tema 2 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

TEMA 2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN
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INTRODUCCIÓN:
Existen algunos tipos elementales de ecuaciones diferenciales para los cuales
se cuenta con procedimientos canónicos que permiten resolverlas y que reducen la
determinación de las soluciones de la ecuación diferencial al cálculo de integrales. En
tales casos se acostumbra decir que la ecuación diferencial se resuelve por
cuadraturas o por integración, para diferenciarlo de otros métodos de resolución:
geométricos, determinación por series, etc.
En este tema estudiaremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de
Primer Orden que pueden resolverse por cuadraturas, así como también otras
ecuaciones diferenciales que pueden reducirse mediante algún cambio de variable a
una ecuación diferencial resoluble por cuadratura o integración.
En la Lección 4 estudiaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden de variables separadas, ecuaciones estas para las cuales la solución
general se obtiene de forma inmediata con solo integrar los términos de la ecuación.
En la Lección 5 estudiaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden de variables separables, las cuales se transforman en ecuaciones diferenciales
de variables separadas multiplicando convenientemente por cierto factor o realizando
un cambio de variable apropiado. En la Lección 6 se darán las condiciones que
permitan establecer cuando una función es homogénea, para luego, con base en esta
definición estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
homogéneas. En la Lección 7 se estudiarán aquellas ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden reducibles a homogéneas a través de ciertos cambios
de variables. En la Lección 8, basados en la definición de función exacta estudiada en
los cursos de Funciones Vectoriales, se estudiarán las ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden exactas. En la Lección 9 se estudiaran las ecuaciones
diferenciales ordinarias reducibles a exactas a partir de la determinación de una
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función la cual se denomina un factor integrante que transforma la ecuación dada en
una exacta En la Lección 10 se estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales de primer orden, las cuales aparecen con mucha frecuencia en las
aplicaciones y pueden ser resueltas transformándolas en ecuaciones diferenciales
exactas. En la Lección 11 se estudian la Ecuación de Bernoulli como caso
particulares de ecuaciones diferenciales que a través de ciertos cambios de variables
pueden ser resueltas como ecuaciones diferenciales lineales.
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LECCIÓN 4:
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER
ORDEN DE VARIABLES SEPARADAS
JUSTIFICACIÓN:
El propósito de esta Lección es iniciar al alumno en la resolución de las
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, comenzando con la forma más
simple de una ecuación diferencial, la cual puede escribirse como la suma algebraica
de una función que depende de la variable x por la diferencial dx, con una función
que depende de la variable y por la diferencial de dy.
OBJETIVOS:
El alumno podrá:
1- Identificar si la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden de variables separadas.
2- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden de variables separadas.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
En el Tema 1, en la Lección 1 ¿recuerdan que estudiamos?
♦ La definición de ecuación diferencial
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♦ La clasificación de las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que
involucran:
ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales.
♦ El orden y el grado de una ecuación diferencial.
♦ Las características de una ecuación diferencial lineal.
Correcto.
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variable separada
En esta Lección se iniciará el estudio de la resolución de los diversos tipos de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ¿podrían darme una definición de
ecuación diferencial ordinaria de primer orden?
♦ Es una ecuación diferencial en la cual aparecen relacionadas una función
desconocida, su primera derivada y una variable independiente.
Muy bien. Leamos en sus guías en la página 17 la definición de ecuación
diferencial ordinaria de primer orden.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, es una ecuación
diferencial que contiene a lo más a la primera derivada de una función
desconocida. Si y, la función desconocida, es función de x, entonces la
ecuación diferencial de primer orden se escribe:
dy
= f ( x, y ) o equivalentemente
dx
F(x, y, y') = 0
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Observen las siguientes ecuaciones diferenciales:
Columna A
Columna B
a) x dx + y dy = 0
a) y dx + x dy = 0
b) ex dx + y cosy = 0
b) (y2 + 1) lnx dx - xy dy = 0
c)
1
2
x − 5x + 6
dx − y 2 dy = 0
c) y cos(xy) dx + x
xy + 1 dy = 0
¿Qué características comunes hay, en cuanto a la forma en que están escritos,
en los ejemplos de las columnas A y B?
♦ En ambas columnas de ejemplos, las ecuaciones diferenciales están escritas
como sumas algebraicas de una función por la diferencial dx con otra función por la
diferencial dy.
Correcto. ¿Que diferencias pueden establecer entre las dos columnas de
ejercicios?
♦ En los ejemplos de la columna A, la función que multiplica la diferencial dx
depende solo de la variable x, la función que multiplica la diferencial dy depende solo
de la variable y; en los ejemplos de la columna B esas funciones dependen tanto de la
variable x como de la variable y.
