Día 7-10-2015

22 – Matemáticas 1 : Curso 15–16
Práctica 1 – Sesión 1, del dı́a 7–10–2015
Práctica 1 – Sesión 1, del dı́a 7–10–2015
1 Para cada uno de los siguientes conjuntos, decir si está acotado inferiormente, acotado superiormente
y acotado (Ver Definición 44 abajo), y expresar con intervalos cada uno de ellos:
o
n
n
o
n
o
C= x ∈ R : cos2 x−1 ≥ 34
A= x ∈ R : 5−|x−5| = 3
B= x ∈ R : 9−x2 < 7
o
n
o
n
o
n
x
D= x ∈ R : |x−5|−5 < 5
E= x ∈ R : 9−x2 ≥ 9
F= x ∈ R : 1 ≤ e− 2 < 2
n
o
n
o
n
o
9−x2 > 11
G= x ∈ R : 5−|x−5| ≥ x+2
H=
x
∈
R
:
I=
x
∈
R
:
1−|ln
x|
<
0
2
2 Hallar el dominio de las siguientes funciones
p
a) f1 (x) = ln |x − 6|
p
c) f3 (x) = ln |x| − 6
√
b) f2 (x) = ln x − 6
p
d) f4 (x) = ln(|x| − 6)
3 Probar los siguientes asertos:
a) Si f es creciente (decrec.), las funciones −f (x) y f (−x) son decrecientes (crec.)
b) Si g es creciente y f es creciente (decrec.), g ◦ f es creciente (decrec.)
c) Si g es decreciente y f es creciente (decrec.), g ◦ f es decreciente (crec.)
d) Si f es creciente (decrec.) y positiva, la función
¿Qué ocurrirá en el caso de que f sea negativa?
1
f (x)
es decreciente (crec.).
e) Conociendo la monotonı́a de las funciones elementales (ver en los apuntes figura 1.1 de pág.28 y
Ejemplo 59 en pág.29) y los resultados anteriores, deducir el comportamiento (∗) de las funciones:
a) f (x) = e−x
c) f (x) =
en R
2
x2 +1
√
e) f (x) = e−
en (−∞, 0)
ln|x|
en su dominio
b) f (x) =
2
x2 +1
en (0, ∞)
d) f (x) = ln |x|
f) f (x) = −e1−|x|
en su dominio
en su dominio
(*) Cuando la monotonı́a no sea en el mismo sentido en todo el conjunto, estudiarlo en cada parte
4
a) Probar que si f y g son impares, entonces h(x) =
dos son pares?, ¿y si una es par y la otra impar?
f (x)
g(x)
es una función par. ¿Qué ocurre si las
b) Estudiar la paridad (o no) de las siguientes funciones en su dominio (¿cuál es el dominio?):
√
√
a) f (x) = x2 + 1
b) f (x) = (x − 1)2
c) f (x) = 1 + x − 1 − x
 1 , si x < 0
−2x3 −e2x3
0 , si x = 0
d) f (x) = tg(x)
e) f (x) = e
f)
f
(x)
=
2

−1 , si x > 0
Definición 44.- Diremos que un conjunto A ∈ R está acotado superiormente si existe algún K ∈ R
tal que x ≤ K , para todos los x ∈ A (es decir, todos los elementos de A son menores que K ).
Análogamente, A está acotado inferiormente si existe k ∈ R tal que k ≤ x, para todos los x ∈ A
Diremos que A está acotado, si lo está superior e inferiormente (si k ≤ x ≤ K para todos los x ∈ A)
Definición 124.- Una función f se dice par si f (−x) = f (x) en cada x del dominio (f simétrica
respecto al eje OY ); e impar si f (−x) = −f (x) (f simétrica respecto al origen (0, 0))
Observación Sabemos que sen(x) es una función impar y que cos(x) es par
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2015–2016