fundamentos. viscosidad

FUNDAMENTOS. VISCOSIDAD/
Versión 3.0/
MODULO 2/
CÁTEDRA DE FÍSICA/
FFYB/
UBA/
FUNDAMENTO VISCOSIDAD 3.0/ M2/ FISICA
Definición de Viscosidad
La viscosidad es una propiedad tanto de líquidos como de gases y refiere a la resistencia de éstos a fluir. El estudio de
los fluidos en movimiento es complejo y en él, la viscosidad juega siempre un papel fundamental. Si bien hoy día
sabemos que esta resistencia a fluir es consecuencia de fuerzas intermoleculares que se dan entre moléculas de la
sustancia que fluye, la mecánica de fluidos (teoría que estudia el movimiento de estos) no se centra en el
comportamiento molecular sino en lo que le ocurre a “una porción del fluido”. Es decir, cuando estudiemos fluidos en
movimiento, aplicaremos la suposición central de la mecánica de fluidos también llamada “hipótesis del continuo” y
consideraremos que el fluido es un medio continuo, despreciando las discontinuidades que genera la estructura
molecular del mismo.
Por otra parte, cuando un fluido fluye puede hacerlo con régimen laminar o turbulento, aquí nos ocuparemos de los
casos de flujo laminar, esto es, consideraremos que el fluido que fluye lo hace moviéndose como “capas” contiguas que
rozan unas con otras.
El “grado de fluidez” de una sustancia se puede determinar mediante un coeficiente denominado coeficiente de
viscosidad o viscosidad dinámica (). Cuanto mayor sea ese coeficiente menor será la “fluidez”. La viscosidad dinámica
está definida por la ley de Newton de la viscosidad, en la cual se enuncia que:
“La fuerza tangencial que una capa de fluido ejerce sobre la contigua es proporcional al área de la superficie de
contacto y al gradiente de la velocidad normal a la dirección de deslizamiento de las capas”.
Figura 1
Si F es la fuerza de fricción entre las capas, A el área de contacto entre capas, y dv/dx el gradiente de velocidad en la
dirección normal al movimiento, la viscosidad  queda expresada como:

F/A
dv / dx
Ecuación 1
El término F/A se conoce como tensión de corte. Su valor representa la tensión cortante necesaria para mantener el
flujo laminar entre dos capas paralelas.
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Los fluidos para los cuales el  es constante (tal como lo establece la ley de Newton) se denominan newtonianos y al
graficar tensión de corte en función del gradiente de velocidad obtenemos una recta cuya pendiente es el coeficiente
de viscosidad (Figura 2a). Los fluidos, para los cuales esto no se cumple se denominan no newtonianos, y su viscosidad
varía con el gradiente de velocidad (Figura 2b) En este último caso se habla de viscosidad aparente a la cual se calcula
según la Ec. 1 para cada valor de velocidad de corte.
(a)
(b)
Figura 2
Unidades
En el sistema Internacional (SI) la unidad de viscosidad es el Pascal. segundo (Pa . s) y en el sistema CGS la unidad de
viscosidad utilizada es el Poise (p). Teniendo en cuenta las unidades de las variables de la Ec. 1:
Newton
N

 Pascal .s
m
m
2
2
m.
m.
s.m
s.m
Ecuación 2
Pa  s 
dina
g . cm
g


 poise
cm
3
cm . s
2
cm
cm .
s2 .
s . cm
s . cm
Ecuación 3
1000 g
Kg . m
g
Kg
N
.s  2
.s 

 10
 10 p  1 Dp
2
2
s.m
s .100 cm
s . cm
m
s .m
Ecuación 4
Dado que la viscosidad del agua a 293,15 K es 0,01 poise (1 centipoise), generalmente se utiliza como unidad de
medida el centipoise (cp) ó mPa.s.
El cociente entre la viscosidad y la densidad másica recibe el nombre de viscosidad cinemática:
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c   

