2. Variable aleatoria

2.
Variable aleatoria
En estadı́stica descriptiva estudiamos la variable estadı́stica que representaba el conjunto de los resultados observados en una muestra tomada
de un experimento aleatorio, presentando cada valor una frecuencia relativa. Frecuentemente, al realizar un experimento aleatorio nos interesa
más que el resultado completo del experimento una función real de los
resultados. Tales funciones, cuyos valores dependen de los resultados de
un experimento aleatorio se llaman variables aleatorias.
Definición 2.1. Dado un experimento aleatorio cualquiera, llamamos espacio probabilı́stico asociado a dicho experimento la terna (Ω, Q, P ), done Ω es el espacio muestral del experimento aleatorio, Q es el álgebra de
Boole de los sucesos aleatorios y P una función de probabilidad sobre Q.
Definición 2.2 (Variable aleatoria unidimensional). . Sea (Ω, A, P ) un
espacio probabilı́stico asociado a un experimento aleatorio. Una variable
aleatoria es una función:
ξ: Ω→R
.
ω → ξ(ω)
Esta función puede ser discreta o continua.
Definición 2.3. Una función F que toma valores reales en (−∞, ∞) es
función de distribución si
1. lı́mx→−∞ F (x) = 0
2. lı́mx→+∞ F (x) = 1
3. F es monótona no decreciente: x1 < x2 ⇒ F (x1 ) ≤ F (x2 )
4. F es continua por la derecha: lı́m
14
h→0
h>0
F (x + h) = F (x)
Dada una variable aleatoria ξ la función
F (x) = P ({ω ∈ Ω | ξ(ω) ≤ x}), ∀ x ∈ R
es una función de distribución denominada función de distribución de
la variable aleatoria ξ. Si no hay posibilidad de confusión escribiremos:
F (x) = P (ξ ≤ x).
2.1.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria ξ se dice que es discreta cuando toma un
número finito o infinito numerable de valores reales. Se tiene que:
P (ξ = x) = P ({ω ∈ Ω|ξ(ω) = x}).
Distribución de probabilidad.- La tabla formada por los valores que
toma la variable junto con sus probabilidades recibe el nombre de
distribución de probabilidad de la variable:
ξ
x1
x2
...
P (ξ = xi ) P (ξ = x1 ) P (ξ = x2 ) . . .
siendo:
n
X
P (ξ = xi ) = 1
i=1
15
xn
P (ξ = xn )
Función de distribución.- Dada una variable aleatoria discreta ξ, a
la función acumulativa
X
F (x) = P (ξ ≤ x) =
P (ξ = xi )
xi ≤x
se la denomina función de distribución de ξ.
Se cumple:
P (ξ > x) = 1 − P (ξ ≤ x) = 1 − F (x)
P (x1 < ξ ≤ x2 ) = P (ξ ≤ x2 ) − P (ξ ≤ xi ) = F (x2 ) − F (x1 )
Media o esperanza matemática de una variable aleatoria discreta
ξ.- Viene dada por:
µξ = E(ξ) =
 Pn
 i=1 xi P (ξ = xi ), si ξ es discreta finita;
 P∞
i=1
xi P (ξ = xi ), si ξ es discreta numerable.
En el último caso hay que suponer que
16
P∞
i=1
|xi |P (ξ = xi ) < ∞