1 0) Introducción a las características gráficas. Comandos de dibujo

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4º Ingeniería Industrial
Gabriel López
Dept. Ing. Eléctrica y Térmica (UHU)
0) Introducción a las características gráficas. Comandos de dibujo.
1) Conducción-convección.
2) Aletas.
3) Radiación.
1
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4º Ingeniería Industrial
0) INTRODUCCIÓN A
COMANDOS DE DIBUJO.
0.1)
Gabriel López
Dept. Ing. Eléctrica y Térmica (UHU)
CARACTERÍSTICAS
LAS
GRÁFICAS.
GRÁFICOS EN 1D
Definir axis/grid
Definir mallado
Definir propiedades
Calcular
subdominios y fronteras
solución
Dibuja solución y
cálculos
Modo ‘mesh’
Dibuja una línea
Centra la fig.
Modo ‘subdomain’
Modo dibujo
Modo ‘boundary’
0.2)
GRÁFICOS EN 2D
Crea figuras curvas
Crea la diferencia de
2 figuras
Elimina fronteras
internas
Redondea esquinas
2
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PRÁCTICA 1: CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN.
Simetrías
Creating Cartesian and Cylindrical Coordinate Systems
FEMLAB uses a global cartesian or cylindrical (axisymmetric) coordinate system. You select the
geometry dimension and coordinate system when starting a new model in the Model Navigator. By
default, variable names are x, y, and z for Cartesian coordinates and r, f , and z for cylindrical coordinates.
The coordinate variables (together with the time for time-dependent models) make up the independent
variables in FEMLAB models.
THE COORDINATE SYSTEMS AND THE SPACE DIMENSION
The default names for coordinate systems vary with the space dimension:
•
•
•
Models that you open using the space dimensions 1D, 2D, and 3D use the Cartesian coordinates x, y,
and z.
In 1D axisymmetric geometries the default coordinate is r, the radial direction. The “x-axis”
represents r.
In 2D axisymmetric geometries the x-axis represents r, the radial direction, and the y-axis represents
z, the height coordinate.
For axisymmetry cases the geometry model must fall in the half plane. To select the coordinate system
and space dimension, select 1D, 2D, 3D, Axial symmetry (1D) or Axial Symmetry (2D) from the Space
dimension list in the Model Navigator. You can do this before starting a new model or by clicking the
Add Geometry button when creating models with multiple geometries. (pag. 29, guide.pdf)
USING SYMMETRIES
By using symmetries in a model you can reduce the size its size by one-half or more, making this an
efficient tool for solving large problems. This applies to the cases where the geometries and modelling
assumptions include symmetries.
Types of Symmetries
The most important types of symmetries are axial symmetry and symmetry and antisymmetry planes or
lines.
AXIAL SYMMETRY: Axial symmetry is common for cylindrical and similar 3D geometries. If the
geometry is axisymmetric, there are variations in the radial (r) and vertical (z) direction only and not in
the angular (?) direction. You can then solve a 2D problem in the r-z plane instead of the full 3D model,
which can save considerable memory and computation time. Many FEMLAB application modes are
available in axisymmetric versions.
SYMMETRY AND ANTISYMMETRY PLANES OR LINES: These are common in both 2D and 3D
models. Symmetry means a model is identical on either side of a dividing line or plane. For a scalar field,
the normal flux is zero across the symmetry line. In structural mechanics, the symmetry conditions are
different. Antisymmetry means that the loading of a model is oppositely balanced on either side of a
dividing line or plane. For a scalar field, the dependent variable is 0 along the antisymmetry plane or line.
Structural mechanics applications have other antisymmetry conditions. Many FEMLAB application
modes have symmetry conditions directly available in the Boundary Settings dialog box.
Using Symmetry when Modelling
To take advantage of symmetry planes and symmetry lines, all of the geometry, material properties, and
boundary conditions must be symmetric, and any loads or sources must be symmetric or antisymmetric.
You can then build a model of the symmetric portion, which can be half, quarter, or an eighth of the full
geometry, and apply the appropriate symmetry (or antisymmetry) boundary conditions. (pag 473.,
guide.pdf)
3
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1.1) CONDUCCIÓN DE CALOR EN CONDUCTOS.
