LA NEGACION DE UNA PROPOSICION COMPUESTA

Notas de clase. Curso de Lógica. II P.A.2011
LA NEGACION DE UNA PROPOSICION COMPUESTA
Hay casos en los que se desea expresar la negación de una proposición compuesta. Por
ejemplo, negar la siguiente proposición:

No ocurre que el libro o es rojo o es verde.
Simbólicamente el enunciado se expresa designando las proposiciones simples. Así:
Sea p: el libro es rojo, Q: el libro es verde.
Luego la proposición inicial se expresa como ~(𝑝 ∨ 𝑞)

La proposición “No ocurre que a la vez Juan tenga una hermana y el tenga un
hermano” se puede expresar simbólicamente , así:
o Sea p:Juan tiene una hermana
o Sea q: Juan tiene un hermano
~(𝑝 ∧ 𝑞)

La proposición “No ocurre que si usted ve un gato negro entonces tendrá mala
suerte”
o Sea p: Usted ve un gato negro
o Sea q: Usted tendrá mala suerte
~(𝑝 → 𝑞)
Ejercicios
1. Simboliza las proposiciones siguientes, indicando el agrupamiento por medio de
paréntesis:
Sean las proposiciones: p: Es jueves, q: Sucedió en lunes.










O no es jueves o no sucedió el lunes
Si no ocurre que sucedió en lunes , entonces es jueves
No ocurre que o es jueves o que sucedió en lunes
No sucedió en lunes y es jueves.
No ocurre que a la vez es jueves y sucedió en lunes.
Si no sucedió en lunes entonces no es jueves.
No ocurre que si es jueves entonces sucedió en lunes.
O no es jueves o sucedió en lunes.
No es jueves y sucedió en lunes.
No ocurre que a la vez sucedió en lunes y es jueves.
2. Dadas las premisas:
p: Juan es el más pequeño
q: Pedro es el más alto
r: Pedro es el más bajo
s:Juan es el más grande
Escribir simbólicamente la proposición: O juan es el más pequeño y Pedro es el más alto
o Pedro es el más bajo y Juan el más grande.
3. Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones:
 Si una sustancia orgánica se descompone, entonces sus componentes se
transforman en abono y fertilizan el suelo.
 O yo estoy equivocado y la pregunta número uno es cierta y la pregunta
numero dos es falsa.
 No ocurre que, a la vez Juana sea su hermana y Rosa sea su hermana.
 Si se conoce el periodo del movimiento de la luna y se sabe la distancia de la
Tierra a la Luna, entonces se puede calcular la aceleración centrípeta de la
luna.
Verdad y Falsedad
Se sabe que cada proposición debe tener un valor de verdad, es decir ha de ser
verdadera o falsa. Cada proposición simple o compuesta tiene uno de estos valores de
verdad.
Si se conocen los valores de verdad de las proposiciones simples dentro de las
proposiciones compuestas es posible determinar los valores de verdad de las
proposiciones compuestas.
La verdad o falsedad de una proposición compuesta depende completamente de la
verdad o falsedad de las proposiciones atómicas que las componen.
Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta solo es necesario
conocer la verdad o falsedad de sus proposiciones atómicas y sus conectivos (o términos
de enlace.
Negación: La negación de una proposición verdadera es Falsa y la negación de una
proposición falsa es verdadera.
Conjunción: La conjunción de dos proposiciones, es verdadera si y solo si ambas
proposiciones son ciertas. No se requiere que el contenido de una de ellas tenga relación
con el contenido de la otra.
Disyunción: La disyunción de dos proposiciones es verdadera si y solo si por lo menos
una de las dos proposiciones es verdadera
Implicación: Una proposición condicional es falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, en todo otro caso la proposición es verdadera.
Equivalencia: Un proposición bicondicional es verdadera si y solo si sus dos
proposiciones son ambas verdaderas o ambas falsas.
Tablas de verdad
Un método en general conveniente para analizar los valores de verdad de proposiciones,
es el poner todas posibilidades de certeza o falsedad en forma de una tabla. Estas indican
rápidamente si una proposición c compuesta es verdadera o falsa si se conoce el valor de
verdad de las respectivas proposiciones simples
A continuación se presentan las tablas de verdad de las los cinco conectivos de las
proposiciones:
𝑷 ~𝑷
V
F
F
V
Negación
𝑷 𝑸 𝑷∧𝑸
𝑷 𝑸 𝑷∨𝑸
𝑷 𝑸 𝑷∨𝑸
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝑉
𝐹
𝐹
𝑉
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
𝑉
𝐹
𝑉
𝐹
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
F
𝐹
𝐹
𝐹
𝐹
𝐹
𝐹
F
Tabla de verdad de la conjunción
Tabla de verdad de la
Disyunción inclusiva
Tabla de la disyunción
exclusiva
𝑷 𝑸
𝑷 𝑸 𝑷→𝑸
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝑉
Tabla de verdad de la implicación
𝑷↔𝑸
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
Tabla de verdad de la equivalencia
Cálculo del valor de verdad de proposiciones compuestas
Independiente de la longitud y de lo complicada que sea una proposición compuesta, se
pueden hallar sus valores de verdad si se conocen los valores de verdad de sus partes.
(SUPPES, 1976)
Sea P una proposición compuesta de la cual se conoce el valor de verdad de cada una de
las proposiciones simples que la componen, entonces el valor de verdad de P se puede
calcular así (TELLEZ, 2010):
1. Simbolizar la proposición P
2. Verificar que se conoce el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples
de P.
3. Elaborar una tabla de verdad para la proposición P. Esta tabla constará de una
columna para cada proposición simple identificada, columnas intermedias, una
columna para la proposición P y una única fila de valores para efectuar el cálculo.
4. En la casilla correspondiente el valor de verdad (V o F) de cada proposición simple,
escribir el valor de verdad que le corresponda a dicha proposición.
5. Utilizar las tablas de verdad para calcular el valor de verdad en las restantes casillas
de la única fila de valores de la tabla. El valor que se obtenga en la columna para P
será el valor de verdad de P.
Ejercicios
Sea la proposición 𝑡: (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟, donde 𝑝 es una proposición verdadera, 𝑞 es una
proposición falsa y 𝑟 es una proposición verdadera, determinar el valor de verdad de la
proposición 𝑡.