Si yo les digo que las ecuaciones diferenciales que se muestran en la columna
A se denominan ecuaciones diferenciales de variables separadas, ¿podrían decirme
que entienden como ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separadas?
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♦
Podríamos decir que es aquella ecuación diferencial que se escribe como la
suma de una función que depende de x por el diferencial de x con una función que
depende de y por el diferencial dy.
Exactamente. Abran sus guías en la página 17 y leamos la definición de ecuación
diferencial ordinaria de primer orden de variable separada.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN DE
VARIABLES SEPARADAS
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de variables
separadas si está escrita de la forma:
P(x) dx + Q (y) dy = 0
Solución general de una ecuación diferencial de variable separada
Consideremos la ecuación diferencial x dx + y dy = 0, o equivalentemente
x+y
dy
=0
dx
¿Qué sugieren ustedes que se haga para obtener la solución, es decir, para
obtener la función y que satisface la ecuación diferencial dada?
♦ Debemos integrar respecto de x cada término de la ecuación diferencial.
Muy bien. Al integrar ¿qué resulta?
♦ Resulta
∫
dy ⎞
⎛
⎜x + y
⎟ dx =
dx ⎠
⎝
∫
0 dx , o equivalentemente
87
∫ x dx + ∫ y dy = ∫ 0 dx
de donde
y2
x2
+ C1 +
+ C 2 = C3
2
2
C1, C2, C3 constantes.
¿Podemos simplificar este resultado?
♦ Si, ya que x2 + y2 = 2 (C3 - C1 - C2) , lo cual puede escribirse x2 + y2 = K,
con K una constante.
¿Cuál es entonces la solución general de la ecuación diferencial planteada?
♦
La solución general de la ecuación diferencial x dx + y dy = 0 es la
función x2 + y2 = K
¿Se puede despejar "y" de esa ecuación?
♦ Sí. Al despejar "y" resulta, y = ±
K − x 2 con K constante.
Revisemos que hicimos para resolver la ecuación diferencial dada
♦ Lo primero que hicimos fue chequear que las variables estuviesen separadas.
Luego integramos cada uno de los términos de la ecuación diferencial. Por último
simplificamos y despejamos la variable y
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Correcto. Abran sus guías en la página 17 y veamos los pasos que se indican
para resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separadas.
PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN DE
VARIABLE SEPARADA
Para resolver una ecuación diferencial de variables separadas de la forma
P (x) dx + Q(y) dy = 0 se realizan los siguientes pasos:
1- Se integra cada uno de los términos de la ecuación diferencial
2- Si incluye solo una constante arbitraria en un solo miembro de la
ecuación.
3- De ser posible se despeja la variable dependiente "y"
Procedan ahora a resolver el Problema 1 que aparece en la página 18 de sus
guías. Disponen de tres minutos para ello. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 1:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
x e x dx +
y
y2 + 1
dy = 0
Veamos como resolvieron este problema. ¿Qué hicieron primero?
♦ Integramos cada uno de los términos de la ecuación diferencial
89
∫
x e x dx +
∫
y
2
y +1
dy = K
¿Cuál método de integración usan para resolver
∫
x e x dx ?
♦ Esa integral se resuelve por el método de integración por partes.
Muy bien, resolvámosla entonces.
♦ Si u = x, du = dx, dv = ex dx, v = ex
∫
x e x dx = x e x −
∫
resulta:
e x dx = x e x − e x
¿Cuál método de integración usan para resolver
∫
y
y2 +1
dy ?
♦ Esa integral se resuelve por un cambio de variable.
Muy bien, resolvámosla entonces. ¿Cuál es el cambio de variable que se debe
hacer?
♦ Si se hace u = y2 + 1, du = 2y dy resulta
∫
y
2
y +1
dy =
1
2
∫
du 1
1
= ln u = ln ( y 2 + 1)
u
2
2
¿Cómo queda la solución general de la ecuación diferencial dada?
♦ La solución general de la ecuación diferencial x e x dx +
y
dy = 0 es:
y +1
2
90
e x ( x − 1) +
1
ln ( y 2 + 1) = K , con K constante.
2
¿Se puede despejar y?
♦
Sí.
Al despejar y resulta
y =
±
⎡ 2k − 2e x ( x −1) ⎤
⎥⎦
e ⎢⎣
− 1
o
x
equivalentemente y = ± C e 2e (1− x ) − 1
Resuelvan el Problema 2 que está en la página 18. Disponen de cinco minutos
para ello.
PROBLEMA 2:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
1
2
x − 5x + 6
dx + e y + 5 dy = 0
Revisemos como resolvieron el Problema 2 ¿cuál fue el primer paso que
realizaron?