Calcular la densidad de flujo térmico por metro lineal de un conducto cilíndrico,
de diámetro exterior de = 12 cm, y diámetro interior di = 5 cm, si la temperatura Te
= 200 ºC y la interior Ti = 60 ºC. Se supondrá una conductividad térmica a la
temperatura media de 0.5811 W/(m K).
Sabiendo que:
T (r ,ϕ ) =
ln( r / ri )
(Te − Ti ) + Ti
ln( re / ri )
(1)
la solución es:
T −T 1
T −T
dT
dT
Q& = − kA
= −k ( 2πrL )
= −k 2πrL e i
= −2πkL e i = 583.78 W
dr
dr
ln(re / ri ) r
ln(re / ri )
donde hemos supuesto L = 1 m, con lo cual sabemos que se absorben 583.78 W por metro lineal. Hay que
notar que el flujo de calor es independiente del punto radial que se escoja.
1.1.a) SOLUCIÓN EN 3D
Componemos inicialmente la geometría del problema (Fig. 1). En este caso la longitud del cilindro L (que
lo hemos elegido L = 0.1 m) no nos interesa, ya que nos piden la el flujo de calor por unidad de metro
lineal. A lo que nos salga, habrá que dividirlo por L. El valor de L hay que escogerlo de tal forma que
luego no nos dificulte la generación de la mesh, que es el paso siguiente. A partir de la mesh por defecto,
intenta reducir el nº elementos, de tal forma que no se pierda resolución en las caras de arriba y de abajo
(Fig. 2).
Fig. 2 (9475 elementos)
Fig. 1
Después de ejecutar ‘solve’, nos aparecerá la distribución de temperaturas (Fig. 3)
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Fig. 3
Nos interesa obtener valores numéricos como el área de cada superficie, la T o el flujo de calor.
Fundamentalmente en las superficies. Para ello en la barra de tareas abrimos: ‘Postprocessing
>Boundary integration’. Seleccionamos la cara exterior –pinchando con el ratón en cada nº y
manteniendo pulsada la tecla ‘Ctrl’ (Fig. 4)- En la opción ‘predefined quantities’ la dejamos en blanco.
En la casilla ‘expression’ ponemos ‘1’, que nos da la integral del boundary (si es una superficie en m2, si
es una longitud en m). La casilla marcada ‘integration order’ la desactivamos y ponemos a la derecha un
‘10’ en vez de ‘4’. Pulsamos ‘apply’. En la ventana inferior de texto leeremos ‘Value of integral:
0.037699, Expresión: 1, Boundaries: 1, 2, 7 and 9’ Repetimos el proceso con la superficie interior.
Ae = 0.037699 m2. La teórica es 2·π·re·L = 0.0376991 m2.
Ai = 0.015708 m2. La teórica es 2·π·ri·L = 0.0157079 m2.
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Calculamos la temperatura de cada superficie. La lectura que nos da es integrada en toda la superficie, por
lo que deberemos dividirla por el correspondiente valor del área.
Te-sup = 17.83159 K m2 ⇒ Te = Te-sup/Ai = 472.999 K ≈ 200 ºC
Ti-sup = 5.230692 K m2 ⇒ Ti = Ti-sup/Ai = 332.995 K ≈ 60 ºC
Ahora obtenemos el flujo de calor que atraviesa cada superficie. En la casilla ‘predefined quantities’
seleccionamos ‘Normal total heat flux’. Los valores que leemos para cada superficie son
aproximadamente:
Qi = 57.6 W
Qe = -57.9 W
Si seleccionamos las 2 superficies y calculamos el calor total: -0.3 W, que es la suma de los anteriores
(debería salir 0 W).
