UNIDAD IV. INTERÉS COMPUESTO 4.1. Conceptos

Matemáticas para la toma de decisiones
UNIDAD IV. INTERÉS COMPUESTO
4.1. Conceptos básicos
Si un capital C al terminar un periodo de inversión (por ejemplo un
año) genera un monto M; no se retira entonces al segundo periodo éste
dinero empieza a crecer nuevamente como si fuera un nuevo capital.
En el interés simple, el capital que genera intereses permanece
constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión).
En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por
concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente
periodo de capitalización.
El interés simple generado al final del primer periodo se suma al
capital original formándose un nuevo capital y así sucesivamente.
El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el
capital original y el valor futuro:
I=M-C
4.1. Conceptos básicos
Periodo de capitalización
Es el tiempo en el cual el interés generado se convierte en parte del
capital. En el caso del ejemplo anterior el periodo de capitalización es
de 6 meses.
Frecuencia de conversión o capitalización
Es el número de veces que el dinero se capitaliza en un año. En el caso
del ejemplo anterior fue de dos veces, ya que cada semestre se
capitaliza el dinero.
Ejemplo 2. Cuál es la frecuencia de conversión de una cuenta bancaria
que capitaliza el dinero en un periodo:
a) Trimestral
Meses en un año
12
Frecuencia de conversión=
=
=4
Meses en un trimestre 3
b) Bimestral
Ejemplo 1. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 10% de
interés semestral. Determine:
a) ¿Cuál es el interés ganado a los 6 meses?
I=niC
1
I=(1semestre) ( 0.1 semestre
) ( $100, 000 ) = $10, 000
b) Si no se retira el dinero de la cuenta; cuanto es el valor
acumulado en la misma:
M=C+I = $110,000
c) Si el monto obtenido en el inciso anterior se deja como capital
para otros 6 meses, determine el nuevo monto al finalizar este
nuevo plazo.
M=C (1 + ni )
Frecuencia de conversión=
Meses en un año
12
=
=6
Meses en un bimestre 2
Tasa de interés compuesto.
Se expresa en forma anual y cuando es necesario con el periodo de
capitalización, algunos ejemplos son:
20% anual capitalizable mensualmente
20% anual capitalizable bimestralmente
20% anual capitalizable trimestralmente
20% anual capitalizable cuatrimestralmente
20% anual capitalizable semestralmente
20% anual capitalizable anualmente
1
M=$110,000 1 + (1 semestre ) ( 0.1 semestre
) = $121, 000
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
1
Matemáticas para la toma de decisiones
Ejemplo 3. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 20% de
interés anual capitalizable semestralmente. Determine:
a) El monto después de un semestre.
M=C (1 + ni )

 0.2 1  
M=$100,000 1 + (1semestre ) 
semestre   = $110, 000
 2


Nótese que la tasa anual se convierte a semestral para poder
multiplicar por un periodo semestral
b) El monto después de dos semestres.
Como en interés compuesto el monto del periodo inmediato
anterior se convierte en el capital del periodo siguiente; el
cálculo que debe hacerse es:
M=C (1 + ni )

 0.2 1  
M=$110,000 1 + (1semestre ) 
semestre   = $121, 000
 2


El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el
cual se acumula como capital del periodo siguiente.
c) El monto después de tres semestres.
Nuevamente se usa el monto del periodo inmediato anterior que
fue de $121,000 como capital.
M=C (1 + ni )

