( y)dy  0dy
(4)
Reemplazando (4 ) en (3): F(x,y) = x 5 y 
Finalmente, x 5 y 
x9
+ 0.
3
x9
= c, es la solución de la ecuación ordinaria .
3
10. Resolver: secx
Solución secx
y  3 x 8 ) dx
dy
+ y = senx; y(0)=1
dx
dy
dy
+ y = senx 
+ (cosx)y =cosx senx,
dx
dx


P(x)
Q(x)
esta ecuación diferencial es lineal de primer orden su solución esta dada por:
P(x) dx
P(x) dx
cos(x) dx
cos(x) dx
=  e
Q(x)dx  C  y e 
=  e
sen(x)cos(x)dx  C
y e
Luego: y esen x =  esen xsen(x)cos(x)dx  C  y esen x = esen x (-1+senx) +C
(1)
Como: y(0)=1 (x=0; y=1): 1 esen 0 = esen 0 (-1+sen 0) +C  C= 2
(2)
Reemplazando (2) en (1), obtenemos la solución: y esen x = esen x (-1+senx) +2 .
11 . Analizar si: f’(y)
dy
+f(y) P(x) = Q(x) , puede ser transformada a una E.D.O
dx
lineal de primer orden.
Solución Sea el cambio: z = f (y)
Luego,
d z d f(y) d f(y) d y
dy


 f ' ( y)
dx
dx
dy dx
dx
(1)
Ahora de la E.D. original y de la ec.(1), obtenemos:
dz
+P(x) z = Q(x), esta E.D.
dx
es lineal.
12 Resolver: y ey
2
dy
+ e y x = 3x
dx
2
2 d y
d z dey
Solución Haciendo: z = e 

 2 ye y
dx
dx
dx
1 dz
dz
Luego:
+ z x = 3x 
+ (2x) z = 6x ,esta ecuación diferencial es lineal de
2 dx
dx
primer orden su solución esta dada por:
y2
z e  2 xdx =  e 
2x dx
6x 2dx  C  z e x =  e x (6 x)dx  C  z e x = 3 e x +C
2
2
2
 e
y2
2

2
e = 3 e x +C
x2
2
Tomando logaritmos naturales obtenemos: x2 +y2=Ln(3 e x +c)
13.Determinar un factor integrante de: 2y dx –(x+xy3)dy=0, si el factor integrante
de es de la forma: u=xm yn.
Solución
2y dx –(x+xy3)dy=0  (xm yn ) (2y dx–(x+xy3)dy) =(xm yn ) (0)
 2xm yn+1 dx - (xm+1 yn + xm+1 yn+3 )dy= 0
Para que sea exacta debe cumplirse:
P(x,y) = 2 xm yn+1

Q(x,y) =- (xm+1 yn + xm+1 yn+3 ) 
 P Q

y x
P
= 2(n+1)xm ym
y
Q
= -(m+1)( xm ym+ xm ym+3)
x
Igualando obtenemos:
2(n+1)xm ym =-(m+1)( xm ym+ xm ym+3) 2(n+1)xmym =-(m+1)(xmym)-(m+1) xm ym+3
De esto,
2(n  1)  (m  1) 
n  1
 
 (m  1)  0
m  1

Por lo tanto, el factor integrante buscado es: u= x-1 y-1
 3x 2 y
si ( x, y )  (0, 0)

.
14. Sea f: 2  definida por: f ( x, y )   y 2  x 4

0 si ( x, y )  (0, 0)

a. Analizar si f tiene derivada direccional en el origen en cualquier dirección
b. Analizar si f es diferenciable en (0,0)
Solución
a.
Du f (0,0)  lim
h 0
f (0  h a,0  h b)  f (0,0)
, donde u=(a,b), con a2 + b2 = 1
h
Caso 1 b0:
3h 2 a 2 (hb)
0
2 2
4 4
3h 2 a 2 ( hb)
3a 2 b

h
b
h
a
 lim 2

lim
Du f (0,0)  lim
h 0
h 0 h h(b 2  h 2 a 4 )
h 0 (b 2  h 2 a 4 )
h

Caso 2
3a 2 b 3a 2

b
(b 2 )
b=0:
f (0  h a,0  h b)  f (0,0)
f (0  h a,0  h 0)  f (0,0)
 lim
h

0
h
h
3(h 2 a 2 )(0)
0
2
4 4
f ( h a,0)  f (0,0)
h
a
0

 lim
 lim
 lim 0  0
h 0
h 0
h 0
h
h
Du f (0,0)  lim
h 0
En cualquier caso,
 3a 2
si b  0