Dichos flujos son para L = 0.1 m. Para L = 1 m (o por metro lineal) tendríamos Q = 576 W en la interior y
579 W en la exterior. Dichos valores están próximos al teórico calculado inicialmente de 583.8 W.
Seleccionemos ahora cualquiera de las superficies de arriba o de abajo. Calculamos su área = 0.009346
m2. Ahora calculamos el valor de la temperatura: T = 3.948324 K m2, que corresponde al valor integrado
de la temperatura en toda la superficie. El valor medio de la temperatura en una sección horizontal sería
entonces:
<T > =
∫∫ T (r , ϕ )r dr dϕ = 1 T (r , ϕ )r dr dϕ
A ∫∫
∫∫ rdrdϕ
(2)
En nuestro caso FemLab da: <T> = 3.948324 K m2 / 0.009346 m2 = 422.5 K = 149.5 ºC
1.1) ¿Qué error relativo porcentual se comete respecto al teórico? Realiza la integral (2)
usando la Ec. (1).
Los valores del flujo de calor normal a esas superficies salen del orden de 10-4 W. Debería ser 0 W ya que
hemos impuesto condición de aislamiento.
Juguemos ahora con la opción Subdomain integration:
Calculemos el volumen poniendo en la casilla ‘expression’ un 1. Obtendremos: 4.67311e-4 (V = π(re2ri2)·L). La temperatura media del cilindro es: Tmedia = 0.197415 K m3 ⇒ Tmedia/V= 422.4 K = 149.4 ºC,
que coincide con el valor de la sección horizontal obtenido anteriormente.
1.2) ¿Por qué puede ser que coincidan los dos valores de temperatura: Tmedia y Tsecc horiz?
Para L = 0.1 m tenenemos: Q = 2.044115 W y V = 0.0009346 m3.
Veamos ahora la distribución de calor superficial y la propagación del flujo de calor en el cilindro:
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Sin embargo, el problema tiene simetría axial. Esto es muy importante, ya que todos los resultados
anteriores los podríamos haber obtenido considerando una geometría mucho más simple en 2D. Aunque
en este caso, la potencia de cálculo del PC es suficiente para ser rápido en este caso, en otras geometrías
más complejas, y con acoplamiento de otros fenómenos, buscar simetrías es esencial.
Para comprobar la simetría del problema, utilicemos el comando ‘>Postprocessing>Cross-Section Plot
Parameters’. Vayamos a la pestaña ‘Slice’ y marcamos ‘Slice plot’ en caso de que no lo estuviera. En la
casilla ‘Predefined quantities’ seleccionamos la que nos interese, en este caso la temperatura, p.e. Ahora
hay que definir el plano de corte. Como sabemos, tres puntos definen un plano. Dichos puntos se
introducen en la opción: ‘plane through three points’ donde aparecen 9 casillas correspondientes a las 3
coordenadas de los 3 puntos (x0,y0,z0), (x1,y1,z1),(x2,y2,z2). El plano que elegiremos será p.e. el plano
vertical que pase por la mitad del cilindro. ¿Qué puntos hay en ese plano? Por ejemplo los siguientes:
p1=(0,0,0), p2=(0.06, 0, 0), p3=(0, 0, 0.1)
La figura resultante es:
Comprobamos la simetría del problema, que utilizaremos más adelante.
Sin salirnos de la ventana ‘Cross-Section Plot Parameters’ abandonamos la pestaña actual y nos
metemos en ‘Line/Extrusion’. Esta opción define una línea a través de la geometría para representarnos
posteriormente la variación de alguna magnitud física en dicho camino. Activar las casillas ‘Line plot’ o
‘Extrusion Plot’ en este caso es indiferente. La ‘predefined quantity’ en el ‘y-axis data’ puede ser p.e.
la temperatura. Lo que queramos que nos aparezca en el ‘x-axis data’ lo seleccionamos (p.e. si la línea va
a estar sobre el eje-x, pues x). Finalmente definimos la recta. Si anteriormente para un plano necesitamos
3 puntos, para una recta necesitaremos 2. Como vemos que la T no varía con la altura (eje z), cojamos la
línea que va desde el origen hasta el borde, en la base y en el eje x: p0(0, 0, 0) y p1(0.07, 0, 0).
Obtenemos la variación de la temperatura.
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1.3) ¿Corresponde dicha variación a la teórica dada por la Ec. (1)?. Representa dicha
función con una hoja de cálculo y contrasta resultados.
De igual forma podemos hacer para obtener la variación de q con el radio, seleccionando en este caso
‘total heat flux’.
1.4) - ¿Por qué varía este flujo de calor con el radio (o eje-x) si anteriormente comentamos
que era independiente de la posición radial?
