Apuntes de Introducci on a las Variedades de Riemann

'
Apuntes
de
Introduccion a las
Variedades de Riemann
&
Curso 1992{93
Angel Montesdeoca
$
%
Contents
Variedades semi{riemannianas
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
Formas bilineales simetricas . . . . . . . . . . .
Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variedades y subvariedades semi{riemannianas
Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conexion de Levi{Civita . . . . . . . . . . . . .
Desplazamiento paralelo . . . . . . . . . . . . .
Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicacion exponencial . . . . . . . . . . . . . .
Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . .
Curvatura escalar y curvatura de Ricci . . . . .
Isometras locales . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . .
Variedades locamente simetricas . . . . . . . .
Recubrimientos semi{riemannianos . . . . . . .
Espacios simetricos . . . . . . . . . . . . . . . .
Espacios forma simplemente conexos . . . . . .
Espacios semi{riemannianos homogeneos . . . .
Metricas bi{invariantes sobre grupos de Lie . .
Espacios homogeneos como cociente de grupos
Espacios homogeneos reductivos . . . . . . . .
Construccion de espacios simetricos . . . . . . .
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Subvariedades semi{riemannianas
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Campos de vectores tangentes y normales
Conexion inducida . . . . . . . . . . . . .
Geodesicas en subvariedades . . . . . . . .
Subvariedades totalmente geodesicas . . .
Hipersupercies semi{riemannianas . . . .
La ecuacion de Codazzi . . . . . . . . . .
Hipersupercie totalmente umbilicales . .
La conexion normal . . . . . . . . . . . .
Espacios simetricos
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
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1
1
2
5
5
9
15
16
18
20
22
24
30
33
33
34
37
38
39
46
48
50
55
55
57
61
63
63
65
66
69
70
74
Diferentes enfoques de conexiones
79
Completitud riemanniana
89
A1 Enfoque axiomatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A2 Enfoque tensorial o clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B1 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B2 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B3 Variedades de Riemann completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Nota sobre geometra semi{riemanniana y orbitas planetarias
C1
C2
C3
C4
C5
Precesion de los equinoccios . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones de la gravitacion de Einstein . . . . . .
Orbitas planetarias en la teora clasica de Newton
La solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . .
Geodesicas del espacio de Schwarzschild . . . . . .
i
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97
. 97
. 99
. 100
. 103
. 105
Ejercicios
Bibliografa
Smbolos
Indice alfabetico
111
131
133
135
ii
0
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
TE M A I
Variedades semi{riemannianas
1.1 Formas bilineales simetricas
En todo lo que sigue designaremos por E un espacio vectorial real de dimension nita.
Denicion 1.1.1 Una forma bilineal simetrica sobre E es una aplicacion IR{bilineal B: E E ! IR, vericando
B(u; v) = B(v; u); 8u; v 2 E.
B es denida positiva, si B(u; u) > 0; 8u 2 E f0g.
B es denida negativa, si B(u; u) < 0; 8u 2 E f0g.
B es denida si es denida positiva o denida negativa.
B es semidenida positiva, si B(u; u) 0; 8u 2 E.
B es semidenida negativa, si B(u; u) 0; 8u 2 E.
B es semidenida si es semidenida positiva o semidenida negativa.
B es no degenerada, si B(u; v) = 0; 8v 2 E, implica u = 0.
Nota 1.1.1 Obviamente, si B es denida es semidenida y no degenerada. Para el recproco ver el Ejercicio 1.
Si B es una forma bilineal simetrica sobre E entonces, para un subespacio F de E, la restriccion BjF F es
as mismo simetrica y bilineal. Si B es denida o semidenida, tambien lo es BjF F .
Denicion 1.1.2 Se conoce como ndice de una forma bilineal simetrica B sobre E al numero entero que es
la dimension del mayor subespacio F E sobre el cual BjF F es denida negativa.
As, 0 n = dimE y = 0 si y solo si B es semidenida positiva. En la Proposicion 1.2.4 se dara una
version mas practica del ndice de una forma bilineal simetrica.
Denicion 1.1.3 La aplicacion Q: E ! IR dada por Q(u) = B(u; u); u 2 E, se denomina forma cuadratica
asociada a B.
Nota 1.1.2 La forma bilineal simetrica B puede ser obtenida a partir de su forma cuadratica asociada mediante
la identidad
B(u; v) = 12 Q(u + v) Q(u) Q(v) :
Denicion 1.1.4 Si fe1 ; : : :; eng es una base de E, la matriz (Bij ) = (B(ei ; ej )) se denomina matriz de B
relativa a la base fe1 ; : : :; en g.
Ya que B es simetrica, la matriz (Bij ) es simetrica; y esta determina a aquella, pues
0n
1 n
n
X ij
X
X
Bij :
B @ i ei ; j ej A =
i=1
j =1
1
i;j =1
2
1 Variedades semi{riemannianas
Proposicion 1.1.1 Una forma bilineal simetrica es no degenerada si y solo si su matriz relativa a una base es
inversible.
Demostracion.- Sea fe1; : : :en g una base E, si u 2 E, observemos que
B(u; v) = 0; 8v 2 E () B(u; ei ) = 0; 8i 2 f1; : : :; ng :
Supongamos que B sea degenerada, lo que es equivalente a que exista un vector u 2 E f0g (u = 1 e1 +
+ n en; i 2 IR, no todos nulos) tal que
0n
1 n
X
X
B(u; ei ) = B @ j ej ; ei A = Bji j = 0;
j =1
j =1
para
i = 1; : : :; n:
Pero esto equivale a la dependencia lineal de las las o columnas de (Bij ); esto es, a que (Bij ) sea singular. 1.2 Producto escalar
Denicion 1.2.1 Un producto escalar g sobre un espacio vectorial E es una forma bilineal simetrica no degenerada. Un producto interior es un producto escalar denido positivo.
Ejemplo 1.2.1 El producto eucldeo en IRn : u v =
n
X
uivi , para u = (u1; : : :; un); v = (v1 ; : : :; vn ), es un
i=1
ejemplo de producto interior.
Un ejemplo de producto escalar indenido en IR2 viene dado por la forma bilineal indenida (no denida)
siguiente:
g: IR2 IR2 ! IR;
g(u; v) = u1 v1 u2v2 :
Denicion 1.2.2 En un espacio vectorial E con un producto escalar g, dos vectores u; v 2 E se dice que son
ortogonales (u ? v) si g(u; v) = 0. Dos subconjuntos A; B E son ortogonales (A ? B)
si u ? v para
todo u 2 A y v 2 B. Si F E es un subespacio de E, al subespacio F ? = fu 2 E fug ? F g se le
denomina ortogonal a F.
Nota 1.2.1 Cuando el producto escalar es indenido pueden existir vectores de E f0g que sean ortogonales
a s mismos: el vector u = (1; 1) en el Ejemplo 1.2.1.
En general, si F es un subespacio de E, F ? no es complementario de F en E; es decir, F + F ? no es todo
E. Es el caso del subespacio F generado por el vector u = (1; 1) del Ejemplo 1.2.1.
Proposicion 1.2.1 Si F es un subespacio de un espacio vectorial E con un producto escalar g, entonces
(1) dimF + dimF ? = n = dimE
(2) (F ? )? = F:
Demostracion.- (1) Sea fe1 ; : : :en g una base de E adaptada a F, esto es, para la cual fe1 ; : : :; er g forman
una base de F.
v 2 F ? () g(v; ei ) = 0;
(1 i r)
o sea
n
X
j =1
gij vj = 0;
(1 i r):
Este es un sistema lineal de r ecuaciones y n incognitas, de rango r. Luego el espacio generado por las
soluciones es de dimension n r. Pero, por la construccion, las soluciones (v1 ; : : :; vn ) dan los vectores de F ? .
(2) Para demostrar la segunda relacion, observemos que si v 2 F =) fvg ? F ? () v 2 (F ? )? , luego
F (F ? )? , Y como, por (1), estos subespacios tienen la misma dimension, entonces son iguales.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.2 Producto escalar
3
Nota 1.2.2 Cuando un producto escalar g es indenido, pueden existir subespacios donde g es degenerada.
Por lo que un subespacio de un espacio vectorial con un producto escalar, no necesariamente es un espacio con
un producto escalar.
Notese que en un espacio vectorial con un producto escalar g, E ? = f0g.
Proposicion 1.2.2 Sea E un espacio vectorial con un producto escalar g. Un subespacio F de E es no
degenerado (gjF F no degenerada) si y solo si E es suma directa de F y F ? (E = F F ?).
Demostracion.- Usando la identidad
dim(F + F ? ) = dimF + dimF ? dim(F \ F ?);
y de acuerdo con la Proposion 1.2.1: dimF + dimF ? = n = dimE, resulta que
F + F ? = E () F \ F ? = f0g:
Pero
F \ F ? = u 2 F u ? F = f0g () F es no degenerado.
Denicion 1.2.3 Sea E un espacio vectorial con un producto
escalar g y u 2 E.
p
Se dice que u es unitario si su norma kuk = jg(u; u)j es igual a 1; esto es, si g(u; u) = 1.
Un conjunto de vectores unitarios y mutuamente ortogonales se dice que es ortonormal.
Proposicion 1.2.3 Un espacio vectorial E 6= f0g con un producto escalar g tiene una base ortonormal.
Demostracion.- Ya que g es no degenerada y simetrica, existe un vector u 2 E f0g tal que g(u; u) 6= 0.
Entonces kuuk es unitario. As, es suciente demostar, por induccion, que \todo conjunto ortonormal fe1 ; : : :; er g,
con r < n = dimE, puede ser ampliado por un vector mas".
Estos vectores generan un subespacio F, r{dimensional, el cual es no degenerado. Basta entonces encontrar
un vector unitario en F ?. Pero al ser F ? no degenerado, contiene un vector unitario, por la misma razon que
al principio.
La matriz de g relativa a una base ortonormal fe1 ; : : :; en g es diagonal, y denotaremos los terminos de la
diagonal principal por
"j = g(ej ; ej ) = 1:
En lo que sigue ordenaremos los elementos de una base ortonormal de forma que los "j con signo negativo
(si los hay) queden primero y pondremos ("1 ; : : :; "n), a lo que llamaremos signatura del producto escalar.
Proposicion 1.2.4 En un espacio vectorial con un producto escalar g, si fe1 ; : : :; eng es una base ortonormal,
el numero de signos negativos en la signatura ("1 ; : : :; "n), es el ndice del producto escalar g.
Demostracion.- Supongamos que los primeros m signos de "i son negativos. Evidentemente g es denida
negativa sobre el subespacio S generado por fe1 ; : : :; em g; as m.
Para probar la otra desigualdad, sea F un subespacio arbitrario sobre el que g es denida negativa. Denimos
la aplicacion lineal : F ! S, por
m
X
g(u; ei )ei :
(u) =
i=1
Nos bastara probar que es inyectiva, pues entonces dimF dimS = m, o sea m. Para probar la
inyectividad, supongamos que (u) = 0, entonces u se expresa como
u=
m
X
i=1
g(u; ei )ei +
n
X
j =m+1
g(u; ej )ej =
n
X
j =m+1
g(u; ej )ej ;
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
4
1 Variedades semi{riemannianas
pero al ser u 2 F, donde g es denida negativa, se tiene
0 g(u; u) =
n
X
j =m+1
(g(u; ej ))2 :
Luego, g(u; ej ) = 0 para j > m; resulta entonces que u = 0.
Se tiene la siguiente relacion entre los ndices de g y de su restriccion a un subespacio:
Si F es un subespacio no degenerado del espacio vectorial E con producto escalar g, entonces el ndice de
g es la suma del ndices de gjF F mas el ndice de gjF ?F ? ; esto es,
ind g = ind gjF F + ind gjF ?F ? :
Basta observar que existe una base ortonormal adaptada a la suma directa F F ? = E.
Denicion 1.2.4 Una aplicacion lineal, f: E ! E0 , entre espacios vectoriales E y E 0 con productos escalares
respectivos g y g0 , se dice conserva el producto escalar si
g0 f(u); f(v) = g(u; v);
8u; v 2 E:
Nota 1.2.3 Una aplicacion lineal que conserva el producto escalar es necesariamente inyectiva.
De la Nota 1.1.2, se sigue que una aplicacion lineal, f: E ! E 0, conserva el producto escalar si y solo si
conserva su forma cuadratica asociada; es decir,
Q0 f(u) = Q(u);
8u 2 E:
Denicion 1.2.5 Un isomorsmo lineal f: E ! E0 que conserva el producto escalar se denomina isometra
lineal.
Proposicion 1.2.5 Dos espacios vectoriales E y E 0, con sendos productos escalares g y g0, tienen la misma
dimension e ndice si y solo si existe una isometra lineal de E sobre E 0.
Demostracion.- Supongamos que dimE = dimE 0 e ind g = ind g0 . Sean fe1 ; : : :; en g y fe01 ; : : :; e0ng bases
ortonormales de E y E 0 , respectivamente. Por la Proposicion 1.2.4, podemos suponer que
g(ei ; ei) = g0 (e0i ; e0i );
8i 2 f1; : : :; ng:
Sea f la aplicacion lineal tal que f(ei ) = e0i (i = 1; : : :; n). Entonces
g0 f(ei ); f(ej ) = g0 (e0i ; e0j ) = g(ei ; ej ); 8i; j 2 f1; : : :; ng:
Y por linealidad se sigue que f es isometra.
Recprocamente, si f: E ! E 0 es una isometra lineal, entonces f aplica una base ortonormal de E en una
base ortonormal de E 0 . Entonces dimE = dim E 0 y por la Proposicion 1.2.4, anterior, ind g = ind g0 .
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.3 Variedades y subvariedades semi{riemannianas
5
1.3 Variedades y subvariedades semi{riemannianas
Denicion 1.3.1 Un tensor metrico g sobre una variedad diferenciable M es un campo de tensores diferenciable
de tipo (0; 2) sobre M, simetrico, no degenerado y de ndice constante. Es decir, para cada punto x 2 M,
gx es un producto escalar sobre el espacio tangente Tx (M), de ndice el mismo para todos los puntos
x 2 M.
Una variedad semi{riemanniana es una variedad diferenciable M dotada de un tensor metrico g, que
denotaremos por (M; g).
El valor comun del ndice de gx sobre una variedad semi{riemanniana M se denomina ndice de M.
Nota 1.3.1 Si = 0, M es una variedad de Riemann; cada gx es un producto escalar denido positivo (producto
interior) sobre Tx (M). Si = 1 y n 2, M es una variedad de Lorentz.
Si (x1 ; : : :; xn) es un sistema coordenado sobre U M, las componentes del tensor metrico sobre U son
@ @
gij = g @xi ; @xj
(1 i; j n)
Ya que g es no degenerada, en cada punto x 2 U, la matriz (gij (x)) es inversible, y su inversa se denota por
(gij (x)). De la formula de los terminos de la matriz inversa, se deduce que las funciones gij son diferenciables
sobre U. Ademas, como g es simetrico, gij = gji, se sigue que gij = gji para 1 i; j n.
Finalmente, sobre U el tensor metrico puede escribirse como
g=
n
X
i;j =1
gij dxi dxj :
Denicion 1.3.2 Sea N una subvariedad de una variedad semi{riemanniana (M; g) e i : N ,! M la inclusion
canonica. Si i g es un tensor metrico sobre N, se dice que N es una subvariedad semi{riemanniana de M.
Nota 1.3.2 Cuando el tensor metrico g de M es indenido, entonces i g no es necesariamente una metrica
sobre N. i g es un campo de tensores de tipo (0; 2) diferenciable y simetrico, por tanto el es una metrica si y
solo si cada Tx (N) es no degenerado en Tx (M) relativamente a gx y el ndice de Tx (N) es el mismo para todo
x 2 N.
1.4 Isometras
Denicion 1.4.1 Sean M y M0 variedades semi{riemannianas con tensores metricos g y g0 . Una isometra de
M sobre M0 es un difeomorsmo F: M ! M0 que conserva el tensor metrico; es decir, F g0 = g.
Dos variedades entre las que existe una isometra se dice que son isometricas.
El estudio de los invariantes isometricos corresponde a la geometra semi{riemanniana.
Nota 1.4.1 Para cada punto x 2 M, (F )x es una isometra lineal.
La aplicacion identidad en una variedad semi{riemmaniana es una isometra.
La composicion de isometras es una isometra.
La aplicacion inversa de una isometra es una isometra.
Todo espacio vectorial con un producto escalar puede considerarse como una variedad semi{riemanniana.
Una isometra lineal entre espacios vectoriales es una isometra como variedades semi{riemannianas.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
6
1 Variedades semi{riemannianas
Vamos a situarnos en un caso particular de variedades semi{riemannianas, y mas aun, en un caso particular
de variedades de Riemann como son los espacio eucldeos y en estos estudiar las isometras. Dado que la
generalizacion a dimensiones superiores no crea gran dicultad, para mejor jar las ideas, nos situaremos en el
espacio eucldeo tridimensional IR3 .
De geometra elemental conocemos que dos triangulos son congruentes si existe un movimiento rgido que
lleva uno en el otro. Resulta entonces que angulos correspondientes en triangulos congruentes son iguales, los
lados correspondientes tienen la misma longitud, las areas que encierran son iguales, etc... Y, recprocamente,
hay varias maneras de ver si dos triangulos son congruentes; por ejemplo, comprobando que las longitudes de
los lados son iguales.
A continuacion, estudiaremos los movimientos rgidos (isometras) el espacio eucldeo y extenderemos estos
conceptos, relativos a triangulos, a otros objetos geometricos.
La interpretacion de elementos de IR3 como puntos o vectores se hara segun el contexto en que se este
trabajando, sin nececidad de expecicar que se trata de uno u otro, salvo que se cree confusion. Hecha esta
aclaracion, pasamos a formalizar el concepto de movimiento rgido.
Denicion 1.4.2 Si p y q son puntos de IR3, la distancia eucdea de p a q es d(p; q) = kp qk.
Una isometra, o movimiento rgido, en el espacio eucldeo es una aplicacion diferenciable que conserva la
distancia eucldea entre puntos, mas precisamente:
Denicion 1.4.3 Una isometra eucldea de IR3 es una aplicacion diferenciable F: IR3 ! IR3 tal que
d(F(p); F(q)) = d(p; q) 8p; q 2 IR3:
Ejemplo 1.4.1 1. Traslaciones
T : IR3 ! IR3
p 7! T(p) = p + a
(a 2 IR)
Se trata de una isometra eucldea, puesto que
d(T (p); T (q)) = d(p + a; q + a) = k(p + a) (q + a)k = kp qk = d(p; q):
2. Rotacion alrededor del eje OZ de angulo .
F: IR3 ! IR3 F(p) = F(p1; p2; p3) = (p1 cos p2 sen ; p1 sen + p2 cos ; p3 ); 8p = (p1; p2; p3) 2 IR3:
Claramente F es diferenciable y con un calculo facil se comprueba que conserva la distancia eucldea.
Denicion 1.4.4 Una transformacion ortogonal (o isometra lineal) es una aplicacion lineal H: IR3 ! IR3 que
conserva el producto escalar, es decir
< H(p); H(q) >=< p; q >
8p; q 2 IR3
Una transformacion ortogonal es necesariamente biyectiva. Pues si H(p) = 0, implicara que < p; q >= 0,
para to q 2 IR3 y, por consiguiente, p = 0. As, H es inyectiva, y por tanto, debido a las dimensiones, biyectiva.
Proposicion 1.4.1 Toda transformacion ortogonal de IR3 es una isometra eucldea.
Demostracion.- Veamos primero que si H: IR3 ! IR3 es una transformacion ortogonal, ella conserva la norma.
Sea p 2 IR3
kH(p)k2 =< H(p); H(p) >=< p; p >= kpk2:
Luego kH(p)k = kpk.
Ahora como ademas H es lineal, para p; q 2 IR3, se tiene
d(H(p); H(q)) = kH(p) H(q)k = kH(p q)k = kp qk = d(p; q):
Con lo que H es una isometra eucldea.
A modo de recproco tenemos el siguiente resultado:
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1.4 Isometras
7
Proposicion 1.4.2 Si F es una isometra eucldea de IR3 tal que F(0) = 0, entonces es una transformacion
ortogonal
Demostracion.- Veamos primero que conserva la norma. Si p 2 IR3 , se tiene por denicion de distancia
eucldea que kpk = d(0; p), luego
kF(p)k = d(0; F(p)) = d(F(0); F(p)) = d(0; p) = kpk:
As F conserva las normas. Ahora, por poralizacion, demostremos que conserva el producto escalar:
Como F es isometra eucldea, resulta que, para p; q 2 IR3 , d(F(p); F(q)) = d(p; q), es decir, kF(p) F(q)k =
kp qk lo que implica
< F(p) F(q); F(p) F(q) >=< p q; p q >
2
kF(p)k 2 < F(p); F(q) > +kF(q)k2 = kpk2 2 < p; q > +kqk2 :
Luego como F conserva la norma, resulta
< F(p); F(q) >=< p; q > :
Nos falta demostrar que F es lineal:
Consideremos la base canonica ortonormal fe1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1)g, al conservar F el
producto escalar, tambien fF(e1 ); F(e2); F(e3)g es una base ortonormal.
p=
3
X
i=1
piei ) F(p) =
3
X
i=1
< F(p); F(ei) > F(ei) =
3
X
i=1
< p; ei > F(ei ) =
3
X
i=1
pi F(ei ):
De donde si p; q 2 IR3 y ; 2 IR se tiene que:
F(p + q) =
3
3
X
X
i
i
i
(p + q )F(ei ) = p F(ei ) + qi F(ei) = F (p) + F(q):
i=1
i=1
i=1
3
X
Daremos ahora el aspecto concreto de una isometra eucldea arbitraria; veremos que es posible expresar
cualquier isometra como composicion de una transformacion ortogonal con una traslacion.
Teorema 1.4.1 Sea F una isometra eucldea de IR3 , existe entonces una unica traslacion T y una unica
transformacion ortogonal H, tal que F = T H.
Demostracion.- Sea la traslacion T(p) = p + F(0); la aplicacion inversa T 1 es una traslacion: T 1 (p) =
p F(0). Ahora bien como la composicion de isometrias eucldeas es otra isometra eucldea, tenemos que
T 1 F es una isometra eucldea, y ademas
(T 1 F)(0) = T 1 (F(0)) = F(0) F(0) = 0:
Por tanto por la Proposicion 1.4.2, H = T 1 F es una transformacion ortogonal. Con lo que F = T H es la
composicion de una transformacion ortogonal con una traslacion.
Nos falta demostrar la unicidad:
Supongamos que F = T H, donde T es una traslacion y H es una transformacion ortogonal. Veamos que
T = T y H = H. Pero T H = T H implica que H = T 1 T H. Como H y H son lineales, cumplen
que H(0) = H(0) = 0, luego (T 1 T)(0) = 0. Y como la composicion de traslaciones es una traslacion y
la traslacion que deja un punto jo es la identidad, resulta que T 1 T = I; es decir T = T. Ademas, y en
consecuencia
T H = T H ) T H = T H ) T 1 T H = T 1 T H ) H = H:
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8
1 Variedades semi{riemannianas
Dado que para una isometra eucldea F la descomposicion F = T H que da el teorema anterior es unica,
diremos que H es la parte ortogonal de F y que T e la parte de traslacion de F.
con
En notacion matricial, si tomamos en IR3 la base canonica fe1 ; e2; e3 g, una isometra eucldea F = T H,
T(p1; p2; p3) = (p1 ; p2; p3) + (a1 ; a2; a3)
T (p) = p + a
!
3
3
X
X
3
i
2
i
1
i
ci p ; ci p ; ci p :
H(p) =
i=1
i=1
i=1
3
X
Poniendo los vectores en columnas, tenemos la siguiente expresion matricial de F = T H
0 q1 1 0 a1 1 0 c1 c1 c1 1 0 p1 1
@ q2 A = @ a2 A + @ c211 c222 c233 A @ p2 A
q3
a3
c31 c32 c33
p3
donde la matriz (cij ) es ortogonal en el sentido de que su inversa es igual a su traspuesta.
Pasamos a estudiar la aplicacion inducida entre los espacios tangentes de una isometra euclidea.
Proposicion 1.4.3 Si F: IR3 ! IR3 es una isometra con parte ortogonal H, entonces se tiene
F (vp ) = H(v)F (p)
8vp 2 Tp (IR3 ):
Demostracion.- Pongamos F = Ta H, es decir F(p) = a + H(p). Si vp 2 Tp (IR3)
F(vp ) = dtd
jt=0
d
F(p + tv) = dt
jt=0
d
(a + H(p) + tH(v)) = dt
jt=0
(F(p) + tH(v)) = H(v)F (p) :
Corolario 1.4.3.1 Las isometras eucldeas conservan el producto escalar, es decir:
< F (vp ); F (wp ) >=< vp ; wp >
8vp ; wp 2 Tp (IR3 ):
Demostracion.- Basta recordar que, por denicion, las transformaciones ortogonales conservan el producto
escalar. As, si H es la parte ortogonal de F, se tiene, en virtud de la proposicion anterior, que
< F (vp ); F (wp ) >=< H(v)F (p) ; H(w)F (p) >=< H(v); H(w) >=< v; w >=< vp ; wp > :
As como dos puntos determinan una unica traslacion que transforma uno en el otro, dos sistemas de
referencias ortonormales determinan una misma isometra eucldea, esto es se tiene el siguiente resultado:
Proposicion 1.4.4 Dados sistemas de referencia ortonormales en IR33, B1 =3 fu1; u2; u3g en un punto p y
B2 = fv1 ; v2; v3g en un punto q, existe una unica isometra F: IR ! IR tal que F(ui) = vi (1 i 3).
Demostracion.- Como los espacios tangentes Tp (IR3) y Tq (IR3) son canonicamente isomorsmo a IR3 ; con-
sideremos primero la unica transformacion lineal H: IR3 ! IR3 que lleva la base ortonormal fu1; u2; u3g en la
fv1; v2; v3g de tal forma que H(ui ) = vi (1 i 3). Se trata de un transformacion ortogonal. Sea ademas la
traslacion de vector q H(p). Entonces la isometra lineal F = T H lleva la referencia B1 en la B2 . En efecto,
F(p) = T(H(p)) = H(p) + q H(p) = q y F (uip ) = H(ui )F (p) = vi q (1 i 3).
La unicidad es inmediata, pues si H es otra parte ortogonal, tambien vericara F (ui) = H(ui ), luego
H = H. Y ademas existe una unica traslacion que lleva H(p) en q.
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1.5 Conexion de Levi{Civita
9
1.5 Conexion de Levi{Civita
Sean X e Y campos de vectores sobre una variedad semi{riemanniana M. El objetivo de este parrafo es
denir un nuevo campo de vectores rX Y sobre M, cuyo valor en cada punto x es el vector variacion de Y en
la direccion de Xx .
Para mejor comprender este concepto, repasemos el concepto de derivada covariante natural en IRn .
Un campo de vectores Y en IRn puede ser interpretado como una aplicacion Y : IRn ! IRn diferenciable; as
si v es un vector en p de IRn e Y es un campo de vectores (diferenciable) en p, esta bien denido el vector
Y (p + tv) Y (p)
(Dv Y ) (p) = tlim
!0
t
que, si Y se expresa en funcion de los campos
de vectores basicos en IRn, correspondientes a las coordenadas
n
X
cartesianas globales (r1 ; : : :; rn) , por Y = Y i @r@ i , se puede poner
i=1
(Dv Y ) (p) =
n
X
i=1
v(Y i ) @r@ i ;
donde v(Y i) expresa la derivada direccional de la funcion Y i en la direccion de v.
Si ahora consideramos X e Y campos de vectores diferenciables en p,
DX Y (p) = DXp Y
dene un campo de vectores DX Y en IRn , que denominaremos derivada covariante de Y en la direccion de X.
Ejemplo 1.5.1 Tomemos en IR3 los campos de vectores X = (A; B; C), Y = (xy2 +4z; y2 x; x+z3), entonces
DX Y = X(xy2 + 4z); X(y2 x); X(x + z 3 ) =
= y2 A(x; y; z) + 2xyB(x; y; z) + 4C(x; y; z);
A(x; y; z) + 2yB(x; y; z); A(x; y; z) + 3z 2 C(x; y; z) :
Propiedades de la derivada covariante o conexion natural en
n:
IR
Sean X; Y; Z; W campos vectoriales (diferenciables) en IRn, y sea f una funcion diferenciable real, entonces
se tienen las siguientes propiedades:
DX (Y + Z) = DX Y + DX Z
DfX Y = f DX Y
DX + W Y = DX Y + DW Y
DX (fY ) = (Xf)Y + f DX Y
Todas estas propiedades se deducen directamente de la denicion de D, entendida como derivada direccional
de funciones diferenciables en IRn.
Es importante rese~nar que DX Y puede ser calculado una vez conocido Y a lo largo de una curva que ja
el vector Xp en p; es decir, tal que(0) = p y 0(0) = Xp .
En efecto, sea Y(t) = Y 1 (t) ; : : :; Y n (t) , entonces
DX Y (p) = DXp Y = Xp (Y 1 ); : : :; Xp (Y n ) =
! 1
n di @Y 1
n di @Y n
n ) X
X
)
d(Y
d(Y
=
; : : :;
=
i
i
dt (0); : : :; dt (0) :
i=1 dt j0 @r j(0)
i=1 dt j0 @r j(0)
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10
1 Variedades semi{riemannianas
Para la generalizacion de la denicion de derivada covariante o conexion a una variedad diferenciable M,
exigiremos la existencia de un operador r que asigna a campos de vectores X; Y un campo de vectores rX Y ,
que satisfaga a las cuatro propiedades precedentes, enunciadas para la conexion natural en IRn . Esto es, si
designamos por X(M) el modulo de los campos de vectores diferenciables sobre M, damos la siguiente denicion:
Denicion 1.5.1 Una conexion lineal r en M es una aplicacion
r: X(M) X(M) ! X(M), (X; Y ) 7! rX Y , vericando
A1 : rX + Y Z = rX Z + rY Z
A3 : rfX Y = f rX Y
A2 : rX (Y + Z) = rX Y + rX Z
A4 : rX fY = (Xf)Y + f rX Y
donde f; g 2 F(M) (funciones diferenciables). rX Y se lee derivada covariante de Y con respecto a X.
Ejemplo 1.5.2 Observese que puede existir mas de una conexion lineal sobre una variedad diferenciable. Y
como ejemplos de existencia de conexiones lineales sobre variedades tenemos:
1) La conexion natural D en IRn . Ver pagina 9.
2) La conexion r sobre una supercie M de IR3, denida a partir de la conexion natural y el producto
interior en IR3 , considerando el campo de vectores normal unitario N sobre M y deniendo
rX Y = DX Y DX Y; N N
es decir, el campo de vectores rX Y esta denido descomponiendo DX Y en sus unicas componentes tangente
y normal relativas al plano tangente a M. r satisface las propiedades que caracterizan a una conexion lineal
sobre M; as el producto escalar y la conexion natural de IR3 inducen una conexion en la supercie M.
