Inducción Matemática

Inducción Matemática
La inducción matemática es una herramienta de demostración matemática que usualmente es usada
para establecer que un enunciado es verdadero para todos los números naturales (enteros positivos).
Se hace probando que el primer enunciado de la secuencia innita es cierto, y luego que si cualquier
otro resultado de la secuencia innita es cierto implicaría que el siguiente también lo es.
La manera más simple y común de la inducción matemática prueba que un enunciado que involucra
a un entero natural, es cierto para todos los valores de n. Esto lo hacemos de la siguiente manera:
Mostrar que el enunciado es cierto cuando n es igual al valor
tomar. Usualmente n = 0 ó n = 1.
Caso base:
Mostrar que si el enunciado es cierto para alguna n,
será cierto cuando se sustituya a n por n + 1.
Paso inductivo:
más pequeño
entonces
puede
el enunciado
A la suposición en el paso inductivo de que el enunciado es cierto para un cierto valor de n se le conoce
como Hipótesis de inducción. Para realizar el paso inductivo, uno supone como cierta una hipótesis
de inducción y la usa para probar que el enunciado es cierto para n + 1.
La inducción matemática funciona así: probando que un enunciado es válido para un valor inicial
y a partir de ahí, probar que el proceso usado para ir de un valor al siguiente es válido. Podría ser útil
pensar en el efecto dominó; si a uno se le presenta una larga la de dominós parados por uno de sus
extremos, uno puede estar seguro de que:
El primer dominó cae
Siempre que un dominó caiga, el siguiente dominó también caerá.
de manera que siempre concluimos que todos los dominós caerán, y este hecho es inevitable.
Ejemplo:
Usaremos inducción para probar que
1 + 2 + ... + n =
n (n + 1)
2
Digamos que P (n) es la fórmula para sumar todos los números naturales menores o iguales que n.
La prueba de que P (n) es cierta para todos los números naturales n procede de la siguiente manera:
Base: Muestra que el enunciado es cierto para n = 1, esto es P (1).
1=
1 (1 + 1)
2
En el lado izquierdo, el único término que se está sumando es el 1, y el lado derecho es sustituir
n = 1. Ambos lados son iguales, así que P (1) es cierta, y hemos concluido con la base inductiva.
Paso inductivo: Suponemos que P (k) es cierto para algún valor de k , y probaremos que P (k + 1)
es cierto. Nuestra hipótesis de inducción será P (k) o bien que
1 + 2 + ··· + k =
k (k + 1)
2
es cierto. Ahora, sumando a ambas partes de la ecuación el término (k + 1) obtenemos
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
1
k (k + 1)
+ (k + 1)
2
desarrollando un poco el álgebra, el lado derecho es exactamente igual a
k (k + 1)
+ (k + 1)
2
k (k + 1) + 2 (k + 1)
2
(k + 1) (k + 2)
2
(k + 1) ((k + 1) + 1)
2
=
=
=
que representa que efectivamente que P (k + 1) es cierto también.
Dado que tanto la base como el paso inductivo han sido probados, entonces podemos decir que por
inducción matemática, P (n) es cierto para todo número natural n.
Problemas:
Prueba los siguientes enunciados para todos los enteros positivos n.
1. 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n (n + 1)
2. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
3. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
n(n+1)(2n+1)
6
4. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
h
n(n+1)
2
i2
5. 1 + 2 · 2 + 3 · 22 + 4 · 23 + · · · + n · 2n−1 = 1 + (n − 1) 2n
6.
1
1·2
+
1
2·3
+
1
3·4
+ ··· +
1
n(n+1)
7. a + ar + ar2 + · · · + arn−1
n
= n+1
n −1
= a rr−1
8. 12 + 42 + 72 + 102 + · · · + (3n − 2)2 =
n(6n2 −3n−1)
2
9. 1 + 25 + · · · + n5 + 1 + 27 + · · · + n7 = 2
h
n(n+1)
2
i4
10. 1 × 1! + 2 × 2! + · · · + n × n! = (n + 1)! − 1
11. 3n ≥ 2n
Prueba las siguientes desigualdades para toda n ∈ N
12. 3n > 2n
13. (1 + x)n ≥ 1 + nx si x ≥ −1 (Desigualdad
de Bernoulli )
14. 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < 14 n4 < 13 + 23 + · · · + n4
15. 1 +
√1
2
+
√1
3
+ ··· +
√1
n
√
≤2 n−1
Prueba por inducción que los siguientes enunciados son ciertos para todos los enteros positivos n.