- ¿Cuáles son sus unidades?
- ¿Cuál es la expresión de la dependencia radial teórica del flujo de calor dado por ‘total
heat flux’?
- Representa dicha función en una hoja de cálculo y compárala con la dada por FemLab.
1.1.b) SOLUCIÓN EN 2D: SIMETRÍA LONGITUDINAL.
Hemos visto que la distribución de temperaturas y de calor en el cilindro es independiente de la longitud
(o altura). Ello nos sugiere analizar el problema eliminando esa dimensión. La nueva geometría sería la
dada en la Fig. 1, y el mallado como el dado en figura siguiente con 2520 elementos (notar la reducción
respecto al caso anterior pero con una mayor densidad).
Tras pulsar ‘solve’ obtenemos la distribución de temperaturas como la figura siguiente. Hemos incluido
además la dirección y sentido de la densidad de flujo de calor mediante flechas (En ‘>Plot Parameters’
nos vamos a la pestaña ‘Arrow’ y la activamos. Seleccionamos en ‘Subdomain’ la magnitud ‘Total heat
flux’. El nº de flechas en ambos ejes lo elegimos por ejemplo a 15, según nos guste que aparezcan más o
menos)
Comprobamos que las distribuciones obtenidas se corresponden con las de las superficies horizontales en
el caso anterior. Obtengamos algunos valores numéricos:
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Las temperaturas (Te = 178.316796 K m, y Ti = 52.307503 K m) coinciden con las definidas. La densidad
de flujo de calor es: qe = -583.789221 W/mlineal y qi = 583.668607 W/mlineal. El valor teórico exacto es
583.78 W/mlineal. Vemos como reduciendo la complejidad de la geometría, que nos permite aumentar la
densidad del mallado, FemLab ajusta mucho mejor la solución.
Resulta ahora más fácil obtener la variación de temperaturas o calor con el radio. Para ello pinchamos en
el penúltimo botón de la barra de herramientas izquierda (‘Draw line for cross-section line plot’) Ahora
marcamos la línea desde el centro (p.e.) hasta el borde. Obtendremos la misma Fig. para la variación de T
con r, que la obtenida anteriormente. Si cambiamos ahora en ‘>Post processing>Plot parameters’ y en
vez de representar la T en la pestaña ‘surface plot’ elegimos ‘Total heat flux’, y seguidamente volvemos
a dibujar la línea anterior, obtendremos la variación de q con el radio.
1.1.c) SOLUCIÓN EN 2D: SIMETRÍA AXIAL.
Comprobamos la simetría axial existente. Comprobemos si somos capaces de obtener la misma solución
con este nuevo planteamiento. Para ello en ‘Model Navigator’ en la opción ‘Space dimension’ elegimos
‘Axial simmetry (2D)’ y el módulo que nos interese. Dibujamos una sección vertical del cilindro. En este
caso he elegido una altura de L= 0.1 m. El eje de simetría está localizado en el origen. La geometría
resultante y el mallado correspondiente (con tan solo 90 elementos) lo vemos en estas figuras:
La distribución de T y q que obtenemos son las siguientes:
que coinciden con las previas.
1.5) ¿Qué valores de T y Q se obtienen en cada uno de los 4 bordes? Comenta los
resultados obtenidos ¿Cuál es el error existente entre la densidad de flujo de calor
obtenida en este caso y la teórica? representa la variación de T y Q con el radio.
Es interesante señalar que la longitud del cilindro no afecta los cálculos. Eso significa que en vez de 2D el
problema puede resolverse en 1D. Veámoslo.
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1.1.d) SOLUCIÓN EN 1D: SIMETRÍA AXIAL
Seleccionamos ‘Axial Simmetry (1D)’ y el módulo. Dibujamos la línea, definimos condiciones de
contorno y las propiedades del subdominio y generamos la mesh (¡solo 30 elementos!)
Después de ejecutar ‘solve’, nos encontraremos con la evolución de la temperatura en función del radio.
En la opción ‘>Postprocessing>Plot parameters’ podremos seleccionar además que nos muestre los
valores ‘Min/Max’ de las variables. Podemos también representar la densidad de flujo de calor. Ambos
resultados coinciden con los obtenidos en los apartados anteriores.