Se inicia por las proposiciones simples y luego se sigue por la compuesta. Así:
(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟
V
F
V
V
De otra manera:
𝑝
𝑞
𝑝∨𝑞
r
(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟
V
F
V
V
V
Ejemplo 2:
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:
(𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑝) ∧ (𝑟 ∨ 𝑠)
Donde 𝑝 es verdadera, 𝑞 es verdadera, 𝑟 es falsa y 𝑠 es falsa.
La proposición 𝑝 se presenta dos veces. En este caso se empieza por las proposiciones
compuestas más simples y se continúa en orden creciente de acuerdo con los niveles
jerárquicos. La conjunción y la disyunción son de nivel 2, y el condicional es de nivel 3.
p
q
𝑟
𝑠
𝑝∧𝑞
(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝
(𝑟 ∨ 𝑠)
(𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑝) ∧ (𝑟 ∨ 𝑠)
V
V
F
F
V
V
F
F
Ejemplo 3
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición
[( 𝐴 ∨ 𝐵) ∧∼ 𝐴] → ~(𝐶 → 𝐴)], donde A es verdadera, B es falsa y C es falsa.
A
B
( 𝐴 ∨ 𝐵) ∧∼ 𝐴
~(𝐶 → 𝐴)
[( 𝐴 ∨ 𝐵) ∧∼ 𝐴] →
∼𝐴
𝐴∨𝐵
𝐶→𝐴
~(𝐶 → 𝐴)]
V
F
F
V
F
V
F
V
En Este caso el termino de enlace dominante es la implicación (→) por lo tanto es el
último que se resuelve.
Ejercicios
1. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones. 𝑝 y 𝑞 son
proposiciones verdaderas y 𝑎 𝑦 𝑏 son proposiciones falsas.
 𝑝 → (𝑝 → 𝑞)
 ~(𝑝 ∧ 𝑞) → (~𝑝 ∨∼ 𝑞)
 ~(𝑝 ∧ 𝑎) → (~𝑝 ∧∼ 𝑎)
 [(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑏] → [𝑝 → (𝑞 → 𝑏]
 (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑞 → 𝑏)
2. Sean 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑦 proposiciones verdaderas, y sean 𝑦 = 𝑧 y 𝑤 = 𝑦
proposiciones falsas. Hallar los valores de verdad de las siguientes proposiciones.
a. Si 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑦 , entonces 𝑦 ≠ 𝑧
b. Si 𝑥 ≠ 0 o 𝑤 = 𝑦 , entonces 𝑦 = 𝑧
c. Si 𝑥 ≠ 𝑦 o 𝑦 ≠ 𝑧 , entonces 𝑤 = 𝑦
d. Si 𝑥 ≠ 0 o 𝑥 ≠ 𝑦 , entonces 𝑦 ≠ 𝑧
3. Dadas las siguientes proposiciones
a: Elizabeth cumple con sus obligaciones
b: Elizabeth aprueba el examen
c:Elizabeth se va de vacaciones
d: Elizabeth trabaja
e:Elizabeth no come
Traducir literalmente las siguientes proposiciones:
𝑎 → ~[𝑏 → (~𝑐 ∨ 𝑑)]
[𝑏 ∧∼ (𝑑 ↔ ~𝑎)] ∨ [(𝑐 ∨ 𝑑) → (𝑑 ∧ 𝑒)]
4. Calcule el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes. (Nota.
Estas oraciones hacen referencia a hechos y personas que se suponen de
conocimiento general. Si usted no está seguro acerca de la verdad o falsedad de
alguno de tales hechos, o de la identidad de alguna de estas personas, deberá
consultar en la biblioteca, o en internet, o a los profesores de otras dependencias
como medicina, biología, historia, matemáticas, astronomía, etc.) (TELLEZ, 2010)



