Numerical Solution of Polynomial Systems of Equations with

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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO. 6, DECEMBER 2013
Numerical Solution of Polynomial Systems of
Equations with Complex Coefficients
C. Arias, R. Aguilar, and R. Correa
Abstract— Some fundamental engineering problems can be
modeled by systems of nonlinear polynomial equations with
complex coefficients, where the numerical solution plays an
important role. This article shows some results of the numerical
solution to such systems, commonly used in signal processing,
filters design, equalizers, decouplers and other components of
mobile phones, for example. Some results are reported using the
particle swarm algorithm, a modified version of this and the
traditional
Newton-Raphson
multidimensional,
after
transforming the problem of direct solution into a " optimization
problem". The advantage of the modified particle swarm
optimization algorithm version in terms of accuracy, computation
time and number of iterations was observed consistently for all the
systems.
Se reporta la solución, a título de ejemplo, de dos sistemas de
ecuaciones polinomiales, 3x3 y 7x7 con coeficientes complejos
utilizando el método metaheurístico de enjambre de partículas
y una de sus variantes más prometedoras, así como el método
de Newton-Raphson multidimensional.
Keywords— complex coefficients, particle swarm optimization,
polynomials, systems of nonlinear equations.
II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
L
I. INTRODUCCIÓN
A APARICIÓN de sistema de ecuaciones polinómicas con
coeficientes complejos en la ingeniería se debe a la
necesidad de modelar matemáticamente procesos en donde sus
soluciones están en el conjunto de los números complejos y
cuyas partes real e imaginaria poseen un significado físico per
se. Áreas como las comunicaciones y el tratamiento de señales
son un ejemplo [1]. La solución analítica de tales sistemas está
limitada fuertemente por su tamaño y obviamente por la forma
funcional de sus componentes. Resolver analíticamente o
siquiera predecir el número y ubicación de las posibles raíces,
si existen, es aún reto para la matemática moderna. Como
alternativa viable sobre todo para problemas de la ingeniería, es
su solución mediante estrategias numéricas. No obstante la
relativa sencillez de sus algoritmos, tienen la limitación que
para grandes sistemas, las estrategias determinísticas tienen
poca acogida debido al alto consumo de recursos y elevados
tiempos de computación [2,3]. Todo ello originó una razonable
cantidad de métodos iterativos y estocásticos que resuelven
grandes sistemas de ecuaciones no lineales y que requieren
sólidos conocimientos en estadística y probabilidad avanzados
para su implementación, así como en procesamiento paralelo y
por supuesto, disponibilidad de computadores de alto
rendimiento y/o clusters de ellos. En el presente artículo se
utilizó un teorema que facilitó la conversión del problema, es
decir, en lugar de desarrollar directamente el sistema, se
transformó en un problema de optimización [4].
________________________
C. Arias, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia,
cesar.arias@correo.uis.edu.co
R. Aguilar, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia,
ricardo.aguilar@correo.uis.edu.co
R. Correa, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia,
crcorrea@uis.edu.co
Esta aproximación para la solución numérica de este tipo de
ecuaciones se presenta en primer lugar con propósitos
formativos tanto para al estudiante de ingeniería, como para el
profesional que se enfrente a estas situaciones disponiendo de
una alternativa no convencional y de muy fácil
implementación.
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales no lineal como
el mostrado a continuación:
P1 ( x1 , x2 ,..., xi ) = 0
P2 ( x1 , x2 ,..., xi ) = 0
(1)
…
Pn ( x1 , x2 ,..., xi ) = 0
P ∈ C[x]
. Es posible transformar el
donde i = 1,2,..., n y i
problema de la solución directa de este sistema, en un problema
de minimización mediante el teorema demostrado en [4].
Entonces se llega a que la función objetivo toma la forma:
F 0 = i =1 || Pi ( xi ) || 2 = 0
n
siendo posible hallar un conjunto de variables
cuales las funciones
(2)
xi para los
Pi se hacen cero simultáneamente, dando
como resultado el conjunto solución al sistema propuesto, si es
que este existe. Con el fin de lograr predecir el número de
soluciones y poder con este conocimiento diseñar el software
para mejorar su desempeño, se pensó en recurrir a la
matemática teórica. No obstante se percibe que el estado de
desarrollo de esta área de las matemáticas y relacionado con la
solución de estos tipos de sistemas es aún precario, aunque hay
varios intentos de generalizar el teorema fundamental del
algebra y que tiene que ver con el número de soluciones de un
polinomio de una sola variable. Tal teorema establece
formalmente que: Sea P ∈ C(x), un polinomio no nulo con
coeficientes complejos de grado m mayor o igual que 1.
Entonces P tiene exactamente n raíces (reales y/o complejas)
contadas con su multiplicidad [5]. Conocido entonces el grado
del polinomio es factible predecir cuántas raíces (soluciones)
ARIAS et al.: NUMERICAL SOLUTION OF POLYNOMIAL
1379
tiene, más no cuáles son éstas. También es posible encontrar las
raíces complejas de polinomios de grado menor o igual a cuatro,
mediante procedimientos algebraicos [6]. Existen algunos
intentos de generar expresiones semejantes pero su
generalización para cualquier grado es bastante limitada a
nuestros días [7]. Bezout aportó un factor clave para tratar de
extender estos conceptos a sistemas de ecuaciones
polinomiales, cuando existen sus soluciones. En su teorema
establece que la cantidad máxima de soluciones no debe
exceder el producto de los grados de cada función que
conforman el sistema [3].
A. El algoritmo de optimización
El problema de la solución de los sistemas de ecuaciones
polinomiales transformado en uno de optimización, se resolvió
mediante el enjambre de partículas original y una de sus
variantes. Este algoritmo se creó hacia el año 1995 y desde esa
época ha crecido en forma exponencial su uso, al igual que las
propuestas para mejorarlo. Esta gran aceptación para resolver
problemas de ingeniería radica en su muy sencillo algoritmo
que facilita su programación y la buena calidad de sus
resultados. No es el objeto de esta sección explicarlo a
profundidad sino mas bien se presentar su esquema básico. Si
se supone una población de i partículas (soluciones potenciales
del sistema), y que cada partícula del enjambre se identifica con
dos variables, la posición y la velocidad, inicializadas
aleatoriamente. Para un problema N-dimensional la posición y
la velocidad se representan mediante matrices de tamaño
N p × N i como aparece en (3), siendo X y V las posiciones y
velocidades, respectivamente.
 x11
x
21
X =
 