Df u (0, 0)   b
 0 si b  0

Conclusión: En cualquier dirección existe la derivada direccional en (0,0).
b. La función f es no es diferenciable en (0,0), ya que NO es continua en (0,0), puesto que
no existe el lim f ( x, y ) , dado que:
( x , y )0
S1={(x,y)/ y=0}:
S2={(x,y)/ y=x2}:
lim f ( x, y )  lim f ( x,0)  lim 0  0
( x , y ) 0
( x , y )S 1
x 0
x 0
3x 2 (x 2 )
3 3
 lim 
x 0 ( x 2 ) 2  x 4
x 0 2
2
lim f ( x, y )  lim f ( x, x 2 )  lim
( x , y ) 0
( x , y )S 2
x 0
15 . Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en el cual estan disueltas 5 lb
de sal. Agua salada conteniendo 3 lb de sal por galón ingresa al tanque a 2 galones por
minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
a) Determine la cantida de sal presente después de 10 min
b) ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?
Solución
Sea A(t) la cantidad de sal, en libras, en el tanque después de t minutos.
Luego,
dA
es la tasa de cambio de la cantidad de sal en el tiempo t, y esta dada por:
dt
dA
 tasa de ingreso - tasa de salida
dt
(1)
Como ingresan 2 gal/min , conteniendo 3 lib/gal de sal, tenemos que la cantidad de sal
que entra por minuto por: 2
gal
lib
lib
3
6
min
gal
min
(2)
Dado que siempre hay 10 gal en el tanque y debido que hay A llibras de sal en en el
tiempo t, entonces, las concentración de sal en el tiempo t es A libras por 10 galones. La
cantidad de sal que sale por minuto es:
A lib
gal A lib
2

10 gal
min 5 min
De (1), (2) y (3) tenemos:
dA
A
 6 - , A(0) = 5 (Puesto que inicialmente hay 5 lib de sal, tenemos A=5 en t = 0)
5
dt
dA 30  A
dA
dt
Por separación de variable:



5
30  A 5
dt
dA
dt
t
 30  A   5   ln(30  A)  5  C
Como A=5 en t=0, tenemos c=-ln25. Así,
 ln(30  A) 
i)
ii)
t
25
t
 ln 25  ln
   A  30  25e  t / 5
5
30  A
5
Al cabo de 10 minutos se tendrá, A(10)  30  25e 10 / 5  26, 6 lib
Después de un largo tiempo, sucede cuanto t, se tiene que A30libras
(3)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 . Un equipo de oceanógrafo está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar
recuperar un antiguo barco hundido. Por medio de un sonar, desarrollan un modelo:
D = 250+30x2+50 sen
y
, 0x2, 0y2, donde x,y denotan las distancias en
2
kilométros y D la profundidad en metros.
Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto de posición del barco.
dy
 y 2  4 . Además, determine la(s) solucion(es) singulares si existen
dx
1  ce 4x
Rpta. y  2
, solucion singular y = -2
1  ce 4x
dy
xy  3x  y  3