Se tiene que Elkin Patarroyo trabajó en la obtención de una vacuna sintética
contra la malaria o Gabriel García Márquez ganó el premio Nobel de Literatura,
pero no ambas.
No es cierto que es falso que Pitágoras no fue griego
Es falso que una condición suficiente para que el virus del SIDA sea mutante es
que la médula espinal no produzca glóbulos blancos
Tautologías
Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera, cualesquiera que sean los
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
En una tautología se pueden sustituir sus proposiciones simples por otras proposiciones
simples cualesquiera verdaderas o falsas y la proposición también es verdadera.
Por ejemplo para cualesquier proposición simple 𝑝 , 𝑝 ∨∽ 𝑝 es una tautología
𝑝
~𝑝
𝑝 ∨∽ 𝑝
V
F
V
F
V
V
¿Es la proposición 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 una tautología?
Definición:
Una proposición es una tautología si y solo si es verdadera para todas las combinaciones
de asignaciones de valores de verdad atribuidas a cada una de las distintas proposiciones
simples.
Una proposición 𝒑 implica tautológicamente una proposición 𝑞 si y solo si el condicional
𝑝 → 𝑞 es una tautología. Así, una implicación tautológica es una tautología cuya forma es
la de una proposición condicional. Una proposición que es una implicación tautológica
indica que el condicional correspondiente es una tautología.
Para verificar si una proposición compuesta es una tautología se hace uso del método de
la tabla de verdad.
Ejercicios
1. Si 𝑝 y 𝑞 son proposiciones simples diferentes, determine cuáles de las siguientes
proposiciones son tautologías?
 (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑞 → 𝑝)
 (~𝑝 ∨∼ 𝑞) → (𝑝 → 𝑞)
 (𝑝 → 𝑞) ↔∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞
 ∼ (p ∧∼ q) ↔ (~p ∨ q)
 𝑝 → ~𝑝
2. Sean 𝑃, 𝑄 y 𝑅 proposiciones simples diferentes, determine cuáles de las
proposiciones siguientes son tautologías?
 𝑃 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅
 𝑃∧𝑄 →𝑃∨𝑅
Definición Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si en cualquier
posible asignación de valor de verdad las dos tienen el mismo.
Una contradicción es una proposición simbolizada que es falsa en todos los casos (es
decir, independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples que la
compongan y de cuáles sean tales proposiciones simples). En este sentido las
contradicciones son exactamente lo opuesto de las tautologías: son las ―antileyes de la
lógica.
Una contingencia es una proposición simbolizada que es verdadera en por lo menos un
caso y también es falsa en por lo menos un caso. Así, las contingencias son
proposiciones que, en lo que respecta a verdad y falsedad, se sitúan en posiciones
intermedias entre las tautologías y las contradicciones.
La siguiente es una lista de tautologías:
NOMBRE
TAUTOLOGIA
Ley del tercio (o tercero o medio) 
excluido
Leyes de simplificación