Ecuación 5
Su unidades en el sistema cgs es el Stokes (St) y en el MKS el m2/s
p
g . cm 3 cm 2 10 4 m 2
 Stokes 


cm . s . g
s
s
g / cm 3
Ecuación 6
MÉTODOS PARA MEDIR EL COEFICIENTE DE VISCOSIDAD
Existen diferentes métodos que permiten calcular el coeficiente de viscosidad de líquidos, estos utilizan
distintos tipos de viscosímetros:
1- VISCOSIMETRO CAPILAR (Ostwald o Ubbeholde o Cannon-Fenske): en este instrumento se mide el tiempo de
escurrimiento de un volumen fijo de líquido a través de un capilar.
2- VISCOSÍMETRO TIPO SAYBOLT: este viscosímetro mide el tiempo de escurrimiento de un volumen fijo de un
líquido a través de un agujero en el fondo de un contenedor; se utiliza para líquidos muy viscosos.
3- VISCOSÍMETRO DE CAIDA DE BOLA : en estos dispositivos se mide el tiempo que tarda en caer una esfera de
metal a través de una columna de líquido cuya viscosidad se quiere determinar. También se utiliza para líquidos
muy viscosos y a estos viscosímetros se los conoce también como viscosímetros de Stokes.
4- VISCOSÍMETRO ROTACIONAL: este viscosímetro consta de dos cilindros coaxiales o de un cono y un plato,
uno de los cuales gira a una determinada velocidad y el otro permanece fijo. La muestra se coloca entre los dos
dispositivos y opone (frente al cizallamiento impuesto) una resistencia proporcional a su viscosidad. Esta
resistencia produce en el rotor un momento angular en oposición, el cual puede ser determinado. Se utiliza para
cualquier tipo de líquido, de alta o baja viscosidad, newtoniano o no newtoniano.
En el Trabajo Práctico trabajaremos con un viscosímetro capilar y un viscosímetro de caída de bola.
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A) VISCOSÍMETRO DE CAIDA DE BOLA (MÉTODO DE STOKES)
La determinación de la viscosidad por esta metodología se basa en la medida del tiempo que tarda en caer un
cuerpo esférico a través de un líquido cuya viscosidad se quiere determinar.
Para comprender su fundamento supongamos que una partícula perfectamente esférica de densidad p y radio
rp es sumergida en el seno de un fluido cuya densidad es L y su viscosidad L.
Al soltar la partícula esférica, si la densidad de la partícula es mayor que la del fluido, ésta caerá por acción de su
propio peso. En el seno del fluido viscoso la esfera estará sujeta a la acción de la fuerza peso (P), el empuje (E)
y fuerza de rozamiento (Fr).
El empuje, como se enuncia en el principio de Arquímedes, es una fuerza ascendente que experimenta un
cuerpo cuando se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido. Esta fuerza será en magnitud igual al
peso del volumen del fluido desalojado por el cuerpo y se calcula como el producto entre el volumen sumergido
del cuerpo (Vsum) y el peso específico del fluido (Ec. 7).
La fuerza de rozamiento (Fr) o fuerza de arrastre viscosa se origina entre las capas de fluido viscoso y se opone
al movimiento de las mismas. En el seno del fluido, se propone que existe una capa muy delgada de fluido en
contacto con el cuerpo. Cuando el cuerpo se mueve a través del fluido esta capa también lo hace y experimenta
una fuerza de rozamiento con respecto a la capa del mismo fluido que se ubica adyacente a ella. Las sucesivas
capas de fluido, próximas al objeto, producen fuerzas de rozamiento entre sí, y el resultado final es una fuerza
opuesta al movimiento de la primera capa (adherida al cuerpo) que frena el desplazamiento del cuerpo en el
fluido.
Capa de fluido
adherida al cuerpo
Capas de fluido
Cuerpo
Figura 3
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La Fr para una esfera que se desplaza en un fluido a muy baja velocidad bajo régimen laminar (con un
Número de Reynolds muy pequeño) puede estimarse aplicando la Ley de Stokes (Ec. 9). La Fr así
estimada es proporcional a la velocidad de la esfera y como mencionamos anteriormente opuesta al
Ir
desplazamiento (Ver “Bibliografía”).
En la Figura 4 se representa esquemáticamente como actuarían las fuerzas sobre la partícula inmersa en el
seno del fluido.
Fuerza descendente
(a)
(b)
E
4
3
P  m p g  V p  p   rp  p g
3
E
Fr
P
Figura
Fuerzas ascendentes
E  V p  L  V p L g 
Fr
Fr
P
Ecuación 7
4 3
rp  L g
3
Fr  6 rp v p
Ecuación 8
Ecuación 9
4. (a) Representación esquemática de la rp : radio de la partícula
esfera en el seno del fluido. (b) Diagrama de cuerpo : Coeficiente de viscosidad
libre donde se representan las fuerzas que actúan vp : velocidad instantánea de la partícula a lo largo de su
sobre la esfera.
trayectoria
En los primeros momentos del desplazamiento (velocidad igual a cero, v=0) se puede estimar que el cuerpo
posee una aceleración máxima. Esta aceleración da como resultado un abrupto aumento de su velocidad. En
este instante (v=0) la Fr será nula ya que, como mencionamos anteriormente, esta fuerza es proporcional a la
velocidad del cuerpo.
E
𝑷 > 𝐸 Ecuación 10
 Fuerzas  0 Ecuación 11
F  m a
P
amax 
Ecuación 12
PE
Ecuación 13
m
Figura 5. Diagrama de
cuerpo libre para v=0
A medida que la esfera aumenta su velocidad, la Fr crece, y consecuentemente la velocidad aumenta cada vez
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menos (la aceleración va disminuyendo), esto es, la aceleración se hace cada vez más pequeña. Llegará un
momento en el que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo será nula, es decir que las fuerzas ascendentes (E y
Fr) serán iguales en magnitud a las fuerzas descendentes (en este caso P). En este momento, la aceleración será
cero y el cuerpo continuará moviéndose pero su velocidad será constante. Se dice que la partícula alcanzó la
“velocidad límite” (máxima posible) y se cumple que:
 Fuerzas  0
Ecuación 14
P  E  Fr
Ecuación 15
4
4
 rp 3  p g   rp 3 L g  6   rp vlim
3
3
Ecuación 16
E + Fr
Despejando Velocidad límite (Vlim):
P
4
4
 rp 3  p g   rp 3 L g  6   rp vlim
3
3
Ecuación 17
Figura 6. Diagrama de
cuerpo libre para
situación de equilibrio
Es importante destacar que la velocidad límite que alcanza el cuerpo en el seno del fluido depende de la
viscosidad y densidad del fluido, y de la densidad y dimensión del cuerpo. Es por ello que conociendo la
densidad del cuerpo, el peso del cuerpo, y la densidad del fluido en el que este se coloca, con solo medir la
velocidad límite se puede conocer la viscosidad del fluido. La viscosidad absoluta del fluido se puede calcular a
partir de la Ec. 17 como:
2rp g ( p   L )
2