 x N p 1
 v11
v
21
V =
 

v N p 1
x12
x22

xN p 2
v12
v22

vN p 2



x1N i 
x2 N i 
 

x N p N i 
 x111
 1
x 21
BestP = 
 
 1
 x N p 1
x1 N p 2
GBestP = x g 11
x g 12
[
x112
x122

x11N i 

x1 2 N i 
 

1
 x N p N i 


 x g 1N i
(4)
]
Entonces se actualiza la posición y la velocidad como se
muestra en (5):
xk = xk −1 + vk
(5)
vk = ω × vk −1 + c1 × r1 ( x l i − xk ) + c2 × r2 ( x g i − xk )
La nueva posición para cada partícula depende únicamente
de la posición anterior de la partícula i y de la velocidad de la
misma partícula en la iteración actual. En cambio, para la
actualización de la velocidad se necesitan incluir otros términos
x g i (óptimo global) que representa la mejor posición de
l
todas las que hasta el momento se han presentado y x i (óptimo
local) es la mejor posición individual de la partícula. c1 y c2
como
son llamados coeficientes de aceleración cognitivo y social
respectivamente, que toman valores mayores que cero; por otro
lado, r1 y r2 son valores aleatorios que favorecen el modelado
y que están entre cero y la unidad. ω es el peso inercial, que
toma un valor decreciente modelado por [8,9]:
w1 = wmax −
wmax − wmin
×i
Ni
(6)
N i es el número de iteraciones e i es la iteración actual.
(3)
v1N i 
v2 N i 
 

