Geometría de los números complejos

Geometría de los números complejos
Deniciones y notación.
Asociaremos al número complejo z = x + iy , en que x y y son reales e i es la unidad imaginaria
(i2 = −1), el punto Z con coordenadas rectangulares (x, y) en un plano cartesiano jo. Esta asociación
establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos lo números complejos y el conjunto
de todos lo puntos reales ordinarios de un plano. El punto Z se denominará imagen o punto representativo, del número complejo z y dicho número recibirá el nombre de ajo, o coordenada compleja del
punto Z . Un plano en que los puntos reales están asociados de este modo con los números complejos se
llama plano de Gauss (o bien, a veces, plano de Argand o plano de la variable compleja o simplemente
plano complejo ). Como el eje x es el lugar geométrico de las imágenes de los números reales, se le
denomina eje real del plano de Gauss; así mismo, como el eje y es el lugar geométrico de las imágenes
de los números imaginarios puros, recibe el nombre de eje imaginario del plano de Gauss.
Designaremos los puntos de un plano de Gauss por letras mayúsculas y sus ajos por las minúsculas
correspondientes. El origen se indicará por O.
Si z es el complejo x + iy , entonces el complejo x − iy se denomina conjugado de z y se representa
por z . La imagen de z se indicará por Z .
Teorema: Si el punto Z tiene como coordenadas polares (r, θ), donde r está sometido a la restricción
de no ser negativo, y si (x, y) son las coordenadas cartesianas rectangulares correspondientes del punto,
entonces
1
y
z = r (cos θ + i sin θ) ,
r = x2 + y 2
/2
,
tan θ =
x
Deniciones y notación: Abreviaremos la expresión cos θ + i sin θ por cis θ. Si (r, θ) , r ≥ 0, son las
coordenadas polares del punto Z , y (x, y) son las coordenadas cartesianas rectangulares correspondientes de Z , llamaremos a rcis θ la forma polar del número complejo z , y a x + iy la forma rectangular
del complejo z . Así mismo, llamaremos r módulo, o valor absoluto, de z y a θ un argumento, o una
amplitud, de z . Escribimos que r = |z| y θ = arg z .
Teorema:
1. Si z = cis θ, entonces z = rcis (−θ).
2. cis θ1 cis θ2 = cis (θ1 + θ2 ).
θ1
3. cis
cis θ2 = cis (θ1 − θ2 ).
Teorema: Si dos números complejos, z1 y z2 tienen por imágenes los puntos Z1 y Z2 , entonces su
suma z = z1 + z2 tiene por imagen el punto Z , el cual es el cuarto vértice del paralelogramo que tiene
OZ1 y OZ2 como un par de lados adyacentes.
Teorema: Si dos números complejos, z1 y z2 , tienen por imágenes los dos puntos Z1 y Z2 , y si U
es la imagen del punto unidad (1, 0) del eje real, entonces su producto z = z1 z2 tiene por imagen el
punto Z tal que 4OZ1 Z sea directamente semejante al 4OU Z2 .
Teorema:
1. Si z = rz1 siendo r real, entonces Z está sobre OZ1 de modo que OZ = rOZ1 .
2. Si z = tz1 donde |t| = 1, entonces Z se obtiene por la rotación de Z1 alrededor de O del arg t.
3. Si z = ±iz1 , entonces Z se obtiene por la rotación de ± π2 de Z1 alrededor de O.
1
Teorema: Si z
centro en O.
=
1
z2
entonces Z es el conjugado del inverso de Z2 en la circunferencia unidad con
Denición: Si rcis θ es la forma polar de un número complejo z , entonces reiθ se llama forma exponencial del complejo z .
Teorema:
eiθ es un giro de argumento θ.
Teorema: Si P es un punto de ajo p, entonces (OP )2 = pp. Más generalmente, si A y B son puntos
con ajos a y b, respectivamente, entonces
2
(AB) = (b − a) b − a .
Teorema: Si A, B, C, D son cuatro puntos distintos cuyos ajos son a, b, c, d respectivamente, entonces AB será perpendicular a CD si y sólo si
(b − a) d − c + b − a (d − c) = 0
Teorema: Si a, b son los ajos de dos puntos A, B y p es el punto P que divide al segmento AB en
la razón k, entonces
p=
(a + kb)
.
1+k
Teorema: Las dos triadas de puntos A, B, C y U, V, W son directamente semejantes si y sólo si
a
b
c
u
v
w
1
1
1
= 0.
