INTEGRACIÓN APROXIMADA

Humboldt Marine Training
INTEGRACIÓN APROXIMADA
Preparado por
Ing. Boris L. GUERRERO B.
Valparaíso, CHILE, 2011.
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INDICE DE MATERIAS
Anexo “A” …………………………………………………………………..
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Método Trapecios ……………………………………………………….
3
Problema Método Trapecios ……………………………………….
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1ª Regla de Simpson …………………………………………………….
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Problema de 1ª Regla de Simpson ………………………………..
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2ª Regla de Simpson ……………………………………………………..
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Problema de la 2ª Regla de Simpson …………………………….
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INTEGRACIÓN DE ÁREAS
Hemos dicho que las naves son diseñadas con formas empíricas de su casco,
obtenidas del comportamiento hidrodinámico que se observe en los canales
de pruebas de los diseñadores y por la observación del rendimiento que
presenten las naves durante sus navegaciones. Además sus formas NO
responden a curvas ni ecuaciones matemáticas. Por lo tanto para integrar
áreas o volúmenes no podemos recurrir a los procedimientos enseñados en
Cálculo Integral. Se han desarrollado procedimientos de integraciones
aproximados que producen resultados aceptables y satisfactorios ya que en
estabilidad no se requiere trabajar con demasiada exactitud. Haremos
mención a los principales métodos usados para las citadas integraciones.
Método de los Trapecios
Consiste en dividir el área que queremos integrar en una serie de trapecios,
mediante líneas verticales (ordenadas) igualmente distanciadas entre sí. Este
método es fácil y práctico, aunque es el menos exacto. En cálculos que deben
presentarse a la Autoridad Marítima chilenas este procedimiento es
aceptado. Veremos un ejemplo para explicarlo.
Todas las ordenadas están separadas por una distancia “h”. Las
secciones de áreas obtenidas las aproximaremos a ’trapecios’, al
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unir los extremos superiores de las ordenadas por líneas rectas. El
área de la 1ª sección será por lo tanto:
A1 = h x
Y1 + y2
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Si completamos la suma de áreas parciales podremos llegar a la
siguiente expresión, luego de factorizar la distancia ‘h’, que
aparecerá en todos los términos:
A = h x (y1/2 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + ….. + yn-1 + yn/2)
En que : A = Area
h = Distancia entre ordenadas
y = Ordenadas
PROBLEMA
Se tiene un área con los siguientes datos:
y1 = 25 cm
y2 = 29 cm
y3 = 26 cm
y4 = 24 cm
y5 = 21 cm
y6 = 18 cm
y7 = 11 cm
h = 9 cm
Determinar el valor del área por el Método de los Trapecios.
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RESPUESTA
A = h x (y1/2 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7/2)
A = 9 x (25/2 + 29 + 26 + 24 + 21 + 18 + 11/2)
A = 9 x 136 cm2 = 1.224 cm2
Reglas de Simpson
Más exactitud podemos conseguir si usamos las reglas de Simpson.
En ellas las partes superiores de los trapecios se aproximan a
curvas, tal como veremos.
La 1ª Regla de Simpson aproxima el trozo de curva a una parábola
de segundo grado del tipo:
Se emplea para integraciones aproximadas de áreas que se hayan
dividido en un cierto número de áreas ‘pares’, o lo que es lo mismo,
que tenga ordenadas ‘impares’. Evidentemente se logrará mayor
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exactitud si al área que se calculará se ha dividido en un mayor
número de áreas parciales.
En el gráfico inferior se muestra la función que quiere ser integrada
y también se indica la función de 2º grado que considera la 1ª Regla
de Simpson (en línea de segmentos rojos).
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La expresión general que se obtiene al desarrollar esta integración
aproximada es:
A = h/3 x (y1 + 4y2 + 2y3 + 4y4 + 2y5 + 4y6 + ….. + 4yn-1 + yn)
En que: A = Área
h = Distancia entre ordenadas
y = Ordenadas
Podemos observar que obtendremos coeficientes:
1 4 2 4 2 4 2 4 2 ………………….. 2 4 1
Para 3 ordenadas tendremos:
1 4 1
Para 5 ordenadas tendremos:
1 4 2 4 1
Para 7 ordenadas tendremos:
1 4 2 4 2 4 1
Para 9 ordenadas tendremos:
1 4 2 4 2 4 2 4 1
Etc ….
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PROBLEMA
Se tiene un área con los siguientes datos:
y1 = 25 cm
y2 = 29 cm
y3 = 26 cm
y4 = 24 cm
y5 = 21 cm y6 = 18 cm
y7 = 11 cm
h = 9 cm
Determinar el valor del área por medio de la 1ª Regla de
Simpson.
RESPUESTA
A = h/3 x (y1 + 4 x y2 + 2 x y3 + 4 x y4 + 2 x y5 + 4 x y6 + y7)
A = 9/3 x (25+ 4 x 29+2 x 26 +4 x 24+2 x 21 +4 x 18 + 11)
A = 3 x (25 + 116 + 52 + 96 + 42 + 72 + 11)
A = 3 x 414 cm2 = 1242 cm2
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PROBLEMA
Dibuje un cuadrante de círculo de radio 12 cm y calcule el área por ambos
métodos, dividiendo primero en 4 partes el cuadrante y luego en 8.
Compare los resultados con el cálculo geométrico.
2ª Regla de Simpson
Es aplicable en los casos que los espacios limitados por las ordenadas sean
divisibles por “3”.
Por ejemplo, si tenemos 4 ordenadas se forman 3 espacios y podemos aplicar
la 2ª Regla de Simpson:
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Área = 3/8 h (a+3b+3c+d)
Si tuviéramos 7 ordenadas se formarían 6 espacios (serían divisibles por 3),
tendríamos:
Multiplicadores:
1
1
3
3
3
3
1
1
3
3
1
2
3
3
1
Área = 3/8 h (a+3b+3c+2d+3e+3f+g)
Y así sucesivamente
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Se tienen las siguientes semi-mangas del plano de flotación de una
embarcación:
0 0,50 0,80 1,10 1,35 1,60 1,40 1,20 1,05 0,32
Las semi mangas están separadas por 0,60 m.
Calcular el área del plano de flotación.
RESPUESTA
Dado que hay 9 tramos igualmente distanciados, podemos aplicar la 2ª Regla
de Simpson
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3
3
1
1
3
3
1
1
1
3
3
2
3
3
3
3
1
2 3
3
1
Semi Area = 3/8 0,40 (1x0+3x0,5+3x0,8+2x1,1+3x1,35+3x1,6+2x1,4+3x1,2+
+3x1,05+1x0,32)
= 3,2025 m2
Area
= 6,405 m2
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