 v N p N i 


Cada fila de la matriz X representa la posición de la i-ésima
partícula en cada iteración, donde a su vez graba su mejor
posición individual u óptima local obtenida hasta el momento,
generando una matriz que almacena las mejores posiciones
individuales de cada partícula como se muestra en (4). De la
matriz de los mejores valores “individuales” de cada partícula
se selecciona el óptimo global que constituye la mejor posición
del enjambre escogida entre los mejores óptimos locales de
cada partícula, como se indica en (4).
Con el fin de mejorar la búsqueda sobre el espacio de trabajo y
las propiedades de exploración y explotación, la literatura
reporta un buen número de variantes del algoritmo de enjambre
original. Una de ellas es el enjambre unificado que define los
siguientes parámetros [10]:
Gi = χ (Vi + c1 × r1 × ( xil − X i ) + c2 × r2 × ( xig − X i ))
(7)
Li = χ (Vi + c1 × r3 × ( xil − X i ) + c2 × r4 × ( xig − X i ))
(8)
El factor de restricción χ asegura la convergencia hacia un
punto estable del espacio, garantizando que la velocidad no
exceda su valor máximo. Ahora bien, estos parámetros
modifican las ecuaciones de velocidad y espacio como:
U i = u × Gi + (1 − u ) × Li
(9)
X i +1 = X i + U i
(10)
donde u , el factor de unificación, define la influencia local
y global sobre la velocidad actual.
III. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Consideramos pertinente que en lugar de abordar un
problema específico de la ingeniería electrónica y dado el
objetivo de difusión de esta estrategia que se propone, se
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resolvieron problemas típicamente encontrados en el área de los
métodos numéricos de evidente necesidad en las ingenierías
eléctrica y electrónica. Las pruebas se realizaron en un
computador convencional DELL Inspiron N4010 con un
procesador Intel(R) core (TM) i3, CPU M350 @ 2.27GHz, una
memoria RAM de 4GB y el sistema operativo Windows 7, de
64-bit. Se realizaron tres repeticiones por cada prueba y se
−8
definió un criterio de parada en la solución de 1× 10 . Para
los sistemas de tamaño 3x3 y 7x7 propuestos, se reporta el
tiempo de cómputo en segundos, el número de iteraciones, las
soluciones y el valor de la función objetivo.
A. Sistema de tres ecuaciones
El siguiente sistema de ecuaciones, siendo j =
2
b
−1 :
f ( x a , xb , xc ) = 5 x a − (3 + 2 j ) x + (9 − 8 j ) xc2
y para 50 y 100 partículas, también hubo pequeñas diferencias
en la cantidad de iteraciones.
Se detalla a continuación únicamente los resultados con c1
=0,7 y c2 =0,5 (Fig. 2). Para este caso se muestra la parte real
e imaginaria de una solución compleja. Se aprecia una variación
marcada de estas partes, pero después de aproximadamente 70
iteraciones, sus valores cambian muy estrechamente alrededor
de su respuesta. La magnitud, Fig. 2c, de esas soluciones
complejas tiene un comportamiento muy semejante. La Fig. 2d
muestra la forma en que la función objetivo alcanza el valor de
cero. Puesto que las partículas no presentan gran variación
después de la iteración 70, las figuras subsecuentes se muestran
hasta este número de iteraciones, sin embargo, esto no indica
que se haya llegado a la solución.
(11)
g ( x a , xb , xc ) = (1 + j ) x a2 + 4 j × xb − 6 j × xc + 3 − j
h( x a , xb , xc ) = j × xa3 − 9 xb2 + 27 xc + 1 − 5 j
se resolvió con el algoritmo de enjambre original, luego con
el enjambre unificado y al final se comparan sus resultados con
los del método de Newton-Raphson multidimensional. Se
procedió de igual forma con los otros sistemas de ecuaciones.
1) Solución con el enjambre original
Se variaron los parámetros de aceleración cognitiva y social
( c1 , c2 ), así como el número de partículas ( N i ). Este último