16. 11 divide a 23n − 1
17. 3 es un factor de n3 − n + 3
18. 9 es un factor de 10n+1 + 3 · 10n + 5
2
19. 4 es un factor de 5n − 1
20. x − y es un factor de xn − y n
21. 72n − 48n − 1 es divisible por 2304
Identidades útiles con los números de Fibonacci:
Recordar que los números de Fibonacci están denidos por F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn ,
n ≥ 0.
22.
Fórmula de Binet
αn −β n
α−β ,
√
1+ 5
2 ,
√
β = 1−2 5 .
23. Fn = n−1
+ n−2
+ n−3
+ ···.
0
1
2
Pn
24. i=1 Fi2 = Fn Fn+1
n 1 1
Fn+1
Fn
25.
=
1 0
Fn
Fn−1
Fn =
α=
Aquí es necesario saber multiplicar matrices, pero resulta muy útil para probar fórmulas más
adelante.
26. m | n =⇒ Fm | Fn
27. (Fm , Fn ) = F(m,n)
28. Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n
29. F1 + F2 + · · · + Fn = Fn+2 − 1
30. F1 + F3 + · · · + F2n+1 = F2n+2
31. 1 + F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1
32. Fn Fn+1 − Fn−2 Fn−1 = F2n−1
33. Fn+1 Fn+2 − Fn Fn+3 = (−1)n
2
34. Fn−1
+ Fn2 = Fn−1
35. Fn2 + 2Fn−1 Fn = F2n
36. Fn (Fn+1 + Fn−1 ) = F2n
2
37. F1 F2 + F2 F3 + · · · + F2n−1 F2n = F2n
3
3
= F3n
− Fn−1
38. Fn3 + Fn+1
Algunos difíciles
39. Sea t la raíz positiva de t2 = t + 1. Entonces t = 1 + 1t , de donde sacamos la expansión en
fracciones continuas
1
t=1+
1
1+
1
1+
1+
1
1
con convergentes t1 = 1, t2 = 1 + , t3 = 1 +
Prueba que tn =
Fn+1
Fn .
3
1
1
1 + ···
, ... .
1
1+
1
40.
∞
X
1
=4−t
F
n=1 n
41.
∞
n+1
X
(−1)
=t−1
F F
n=1 n n+1
∞ n
X
(−1)
=t
42.
1+
Fn2
n=2
Problemas misceláneos
43.
Teorema de Nicómaco 1
2
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)
44. Sea α cualquier número real tal que α +
αn +
1
α
∈ Z. Prueba que
1
∈Z
αn
para toda n ∈ Z
45. Sea an el número de palabras de longitud n en el alfabeto {0, 1}, que no contiene dos 1's a una
distancia 2 de separación. Encuentra an .
46. Prueba que (n + 1) (n + 2) · · · 2n = 2n · 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) para toda n ∈ N.
47. Todas las carreteras de Sikinia son de un sentido. Cada par de ciudades esta conectada por
exactamente una carretera. Muestra que existe una ciudad puede ser accesada por cada una de
las otras ciudades ya sea de manera directa, o vía a lo más otra ciudad.
48. La sucesión an está denida por a0 = 0, an+1 =
a)
b)
49.
√
6 + an . Muestra que an es:
Monótonamente creciente
Acotadas superiormente por 3
Pequeño Teorema de Fermat
Sea a un entero positivo y p un primo. Entonces
ap ≡ a
(mod p)
50. Un número formado por 3n dígitos iguales es divisible por 3n .
1 Intente
resolver éste problema de manera geométrica.
4