3) Si U; ' (x1 ; : : :; xn) es una carta local en una variedad diferenciable M; sobre el abierto U, con la
estructura de variedad inducida,
! se puede denir una conexion lineal, poniendo, para X; Y campos de vectores
n
X
@
sobre U Y = Y i @xi ,
n
X
i=1
rX Y = X(Y i ) @x@ i :
i=1
4) Si en una variedad M, n{dimensional, existen n campos de vectores X1 ; : : :; Xn linealmente independientes (los vectores fX1 (x); : : :; Xn (x)g, linealmente independientes para todo x 2 M, dcese entonces que la
variedad es paralelizable),
podemos denir en M una conexion lineal poniendo, para campos de vectores X e Y
!
n
X
Y = Y i Xi ,
n
X
i=1
rX Y = X(Y i )Xi :
i=1
5) Toda variedad diferenciable paracompacta admite una conexion lineal.
En efecto, sea fVg un recubrimiento abierto localmente nito de M, y supongamos que ff g es una particion de la unidad subordinada a tal recubrimiento; es decir, las funciones f son funciones reales diferenciables
con valores comprendidosPentre 0 y 1, tales que sop f V (la clausura de los puntos donde f no se anula
esta contenida en V ) y f = 1. Si r es la conexion lineal en la carta (V ; '), como en 3), ponemos
r=
X
f r;
entonces, al tener esta suma sentido, r es una conexion lineal en M.
Para otros enfoques de conexiones en una variedad diferenciable ver el Apendice A
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1.5 Conexion de Levi{Civita
11
Tratamos ahora de establecer un resultado fundamental en la geometra semi{riemanniana, como es el de la
existencia de una unica conexion que cumple ademas las propiedades vericadas por la conexion natural en IRn
siguientes
[X; Y ] = DX Y DY X
X Y; Z = DX Y; Z + Y; DX Z
Para llegar a ello necesitamos el siguiente resultado algebraico:
Proposicion 1.5.1 Sea (M; g) una variedad semi{riemanniana. Si X 2 X(M), sea la 1{forma sobre M
metricamente equivalente a X, denida por
(Y ) = g(X; Y );
8 Y 2 X(M):
Entonces la aplicacion
X 2 X(M) 7! 2 1 (M)
es un isomorsmo de X(M) sobre 1 (M) (conjunto de las 1-formas diferenciables sobre M).
Demostracion.- Evidentemente 2 1(M) y la aplicacion X 7! es F(M){lineal. El ser un isomorsmo se
sigue de los siguientes hechos:
a) Si g(X; Y ) = g(Z; Y ); 8 Y 2 X(M), se tiene X = Z.
b) Dada 2 1 (M), existe un unico X 2 X(M) tal que (Y ) = g(X; Y ); 8 Y 2 X(M).
Para establecer la armacion a), sea W = X Z, entonces dicha armacion es equivalente a que si
g(Wx ; Yx) = 0; 8Y 2 X(M) y 8x 2 M; entonces W = 0:
Pero esto se sigue de la no degenerabilidad de la metrica g y de que todo elemento de Tx (M) es de la forma Yx .
As mismo queda demostrado la unicidad de la armacion b), con lo que para demostrar b), solo es suciente
encontrar Xn sobre un entorno coordenado
arbitrario U de funciones coordenadas x1 ; : : :; xn.
n
X
X i
Si = i dx en U y X = X i @x@ j , es el campo de vectores a encontrar, debe vericarse
i=1
i;j
(Y ) = g(X; Y );
8 Y 2 X(U)
o, equivalentemente
@x@ j = g X; @x@ j
(j = 1; : : :; n)
luego, resulta el sistema de ecuaciones lineales, de funciones incognitas X i , siguiente
j =
n
X
i=1
gij X i
(j = 1; : : :; n);
el cual tiene solucion unica dado que la matriz de coecientes (gij ) tiene inversa (gij ). Resulta, entonces, que
X=
n
X
i;j =1
gij i @x@ j :
Se sigue por linealidad que g(X; Y ) = (Y ); Y 2 X(U).
Teorema 1.5.1 Sobre una variedad semi{riemanniana (M; g) existe una unica conexion lineal r, tal que
A5 :
[X; Y ] = rX Y rY X
(1.5.1)
A6 : Xg(X; Y ) = g(rX Y; Z) + g(Y; rX Z)
(1.5.2)
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12
1 Variedades semi{riemannianas
para todo X; Y; Z 2 X(M).
r se determina por la formula de Koszul:
2g(rX Y; Z) = Xg(Y; Z) + Y g(Z; X) Zg(X; Y ) g(X; [Y; Z]) + g(Y; [Z; X]) + g(Z; [X; Y ]): (1.5.3)
Demostracion.- Supongamos que r es una conexion sobre M satisfaciendo las relaciones (1.5.1) y (1.5.2),
entonces la formula de Koszul se satisface sin dicultad, sin mas que usar (1.5.2) para transformar los tres
primeros sumandos del termino de la derecha, y (1.5.1) para transfomar los tres ultimos; cancelando los sumandos
de signo contrario que resultan, se obtiene 2g(rX Y; Z), que es el primer miembro de la formula de Koszul.
Ademas, por la armacion a) de la demostracion de la Proposicion 1.5.1, r es unica.
Para la existencia, denimos (X; Y; Z) por el termino de la derecha de la formula de Koszul. Fijando
X; Y 2 X(M), es facil demostrar que la aplicacion
: X(M) ! F(M)
Z 7! (X; Y; Z)
es F(M){lineal; y, por consiguiente, es una 1{forma [10, pag. 46,56]. Por la Proposicion 1.5.1, existe un unico
campo de vectores, que denotamos por rX Y tal que
2g(rX Y; Z) = (X; Y; Z); 8Z 2 X(M):
As, se tiene la formula de Koszul, y de ella se pueden deducir las propiedades de la Denicion 1.5.1 de
conexion y las propiedades (1.5.1) y (1.5.2).
Denicion 1.5.2 A la conexion denida por la formula de Koszul se le denomina conexion metrica o conexion
de Levi{Civita de (M; g).
Denicion 1.5.3 Sea (x1 ; : : :; xn) un sistema coordenado sobre un entorno abierto U en una variedad semi{
riemanniana M. Los smbolos de Christoel para este sistema coordenado son las funciones kij sobre U
tales que
n
X
k @
r @ i @x@ j =
(1 i; j n):
ij @xk
@x
k=1
Tambien llamados coecientes de la conexion de Levi{Civita.
Nota 1.5.1 De la propiedad (1.5.1), pagina 11, de la conexion de Levi{Civita se sigue que: kij = kji. Por lo
que se dice que la conexion es simetrica.
La conexion r no es un campo tensorial, pues los smbolos de Christoel no se atienen a la regla de
transformacion tensorial bajo un cambio de coordenadas. De hecho se tiene:
Si kij son los smbolos de Christoel de r con respecto a otro sistema de coordenadas (x1; : : :; xn ) sobre un
abierto U, en la interseccion de los entornos coordenados, se tiene:
n
n
i j 2 i
X
k @x @x @x + X @ x @x :
=
ij @x @x @xk
i
i=1 @x @x @x
i;j;k=1
Proposicion 1.5.2 En un sistema coordenado (x1; : : :; xn) sobre un abierto U, si X; Y 2 X(U), se tiene
0n
n X
n
k X
X
rX Y = @ X j @Y
+
@xj
k=1 j =1
i;j =1
donde los smbolos de Christoel estan dados por
n
k = 1 X gkh @gjh + @gih
ij 2
@xi @xj
h=1
1
k X iY j A @ ;
ij
@xk
@gij :
@xh
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1.5 Conexion de Levi{Civita
13
Demostracion.- Dicha formula se obtiene de forma inmediata utilizando las propiedades de la conexion. Para
obtener la expresion de los smbolos de Christoel, ponemos en la formula de Koszul (1.5.3)
X = @x@ i ; Y = @x@ j ; Y = @x@ h
y resulta
@
@
@
2g r @ i @xj ; @xh = @xi (gjh) + @x@ j (gih ) @x@ h (gij ):
@x
Pero por la denicion de los smbolos de Christoel:
n
X
` g`h :
2g r @ i @x@ j ; @x@ h = 2
ij
@x
`=1
Multiplicando ambos miembros de la ecuacion anterior por ghk , da el resultado requerido, sumando en h.
Ejemplo 1.5.3 La conexionn natural en IRn es la conexion de Levi{Civita del espacio semi{eucldeo IRn
( = 0; 1; : : :; n); es decir, IR con el producto escalar
< u; v >=
Relativamente a las coordenadas naturales
X
ui v i +
i=1
de IRn, se
n
X
i= +1
uivi
tiene
(1 j )
gij = ij "j
donde
"j = +11
( + 1 j n)
k =0
(1 i; j; k n):
ij
Denicion 1.5.4 Un campo de vectores Y 2 X(M) es paralelo si su derivada covariente es nula; es decir, si
rX Y = 0;
8X 2 X(M):
Ejemplo 1.5.4 En IRn los campos de vectores de componentes constantes son paralelos.
Denotaremos por Trs (M) el conjunto de los campos de vectores diferenciables de tipo (r; s) sobre M. Recordemos [10, pags. 44,56] que ellos pueden ser identicados con aplicaciones F(M){lineales X(M) s) X(M) 1(M) r) 1(M) ! F(M).
Denicion 1.5.5 Una derivacion sobre el algebra tensorial de una variedad diferenciable M es una aplicacion
IR{lineal D: T(M) ! T(M), vericando:
1. D: Trs (M) ! Trs (M); es decir, D conserva el tipo tensorial.
2. D(S T) = (DS) T + S DT
8 T; S 2 T(M).
3. D(C T) = C (DT); es decir, C conmuta con la contraccion. (Ver Denicion 1.11.6).
Proposicion 1.5.3 Sea D una derivacion en el algebra tensorial de M. Si A 2 Trs (M) entonces, para todo
X1 ; : : :; Xs 2 X(M) y !1 ; : : :; !r 2 1 (M),
(DA (X1 ; : : :; Xs; !1 ; : : :; !r ) = D A(X1 ; : : :; Xs; !1 ; : : :; !r )
s
X
j =1
A(X1 ; : : :; DXj ; : : :; Xs; !1 ; : : :; !r )
r
X
i=1
A(X1 ; : : :; Xs; !1; : : :; D!i ; : : :; !r ):
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14
1 Variedades semi{riemannianas
Demostracion.- Para simplicar la demostracion, solo consideramos el caso en que r = s = 1. Armamos
que
A(X; !) = C (A X !);
donde C es una doble contraccion. Esta armacion se corrobora facilmente, poniendo las componentes de cada
miembro respecto a un sistema coordenado:
A(X; !) :
n
X
i;j =1
Aij X j !i
A X ! : Aij X k !` :
As, usando las propiedades de la derivacion, tenemos
D A(X; !) = DC (A X !) = C D(A X !) =
= C (DA X !) + C (A X D!) + C (A DX !) = (DA)(X; !) + A(X; D!) + A(DX; !): Casos particulares: Si es una 1{forma:
(D)(X) = D((X)) (DX);
8X 2 X(M):
Si g 2 T02(M):
(Dg)(X; Y ) = D(g(X; Y )) g(DX; Y ) g(X; DY ); 8X; Y 2 X(M):
Corolario 1.5.3.1 Si dos derivaciones D1 ; D2 sobre el algebra tensorial coinciden sobre funciones y sobre
campos de vectores, entonces D1 = D2 .
La derivada covariante rX puede extenderse a un operador sobre tensores arbitrarios:
Denicion 1.5.6 Sea X un campo de vectores sobre una variedad semi{riemanniana M. La derivada covariante
rX es la unica derivacion D sobre M tal que:
DX f = Xf; 8f 2 F(M)
DX Y = rX Y; 8 Y 2 X(M):
Denicion 1.5.7 La diferencial covariante de un tensor A 2 Trs(M) es un tensor de tipo (r; s +1), rA, tal que
(rA)(X1 ; : : :; Xs ; X; 1 ; : : :; r ) = rX A (X1 ; : : :; Xs; 1 ; : : :; r )
para todo X; Xi 2 X(M) y j 2 1(M).
Nota 1.5.2 Esta denicion tiene sentido ya que rX A es F(M){lineal en X 2 X(M).
La diferencial covariante coincide con la diferencial ordinaria sobre funciones, as si f 2 F(M) y X 2 X(M)
se tiene: (rf)(X) = rX f = Xf = df(X).
Si A 2 Trs (M) es un campo tensorial de tipo (r; s) de componentes respecto a un sistema coordenado Aij11ijrs ,
entonces las componentes de rA estan dadas por:
!
! X
s X
n
n
r X
@Aij11ijrs X
i
i
`i
i
i
i
i
1
1
+1
r
h
1
r
kj Aj1 j 1 hj+1 js :
@xk + =1 `=1 k` Aj1 js
=1 h=1
Denicion 1.5.8 Un campo de tensores A es paralelo si su diferencial covariante es nula; esto es, si
rX A = 0; 8 X 2 F(M).
Aji11ijrs ;k =
Nota 1.5.3 De la propiedad (1.5.2), pagina 11, de la conexion de Levi{Civita, se sigue que el tensor metrico g
es paralelo.
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1.6 Desplazamiento paralelo
15
1.6 Desplazamiento paralelo
Una curva en una variedad diferenciable M es una aplicacion regular (aplicacion inducida inyectiva) de un
abierto I IR sobre M. Sea : I ! M; t 7! (t) una curva en M, la derivada con respecto al parametro la
denotaremos por 0. As, 0(t) es el vector tangente ( dtd jt ).
Denicion 1.6.1 Un campo de vectores Z sobre una curva : I ! M es una aplicacion Z: I ! T(M) diferenciable, que asigna a cada t 2 I (intervalo abierto en IR) un vector tangente a M en (t).
Denotaremos por X() al conjunto de los campos de vectores diferenciables sobre . X() es un F(I){modulo.
Cuando en M existe una conexion hay una forma natural de denir el campo de vectores variacion de
Z 2 X() a lo largo de la curva :
Proposicion 1.6.1 Sea : I ! M una curva en una variedad semi{riemanniana (M; g). Entonces existe una
unica aplicacion
r : X() ! X();
Z 7! rZ ;
dt
dt
llamada derivada covariante inducida, tal que, para todo Z; Z1 ; Z2 2 X(); X 2 X(M); h 2 F(I); ; 2 IR;
r (Z + Z ) = rZ1 + rZ2 .
1. dt
1
2
dt
dt
r
(hZ)
dh
r
Z
2. dt = dt Z + h dt .
3. rdtX (t) = r0(t) X (X es la restriccion de X a ).
Ademas se tiene:
4. dtd g(Z1 ; Z2) = g rdtZ1 ; Z2 + g Z1 ; rdtZ2 .
Demostracion.- Unicidad. Supongamos que existe una derivada covariante inducida satisfaciendo solo las
tres primeras propiedades. Podemos suponer que la curva
queda en el dominio de un sistema coordenado de
n
X
funciones coordenadas (x1; : : :; xn). Entonces Z(t) = Z i (t) @x@ i .
i=1
j(t)
n dZ i @
n
X
X
r @x@ i j
r
Z
i
Por las propiedades 1 y 2: dt =
dt @xi j + Z dt . Y, teniendo en cuenta la propiedad 3,
i=1
i=1
n dZ i @
@
rZ = X
i
dt
dt @xi + Z r0 @xi
i=1
Con lo que, rdtZ esta completamente determinada por la conexion de Levi{Civita.
Existencia. Sobre todo subintervalo J I tal que (J) quede en un entorno coordenado, denimos rdtZ
por la formula anterior recuadrada. Entonces es facil demostrar que la cuarta propiedad se verica.
Por la unicidad, esta denicion local de rdtZ constituye un campo de vectores sobre , rdtZ 2 X().
Introduciendo los smbolos de Christoel, la exprexion local de rdtZ es
0
n dZ k X
n
rZ = X
@ +
dt
k=1
dt
1
i
k d(x ) Z j A @ :
ij dt
@xk
i;j =1
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16
1 Variedades semi{riemannianas
Denicion 1.6.2 Z 2 X(), se dice que es paralelo si rdtZ = 0.
La ecuacion rdtZ = 0 es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales ordinarias, Asi, por el teorema
fundamental de existencia y unicidad de tales sistemas, se tiene:
Proposicion 1.6.2 Sea : I ! M una curva sobre M, a 2 I y v 2 T(a)(M). Existe un unico campo de vectores
paralelo Z sobre tal que Z(a) = v.
La aplicacion : T(a) (M) ! T(t)(M), dada por (v) = Z((t)) es un isomorsmo lineal, que se
denomina transporte paralelo a lo largo de desde (a) a (t).
Demostracion.- Sea (x1 ; : : :; xn) un sistema de coordenadas alrededor de (a), con dominio U, y sean
los campos de vectores canonicos asociados f @x@ 1 ; : : :; @x@n g. Supongamos que ([a; b1]) U. Sea Y (t) =
n
X
Y i (t) @x@ i
un campo de vectores sobre .
i=1
j(t)
Y es paralelo a lo largo de si y solo si
n
i
dY k + X
k d(x ) Y j = 0
ij
dt i;j =1
dt
(t 2 I; k = 1; : : :; n):
(1.6.1)
La condicion Y ((a)) = v da n valores iniciales vi y la teora de ecuaciones diferenciales lineales ordinaria
garantiza la existencia de un unico conjunto de funciones diferenciables Y i ((t)) satisfaciendo las ecuaciones
(1.6.1) de arriba en el dominio [a; b1], las cuales denen el campo de vectores paralelo.
Para t 2 [a; b1], t es lineal debido a la linealidad de las ecuaciones (1.6.1) y por tanto la solucion depende
linealmente de las condiciones iniciales. La biyectividad de t surge de la unicidad de las soluciones de (1.6.1)
y de que los espacios son de la misma dimension.
Si t 2 I, arbitrario, obtenemos t recubriendo el conjunto compacto ([a; t]) con un numero nito de
entornos coordenados y haciendo el transporte paralelo a lo largo de cada entorno mediante la solucion del
sistema diferencial (1.6.1).
Proposicion 1.6.3 El transporte paralelo es una isometra.
Demostracion.- Si X e Y son campos de vectores sobre transportes paralelos de u y v vectores de T(a) (M),
se tiene entonces, usando la propiedad 4 (pagina 15) de la derivada covariante inducida, que
d g(X; Y ) = g rX ; Y + g X; rY = 0:
dt
dt
dt
Luego g(X; Y ) es constante sobre , as
g(b)(b(u); b (v)) = g(b)(X(b) ; Y(b)) = g(a) (X(a) ; Y(a)) = g(a) (u; v):
1.7 Geodesicas
Vamos ahora a generalizar la nocion de lnea recta en el espacio eucldeo.
Volviendo a IRn podemos caracterizar los campos de vectores paralelos a lo largo de una curva y las geodesicas
en terminos de la derivada covariante estandar (pagina 9):
Sea una curva diferenciable en IRn e Y un campo de vectores sobre . Y es paralelo a lo largo de si y
solo si sus componentes son constantes; es decir, si y solo si
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1.7 Geodesicas
17
DY = dY 1 ; ; dY n = 0:
dt
dt
dt
n
La curva sera una geodesica en IR si y solo si se trata de una recta; esto es, si sus componentes son
funciones lineales: i (t) = ait + bi . Lo cual es equivalente
a que
2
1
0
D = d ; ; d2 n = 0:
dt
dt2
dt2
Esto motiva la siguiente denicion de geodesicas en una variedad diferenciable con conexion:
Denicion 1.7.1 Una geodesica en una variedad semi{riemanniana es una curva : I ! M cuyo campo de
vectores tangente 0 es paralelo.
Si (M; g) es una variedad semi{riemanniana. k 0 k es necesariamente constante, ya que
d g( 0 ; 0 ) = g r 0 ; 0 ) + g 0 ; r 0 ) = 0:
dt
dt
dt
Proposicion 1.7.1 Sea (x1; : : :; xn) un sistema coordenado sobre U M. Una curva sobre U es una
geodesica de M si y solo si sus funciones componentes satisfacen
n
i
j
d2(xk ) + X
k ((t)) d(x ) d(x ) = 0
(1 k n):
ij
2
dt
dt
dt
i;j =1
0
Demostracion.- Estas son las componentes de rdt respecto a la base f @x@ 1 ; : : :; @x@ n g.
Del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias se sigue el siguiente resultado
local.
Proposicion 1.7.2 Si v 2 Tx(M), existe un intervalo I alrededor del 0 2 IR y una unica geodesica, que
denotaremos por v : I ! M, tal que v (0) = x; v0 (0) = v.
Denicion 1.7.2 Una variedad semi{riemanniana se dice que es completa si toda geodesica puede ser denida
sobre toda la recta real.
Proposicion 1.7.3 Sea : I ! M una geodesica no constante. Una reparametrizacion h: J ! M es una
geodesica si y solo si h es de la forma h(s) = as + b; a; b 2 IR.
0
Demostracion. h es geodesica () r( h) = 0:
ds
0
1
n d2(xk h) X
n
i h) d(xj h)
h)0 X
d(x
r
(
k
A @k =
+
0 = ds = @ ds2
ij
ds
ds
@x
i;j =1
k=1
0
1
n
n
2 k
i
k
j
X
X
k d(x ) d(x ) (h0)2 A @ :
= @ d (x 2 ) (h0 )2 + d(x ) h00 +
ij
k
k=1
dt
dt
dt
i;j =1
dt
@x
0
Al ser geodesica, rdt = 0, resulta equivalentemente
n d(xk )
X
k=1
dt
h00 @x@ k = 0:
Como no es constante, tenemos la condicion necesaria y suciente para que h sea geodesica:
h00(s) = 0 () h(s) = as + b:
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18
1 Variedades semi{riemannianas
Proposicion 1.7.4 Sea u 2 T(M). Entonces existe un entorno N de u en T(M) y un intervalo I alrededor de
0 2 IR, tal que
(v; t) 7! v (t)
dene una aplicacion diferenciable de N I en M. Siendo, para cada v, v la unica geodesica tal que
v0 (0) = v.
Demostracion.- Este resultado surge de aplicar a las ecuaciones diferenciables de la geodesicas el hecho de que
si un sistema de ecuaciones diferenciables ordinarias de segundo orden esta dado por funciones diferenciables,
entonces sus soluciones dependen diferenciablemente no solo del parametro sino ademas del punto inicial y de
las primeras derivadas iniciales.
Una ecuacion diferencial de segundo orden de variable Y puede convertirse en un par de ecuaciones de
primer orden, tomando Y 0 como nueva variable. Haciendo uso de este hecho, las geodesicas en M pueden ser
representadas por curvas integrales en el brado tangente T(M):
Proposicion 1.7.5 Existe un campo de vectores V sobre T(M) tal que la proyeccion : T(M) ! M establece
una correspondencia biyectiva sobre las curvas integrales de V y las geodesicas de M.
Demostracion.- Para u 2 T(M), sea Vu el vector tangente inicial a la curva t 7! u0 (t), siendo t 7! u (t), la
geodesica tal que u0 (0) = u.
Se sigue, usando la Proposicion 1.7.4 precedente, que V es un campo de vectores diferenciable sobre T (M).
a) Si es una geodesica de M, entonces 0 es una curva integral de V .
En efecto, para todo t, sea la curva en T(M) (t) = 0 (t). Para un punto jo arbitrario t0, sea v = 0 (t0 ) y
la curva en T(M) (t) = v0 (t).
En virtud de la unicidad de las geodesicas: (t0 + t) = v (t). Entonces
(t0 + t) = 0 (t + s) = v0 (t) = (t)
0(t0 + t) = 0 (t):
0
0
0
En particular, (t0 ) = (0) = v (0) = Vv = V(t0 ) .
Al ser t0 arbitrario, resulta que 0 es una curva integral de V .
b) Si es una curva integral de V , entonces es una geodesica de M.
Si v = (0), por la construccion de V , t 7! v0 (t) es tambien una curva integral de V .
Por la unicidad de las curvas integrales, se tiene, al menos en un entorno de 0 2 IR: = v0 = v .
Para un t0 arbitrario, sea la curva integral de V partiendo de (t0). De nuevo por la unicidad de las
curvas integrales, (t0 + t) = (t), con lo que ( )(t0 + t) = ( )(t) = (0) (t):
Finalmente, para establecer la correspondencia biyectiva enunciada, observemos que las identidades 0 = y ( )0 = , demuestran que las aplicaciones 7! y 7! 0 son inversas.
1.8 Aplicacion exponencial
Sea M una variedad semi{riemanniana.
Denicion 1.8.1 Si x 2 M, sea Dx = fv 2 Tx (M) la geodesica v esta denida al menos en [0; 1]g. La
aplicacion exponencial de M en x es la aplicacion
expx : Dx ! M
v 7! expx(v) = v (1)
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1.8 Aplicacion exponencial
19
Nota 1.8.1 Dx es el mayor subconjunto de Tx (M) sobre el que expx puede ser denida.
Si M es completa, entonces Dx = Tx (M), para todo x 2 M.
Fijado v 2 Tx (M) y t 2 IR; entonces la geodesica s 7! v (ts) tiene como vector tangente inicial tv0 (0) = tv.
En consecuencia,
tv (s) = v (ts)
para todo s y t tal que uno de los dos miembros (y por tanto los dos) este bien denido.
En particular, si tv 2 Dx , se tiene
expx(tv) = tv (1) = v (t):
Concluimos que la aplicacion exponencial expx transforma rectas a traves del origen en Tx (M) en geodesicas
en M pasando por x.
Proposicion 1.8.1 Para cada punto x 2 M, existe un entorno abierto Nx de 0 en Tx (M) sobre el cual la
aplicacion exponencial expx es un difeomorsmo sobre un entorno abierto U de x en M.
Demostracion.- Se sigue de la Proposicion 1.7.4 que expx es una aplicacion bien denida y diferenciable
sobre un entorno abierto del 0 en Tx (M).
La aplicacion inducida entre los espacios tangentes
(expx ) : T0 (Tx (M)) ! Tx (M)
es el isomorsmo canonico o aplicacion identidad, identicando el espacio tangente en el origen del espacio
vectorial Tx (M) con si mismo:
Un elemento v de T0 (Tx (M)) se puede denir como el vector tangente a la curva : IR ! Tx (M), dada por
(t) = tv; es decir v = 0 (0). Por tanto, expx ((t)) = expx (tv) = v (t), y se tiene que:
(expx ) (v) = (expx ) (0 (0)) = (expx )0 (0) = v0 (0) = v:
Siendo as la aplicacion inducida de expx , el teorema de la funcion implcita permite armar que expx es un
difeomorsmo local.
Denicion 1.8.2 Un subconjunto S de un espacio vectorial se dice que es estrellado alrededor del 0 si 8v 2 S,
se tiene que tv 2 S; 8t 2 [0; 1].
Denicion 1.8.3 Sean Nx y U los entornos abiertos de la Proposicion 1.8.1 anterior; es decir, entre los que la
exponencial es un difeomorsmo (expx: Nx ! U), si Nx es estrellado alrededor de 0, se dice que U es
un entorno normal de x.
La siguiente proposicion permite considerar a un entorno normal como estrellado alrededor de x 2 M.
Proposicion 1.8.2 Si U es un entorno normal de x 2 M, entonces para cada punto y 2 U existe una unica
geodesica : [0; 1] ! U de x a y en U. Ademas
0 (0) = expx 1(y) 2 Nx :
Demostracion.- Por denicion, Nx es un entorno estrellado del 0 2 Tx (M) tal que la expx jNx es un difeomorsmo sobre U.
Para y 2 U sea v = expx 1 (y) 2 Nx . Entonces el segmento de recta (t) = tv (0 t 1) queda en Nx . Por
tanto, el segmento geodesico = expx queda en U y une x con y.
En el origen de Tx (M), (expx ) es el isomorsmo canonico T0 (Tx (M)) Tx (M), y 0 (0) = v, entonces
0 (0) = (expx ) (0 (0)) = (expx ) (v) = v:
Veamos que esta geodesica es unica. Sea : [0; 1] ! U una geodesica arbitraria en U que une x con y. Si
w = 0(0), las geodesicas t 7! expx (tw) y tienen el mismo vector tangente inicial y, por tanto, son iguales.
Como expx (w) = (1) = y = expx (v), y al ser expx inyectiva en Nx , resulta w = v. As, por la unicidad
de las geodesicas, = .
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20
1 Variedades semi{riemannianas
Denicion 1.8.4 Una geodesica quebrada es una curva diferenciable a trozos cuyos segmentos diferenciables
son geodesicas.
Proposicion 1.8.3 Una variedad semi{riemanniana M es conexa si y solo si todo par de puntos de M pueden
ser unidos por una geodesica quebrada.
Demostracion.- Supongamos que M es conexa y jemos un punto x 2 M.
Sea C el conjunto de puntos que pueden ser unidos a x por una geodesica quebrada.
Para y 2 M, sea U un entorno normal que contiene a y.
Si y 2 C, entonces U C. Si y 2 M C, entonces U M C. Por tanto, por la conexidad de M, M = C.
El recproco es obvio, ya que conexidad por arcos implica conexidad.
Sea U un entorno normal de x 2 M. fe1; : : :; en g una base ortonormal de Tx (M), esto es gx(ei ; ej ) = ij "j .
Denicion 1.8.5 Se denomina sistema de coordenadas normales sobre U de un punto y de U a las componentes
del vector expx 1(y) 2 Nx Tx (M), respecto a la base dada.
Proposicion 1.8.4 Si (y1 ; : : :; yn) es un sistema de coordenadas normales alrededor de x 2 M, entonces
9
=
(1 i; j; k n):
k (x) = 0 ;
ij
1) gij (x) = ij "j
2)
Demostracion.- Sea v 2 Tx (M); v =
n
X
i=1
vi ei ; expx (tv) = v (t).
yi (v (t))
tvi .
X
Luego v = v0 (0) = vi @y@ i . En particular, ei = @y@ i .
jx
jx
i=1
n
Las componentes de v (t) son
=
Luego la armacion 1) es inmediata.
Teniendo en cuenta las coordenadas de la geodesica v su ecuacion se reduce a
n
X
i;j =1
En particular,
n
X
i;j =1
k (v (t)) vi vj
ij
k (x)vi vj
ij
=0
=0
(k = 1; : : :; n):
8(v1 ; : : :; vn ) 2 IRn :
Fijando un k, esto expresa una forma cuadratica sobre IRn identicamente nula. Entonces por poralizacion
la correspondiente forma bilineal simetrica es identicamente nula, esto es, kij (x) = 0.