tomando valores de 20, 50 y 100.
Figura 1. Tiempo y número de iteraciones al variar los parámetros c1 y c2.
Fuente: Los autores.
La Fig. 1 muestra el número de iteraciones y tiempo de
cómputo cuando se varían los coeficientes de aceleración. (a)
c1 =0,7 y c2 =0,7; (b) c1 =0,7 y c2 =0,5 y (c) c1 =0,5 y c2
=0,7. Para el caso (a), la variación en la cantidad de partículas
no genera un aumento considerable en la cantidad de
iteraciones, como si ocurre con el tiempo. En los casos (b) y (c),
(a) Partes Imaginarias.
(c) Magnitud.
Figura 2. Resultados con el PSO con N=20,
(b) Partes Reales
(d) Función objetivo.
c1 =0,7 y c2 =0,5. Fuente: Los
autores.
Para el caso en que N=100, la Fig. 3 muestra los resultados
de simulación siendo c1 =0,7 y c2 =0,5.
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Figura 4. Tiempo y número de iteraciones variando el factor de unificación.
Fuente: Los autores.
(a) Magnitud.
Figura 3. Enjambre original con N=100,
(b) Función objetivo.
c1 =0,7 y c2 =0,5. Fuente: Los
autores.
Se observa que alrededor de las primeras 30 iteraciones la
magnitud de la solución compleja del sistema de ecuaciones
alcanza un valor estable situación, que coincide con el valor de
la función objetivo que tiende a cero. Aunque no se muestran
sus resultados, se observó también que a mayor cantidad de
partículas se disminuyó la cantidad de iteraciones, pues se
comparte mayor información entre ellas. Sin embargo, también
aumentó el tiempo de cómputo y por ende un mayor consumo
de recursos.
2) Solución mediante el enjambre unificado
Con el fin de analizar el efecto del factor de unificación, éste se
varió en un rango comprendido entre u=0,1 y u=0,9 con un paso
de 0,1. De igual forma, este se varió en forma lineal y
exponencial. También se varió la cantidad de partículas,
tomando valores de 20,50 y 100. La Fig. 4 muestra que se logra
una menor cantidad de iteraciones y menor tiempo de cómputo
cuando el factor toma un valor de 0,5. La Fig. 5 presenta los
resultados para una simulación con el factor de unificación
igual a 0,5 y N=100.
(a) Magnitud
(b) Función objetivo.
Figura 5. Enjambre unificado con N=100, u=0,5. Fuente: Los autores.
Como se observa, a mayor cantidad de partículas, menor
cantidad de iteraciones pero mayor consumo de tiempo para
hallar la solución al sistema de ecuaciones. Para el enjambre
unificado se observa un mejor comportamiento cuando el factor
de unificación es igual a 0,5 utilizando un menor tiempo de
cómputo e iteraciones.
a) Enjambre unificado lineal
Se realizaron ensayos variando el factor unificación de una
forma lineal con las iteraciones:
u (t ) = t / N
(12)
en donde t es un entero positivo y corresponde a la iteración
respectiva. Se muestran a título de ejemplo el caso para N=100,
Fig. 6. Comparando estos resultados con los de la Fig. 5, no se
observó ningún cambio sustancial. Lo mismo sucedió para el
caso del tiempo de cómputo.
1382
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como el tiempo de cómputo en el cálculo de las raíces, a
diferencia de cuando se utiliza el enjambre unificado con un
factor fijo u=0,5. Es decir, no se observó ninguna ventaja
comparado con éste.
B. Comparación con el método de Newton-Raphson
Para este sistema, el algoritmo de Newton-Raphson invirtió
alrededor de dos segundos y requirió seis iteraciones para
resolverlo, utilizando el mismo computador, siendo
indiscutiblemente mejor que cualquiera de los tres métodos
utilizados, aunque recibió bastante ayuda al definir sus valores
iniciales fundamentados en la solución con esos algoritmos. La
Tabla 1 resume la información más relevante al utilizar los tres
algoritmos meta-heurísticos.
TABLA I. SISTEMA DE TRES ECUACIONES. Fuente: Los autores.
Enjambre
original