Rpta. (y+3)5 e x =c(x+4)5 e y , propuesto
3. Resolver
dx xy  2x  4y  8
2. Resolver
Zill,pg57(prop19)
4. Determine un solución continua que
 x; 0  x  1
dy
,
 2xy  f ( x ) , donde f ( x )  
dx
0; x  1
y(0)=0
(1  3e x ) / 2, 0  x  1
Rpta. 
 x2
(e  3)e / 2, 1  x
2
5. Resolver 6xy dx+(4y+9x2)dy=0, y(2)=1, Rpta 3x2y3+y4=13
6. Resolver (x+y e y/x )dx-x e y/x dy =0, y(1)=0, Rpta ln ln x  e y / x  1
dy
 2  y  2x  3 , y(1)=0, Rpta ln ln x  e y / x  1
dx
dy
 y( xy3  1) . Ec. Bernoulli
8. Resolver
dx
9. Resolver a. y’ = e 3 x -2 y , con y(0)=0
7. Resolver
b. (2x-2y2) dx + (12y2- 4xy) dy = 0
c. (e y + x ) dy - dx = 0, y(2)=0
10 . Un equipo de oceanógrafo está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar
recuperar un antiguo barco hundido. Por medio de un sonar, desarrollan un modelo:
D = 250+30x2+50 sen
y
, 0x2, 0y2, donde x,y denotan las distancias en
2
kilométros y D la profundidad en metros.
Halle la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto de posición del barco.
dy
 y 2  4 . Además, determine la(s) solucion(es) singulares si existen
dx
1  ce4x
Rpta. y  2
, solucion singular y = -2
1  ce 4x
dy
xy  3x  y  3
12 Resuelva

Rpta. (y+3)5 e x =c(x+4)5 e y , propuesto
dx xy  2x  4y  8
11. Resuelva
Zill,pg57(prop19)
13. Determine un solución continua que
 x; 0  x  1
dy
 2xy  f ( x ) , donde f ( x )  
,
dx
0; x  1
y(0)=0
(1  3e x ) / 2, 0  x  1
Rpta. 
 x2
(e  3)e / 2, 1  x
2
14. Resuelva 6xy dx+(4y+9x2)dy=0, y(2)=1, Rpta 3x2y3+y4=13
15. Resuelva (x+y e y/x )dx-x e y/x dy =0, y(1)=0, Rpta ln ln x  e y / x  1
dy
 2  y  2x  3 , y(1)=0, Rpta ln ln x  e y / x  1
dx
dy
17. Resuelva
 y( xy3  1) . Ec. Bernoulli
dx
18. Resuelva
a. y’ = e 3 x -2 y , con y(0)=0
16. Resuelva
b. (2x-2y2) dx + (12y2- 4xy) dy = 0
c. (e y + x ) dy - dx = 0, y(2)=0
19. Una lata de metal en forma de cilindro circular recto va a tener una altura interior de 8
pulgadas, con radio interior de 3 pulgadas y un espesor de 0,2 pulg. Si el costo del metal
que va a ser usado es de 20soles por pulg3, determine el costo del metal, por diferenciales
en la manufactura de la lata.
Rpta. 264soles
20. Un tanque contiene 200 de agua salada en la cual se han disuelto 30g de sal. Agua
salada con 1 g por litro entra al tanque a 4litro por minuto; y la mezcla bien agitada sale a
la misma tasa. Calcule la cantidad de sal cuando t =10, Rpta 60.8158
21. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30g de sal y le entran
agua pura a 4L/min; bien mezclado, de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la
cantidad de sal cuando t =10
22. Un tanque tiene 500 galones de agua pura de agua donde se han disuelto 30g de sal
y le entran 4L/min de solución con 1g de sal por litro; bien mezclado, de él sale líquido con
la misma rapidez. Calcule la cantidad de sal cuando t =10, Rpta 60.8158
23. El químico A es transformado en el químico B. La taza a la cual B se forma varía
directamente con la cantidad de A presente en cualquier instante. Si 10 lb de A están
presentes inicialmente y si 3 lb se transforman en B en una hora, ¿en cuánto tiempo se
transforma el 75% del químico A?
24. Un tanque tiene 40 gal de agua pura. Una solución de agua salada con 1 lb de sal por
galón entra a 2 gal/min, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. ¿Cuándo el agua
que sale tendrá 0,5 lb de sal por galón?
25. Un tanque tiene 60 gal de agua salada con 2 lb de sal por galón. Una solución con 3
lb de sal por galón entra a 2 gal/min, y la mezcla sale a la misma tasa. ¿Cuándo el habrá
150 lb de sal en el tanque?