9Vlim
Ecuación 18
Siendo este el fundamento del método de Stokes.
Veamos entonces como podemos determinar experimentalmente la Vlim del cuerpo (Figura 7): si se deja caer
una esfera en el fluido cuya viscosidad se quieren conocer, y se permite recorra un espacio tal que se asegure
que la Vlim haya sido alcanzada, la Vlim se obtendrá midiendo el tiempo (t) que tarda el cuerpo en atravesar un
espacio comprendido entre dos enrases (e)
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Vlim 
e
t
Ecuación 19
Extremo donde se
introduce la esfera
Enrase 1
Distancia
conocida
Tubo con el
fluido a medir
Enrase 2
Figura 7. Viscosímetro de Stokes
Así, utilizando la Ec. 18 y considerando el fundamento de la determinación de coeficientes de viscosidad usando
un viscosímetro de caída de bolas o método de Stokes se pueden medir viscosidades de diferentes líquidos
aplicando esta metodología.
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B) VISCOSIMETRO CAPILAR
La determinación de la viscosidad empleando este dispositivo o instrumento, se basa en la medida del tiempo
necesario para que un volumen determinado de líquido (V) escurra a través de un capilar. El volumen fijo a
escurrir es el contenido entre la marca superior e inferior de la oliva A (Figura 8) del viscosímetro.
Para analizar este proceso se emplea la Ecuación de Poiseuille (Ec. 20), la cual permite predecir el caudal que
circulará por una cañería cilíndrica para fluidos viscosos que circulan bajo régimen laminar.
4
V Pfricción r 
Q 
t
8 l
Ecuación 20
Q = caudal
l: longitud
V: volumen
P fricción: Perdida de presión por
t: tiempo
fricción
r: radio
Si despejamos la viscosidad de la Ec. 20, obtenemos la siguiente expresión:

Pfricción r 4
8l V
t
Ecuación 21
Ahora, analicemos cada uno de estos parámetros en nuestro sistema en estudio.
El viscosímetro capilar o viscosímetro de Oswald está compuesto por dos ramas, una gruesa y una delgada, la
cual contiene un capilar muy delgado conectado a dos olivas, A y B Figura 8. Es importante destacar que nuestro
análisis se centrará en los fenómenos que ocurren en la zona del capilar.
P
P1
o
Po
Figura 8
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Al introducir un fluido en el viscosímetro, cuando se establezca una diferencia de altura entre las columnas de
líquido de las dos ramas del viscosímetro se generará una diferencia de presiones (P0 y P1) entre las mismas,
responsable de la fuerza impulsora del movimiento (Figura 8).
En la situación inicial, con el líquido en reposo (t = 0), la energía total (E total) del sistema estará acumulada
como diferencia de presión por la diferencia de altura entre las ramas (P impulsor).
En el momento en que se inicie el movimiento del fluido, esta energía acumulada (E total) se transformará una
parte en energía cinética (E cinética) y otra parte se utilizará para vencer a las fuerzas de fricción. Entonces
podemos plantear las energías involucradas por unidad de volumen, lo que nos lleva a trabajar con unidades de
presión.
E Tot al E cinét ica E fricción
=
+
Vol
Vol
Vol
Ecuación 22
La proporción en la que se reparte esta energía total en Ecinética y Efricción depende de la geometría del tubo por el
cual el líquido fluye y de la viscosidad del fluido. Cuanto más pequeño sea el radio del tubo, mayor será el gasto
de energía necesaria para vencer a las fuerzas de fricción y por ende menor será lo que reste de energía para
convertirse en energía cinética, por lo que el fluido se moverá con menor velocidad.
En el viscosímetro de Ostwald, el tubo por el que fluye el líquido es un capilar cuyo radio es sumamente
pequeño, por lo tanto el gasto de energía por fricción es muy grande (casi el 100% de la energía total). Esto
implica que la fracción de energía que se transforma en energía cinética se pueda considerar despreciable y que
en consecuencia se pueda asumir que toda la energía inicial del sistema se utilizará para vencer la fuerza de
rozamiento (E fricción). En el Anexo “Viscosímetros, explicaciones complementarias” se ejemplifica y
detalla un poco más este análisis.
Ir
Por lo tanto, haciendo esta aproximación antes mencionada, el P fricción se puede estimar como igual al P
impulsor.
DP im pulsor =
E Tot al E fricción
=
= DP fricción Ecuación 23
Vol
Vol
Dado que el P impulsor es la diferencia de presión entre las dos columnas de líquido y que P= h g ,
podemos reemplazamos en la ecuación ( Ec. 20) el P fricción por (h g ), obteniendo una expresión
matemática que nos permite calcular la viscosidad cinemática del fluido conociendo la geometría del capilar y
midiendo el tiempo que tarda una dada porción de fluido en pasar de un enrase a otro del viscosímetro:
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 h g r 4
c   
t

8lV
Ecuación 24
En nuestro sistema, la longitud l y el radio r son los del capilar presente en el viscosímetro, y el volumen V es el
volumen entre enrases de la oliva A, es decir, l, r y V son parámetros propios del viscosímetro. Ahora bien, h es
la diferencia de altura de líquido entre las ramas del viscosímetro, si se carga el viscosímetro siempre con el
mismo volumen de líquido, su magnitud es siempre la misma y podemos considerarla como un valor conocido.
En consecuencia, la ecuación 24 puede reducirse a:
 c   k  t
Ecuación 25
Donde k es la constante del viscosímetro y engloba los parámetros geométricos del capilar y la fuerza
impulsora del movimiento (Ec. 26)
h g r 4
k
8lV
Ecuación 26
Luego, se ve más claramente que el coeficiente [c] es directamente proporcional al tiempo que tarde en fluir
el líquido en estudio y que la relación entre [c] y t estará dada por los parámetros que componen k. Como
puede observarse, cuanto más viscoso sea un fluido, mayor será el tiempo que tarde en fluir en un viscosímetro
dado y en consecuencia, el tiempo de escurrimiento medido será mayor.
Resumiendo, al medir el tiempo de escurrimiento de un liquido X en un viscosímetro y multiplicarlo por su
constante se obtiene el valor de la viscosidad cinemática de dicho líquido.
Por lo tanto, para poder determinar el valor de viscosidad cinemática se deberá conocer previamente la k del
viscosímetro o proceder a determinar la viscosidad cinemática relativa del fluido incógnita respecto de un fluido
de referencia.
Ahora bien, ¿como conocemos k? Al medir viscosidades cinemáticas en este tipo de viscosímetros se puede
proceder de tres maneras:
i- la constante k es provista por el fabricante del viscosímetro y cuando se lo adquiere comercialmente, k se
entrega junto con el certificado de calibración,
ii- se puede realizar la calibración del viscosímetro (con un fluido patrón) que se va a utilizar y obtener así k,
iii- se mide la viscosidad cinemática relativa. Por supuesto, para realizar esto último los tiempos de
escurrimiento del líquido de referencia y del líquido en estudio deben determinarse en el mismo viscosímetro.
Se debe plantear la Ec. 25 para ambos fluidos y establecer su relación. Considerando que k es la misma para
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ambas ecuaciones, el cociente entre los tiempos es igual al cociente entre las viscosidades cinemáticas, es decir
a la viscosidad cinemática relativa:
c x t x