Corolario:1 El triángulo ABC es equilátero si y sólo si
a
b
c
b 1 c 1 = 0.
a 1 Teorema: Si A y B son puntos con ajos a y b, respectivamente, entonces
p = a + eiθ (b − a)
es el ajo del punto P obtenido girando un ángulo θ el punto B alrededor del punto A.
Teorema: La ecuación general de una recta real del plano de Gauss es de la forma
az + az + b = 0
b
donde a 6= 0 y b es real. Esta recta contiene el punto cuyo ajo es − 2a
y es perpendicular a la recta
que une el origen con el punto de ajo a.
Teorema: La recta determinada por los puntos V y W con ajos v y w, respectivamente, tiene la
ecuación
1 En
muchos libros aparece como
z
v
w
ABC
z
v
w
1
1
1
equilátero si y solo si
2
= 0.
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
Corolario: Los puntos U, V, W cuyos ajos son u, v, w respectivamente son colineales si y sólo si
u
v
w
u
v
w
1
1
1
= 0.
Problemas:
1. Teorema de D'Moivre. Si n es un entero positivo, verifíquese que (cis θ)n = cis nθ.
2. Si Z es la imagen del número complejo z , constrúyanse las imágenes de z 2 , z 3 , z 4 , . . ..
3. El gravicentro G del triángulo ABC tiene como ajo g =
(a+b+c)
.
3
4. Si los triángulos ABA0 , BCB 0 y CAC 0 son directamente semejantes, entonces los ABC y A0 B 0 C 0
tienen un gravicentro común.
5. Sean los triángulos equiláteros ABA0 , BCB 0 , CDC 0 y DAD0 construidos exteriormente sobre los
lados de un cuadrilátero convexo ABCD.
a ) Si AC = BD entonces A0 C 0 es perpendicular a B 0 D0 .
b ) Si AC es perpendicular a BD, entonces A0 C 0 = B 0 D0 .
6. Si los triángulos rectángulos isósceles ABA0 , BCB 0 , CDC 0 y DAD0 se construyen exteriormente
tomando como hipotenusas los lados de un cuadrilátero convexo ABCD, entonces A0 C 0 será igual
y perpendicular a B 0 D0 .
7. Si AA0 BB 0 CC 0 es un hexágono inscrito en una circunferencia de modo que AA0 = BB 0 = CC 0 =
r, el radio de ésta, y si U, V, W son los puntos medios de los lados C 0 A, A0 B, B 0 C , entonces el
triángulo U V W es equilátero.2
8. Teorema de Cotes. El producto de las distancias de un punto P a los vértices de un n-gono
regular inscrito en una circunferencia de radio r es igual a |an − rn | si P está en una recta radial
que pasa por un vértice del polígono y a una distancia a del centro de éste.
9. Demuestre que el área dirigida del triángulo ABC está dada por
a
i b
4 c
a
b
c
1
1
1
.
10. Si t es un giro y si tn = 1, siendo n un entero positivo, demuéstrese que los puntos con ajos
t, t2 , t3 , . . . , tn son los vértices de un n -gono regular de radio unidad con centro en el origen.
11. Si c y d son los ajos de un par de vértices diagonalmente opuestos de un cuadrado, hállense los
ajos de los otros vértices.
12. Demuéstrese que la distancia del punto u a la recta
b∈R
az + az + b = 0,
está dada por
d=
(au + au + b)
2 (aa)
2 La
1/2
.
solución euclidiana de este problema es particularmente didáctica.
3
13. Demuéstrese que los puntos u y v son reexiones uno de otro en la recta
b∈R
az + az + b = 0,
si y sólo si
au + av + b = 0.
14. Vericar que una condición necesaria y suciente para que las tres rectas
bi ∈ R,
ai z + ai z + bi = 0,
sean concurrentes es que
a1
a2
a3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
i = 1, 2, 3,
= 0.
15. Demuéstrese que las rectas
a1 z + a1 z + b1 = 0,
a2 z + a2 z + b2 = 0,
b1 , b2 ∈ R
son perpendiculares si y sólo si a1 a2 + a2 a1 = 0.
16.
a ) Demuéstrese que la ecuación de una circunferencia en el plano complejo es
azz + bz + bz + c = 0
donde a 6= 0, b, c son constantes y a, c reales.
b ) Demuéstrese que u y v son puntos inversos con respecto a la circunferencia de la parte a) si
y sólo si
auv + bv + bu + c = 0.
4