1.6) ¿Cuál es el flujo de calor por unidad de metro lineal? ¿Qué error se comete respecto a
la solución teórica? Representa la variación de T y Q para esta geometría.
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1.2) RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO
El radio crítico rc de un aislante en conductos cilíndricos nos caracteriza el espesor de aislante para el cual
el flujo de calor que lo atraviesa es máximo:
rc =
k aislante
hc
Es posible que para tuberías pequeñas o para alambres, el radio ri sea menor que rc, en cuyo caso la
adición de aislante a la tubería o cilindro, descubiertos, (punto a), determina un aumento del calor cedido,
hasta que se alcance el radio crítico rc, tal como se muestra en la Fig II.5.a.
Un aumento posterior del espesor del aislante hará que el calor disipado descienda desde el máximo a otro
valor inferior (punto b), de radio r*, en que el calor disipado es igual al del tubo o cilindro desnudos; es
posible que, en estas circunstancias, la solución encontrada sea absurda e imposible de llevar a la práctica.
Por lo tanto, para conseguir una pérdida de calor menor que la que cede el tubo o cilindro al descubierto,
será preciso añadir un espesor de aislante e superior a (r* - ri) ⇒ e > r* - ri.
En la Fig II.5.b, se tiene una situación típica de tubería de gran diámetro (2 ri) en la que el radio exterior
de la misma ri es mayor que el radio crítico rc y, en consecuencia, cualquier aislante que se añada,
disminuirá la pérdida de calor.
Para, Bi < 1, que implica que (ri < rc) la adición de aislamiento en cilindros o tuberías de pequeño
diámetro, incrementa la cantidad de calor transferida al exterior.
Para, Bi > 1, que implica que (ri > rc) el aislamiento adicional a tuberías y conducciones de gran diámetro,
hará disminuir la transferencia de calor, lo que implica un mejor aislamiento.
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2) Sea una tubería de acero (steel AISI 4340) con ri = 4 mm y re = 6 mm, por la que
circula vapor saturado a 480 K. Con la tubería sin calorifugar, se ha estimado que
el coeficiente convectivo hc-e = 17 W/m2 K, siendo la temperatura del aire exterior
es T8 = 305 K. El coeficiente de convección superficial entre el vapor y la pared
interna de la tubería es hc-i = 10000 W/m2 K.
a) Determinar la temperatura de las superficies interior y exterior, y las
pérdidas térmicas por unidad de longitud.
b) A continuación se calorifuga la tubería con magnesia (kais = 0.083 W/m K).
Ello supone que el coeficiente de convección exterior cambie a hc-e = 8 W/m2 K.
Rellene la siguiente tabla. Representar el flujo de calor frente al radio de
aislamiento y frente al número de Biot. ¿Para qué valor de r se observa una
pérdida de calor máxima? ¿Cuál es el radio crítico? ¿A partir de qué espesores
se obtendría un aislamiento efectivo?
Espesor, r (m)
Bi
T (K)
0.
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
0.017
0.018
0.019
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Q (W/m)
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PRÁCTICA 2: ALETAS.
1. Introducción
Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de
transmisión de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire condicionado, hasta
los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de
absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y
calentamiento en la industria química, etc.
Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es
conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que
se conocen como aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección
recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie,
tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con
dimensiones en las que la relación (longitud/espesor) es del orden de 5/1 ÷ 50/1, y espesores
del orden de 0,5 ÷10 mm.
Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo
longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana,
siempre que el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta. Cuando las aletas son
sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su disposición puede
admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base sea
pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución de
temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que
la relación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la
base, es elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando
esta hipótesis no se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres
dimensiones.
2. Estudio de aletas de sección transversal constante
En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a
igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig. hemos representado una de sección transversal
rectangular, de altura L, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que
toma el número de Biot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y
luego se elimina por convección al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es
TF, y el coeficiente de transmisión de calor por convección es hc, siendo constantes ambos
valores.