1.9 Curvatura
Si D es la conexion canonica sobre IRn y si X; Y; Z 2 X(IRn), entonces DX DY Z DY DX Z = D[X; Y ] Z.
Por contra, este resultado falla en general para la derivada covariante rX . Esta desviacion es medida por un
campo de tensores, que juega un importante papel en toda la geometra diferencial, el cual pasamos a denir.
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1.9 Curvatura
21
Denicion 1.9.1 Sea M una variedad semi{riemanniana con conexion de Levi{Civita r. Se denomina tensor
curvatura de Riemann a la aplicacion
R: X(M) X(M) X(M) ! X(M)
denida por
(Z; X; Y ) 7! R(X; Y )Z = rX rY Z rY rX Z r[X; Y ]Z:
Nota 1.9.1 R es de hecho un campo de tensores de tipo (1,3).
La denicion de este campo de tensores vale para una conexion en general, llamandose entonces tensor
curvatura.
Denicion 1.9.2 Si X; Y 2 Tx (M), se denomina operador curvatura a la aplicacion lineal
R(X; Y ): Tx (M) ! Tx (M);
Z 7! R(X; Y )Z:
Proposicion 1.9.1 Si X; Y; Z; W 2 X(M), entonces se tienen las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
R(X; Y )Z = R(Y; X)Z.
R(X; Y )Z + R(Y; Z)X + R(Z; X)Y = 0. (1a Identidad de Bianchi)
g(R(X; Y )Z; W) = g(R(X; Y )W; Z).
g(R(X; Y )Z; W) = g(R(Z; W)X; Y ).
Demostracion.- La relacion 1. se sigue inmediatamente de la denicion del tensor curvatura de Riemann.
Para las restantes propiedades, haciendo uso de que R es un tensor, basta hacer la demostracion para campos
de vectores basicos:
2. Si Y; Z son campos de vectores basicos, probar 2. es equivalente a probar:
rX rY Z rY rX Z + rY rZ X rZ rY X + rZ rX Y rX rZ Y = 0:
Pero para la conexion de Levi{Civita, por (1.5.1), rX Y rY X = [X; Y ] = 0; luego, la relacion anterior se
verica.
3. Es equivalente a probar g(R(X; Y )Z; Z) = 0. Sean X; Y; Z campos de vectores basicos.
g(R(X; Y )Z; Z) = g(rX rY Z rY rX Z; Z) = 0 () g(rX rY Z; Z) es simetrico en X; Y:
Ahora bien, diferenciando g(Z; Z) respecto a X e Y , tenemos
Y Xg(Z; Z) = 2Y g(rX Z; Z) = 2g(rY rX Z; Z) + 2g(rX Z; rY Z):
de la que se sigue que
g(rY rX Z; Z) = 21 Y X g(Z; Z) g(rX Z; rY Z):
Ya que [X; Y ] = 0; es decir, (XY Y X)f = 0; 8f 2 F(M); en particular, tomando f = g(Z; Z), se ve que
el termino de la derecha es simetrico en X; Y y, por tanto, tambien lo es el de la izquierda.
4. Esta cuarta relacion se deduce de las tres relaciones anteriores como sigue:
De 2. se deducen las cuatro relaciones siguientes:
g(R(X; Y )Z; W) + g(R(Y; Z)X; W ) + g(R(Z; X)Y; W) = 0
g(R(X; Y )W; Z) + g(R(Y; W )X; Z) + g(R(W; X)Y; Z) = 0
g(R(X; Z)W; Y ) + g(R(Z; W)X; Y ) + g(R(W; X)Z; Y ) = 0
g(R(Y; Z)W; X) + g(R(Z; W)Y; X) + g(R(W; Y )Z; X) = 0
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22
1 Variedades semi{riemannianas
Ahora, sumando miembro a miembro y teniendo en cuanta 1. y 3., queda solamente
2g(R(Z; X)Y; W ) + 2g(R(Y; W )X; Z) = 0
o sea
g(R(X; Z)Y; W ) = g(R(Y; W )X; Z):
En un entorno coordenado U; (x1 ; : : :; xn) , podemos introducir las componentes de R por las relaciones:
@ @ @ X
n
R @xk ; @x` @xj = Rijk` @x@ i ;
i=1
siendo
n
@ ikj X
h i
+
@x` h=1 `j kh
@ i
Rijk` = @x`jk
h i :
kj `h
1.10 Curvatura seccional
Denicion 1.10.1 Un subespacio bidimensional del espacio tangente Tx (M) se denomina seccion plana a M
en x.
Consideremos la aplicacion Q: Tx (M) Tx (M) ! IR;
Q(u; v) = g(u; u)g(v; v)
g(u; v) 2 .
Propiedades:
a) Una seccion plana de Tx (M) es no degenerada si y solo si Q(u; v) 6= 0 para una (y entonces para toda)
base fu; vg de .
En efecto, es no degenerado si y solo si la matriz asociada a gj es no singular.
b) Q(u; v) > 0 si y solo si gj es denida.
c) Q(u; v) < 0 si y solo si gj es indenida.
Para establecer estas dos ultimas armaciones basta usar bases ortonormales.
Denicion 1.10.2 Se llama curvatura seccional K() de una seccion plana de Tx (M) no degenerada al escalar
K() =
g(R(u; v)u; v)
;
g(u; u)g(v; v) g(u; v) 2
fu; vg base de :
Esta denicion es independiente de la base elegida, en efecto:
Si fu0; v0 g es otra base de , se tiene
u = au0 + bv0
Entonces
v = cu0 + dv0
(ad bc 6= 0)
g R(u; v)u; v) = (ad bc)2g R(u0; v0 )u0; v0 )
g(u; v)g(v; v) g(u; v) 2 = (ad bc)2 g(u0 ; v0)g(v0 ; v0 ) g(u0 ; v0) 2:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.10 Curvatura seccional
23
Por denicion, R determina la curvatura seccional. Para demostrar que K determina R, se necesitan unas
tecnicas sobre productos escalares indenidos. Probemos este ultimo hecho para el caso en que (M; g) es una
variedad riemanniana.
Proposicion 1.10.1 Si (M; g) es una variedad de Riemann, y si K() = 0, para toda seccion plana en
Tx (M), entonces R = 0 en x.
Demostracion.- Haremos la demostracion en varios pasos:
g R(X; Y )X; Y = 0;
8X; Y 2 Tx (M):
(1.10.1)
Ya que si X; Y generan una seccion plana en Tx (M), como K() = 0, resulta g R(X; Y )X; Y = 0:
R(X; Y )X = 0;
8X; Y 2 Tx (M):
Para establer esta ecuacion, sea Z 2 Tx (M) arbitrario, entonces
(1.10.2)
g R(X; Y + Z)X; Y + Z = g R(X; Y )X; Y + g R(X; Z)X; Y + g R(X; Y )X; Z + g R(X; Z)X; Z :
Tres de estos sumandos se anulan por (1.10.1). La propiedad 4. de R (ver Proposicion 1.9.1) implica la
igualdad de los dos restantes, as
g R(X; Y )X; Z = 0;
R(X; Y )Z = R(Y; Z)X
Esta ecuacion resulta de la identidad siguiente:
8Z 2 Tx (M):
8X; Y; Z 2 Tx (M):
(1.10.3)
R(X + Z; Y )(X + Z) = R(X; Y )X + R(X; Y )Z + R(Z; Y )X + R(Z; Y )Z;
en la que tres sumandos se anulan por (1.10.2), y los restantes son iguales salvo signo, dada la antisimetra de
R respecto a los primeros argumentos (propiedad 1., Proposicion 1.9.1).
Finalmente, utilizando (1.10.3) y la 1a identidad de Bianchi, resulta que
R(X; Y )Z = 0
8X; Y; Z 2 Tx (M):
Por tanto R = 0 en x:
Nota 1.10.1 Para demostrar este mismo resultado en variedades semi{riemannianas, hay que tener presente que (1.10.1)
se verica sobre secciones planas de Tx(M) no degeneradas. Lo cual bastara para que
g R(X; Y )X; Y = 0 8X; Y 2 Tx (M). Ver [11, pag. 78].
Denicion 1.10.3 Una variedad semi{riemanniana M en la cual el tensor curvatura R es nulo en todo punto
se dice que es llana.
Segun la observacion precedente, se sigue que una variedad semi{riemanniana es llana si y solo si la curvatura
seccional es nula en toda seccion plana no degenerada.
Denicion 1.10.4 Una variedad semi{riemanniana que tenga la misma curvatura seccional en toda seccion
plana no degenerada se dice que tiene curvatura constante.
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24
1 Variedades semi{riemannianas
Proposicion 1.10.2 Si F: Tx(M) Tx(M) Tx(M) Tx(M) ! IR es una aplicacion cuatrilineal, vericando:
1) F(X; Y; Z; W ) = F(Y; X; Z; W )
2) F(X; Y; Z; W ) + F(Y; Z; X; W ) + F(Z; X; Y; W ) = 0
3) F(X; Y; Z; W ) = F(X; Y; W; Z)
8X; Y; Z; W 2 Tx (M) y tal que, si X; Y generan una seccion plana no degenerada de Tx (M):
F(X; Y; X; Y ) = g R(X; Y )X; Y :
Entonces,
F(X; Y; Z; W ) = g R(X; Y )Z; W ;
8X; Y; Z; W 2 Tx (M):
Demostracion.- Consideremos la aplicacion H: Tx(M) Tx (M) Tx (M) Tx (M) ! IR denida por
H(X; Y; Z; W ) = F(X; Y; Z; W ) g R(X; Y )Z; W ;
entonces H es una aplicacion cuatrilineal que verica 1), 2) y 3) y ademas, si X; Y generan una seccion plana
no degenerada de Tx (M):
H(X; Y; X; Y ) = 0:
Por consiguiente, por el mismo razonamiento de la proposicion anterior, donde unico se han usado las mismas
propiedades algebraicas que se dan aqu, resulta que H = 0.
Proposicion 1.10.3 Si M tiene curvatura constante c, entonces
R(X; Y )Z = c g(Y; Z)X g(X; Z)Y ; 8X; Y; Z 2 Tx (M):
Demostracion.- Sea F(X; Y; Z; W ) = c g(Y; Z)g(X; W ) g(X; Z)g(Y; W ) .
F tiene las propiedades 1), 2) y 3) de la proposicion anterior. Ademas, si X; Y generan una seccion plana
no degenerada:
F(X; Y; X; Y ) = c g(Y; X)g(X; Y ) g(X; X)g(Y; Y ) = g R(X; Y )X; Y :
Luego,
F(X; Y; Z; W ) = g R(X; Y )Z; W ; 8X; Y; Z; W 2 Tx (M):
Y, por tanto,
g R(X; Y )Z; W) = c g g(Y; Z)X g(X; Z)Y; W ; 8 W 2 Tx (M):
1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci
Sobre una variedad semi{riemanniana (M; g), hemos establecido (Proposicion 1.5.1) un isomorsmo F(M){
lineal entre los campos de vectores sobre M y las 1{formas sobre M, dado por
X 2 X(M) T10 (M) 7! X 2 (M) T01 (M) donde X (Y ) = g(X; Y ); 8 Y 2 X(M):
Denicion 1.11.1 Dado X 2 X(M), a X se le denomina 1{forma metricamente equivalente a X.
n
@ es @ = X
gij dxj ; y dxi es
En terminos de coordenadas, la 1{forma
m
e
tricamente
equivalente
a
i
i
@x
@x
n
X
j =1
la 1{forma metricamente equivalente a gij @x@ j .
As, en general, si =
n
X
i=1
j =1
i dxi, el campo de vectores metricamente equivalente a es =
Vamos ahora a generalizar este isomorsmo a tensores de tipo superior.
n
X
i;j =1
gij i @x@ j .
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci
25
Denicion 1.11.2 Se llama operador bajada de ndice al isomormo F(M){lineal
Bqp : Trs (M) ! Tsr+11 (M)
(1 p r; 1 q s + 1)
dado por
(Bqp T)(X1 ; : : :; Xs+1 ; 1 ; : : :; r 1 ) = T(X1 ; : : :; Xq 1; Xq+1 ; : : :; Xs+1 ; 1 ; : : :; p 1; Xq ; p ; : : :; r 1 )
para i 2 1 (M) y Xj 2 X(M), arbitrarios, y Xq es la 1{forma metricamente equivalente a Xq .
Denicion 1.11.3 Se denomina operador subida de ndice al isomormo F(M){lineal
Sqp : Trs (M) ! Trs+11(M)
(1 p r + 1; 1 q s)
dado por
(Sqp T )(X1 ; : : :; Xs 1; 1 ; : : :; r+1 ) = T(X1 ; : : :; Xq 1 ; (p ) ; Xq ; : : :; Xs 1; 1; : : :; p 1 ; p+1 ; : : :; r+1 )
para i 2 1(M) y Xj 2 X(M), arbitrarios, y (p ) es el campo de vectores metricamente equivalente a
la 1{forma p .
Es claro que ambas aplicaciones Bqp y Sqp son F(M){lineales, ademas una es inversa de la otra; por tanto,
isomorsmos.
Denicion 1.11.4 Dos campos de tensores se dice que son metricamente equivalentes si uno es obtenido del
otro a traves de los operadores subida o bajada de ndice.
Si Tji11jisr son las componentes de T 2 Trs (M), respecto de un sistema coordenado, se tiene:
(Bqp T)ji11ijrs+11 =
(Sqp T)ji11ijrs+11
=
n
X
k=1
n
X
k=1
p ir 1 :
gjq k Tji11jiqp 11jkiq+1
js+1
ip+1 ir+1 :
gkip Tji11jiqp 11kj
q js 1
Un importante caso particular es el de un campo de tensores de tipo (1; s) dado como una aplicacion F(M){
multilineal K: X(M) s) X(M) ! X(M), entonces:
(B11 K)(Y; X1 ; : : :; Xs ) = g Y; K(X1 ; : : :; Xs) :
Para el tensor curvatura, R: X(M) X(M) X(M) ! X(M):
Rijk` = (B11 R) @x@ i ; @x@ j ; @x@ k ; @x@ ` = g @x@ i ; R @x@ k ; @x@ ` @x@ j
X
n
=
h=1
gih Rhjk`:
Denicion 1.11.5 A este tensor de tipo (0; 4), metricamente equivalente al tensor curvatura de Riemann, se
le denomina tensor curvatura de Riemann{Christoel, y lo denotamos tambien por R.
Sobre una variedad semi{riemanniana (M; g) podemos contraer metricamente dos ndices covariantes subiendo primeramente uno de ellos y luego haciendo la contraccion usual.
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26
1 Variedades semi{riemannianas
Denicion 1.11.6 Se llama contraccion (natural) del ndice p contravariente con el ndice q covariante, a la
aplicacion F(M){lineal
Cqp : Trs(M) ! Tsr 11 (M)
denida por
Cqp (X1 Xr 1 s ) = q (Xp )X1 Xp 1 Xp+1 Xr 1 q 1 q+1 s :
Las componentes en un sistema coordenado son
(Cqp T)ji11ijrs 11 =
n
X
k=1
kipir
Tji11jiqp 11kj
q js
Consideremos ahora la aplicacion
Cpq : Trs (M) ! Trs 2(M)
denida por Cpq = Cq1 1 Sp1 , o en coordenadas
(Cpq T)ij11ijrs 2
=
n
X
h;k=1
1
1
:
(1 p q s)
ghk Tji11jipr 1 hjp jq 2 kjq 1js 2 :
Denicion 1.11.7 A la aplicacion F(M){lineal Cpq se denomina contraccion metrica .
Similarmente, en caso contravariante, la contraccion metrica
C pq : Trs(M) ! Tsr 2 (M)
(1 p q r)
esta dada en coordenadas por:
(C pq T )ij11ijrs 2
= (C1q 1 B1p T)ji11ijrs 2
=
n
X
h;k=1
ghk Tji11jisp 1 hip iq 2 kiq 1ir 2 :
Proposicion 1.11.1 La derivada covariante rX y la diferencial covariante r en una variedad semi{riemanniana (M; g) conmutan con los operadores subida y bajada de ndice y con la contraccion metrica.
Demostracion.- Solo probaremos la conmutatividad de la derivada covariante con el operador bajada de
ndice B1p . El resto de la demostracion resulta inmediato. p
Para un campo de tensores arbitrario se tiene que B1 T = C1p (g T). Pero como rX conmuta con la
contraccion ordinaria y g es paralelo
rX (B1p T) = rX C1p (g T) = C1p (g rX T) = B1p (rX T):
Denicion 1.11.8 El gradiante, grad f, de una funcion f 2 F(M) es el campo de vectores metricamente
equivalente a la diferencial df 2 1(M).
As, g(grad f; X) = df(X) = Xf; 8X 2 X(P
M).
@fi dxi, entonces
En terminos de un sistema coordenado, df = ni=1 @x
grad f =
n
X
i;j =1
@f @ :
gij @x
i @xj
Denicion 1.11.9 Se denomina divergencia, div K, de un campo de tensores K, a la contraccion del nuevo
argumento covariante en su diferencial covariante rK con uno de sus argumentos originales.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci
27
Consideremos dos casos especiales donde existe una unica divergencia:
a) Si X 2 X(M), entonces div X = C11 (rX).
n
X
@ , resulta de la Nota 1.5.2:
Respecto a un sistema coordenado, si X = X i @x
i
i=1
n @X i
X
i j
i + ij X :
@x
i;j =1
b) Si K 2 T02(M) simetrico, entonces div K = C13(rK) = C23(rK) 2 1(M).
div X =
div K =
n
X
i;j;k;`=1
gik
@K
ij
@xk
` K`j
ki
` Ki`
kj
dxj :
Denicion 1.11.10 El hessiano de una funcion f 2 F(M) es su segunda diferencial covariante H f = r(rf).
Proposicion 1.11.2 El hessiano H f de f 2 F(M) es un campo de tensores simetrico de tipo (0; 2) tal que
H f (X; Y ) = XY f (rX Y )f = g rX (grad f); Y :
Demostracion.- Como rf = df, resulta:
df(r X) = Y Xf (r X)f = XY f (r Y )f:
Y
Y
X
H f (X; Y ) = r(df) (X; Y ) = (rY df)(X) = Y df(X)
La ultima igualdad se sigue de (1.5.1).
Finalmente, para obtener la segunda relacion del enunciado, observemos que, por (1.5.2):
g(rX (grad f); Y ) + g(grad f; rX Y ) Xg(grad f; Y ) = 0;
luego
g(rX (grad f); Y ) + (rX Y )f XY f = 0:
La simetra sigue de la propia demostracion.
Denicion 1.11.11 La laplaciana, f, de una funcion f 2 F(M) es la divergencia de su gradiante; es decir,
f = div (grad f) 2 F(M).
Ya que la diferencial covariante conmuta con el operador subida de ndice, se sigue que \la laplaciana de f
es la contraccion de su hessiano".
En efecto,
f = div (grad f) = C11 r(grad f) = C11 rS11df = C11 S11 rdf = C12 H f :
Respecto a un sistema de coordenadas:
f =
n
X
i;j =1
gij Hijf =
n
X
i;j =1
gij
@2f
@xi@xj
n
X
k=1
k @f
ij @xk
!
:
Denicion 1.11.12 Una referencia ortonormal sobre M en x es una base ortonormal del espacio tangente
Tx (M).
Denicion 1.11.13 Un campo de referencias ortonormales sobre una variedad semi{riemanniana n{dimensional
es un conjunto de n campos de vectores fE1; : : :; Eng, unitarios y ortogonales entre si.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
28
1 Variedades semi{riemannianas
En el origen x0 de un sistema coordenado normal los vectores coordenados son ortonormales (ver Denicion 1.8.5). Se sigue que, mientras se trate solo de operaciones punto a punto, las formulas con campos de
referencias ortonormales son consecuencia de las correspondientes formulas con campos de vectores coordenados.
Por ejemplo, consideremos la contraccion metrica Cpq de T0s (M); relativo a un campo de referencias ortonormales:
n
X
(Cpq K)(X1 ; : : :; Xs 2) = "k K(X1 ; : : :; Xp 1; Ek ; Xp ; : : :; Xq 2; Ek ; Xq 1; : : :; Xs 2):
k=1
Para probar esta ecuacion tensorial es suciente vericarla en un punto x0 origen de coordenadas normales
tal que @x@ i jx0 = Ei jx0 . Por la multilinealidad, es suciente que los Xi sean campos de vectores coordenados
@
ij
@xi . Entonces, la formula se sigue de la expresion en coordenadas de Cpq , ya que en x0, g = ij "j , con
"j = g @x@ i ; @x@ j
= 1:
jx0
jx0
s)
Similarmente, para un campo tensorial de tipo (1; s), K: X(M) X(M) ! X(M),
(Cq1 K)(X1 ; : : :; Xs 1) =
n
X
k=1
"k g Ek ; K(X1 ; : : :; Xq 1 ; Ek ; Xq ; : : :; Xs 1) :
Denicion 1.11.14 Un campo de referencias ortonormales sobre una curva : I ! M, es un conjunto de campos
de vectores unitarios y mutuamente ortogonales fE1; : : :; Eng sobre .
Proposicion 1.11.3 Si : I ! M es una curva y fe1 ; : : :; eng es una referencia ortonormal en (0), entonces
existe un unico campo de referencias ortonormales fE1; : : :; Eng sobre tal que Ei(0) = ei (1 i n).
Demostracion.- Existe un unico campo de vectores paralelo Ei sobre , tal que Ei(0) = ei , para cada
i = 1; : : :; n. Pero, ya que el transporte paralelo, para todo t 2 I, es una isometra lineal, fE1; : : :; Eng es, en
efecto, un campo de referencias ortonormales.
Corolario 1.11.3.1 Sobre (M; g) existe un campo de referencias ortonormal local.
Demostracion.- Dada un referencia ortonormal fe1 ; : : :; en g en el espacio tangente Tx (M), tomando un entorno normal U de x0, se extiende la referencia ortonomal a un campo de referencias ortonormales fE1; : : :; Eng
sobre U mediante el desplazamiento paralelo a lo largo de las geodesicas radiales. La teora de ecuaciones
diferenciales garantiza que los campos de vectores Ei son diferenciables.
Denicion 1.11.15 Sea R el tensor curvatura de Riemann de (M; g). El tensor curvatura de Ricci S de M es
la contraccion C31 R 2 T02(M).
Propiedades:
1) Por las simetrias de R, las unicas contracciones no nulas de R son S; de hecho: C11 R = 0 y C21 R = S.
2) Las componentes del tensor curvatura de Ricci respecto a un sistema coordenado son:
Sij =
n
X
k=1
Rkijk:
3) Respecto a un campo de referencias ortonormales fE1; : : :; Eng:
S(X; Y ) =
n
X
k=1
"k g (R(X; Ek )Y; Ek ) ;
8X; Y 2 X(M):
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
1.11 Curvatura escalar y curvatura de Ricci
29
donde, como es usual, "k = g(Ek ; Ek ).
Pues,
S(X; Y ) = (C31 R)(X; Y ) =
n
X
k=1
"k g (Ek ; R(X; Y; Ek)) =
n
X
"k g (R(Y; Ek )X; Ek ) =
k=1
n
X
k=1
"k g (R(X; Ek )Y; Ek ) ;
donde la ultima igualdad surge de la propiedad cuarta de R (Proposicion 1.9.1).
4) De la propiedad anterior, se deduce que S es simetrico.
5) S(X; Y ) = trazafZ 7! R(Y; Z)X g.
Denicion 1.11.16 La curvatura escalar r de (M; g) es la contraccion C12S 2 F(M), de su tensor curvatura de
Ricci.
En coordenadas locales, tenemos
r=
n
X
i;j =1
gij Sij =
n
X
i;j;k=1
gij Rkijk :
Proposicion 1.11.4 Si fE1; : : :; Eng es un campo de referencias ortonormales y denotamos por ij la seccion
plana determinada por fEi; Ej g, tenemos que
r= 2
X
i<j
K(ij );
donde K(ij ) denota la curvatura seccional de ij .
Demostracion.-
r = C12S =
=
n
X
Xk=1
k6=`
"k S(Ek ; Ek ) =
"k "` K(k` ) "k "`
X
k6=`
"k "` g R(Ek ; E`)Ek ; E` =
g(Ek ; E`) 2 = 2
X
k<`
K(k` ):
Proposicion 1.11.5 Sobre una variedad semi{riemanniana (M; g), se tiene la siguiente relacion entre la curvatura escalar y el tensor curvatura de Ricci:
dr = 2 div S:
Demostracion.- Utilizando la 2a identidad de Bianchi, S (rZ R)(X; Y ) = 0, en terminos de coordenadas
XY Z
locales (Ejercicio 31):
Rijk`;h + Rij`h;k + Rijhk;` = 0;
intercambiando h y k en el tercer termino, con lo cual cambia el signo, y haciendo la contraccion en i y h,
resulta
n
n
n
X
X
X
Rhjk`;h + Rhj`h;k
Rhjkh;` = 0;
h=1
de donde resulta
h=1
n
X
h=1
Rhjk`;h + Sj`;k Sjk;` = 0:
Haciendo la contraccion metrica sobre j y k:
(*)
h=1
n
X
j;h;k=1
gjk Rhjk`;h +
n
X
j;k=1
gjk Sj`;k r;` = 0;
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
30
1 Variedades semi{riemannianas
n
X
hemos usado, en el tercer termino, que r =
gjk Sjk y que g;jk` = 0 (Ejercicio 34 o Nota 1.5.3 y rS12 S11 g =
j;k=1
S12S11 rg = 0 (1) ).
Ahora el primer termino se puede poner, usando la relacion que existe entre los coecientes del tensor
curvatura de Riemann Rijk` y los del tensor curvatura de Riemann{Christoel Rijk`,
n
X
j;h;k=1
gjk Rhjk`;h =
n
X
h;j;k;m=1
gjk gmh Rmjk`;h =
n
X
h;j;k;m=1
gmh gjk Rjm`k;h =
n
X
h;k;m=1
gmh Rkm`k;h =
n
X
h=1
gmh Sm`;h :
Finalmente, teniendo en cuenta esto ultimo y que
div S =
n
X
j;k=1
gjk Sj`;k dx`
y
dr = rr;
resulta de (*) la formula buscada.
1.12 Isometras locales
Proposicion 1.12.1 Si F: M ! M es una isometra, entonces F (rX Y ) = rF X FY;
8X; Y 2 X(M).
Demostracion.- Puesto que F es un difeomorsmo, para todo x 2 M existe
un sistema coordenado (x1; : : :; xn)
alrededor de x y otro (x1 ; : : :; xn ) alrededor de F(x), tales que xi F(y) = xi (y) (i = 1; : : :; n) para y proximo
a x.
Entonces, al serF isometr
a, gij F(y) = gij (y). Por tanto
rF @ i F @x@ j = r @ i @x@ j =
@x
@x
@g @g @g @ X
@ n
n
n
X
X
1
@
k @
jh
ij
ih
kh
k
g
=
ij k = 2
@xi + @xj @xh @xk = k=1 ij F @xk = F r@x@ i @xj :
h;k=1
k=1 @x
De donde se deduce la formula para cualquier X; Y 2 X(M).
Denicion 1.12.1 Una aplicacion diferenciable F: M ! M entre variedades semi{riemannianas es una isometra local si cada Fjx : Tx(M) ! TF (x) (M) es una isometra lineal.
Nota 1.12.1 En virtud del teorema de la funcion inversa una formulacion equivalente de esta denicion, justicando el termino de isometra local, es esta: \Cada punto x 2 M tiene un entorno abierto U tal que FjU es
una isometra de U sobre un entorno abierto de F(x) en M".
Ejemplo 1.12.1 Sea S1 la circunferencia unidad en IR2 . La aplicacion F: IR2 ! S1 dada por t 7! (cos t; sen t),
es una isometra local, considerando S 1 como subvariedad de Riemann de IR .
Una isometra local esta unvocamente determinada por su aplicacion diferencial (aplicacion inducida) en
un punto:
Proposicion 1.12.2 Sean F; G: M ! M isometras locales (M conexa). Si existe un punto x 2 M en el que
Fjx = Gjx , entonces F = G.
(1)
Tambien se llega al mismo resultado, derivando respecto a xk la identidad gih gjh = ji .
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1.12 Isometras locales
31
Demostracion.- Veamos primero que si U es un entorno normal de x, entonces para todo y 2 U, se tiene
Fjy = Gjy ; en efecto:
Si y 2 U, existe v 2 Tx (M) tal que v (1) = expx (v) = y. Entonces, como F conserva las geodesicas (Ejercicio
46)
F(y) = F v (1) = F (v) (1) = G (v) (1) = G v (1) = G(y);
as, F = G en U; y, por tanto, Fjy = Gjy ; 8y 2 U.
Ahora, ya que M es conexa, y, por tanto conexa por arcos [2, pag. 70], cada punto y 2 M puede unirse a x
por una cadena de entornos normales que se solapen. Se sigue que F = G en todo M.
Denicion 1.12.2 Una aplicacion diferenciable F: M ! M entre variedades semi{riemannianas es conforme si
F g = hg, para alguna funcion h 2 F(M) tal que h > 0 o h < 0.
Un caso especial es el siguiente:
Denicion 1.12.3 Un difeomorsmo F: M ! M entre variedades semi{riemannianas tal que F g = kg, para
alguna constante k =
6 0 se denomina homotecia de razon k.
Proposicion 1.12.3 Las homotecias conservan las conexiones de Levi{Civita.
Demostracion.- Si F: M ! M es una homotecia de razon k, sea M0 la variedad semi{riemanniana (M; k1 g).
Entonces F: (M; g) ! (M; k1 g) es una isometra, conservando las conexiones. As solo queda establecer que k1 g
y g determinan la misma conexion de Levi{Civita. Esto se deduce claramente de la formula de Koszul, ya que
el tensor metrico aparece exactamente una vez en cada sumando, entonces el coeciente k se simplica.
Nota 1.12.2
Ya que la homotecia conserva la conexion de Levi{Civita tambien conserva las nociones geometricas que
se derivan solo de r; por ejemplo, la derivada covariante inducida sobre una curva, el transporte paralelo, las
geodesicas, la curvatura de Riemann, la curvatura de Ricci (ya que es una contraccion no metrica).
Sin embargo, la curvatura seccional y escalar no son invariantes por homotecias. De hecho, si F: M ! M
es una homotecia de razon k, es facil comprobar que, si es una seccion plana no degenerada
K F () = k1 K()
r F = k1 r:
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32
1 Variedades semi{riemannianas
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
T E M A II
Subvariedades semi{riemannianas
2.1 Campos de vectores tangentes y normales
Denicion 2.1.1 Sean N y P variedades diferenciables y F: N ! P una aplicacion diferenciable. Un campo de
vectores Z sobre F es una aplicacion
Z: N ! T (P)
tal que Z = F, donde es la proyeccion del brado : T(P) ! P.