 0.2 1  
M=$121,000 1 + (1semestre ) 
semestre   = $133,100
 2


El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el
cual se acumula como capital del periodo siguiente.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
4.1. Conceptos básicos
En resumen lo que se hizo fue:
  0.2  
M=$100,000 1 + 
  = $110, 000 Monto al final del 1er periodo
  2 
El monto al final del periodo
Se usa como capital del siguiente periodo
  0.2  
M=$110,000 1 + 
  = $121, 000 Monto al final del 2do periodo
  2 
  0.2  
M=$121,000 1 + 
  = $133,100 Monto al final del 3er periodo
  2 
Ahora observe la operación con la cual se obtuvo el monto al final del
primer periodo:
  0.2  
$100,000 1 + 
  = $110, 000 Monto al final del 1er periodo
  2 
Y observe como se obtuvo el monto al final del segundo periodo:
  0.2  
$110,000 1 + 
  = $121, 000
  2 
  0.2     0.2  
$100,000 1 + 
  1 + 
  = $121, 000
  2    2 
El monto al 3er periodo se obtendría:
  0.2     0.2     0.2  
$100,000 1 + 
  1 + 
  1 + 
  = $133,100
  2    2    2 
2
Matemáticas para la toma de decisiones
Por similitud el monto al final del 4to periodo:
  0.2    0.2    0.2    0.2 
$100,0001 + 
 1 + 
 1 + 
 1 + 
 = $146,410
  2    2     2     2 
O también se puede abreviar como:
4
  0.2  
$100,000 1 + 
  = $146, 410
  2 
El monto al final del 5to periodo:
5
  0.2  
M=$100,000 1 + 
  = $161, 051
  2 
Con este ejercicio deducimos la fórmula de interés compuesto para “n”
periodos de capitalización transcurridos:
n
M=C (1 + i )
4.1. Conceptos básicos
Ejemplo 4. Se realiza un depósito de $100,000 a 5 años; realizar dos
tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital)
hasta el año 5 considerando una tasa del 20% anual y usando una
columna para interés simple y otra columna con interés compuesto
capitalizable anualmente.
Año
Monto a interés simple
Monto a interés compuesto. La tasa
es anual capitalizable anualmente
0
$100,000
$100,000
1
$120,000
$120,000
2
$140,000
$144,000
3
$160,000
$172,800
4
$180,000
$207,360
5
$200,000
$248,932
Recomendación: EL ESTUDIANTE EN SU CASA CON UNA
COMPUTADORA OBTENDRÁ LAS CANTIDADES DE LA
TABLA ANTERIOR INTRODUCIENDO LAS ECUACIONES DE
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO SEGÚN SEA LA COLUMNA
QUE CALCULE.
Donde:
M. Monto o valor futuro del dinero.
C. Capital (o principal) también llamado valor presente
n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo.
i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de
capitalización transcurridos “n”; es decir, si contabilizamos periodos
transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual.
Para hacer este ejercicio usando el paquete EXCEL. Sigue
esta liga:
http://marcelrzm.comxa.com/MateFin/TallerComparacionIntereses.xls
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Matemáticas para la toma de decisiones
Ejemplo 5. Repita el mismo ejemplo 4. Pero si la tasa de interés en la
columna de interés compuesto se capitaliza:
a) Semestralmente
b) Cuatrimestralmente
c) Trimestralmente
d) Bimestralmente
e) Mensualmente
ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL
ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR.
Puede revisar la solución de un ejemplo similar en la
siguiente liga:
http://www.youtube.com/watch?v=lIQzn0Z551c
http://www.youtube.com/watch?v=AV4fLjLe0n4
4.1. Conceptos básicos
Actividad 4.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y
compuesto. PUEDE HACERSE EN EQUIPO (versión anterior).
Realiza tanto el caso como el foro que se muestran a continuación:
CASO: Se realiza un depósito de $10,000 a 5 años bajo una tasa del
15% anual; se pide:
a) Realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde
el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del
15% anual y usando una columna para interés simple y otra
columna con interés compuesto capitalizable semestralmente.
b) Realizar las gráficas para comparar el crecimiento de cada uno
de los montos.
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Ejemplo 6. Determine la frecuencia de conversión y el periodo de
capitalización para tasas de interés anuales que se capitalizan:
a) Semestralmente
b) Cuatrimestralmente
c) Trimestralmente
d) Bimestralmente
e) Mensualmente
ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL
ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
colocar “Actividad 4.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y
compuesto”.
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Matemáticas para la toma de decisiones
4.1. Conceptos básicos
Actividad 4.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y
compuesto. PUEDE HACERSE EN EQUIPO (versión NUEVA).
Realiza tanto el caso como el foro que se muestran a continuación:
CASO: Se realiza un depósito de $100,000 a 5 años bajo una tasa del
15% anual; se pide:
a) Realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde
el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del
15% anual y usando una columna para interés simple y otra
columna con interés compuesto capitalizable semestralmente.
b) Realizar las gráficas para comparar el crecimiento de cada uno
de los montos.
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
colocar “Actividad 4.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y
compuesto”.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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