Las ecuaciones diferenciales que describen la transferencia de calor y la distribución de
temperaturas
δQ
δQ x


Q x −  Q x + x dx  − Qc = 0 ⇒
dx + Qc = 0
∂x
∂x


siendo
 ∂T 
Q x = − kS 
 y Qc = hc ( pdx)(Tx − TF )
 ∂x  x
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EJEMPLO: Condición de contorno de aleta muy larga
Una varilla de aluminio de sección transversal rectangular de 2 mm de espesor y 80 mm de
anchura, (aleta de la culata de un motor, extremo libre aislado), tiene en su base de contacto
con la culata una temperatura de 250 °C.
Determinar
a) La temperatura en su extremo libre situado a 5 cm
de la base, si se supone que la temperatura TF del
medio ambiente es de 15 °C.
b) La cantidad de calor disipada al exterior.
c) La eficiencia de la aleta.
d) La resistencia térmica de la aleta.
Otros datos: k = 557,87 W/mK, hC= 111,57 W/m2K
Solución en 3D:
1) Dibujamos la geometría:
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2) Introducimos los parámetros del problema.
2.1) A nivel del sólido (subdomain): introducimos el valor de la conductividad térmica.
2.2) A nivel de superficie (boundary): seleccionamos la superficie y definimos
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3) Generamos el mallado: Normal Mesh.
4) El método de resolución (Solver Parameters) será siempre Direct(UMFPACK), y la casilla de
“symmetric matrices” la tendremos desactivada.
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5) Resolvemos: obtenemos la distribución de T p.e.:
Ya podemos contestar las respuestas:
a) La TL = 473 K = 200 ºC en el extremo.
b) El flujo térmico disipado lo calcularíamos usando en la pestaña de Postprocessing>Boundary
Integration. Seleccionamos la superficie base de unión y seleccionamos ‘normal total heat
flux’ y OK. El valor que leemos es Q = -184.5 W. (el signo negativo indica que el flujo de calor
se desplaza en sentido contrario al vector normal de la superficie, en este caso indicaría que entra
en la aleta).
c) Por último, el rendimiento de la aleta se define como el cociente entre el calor real disipado
(184.5 W) y el que disiparía una aleta ideal a la temperatura de la base (250 ºC, 523 K). Esta
condición (sistema isotermo) se traduce en suponer que la aleta tiene un k = ∞, de tal forma que
su resistencia térmica es cero. Ese será entonces el parámetro que tengamos que modificar. Un k
infinito puede ser p.e. k = 100000000 W/mK. Al hacerlo, se obtine un Qideal = 215 W. El
rendimiento de la aleta será por tanto η = 184.5 W/215 W = 0.858.
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Solución en 2D:
La temperatura en el extremo de la aleta sigue dando el mismo valor. Pero cambia el valor de q = -2255.1
W/m. Si la longitud de la aleta es de 0.08 m, se sigue entonces que Q = 2255.1*0.08 = 180.4 W. El qideal =
-2619.5 W/m ⇒ Qideal = 209.6 W, y el rendimiento es η = 0.86.
Para un conjunto disipador de aletas + superficie, se define la resistencia térmica como: Rdisipador =
1/hc(Abase + ηAaletas). Para una aleta, si Qreal = ηhcAfin (Tbase-Taire) ⇒ Rfin = 1/ηhcAfin.
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3) Sea un chip de dimensiones (20 × 20 × 2) mm. Su temperatura máxima permitida es
Tchip = 85 ºC (358 K). La superficie superior está en contacto con el aire el cual se
encuentra a T∞ = 20 ºC. La única forma de disipar el calor es mediante convección natural
con el aire. Suponiendo un coeficiente de convección hc = 5 W/m2K,
¿Si la potencia consumida por el chip son 8 W, cuál será la temperatura de equilibrio
alcanzada por el chip a lo largo del tiempo?
Para asegurar que la temperatura del chip no supere 85 ºC, se le debe acoplar un
disipador de calor constituido por un conjunto de aletas de sección transversal constante
rectangular (según figura). El material del disipador de calor es aluminio (con k = 160
W/mK). Para evacuar el calor se hace pasar aire a través de las aletas con una T∞ = 20 ºC.
