Parte III - FCEIA - Universidad Nacional de Rosario

Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Procesamiento de Señales basado en Wavelets Notas de Clase - Parte III Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Juan Carlos Gómez 1 <jcgomez@fceia.unr.edu.ar> 1 Laboratorio de Sistemas Dinámicos y Procesamiento de la Información FCEIA, Universidad Nacional de Rosario, Argentina Semestre 2, 2006 Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 1 / 19 Contenidos Parte III Contenidos 1 Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación Escala-Frecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud 2 Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 2 / 19 Transformada Wavelet continua Definiciones Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames La idea es representar una señal como una combinación lineal de señales de duración efectiva limitada que se obtienen por traslación y escalado de una función original denominada mother Wavelet. La mother wavelet es una función ψ(t) ∈ L2 (R) que verifica la condición de admisibilidad Z ∞ ψ(t)dt = 0, −∞ es decir tiene media cero, y que está normalizada: kψk = 1, y centrada en un entorno de t = 0. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 3 / 19 Transformada Wavelet continua Definiciones Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Con la mother wavelet se genera un conjunto de funciones ψu,s (t) (átomos wavelets o simplemente wavelets) por dilatación con un factor de escala s y translación u, de la forma t−u 1 √ ψ ψu,s (t) = s s Los átomos wavelets resultan tambien normalizados: kψu,s k = 1. La Transformada Wavelet Continua (CWT) de una señal f ∈ L2 (R) en la escala s y en la posición u se computa Z ∞ 1 t−u W f (u, s) = hf, ψu,s i = f (t) √ ψ ∗ dt s s −∞ Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 4 / 19 Transformada Wavelet continua Relación Escala-Frecuencia Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Relación Escala-Frecuencia: A cada wavelet puede asociarse una frecuencia central Fc que es la frecuencia para la cual el módulo de la transformada de Fourier de la wavelet es máximo. Puede interpretarse a Fc como la frecuencia de una senoide que captura las principales oscilaciones de la wavelet. Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Fig.1: Wavelets Daubechies db2 y db7, y correspondientes aproximaciones con senoide de frecuencia central. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 5 / 19 Transformada Wavelet continua Relación Escala-Frecuencia Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Fig.2: Idem Fig. 1, pero para Wavelets coif1 y gauss4. La frecuencia (central) asociada a cada escala s, puede entonces calcularse como Fs = Fc sT donde T es el perı́odo de muestreo. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 6 / 19 Transformada Wavelet continua Relación Escala-Frecuencia Ejemplo: Considere las wavelets Mexican hat y Morlet. t2 Mexican Hat: ψ(t) = 1 − t2 e− 2 Parte III t2 Morlet: ψ(t) = cos(5t)e− 2 Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud 1 2 3 Calcule las respectivas frecuencias centrales Grafique las wavelets y las correspondientes aproximaciones senoidales. Compare los resultados con los obtenidos usando el comando Matlab centfrq. Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 7 / 19 Transformada Wavelet continua CWT como Filtrado Lineal Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames CWT como Filtrado Lineal: La CWT puede escribirse como un producto de convolución de la forma Z ∞ 1 ∗ t−u dt = f ? ψ s (u) (1) W f (u, s) = f (t) √ ψ s s −∞ donde 1 ψ s (t) , √ ψ ∗ s −t s . Tomando la Transformada de Fourier de ψ s (t) resulta b (ω) = √sψb∗ (sω) ψ s R∞ b Como se verifica ψ(0) = −∞ ψ(t)dt = 0, entonces puede b interpretarse a ψ(ω) como la respuesta en frecuencia de un filtro pasabanda. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 8 / 19 Transformada Wavelet continua CWT como Filtrado Lineal Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Luego, la CWT en (1) se computa como la convolución de la señal f con versiones dilatadas de filtros pasa banda (Banco de Filtros). Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 9 / 19 Transformada Wavelet continua Completitud del sistema de wavelets Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Completitud: Bajo ciertas condiciones sobre la mother wavelet ψ(t) (condición de admisibilidad), una señal f (t) ∈ L2 (R) puede reconstruirse a partir de los coeficientes wavelet. Este resultado fue probado por Calderón en 1964 en otro contexto. Grossmann y Morlet no conocı́an el resultado de Calderón y lo probaron en el contexto de Procesamiento de Señales. El resultado está dado en el siguiente Teorema. Definiciones DWT Frames Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 10 / 19 Transformada Wavelet continua Completitud del sistema de wavelets Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Teorema: Sea ψ(t) ∈ L2 (R) una función a valores reales tal que Z ∞ b |ψ(ω)|2 dω < ∞ Cψ , ω 0 Entonces, para toda f (t) ∈ L2 (R) se verifica Z ∞Z ∞ 1 1 t−u ds f (t) = W f (u, s) √ ψ du 2 (2) Cψ 0 s s s −∞ y Z ∞ −∞ Parte III (Wavelets) |f (t)|2 dt = 1 Cψ Z 0 ∞Z ∞ −∞ |W f (u, s)|2 du ds s2 Semestre 2, 2006 (3) 11 / 19 Transformada Wavelet continua Completitud del sistema de wavelets La condición Parte III Z Cψ , Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames 0 ∞ 2 b |ψ(ω)| dω < ∞ ω se denomina condición de admisibilidad. Para asegurar b que la integral sea finita, debe asegurarse que ψ(0) = 0, lo que explica la condición de que la wavelet tenga media cero. Esta última condición es ”casi” suficiente. En b b efecto, si ψ(0) = 0 y ψ(ω) es continuamente diferenciable, entonces la condición de admisibilidad es satisfecha. Similarmente a la WFT, la CWT es una representación redundante. La fórmula de reconstrucción (2) se conoce como resolución de la identidad. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 12 / 19 Transformada Wavelet continua Completitud del sistema de wavelets La fórmula (2) puede interpretarse de dos formas distintas La señal f puede reconstruirse si se conoce su CWT. La señal f puede escribirse como la combinación lineal de wavelets ψu,s , donde los coeficientes en la combinación lineal son los coeficientes CWT. Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud La fórmula (3) es la Identidad de Parseval que establece la conservación de la energı́a en el dominio de la CWT. Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 13 / 19 Transformada Wavelet Discreta Definiciones Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames La Transformada Wavelet Discreta (DWT: Discrete Wavelet Transform) puede obtenerse de la CWT restringiendo los parámetros de escalado y translación a m valores discretos de la forma s = sm 0 , u = nu0 s0 (m, n ∈ Z), resultando Z ∞ −m 2 f (t)ψ s−m Wm,n f = s0 0 t − nu0 dt −∞ Los átomos wavelet ψu,s (t) , ψm,n (t) = Parte III (Wavelets) −m s0 2 ψ √1 ψ s t − nu0 sm 0 sm 0 t−u s −m 2 = s0 resultan ψ s−m 0 t − nu0 Semestre 2, 2006 14 / 19 Transformada Wavelet Discreta Definiciones Surgen los siguientes dos interrogantes Parte III Es posible caracterizar a f completamente a partir de sus coeficientes DWT hf, ψm,n i ? O todavia más exigente, es posible reconstruir f de una manera numéricamente estable a partir de hf, ψm,n i ? Es posible escribir a cualquier función f como la superposición de bloques elementales ψm,n ? Puede escribirse un algoritmo simple para computar los coeficientes de esa superposición ? Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames En el caso de la CWT la respuesta a estas preguntas las daba la fórmula de resolución de la identidad (2), bajo la condición de admisibilidad de ψ. En el caso discreto, no existe un análogo a la fórmula de resolución de la identidad, por lo que el problema debe ser atacado de otra forma. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 15 / 19 Transformada Wavelet Discreta DWT Frames Nos restringiremos a funciones f (t) ∈ L2 (R). Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Para que las funciones se puedan caracterizar por sus coeficientes wavelet hf, ψm,n i, se debe verificar que si hf1 , ψm,n i = hf2 , ψm,n i ∀m, n ∈ Z, entonces f1 ≡ f2 . O equivalentemente si Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames hf, ψm,n i = 0 ∀m, n ∈ Z, entonces f = 0. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 16 / 19 Transformada Wavelet Discreta DWT Frames Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Para poder reconstruir f a partir de hf, ψm,n i debemos asegurar que si la secuencia {hf1 , ψm,n i}m,n∈Z es próxima a la secuencia {hf2 , ψm,n i}m,n∈Z , entonces necesariamente f1 debe ser próxima a f2 . Asumimos que las secuencias {hf, ψm,n i}m,n∈Z están en el espacio (con estructura Hilbert) `2 (Z2 ), con una métrica inducida por el producto interno entre dos secuencias c1 = {c1m,n }m,n∈Z y c2 = {c2m,n }m,n∈Z definida como X 1 c − c2 2 = |c1m,n − c2m,n |2 m,n∈Z Para toda wavelet ψP ”razonable” se verifica la hipótesis anterior, por lo que m,n∈Z | hf, ψm,n i |2 < ∞, para todo f (t) ∈ L2 (R). Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 17 / 19 Transformada Wavelet Discreta DWT Frames Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames La condición anterior lleva a que se verifique X | hf, ψm,n i |2 < Bkf k2 (4) m,n∈Z P Por otra parte se debe verificar que si m,n∈Z | hf, ψm,n i |2 es pequeño, entonces kf k2 deberı́a ser tambien pequeña. Esto lleva a que debe existir un A > 0 tal que X Akf k2 < | hf, ψm,n i |2 (5) Parte III (Wavelets) m,n∈Z Semestre 2, 2006 18 / 19 Transformada Wavelet Discreta DWT Frames Parte III Contenidos Transformada Wavelet Continua Definiciones Relación EscalaFrecuencia CWT como Filtrado Lineal Completitud Transformada Wavelet Discreta Definiciones DWT Frames Combinando las condiciones (4) y (5) resulta que deben existir constantes A > 0, B < ∞ tal que X Akf k2 < | hf, ψm,n i |2 < Bkf k2 (6) m,n∈Z En otras palabras, para que sea posible una reconstrucción numéricamente estable de f a partir de los coeficientes wavelet hf, ψm,n i, la secuencia {ψm,n ; m, n ∈ Z} debe constituir un frame. Parte III (Wavelets) Semestre 2, 2006 19 / 19

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