As, Z asigna a cada x 2 N un vector tangente a P en F(x).
El conjunto X(F) de todos los campo de vectores diferenciables sobre F: N ! P es un modulo sobre F(N).
Consideremos la situacion particular siguiente: Sea M una subvariedad diferenciable de M, al conjunto de los
campos de vectores diferenciables sobre i : M ,! M lo denotaremos por X(M). Se tiene, entonces, los siguientes
resultados:
X(M) es un modulo sobre F(M).
Para todo Y 2 X(M), la restriccion YjM 2 X(M).
Prescindiendo de la aplicacion inducida de la inclusion i (que es inyectiva), X(M) es un submodulo de
X(M).
Sea ahora, M una subvariedad semi{riemanniana de M. Cada espacio tangente Tx (M) es, por denicion, un
subespacio no degenerado de Tx (M), as tenemos la siguiente descomposicion en suma directa
Tx (M) = Tx (M) Tx (M)?
y Tx (M)? es tambien no degenerado y su dimension k, es la codimension de Tx (M) en Tx (M).
Resulta de esta descomposicion las siguientes proyecciones ortogonales:
N : Tx (M) ! Tx (M)?
T : Tx(M) ! Tx (M)
las cuales son obviamente IR{lineales.
Denicion 2.1.2 Un campo de vectores Z 2 X(M) es normal a M si cada Zx es normal a M; es decir, si
Zx 2 Tx (M)? .
Denotamos por X(M)? el conjunto de los campos de vectores normales de X(M), el cual es un submodulo
de X(M).
Para X 2 X(M), aplicando T y N en cada punto de M, se obtienen campos de vectores de X(M) y X(M)? ,
los cuales son diferenciables y permiten denir las siguientes aplicaciones, tambien denotadas por T y N :
T : X(M) ! X(M)
N : X(M) ! X(M)?
las cuales son F(M){lineales.
33
34
2 Subvariedades semi{riemannianas
La indentidad X = T (X) + N (X); X 2 X(M), nos permite poner
X(M) = X(M) X(M)? :
2.2 Conexion inducida
Si M es una subvariedad semi{riemanniana de M, la conexion de Levi{Civita r de M da lugar, de forma
natural, a una aplicacion, que tambien denotamos por r,
r: X(M) X(M) ! X(M)
que llamaremos conexion inducida sobre M ,! M, de la siguiente forma:
Si X 2 X(M) e Y 2 X(M) entonces considerando la conexion r en M, rX Y no tiene sentido ya que
X; Y 62 X(M).
Ahora bien, para cada x 2 M, sea X e Y la extension local diferenciable de X e Y sobre un entorno abierto
coordenado U de x en M. Entonces, denimos rX Y en cada U \ M, como la restriccion de rX Y a U \ M.
As, rX Y es un campo de vectores diferenciable bien denido sobre M (rX Y 2 X(M)).
En efecto, la restriccion de un campo de vectores diferenciable, rX Y jU \M es diferenciable. As, es suciente
demostrar que es independiente de la extension elegida. En terminos del sistema coordenado sobre U, Y =
Y i @ i . Entonces
nX
+k
nX
+k
i=1 @x
rX Y = X(Y i ) @x@ i + Y irX @x@ i :
i=1
i=1
nX
+k
Pero, en y 2 U \ M:
i
i
i
X y (Y ) = Xy (Y ) = Xy Y jU \M
y
@
rX @xi (y) = rXy @x@ i :
As, la restriccion de rX Y depende solo de X e Y .
La conexion inducida tiene las propiedades de Levi{Civita:
Proposicion 2.2.1 Sea r la conexion inducida en M ,! M. Si X; Y 2 X(M), Z; W 2 X(M) y f 2 F(M),
entonces
A1 : rX + Y Z = rX Z + rY Z
A2 : rX (Z + W) = rX Z + rX W
A3 : rfX W = f rX W
A4 : rX fW = (Xf)W + f rX W
A5 : [X; Y ] = rX Y rY X A6 : Xg(Z; W) = g rX Z; W + g Z; rX W
Demostracion.- En cada punto x 2 M, extenderemos todos los campos de vectores y funciones sobre un
entorno abierto de x en M. Las correspondientes cinco propiedades se tienen para la conexion de Levi{Civita
en M; entonces la restriccion a M da el resultado deseado, ya que
rX Z jM = rX Z; X(f)jM = X(f);
g(X; Y )jM = g(X; Y ); [X; Y ]jM = [X; Y ]:
Un hecho basico es que, para X; Y 2 X(M), la derivada covariante
rX Y no necesariamente es tangente a
M. Por tanto, es natural investigar las proyecciones T rX Y y N rX Y .
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2.2 Conexion inducida
35
Proposicion 2.2.2 Sea M una subvariedad semi{riemanniana de M, si X; Y 2 X(M), entonces
rX Y = T rX Y
donde r y r son las conexiones de Levi{Civita de M y M, respectivamente.
Demostracion.- Para campos de vectores arbitrarios, X; Y; Z 2 X(M), consideremos sus extensiones locales
X; Y ; Z.
Consideremos la formula de Koszul
2g(rX Y ; Z) = Xg(Y ; Z) + Y g(Z; X) Zg(X; Y ) g(X; [Y ; Z]) + g(Y ; [Z; X]) + g(Z; [X; Y ]) = F(X; Y ; Z):
Restringiendonos a M, g rX Y ; Z = g rX Y; Z , y por las propiedades enunciadas a lo largo de la demostracion de la proposicion inmediatamente anterior, se tiene que
F(X; Y ; Z)jM = F(X; Y; Z):
Luego,
g rX Y; Z = g rX Y; Z :
Y como Z es tangente, podemos reemplazar rX Y por T rX Y .
Proposicion 2.2.3 La aplicacion B: X(M) X(M) ! X(M)? denida por
B(X; Y ) = N rX Y ; 8X; Y 2 X(M)
es F(M){lineal y simetrica. B se denomina segunda forma fundamental de M ,! M.
Demostracion.- Ya que r es F(M){lineal en el primer argumento y IR{lineal en el segundo, tambien lo es B.
Ahora si, f 2 F(M),
B(X; fY ) = N rX fY = N (Xf)Y + f rX Y = fN rX Y = f B(X; Y ):
Finalmente, B(X; Y ) B(Y; X) = N rX Y rY X = N ([X; Y ]) = 0.
Nota 2.2.1
B es un campo tensorial de caracter mas general de los considerados hasta ahora, ya que esta valuado
en X(M)? y no en X(M). Sin embargo, su F(M){bilinealidad signica que el valor que toma en un punto solo
depende del valor de los campos de vectores en dicho punto. As, en cada punto x 2 M, B determina una
IR{bilineal aplicacion
Bx : Tx (M) Tx (M) ! Tx (M)? :
Las proposiciones anteriores se resumen en la siguiente relacion, denominada formula de Gauss
rX Y = rX Y + B(X; Y )
8X; Y 2 X(M):
(2.2.1)
Proposicion 2.2.4 Sea M un subvariedad semi{riemanniana de M, con tensores curvatura de Riemman R y
R, y sea B la segunda forma fundamental de M ,! M. Entonces, para todo X; Y; Z; W 2 X(M),
g R(X; Y )Z; W = g R(X; Y )Z; W + g B(X; Z); B(Y; W ) g B(X; W ); B(Y; Z) :
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36
2 Subvariedades semi{riemannianas
Demostracion.- Supongamos que [X; Y ] = 0.
g R(X; Y )Z; W = g rX rY Z; W g rY rX Z; W =
= g rX rY Z; W + g rX B(Y; Z); W g rY rX Z; W g rY B(X; Z); W =
= g rX rY Z; W + g B(X; rY Z); W + Xg B(Y; Z); W g B(Y; Z); rX W
g rY rX Z; W g B(Y; rX Z); W Y g B(X; Z); W + g B(X; Z); rY W =
= g R(X; Y )Z; W g B(Y; Z); B(X; W ) + g B(X; Z); B(Y; W ) :
Hemos usado sucesivamente: denicion de R (Denicion 1.9.1); formula de Gauss (2.2.1), tres veces; la
propiedad de la conexion de Levi{Civita (1.5.2), rg = 0; y que g aplicado a un campo tangente y otro normal
se anula.
Denicion 2.2.1 A la expresion que da la componente T R(X; Y )Z se le denomina ecuacion de Gauss.
Puesto que es una ecuacion tensorial, la ecuacion de Gauss sigue siendo valida si sus campos de vectores se
reemplazan por vectores tangentes en un punto. As se tiene la siguiente relacion entre las curvaturas seccionales
(Seccion 1.10) K de M y K de M (denominada tambien ecuacion de Gauss):
Corolario 2.2.4.1 Si los vectores fu; vg forman una base de una seccion plana no degenerada de M, entonces
g B(u; u); B(v; v) g B(u; v); B(u; v)
K(u; v) = K(u; v) +
:
g(u; u)g(v; v) g(u; v) 2
Ejemplo 2.2.1 La esfera S n(r) tiene curvatura seccional K = 1=r2 (n 2).
Sea el campo vectorial posicion en IRn+1 , P =
Sea D la conexion natural en IRn+1 , entonces
DX P =
nX
+1
i=1
nX
+1
i=1
xi @x@ i , el cual es normal a S n (r) IRn+1 en cada punto.
X(xi ) @x@ i = X
8X 2 X(IRn+1):
La segunda forma fundamental de la esfera esta dada por
8X; Y 2 X S n (r) ;
B(X; Y ) = 1r X; Y U;
donde U = r1 P es la normal unitaria sobre S n (r) apuntando hacia afuera. En efecto, utilizando la formula de
Gauss:
B(X; Y ); U = 1 D Y; P = 1 Y; D P = 1 X; Y :
X
r X
r
r
Ya que IRn+1 es llana, del corolario anterior, resulta K = 1=r2.
Denicion 2.2.2 Si M ,! M es una subvariedad semi{riemanniana n{dimensional y fe1; : : :; eng es una base
ortonormal de Tx (M), se denomina curvatura media de M ,! M al campo de vectores H cuyo valor en
cada punto es, si "i = g(ei ; ei ),
n
X
1
Hx = n "i Bx (ei ; ei):
i=1
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2.3 Geodesicas en subvariedades
37
Si M es una subvariedad semi{riemanniana de M, la geometra usual de M se llama geometra intrinseca, para
resaltar la independencia del hecho de que M este en M.
Hablando sin rigor, la geometra extrnseca de M es la que vera un observador en M. Formalmente:
Un par isometrico de M ,! M en N ,! N es una isometra F: M ! N tal que FjM es una isometra de M en N.
En el caso particular de que M = N, se dice F es una congruencia de M en N.
Los rasgos de M que se conservan por todos los pares isometricos y que no pertenecen a la geometra
intrnseca, constituyen la geometra extrnseca de M.
Por ejemplo, la segunda forma fundamental de M ,! M es un invariante extrnseco:
Proposicion 2.2.5 Un par isometrico F de M ,! M en N ,! N conserva la segunda forma fundamental, esto
es
F (Bx (u; v)) = BF (x) (F (u); F(v)) ;
8u; v 2 Tx (M); 8x 2 M
Demostracion.- Sean X; Y 2 X(M). Puesto que FjM : M ! N es un difeomorsmo, F(X); F (Y ) 2 X(N). Y
ya que F: M ! N conserva las conexiones, se sigue que (Proposicion 1.12.1)
F rX Y = rF (X) F (Y ):
Para cada x 2 M, la isometra F : Tx(M) ! TF (x) (N) lleva Tx (M) en TF (x) (N), entonces lleva Tx (M)? en
TF (x) (N)? . Con lo que F conserva las componentes tangente y normal; en consecuencia
F B(X; Y ) = F N rX Y = N F(rX Y ) = N rF (X) F (Y ) = B (F (X); F (Y )) :
2.3 Geodesicas en subvariedades
La formula de Gauss se adapta a campos de vectores sobre curvas como sigue:
Proposicion 2.3.1 Sea Y un campo de vectores, siempre tangente a M, sobre una curva en M ,! M.
Entonces
rY = rY + B d ; Y :
dt
dt
dt
Corolario 2.3.1.1 Si es una curva en M ,! M, entonces
d
rd
dt = r dt + B d ; d :
dt
dt
dt dt
d
Corolario 2.3.1.2 Una curva en M ,! M es una geodesica de M si y solo si rdtdt es normal a M.
Corolario 2.3.1.3 Las geodesicas no constantes de la esfera S n (r) IRn+1 son todas las parametrizaciones
de modulo de vector tangente constante de las circunferencias maximas.
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38
2 Subvariedades semi{riemannianas
Demostracion.- Una circunferencia maxima C S n (r)es la intersecci
on de Sn(r) con un plano a traves del
d = cte:, entonces d y d2 son ortogonales
;
origen en IRn+1 . Si es una parametrizacion de C con d
dt dt
dt dt2
y tangentes al plano . Pero sobre el campo vectores posicion P es tambien tangente a y ortogonal a d
dt
2
d
n
(pues es ortogonal a todos los vectores tangentes a S (r)). As dt2 y P son colineales en cada punto, luego
d2 es normal a S n (r) y entonces, por el corolario anterior, es una geodesica de la esfera. Pues, en este caso,
dt2
si D es la conexion natural en IRn+1:
2
D d
dt = d :
dt
dt2
Demostremos nalmente, que toda geodesica no constante puede ser obtenida as. Sea un plano que contiene al origen y al punto (0) y que es tangente al vector d
dt (0). Entonces, con una conveniente parametrizacion
d
de \ S n (r), tenemos que d
dt (0) = dt (0). Entonces = , por la unicidad de las geodesicas.
2.4 Subvariedades totalmente geodesicas
Denicion 2.4.1 Una subvariedad semi{riemanniana M de M es totalmente geodesica si su segunda forma
fundamental es nula: B 0.
As un subvariedad totalmente geodesica M es extrnsecamente llana: Observadores en M no la ven curvada.
Esto no signica que M sea intrnsecamente llana; en efecto, por la ecuacion de Gauss ella tiene la misma
curvatura que M.
Proposicion 2.4.1 Sea M ,! M, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
1. M es totalmente geodesica.
2. Toda geodesica en M es tambien geodesica en M.
3. Si v 2 Tx (M) es tangente a M, entonces la geodesica v de M queda inicialmente en M.
4. Si es una curva en M y v 2 T(0)(M), entonces el transporte paralelo de v a lo largo de es el
mismo en M y en M.
Demostracion.- (2) ) (3). Si : I ! M es la geodesica de M con 0(0) = v, entonces ya que es tambien
geodesica de M se sigue, por la unicidad de las geodesicas, que = v jI .
(3) ) (1). Para todo v tangente a M, v : I ! M, v (t) 2 M, entonces
Por polarizacion
rddtv = rddtv + B(v; v) =) B(v; v) = 0:
dt j0 dt j0
B(u + v; u + v) = B(u; u) + 2B(u; v) + B(v; v) resulta B 0:
(1) ) (4). Sea X el campo de vectores paralelo en M sobre tal que X(0) = v. Entonces, por las hipotesis
y por la formula de Gauss, X es paralelo en M. As los dos transportes paralelos coinciden.
(4) ) (2). Si es una geodesica en M, entonces d
dt es paralelo en M, y por hipotesis paralelo en M, luego
es geodesica en M.
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2.5 Hipersupercies semi{riemannianas
39
Denicion 2.4.2 Si F es un subespacio (no degenerado) k{dimensional
de IRn , a cada conjunto trasladado
n
x + F se le denomina k{plano (no degenerado) en IR (1 k n).
Es facil ver que los k{planos no degenerados son subvariedades semi{riemannianas totalmente geodesicas de
IRn . El siguiente resultado demuestra que estas son las unicas conexas y completas:
Proposicion 2.4.2 Sean M y N subvariedades semi{riemannianas de M, completas, conexas y totalmente
geodesicas. Si existe un punto x 2 M \ N en el que Tx (M) = Tx (N), entonces M = N.
Demostracion.- Es suciente demostrar que si M es conexa y N es completa, entonces M N.
Sea un segmento geodesico en M que une x con y. Entonces es una geodesica en M, y, por las hipotesis,
d (0) 2 T (N). As, es una geodesica de N mientras permanezca en N. Pero ya que N es completa, esta
x
dt
enteramente contenida en N. Ahora bien, el transporte paralelo en M de Tx (M) = Tx (N) a lo largo de dara
Ty (M) = Ty (N). Este argumento puede repetirse para demostrar que toda geodesica quebrada de M partiendo
de x queda tambien en N. Ya que M es conexa se sigue que M N.
Ejemplo 2.4.1 Las subvariedades riemannianas de S n (r) k{dimensionales, totalmente geodesicas, completas
y conexas son las k{esferas maximas: las subvariedades F \ S n (r), donde F es un (k + 1){plano a traves del
origen.
Denicion 2.4.3 Un punto x 2 M ,! M es umbilical si existe un vector normal w 2 Tx (M)? tal que
Bx (u; v) = g(u; v)w 8u; v 2 Tx (M):
A w se le denomina vector curvatura normal de M en x.
Nota 2.4.1
En el caso de variedades riemannianas, en un punto umbilical x, Bx (u; u) = w, para todo vector unitario.
Esto signica que M se curva del mismo modo en toda las direcciones en un punto umbilical.
Para metricas indenidas, la formula Bx (u; u) = g(u; u)w demuestra que M se curva hacia w o w segun
que g(u; u) > 0 o g(u; u) < 0.
Denicion 2.4.4 Una subvariedad semi{riemannian M de M es totalmente umbilical si todo punto de M es
umbilical.
En una subvariedad M totalmente umbilical existe un campo de vectores diferenciable normal Z sobre M,
llamado campo de vectores curvatura normal de M, tal que B(X; Y ) = g(X; Y )Z; 8X; Y 2 X(M).
Una subvariedad totalmente geodesica es totalmente umbilical (Z = 0).
En el Ejemplo 2.2.1 de la pagina 36, se demuestra que en la esfera S n (r) IRn+1 se tiene B(X; Y ) =
1 X; Y U, para todo X; Y 2 X(S n (r)), donde U es la normal unitaria apuntando hacia afuera. En conser
cuencia, S n (r) es totalmente umbilical.
2.5 Hipersupercies semi{riemannianas
Denicion 2.5.1 Una hipersupercie semi-riemanniana M de M es una subvariedad semi{riemanniana de codimension 1.
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40
2 Subvariedades semi{riemannianas
Denicion 2.5.2 La signatura " de una hipersupercie M de M es:
+1 si g(z; z) > 0 para todo vector normal z =
6 0.
1 si g(z; z) < 0 para todo vector normal z =
6 0.
Ejemplo 2.5.1 En una variedad de Riemann, toda hipersupercie es riemanniana de signatura +1.
Proposicion 2.5.1 Sea M una variedad semi{riemanniana, f 2 F(M) y b 2 f(M) IR. Entonces, M = f 1 (b)
es una hipersupercie semi{riemanniana de M si y solo si g(grad f; grad f) es mayor o menor que cero
1 grad f es un
en M. En este caso, la signatura de M es el signo de g(gradf; grad f), y U = k grad
fk
campo de vectores normal unitario sobre M.
Demostracion.- M = f 1 (b) es una subvariedad pues df 6= 0, al ser df metricamente equivalente a grad f 6= 0.
grad f es normal a M, pues si v 2 Tx (M)
g(grad f; v) = df(v) = v(f) = v(fjM ) = 0:
ya que f es constante sobre M.
Finalmente, cada espacio vectorial Tx (M), x 2 M, es no degenerado; pues si g(u; v) = 0, para todo u 2 Tx (M),
y como tambien g(grad f; v) = 0, resulta v = 0.
Ejemplo 2.5.2 En IRn+1, si f: IRn+1 ! IR, dada por f(x1; : : :; xn) =
S n (r).
nX
+1
@f @
grad f = @x
i @xi
i=1
y
nX
+1
(xi )2 , entonces f 1 (r2) es la esfera
i=1+1 !
grad f; grad f = nX
@f 2 > 0 :
i=1
@xi
Nota 2.5.1 No toda hipersupercie semi{riemanniana M ,! M se puede obtener mediante la proposicion
anterior, ya que en general no existe una normal unitaria diferenciable sobre todo M: la banda de Moebius en
IR3 es un ejemplo.
Ahora bien, es facil demostrar que existe una normal unitaria diferenciable en el entorno de cada punto de
M.
Denicion 2.5.3 Sea U un campo de vectores normal unitario, sobre una hipersupercie semi{riemanniana
M ,! M. Al campo de tensores de tipo (1; 1) S sobre M tal que
8X; Y 2 X(M)
g(S(X); Y ) = g(B(X; Y ); U);
se le denomina operador forma de M ,! M (que se deriva de U).
Nota 2.5.2 S determina un operador lineal
Sx: Tx(M) ! Tx(M) 8x 2 M:
Proposicion 2.5.2 Si S es el operador forma, derivado de U, de M ,! M, entonces
Sx(v) = rv U;
8v 2 Tx (M);
y en cada punto el operador lineal Sx es autoadjunto:
g(Sx (u); v) = g(u; Sx (v))
8u; v 2 Tx (M):
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2.5 Hipersupercies semi{riemannianas
41
Demostracion.- rX U es tangente a M, para todo X 2 X(M), pues g(rX U; U) = 0, al ser g(U; U) = cte:
Ademas, para X; Y 2 X(M):
g(S(X); Y ) = g(B(X; Y ); U) = g(rX Y; U) = g(Y; rX U);
luego S(X) = rX U.
La simetra de B implica que S es autoadjunto.
Nota 2.5.3
Esta caracterizacion de S permite describir la forma de M en M: S mide la variacion de U en todas las
direcciones.
El campo de tensores simetrico de tipo (0; 2) metricamente equivalente a S, se denomina tradicionalmente
segunda forma fundamental de M ,! M (la primera forma fundamental es el tensor metrico de M).
Si la normal unitaria U, puede que solo denida localmente, se reemplaza por U, entonces S cambia
de signo. As, aunque M no admita una normal unitaria global, S esta globalmente denida salvo signo.
Para hipersupercies la ecuacion de Gauss toma la forma siguiente:
Proposicion 2.5.3 Sea S el operador forma de una hipersupercie semi{riemanniana M ,! M. Si fu; vg
genera un plano no degenerado tangente a M, entonces
u)g(S(v); v) g(S(u); v)2
K(u; v) = K(u; v) + " g(S(u);
g(u; u)g(v; v) g(u; v)2
donde " es la signatura de M ,! M.
Demostracion.- Basta con tener presente que B(u; v) = "g(S(u); v)U y g(U; U) = ".
Proposicion 2.5.4 Sea M una hipersupercie semi{riemanniana de M, entonces M es totalmente umbilical si
y solo si el operador forma S es la multiplicacion por un escalar, en cada punto.
Demostracion.- Si M es totalmente umbilical, con campo de vectores curvatura normal Z y si S es el operador
forma, derivado de una normal unitaria U, puede que solo denida localmente, entonces
g(S(X); Y ) = g(B(X; Y ); U) = g(X; Y )g(Z; U);
8X; Y 2 X(M):
As, S(X) = g(Z; U)X; 8X 2 X(M).
Recprocamente, supongamos que para toda eleccion de U, su operador forma S es la multiplicacion por un
escalar; esto es, existe una funcion kU sobre el dominio de U, tal que S(X) = kUX, para todo X; entonces
B(X; Y ) = "g(S(X); Y )U = "kU g(X; Y )U:
Ya que, k U = kU , el campo de vectores Z = "kU U esta globalmente bien denido, y la relacion de arriba
queda
B(X; Y ) = g(X; Y )Z:
Denicion 2.5.4 La funcion k de la proposicion anterior se denomina funcion curvatura normal de M ,! M.
Vamos ahora a utilizar el mismo metodo usado con las esferas en IRn+1 para obtener una importante familia
de hipersupercies semi{riemannianas en IRn +1 .
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42
2 Subvariedades semi{riemannianas
Proposicion
2.5.5 Consideremos en el espacio semi{euclideo IRn +1 la funcion f 2 F(IRn +1 ) denida por
f = P; P , donde P es el campo de vectores posicion; entonces Q = f 1 ("r2 ) (" = 1; r > 0) es un
hipersupercie semi{riemanniana de IRn +1, con campo de vectores normal unitario U = r1 P y signatura
".
Demostracion.- Por la Proposicion 2.5.1, hay que establecer que grad f; grad f es mayor o menor que cero
en Q.
Para
todo X 2 X(IRn +1 ),
grad f; X = Xf = X P; P = 2 DX P; P = 2 X; P .
As, grad f; grad f = 2 grad f; P = 4 P; P = 4f.
Nota 2.5.4 Con relacion a las coordenadas naturales la expresion de la funcion f del enunciado de la proposicion
anterior es
nX
+1
X
(xj )2:
(xi)2 +
f(x1 ; : : :; xn+1) =
i=1
j = +1
Denicion 2.5.5 Estas hipersupercies semi{riemannianas se denominan hipercuadricas de IRn +1 .
Ejemplo 2.5.3 En IR31 tenemos el siguiente diagrama:
X
Ho2(r)
Λ
f -1(r2)=S2(r)
1
(-x2+y2+z2=r2)
(-x2+y2+z2=0)
Z
Y
f -1(-r2)=Ho2(r)
(-x2+y2+z2=-r2)
Nota 2.5.5 Las dos familias " = 1 y " = 1 recubren todo IRn1 +1, salvo el conjunto f 1 (0).
Proposicion 2.5.6 El conjunto
= (x1; : : :; xn+1) 2 IRn +1
f0g
X
(xi )2 +
nX
+1
(xj )2 = 0
j = +1
es una hipersupercie, denominada cono de nulidad, difeomorfa a (IR f0g) S n .
El campo de vectores posicion P de IRn +1 en es a la vez tangente y normal a , por lo que no
i=1
es semi{riemanniana.
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2.5 Hipersupercies semi{riemannianas
Demostracion.- = f 1 (0)
43
f0g, donde f = P; P . Luego, como en la Proposicion 2.5.5, es una
hipersupercie (el unico punto donde < grad f; grad f >= 0 es en el origen) y P es normal a (grad f = 2P).
P tambien es tangente a , ya que es tangente a la curva t 7! tx; x 2 .
Consideremos ahora, la esfera unidad S n S n (1) en IRn +1. Denimos la aplicacion
: (IR f0g) S n ! IRn +1
(y; z)
7 ! (y; z) = (y1 ; : : :; y ; kykz 1 ; : : :; kykz n +1):
X
(yi )2 + kyk2 = 0, la imagen de queda en .
Ya que (y; z); (y; z) =
i=1
Sea por otra parte, : ! (IR f0g) S n denida por
1 x +1; : : :; 1 xn+1
(x) = (y; z) = x1 ; : : :; x ; h(x)
h(x)
0 n+1
1 12
X
(xj )2 A :
; donde h(x) = @
j = +1
Como y son diferenciables e inversas una de otra, resulta que es difeomorfa a (IR f0g) S n . Denicion 2.5.6 Sea n 2 y 0 n, llamamos:
Pseudoesfera de radio r > 0, dimension n e ndice en IRn +1 a la hipercuadrica
o
n
.
Sn (r) = f 1 (r2) = x 2 IRn +1 < x; x >= r2 :
+1 a la hipercuadrica
Espacio pseudohiperbolico de radio r > 0, de dimension n e ndice en IRn +1
o
n
.
+1 < x; x >= r2 :
Hn (r) = f 1 ( r2 ) = x 2 IRn +1
Nota 2.5.6
Ya que las pseudoesferas tienen signatura +1, su ndice en IRn +1 es . Los espacios pseudohiperbolicos
+1 en la denicion).
tienen signatura 1, as su ndice en IRn +1 es 1 (de ah el cambio a IRn +1
n
n
Para = 0, S0 (r) es la esfera ordinaria S (r) en el espacio eucldeo IRn0 +1 IRn+1.
El estudio de las hipercuadricas queda simplicado debido al hecho siguiente:
Proposicion 2.5.7 Toda hipercuadrica es homotetica a una conveniente pseudoesfera unidad Sn Sn (1).
Demostracion.- Primeramente, para todo r, la multiplicacion por r en IRn +1 es una homotecia de razon r;
entonces tambien lo es su restriccion a Sn ! Sn (r).
Consideremos la aplicacion : IRn +1 ! IRnn+1 +1, dada por
(x1 ; : : :; xn+1) = (x +1 ; ; xn+1; x1; ; x );
lo cual es una anti-isometra que lleva cada Sn (r) anti-isometricamente sobre Hn (r), y viceversa.
En efecto, es un isomorsmo lineal y
< (x); (x) >=
nX
+1
(xj )2 +
X
(xi )2 = < x; x > :
i=1
j = +1
Luego es una anti{isometra de IRn +1 en IRnn+1 +1.
Esta formula tambien demuestra que enva Sn (r) sobre Hnn (r) y viceversa.
smo, y entonces una anti{isometra.
As jSn (r) es un difeomor-
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44
2 Subvariedades semi{riemannianas
Proposicion 2.5.8 Lan pseudoesfera
Sn (r) es difeomorfa a IR S n ; el espacio pseuhiperbolico Hn (r) es
difeomorfo a IR S .
Demostracion.- Por la proposicion anterior, solo es suciente hacer la demostracion para Sn (r).
Sea : IR S n ! IR IRn+1 IRn +1 , denida por
(y; z) 7! (y; z) = (y; (1 + kyk2 ) 12 z):
Puesto que < (y; z); (y; z) >= kyk2 + (1 + kyk2 ) = 1, la aplicacion lleva IR S n en Sn .
La aplicacion es un difeomorsmo, ya que tiene como inversa a la aplicacion
(x; y) 7! (x; (1 + kxk2) 12 y):
Proposicion 2.5.9 Aparte de las esferas, las unicas variedades de Riemann
entre las hipercuadricas son las
n+1
hipersupercies H n (r) = H0n (r) en el espacio de Minkowski IR1 .
Demostracion.- Por la proposicion anterior H0n(r) f1; 1g IRn, tiene dos componentes conexas cada una
difeomorfa a IRn .
Nota 2.5.7 Las dos componentes conexas de lasn+1
que se habla en la demostracion anterior, son de hecho congruentes (pagina 37) mediante la isometra de IR1 :
(x1 ; x2; : : :; xn+1) 7! ( x1 ; x2; : : :; xn+1):
As como ocurre con la esfera (pagina 39), toda hipercuadrica es totalmente umbilical:
Proposicion 2.5.10 La hipercuadrica Q = f 1 ("r2) IRn +1 de signatura " es totalmente umbilical, con
operador forma S = r1 I derivado del campo normal hacia afuera r1 P.
Demostracion.- Si X 2 X(Q), entonces S(X) = DX ( 1r P) = r1 X.
Nota 2.5.8
De este resultado se sigue que el campo de vectores curvatura normal de Q es Z = "r U.