Entre el disipador y el chip se le aplica una pasta térmica conductora cuya resistencia
térmica R = 2e-6 m2K/W (R = espesor/k)
Rellenar la tabla siguiente para Nfins = 6:
hc
(W/m2K)
ηfin
(teorico)
Qchip
(W)
R
(K/W)
100
200
300
400
500
600
700
800
Discutir cómo varían el rendimiento del disipador ηfin , la máxima potencia disipada
por el chip (Qchip) y la resistencia térmica del disipador (R) según hc. Representa
gráficamente la variación de tales parámetros frente a hc.
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Para hc = 100 W/m2K rellena la siguiente tabla:
Nfins
t
(mm)
Afins
(m2)
Abase
(m2)
Atotal
(m2)
ηfin
(teorico)
Qchip
(W)
R
(K/W)
0
6
7
8
9
10
11
Discutir cómo varían el rendimiento del disipador, la máxima potencia disipada
por el chip (Qchip) y la resistencia térmica del disipador según el nº de aletas.
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PRÁCTICA 3: RADIACIÓN
Introducción
La energía transmitida en forma de calor se hace mediante ondas electromagnéticas a la
velocidad de la luz; la energía que abandona una superficie en forma de calor por radiación,
depende de su temperatura absoluta y de la naturaleza de la superficie. Un radiador perfecto o
cuerpo negro, emite un flujo de energía por radiación a través de su superficie, dada por la
ecuación:
Q = σ A T4
[W]
siendo: σ = 5.67 .10-8 W/m2K4, la constante de Stefan –Boltzmann, A el área superficial en m2 y
T es la temperatura superficial en K.
Si un cuerpo negro A1 irradia a un recinto A2 que le rodea completamente, y que se puede
considerar como una superficie negra, la transferencia neta de energía radiante, viene dada por:
Q = σ A1 (T14 - T24)
siendo A1 el área superficial del cuerpo negro emisor, T1 la temperatura del cuerpo negro emisor
y T2 la temperatura del recinto. Si un cuerpo negro A1 irradia a otro cuerpo negro A2, la
transferencia neta de energía radiante viene dada por:
Q = σ A1 F12 (T14 - T24)
en la que F1-2 se conoce como factor de forma o factor de visión, que modifica la ecuación de
los radiadores perfectos teniendo en cuenta las geometrías relativas de los cuerpos.
Los cuerpos reales no cumplen las especificaciones de un radiador ideal, sino que emiten
radiación a un ritmo inferior al de los cuerpos negros. Si a una temperatura igual a la de un
cuerpo negro emiten una fracción constante ε de la emisión correspondiente a un cuerpo negro,
para cada longitud de onda, se denominan cuerpos grises. Un cuerpo gris emite radiación según
la expresión:
Q = ε1σ A1 T14
La energía radiante neta transferida a la temperatura T1 a un cuerpo negro que lo rodea, (medio
exterior), a la temperatura T2 es:
Q = ε1σ A1 (T14 - T24)
donde el subíndice 1 se corresponde con el cuerpo gris. Si ninguno de los dos cuerpos es un
radiador perfecto, pero existe entre los mismos una determinada relación geométrica, la energía
radiante neta transferida entre ellos viene dado por:
Q = σ A1 F12* (T14 - T24)
en la que F12* es un factor de forma complejo que depende de las emisividades y de las
geometrías relativas a los cuerpos.
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CÁLCULO DE FACTORES DE FORMA.
FemLab considera los factores de forma F (‘ambient view factor’) como el porcentaje de
hemisferio que no tapa la otra superficie, en vez del porcentaje de superficie vista. Además,
siempre da los valores integrados en la correspondiente frontera (línea -2D- o superficie -3D-).
Así pues, el factor de forma se obtiene
F12 = 1 – F12,FemLab/S1
[1]
1. Placas Paralelas del mismo Ancho
Dibujemos la siguiente geometría donde a = 1 m y c = 0.2 m:
Para el cálculo solamente de factores de forma es suficiente elegir el módulo de transferencia de
calor en estado estacionario (steady-state analysis).
Establezcamos las condiciones de frontera y las propiedades de cada subdominio. Todas las
fronteras excepto las que se ven mutuamente serán ‘Thermal insulation’. Las líneas de A1 y
A2 las tomaremos como ‘Temperature’ y pondremos T0 = 1000 K y 300 K, respectivamente.