c p t p
Ecuación 27
Luego con el valor conocido de [c] del fluido de referencia se obtiene el [c] del fluido estudiado.
La consideración de constantes k iguales para patrón e incógnita solo es válida si la diferencia inicial de nivel de
líquido entre las ramas del viscosímetro (h) es la misma para ambos líquidos. Esto se logra cargando el
viscosímetro con un mismo volumen de líquido en ambas mediciones.
Además debemos tener en cuenta que el fluido usado como referencia debe tener viscosidad cinemática
semejante al líquido incógnita. Comúnmente esto se logra cuando ambos líquidos tienen:
- peso específico (o densidad) similar
- viscosidad absoluta similar
La diferencia de presión entre las columnas de líquido en ambas ramas del viscosímetro y la geometría del
capilar son las que determinan la velocidad de escurrimiento del fluido, y por consiguiente, la pérdida de presión
por fricción que el fluido experimenta entre los extremos del capilar.
Como se explicó anteriormente, para determinar el coeficiente de viscosidad utilizando estos viscosímetros
asumimos que la energía cinética es despreciable. En realidad, siempre hay una fracción de energía total que se
transforma en energía cinética, pero ésta no se considera en los cálculos, lo cual da lugar a un “error por energía
cinética”.
Por lo tanto, se debe buscar que este error sea pequeño y del mismo orden para ambos líquidos. Esto ocurre si
ambos fluidos, referencia e incógnita, fluyen a velocidades parecidas y sumamente bajas, y para ello deben
tener igual P impulsor y viscosidades absolutas numéricamente similares. En la práctica si se carga el
viscosímetro con iguales volúmenes de ambos líquidos (igual h entre las ramas) y se elige un patrón de peso
específico similar al líquido incógnita, la diferencia de presión impulsora del movimiento (P impulsor = h * ρ)
será aproximadamente la misma. Si uno de los líquidos tuviera una densidad mucho mayor que el otro, a pesar
de tener la misma diferencia de altura entre las ramas, el P impulsor sería mucho mayor para el líquido más
denso. Teniendo el mismo P impulsor y la misma geometría de capilar, sólo resta que las viscosidades
absolutas sean similares, para que ambos líquidos gasten aproximadamente lo mismo como trabajo de las
fuerzas de fricción y, en consecuencia, fluyan a similares velocidades.
Por otro lado, h no es constante durante toda la experiencia, sino que a medida que el fluido escurre se va
haciendo más pequeño (el líquido fluye de la rama delgada a la rama ancha). Como P impulsor es P = h * ρ,
esto implica que el P varíe consecuentemente, y si los pesos específicos no son similares, la variación de altura
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se traduciría en una muy distinta variación de presión para el fluido problema y para el patrón, y por lo tanto las
condiciones del experimento estarían variando demasiado e invalidarían la medida.
En el análisis del proceso se utiliza la ley de Poiseuille y ésta solo es válida cuando el régimen del flujo es
laminar, por lo tanto cada viscosímetro (según su geometría) tiene un rango de viscosidades cinemáticas para
el cual esto se cumple.
Si se trabaja por debajo de la viscosidad cinemática mínima para un viscosímetro, la velocidad del flujo será alta
y el régimen será turbulento, y si se trabaja por encima de la máxima, el tiempo de escurrimiento será
demasiado largo y hará muy dificultosa la medida. Por esta razón existe una variada gama de viscosímetros con
diferentes radios de capilar, que permiten medir un amplio rango de coeficientes de viscosidad. Cada
viscosímetro viene clasificado con un número arbitrario (25, 50, 100, 200, 300….) y para cada uno de ellos el
proveedor indica el rango de viscosidades cinemáticas que pueden ser determinadas.
En el Anexo “Viscosímetros”, se pueden encontrar algunas tablas de distintos proveedores con los valores de k
para viscosímetros calibrados y los rangos de viscosidades para viscosímetros calibrados y no calibrados, las
cuales tendrás que consultar durante el trabajo práctico para elegir el viscosímetro adecuado.
Ir
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