Ya que U apunta hacia afuera (afuera del origen), Z apunta hacia a dentro sobre las pseudoesferas y
hacia afuera sobre los espacios pseudohiperbolicos.
Esto es logico sobre las hipercuadricas de Riemann S n (r) y H n (r), ya que la esfera se curva hacia a
dentro en todo punto, mientras que el espacio hiperbolico sse curva hacia afuera.
La siguiente proposicion demuestra que, como para las esferas, las geodesicas de toda hipercuadrica Q IRn +1 son las curvas interseccion de Q con los planos a traves del origen de IRn +1. \ Q puede tener dos
componentes en vez de una como en las esferas.
Proposicion 2.5.11 Sea una geodesica no constante de Sn (r) IRn +1.
1. Si 0 ; 0 < 0 ( es \timelike") es una parametrizacion de una rama de una hiperbola en IRn +1 .
2. Si 0 ; 0 = 0 ( es \null") es una lnea recta (una geodesica en IRn +1 ).
3. Si 0 ; 0 > 0 ( es \spacelike") es una parametrizacion periodica de una elipse en IRn +1.
En consecuencia, Sn (r) es completa.
Demostracion.- Sea p 2 Sn (r), un plano en IRn +1 pasando por el origen y por p. Si g es el producto
n+1
escalar en IR , entonces, ya que g(p; p) =< p; p > > 0, existen tres posibilidades para la restriccion de g a :
I) gj es denida positiva.
Sn (r) \ es una circunferencia en IR2.
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2.5 Hipersupercies semi{riemannianas
45
En efecto, sea fe1 ; e2g una base ortonormal para . Un punto ae1 + be2 de esta en Sn (r) si y solo si
0
As, (t) = r cos t e1 + r sen t e2 es una parametrizacion con k0k = cte: de \ Sn (r). Ademas Ddt(t) =
0
P(t). Con lo que Ddt(t) es normal a Sn (r); en consecuencia, es una geodesica de Sn (r).
II) gj es no degenerada con ndice 1.
Sea fe0 ; e1g una base ortonormal para tal que p = re1 y < e0 ; e0 >< 0. Un punto aeo + be1 de esta en
Sn (r) si y solo si a2 + b2 = r2 . As, \ Sn (r) consta de las dos ramas de una hiperbola en IR21. La rama
que contiene al punto p tiene parametrizacion con velocidad constante
a2 + b2 = r2.
(t) = r senh t e0 + r cosh t e1
(t 2 IR):
Entonces, < 0 (t); 0(t) >= r2 cosh2 t + r2 senh2 t = r2.
0
0
Como Ddt(t) = P(t), Ddt(t) es normal a Sn (r). Por tanto, es una geodesica de Sn (r).
III) gj es degenerada y dimN = 1, siendo N = fu 2 =gj(u; v) = 0; 8v 2 g.
Si u 2 N f0g, fp; ug es una base de . Un punto ap+bu de esta en Sn (r) si y solo si a2 = 1 (a = 1). Con
lo que \ Sn (r) consta de dos rectas paralelas. La que pasa a traves de p esta parametrizada por (t) = p +tu.
Ya que es una geodesica de IRn +1 que queda en Sn (r) es una geodesica de Sn (r). Ademas, < 0 (0); 0(0) >
= < u; u >= 0.
Finalmente, razonando de forma analoga que como se hizo para las esferas, Corolario 2.3.1.3, se demuestra
que toda geodesica de Sn (r) es una parametrizacion de uno de los tipos enunciados.
Nota 2.5.9
Las geodesicas de los espacios pseudohiperbolicos se pueden ahora obtener facilmente. Ya que la aplicacion
: IRn +1 ! IRnn+1 +1; (x1; : : :; xn+1) 7! (x +1 ; : : :; xn+1; x1; : : :; x )
es una anti-isometra, se sigue que la precedente proposicion se verica para Hn (r) cambiando la palabra
\spacelike" y \timelike" y biceversa.
En particular, toda geodesica del espacio hiperbolico H n(r) es inyectiva, ya que es \spacelike" en
n
+1
IR1 (< 0 (t); 0 (t) > > 0).
Proposicion 2.5.12 Las hipercuadricas tienen curvatura constante.
Demostracion.- De la expresion de la curvatura seccional (Proposicion 2.5.3), se tiene
u >< S(v); v > < S(u); v >2 ;
K(u; v) = K(u; v) + " < S(u);
< u; u >< v; v > < u; v >2
resulta, utilizando la Proposicion 2.5.10, que
< u ; u >< v ; v > < u ; v >2
K(u; v) = " <r u; u >< v;r v > < u; vr >2 = r"2 :
En consecuencia, tenemos:
Proposicion 2.5.13 Sea n 2 y 0 n, entonces
1. La pseudoesfera Sn (r) es una variedad semi{riemanniana completa de curvatura constante positiva,
K = r12 .
2. El espacio pseudohiperbolico Hn (r) es una variedad semi{riemanniana completa de curvatura
constante negativa, K = r12 .
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46
2 Subvariedades semi{riemannianas
Nota 2.5.10
En el caso riemanniano el espacio hiperbolico H n (r) contrasta con la esfera S n (r): mientras la esfera
es compacta, con geodesicas periodicas y curvatura positiva, H n(r) no es compacta (difeomorfa a IRn ) con
geodesicas inyectivas y de curvatura negativa.
Hablando intuitivamente todos los puntos sobre la esfera unidad S 2 en IR3 y todas las direcciones son
geometricamente iguales. A primera vista parece que esta uniformidad falla en las pseudoesferas, pero de hecho
se tiene el siguiente resultado:
Proposicion 2.5.14 Sea fe1; : : :; eng y ff1 ; : : :; fn g referencias nortogonales
sobre Sn (r) en los puntos p y q, res+1
n
+1
pectivamente. Entonces, existe una unica isometra : IR ! IR que aplica Sn (r) isometricamente
en s misma, con (p) = q y (ei ) = fi (1 i n).
Demostracion.- El vector posicion p en p 2 Sn (r) es normal a Sn (r), por tanto ortogonal a cada ei ; tenemos
as unas bases ortonormales fe1; : : :; en; 1r pg y ff1; : : :; fn; 1r qg en IRn +1 .
Por la Proposicion 1.2.5, existe una unica isometra lineal : IRn +1 ! IRn +1 tal que (ei ) = fi (1 i n)
y ( r1 p) = 1r q, entonces (p) = q y es una isometra de IRn +1 .
De la denicion de Sn (r) se sigue que (Sn (r)) = Sn (r), y ya que Sn (r) es una subvariedad semi{riemanniana,
restringida a Sn (r) es una isometra.
Como es lineal en IRn +1, se identica con su diferencial. As, (ei ) = fi (1 i n).
Para demostrar que es unica, sea otra isometra de IRn +1 con las propiedades requeridas. Claramente
y coinciden sobre Tp (Sn (r)). Ya que y forman un par isometrico, se sigue que y consevan los
vectores curvatura normal. As ellas coinciden sobre Tp (IRn +1). Luego = (Proposicion 1.12.2).
2.6 La ecuacion de Codazzi
Sea M una subvariedad semi{riemanniana de M.
Denicion 2.6.1 La conexion normal de M ,! M es la aplicacion
r? : X(M) X(M)? ! X(M)?
(X; Y )
7 ! rX? Y = N (rX Y )
rX? Y se lee denomina derivada covariante normal de Y respecto a X.
Las siguientes propiedades son inmediatas:
1. r? es F(M){lineal en el primer argumento y IR{lineal en el segundo.
2. rX? (fY ) = f rX? Y + (Xf)Y; 8f 2 F(M); 8X 2 X(M); 8 Y 2 X(M)? .
3. Xg(Y; Z) = g(rX? Y; Z) + g(Y; rX? Z); 8X 2 X(M); 8 Y; Z 2 X(M)? .
Denicion 2.6.2 Sea B la segunda forma fundamental de M ,! M y X 2 X(M), denimos la derivada
covariante, denotada por reX B, por
e rX B (Y; Z) = rX? (B(Y; Z)) B(rX Y; Z) B(Y; rX Z)
Proposicion 2.6.1 La aplicacion reX B : X(M) X(M) ! X(M)? es F(M){lineal.
8 Y; Z 2 X(M):
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2.6 La ecuacion de Codazzi
47
Nota 2.6.1 Esta es la derivada covariante de B con respecto a la conexion en T(M) + T(M)? , obtenida combinando rX en T(M) y rX? en T(M)? .
La ecuacion de Gauss describe T (R(X; Y )Z); X; Y; Z 2 X(M), en terminos de la segunda forma fundamental
B; la siguiente proposicion da un resultado analogo para N (R(X; Y )Z) en funcion de reB.
Proposicion 2.6.2 Sea M una subvariedad semi{riemanniana de M. Si X; Y; Z 2 X(M), entonces se tiene
N (R(X; Y )Z) = reX B (Y; Z)
e rY B (X; Z):
A esta relacion se le denomina ecuacion de Codazzi
Demostracion.- Supongamos,
para facilitar los calculos, que elegimos X; Y 2 X(M) tales que [X; Y ] = 0, entonces
N R(X; Y )Z = N (rX rY Z) N (rY rX Z) =
= N (rX rY Z) + N (rX B(Y; Z)) N (rY rX Z) N (rY B(X; Z)) =
?
?
= B(X; rY Z) + rX B(Y; Z) B(Y; rX Z) rY B(X; Z) =
= rX? B(Y; Z) B(Y; rX Z) B(rX Y; Z) rY? B(X; Z) B(X; rY Z) B(rY X; Z) =
= (reX B)(Y; Z) (reY B)(X; Z):
Denicion 2.6.3 Un campo de vectores normal Z 2 X(M)? se dice que es paralelo respecto a la conexion
normal si rX? Z = 0; 8X 2 X(M).
Corolario 2.6.2.1 Si M tiene curvatura constante
1. La ecuacion de Codazzi de M ,! M se expresa por
e rX B (Y; Z) = reY B (X; Z);
8X; Y; Z 2 X(M):
2. Si M es una hipersupercie de M con operador forma S, entonces
(rX S)(Y ) = (rY S)(X); 8X; Y 2 X(M):
Demostracion.- 1) Al ser M de curvatura constante (Proposicion 1.10.3)
R(X; Y )Z = c g(Y; Z)X g(X; Z)Y ;
luego R(X; Y )Z es tangente a M.
2) Supongamos que S deriva del campo de vectores unitario U.
U es paralelo respecto a la conexion normal r? . En efecto:
g(U; U) = cte: ) g(rX U; U) = 0 ) rX? U = N (rX U) = 0:
Para obtener la formula
2) procedemos como sigue:
g (rX S)Y; Z = g(rX (SY ); Z) g(S(rX Y ); Z) =
= g(SY; rX Z) + Xg(SY; Z) g(S(rX Y ); Z) =
= g(B(Y; rX Z); U) + Xg(B(Y; Z); U) g(B(rX Y; Z); U) =
= g(rX (B(Y; Z)); U) + g(B(Y; Z); rX U) g(B(Y; rX Z); U) g(B(rX Y; Z); U) =
= g(rX? (B(Y; Z)); U) g(B(Y; rX Z); U) g(B(rX Y; Z); U) =
= g (reX B)(Y; Z); U =1: g (reY B)(X; Z); U = g (rY S)X; Z =)
=) (rX S)Y = (rY S)X:
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48
2 Subvariedades semi{riemannianas
Nota 2.6.2 La expresion de la ecuacion de Codazzi 2. de una hipersupercie, puede ponerse tambien como
sigue:
rX S(Y ) rY S(X) = S([X; Y ]):
2.7 Hipersupercie totalmente umbilicales
El proposito de este parrafo es encontrar todas las hipersupercies totalmente umbilicales del espacio semi{
eucldeo IRn . Ya hemos visto (pagina 39) que toda hipersupercie totalmente geodesica conexa de IRn es
un conjunto abierto de un hiperplano no degenerado. Por lo que queda por determinar las hipersupercies
totalmente umbilicales que no son totalmente geodesicas. Esta clase incluye de hecho a todas las hipercuadricas.
La siguiente proposicion consecuencia inmediata de la ecuacion de Codazzi, es esencial para determinar tales
hipersupercies.
Proposicion 2.7.1 Sea M ,! M una hipersupercie semi{riemanniana conexa de signatura " y de dimension
n 2. Si M es totalmente umbilical y M tiene curvatura constante c, entonces la curvatura normal k
es constante (salvo signo) y M tiene curvatura constante c + "k2 .
Demostracion.- Utilizando la ecuacion de Gauss
u)g(S(v); v) g(S(u); v)2 ;
K(u; v) = K(u; v) + " g(S(u);
" = g(U; U):
g(u; u)g(v; v) g(u; v)2
Si fu; vg es una base ortonormal, queda
c = c + "(g(ku; u)g(kv; v) (g(ku; v))2 ) = c + "k2 :
Demostremos ahora que k es constante. Por la conexidad solo basta probar que que u(k) = 0 para todo
vector u 2 Tx (M).
Elijamos X; Y 2 X(M), tales que Xx = u e Yx sea independiente de u. Se tiene:
(rX S)(Y ) = rX S(Y ) S(rX Y ) = rX (kY ) k(rX Y ) = (Xk)Y ; y, analogamente, (rY S)(X) = (Y k)X.
Por el Corolario 2.6.2.1, resulta (Xk)Y = (Y k)X =) Xk = 0 =) v(k) = 0.
Ejemplo 2.7.1
Una hipersupercie totalmente umbilical llana en IRn es totalmente geodesica.
Una hipercuadrica centrada en el origen de IRn , dada por < P; P >= c 6= 0, es transformada por traslacion en P 7! P P0 en una hipercuadrica centrada en P0 , dada por < P P0; P P0 >= c. Evidentemente la
translacion es un par isometrico, entonces, en particular, todas las hipercuadricas son totalmente umbilicales.
Trivialmente, toda hipersupercie semi{riemanniana de una variedad bidimensional es totalmente umbilical,
en consecuencia, solo trataremos el caso de IRn, para n 3.
Proposicion 2.7.2 Si M es una hipersupercie semi{riemanniana conexa de IRn (n 3), que es totalmente
umbilical pero no totalmente geodesica, entonces M es un conjunto abierto en una hipercuadrica. Por
tanto, si M ademas es completa, M es una componente conexa de una hipercuadrica.
Demostracion.- Si U es una normal unitaria denida localmente sobre M, entonces, al ser totalmente umbilical, S = kI, donde S es el operador forma derivado de U, y k es la funcion curvatura normal, que es constante
por la proposicion anterior.
El campo de vectores normal k1 U = 1k ( U) esta denido en todo M.
Identicando el espacio tangente de IRn con IRn por el isomorsmo canonico, denimos la aplicacion
: M ! IRn;
(x) = x + k1 Ux :
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2.7 Hipersupercie totalmente umbilicales
49
Demostremos que es una aplicacion constante. Como IRn es conexa, es suciente demostrar que cada
aplicacion diferencial de es nula.
Con la identicacion de arriba, armamos que para todo v 2 Tx (M)
(v) = v + k1 Dv U:
Ahora bien, Dv U = S(v) = kv, entonces, (v) = v + k1 ( kv) = 0.
As, es una aplicacion constante: (x) = x0; 8x 2 M.
Luego, para x 2 M, x x0 = k1 Ux, entonces < x x0 ; x x0 >= k12 .
Por tanto, M esta contenida en una hipercuadrica Q. Ya que M es conexa, esta contenida en una componente
conexa C de Q. Al tener M y C la misma dimension, M es una subvariedad abierta de C.
Si M es completa, entonces M = C.
Resumiendo tenemos:
Proposicion 2.7.3 Las hipersupercies ntotalmente umbilicales, conexas y completas de IRn (n 3) son los
hiperplanos no degenerados de IR y las componentes conexas de las hipercuadricas.
Basandonos en esta informacion extrnseca, caracterizaremos intrnsecamente las hipercuadricas semi{riemannianas de IRn que tienen curvatura constante no nula.
Proposicion 2.7.4 Si M es una hipersupercie semi{riemanniana conexa de IRn (n 4) con curvatura constante (c 6= 0), entonces M es un conjunto abierto de una hipercuadrica. Si ademas M es completa, se
trata de una componente conexa de una hipercuadrica.
Demostracion.- Se sigue inmediatamente de la proposicion anterior y del siguiente resultado algebraico: Proposicion 2.7.5 Sea M una hipersupercie semi{riemanniana de M. Si M y M tienen curvatura constante
c=
6 c y dim M 3, entonces M es totalmente umbilical.
Demostracion.- Sea b = "(c c) 6= 0, donde " es la signatura de M. Por la ecuacion de Gauss:
(1)
g S(u); u g S(v); v
g S(u); v2 = bg(u; u)g(v; v) g(u; v)2;
siempre que fu; vg genere un plano no degenerado tangente a M.
Se puede demostrar que esta relacion (1) es valida para cualquier par de vectores independientes u; v.
En cada punto x 2 M el operador forma S sobre Tx (M) es inversible. En efecto, si u 6= 0, existe un vector
v 2 Tx (M), tal que
g(u; u)g(v; v) g(u; v) 2 6= 0:
Entonces por (1), S(u) 6= 0. Con lo que S es inyectiva; luego biyectiva.
(2)
g S(u); w g S(v); t g S(u); t g S(v); w = b g(u; w)g(v; t) g(u; t)g(v; w) :
Para probar esto consideremos las aplicaciones de Tx (M)4 en IR, F1 y F2 , denidas por el primer y segundo
miembro, respectivamente, de (2); esto es:
F1(u; v; w; t) = g S(u); w g( S(v); t) g S(u); t g S(v); w
F2 (u; v; w; t) = g(u; w)g(v; t) g(u; t)g(v; w):
Ambas verican las tres propiedades de la Proposicion 1.10.2 de la pagina 24, y ademas
F1(u; v; u; v) = g S(u); u g S(v); v) g S(u); v g S(v); u
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
50
2 Subvariedades semi{riemannianas
F2(u; v; w; t) = g(u; u)g(v; v) g(u; v)g(v; u):
Luego usando (1) y la proposicion citada, resulta F1 = bF2.
Tenemos que para u 6= 0; S(u) 6= 0 y por ser dim Tx (M) 3, existe un vector t 6= 0 ortogonal a u y a S(u),
y por tanto por (2)
g S(u); w g S(v); t = bg(u; w)g(v; t):
?
Puesto que S es inversible la imagen de S no esta en fftg , entonces existe v 2 Tx (M) tal que g S(v); t 6= 0.
Asi, para alguna constante, se tiene
g S(u); w = kg(u; w)
8u; w 2 Tx (M):
Por tanto S es la multiplicacion por un escalar; esto es, M es totalmente umbilical (Proposicion 2.5.4). Nota 2.7.1 En la proposicion anterior si c = c el operador forma de la variedad M no siempre se puede
especicar.
2.8 La conexion normal
Para subvariedades semi{riemannianas de codimension mayor que uno la conexion normal tiene mayor
importancia. Del mismo modo que el tensor forma de M ,! M mide la diferencia entre r y r, tambien mide la
diferencia entre r? y r, si bien con diferente formulacion, como sigue:
A : X(M) X(M)? ! X(M)
(X; Z)
7 ! AZ (X) = T (rX Z)
Se tiene as la formula de Weingarten:
rX Z = AZ (X) + rX? Z
8X 2 X(M); 8Z 2 X(M)? :
(2.8.1)
Proposicion 2.8.1 1) La aplicacion A: X(M) X(M)? ! X(M); (X; Z) 7! AZ (X), es F(M){bilineal; consecuentemente, en cada punto x 2 M, A determina una aplicacion IR{bilineal, Ax : Tx(M) Tx (M)? !
Tx (M).
2) g(AZ (X); Y ) = g(B(X; Y ); Z); 8X; Y 2 X(M); 8Z 2 X(M)? .
As, jado Z 2 Tx (M)? , AZ : Tx (M) ! Tx (M) es un operador lineal autoadjunto sobre Tx (M):
X; Y 2 Tx (M):
g AZ (X); Y = g X; AZ (Y ) ;
Demostracion.- 1) La bilinealidad respecto a la suma es obvia.
Para todo f 2 F(M), tenemos,
rX fZ = (Xf)Z + f rX Z = (Xf)Z + fAZ (X) + f rX? Z:
Comparando con rX fZ = AfZ (X) + rX? (fZ), obtenemos, para las componentes tangentes:
AfZ (X) = fAZ (X):
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
2.8 La conexion normal
51
Procediendo de la misma forma para rfX Z, obtenemos
AZ (fX) = fAZ (X):
Luego A es F(M){bilineal.
2) Para todo Y 2 X(M) y Z 2 X(M)? , tenemos g(Y; Z) = 0. Diferenciando covariantemente (con respecto
a la conexion de Levi{Civita r), tenemos:
g(rX Y; Z) = g(Y; rX Z);
y utilizando las formulas de Gauss y Weingarten, se sigue
g Y; r? Z ;
X
g(rX Y; Z) + g B(X; Y ); Z = g Y; AZ (X)
ya que g(rX Y; Z) = g(Y; rX? Z) = 0, obtenemos:
g(rZ (X); Y ) = g B(X; Y ); Z :
Finalmente, en virtud de la simetra de B, resulta que AZ es autoadjunto.
Nota 2.8.1 En el caso de las hipersupercies, si Z es un campo de vectores normal unitario y S es el operador
forma derivado de Z, se tiene que
AZ (X) = S(X);
8X 2 X(M):
La formula de Weingarten toma ahora la forma simple
rX Z = S(X):
Pues al ser g(rX Z; Z) = 0, se sigue que g(rX? Z; Z) = 0, y por consiguiente rX? Z = 0.
La conexion normal r? se adapta como sigue a campos de vectores normales sobre curvas en M M.
Si Y es un campo de vectores sobre (curva en M) siempre normal a M, entonces su derivada covariante
?
r
Y esta denida por la componente normal de su derivada covariante inducida en M: rY .
normal inducida
dt
dt
?
r
Y
La Proposicion 1.6.1 implica propiedades analogas para dt :
Proposicion 2.8.2 Sea : I ! M M una curva en una subvariedad semi{riemanniana M de M, entonces la
derivada covariante normal inducida tiene las siguientes propiedades:
?
?
?
r
(Y
+
Y
)
r
Y
r
1
2
1
1.
= dt + dtY2
dt
(; 2 IR)
?
(hY ) = dh Y + h r? Y
2. r dt
(h 2 F(I))
dt
dt
?
?
r
(Z 2 X(M)? ; Zes la restriccion de Za )
3. dtZ = r0(t) Z
!
? !
?
d
r
r
Y
1
4. dt g(Y1 ; Y2) = g dt ; Y2 + g Y1 ; dtY2 .
~
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
52
2 Subvariedades semi{riemannianas
Si Y un campo de vectores siempre normal a M, sobre una curva en M M, entonces la formula de
Weingarten tiene la siguiente expresion:
rY = A (0) + r? Y :
Y
dt
dt
?
Denicion 2.8.1 Si rdtY = 0, se dice Y es paralelo respecto a la conexion normal.
Proposicion 2.8.3 Sea : I ! M una curva en M M. Si u 2 T(a) (M)? (a 2 I), existe un unico campo de
vectores Y sobre paralelo con respecto al conexion normal, tal que Y(a) = u.
Demostracion.- Usando un sistema de coordenadas adaptadas y la proyeccion normal es facil encontrar,
sobre un subintervalo de I, campos de vectores normales E1; : : :; Ek , que en cada punto determinan una base
del espacio normal. Solapando estos campos se pueden denir sobre toda la curva.
?
k
k
k
X
X
X
Pongamos Y = Y i Ei; u = ci Ei y rdtEi = hji Ej (1 i k), entonces
i=1
i=1
j =1
0
1
?
k
k
i
X
X
r Y = @ dY + hi Y j A E :
i
j
dt
i=1
dt
j =1
Sean Y 1 ; : : :; Y k las unicas soluciones, con las condiciones iniciales Y i (a) = ci , del sistema de ecuaciones
diferenciales lineales
n
dY i + X
hij Y j = 0
(1 i k):
dt
j =1
k
X
Estas soluciones estan denidas en todo el intervalo I, entonces Y = Y i Ei es el campo de vectores
i=1
paralelo respecto al conexion normal buscado.
Denicion 2.8.2 Al campo Y obtenido en la proposicion anterior se le denomina trasladado paralelo normal
de u.
A la aplicacion P: T(a) (M)? ! T(b) (M)? denida por u 7! Y (b), se le denomina transporte
paralelo normal.
Proposicion 2.8.4 El transporte paralelo normal es una isometra lineal.
Demostracion.- Similar a la Proposicion 1.6.3 (pagina 16).
Proposicion 2.8.5 La conexion normal se conserva por un par isometrico.
Demostracion.- Similar a la Proposicion 2.2.5, pagina 37.
?
En consecuencia, r y las nociones que de ella se deriven pertencen a la geometra extrnseca de M M.
Denicion 2.8.3 Dos objetos en una variedad semi{riemanniana son congruentes si existe una isometra de
M transformando uno en otro.
En particular, de la denicion dada en la pagina 37, tenemos:
Denicion 2.8.4 Dos subvariedades M1 y M2 de M son congruentes si existe una isometra F: M ! M tal
que FkM1 es una isometra de M1 sobre M2. Se dice entonces que M1 y M2 tienen la misma geometra
intrnseca y extrnseca.
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2.8 La conexion normal
53
Tratamos ahora de establecer el siguiente resultado: \Tomando M = IRn . Subvariedades isometricas son
congruentes si y solo si ellas tienen el mismo tensor forma". Mas precisamente:
Teorema 2.8.1 Sea F: M1 n! M2 una
isometra entre subvariedades semi{riemannianas conexas de IRn . Existe
n
~ IR ! IR tal que F~jM1 = F si y solo si en un punto x0 2 M1 existe una isometra
una isometra F:
lineal h0 : Tx0 (M1 )? ! TF (x0 ) (M2 )? , con la siguiente propiedad:
Si : I = [0; 1] ! M1 es una curva en M1 , (0) = x0, entonces para todo t 2 I la isometra lineal
h(t) = PF ((t)) h0 P(1t)): T(t)(M1 )? ! TF ((t)) (M2 )?
(P transporte paralelo normal) conserva los tensores forma esto es
h(t) (B1 (u; v)) = B2 (F(u); F (v)) ;
8u; v 2 T(t)(M1 ):
Demostracion.- La condicion sobre los tensores forma es necesaria ya que hemos visto que el transporte
paralelo normal y el tensor forma pertenecen a la geometra extrnseca.
Para probar la suciencia, sea una curva vericando las condiciones del enunciado.
a) Si Z es un campo de vectores sobre normal a M1 , entonces (h Z)(t) = h(t) Z(t) dene un campo
de vectores sobre F , normal a M2 .
La denicion de h(t) implica que si Z es paralelo respecto a la conexion normal tambien los es h(t)Z. Es
mas, expresando un arbitrario Z 2 X(M1 )? en terminos de un campo de referencias ortonormal sobre formada
por campos de vectores paralelos respecto a la conexion normal r1? , se sigue que
r2? (hZ)
dt
0 ? 1
r Z
= h @ 1 A :
dt
b) Ya que h(t) conserva B, tambien conserva A; esto es,
F A1 Z (X) = A2 h(Z) (F (X)) ;
donde X y Z son campos de vectores sobre , tangente y normal, respectivamente, a M1 .
En efecto, sea Y 2 X(M1 ), entonces
B (F (X); F (Y )) ; h Z = h (B (X; Y )) ; h Z 2 1
g2 F A1 Z (X) ; F (Y ) = g1 A1 Z (X); Y = < B1 (X; Y ); Z > :
g2 A2 h Z (F (X)) ; F(Y ) =
c) Para cada t, F h(t): T(t)(IRn ) ! TF ((t)) (IRn ) es una isometra lineal.
Si X es un campo de vectores sobre paralelo respecto a la conexion de IRn, tambien lo es (F h(t))(X).
En efecto,
?
D(T X) + D(N X) = r1 (T X) + B (0 ; X) + A
0) + r1 (N X) )
0 = DX
(
=
1
T
1
X
N
dt
dt
dt
dt
dt
) r1(T X) + A
dt
1 N X
(0 ) = 0
y
Ahora bien
D ((F h )X) = DF (T X) + Dh (N X) =
dt
dt
dt
r1? (N X)
0
B1 ( ; T X) +
= 0:
dt
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54
2 Subvariedades semi{riemannianas
?
r (h ( X))
= r2 Fdt(T X) + B2 (F (0); F(T X)) + A2 h(N X) (F(0 )) + 2 dt N =
0 ?
1
r1T X) (
X)
r
N
+ h (B1 (0 ; T X)) + F (A1N X (0)) + h @ 1 dt A =
= F
dt
0
1
?
r X
X
r
N
= F 1dtT + A1 N X (0) + h @B1 (0 ; T X) + 1 dt A :
Las expresiones anteriores deducidas de DX
dt = 0, demuestran que esta expresion es nula, esto es (F h)(X)
es paralelo.
d) Si las curvas ; : I ! IRn tienen el mismo punto y vector inicial ((0) = (0); 0 (0) = 0 (0)) y, para
todo t, 00(t) es paralelo a 00 (t), entonces = .
En efecto, el paralelismo signica que las coordenadas naturales de y satisfacen a
d2(ri ) = d2(ri ) :
dt2
dt2
Entonces, ri ri = ait + bi
(1 i n).
Pero las condiciones iniciales implican que ai = bi = 0 (1 i n).
e) Ya que las traslaciones en IRn conservan la geometra intrseca de las subvariedades podemos suponer,
sin perdida de generalidad, que el punto x0 2 M1 y su imagen F(x0) 2 M2 esten ambos en el origen de IRn . Es
suciente trasladar cada variedad con los consiguientes cambios obvios en F y h0.
f) Sea F~ la isometra lineal de IRn canonicamente correspondiente a (F )0 h0: T0 (IRn ) ! T0 (IRn ), as F~
es una isometra de IRn y (F~ )0 = (F )0 h0.
Demostraremos que F~jM1 = F.
En virtud de la conexidad, si x 2 M1 , sea una curva en M1 que une 0 con x, es suciente probar que
F = F~ .
~ y ya que (F~ )0 jT0(M1 ) = (F )0 ; se sigue que las curvas F y F~ tienen el mismo
Por e) F(0) = 0 = F(0),
punto inicial y el mismo vector tangente inicial. Ademas
DF (0) = r2F (0) + B (F (0); F (0)) = F r10 + h (B (0; 0)) = (F h ) D0 :
2 dt
1
dt
dt
dt
0
Sea (t) 2 T0 (IRn ) paralelo a D
dt (t), entonces por c)
D0 es paralelo a
(F )0 h0 ((t) ):
(F)(t) h(t) ) dt (t)
Pero (F )0 h0 ((t) ) = (F~ )0((t) ).