En la pestaña ‘Radiation type’ eligiremos ‘surface-to-surface’. Se activarán las casillas
inferiores. Para suponer las superficies como cuerpos negros cambiaremos ε = 1, y el resto lo
dejaremos igual. En las opciones de ‘subdomain’ pondremos como temperaturas iniciales las
correspondientes de cada superficie. Generemos una mesh cuadricular como la mostrada arriba
(aunque no es necesario) y resolvamos.
El cálculo del factor de forma lo haremos en ‘postprocessing>boundary integration’.
Elegimos por ejemplo la línea 3 y en la casilla ‘predefined quantities’ seleccionamos ‘ambient
view factor’ y OK. El valor obtenido es F12,FemLab = 0.180156 m. El factor de forma real dado
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por la ecuación [1] es entonces F12 = 1 – (0.180156 m)/(1 m) = 0.819844. El valor teórico es F12
= 0.8198039.
Vemos que FemLab aproxima con un error inferior al 0.005 %. No obstante, es posible mejorar
la precisión aumentando la densidad de la mesh. Volvamos a la opción de ‘map mesh’ y en la
pestaña de ‘boundary’ seleccionemos para las líneas 2 y 3 la casilla ‘constrained edge
element distribution’ y en la casilla ‘number of edge elements’ escribamos 70. Con ello
obtendremos F12,FemLab = 0.180218 m y F12 = 0.819782.
2. Placas Contiguas Largas
Dibujemos la siguiente geometría con a = 1 m y c = 0.4 m.
Seleccionemos las líneas A1 y A2 y pongamos una T cualquiera y permitamos intercambio de
radiación entre superficies. Generemos una mesh y resolvamos. Obtendremos:
F12 =
F12,teórico =
0.161456
0.1614835
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4.1) Calcula el factor de forma de un cilindro largo paralelo respecto a una gran superficie
plana, como muestra la figura, rellenando la tabla adjunta donde se especifican diferentes
valores de la geometría. Analiza y discute cómo influyen tales parámetros en el factor de
forma, y por qué se desvían del valor teórico de ½ (representa en una misma gráfica F12
frente a la distancia entre la placa y el centro del tubo para cada caso).
Distancia entre A2 y el
centro de A1 (m)
0.02
0.08
0.15
0.3
0.8
0.02
0.08
0.15
0.3
0.8
0.08
0.15
0.3
0.8
0.08
0.15
0.3
0.8
Longitud A2
Radio A1
1m
1m
1m
1m
1m
2m
2m
2m
2m
2m
1m
1m
1m
1m
2m
2m
2m
2m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.01 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
0.05 m
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F12
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Dos placas rectangulares iguales y paralelas
(X = L/D, Y = h/D)
Para simular este ejemplo dibujaremos la siguiente geometría: cuadrado 1 (x=1, y=1.4, z=0.8) y
la esquina base en (0, 0, 0); cuadrado 2 (x=1.2, y=1.6, z=1) y la esquina base en (-0.1, -0.1, 0.1). Hacemos la diferencia para crea el sólido. En este caso D = x = 1m, L = y = 1.4 m, h = z =
0.8 m. Establecemos para las dos superficies A1 y A2 intercambio radiativo con una T = 200 K,
por ejemplo, y en todo el subdominio una T inicial de 200 K. Finalmente generamos una mesh y
resolvemos. El valor obtenido F12 = 0.2079812 y F12teórico = 0.20798.
4.2) Rellena la tabla siguiente y procede de igual forma que en el caso anterior
(dibujando los valores obtenidos y discutiendo los resultados encontrados)
Distancia entre A2
y el centro de A1
(m)
1
2
3
6
1
2
3
6
1
2
3
6
1
2
3
6
Longitud L (m)
Altura h (m)
F12 (Femlab)
F12 (teórico)
1.4
2
3
4
1.4
2
3
4
1.4
2
3
4
1.4
2
3
4
0.8
0.8
0.8
0.8
1.5
1.5
1.5
1.5
2
2
2
2
3
3
3
3
0.2079812
0.20798
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