♦ Integramos cada término de la ecuación diferencial
∫x
1
2
− 5x + 6
dx +
∫e
y+5
dy =
∫ 0 dx
Correcto. ¿Por qué método de integración se resuelve
∫
1
x 2 − 5x + 6
dx ?
91
♦
Esa integral se resuelve por fracciones simples o también completando
cuadrados y luego realizando una sustitución trigonométrica.
Exacto. Por cualquiera de los métodos se puede resolver esa integral.
Hagámoslo por fracciones simples. ¿Qué se debe hacer?
♦ Se debe factorizar el polinómio x2 - 5x + 6 como (x-3) (x-2)
¿Qué se hace ahora?
♦ Se escribe la fracción
1
x 2 − 5x + 6
=
A ( x − 3) + B ( x − 2)
A
B
+
=
x −2 x −3
( x − 2) ( x − 3)
de donde resulta, 1 = (A + B)x + (-3A - 2B)
En esta última ecuación, si comparan los dos polinomios ¿qué obtienen?
♦ Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
⎧A + B = 0
⎨
⎩− 3A − 2B = 0
Al resolver este sistema de ecuaciones ¿Cuáles son los valores de A y B?
♦ Los valores que se obtienen para las constantes A y B son
A = -1 y B = 1
¿Qué hacen ahora con estos valores de A y B?
92
1
♦ Se sustituyen en la fracción
2
x − 5x + 6
1
2
x − 5x + 6
¿Cómo queda entonces la integral
♦ La integral queda:
∫x
1
2
− 5x + 6
=
A
B
+
x −2 x −3
=
obteniendo
1
−1
+
x −2 x −3
∫
1
2
x − 5x + 6
dx =
∫
dx ?
−1
dx +
x−2
∫
1
dx
x −3
Resolviendo cada integral obtenemos:
∫
1
x 2 − 5x + 6
dx = - ln x − 2 + ln x − 3 + C1
Ya que la solución debe simplificarse a su mínima expresión, si aplican las
propiedades de logaritmo ¿Cómo pueden simplificar la solución de esta integral?
♦ Se puede escribir
∫x
1
2
− 5x + 6
dx = ln
Muy bien. ¿Cómo resolvemos la integral
x −3
+C1
x−2
∫e
y+5
dy ?
⎧u = y + 5
♦ Esa integral se resuelve por un cambio de variable. Se hace ⎨
de
⎩du = dy
donde se obtiene
∫
e y + 5 dy =
∫
e u du = e u + C 2 = ey+5 + C2
93
Ya se resolvieron las dos integrales ¿Cuál es entonces la solución general de la
ecuación diferencial
1
2
x − 5x + 6
dx + e y + 5 dy = 0 ?
♦ La solución general de la ecuación diferencial
ln
1
dx + e y+5 dy = 0 es
x − 5x + 6
2
x −3
+ e y+5 = K
x−2
¿Se puede despejar la variable y de esta solución?
♦ Sí. Despejando la variable y se obtiene y = ln k − ln
x −3
x−2
−5
Exactamente. En el Problema 3 están planteadas una serie de ecuaciones
diferenciales de variables separadas, para que ejerciten el proceso que acabamos de
estudiar para la obtención de la solución general de una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden de variable separada.
PROBLEMA 3:
Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones diferenciales que
se dan a continuación:
1-
3x
x +1
2
dx −
2- x3 cosx dx +
1
dy = 0
y
1
dy = 0
y −1
94
3-
1
2
x +x−2
dx +
1
2
y − y +1
4-
y2 + 1
x
dy −
dx = 0
y
x2 + 1
5-
1
1
dr −
dθ = 0
r
cos θ + sen θ
6-
y
x −1
dy +
dx = 0
y +1
x
7-
1
1− y
2
1
8-
y −1
dy = 0
dy + dx = 0
dy + 2x dx = 0
9- (x - 2)4 dx x2
dx −
10x −1
1
dy = 0
y +1
y5
2y3 − y
dy = 0
CIERRE:
¿Qué hemos estudiado en esta lección?
♦
Hemos estudiado las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de
variables separadas.
¿Cuál es la característica esencial de una ecuación diferencial de variable
separada?
♦ Se caracteriza porque tiene la forma P (x) dx + Q (y) dy = 0
95
Muy bien. ¿Qué otro aspecto tratamos en esta clase?
♦
Vimos
como obtener la solución general de una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden de variable separada
¿Qué pasos dijimos que debían seguirse para obtener la solución general de
este tipo de ecuaciones diferenciales?
♦ Dijimos que se debía integrar cada término de la ecuación diferencial, resolver
las integrales, sumar solo una constante arbitraria en un cualquiera de los lados de la
ecuación y de ser posible despejar la variable dependiente para expresar la solución
en forma explícita.