Aplicación de la convolución a la teor´ıa de probabilidad: densidad

Aplicación de la convolución
a la teorı́a de probabilidad:
densidad de la suma de dos variables aleatorias
independientes absolutamente continuas
Unas definiciones necesarias:
Función de distribución de una variable aleatoria. Sea (Ω, F, P) un espacio de
probabilidad, i.e. un espacio de medida con P(Ω) = 1, y sea ξ : Ω → R una variable
aleatoria, i.e. una función F-medible. La función de distribución de ξ se define por:
Fξ (x) := P(ξ ≤ x) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x}).
La función Fξ siempre es creciente (en el sentido amplio), Fξ (−∞) = 0, Fξ (+∞) = 1.
Función de densidad de una v.a. absolutamente continua. Se dice que ξ es continua
si Fξ es continua. Se dice que ξ es absolutamente continua si Fξ se puede escribir en forma
Zx
Fξ (x) =
fξ (u) du,
−∞
donde fξ ∈ L1 (R). En este caso fξ se llama función de densidad de ξ.
1. Ejemplo: distribución uniforme en un intervalo. Calcular Fξ si fξ =
1
1[a,b] .
b−a
Media y varianza. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea ξ : Ω una variable
aleatoria. La media de ξ se define por:
Z
E(ξ) = ξ(ω) dP(ω).
Ω
La varianza de ξ se define por:
Var(ξ) = E((ξ − E(ξ))2 ).
p
La desviación tı́pica de ξ se define como Var(ξ).
Si ξ es absolutamente continua, entonces
Z
Z
E(ξ) = x fξ (x) dx,
Var(ξ) = (x − E(ξ))2 fξ (x) dx.
R
R
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Ejemplo: distribución normal. Se dice que una variable aleatoria continua ξ sigue
una distribución normal de parámetros a y σ y se denota ξ ∼ N (a, σ) si su función de
densidad está dada por:
(x−a)2
1
fξ (x) = √ e− 2σ2 .
σ 2π
2. Tarea: media y varianza de la distribución normal. Sea ξ una v.a. de distribución
normal con parámetros a y σ. Demostrar que E(ξ) = a, y la desviación tı́pica de ξ es σ,
i.e. Var(ξ) = σ 2 .
Variables aleatorias independientes. Variables aleatorias ξ y η son independientes si
su distribución conjunta
Fξ,η (x, y) := P(ξ ≤ x ∧ η ≤ y)
cumple la fórmula Fξ,η (x, y) = Fξ (x)Fη (y).
Densidad de distribución conjunta de variables aleatorias independientes. Si ξ
y η son variables aleatorias independientes absolutamente continuas, entonces para todo
subconjunto medible D de Rn se cumple la siguiente fórmula:
ZZ
P((ξ, η) ∈ D) =
fξ (u)fη (v) du dv.
D
3. Tarea: densidad conjunta de la suma de dos variables aleatorias independientes. Sean ξ y η variables aleatorias independientes absolutamente continuas. Demostrar
que ξ + η también es absolutamente continua:
Zx
Fξ+η (x) =
fξ+η (u) du,
−∞
donde fξ+η = fξ ∗ fη , i.e.
Z
fξ (x − y)fη (y) dy.
fξ+η (x) =
R
4. Tarea: suma de dos variables de distribución normal. Sean ξ, η ∼ N (0, 1).
Demostrar que ξ + η ∼ N (0, 2).
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