Prueba para la varianza

Estadística Inferencial
UNIDAD III. PRUEBAS DE HIPÓTESIS
3.7 Prueba de hipótesis para la varianza
La varianza como medida de dispersión es importante dado que nos
ofrece una mejor visión de dispersión de datos.
Por ejemplo: si se determina que la población califica en promedio con
6 el desempeño del gobierno; al decir que la varianza es de cero (y por
lo tanto la desviación estándar es de cero) podemos confiar en que
aproximadamente la misma calificación le asignaría toda la población,
en otras palabras, en términos generales la población en su conjunto ve
al gobierno con la misma calificación ya que no hay variación o
dispersión en dicha calificación.
Por el contrario, con la misma calificación promedio de 6 pero con una
varianza muy alta podemos interpretar que hay gente contenta con el
gobierno que le ha asignado calificaciones muy arriba del 6; pero hay
un conjunto poblacional muy molesto con el gobierno que asigna
calificaciones muy por debajo del 6. Este tipo de información solo es
posible mediante el análisis de la varianza.
Otro campo del conocimiento donde la varianza se ocupa en gran
medida es en control de calidad; cuando un producto se elabora el área
de control de calidad busca que los productos esté dentro de ciertos
límites de tolerancia, pero también que la variabilidad de un producto
sea lo menor posible. De ahí viene la filosofía seis sigma (significa seis
veces la varianza).
3.7. Prueba de hipótesis para la varianza
Nuevamente consideramos que la población sigue una distribución de
probabilidad normal, para lo cual usamos el siguiente estadístico de
prueba:
χ
2
n - 1) s 2
(
=
σ2
Este estadístico de prueba se le conoce como ji
cuadrada
gl = n -1
Ejemplo: Una empresa del giro alimenticio desea determinar si el lote
de una materia prima tiene o no una varianza poblacional mayor a 15
en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de 20 elementos
y se obtiene una varianza muestral de 20.98; realizar la prueba de
hipótesis con alfa = 0.05.
Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”.
Ho: La varianza poblacional es igual a 15.
(Algunos autores colocarían “La varianza poblacional es igual o menor
a 15”).
Ha: ___________________________________
Es decir: Ho: σ2 ≤ 15
Ha: σ2 > 15
(prueba de una cola)
Paso 2. Determinar el nivel de significancia. Definido por el analista,
en este caso se desea usar α = 0.05
Esta es la forma gráfica de ji cuadrada
χ α v2
El
área
sombreada
representa alfa o la
fracción de error.
Nótese que es prueba de
una cola por lo que alfa no
se divide en dos.
Aceptar Ho
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Rechazar Ho
1
Estadística Inferencial
3.7. Prueba de hipótesis para la varianza
Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel
de significancia.
χ α v2
Usamos α = 0.05 y v (grados de libertad)=20-1=19
χ 0.05
2
19
Leemos en la tabla:
χ 0.05
2
19
χ2 =
( n - 1) s 2
σ2
gl = n -1
Donde:
gl = Grados de libertad
n = número de elementos en la muestra
s2 =varianza muestral
σ2 =varianza considerada por la hipótesis nula
χ 2 = ji- cuadrada (también conocido como chi-cuadrada).
Para este problema la sustitución queda:
gl = n -1 = 20 − 1 = 19
= 30.143
Gráficamente queda de la siguiente forma:
χ 0.05
2
19
= 30.143
χ2 =
( n - 1) s 2 = ( 20 - 1) 20.98 = 26.5746
σ2
15
Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la
Hipótesis nula verdadera.
χ 2 = 26.5746 2
χ 0.05 19 = 30.143
En este caso cae dentro de
la región que hace válida
la hipótesis nula.
Aceptar Ho
Rechazar Ho
Aceptar Ho
Rechazar Ho
Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula.
Se acepta que la varianza poblacional es igual a 15 como hipótesis
nula.
Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2
Estadística Inferencial
3.7. Prueba de hipótesis para la varianza
Ejemplo 2. Un negocio debe pagar horas extra dada la demanda
incierta de su producto, por lo cual en promedio se pagan 50 horas
extra a la semana el gerente de recursos humanos considera que
siempre se ha tenido una varianza de 25 en las horas extras