𝑃 ∨∼ 𝑃
Leyes de simplificación trivial (o de 
redundancia)

𝑃∧𝑃 ↔𝑃
𝑃∨𝑃 ↔𝑃
Leyes de adición


𝑃 →𝑃∨𝑄
𝑃 →𝑄∨𝑃
Leyes conmutativas


𝑃 ∧ 𝑄 ↔ 𝑄 ∧ 𝑃;
𝑃∨𝑄 ↔𝑄∨𝑃


𝑃
𝑄↔𝑄
𝑃
(𝑃 ↔ 𝑄) ↔ (𝑃 ↔ 𝑄)


𝑃 ∧ (𝑄 ∧ 𝑅) ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ 𝑅
𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅


𝑃
(𝑄
R) ↔ (P
Q
R)
[𝑃 ↔ (𝑄 ↔ 𝑅)] ↔ [(𝑃 ↔ 𝑄) ↔ 𝑅]
Leyes modulativas


P∧V↔P
P∨F↔P
Leyes de Morgan


~(𝑃 ∧ 𝑄) ↔ (~𝑃 ∧ ~𝑄)
~(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (~𝑃 ∨ ~𝑄)
Leyes asociativas
𝑃 ∧ 𝑄 → 𝑃;
𝑃∧𝑄 →𝑄
TALLER
¿Cuál de las siguientes proposiciones es tautológicamente equivalente con 𝑃?
𝑃∨𝑄
𝑃 ∨∼ 𝑃
∼𝑃→𝑃
𝑃 → ~𝑃
𝑄 ∨∼ 𝑄 → 𝑃
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 tres proposiciones atómicas distintas cualesquiera. Decidir mediante
las tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías
 ∼ (𝐶 ∧∼ (𝐷 ∨ 𝐶)
 (𝑃 → 𝑄) → 𝑃
 𝐴 ∧ 𝐵 → (𝐴 ↔ 𝐵 ∨ 𝐶)
3. Para cada una de las siguientes proposiciones identifique cual es una tautología,
una contradicción o una contingencia
 𝑝 ∨ 𝑝,
 𝑝 ∨∼ 𝑝
 𝑝∧𝑝
 𝑝→𝑝
 (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ 𝑞)
4. Utilizando la proposición (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) , mediante la tabla de verdad, determine a
cuáles de las siguientes proposiciones implican tautológicamente.( Sugerencia:
determine cuales proposiciones de la forma (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) →?son tautologías)
 𝑝
 𝑞→𝑝
 𝑝→𝑞
 ~𝑞 → ~𝑝
 ~𝑝 ∧ 𝑞
1.





2.