(a) Magnitud.
(b) Función objetivo.
Figura 6. Enjambre unificado lineal con N=100. Fuente: Los autores.
b) Enjambre unificado exponencial
Para este caso, la variación del factor de unificación
siguió la siguiente expresión:
u (t ) = e
t log( 2 )
N
−1
(13)
La Fig. 7 ilustra la variación de la magnitud de las raíces
complejas para N=100.
Enjambre
unificado
Enjambre
unificado
(lineal)
N
Iter.
T [s]
Iter.
T [s]
Iter.
T [s]
20
283
142
196
96
296
145
50
222
268
157
179
230
268
100
207
459
129
290
199
465
Enjambre
unificado
(exponencial)
T
Iter.
[s]
14
279
4
27
225
0
46
207
7
Debido a los resultados obtenidos, solo se realizaron
simulaciones posteriores con el enjambre unificado dado que
presentó consistentemente un mejor desempeño en la búsqueda
de la solución de varios sistemas de diferente tamaño frente al
de enjambre original. Se utilizó un factor de unificación de
u=0,5. De igual forma, se incrementó el número de partículas a
150, 200 y 250.
C. Sistema de siete ecuaciones
Atendiendo a las anteriores consideraciones, la Fig. 8
muestran los resultados para n=250 al resolver el siguiente
sistema:
f ( xa , xb , xc , xd , xe , x f , x g ) = (3 + j ) xa2 − 5 j × xb3
+ (9 − 3 j ) xc + 8 xd5 − (5 + 3,2 j ) × xe4 + x 7f
− (15 + 2 j ) x g6 − 8
g ( xa , xb , xc , xd , xe , x f , x g ) = 2 j × xa + (4 − 2 j ) xb2
+ 7 j × xc3 − 3 xd7 − j × xe6 + (5 − 3 j ) x 5f + 25 j × x g4 + j
h( xa , xb , xc , xd , xe , x f , x g ) = xa7 + 5 j × xb4
− (7 + 2 j ) xc6 − (2 + j ) xd − 9 xe5 + 18 j × x 3f
(a) Magnitud.
(b) Función objetivo.
Figura 7. Enjambre unificado exponencial con N=100. Fuente: Los autores.
Cuando el factor de unificación muestra un comportamiento
lineal o exponencial, se aumenta el número de iteraciones así
− (6 + 3,2 j ) x g2 + 22
ARIAS et al.: NUMERICAL SOLUTION OF POLYNOMIAL
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k ( xa , xb , xc , xd , xe , x f , xg ) = j × xa3 − xb7 + 5 j × xc4
− (4 − 7 j ) xd6 + 15 xe − (18 + 3 j ) x 2f − xg5 − 12
el factor de unificación es igual a 0,5, comparado con el
algoritmo tradicional. Por su parte Newton-Raphson
multivariable no converge debido a la complejidad del sistema,
independientemente de sus puntos de inicio.
l ( xa , xb , xc , xd , xe , x f , x g ) = xa6 + 3 j × xb5
2
c
4
d
IV. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
3
e
+ (16 + 4 j ) x + (7 − 3 j ) x + j × x + 21x f
− (5 − 3 j ) x g7 + 3 + 15 j
m( xa , xb , xc , xd , xe , x f , x g ) = 3 xa4 + 5 j × xb + 4 j × xc5
− 5 xd2 + 9 xe7 + 8 j × x 6f − 20 x g3 − 32
n(xa , xb , xc , xd , xe , x f , xg ) = (4 − j)xa5 − xb6 + 3xc7
+ (25− 3 j)xd3 −14xe2 + 2x4f + (3 − 2 j)xg −18
(a) Magnitud.
(14)
(b) Función objetivo.
Figura 8. Enjambre unificado con N=250 y u=0,5. Fuente: Los autores.
A medida que incrementa el tamaño del sistema de
ecuaciones, se requiere aumentar el número de partículas del
enjambre, para evitar que el algoritmo encuentre mínimos
locales que no son la solución al sistema. De esta forma, el costo
computacional aumenta, así como el tiempo de solución. El
enjambre unificado muestra un mejor comportamiento cuando
Dada la dificultad de los sistemas de ecuaciones
polinomiales con coeficientes complejos, se encontró que una
vez transformado el problema de solución directa a un problema
de optimización, el algoritmo de enjambre de partículas
unificado es un método alternativo, eficiente y robusto para
resolverlos. Debido a sus capacidades de búsqueda en el
espacio complejo, presenta una mejora considerable frente al
enjambre tradicional y al Newton-Raphson multidimensional.
La eficiencia y la sencilla implementación de ese algoritmo,
incluyendo la ventaja de no tener que conocer ni las
características de la función objetivo, tal como su continuidad