demandadas. Si se toma una muestra de 16 semanas se obtiene una
varianza muestral de 28.1.
Determine con alfa = 0.10 si la varianza poblacional de las horas extras
demandadas a la semana puede considerarse igual a 25.
Por lo tanto para ubicar la posición de la variable ji-cuadrada, se
considera una cola con
χ 1-0.05
2
15
=χ
2
0.95 15
= 7.261
χ 0.05
2
15
= 24.996
Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”.
Ho: La varianza poblacional es igual a 25.
Ho: σ2 = 25
Ha: La varianza poblacional No es igual a 25. Ha: σ2 ≠ 25
Nótese que es una prueba de dos colas.
Paso 2. Determinar el nivel de significancia.
En este caso se desea usar α = 0.10
Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel
de significancia.
Se muestrean 16 semanas entonces hay 15 grados de libertad.
Dado que es un problema de dos colas: α/2 = 0.05
Área de cola izquierda = 0.05
Área de cola a la derecha = 0.05
Al infinito
Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba.
n - 1) s 2 (16 - 1) 28.1
(
2
χ =
=
= 16.86
σ2
25
Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la
Hipótesis nula verdadera.
Al ubicar el estadístico de prueba notamos que cae en la región que
hace verdadera la hipótesis nula.
χ 1-0.05 15 2 = χ 0.95 15 2 = 7.261
χ 0.05
2
15
= 16.86
χ 0.05
2
15
= 24.996
Al infinito
Cada sección sombreada representa un área de 0.05; pero la tabla solo
ofrece áreas de colas a la derecha, no a la izquierda.
Al infinito
Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula.
Se acepta que la varianza poblacional es igual a 25 como hipótesis
nula.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3
Estadística Inferencial
Actividad 3.6. Pruebas de hipótesis para varianza.
Problema 1. Una empresa consultora desea determinar la variablidad
existente en la opinión pública sobre el desempeño del Gobierno del
Estado; históricamente la varianza ha sido de 2 en los puntos de
calificación que le otorga la ciudadanía al gobierno; en el último
muestreo se detecto una varianza de 3 tomando como referencia rápida
20 personas; ¿hay elementos estadísticos suficientes para asegurar que
la varianza ha AUMENTADO? Realice la prueba de hipótesis para
contestar la pregunta anterior con un alfa = 0.1. Realice:
a) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser
prueba de una o dos colas.
b) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se
acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia
del resultado obtenido para la pregunta.
3.7. Prueba de hipótesis para la varianza
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL),
las
rúbricas
se
indican
en
la
liga
siguiente:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
SIN EL PROCEDIMIENTO LA ACTIVIDAD NO ES VÁLIDA
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones:
marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook
solicite confirmación de entrega y de lectura.
Problema 2. Una empresa desea concursar para ganar un contrato con
el gobierno como proveedor de concreto; uno de los requisitos es la
resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de haberse
preparado la mezcla. La empresa ganadora dice que mantiene
excelentes controles de calidad en su concreto y como tal hay una
varianza muy baja en resistencias a la compresión, del orden de 16
kgf2/cm4 ; pero al hacerle en la UNAM unas pruebas de resistencia se
detecta una varianza mas elevada de 25 kgf2/cm4 ¿hay evidencia
estadística suficiente para considerar que el proveedor está mintiendo y
en realidad la desviación estándar es DIFERENTE a 16 kgf2/cm4?
c) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser
prueba de una o dos colas para responder la pregunta.
d) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se
acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia
del resultado obtenido para la pregunta.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Estadística Inferencial
3.7. Prueba de hipótesis para la varianza
Para v > 40

2
2 
χα v ≈ v 1 − + zα

9v 
 9v
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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