0 Ya que F~ es isometra lineal, (F~ )0((t) ) es paralelo a (F~ )(t) D
dt (t) .
Pero
0 D(F~0)
(F~ )(t) D
dt (t) = dt (t):
Consecuentemente, para todo t
D(F )0 (t)
dt
Por d) concluimos que F = F~ .
es paralelo a
D(F~ )0 (t):
dt
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T E M A III
Espacios simetricos
Una condicion natural impuesta a una variedad riemanniana (semi{riemanniana) es que su tensor curvatura
R sea paralelo, esto es, que se anule su diferencial covariante rR = 0. Tal variedad se dice que es localmente
simetrica. En particular, las variedades de curvatura constante son localmente simetricas.
Un espacio simetrico es aquel en el que a cada punto le esta asociado una isometra cuya diferencial en el
punto es la opuesta de identidad. Bajo restricciones topologicas todo espacio localmente simetrico es simetrico.
3.1 Campos de Jacobi
Si es una geodesica, un campo de vectores Y sobre que satisface a la ecuacion diferencial de Jacobi
r rY + R(Y; 0 ) 0 = 0
dt dt
se denomina campo de vectores de Jacobi.
Damos ahora el concepto de variacion geodesica, lo cual nos propocionara un ejemplo de campo de Jacobi.
Una variacion de un segmento de curva de : [a; b] ! M es una aplicacion biparametrica
: [a; b]] ; [ ! M;
(t; s) 7! (t; s);
tal que (t; 0) = (t); a t b.
Las curvas t{parametricas de una variacion se denominan longitudinales, y las s{parametricas curvas transversales. A se le denomina curva base de la variacion.
El campo de vectores V sobre dado por V (t) = 0s(t; 0) se denomina campo de vectores variacion (cada
V (t) es el vector tangente en s = 0 a la curva transversal s 7! (t; s)).
Por variacion geodesica se entiende una variacion en la que todas las curvas longitudinales son geodesicas.
Proposicion 3.1.1 El campo de vectores variacion de una variacion geodesica es un campo de Jacobi.
Demostracion.- Sean una geodesica, una variacion geodesica de y V = 0s el campo de vectores
0
variacion. Ya que las curvas longitudinales son geodesicas resulta que r@tt = 0, luego por el Ejercicio 87
rV = r0s = r0t ;
dt
@t
@s
0
r rV = r rt = r r0t R(0 ; 0 )0 ;
s t t
dt dt
@t @s
@s @t
r rV
0 0
dt dt + R(V; ) = 0:
As V es un campo de vectores de Jacobi.
55
56
3 Espacios simetricos
Proposicion 3.1.2 Sean una geodesica con (0) = x y u; v 2 Tx (M). Entonces existe un unico campo de
vectores de Jacobi Y sobre tal que
Y (0) = u rdtY (0) = v:
Demostracion.- Sea fE1; : : :; Eng un campo de referencias ortonormal paralelo sobre , y escribimos Y =
n
n
n
X
X
X
Y i Ei, u = ui Ei(0), v = vi Ei (0), entonces las condiciones iniciales se expresan por Y i(0) = ui ,
i=1
i=1
i=1
n
dY i (0) = vi . Ademas, al ser 0 paralelo: 0 = X
ai Ei (ai = cte:).
dt
i=1
La ecuacion de Jacobi es equivalente al sistema lineal de ecuaciones diferenciales
n
d2 Y h + X
h i j k
dt2 i;j;k=1 Rijka Y a = 0 (1 h n);
n
X
donde R(Ej ; Ek)Ei = RhijkEh ; (1 i; j; k n).
h=1
Tal sistema diferencial tiene solucion diferenciable que esta unvocamente determinada por las condiciones
iniciales impuestas.
Corolario 3.1.2.1 El conjunto J de todos los campos de Jacobi sobre una geodesica es un espacio vectorial
de dimension 2n.
Demostracion.- Es consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Jacobi y de la eleccion arbitraria de u
y v en el espacio n{dimensional Tx (M).
La siguiente proposicion relaciona la aplicacion exponencial con los campos de Jacobi.
Proposicion 3.1.3 Sean x0 2 M y v 2 Tx0 (M). Para w 2 Tv (Tx0 (M)), se tiene
(expx0 ) (w) = Y (1);
donde Y es el unico campo de Jacobi sobre la geodesica v tal que Y (0) = 0 y rdtY (0) = w (para lo
cual indenticaremos los espacios vectoriales Tv (Tx0 (M)) Tx0 (M)).
Demostracion.- Consideremos las aplicacion biparametrica en Tx0 (M)
e(t; s) = t(v + sw):
e: [0; 1]] ; [ ! Tx0 (M);
Entonces
: [0; 1]] ; [ ! M;
(t; s) = expx0 (t(v + sw)) = v+sw (t)
es una variacion geodesica de v : [0; 1] ! M.
As el campo de vectores variacion
Y (t) = 0s(t; 0) = (expx0 ) (e0s (t; 0))
es un campo de Jacobi sobre v .
La curva s 7! (0; s) es constante en x0, entonces Y (0) = 0s(0; 0) = 0.
Por el Ejercicio 87:
rY (0) = r0s (0; 0) = r0t (0; 0):
dt
@t
@s
Ahora s 7! 0t(0; s) = v+sw, es un campo de vectores sobre la curva constante x0. Entonces, para cualquiera
0
que sea s, r@st (0; s) = w. En particular, rdtY (0) = w.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
3.2 Variedades locamente simetricas
57
3.2 Variedades locamente simetricas
Denicion 3.2.1 Una variedad semi{riemanniana M se dice que es localmente simetrica si su tensor curvatura
es paralelo; esto es, rR = 0.
Proposicion 3.2.1 La siguientes condiciones son equivalentes sobre una variedad semi{riemanniana M.
1. M es locamente simetrica.
2. Si X; Y; Z son campos de vectores paralelos sobre una curva , entonces el campo de vectores
R(X; Y )Z sobre tambien es paralelo.
3. La curvatura seccional es invariante bajo el transporte paralelo; esto es, la curvatura seccional de
un plano tangente no degenerado permanece constante cuando se traslada paralelamente a lo
largo de la curva .
Demostracion.- Por simplicidad supongamos que la curva es regular.
1) ) 2) Fijado un punto arbitrario en (sea (0)), existen campos de vectores V; X; Y ; Z en un entorno
de (0) en M, tales que
V (t) = 0(t);
X (t) = X(t);
Y (t) = Y (t);
Z (t) = Z(t):
Ya que rR = 0,
rV R (X; Y )Z = rV (R(X; Y )Z) R(rV X; Y )Z R(X; rV Y )Z R(X; Y )rV Z = 0:
Ahora bien evaluando en t = 0,
rV X
(0) =
rX (0) = rX (0) = 0:
dt
dt
Y analogamente para Y y Z. Entonces
r R(X; Y )Z (0) = r
0 (0) R(X; Y )Z = 0:
dt
2) ) 1) Si u; v1; v2; v3 2 Tx (M), sean X; Y; Z campos de vectores paralelos sobre u , obtenidos por
transporte paralelo de v1 ; v2; v3, respectivamente. Entonces
Y )Z (0) = 0:
(ru R) (v1 ; v2)v3 = rR(X;
dt
2) ) 3) Sea (0) un plano tangente no degenerado en (0), X e Y campos de vectores paralelos sobre tales que fX(0); Y (0)g forman una base de (0). As fX(t); Y (t)g es una base de (t), transporte paralelo de
(0) a lo largo de .
Entonces, g(R(X; Y )X; Y ) y Q(X; Y ) = g(X; X)g(Y; Y ) g(X; Y )2 son constantes a lo largo de , y, por
tanto, la curvatura seccional de (t) es constante.
3) ) 2) Supongamos dada una curva : I ! M, con (0) = x. Basta demostrar que si X; Y; Z; W son
campos de vectores paralelos sobre , entonces g(R(X; Y )Z; W) es constante.
Fijado t 2 I, denimos la aplicacion
F: Tx(M)4 ! IR
F(Xx ; Yx ; Zx; Wx ) = g(R(X; Y )Z; W)(t)
donde X; Y; Z; W son campos paralelos sobre obtenidos a partir de Xx ; Yx ; Zx ; Wx.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
58
3 Espacios simetricos
Ya que Q(X; Y ) es constante, de 3) se deduce
F(Xx ; Yx ; Xx; Yx ) = K(X(t); Y (t)) = K(X ; Y );
x x
Q(Xx ; Yx)
para todo Xx ; Yx generando un plano tangente no degenerado. Es facil ver que F cumple las propiedades de la
Proposision 1.10.2 de la pagina 24, se sigue entonces que
F(Xx ; Yx ; Zx; Wx ) = gx (R(Xx ; Yx)Zx ; Wx ):
As g(R(X; Y )Z; W) es independiente de t.
Corolario 3.2.1.1 Una variedad semi{riemanniana de curvatura seccional constante es localmente simetrica.
Demostracion.- Es obvia utilizando el criterio 3) de la proposicion precedente.
Nota 3.2.1 El producto semi{riemanniano de variedades localmente simetricas es igualmente localmente simetrico, pero no necesariamente de curvatura constante (aunque los factores lo sean (excluyendo las llanas)).
Consideremos ahora M y M variedades semi{riemannianas de la misma dimension e ndice y sea x0 2 M; x0 2
M. Nuestro proposito es encontrar las condiciones bajo las cuales una isometra lineal dada de Tx0 (M) en Tx0 (M)
es la aplicacion diferencial de una isometra denida sobre algun entorno normal de x0.
Denicion 3.2.2 Sea `: Tx0 (M) ! Tx0 (M) una isometra lineal y sea U un entorno de x0 en M tal que expx0
esta denida sobre el conjunto `(expx01 (U )). Entonces la aplicacion
` = expx0 ` expx01 : U ! M
se le denomina aplicacion polar de ` sobre U .
Nota 3.2.2 La aplicacion polar siempre existe para U sucientemente peque~no.
Las dos primeras propiedades siguientes demuestran que si la isometra buscada existe, debe ser la aplicacion
polar de `.
Proposicion 3.2.2 Sea `: Tx0 (M) ! Tx0 (M) una isometra lineal y ` su correspondiente aplicacion polar.
Entonces:
1. ` enva geodesicas radiales en geodesicas radiales; esto es, si v 2 Tx0 (M); ` v = `(v) (donde
ambos miembros esten denidos).
2. (` ) (x0) = `.
3. Si el entorno normal U es sucientemente peque~no, ` es un difeomorsmo sobre un entorno normal
de x0 en M.
4. Si M es completa, ` esta denida sobre todo entorno normal de x0 2 M.
Demostracion.- 1) Ya que v (t) = expx0 (tv), se sigue para todo t, tal que v (t) 2 U , que
` (v (t)) = expx0 (`(tv)) = expx0 (t`(v)) = `(v) (t):
2) Si v 2 Tx0 (M), entonces por 1)
(` ) (v) = (` ) (v0 (0)) = (` v )0(0) = `0 (v) (0) = `(v):
3) Si U es sucientemente peque~no, `(U ) esta contenido en un entorno normal de x0 2 M. Entonces expx0
es un difeomorsmo de Ve = `(expx01(U )) sobre un entorno normal U de x0 2 M. As ` : U ! U es composicion
de difeomorsmos.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
3.2 Variedades locamente simetricas
59
4) Finalmente, ya que expx0 esta denida sobre todo Tx0 (M), ` esta denida sobre todo entorno normal de
x0 2 M.
Sabemos que la diferencial de una isometra conserva la curvatura; esto es, si es una isometra de M en M,
(R(u; v)w) = R( (u); (v)) (w):
Luego si ` es la diferencial en x de una isometra, conserva la curvatura; esta condicion necesaria es tambien
suciente:
Teorema 3.2.1 Sea M y M variedades semi{riemannianas localmente simetricas, y sea `: Tx0 (M) ! Tx0 (M)
una isometra lineal que conserva la curvatura. Entonces:
1) Si U es un entorno normal sucientemente peque~no de x0, existe una unica isometra : U ! U
(U entorno normal de x0) tal que ( )x0 = `.
2) Si M es completa, entonces para todo entorno normal U de x0 , existe una unica isometra local
: U ! M tal que ( )x0 = `.
Demostracion.- La unicidad surge, en ambos casos, de la Proposicion 1.12.2 (pagina 30).
Por la proposicion precedente, la existencia, en ambos casos, se sigue si toda aplicacion polar ` : U ! M es
una isometra local. As si v 2 Tx (M); x 2 U , debemos probar que
g ((` ) (v); (` ) (v)) = g(v; v):
La idea de la demostracion es usar la Proposicion 3.1.3 (pagina 56), y demostrar que los correspondientes
campos de Jacobi varan de la misma forma en ambas variedades.
a) Sea N el entorno en Tx0 (M) correspondiente al entorno normal U . Existen unos unicos u 2 N y
w 2 Tu (Tx0 (M)) tales que
(expx0 ) (w) = v = Y (1) 2 Tx (M);
donde Y es el unico campo de Jacobi sobre la geodesica u tal que
rY (0) = w 2 T (M) T (T (M)):
Y (0) = 0;
u x0
x0
dt
b) Ahora consideremos la correspondiente situacion en M. Ya que ` es lineal, ` (wu) = `(w)`(u) . Entonces,
por la denicion de aplicacion polar `
(` ) (v) = (expx0 ) (`(w)`(u) ) = Y (1);
donde, como anteriormente, Y es el unico campo de Jacobi sobre `(u) tal que Y (0) = 0 y rdtY (0) = `(w) 2
Tx0 (M) T`(u) (Tx0 (M)).
c) Sean fE1; : : :; Eng y fE 1; : : :; E ng campos de referencias ortonormales paralelos sobre u y `(u) , respectivamente, tales que
`(Ei (0)) = E i(0);
8i 2 f1; : : :; ng:
Ya que ` es isometra lineal, las coordenadas de u y w relativas a los Ei(0) son las mismas que las coordenadas
de `(u) y `(w) relativas a los E i (0).
n
X
Si escribimos Y = Y i Ei, entonces las funciones Y 1; : : :; Y n, satisfacen a un sistema de ecuaciones difei=1
renciales como el de la Proposicion 3.1.2 (pagina 56), con las condiciones iniciales Y (0) = 0 y rdtY (0) = w.
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60
3 Espacios simetricos
Sobre M, poniendo Y =
n
X
Y iE i se tiene las correspondientes ecuaciones diferenciales:
i=1
d2 Y h
dt2
+
n
X
i;j;k=1
Rhijkai Y j ak = 0
(1 h n):
Ademas, como w y `(w) tienen las mismas componentes, las funciones Y 1 ; : : :; Y n e Y 1 ; : : :; Y n , satisfacen
las mismas condiciones iniciales.
d) Armamos que Rhijk = Rhijk en un dominio comun I de u y `(u) .
En efecto, ya que la isometra lineal `, conserva la curvatura, se sigue de nuestra eleccion de los correspondientes campos de referencias que Rhijk (0) = Rhijk(0).
Ya que M es locamente simetrico, se sigue que las funciones g(R(Ej ; Ek )Ei; Eh ) son constantes en I, y por
tanto tambien lo son Rhijk.
Similarmente, Rhijk son constante. De donde el resultado.
e) Las funciones Y i e Y i (1 i n) satisfacen al mismo sistema de ecuaciones diferenciales y a las mismas
condiciones iniciales. Por la unicidad de la solucion Y i = Y i (1 i n).
Entonces
n n
2 X
X
"i Y i (1) = "i Y i (1) 2 = g (Y (1); Y (1)) = g(v; v):
g ( (v); (v)) = g Y (1); Y (1) =
i=1
i=1
Corolario 3.2.2.1 Sea M y M variedades semi{riemannianas con las misma dimension e ndice y la misma
curvatura constante c. Entonces, todo x0 2 M y x0 2 M tienen entornos isometricos.
Demostracion.- Es inmediata, ya que por la Proposicion 1.2.5 (pag. 4) existe una isometra lineal de Tx0 (M)
sobre Tx0 (M) y debe conservar la curvatura.
Nota 3.2.3 Este corolario nos viene a decir que la curvatura constante determina la geometra local. Otra
aplicacion del teorema anterior es explicar el termino \localmente simetrico":
Para x 2 M sea sx la aplicacion polar de la isometra lineal
v 2 Tx (M) 7 ! v 2 Tx (M):
Esto es, si U es un conveniente entorno normal, entonces sx : U ! U es el difeomorsmo
sx (y) = expx ( expx 1 (y));
y2U
Evidentemente sx conserva las geodesicas a traves de x: Si es una geodesica con (0) = x, entonces
sx ((t)) = expx ( expx 1 ((t)) = exp( t 0 (0)) = ( t):
De hecho esta propiedad determina unvocamente a sx (una vez U este especicado).
Denicion 3.2.3 sx se le denomina simetra geodesica local de M en x.
Corolario 3.2.2.2 Las siguientes condiciones sobre una variedad semi{riemanniana son equivalentes:
1) M es localmente simetrica.
2) Si `: Tx (M) ! Ty (M) es una isometra lineal que conserva la curvatura, entonces existe una
isometra entre entornos normales de x e y tal que (x ) = `.
3) En cada punto x 2 M la simetra geodesica local sx es una isometra.
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3.3 Recubrimientos semi{riemannianos
61
Demostracion.-
1) ) 2) Por el Teorema 3.2.1 (pag. 59).
2) ) 3) Tomemos en 2) ` = I: Tx (M) ! Tx (M), isometra lineal que envia cada plano no degenerado
Tx (M) en s mismo; as I conserva la curvatura (pues, conserva las curvaturas seccionales).
Como = I es la isometra aplicacion polar de I, la cual conserva las geodesicas, es decir verica
I (v (t)) = I (v) (t) = v ( t);
la simetra geodesica local sx = I y por consiguiente es una isometra.
3) ) 1) Demostraremos que rR se anula en un punto arbitrario x 2 M. Ya que la isometra geodesica
local sx es una isometra, conserva la curvatura y la derivada covariante, entonces
(rX R)(Y; Z)W = (r X R)( Y; Z)( W) = (rX R)(Y; Z)W;
8X; Y; Z; W 2 Tx (M):
En consecuencia, rR = 0 en x.
3.3 Recubrimientos semi{riemannianos
Denicion 3.3.1 Sean M y Me variedades diferenciables, una aplicacion diferenciable k: Me ! M sobreyectiva,
es una aplicacion recubridora si cada x 2 M tiene un entorno conexo U tal que k 1 (U) es union disjunta
de conjuntos abiertos y k aplica cada componente de k 1 (U) difeomorcamente en U.
e se denomina espacio recubridor (o de recubrimiento) de M.
M
A los abiertos conexos U se les llama abiertos simples del recubrimiento.
Una primera consecuencia de esta denicion es el siguiente:
Lema 3.3.1 Si k: Me ! M es un recubrimiento y M es conexa, entonces el cardinal de k 1 (x) es el mismo para
todo x 2 M.
Demostracion.- Para cada m 1, sea Op = x 2 M=card(k 1(x)) = p , entonces de la denicion de
recubrimiento surge que Op es abierto. En efecto, tenemos que demostrar que todo y 2 Op esta contenido
en un abierto enteramente contenido en Op . Basta tomar un abierto simple U de y. Para todo x 2 U existe
una biyeccion h: k 1(x) ! k 1(y) denida como sigue, sea z 2 k 1 (x) k 1(U) = [i2I Vi (union disjunta de
abiertos Vi , difeomorfos a U). Existe un unico i 2 I tal que z 2 Vi ; sea h(z) el unico elemento de Vi tal que
kjVi (h(z)) = y. Concluimos que U Op . Luego Op es abierto.
Tambien es cerrado pues su complementario M Op es abierto: Si y 2 M Op con card(k 1(y)) = q 6= p,
siguiendo el mismo racionamiento que antes, existe un entorno abierto enteramente contenido en M Op .
Finalmente el resultado se sigue de que M es conexa.
.
Ejemplo 3.3.1 k: IR ! S1 ; t 7! k(t) = (cos t; sen t), es una aplicacion recubridora. Sin embargo, en virtud del
Lema, kjI : I ! S 1 , I intervalo de IR, no lo es.
Denicion 3.3.2 Una aplicacion recubridora semi{riemanniana k: Me ! M es una aplicacion recubridora de
variedades semi{riemannianas que es una isometra local.
Ejemplo 3.3.2
1) k: IR ! S 1 ; t 7! k(t) = (cos t; sen t).
2) El producto de aplicaciones recubridoras semi{riemannianas tambien lo es. As, k k: IR2 ! S 1 S 1
es una aplicacion recubridora del toro por el plano.
3) Si k: M ! N es una aplicacion recubridora de una variedad diferenciable M sobre una variedad semi{
riemanniana N, con tensor metrico g, entonces asignandole a M el tensor metrico k (g), k se convierte en una
aplicacion recubridora semi{riemanniana.
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62
3 Espacios simetricos
El Teorema 3.2.1 de la seccion anterior tiene la siguiente generalizacion:
Teorema 3.3.1 Sean M y M variedades semi{riemannianas locamente simetricas, conexas y completas y su-
pongamos ademas que M sea simplemente conexa.
Si `: Tx0 (M) ! Tx0 (M) es una isometra lineal que conserva la curvatura, existe una unica aplicacion
recubridora semi{riemanniana : M ! M tal que ( )x0 = `.
Omitiremos la demostracion y nos limitaremos a dar algunas consecuencias.
Hablando sin rigor, el teorema arma que una variedad localmente simetrica conexa y completa M esta
determinada salvo recubrimiento semi{riemanniano por su curvatura en un punto.
Lema 3.3.2 Si k: Me ! M es una aplicacion recubridora. Sea : [0; 1] ! M una curva diferenciable y xe0 2 Me
tal que k(xe0) = (0).
Entonces existe una unica curva diferenciable e: [0; 1] ! Me tal que
e(0) = xe0
y
k e = :
Demostracion.- Descompongamos el intervalo [0; 1] en subintervalos Ii tales que si i : Ii ! M (i = jIi ),
i(Ii ) quede en abiertos simples del recubrimiento, Ui M.
Si V es la componente conexa de k 1 (U1 ) que contiene a xe0 , entonces e1 debe ser kjV1 1.
Reiterando el proceso, reemplazando xe0 por el apropiado punto nal de i , construimos e.
Proposicion 3.3.1 Sean k: Me ! M una aplicacion recubridora, : P ! M una aplicacion diferenciable, p0 2 P
y xe0 2 Me tales que (p0 ) = k(xe0). Entonces:
1) Si P es conexa, existe a lo sumo una aplicacion diferenciable e: P ! Me tal que
k e=
y
e(p0) = xe0:
2) Si P es simplemente conexa, e existe.
Demostracion.- La armacion 1) se sigue de la unicidad del lema anterior.
2) Si p 2 P, sea : [0; 1] ! P una curva que une p0 con p ((0) = p0 ; (1) = p) y : [0; 1] ! M la curva en
e con punto inicial xe0, tal que k e = = .
M denida por = . Sea e la unica curva en M
Entonces e(p) = e(1) es la aplicacion buscada.
Enunciamos el siguiente resultado:
Teorema 3.3.2 Toda variedad conexa tiene un recubrimiento simplemente conexo.
Utilizando la ultima proposicion, es facil demostrar que dos recubrimiento simplemente conexos arbitrarios
ki: Mi ! M
(i = 1; 2)
de una misma variedad M son equivalentes, esto es, existe un difeomorsmo : M1 ! M2 tal que k2 = k1 .
As, podemos hablar de \el recubrimiento simplemente conexo" de M (tambien llamado recubrimento universal
de M).
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3.4 Espacios simetricos
63
3.4 Espacios simetricos
Denicion 3.4.1 Un espacio simetrico semi{riemanniano es una variedad semi{riemanniana conexa M, tal que
para cada x 2 M, existe una unica isometra sx : M ! M con aplicacion diferencial I sobre Tx (M).
A la isometra sx se le denomina simetra global de M en x.
Proposicion 3.4.1 Todo espacio simetrico es localmente simetrico.
Demostracion.- Ya que sx transforma las geodesicas a traves de x en s mismas, ella es la extension de una
simetra geodesica local de M en x; con lo que esta ultima es una isometra, y de acuerdo con el Corolario 3.2.2.2
(pag. 60), se tiene el resultado enunciado.
Ejemplon3.4.1
1) IR es simetrico. Ya que para todo p la aplicacion p + x 7! p x, es una isometra.
2) La esfera S n es simetrica. Ya que para cada p 2 S n , sp es la simetra en el espacio eucldeo en el sentido
usual respecto a la recta en IRn+1 que pasa por p y p.
3) Toda hipercuadrica conexa es simetrica. Como se sigue de la Proposicion 2.5.14 (pag.46), tomando en
vez la referencia ff1 ; : : :; fng la f e1 ; : : :; eng.
4) Posteriormente veremos espacios simetricos con curvatura no constante.
Nota 3.4.1 Una variedad localmente simetrica no necesariamente es completa, ya que toda subvariedad abierta
de una variedad localmente simetrica tambien es localmente simetrica.
No obstante, se tiene el siguiente resultado:
Proposicion 3.4.2 Un espacio simetrico semi{riemanniano es completo.
Demostracion.- Para demostrar que una geodesica : [0; b[ ! M es prolongable, elegimos c cerca de b en un
intervalo, y sea s (c) la simetra global en (c). Ya que s (c) enva geodesicas a traves de (c) en s mismas, una
reparametrizacion de s (c) da la extension requerida.
Proposicion 3.4.3 Una variedad semi{riemanniana localmente simetrica, simplemente conexa y completa es
simetrica.
Demostracion.- Por la proposicion anterior la completitud es necesaria.
En todo punto x 2 M la isometra lineal I: Tx(M) ! Tx (M) conserva la curvatura; as, aplicando el
Teorema 3.3.1 (pag. 62), se obtiene una aplicacion recubridora semi{riemanniana : M ! M tal que ( )x = I.
Ya que M es simplemente conexa, es un difeomorsmo de M sobre M; esto surge de la Proposicion 3.3.1
e = M; = 1M; k = , resultando entonces que existe una unica aplicacion
(pag. 62), poniendo P = M; M
e
diferenciable : M ! M tal que e = 1M . Por tanto es una isometra.
3.5 Espacios forma simplemente conexos
Denicion 3.5.1 Un espacio forma es una variedad semi{riemanniana conexa y completa de curvatura constante.
Proposicion 3.5.1 Dos espacio forma simplemente conexos son isometricos si y solo si tienen la misma dimension, ndice y curvatura c.
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64
3 Espacios simetricos
Demostracion.- Obviamente la condicion es necesaria.
Para el inverso, notese que, ya que curvatura constante implica (Corolario 3.2.1.1, pag. 58) localmente
simetrico, por la Proposicion 3.4.3 los espacios forma simplemente conexos son simetricos.
Supongamos que M y N son espacios formas simplemente conexos con la misma dimension e ndice. Entonces
estas ultimas condiciones implican (Proposicion 1.2.5, pag. 4) que existe una isometra lineal de Tx (M) en Ty (N).
Y por el Teorema 3.3.1 (pag. 62), existe un recubrimiento semi{riemanniano M ! N, el cual, ya que N es
simplemente conexo y por analogo razonamiento al de la demostacion de la Proposicion 3.4.3, es entonces una
isometra.
Esta ultima proposicion nos permite armar que, salvo isometras, existe a lo sumo un espacio simplemente
conexo M(n; ; c) de dimension n, ndice y curvatura c.
Corolario 3.5.1.1 El espacio forma simplemente conexo M(n; ; c) es isometico a:
IR1
n=1 0n
c=0
n
IR
n2 0n
c=0
n
S (r) n 2 0 n 2 c = r12
Hn(r) n 2 2 n c = r12
C (Snn (r)) n 2
=n
c = r12
H n(r) n 2
=0
c = r12
n
S]
=n 1
c = r12
n 1(r) n 2
g
H1n(r) n 2
=1
c = r12
donde denotamos con tilde el recubrimiento universal, por C (Snn (r)) una componente conexa de Snn (r)
y por H n (r) una de las componentes conexas del espacio hiperbolico H0n(r) IRn1 +1 .
Demostracion.- Para n = 1, toda variedad semi{riemanniana es trivialmente llana, entonces M(1; ; 0) es
llana, conexa y completa y por el Ejercicio 100, la aplicacion expx0 : Tx0 (M) ! M es un recubrimiento semi{
riemanniano. Teniendose: Tx0 (M) ' IR1 (o IR11).
Para los tres siguientes basta observar que Sn (r) ' S n IR ' Hnn (r) y estos espacios forma son
simplemente conexos.
Nota 3.5.1 Ya nque IRn es el recubrimiento (simplemente conexo) de S1 IRn 1, los cuatro ultimos tipos son
difeomorfos a IR
Corolario 3.5.1.2 Una variedad de Riemann n{dimensional, completa, simplemente conexa y de curvatura
constante c es isometrica a
la esfera S n (r) si c = r12
el espacio eucldeo IRn si c = 0
el espacio hiperbolico H n (r) si c = r12 .
Corolario 3.5.1.3 Una variedad de Lorentz n{dimensional completa simplemente conexa y de curvatura constante c es isometrica a
S1n (r)
Sf12 (r)
el espacio de Minkowski IRn1
g
H1n(r)
la esfera de Lorentz
si c = r12 n 3
si c = r12 n = 2
si c = 0
si c = r12 n 2
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3.6 Espacios semi{riemannianos homogeneos
65
Ejemplo 3.5.1 Un modelo de g
H1n
H1n puede ser considerado como una supercie de revolucion en IRn2 +1 = IR22 IRn 1. Desarrollando los
crculos de revolucion obtenemos una aplicacion recubridora
p
p
k: IR1 IRn 1 ! H1n
k(t; x) = ( 1+ < x; x > cos t; 1+ < x; x > sen t; x)
Dotado con la metrica \pull{back" o imagen recproca, IRn se convierte en un espacio recubridor semi{
riemanniano simplemente conexo de H1n, que denotamos por g
H1n.
La geometra de este modelo puede ser descrita a partir de la de H1n a traves de la aplicacion k.
3.6 Espacios semi{riemannianos homogeneos
Denicion 3.6.1 Una accion de un grupo de Lie G sobre una variedad diferenciable M es una aplicacion
diferenciable : G M ! M, denotada por
(a; x) = ax
8a 2 G; 8x 2 M
tal que
1) (ab)x = a(bx)
8a; b 2 G; 8x 2 M.
2) ex = x
8x 2 M
(e elemento neutro de G).
Nota 3.6.1 Para una accion dada, si se ja a 2 G, entonces la aplicacion a : M ! M; x 7! a (x) = ax 2 M es
un difeomorsmo con inverso a 1 = a 1 .
Denicion 3.6.2 Una accion G M ! M se dice que es transitiva si cada x; y 2 M, existe una a 2 G, tal que
ax = y.