ni el cálculo del Jacobiano o del Hessiano ni suponer las
soluciones del sistema, como sí lo demanda Newton-Raphson
multivariable es un punto a favor muy importante. El hecho de
variar parámetros en el algoritmo, tales como aumentar el
número de partículas o el factor de unificación, requirió un
mayor esfuerzo computacional de la herramienta, provocando
un aumento del número de iteraciones para la solución del
problema y como consecuencia, un aumento en el tiempo de
computo; además, cabe resaltar que la velocidad de
convergencia del algoritmo depende de la complejidad del
sistema (cantidad de variables y en especial, el grado de los
polinomios), así como de las posiciones iniciales del enjambre.
Los mejores resultados para el algoritmo de enjambre unificado
se obtuvieron cuando el factor de unificación tomó valores entre
u=0,5 y u=0,6. Se pudo constatar igualmente que para sistemas
3x3 y 7x7, este enjambre superó en velocidad de convergencia
al enjambre convencional, mostrando cómo las partículas con
su parte real e imaginaria, tendían más rápidamente a
estabilizarse en un valor que correspondía al valor de cada una
de las soluciones del sistema de ecuaciones. El método de
Newton-Raphson mostró tener un mejor desempeño frente a los
métodos metaheurísticos mencionados cuando se resuelven
sistemas de tamaño reducido como en el caso del sistema 3x3,
siempre y cuando se le suministren soluciones iniciales cercana
a las verdaderas. Requirió de menor cantidad de iteraciones,
bajo tiempo de cómputo y buena precisión. Vale aclarar que
este último aspecto podría mejorarse también para el enjambre
unificado, aunque acarrearía eventualmente mayores recursos.
Se está en el proceso de solución de sistemas de mayor orden
(100x100 y superiores) implementando este algoritmo en una
red de computadores. Como un siguiente trabajo en esta línea
se está realizando un programa que involucre más estrategias
de optimización global que estará disponible para los cursos
regulares de análisis numérico y para los profesionales en
general.
REFERENCIAS
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Hromcik, M., Sebek, M., & Jezek, J. (2002). “Complex polynomials in
communications: Motivation, algorithms, software”, IEEE, International
symposium on computer aided control system design proceedings,
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1384
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International Journal Of Innovate Computing, Information and Control,
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[4] Gómez, L. (2010). “Demostración del teorema sobre la relación entre
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optimización”, Universidad Industrial de Santander.
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[10] Parsopoulos, K.E., & Vrahatis, M.N., (2007). “Parameter Selection and
Adaptation in Unified Particle Swarm Optimization”, Mathematical and
Computer Modelling, 46 (1-2), Elsevier, pp. 198-213.
Cesar Arias received the Engineering degree in Electronics
Engineering from Universidad Industrial de Santander,
Bucaramanga, Colombia. His current research interest are
optimization techniques and numeric solution of problems.
Ricardo Aguilar received the Engineering degree in
Electronics Engineering from Universidad Industrial de
Santander, Bucaramanga, Colombia. His current research
interest are numerical optimization and solution of systems
with complex roots.
Rodrigo Correa received a PhD from Lehigh University in
1991. He is a full-time professor at Universidad Industrial de
Santander (UIS) in Bucaramanga, Colombia. His current
research interests include dielectric heating, optimization
techniques, solution of non-linear systems of equations,
simulation and control.