Ejemplo 3.6.1 GL(n; IR) IRn ! IRn; (A; x) 7! Ax, nconsiderando x como una matriz columna y Ax el
producto de matrices, es una accion de GL(n; IR) sobre IR . Pero no es transitiva, ya que A0 = 0, para todo
A 2 GL(n; IR).
Denicion 3.6.3 Si G M ! M es una accion y x0 2 M, entonces,
H = fa 2 G=ax0 = x0 g
es un subgrupo cerrado de G, denominado subgrupo de isotropa de x0.
La diferencial del automorsmo interior ja : G ! G; x 7! ja (x) = axa 1 la denotamos por ad a = (ja ) . La
aplicacion ad: G ! Aut(G); a 7! ad a se llama representacion adjunta, su diferencial induce una aplicacion que
se denotada por Ad: G ! End(G); X 7! Ad X, vericando Ad X Y = [X; Y ].
Teorema 3.6.1 ([8, pag. 46]) Sea M una variedad semi{riemanniana, I(M) el grupo de isometras de M,
entonces existe una unica estructura de variedad diferenciable sobre I(M), tal que
1) I(M) es un grupo de Lie.
2) La aplicacion natural I(M) M ! M; (; x) 7! (x); es una accion de I(M) sobre M. Denicion 3.6.4 Una variedad semi{riemanniana M es homogenea (o espacio semi{riemanniano homogeneo)
si el grupo de isometras actua transitivamente sobre sobre M.
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66
3 Espacios simetricos
Nota 3.6.2 Si M es un espacio semi{riemanniano homogeneo, entonces toda propiedad geometrica en un punto
de M se verica en todo otro punto.
Para demostrar que una variedad semi{riemanniana es homogenea es suciente encontrar isometras que
lleven algun jo en todo punto (o viceversa).
Proposicion 3.6.1 Un espacio simetrico semi{riemanniano es un espacio semi{riemanniano homogeneo.
Demostracion.- Sea : [0; 1] ! M una gedesica. La simetra global s (1=2) es una isometra que enva el punto
(0) en (1). Ya que los espacios simetricos son conexos por denicion, todo par de puntos x; y 2 M, pueden
unirse por una geodesica quebrada. As un numero nito de composiciones de isometras como la de arriba da
la isometra que envia x en y.
Proposicion 3.6.2 Un espacio de Riemann homogeneo es completo.
Demostracion.- Es suciente demostrar que una geodesica con tangente unitaria : [0; b[ ! M tiene una
extension geodesica mas alla de b. La existencia de un entorno Bx0 (") normal (ver Apendice B, pag. 93)
demuestra, en el caso riemanniano, que para todo x0 2 M existe un " tal que toda geodesica de tangente
unitaria en x0 esta denida sobre [0; "[. Si es una isometra enviando x0 en (b "2 ), existe un unico vector
v 2 Tx0 (M) tal que (v) = 0 (b 2" ). En consecuencia, la geodesica v de una extension de .
Proposicion 3.6.3 Un espacio semi{riemanniano homogeneo no es necesariamente completo.
Demostracion.- Sea M el semiplano derecho M = f(u; v) 2 IR2 =u > 0g con tensor metrico g 2du dv. M es
un espacio semi{riemanniano homogeneo, en efecto:
Tomemos (1; 0) 2 M, y veamos que para cualquier otro punto (a; b) existe una isometra que lleva (a; b) en
(1; 0). Para cada (a; b), la aplicacion : M ! M;
(u; v) = ( ua ; av), envia (a; b) en (1; ab). La isometra
: M ! M;
(u; v) = (u; v ab), envia (1; ab) en (1; 0). Con lo que M es un espacio semi{riemanniano
homogeneo.
Pero M no es completo ya que claramente la geodesica (t) = (t; 0) tiene como dominio maximo IR+ . Nota 3.6.3 Si una variedad de Riemann es compacta u homogenea, es completa; pero ninguna de estas condiciones en solitario son sucientes para el caso de metricas indenidas. Sin embargo ambos juntos si son
sucientes (Ejercicio 129):
Proposicion 3.6.4 (Marsden) Una variedad semi{riemanniana homogenea y compacta es completa. 3.7 Metricas bi{invariantes sobre grupos de Lie
Denicion 3.7.1 Sea H un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G. Un objeto denido sobre el algebra de Lie
G de G es ad(H){invariante si se conserva por ad(h): G ! G; 8h 2 H.
Proposicion 3.7.1 Si una forma bilineal simetrica B sobre G es ad(H){invariante, entonces
B([X; Z]; Y ) = B(X; [Z; Y ]);
8X; Y 2 G; 8Z 2 H:
Demostracion.- Por polarizacion la formula a establecer es equivalente a
B([Z; X]; X) = 0;
8X 2 G; 8 Z 2 H:
Sea : IR ! H el subgrupo uniparametrico asociado a Z. Denimos la aplicacion
f: IR ! IR
f(t) = B(ad((t))X; ad((t))X):
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3.7 Metricas bi{invariantes sobre grupos de Lie
67
Entonces
f 0 (0) = B(ad (0 (0))X; X) + B(X; ad (0 (0))X) = B(Ad Z X; X) + B(X; Ad Z X) = 2B([Z; X]; X):
Como B es ad(H){invariante, f es constante y por tanto, f 0 (0) = 0. Es decir
B([Z; X]; X) = 0:
Nota 3.7.1 El resultado recproco se tiene cuando H es conexo.
Denicion 3.7.2 Una metrica invariante a la izquierda sobre un grupo de Lie G es una metrica sobre G tal que
las traslaciones a la izquierda La : G ! G (La (b) = ab) son isometras.
Proposicion 3.7.2 Una metrica invariante a al izquierda sobre un grupo de Lie G es virtualmente un producto
escalar sobre el algebra de Lie G de G (o producto escalar sobre Te (G)).
Demostracion.- En efecto, si g es un tensor metrico invariante a la izquierda sobre G, entonces g(X; Y ) es
constante para todo X; Y 2 G, por tanto dene un producto escalar en G.
Recprocamente, si < ; > es un producto escalar en Te (G), denimos
ga (Xa ; Ya ) =< (La 1 ) (Xa ); (La 1 ) (Ya ) >;
8Xa ; Ya 2 Ta (G):
La cual es uma metrica invariante a la izquierda sobre G.
Denicion 3.7.3 Una metrica sobre un grupo de Lie G que es invariante a la izquierda e invariante a la derecha
(La : G ! G; Ra : G ! G son isometras, 8a 2 G), se denomina bi{invariante.
Proposicion 3.7.3 Sea G un grupo de Lie conexo dotado de un tensor metrico invariante a la izquierda g.
Entonces las siguientes armaciones son equivalentes:
1. g es invariante a la derecha (bi{invariante).
2. g es ad(G){invariante.
3. La aplicacion J: G ! G; a 7! a 1 es una isometra.
4. g(X; [Y; Z]) = g([X; Y ]; Z); 8X; Y; Z 2 G.
5. rX Y = 21 [X; Y ]; 8X; Y 2 G.
6. Las geodesicas de G partiendo de e son subgrupos uniparametricos de G.
Demostracion.- 1) , 2) Es inmediata, ya que ja = La Ra 1 y (La ) jG = 1G . Entonces
g(ad(a)X; ad(a)Y ) = g(La Ra 1 X; La Ra 1 Y ) = g(Ra 1 X; Ra 1 Y ) = g(X; Y ):
Y tambien, recprocamente:
g(Ra X; Ra Y ) = g(Ra La 1 X; Ra La 1 Y ) = g(ad(a 1 )X; ad(a 1)Y ) = g(X; Y ):
1) ) 3) J (e) = I.
En efecto, si es un subgrupo de un parametro de G, J((t)) = (t) 1 = ( t). Si a 2 G; J =
Ra 1 J La 1 , resulta entonces que
J (a): Ta(G) ! Ta 1 (G) es (Ra 1 ) J (e) (La 1 )
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68
3 Espacios simetricos
3) ) 1)
g((Ra ) X; (Ra) Y ) = g((J La
1 J) X; (J La 1 J) Y ) = g((La 1 J) X; (La 1 J) Y ) =
= g(J X; J Y ) = g(X; Y ):
2) , 4) Situacion particular de la Proposicion 3.7.1.
4) ) 5) Por la formula de Koszul (1.5.3), que determina la conexion:
2g(rX Y; Z) = Xg(Y; Z) + Y g(Z; X) Zg(X; Y ) g(X; [Y; Z]) + g(Y; [Z; X]) + g(Z; [X; Y ]);
como g(Y; Z) = cte: y por 4) g(X; [Y; Z]) = g([Z; X]; Y ), resulta
2g(rX Y; Z) = g([X; Y ]; Z) es decir
5) ) 4)
rX Y = 12 [X; Y ]:
g(X; [Y; Z]) = 2g(X; rY Z) = 2g(rY X; Z) = g([Y; X]; Z) = g([X; Y ]; Z):
5) ) 6) Por polarizacion 5) equivale a rX X = 0; 8X 2 G.
Sea el subgrupo uniparametrico de X. Entonces
r0 = r X = 0:
X j
dt
Luego, es una geodesica.
6) ) 5) Si es una geodesica, entonces rX Xj = 0, siendo X el campo de vectores sobre tal que
0(0) = Xe . Por traslaciones a la izquierda que son isometras, resulta rX X = 0.
Denicion 3.7.4 Decimos que un grupo de Lie G es un grupo semi{riemanniano si esta dotado de un metrica
bi{invariante.
Corolario 3.7.3.1 Un grupo semi{riemanniano G es un espacio simetrico. En particular, es completo.
Demostracion.- Es consecuencia de 3) en la proposicion anterior: La aplicacion J es una isometra global en
e; y, as, La J La 1 es una simetra en a 2 G.
Corolario 3.7.3.2 Si G es un grupo semi{riemanniano:
1. R(X; Y )Z = 41 [[X; Y ]; Z]; 8X; Y; Z 2 G.
2. Si X e Y generan un plano no degenerado en G, entonces
g([X; Y ]; [X; Y ])
K(X; Y ) = 41 g(X; X)g(Y;
Y ) g(X; Y )2 :
Demostracion.- 1) Ya que rX Y = 21 [X; Y ]
R(X; Y )Z = rX rY Z rY rX Z
= 41 [X; [Y; Z]] 14 [Y; [X; Z]]
r[X; Y ]Z = 21 rX [Y; Z] 12 rY [X; Z] 21 [[X; Y ]; Z] =
1
2 [[X; Y ]; Z]:
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3.8 Espacios homogeneos como cociente de grupos
69
Teniendo en cuenta la Identidad de Jacobi:
[X; [Y; Z]] + [Y; [Z; X]] + [Z; [X; Y ]] = 0;
resulta
R(X; Y )Z = 41 [Z; [X; Y ]] 21 [[X; Y ]; Z] = 41 [[X; Y ]; Z]:
2) Por 4) de la proposicion anterior y por la primera parte de este corolario
g(R(X; Y )X; Y ) = 14 g([[X; Y ]; X]; Y ) = 41 g([X; Y ]; [X; Y ]):
Denicion 3.7.5 La la forma de Killing de un algebra de Lie g es la aplicacion
B(X; Y ) = traza(Ad X Ad Y ); X; Y 2 g:
Corolario 3.7.3.3 Si G es un grupo semi{riemanniano, tenemos las siguientes relaciones relativas al curvatura
seccional K y al tensor de Ricci S:
1. Si G es abeliano, entonces K = 0.
2. Si la metrica es riemanniana, entonces K 0.
3. SjG = 14 B.
3.8 Espacios homogeneos como cociente de grupos
Veamos en lo queda de este tema como un espacio simetrico (variedad semi{riemanniana simetrica) puede
ser construido a partir de grupos de Lie y por consiguiente su geometra descrita en terminos de algebras de Lie.
As, por ejemplo, en ciertos casos, podemos determinar la curvatura y las geodesicas mediante calculo matricial.
Sea H un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G y sea G/H el conjunto de clases a la izquierda de G
G=H = fa = aH = a 2 Gg
Denimos a : G=H ! G=H a (b) = ab. Se verica La = a y ab = a b , donde : G ! G=H es la
proyeccion canonica.
Enunciamos el siguiente resultado que garantiza la existencia de una estructura diferenciable sobre G/H,
cuando H es cerrado:
Proposicion 3.8.1 Si H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G, existe una unica estructura de variedad
diferenciable sobre G/H, tal que la proyeccion : G ! G=H es una submersion.
Denicion 3.8.1 La variedad G/H as construida se denomina variedad homogenea (o espacio homogeneo).
Nota 3.8.1 La aplicacion : G G=H ! G=H (a; bH) 7! abH, es una accion de G sobre G/H, denominada accion
natural de G sobre G/H, la cual es transitiva.
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70
3 Espacios simetricos
Veremos ahora que toda accion transitiva sobre una variedad M permite considerar a esta como un espacio
homogeneo.
Si G M ! M es una accion y x0 2 M, el subgrupo de isotropa de x0, H = fa 2 G=ax0 = x0g es cerrado,
existe entonces una aplicacion natural del espacio homogeneo G/H sobre M que envia cada clase aH en el
punto ax0 . Esta aplicacion esta bien denida, pues
a = b ) b 1a 2 H ) b 1ax0 = x0 ) ax0 = bx0:
Y tenemos el siguiente resultado (cuya demostacion, as como la de la proposicion anterior puede verse por
ejemplo en [12, 17]):
Proposicion 3.8.2 Sea G M ! M una accion transitiva y H el grupo de isotropa de un punto x0 2 M.
Entonces la aplicacion natural
a 7! ax0:
: G=H ! M;
es un difeomorsmo.
Ejemplo 3.8.1 Las esferas como espacios homogeneos:
1.
2.
3.
S n = SO(n + 1)=SO(n) = O(n + 1)=O(n).
S 2n+1 = SU(n + 1)=SU(n) = U(n + 1)=U(n).
S 4n+3 = Sp(n + 1)=Sp(n).
El espacio proyectivo como espacio homogeneo:
4. P n 1(IR) = SO(n)=O(n 1).
Las variedades grassmannianas reales:
5. Gpq el conjunto de los p{subespacios orientados de un espacio vectorial n{dimensional (n = p + q)
Gpq = O(n)=O(p) O(q):
3.9 Espacios homogeneos reductivos
Denicion 3.9.1 Si un grupo de Lie G actua sobre una variedad M, un tensor metrico sobre M se dice que es
G{invariante si, para cada a 2 G, el difeomorsmo x 2 M 7! ax 2 M es una isometra.
Nota 3.9.1
Cuando la accion es transitiva, tal metrica convierte a M en espacio semi{riemanniano homogeneo.
No es difcil demostrar que todo espacio semi{riemanniano homogeneo puede ser expresado como un
espacio homogeneo M=G/H con metrica G{invariante. La geometra de M puede entonces ser descrita en
terminos de la teora de grupos de Lie.
Denicion 3.9.2 Un espacio homogeneo M=G/H es reductivo si existe un subespacio m G ad(H){invariante
que es complementario de H en G. Se dice que m es un subespacio de Lie para G/H
Nota 3.9.2
Aunque G = m H, m no es necesariamente cerrado respecto al corchete como lo es H.
Si m es un subespacio de Lie para G/H entonces [H; m] m.
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3.9 Espacios homogeneos reductivos
71
Proposicion 3.9.1 Si M=G/H es un espacio homogeneo y : G ! G=H es la proyeccion canonica y x0 = (e),
entonces
jm: m ! Tx0 (M)
es un isomorsmo lineal.
Demostracion.- H Te (H) Te (G) G, tenemos (H) = 0.
Ya que : G ! M es una submersion, es sobre. Luego, teniendo en cuenta las dimesiones, jm es un
isomorsmo.
Proposicion 3.9.2 Sea M=G/H un espacio homogeneo reductivo con subespacio de Lie m. Existe una correspondencia biyectiva entre las metricas semi{riemannians G{invariantes sobre M y las formas bilineales
simetricas no degeneradas ad(H){invariantes sobre m.
Tal correspondencia esta dada por
8X; Y 2 m
B(X; Y ) = g0 (X; Y )
donde X e Y son las imagenes de X e Y mediante el isomorsmo jm .
Demostracion.- Sea B una forma bilineal simetrica no degenerada ad(H){invariante sobre m.
Todo x 2 M es de la forma x = a (x0), para algun a 2 G.
Denimos la forma bilineal simetrica no degenerada
g x: Tx (M) Tx (M) ! IR;
gx (u; v) = B(X; Y )
siendo u; v 2 Tx (M) y X; Y 2 m tales que jm (X) = (a 1 ) (u); jm (Y ) = (a 1 ) (v):
Esta denicion es independiente de a, pues si a0 x0 = x, resulta que a0 1ax0 = x0 , es decir a0 1a 2 H, por
tanto si
X 0 ; Y 0 2 m tales que jm (X 0 ) = (a0 1 ) (u); y jm (Y 0 ) = (a0 1 ) (v);
se tiene
B(X; Y ) = B ad(a0 1a)X; ad(a0 1a)Y =
= B ( jm) 1 (a0 1 a ) jm (X); ( jm) 1 (a0 1 a ) jm (Y ) =
= B (jm) 1 (a0 1 ) (u) ; (jm ) 1 (a0 1 ) (v) = B(X 0 ; Y 0 );
en virtud de que, si h 2 H, la comutatividad del primer diagrama siguiente implica la comutatividad del
diagrama segundo
G
jh
! G
#
! M
m
ad(h)
!
m
# jm:
jm #
#
h
(
)
h
M
! Tx0 (M)
Tx0 (M)
La forma bilineal g, as denida, es G{invariante: Si b 2 G; u; v 2 Tx (M) y ax = x0 (a 2 G), se tiene
b g)(u; v) = gbx (b ) (u); (b) (v) =
= B jm1 (ab 1 ) (b ) (u); jm1 (ab 1 ) (b ) (v) = gx (u; v):
Recprocamente, sea g una metrica semi{riemanniana G{invariante sobre M=G/H. Denimos la forma bilineal
B: m m ! IR
B(X; Y ) = g x0 jm(X); jm (Y ) :
B es ad(H){invariante:
B(ad(h)X; ad(h)Y ) = B ( 1 jm (h ) jm (X); ( 1 jm (h ) jm (Y ) =
= g x0 (h ) jm (X); (h ) jm (Y ) = gh 1 x0 jm (X); jm (Y ) = B(X; Y ):
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72
3 Espacios simetricos
La idea es tratar la geometra de los espacios homogeneos G/H como una generalizacion de la geometra
de los grupos de Lie (ya que G/H se reduce a G cuando H = feg). Desde este punto de vista el isomorsmo
m Tx0 (M) canonico generaliza el isomorsmo canonico G Te (G) y una metrica G{invariante sobre G/H
generaliza una metrica invariante a la izquierda sobre G.
La nocion de metrica bi{invariante se generaliza como sigue:
Denicion 3.9.3 Un espacio naturalmente reductivo es un espacio homogeneo reductivo M=G/H dotado de
una metrica G{invariante g tal que
B(X; [Z; Y ]m ) = B([Z; X]m ; Y );
X; Y; Z 2 m;
sindo B la forma bilineal simetrica no degenerada ad(H){invariante sobre el subespacio de Lie m,
correspondiente a g. El subndice m indica la componente en m respecto a la descomposicion G = m H.
Se trata en efecto de una generalizacion, pues para H = feg; m = G y esta formula es la condicion 4) de la
Proposicion 3.7.3.
Para determinar las geodesicas y curvatura de un espacio homogeneo naturalmente reductivo G/H en funcion
de las geodesicas y curvatura de G, usaremos la submersion : G ! G=H.
El subespacio de Lie m tiene un producto escalar; extendemos este a G = H m, eligiendo un producto escalar
en H y deniendo un producto escalar en G tal que H ? m. Este producto escalar en G dota a G de una metrica
invariante a la izquierda g para la cual los elementos de H son verticales (tangentes a las bras) y los elementos
de m son horizontales (normales a las bras). Con esta metrica en G y con la metrica g (G{invariante en G/H
correspondiente al producto escalar ad(H){invariante en m) : G ! G=H es una submersion semi{riemanniana.
Proposicion 3.9.3 Si M = G=H es un espacio homogeneo naturalmente reductivo, sus geodesicas partiendo
de x0 = (e), estan dadas por
(X ) (t) = (t) (x0) = ((t));
8t 2 IR;
donde es un subgrupo uniparamerico de X 2 m y (t) : G=H ! G=H es el difeomorsmo natural,
asociado a la traslacion a la izquierda L(t): G ! G.
Demostracion.- Recordemos que jm : m ! Tx0 (M) es un isomorsmo. Entonces para encontar las geodesicas
partiendo de x0, solo tenemos que demostrar que, para todo X 2 m, el subgrupo uniparametrico asociado a
X en G es una geodesica y su proyeccion sobre M tambien lo es.
Esto ultimo es inmediato, pues
r( )0 = r X (1)
X j = (rX Y )j = 0
dt
donde r es la conexion en M=G/H correspondiente a la metrica G{invariante, X = (X) y r la conexion en
G.
Probar que es una geodesica, por la Proposicion 3.7.3, es equivalente a probar que
rX Y = 12 [X; Y ];
8X; Y 2 m:
Para ello, si X; Y 2 m; W 2 G, la formula de Koszul (1.5.3)
2g(rX Y; W ) = Xg(Y; W ) + Y g(W; X) Wg(X; Y ) g(X; [Y; W ]) + g(Y; [W; X]) + g(W; [X; Y ]);
(1) Esta igualdad surge de que sobre campos de vectores horizontales el producto escalar se conserva y adem
as conserva el
corchete. Y haciendo uso de la formula de Koszul
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3.9 Espacios homogeneos reductivos
73
queda, si W 2 m, por la denicion de naturalmente reductivo
2g(rX Y; W ) = B(X; [Y; W ]m ) + B(Y; [W; X]m) + g([X; Y ]; W ) = g([X; Y ]; W ):
Y si W 2 H, como B es ad(H){invariante (B(X; [Y; W ]) = B(Y; [W; X]))
2g(rX Y; W ) = B(X; [Y; W ]) + B(Y; [W; X]) + g([X; Y ]; W ) = g([X; Y ]; W ):
Luego, en ambos casos: rX Y = 21 [X; Y ].
Corolario 3.9.3.1 Los espacios homogeneos naturalmente reductivos son completos.
Demostracion.- Los subgrupos uniparametricos en G estan denidos para toda la recta real; por la precedente
proposicion lo mismo ocurre para las geodesicas a traves de x0 , y, por homogeneidad, para todas las geodesicas.
Proposicion 3.9.4 Sea M=G/H un espacio homogeneo naturalmente reductivo. Si X e Y generan un plano
no degenerado en m, entonces
1 B([X; Y ]m; [X; Y ]m) + B([[X; Y ]H ; X]; Y )
K x0 (X); (Y ) = 4
B(X; X)B(Y; Y ) B(X; Y )2
Demostracion.- Continuando en el contexto de la proposicion precedente, : G ! G=H es una submersion
semi{riemanniana. Un resultado relativo a submersiones (O'Neill.- The fundamental equations of a submersion.
Michigan Math. J. 13(1966), 459-469) arma que
3 B([X; Y ] ; [X; Y ]H )
K( X; Y ) = K(X; Y ) + B(X;4 X)B(Y; YH ) B(X;
Y )2
(3.9.1)
donde K es la curvatura seccional de G.
Por la proposicion anterior rX Y = 12 [X; Y ] para X; Y 2 m.
De la relacion:
g(R(X; Y )X; Y ) = g(rX rY X; Y ) + g(rY rX X; Y ) g(r[X; Y ]H X; Y ) g(r[X; Y ]m X; Y );
el segundo sumando del segundo miembro es nulo (rX X = 0), y los otros se transforman en:
a) g(rX rY X; Y ) = g(rX Y; rY X) = 41 g([X; Y ]; [X; Y ]) =
= 14 < [X; Y ]H ; [X; Y ]H > + 14 B([X; Y ]m; [X; Y ]m)
b) g(r[X; Y ]m X; Y ) = 12 g([[X; Y ]m; X]; Y ) = 12 B([X; Y ]m; [X; Y ])
(H ? m).
(por naturalmente reductivo).
2g(r[X; Y ]H X; Y ) = g([X; Y ]H ; [X; Y ])+g(X; [Y; [X; Y ]H ])+g(Y; [[X; Y ]H ; X])
c) g(r[X; Y ]H X; Y ) = 12 g([X; Y ]H ; [X; Y ]) + g([[X; Y ]H ; X]; Y )
Haciendo uso de a) b) c) y (3.9.1) se tiene el resultado enunciado.
(formula de Koszul).
(ad(H){invariante).
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74
3 Espacios simetricos
3.10 Construccion de espacios simetricos
Vamos a expresar un espacio simetrico semi{riemanniano M en terminos de grupos de Lie. Ya que M es
homogeneo, I(M) actua transitivamente sobre M; entonces la componente conexa de la identidad G = I0(M) es
transitiva. As M puede ser identicado con el espacio homogeneo G/H, donde H el el grupo de isotropa de un
punto x0 2 M.
Lema 3.10.1 Sea M=G/H un espacio simetrico semi{riemanniano G = I0(M) , si s0 es una isometra gobal de
M en x0, la aplicacion
: G ! G
a 7! (a) = s0 as0
es un automorsmo involutivo.
El conjunto F = fa 2 G=(a) = ag de puntos jos de es un subgrupo cerrado de G tal que
F0 H F.
Demostracion.- Ya que s0 es involutiva, s0 1 = s0 , tambien es un automossmo involutivo. En consecuencia
envia I0 (M) en si mismo, y F es un subgrupo cerrado de G.
Probemos que H F. Si h 2 H, la aplicacion diferencial de la isometra (h) en x0 es s0 h s0 = h , ya
que s0 (x0) = I. Puesto que M es conexo, (h) = h. As H F.
Para demostrar que F0 H, ya que F0 es conexo, y, por consiguiente, esta generado por puntos (t) de un
subgrupo uniparametrico de F0, as es suciente demostrar que (t) 2 H. Pero ((t)) = (t), y entonces s0 y
(t) conmutan. As
s0 ((t)x0) = (t)s0 (x0) = (t)x0
8t
Ya que x0 es un punto aislado de la simetra s0 , se sigue que (t)x0 = x0 para jtj < ", y entonces para todo
t, As (t) es el grupo de isotropa de H en x0 .
El siguiente resultado es claricador a la hora de construir espacios simetricos a partir de un grupo de Lie
dado.
Teorema 3.10.1 Sea H un subgrupo cerrado de un grupo de Lie conexo G. Sea un automorsmo involutivo
de G tal que F0 H F = fa 2 G=(a) = ag. Entonces todo tensor metrico G{invariante sobre
M= G/H convierte a M en un espacio simetrico semi{riemanniano tal que s0 = , donde s0 es la
simetra global de M en x0 y : G ! M la proyeccion canonica.
Demostracion.- a) Existe una unica aplicacion s0 : M ! M tal que s0 = . Si a 2 G, entonces
s0 ((a)) = ((a)), esta bien denida, pues si (a1 ) = (a2 ) entonces a1 1a2 2 H; y como (h) = h; 8h 2 H,
resulta
(a1 1 )(a2 ) 2 H ) ((a1 )) = ((a2 )):
b) s0 es un difeomorsmo.
Que s0 es diferenciable surge de la existencia de secciones locales de la submersion . Ya que es involutiva,
se sigue que s0 es involutiva, entonces s0 1 = s0 .
c) (s0 ) = I.
Claramente s0 (x0) = x0. Si u 2 Tx0 (M), implica que existe Y 2 G tal que (Y ) = Y y (Y ) = u (Ver
(2) del lema siguiente). As
(s0 ) (u) = s0 ((Y )) = ( (Y )) = ( Y ) = u:
d) (a) = s0 a s0 ; 8a 2 G.
En efecto, para todo b 2 G,
(s0 a )(b) = (s0 )(ab) = ((a)(b)) = ((a) )((b)) = ((a) s0 )(b):
e) Relativamente a todo tensor metrico G{invariante g sobre M, s0 es una isometra.
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3.10 Construccion de espacios simetricos
75
Si v 2 Ta (M), sea v0 = (a 1 ) (v) 2 Tx0 (M). Entonces usando d) y c),
g((s0 ) (v); (s0 ) (v)) = g(s0 a (v0 ); s0 a (v0)) = g((a) s0 (v0 ); (a) s0 (v0 )) =
= g(s0 (v0); s0 (v0 )) = g( v0 ; v0 ) = g(v; v):
La demostracion del teorema se completa observando que si un espacio homogeneo tiene una simetra s0 en
un punto x0 , tiene una en todo otro punto x = (x0), a saber s0 1.
Lema 3.10.2 Sea H G un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G. un automorsmo involutivo de G tal
que F0 H F = fa 2 G=(a) = ag. Entonces
1. H = fX 2 G= (X) = X g
2. G = H m, donde m = fX 2 G= (X) = X g
3. ad(h)m m; 8h 2 H
4. [H; H] H
[H; m] m
[m; m] H
Demostracion.- 1) Ya que jH = 1, si X 2 H se tiene (X) = X.
Inversamente, supongamos (X) = X. Si es el subgrupo uniparametrico de X, entonces y tienen
el mismo vector tangente inicial. Pero es tambien un subgrupo uniparametrico, entonces = . As queda en F, de hecho en su componente conexa de la identidad F0. Ya que F0 H, se tiene que X 2 H.
2) Para X 2 G, sea XH = 12 (X + (X)) y Xm = 21 (X (X)). Entonces, X = XH +Xm . Puesto que es
involutivo, tambien lo es ; entonces (XX ) = XH y (Xm ) = Xm . As G = H m, ya que evidentemente
H \ m = 0.
3) Si X 2 m y h 2 H, debemos demostrar que (ad(h)X) = ad(h)X. Ya que (h) = h, los automorsmos
u jh conmutan; en efecto, (jh (a)) = (hah 1 ) = h(a)h 1. As
(ad(h)X) = ( jh ) (X) = (jh ) (X) = ad(h) (X) = ad(h)( X) = ad(h)X:
4) La primera inclusion se tiene ya que H es un subgrupo de Lie, la segunda por ser m ad(H){invariante. Pero
las tres son consecuencia inmediata del hecho de que H y m son los subespacios propios de correspondientes
a los valores propios +1 y -1, respectivamente.
Por ejemplo, si X; Y 2 m, entonces [X; Y ] = [ X; Y ] = [ X; Y ] = [X; Y ]. Entonces [X; Y ] 2 H. El teorema establece que G/H es un espacio simetrico respecto a un tensor metrico G{invariante el cual se
corresponde con un producto escalar B ad(H){invariante sobre m = fX 2 G=(X) = X g. G/H es entonces
un espacio homogeneo naturalmente reductivo con m como subespacio de Lie.
En efecto, de acuerdo con el lema anterior, m es ad(H){invariante complementario de H en G y la condicion
de naturalmente reductivo:
B([X; Y ]m ; Z) = B(X; [Y; Z]m );
8X; Y; Z 2 m
es trivial, ya que [m; m] H.
En consecuencia podemos aplicar el resultado a geodesicas y curvatura obtenido para espacios homogeneos
naturalmente reductivos (proposiciones 3.9.3, 3.9.4) para obtener:
Proposicion 3.10.1 Sea M=G/H un espacio simetrico semi{riemanniano (obtenido de un automorsmo de
G, como en el teorema anterior).
1. Las geodesicas partiendo de x0 = (e) estan dadas por
(X ) (t) = (t)(x0) = ((t));
donde es el subgrupo uniparametrico de X 2 m.
8t
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76
3 Espacios simetricos
2. El tensor curvatura en x0 esta dado por
R(u; v)w = ([[X; Y ]; Z])
donde u; v; w 2 Tx0 (M) correspondiente a X; Y; Z 2 m, a traves de .
Si u y v generan un plano no degenerado, entonces
Y ]; X]; Y )
K(u; v) = B(X;B([[X;
Y )B(Y; Y ):B(X; Y )2
Demostracion.- 1) Se deduce de la Proposicion 3.9.3, ya que G/H es naturamente reductivo con subespacio
de Lie m = fX 2 M= (X) = X g.
2) La Proposicion 3.9.4 da la formula de la curvatura seccional, ya que [X; Y ] 2 H para X; Y 2 m.
La formula de la curvatura surge de la Proposicion 1.10.2, comprobando que se verican las tres propiedades
all requeridas para la aplicacion multilineal sobre m
(X; Y; Z; W ) 7 ! B([[X; Y ]; Z]; W )
A saber: 1) Obviamente es antisimetrica en X e Y .
2) La simetra cclica en X; Y; Z es justamente la Identidad de Jacobi.
3) Finalmente, ya que [X; Y ] 2 H, la antisimetra en Z y W se sigue del hecho de que m y B son
ambos ad(H){invariantes.
Para ilustrar la teora, tomemos un espacio simetrico bien conocido, obtenido a partir de un grupo de Lie
con un apropiado automorsmo:
Ejemplo 3.10.1 S n = SO(nn++11)=SO(n).
Como esfera unidad en IR , S n es simetrico, con simetra sx0 en x0 = (1; 0; : : :; 0) dada por
(t0 ; t1; : : :; tn) 7! (t0; t1 ; : : :; tn).
1) El automorsmo de SO(n + 1)
0 1 0 0 1
0 a
1
00 a01 a0n
B 0 1 0 CC
B a10
CC
sx0 = B
(a) = s0 as0 = B
(1 i; j n):
B@ ... ... . . . ... CA
B@ ..
CA
.
aij
0 0 1
an0
As F = fa 2 SO(n + 1)=(a) = ag = S(O(1) O(n)) y F0 es el grupo de isotropa 1 SO(n) ' SO(n).
2) El subespacio m = fX 2 O(n + 1)=(X) = X g.
Ya que sx0 = sx01 ) (a) = sx0 as0 1 ) (X) = sx0 Xs0 1 ; X 2 O(n + 1). Se sigue que m consta da las
matrices de la forma
0 tx X= x
~0
donde ~0 es la matriz cuadrada de orden n nula y x 2 IRn considerado como una matriz columna. X $ x
establece una correspondencia entre IRn y m.
3) La ad(H){invariancia de B sobre m.
A traves de X $ x el producto escalar < x; y > sobre IRn se corresponde con B(X; Y ) =
H = SO(n) SO(n + 1) y es conocido que la traza es ad(SO(n + 1)){invariante.
4) Geodesicas.
Sea una geodesica se S n partiendo de x0 . Entonces (t) = exp(tX)x0 , para algun X 2 m.
directamente (t) usando exp(tX) = etX se obtiene que es el crculo maximo parametrizado por
(cos t)x0 + (sen t) kxxk ;
donde X $ x:
1 trazaXY .
2
Calculando
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
3.10 Construccion de espacios simetricos
77
5) Curvatura
En terminos del subespacio de Lie m, se tiene que R(X; Y )Z = [[X; Y ]; Z].
Si u; v; w 2 T0 (S n ) ' IRn son los vectores que corresponde a X; Y; Z
A 0
[X; Y ] = 0 B
donde A = (uivj uj vi )
0 t(Aw) y entonces R(X; Y )Z = Aw
$ Aw, que es justamente < u; v > w < v; w > u.
0
En consecuencia, S n tiene curvatura constante 1.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
78
3 Espacios simetricos
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
APENDICE A
Diferentes enfoques de conexiones
En este apendice expondremos varias vias para introducir el concepto de conexion lineal, sobre una variedad
diferenciable M, as como primeras propiedades deducidas de tales deniciones.
A1 Enfoque axiomatico
El enfoque de conexiones que sigue es debido a Koszul. La denicion que vamos a dar esta justicada en la
seccion 1.5 y corresponde a la Denicion 1.5.1.
Una conexion lineal sobre M es una aplicacion
r: X(M) X(M) ! X(M), (X; Y ) 7! rX Y , vericando
1) rX + Y (Z) = rX Z + rY Z
2) rX (Y + Z) = rX Y + rX Z
3) rfX (Y ) = f rX Y
4) rX (fY ) = (Xf)Y + f rX Y
donde f 2 F(M) (funcion diferenciable).
Si (x1 ; : : :; xn) es un sistema de coordenadas en un entorno coordenado U, y f @x@ 1 ; : : :; @x@ n g son los campos
de vectores coordenados, denimos las funciones kij sobre U (que llamaremos coecientes de la conexion) por
r @ i @x@ j =
@x
n
X
k=1
k @
ij @xk
(1 i; j n):
(A1.1)
Si D es la conexion natural sobre IRn (ver pagina 9) y si X; Y 2 X(IRn ), entonces
DX Y DY X = [X; Y ]:
Pero esto no es cierto en general. Si r es una conexion lineal sobre M, denimos las siguiente aplicacion
T: X(M) X(M) ! X(M)
(X; Y ) 7! T(X; Y ) = rX Y rY X [X; Y ]
Se ve facilmente, usando las propiedades de r y del corchete de campos de vectores, que T es F(M){lineal
y, por tanto, dene un campo de tensores de tipo (1,2), sobre M, al que se le denomina tensor torsion.
Respecto a un sistema coordenado U; ' (x1 ; : : :; xn) las componentes del campo de tensores torsion
vienen dadas por las funciones
Tijk = kij kji :
Se deduce que r tiene torsion nula si y solo si sus coecientes, relativos a un sistema coordenado, son
simetricos respecto de sus subndices. Es por lo que se suele decir a veces que una conexion sin torsion (con
tensor torsion nulo) es simetrica. Aunque es preferible decir conexion sin torsion, ya que cuando los coecientes
79
80
A Diferentes enfoques de conexiones
de una connexion con torsion nula se expresan con respecto a una referencia arbitraria (distinta de la formada
por los campos de vectores coordenados), entonces los coecientes no son simetricos en general.
Si consideramos de nuevo la conexion natural D sobre IRn y si X; Y; Z 2 X(IRn ), se verica
DX (DY Z) DY (DX Z) = D[X; Y ] Z:
Pero, esto tampoco es cierto en general, por lo que si r es una conexion lineal sobre M, denimos la siguiente
aplicacion, denominada curvatura:
R: X(M) X(M) X(M) ! X(M)
(Z; X; Y ) 7! R(X; Y )Z = rX rY Z rY rX Z r[X; Y ]Z:
Se trata de una aplicacion F(M){lineal, por lo que dene un campo de tensores de tipo (1,3).
Respecto a un sistema coordenado U; ' (x1 ; : : :; xn) las componentes del campo tensorial R son
@ @ @ X
n
R @xk ; @x` @xj = Rijk` @x@ i ;
i=1
siendo
Rijk` =
@ i`j
@xk
n
@ ikj X
h i
@x` + h=1 `j kh
h i :
kj `h
Para problemas locales relativos a conexiones, se pueden transformar sus propiedades a ciertas propiedades
de formas diferenciales:
Sean r una conexion lineal sobre una variedad diferenciable M n{dimensional, U conjunto abierto (pudiendo ser un abierto coordenado) de M y fE1; : : :; Eng una base de campos de vectores diferenciables sobre
U. Consideremos el conjunto f1 ; : : :; n g de 1{formas diferenciables sobre U, que constituyen la base dual de
fE1; : : :; Eng en cada punto de U.
Se denominan formas de conexion a las n2 1{formas ji sobre U asociadas a r y a la base fE1; : : :; Eng en
cada punto de U por
n
X
8X 2 X(U):
rX Ej = ji (X)Ei :
i=1
i
Las j son lineales, por la propiedad 1) de la conexion r, y son diferenciables, ya que si X 2 X(U), se tiene
rX Ej 2 X(U), y en consecuencia ji (X) = i (rX Ej ) 2 F(U).
Las 1{formas de conexion ji estan relacionadas con los coecientes de la conexion respecto a la base
fE1; : : :; Eng por ki (Ej ) = ijk .
Los campos de tensores torsion y curvatura pueden tambien expresarse a traves de formas diferenciales
asociadas a una base de campos de vectores fE1; ; Eng sobre un abierto U: Denimos las 2{formas y (denominadas respectivamente forma torsion y forma curvatura) sobre U, si X; Y 2 X(U), por
T(X; Y ) =
n
X
i (X; Y )Ei :
i=1
n
X
R(X; Y )Ej =
i=1
ij (X; Y )Ei:
Las formas diferenciales i ; ji ; i; ij , estan relacionadas por las ecuaciones de estructura de Cartan, que
son equivalentes a la denicion de los tensores torsion y curvatura. Dichas ecuaciones son (Ejercicios 36 y 37):
di =
n
X
j =1
j ^ ji + i
(1a ecuacion de estructura)
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
A2 Enfoque tensorial o clasico
dji =
n
X
k=1
81
jk ^ ki + ij
(2a ecuacion de estructura)
A2 Enfoque tensorial o clasico
Derivada covariante de campos de vectores
Pasamos a generalizar el concepto de derivadas parciales en espacios eucldeos, a cualquier espacio con
coordenadas arbitrarias.
En una variedad M, consideremos un campo de vectores diferenciable X, el cual respecto a un sistema
@ , pues bien, las funciones diferenciables
de coordenadas locales (U; (x1 ; : : :; xn)) se expresa por (1) X = X i @x
i
que resultan al hallar las derivadas parciales de las componentes del campo X respecto de cada una de las
coordenadas en cada sistema coordenado, no constituyen, en general, las componentes de un tensor de tipo
(1,1). En efecto, si (U; (x1; : : :; xn)) es otro sistema coordenado, con puntos comunes con el anterior, y respecto
al cual X = X i @x@ i se sigue, teniendo en cuenta la ley de transformacion relativa a este cambio de coordenadas
i
@x ;
X i = X j @x
j
(A2.1)
que las derivadas parciales se transforman segun la relacion:
@X i = @ X ` @xi @xk = @X ` @xi @xk + X ` @ 2 xi @xk :
(A2.2)
@x` @xj @xk @x` @xj
@xk @x` @xj
@xj @xk
i
Luego las funciones @X
j
@x , no son, en general, las componentes de un tensor pues no cumplen la ley relativa
al cambio de coordenadas.
Esto mismo ocurre para cualquier campo tensorial: sus derivadas ordinarias no son en general, las componentes de un tensor. Se presenta por tanto el problema de ver si es posible generalizar la operacion de derivacion
parcial de manera que, aplicada a tensores, de como resultado nuevos tensores. A esta nueva operacion le
llamaremos derivacion covariante.
La condicion que impondremos, de antemano, a esta derivacion covariante es que respecto del producto de
tensores se comporte como derivada ordinaria.
Comenzaremos con un campo de vectores X. De su ley de transformacion relativa al cambio de coordenadas
(A2.1), se deduce que las derivadas parciales se transforman segun (A2.2), que no es la ley de transformacion
de tensores.
i
Se trata de ver si es posible a~nadir algo, lo mas sencillo posible, a las derivadas ordinarias @X
@xj , para que el
(1) Suprimiremos el s
mbolo del sumatorio, adoptando el convenio de Einstein, segun el cual, ndices en factores distintos de un
mismo sumando colocados uno arriba y otro abajo, indica sumatorio en todo el rango del ndice.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
82
A Diferentes enfoques de conexiones
resultado sea un tensor.
El termino que se agregue puede depender de las coordenadas (x1 ; : : :; xn) del punto donde esta aplicado el
vector y del vector mismo, es decir de sus componentes X i . Por simplicidad, ensayamos el caso en que dicho
termino a a~nadir dependa linealmente de las componentes del vector; es decir, el caso en que el termino a
i
i k
i
agregar a las derivadas parciales @X
j
@x , sea de la forma jk X , donde jk sean funciones diferenciables en U.
La suma obtenida sera:
i
i k
(A2.3)
X;ij = @X
@xj + jk X
Las n3 funciones ijk pueden ser arbitarias, con tal que X;ij sean las componentes de un tensor (en el cual el
ndice j sera covariante; de aqu el nombre de derivada covariante). Para ello, su ley de transformacion debe ser
@xj
k k = X @x @x
o
X
X ; = X;ij @x
;
i
;
i
@x @x
@x @xi
de donde,
!
@X k + k X j = @X + X @xk @x
ij
@xi
@x @x @xi
y usando (A2.1) y (A2.2), resulta
@X @x @xk + @ 2 xk @x X + k X @xj = @X @xk @x + X @xk @x )
ij @x
@x @x @xi @x @xi
@x @xi @x @x @x @xi
@xk @x
j
@ 2xk @x X = 0:
k @x
@x @xi
ij @x @x @x @xi
Expresion que tiene que ser nula para cualquier campo de vectores X (es decir, las funciones kij a obtener
deben servir para cualquier campo de vectores), luego tenemos las n ecuaciones
j
@ 2 xk @x
@xk @x
k @x
( = 1; : : :; n):
@x @xi = ij @x + @x @x @xi
De estas ecuaciones, podemos despejar las funciones , como soluciones de este sistema lineal, cuyos
coecientes forman una matriz de determinante no nulo (el jacobiano de la transformacion de coordenadas),
obteniendose:
i j k @x @x @x
=
ij @x @x @xk
2 k
+ @ x @x
:
@x @x @xk
(A2.4)
Por consiguiente, si se tienen n3 funciones kij que mediante un cambio de coordenadas, se transforman
segun (A2.4), las expresiones de X;ij dadas por (A2.3) son las componentes de un campo de tensores de tipo
(1,1), cualquiera que sea el campo de vectores X.
Dar una conexion en M consiste en dar n3 funciones kij vericando (A2.4), a las que se les denomina
coecientes de la conexion.
i
i k
Al tensor de componentes X;ij = @X
@xj + jk X dadas por (A2.3), se le llama derivada covariante del campo
de vectores X.
Utilizando ahora el principio relativo al comportamiento de la derivada covariante respecto al producto,
podemos ver como es la derivada covariante de cualquier campo de tensores, con la misma conexion kij obtenida
con un campo de vectores.
Comencemos viendo, dado que las derivadas parciales de una funcion s son las componentes de un tensor,
que las derivadas covariantes de una funcion coinciden con las derivadas parciales. En efecto:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
A2 Enfoque tensorial o clasico
83
Sea f una funcion y X un campo de vectores arbitrario, el producto fX es un campo de vectores, y su
derivada covariante sera
i)
i
i fX k = @f X i + f @X + i fX k :
(fX i );j = @(fX
+
jk
jk
@xj
@xj
@xj
Pero, segun el postulado admitido sobre la derivada covariante de un producto, se tiene
i
i k
(fX i );j = f;j X i + fX;ij = f;j X i + f @X
@xj + f jk X ;
que comparada con la anterior, y puesto que X es arbitrario, resulta:
@f :
f;j = @x
j
Tratemos ahora de hallar la derivada covariante de un campo de covectores o tensor de tipo (0,1); es decir,
de una 1{forma. Se tiene la siguiente expresion para su derivada covariante:
Si ! es una 1{forma, su derivada covariante es el tensor de tipo (0,2) de componentes
@!j i ! :
(A2.5)
!j ;k = @x
kj i
k
En efecto, para un campo de vectores arbitrario X consideremos la funcion denida en cada sistema coordenado por f = X i !i. Es facil ver que esta denicion de la funcion f esta bien denida en todo M. Su derivada
covariante coincide con las derivadas ordinarias:
i !i )
(X i !i );k = @(X
@xk :
Desarrollando los dos miembros de esta igualdad resulta, teniendo en cuenta el principio relativo a la derivada
covariante del producto:
i
i @!i :
!
+
X
X;ik !i + X i !i;k = @X
i
k
@x
@xk
Y segun la expresion (A2.3) de la derivada covariante de un campo de vectores, tenemos
@X i
i
i X j !i + X i !i;k @X !i X i @!i = 0:
+
kj
k
k
@x
@x
@xk
Es decir,
i !i + !j ;k @!j X j = 0
kj
@xk
y, como X es arbitrario, resulta:
j
!j ;k = @!
@xk
i !i:
kj
El procedimiento que hemos utilizado para hallar la derivada covariante de una 1{forma, sirve para obtener
la derivada covariante de cualquier tensor K. Basta multiplicar sus componentes por componentes de campos
de vectores y 1{formas en numero conveniente para obtener una funcion, y aplicar luego el hecho de que para
funciones, la derivada parcial ordinaria y la derivada covariante coinciden.
As, si K es un tensor de tipo (p; q), consideremos q campos de vectores X1 ; : : :; Xq y p 1{formas 1 ; : : :; p
y la funcion:
Kji11jipq X1j1 Xqjq i11 ipp :
De donde, hallando la derivada covariante (utilizando el postulado de la derivada de un producto) y la
derivada ordinaria, e igualando las relaciones obtenidas, dada la arbitrariedad de los campos y 1{formas tomados,
resultara:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
84
A Diferentes enfoques de conexiones
Kji11jipq ;k =
@Kji11jipq i i1 i 1 `i+1 ip
@xk + k` Kj1 jq
h K i1 ip
kj j1 j 1 hj+1 jq :
(A2.6)
Podemos ahora relacionar el concepto de conexion dado aqu con el enfoque axiomatico dado en el parrafo
anterior:
La formula (A1.1) denen los coecientes de la conexion kij , los cuales estan sujetos a la ley de transformacion
(A2.4).
Recprocamente, dado un sistema de componentes kij para cada sistema coordenado (U; (x1 ; : : :; xn)) en
M que estan sujetos a la ley de ransformacion (A2.4), la formula (A1.1) junto con las propiedades formales
del comportamiento de la derivada covariante respecto al producto, denimos (rU )X Y para todo campo de
vectores en un entorno coordenado U. Para campos de vectores X e Y en M, denimos el campo de vectores
rX Y sobre M poniendo
rX Y (x) = (rU )X U YU (x)
donde XU e YU son las restricciones de X e Y al entorno U conteniendo a x; el termino de la derecha es
independiente de la eleccion del entorno coordenado U que contiene a x, como facilmente se verica, en virtud
de (A2.4).
Tensores torsion y curvatura
De las relaciones (A2.4) que expresan los coecientes de una conexion sobre una variedad M, respecto a
diferentes sistemas coordenados, resulta que dichos coecientes ijk no son las componentes de un tensor de tipo
(1,2); sin embargo, s es un tensor el que tiene por componentes:
Tjki = ijk
El tensor as obtenido se denomina tensor torsion.
i :
kj
(A2.7)
Otro tensor muy importante en una variedad con una conexion, se obtiene buscando las condiciones para
que las derivadas covariantes segundas sean independientes del orden de derivacion.
Consideremos, por ejemplo, el campo de vectores X y el campo de tensores de tipo (1,1) cuyas componentes
son las derivadas covariantes de X, es decir, X;ik . Las derivadas covariantes de este seran, segun (A2.6)
i
h
i
2 i
j
i X j = @ X + @ kj X j + i @X + i @X +
X;ik` = @X
+
kj @x`
`h @xk
@xk kj ;` @xk @x` @x`
Analogamente, invirtiendo el orden de derivacion, resulta
2X i
@ i`j j i @X j i @X h h j @
i
X;`k = @x` @xk + @xk X + `j @xk + kh @x` + `j X
Restando miembro a miembro, resulta
X;ik`
X;i`k
@ i
= @xkj`
@ i`j h i
@xk + kj `h
h i
`j kh
!
h Xj
kj
h
k`
@X i
@xh +
h
`k
@X i
i j
@xh + hj X :
i Xj
hj
:
X j + Tk`h X;ih :
Poniendo
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
A2 Enfoque tensorial o clasico
nos queda
85
@ i
Rijk` = @xkj`
@ i`j h i
@xk + kj `h
h i ;
`j kh
(A2.8)
X;ik` X;i`k = Rijk`X j + Tk`h X;ih :
(A2.9)
Lo que nos permite armar que las n4 funciones Rijk` son componentes de un campo de tensores, ya que en
(A2.9) tanto el primer miembro como Tk`h X;ih son componentes de tensores para cualquier campo de vectores
X.
Al tensor de tipo (1,3) de componentes Rijk` se le denomina tensor curvatura.
Si en vez de un campo de vectores X se parte de un campo de tensores arbitrario, al hallar las derivadas
covariantes cruzadas se obtiene una expresion del tipo (A2.9). Luego, podemos armar:
\En general, no se puede invertir el orden en la derivada covariante".
\Para que las derivadas covariantes segundas de cualquier campo de tensores sean independientes del orden
de derivacion es necesario y suciente que los tensores de curvatura y de torsion sean nulos".
Conexion de Riemann
A partir del producto eucldeo en IR3, usando el isomorsmo Tp (IR3) ' IR3, podemos realizar las operaciones
basicas, como calcular la longitud de un vector tangente o los angulos entre vectores tangentes a IR3 .
La teora de supercies en IR3, ci~nendonos a su forma clasica inspirada en los trabajos de Gauss, quien en
1827 expuso la geometra intrnseca de una supercie en IR3 (es decir, la geometra observada por un habitante
de ella), solo depende del producto escalar de vectores tangentes a la supercie.
Hacia 1854, Riemann generaliza estos casos especiales e introduce la geometra sobre una variedad arbitraria
n{dimensional, para lo que es necesario denir un producto interior en cada espacio tangente.
Bajo el impulso de la teora de la relatividad general de Einstein (1915), una mayor generalizacion se hace
necesaria: la condicion de denido positivo del producto interior se debilita a solamente exigir no degenerado.
Para ello denimos un tensor metrico g sobre una variedad M, como un campo de tensores de tipo (0,2) sobre
M, simetrico, no degenerado y de ndice constante. En otras palabras, g es una asignacion diferenciable que a
cada punto x 2 M le asocia un producto escalar gx en el espacio tangente Tx (M) y el ndice de gx es el mismo
para todo x 2 M. Una variedad semi{riemanniana, a la que llamaremos simplemente espacio de Riemann, es
una variedad provista de un tensor metrico g. Como caso particular tenemos que, si el ndice = 0, se trata
de una variedad de Riemann: cada gx es un producto interior (denido positivo) sobre Tx (M), y si = 1 y
2 n = dim M, M es una variedad de Lorentz.
Para denir una derivada covariante se necesita una conexion. Se trata de ver ahora si del tensor metrico g
de un espacio riemanniano, se puede obtener una conexion que permita la operacion de derivacion covariante y
a partir de ella, obtener un tensor curvatura.
Vamos a demostrar que tal conexion se puede obtener y que ademas se pueden exigir las siguientes condiciones:
1) Que la conexion sea simetrica; es decir, que su tensor torsion Tjki = ijk ikj sea nulo.
2) Que la derivada covariante del tensor metrico g, gij ;k, obtenida mediante la conexion buscada, sea nula.
Para ello supongamos 2) y de (A2.6), expresion que da la derivada covariante de un tensor arbitrario, resulta:
ij
h
h
0 = gij ;k = @g
@xk kighj kj gih ;
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
86
A Diferentes enfoques de conexiones
de donde obtenemos por permutacion circular
@gij = h g + h g
ki hj
kj ih
@xk
@gjk = h g + h g
ij hk
ik jh
@xi
@gki = h g + h g :
jk hi
ji kh
@xj
Restando las dos ultimas relaciones de la primera y teniendo en cuenta la condicion impuesta 1), simetra
de los coecients de la conexion, ijk = ikj , resulta:
h gkh = 1 @gjk + @gki @gij ;
ij
2 @xi @xj @xk
de donde, dado que el tensor metrico g es no degenerado, podemos despejar los coecientes ijk , obteniendose:
k = 1 gkh @gjh + @gih @gij ;
(A2.10)
ij 2
@xi @xj @xh
donde los gij son los coecientes de la matriz inversa de la formada con los gij .
Por lo que si existe una conexion que cumple las condiciones 1) y 2), ella debe estar dada por (A2.10). Solo
queda por probar que estas expresiones de los ijk (denominados smbolos de Christoel de segunda especie) son
de hecho las componentes de una conexion. Para lo cual, despues de una transformacion de coordenadas debe
comportarse de acuerdo con la ley dada por las formulas (A2.4). Lo cual no tiene dicultad establecerlo, usando
las correspondientes leyes de transformacion para los coecientes gij y gij .
Lneas geodesicas
Sean A y B dos puntos jos en un espacio de Riemann y xi = xi (t) (i = 1; : : :; n), las ecuaciones
parametricas de una curva C que los une, obtenidos respectivamente para t = t0 y t = t1.
Utilizando calculo variacional, resulta que una condicion necesaria para que la curva C haga que la integral
Z t1 r dxi dxj
gij
I=
dt
t0
dt dt
q
tome un valor mnimo es que la funcion F(x1; : : :; xn; dxdt1 : : : :; dxdtn ) = gij dxdti dxdtj , satisfaga a las ecuaciones
@F d @F = 0
(i = 1; : : :; n):
@xi dt @(xi )0
Las cuales dan lugar, si se toma t como parametro arco s, a las ecuaciones
d2xk + k dxi dxj = 0:
ij ds ds
ds2
Estas son las ecuaciones diferenciales de las geodesicas del espacio de Riemann.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
A2 Enfoque tensorial o clasico
87
Tensores deducidos del tensor curvatura por contraccion
El tensor curvatura de un espacio de Riemann es, ver (A2.8)
@ i @ i
Rijk` = @xkj` @x`jk + hkj i`h h`j ikh ;
donde las componentes de la conexion ijk, son ahora los smbolos de Christoel de segunda especie.
Por contraccion del ultimo ndice del tensor curvatura se obtiene el tensor
Sij = Rhijh:
Por contraccion del ndice intermedio, resulta el mismo tensor salvo signo. Y, nalmente, por contracion del
primer ndice, resulta
i
@ i
Riijk = @xjik @@xkij ;
que se comprueba facilmente que es nulo. Luego resulta que en un espacio de Riemann:
\Por contracion de ndices del tensor curvatura se puede obtener un solo tensor no nulo el cual es simetrico
y que le denominamos tensor de Ricci".
A partir del tensor de Ricci se puede construir la funcion, denominada curvatura escalar del espacio:
r = gij Sij :
Otro tensor importante es el tensor gravitatorio de Einstein denido por
Gij = Sij 12 rgij ;
el cual es simetrico y tiene la propiedad de tener la divergencia nula, o sea
Gij;i = 0
donde Gij = gih gkj Gkh.
La demostracion de este hecho, fundamental en la teora de la relatividad general de Einstein, se lleva a
cabo utilizando la llamada identidad de Bianchi, relativa a las derivadas covariantes del tensor curvatura:
Rijk`;h + Rij`h;k + Rijhk;` = 0:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
CONEXIONES LINEAL
t (v0) = vt
3
v_ tk +
Transporte paralelo
t : Tx (M) ! Txt (M) isomorsmo
xz = yz xy yx = xy1
(Seccion 1.6, pag. 15)
-
5
i;j =1
1
k x_ i vi = 0
ij t t
1 1 Y (t) Y (0)
rX Y (x) = tlim
!0 t t
x_ 0 = Xx (pag. ??)
6
xt curva en M
pt = xbt levant. a L(M)
t (v) = pet(); = pe0 (v)
(pag. ??)
n
X
rX Y (x) =
i
n
X
b
i=1
Xp i (Yb ))ui
Enfoque axiomatico (Koszul)
r @i @
rX + Y Z = rX Z + rY Z
rX (Y + Z) = rX Y + rX Z
rfX Y = f rX Y
rX fY = (Xf)Y + f rX Y
@x
6
Hv = Y (Tx (M))
Y (x) = v
ru Y = 0 8u 2 Tx (M)
(pag. ??)
rX Y (x) = v (Y
(pag. ??)
formas canonicas en L(M)
b Yb levant. de X; Y
X;
p = (x; u1; : : :; un)
?
(pag. ??)
Hp = s (Tx (M))
4 Distribucion horizontal en T(M)
s(x) = p
rus = 0 8u 2 Tx (M)
v Tv (T (M)) diferenciable
* H : v !TH(T(
(pag. ??) M)) = H V
Distribucion horizontal en L(M)
H : p ! Hp Tp (L(M)) diferenciable
Tp (L(M)) = Hp Vp
(Ra ) (Hp ) = Hpa
Hv = h0 (Hp)
h : L(M) ! L(M)
v
v
v
(Hv ) = Ha ( 2 IR f0g)
0
n
p 7! h0 (p) = pe(0 )
X
!ji (Z)(Eij ) fEij g base de g
v
Z
=
(pag. ??)
i;j =1
(pag. ??)
Hp = Zp 2 Tp (L(M)) !ji (Zp ) = 0
(pag. ??)
APENDICE B
Completitud riemanniana
En este Apendice enunciamos hechos fundamentales en variedades de Riemann (es decir, en una variedad
semi{riemanniana de ndice = 0). El tensor metrico de una variedad de Riemann M dota a cada espacio
tangente de un producto interior, linealmente isometrico al espacio eucldeo IRn . Entonces la nocion de longitud
de arco da lugar a la nocion de distancia riemanniana entre puntos de M que generaliza la distancia eucldea
usual en IRn. La distancia riemanniana convierte a M en un espacio metrico lo que simplica el estudio de su
geometra.
B1 Lema de Gauss
La clave para el estudio de la geometra local de una variedad semi{riemanniana en las proximidades de un
punto x0 2 M, esta en la comparacion con el espacio semi{eucldeo Tx0 (M) IRn , a traves de la aplicacion
exponencial. Hemos visto (Nota 1.8.1, pagina 19) que la aplicacion exponencial expx0 transforma rectas a traves
del origen en Tx0 (M) en geodesicas radiales x0 en M pasando por x0. El siguiente resultado, conocido por Lema
de Gauss, implica en particular que la ortogonalidad de direcciones radiales tambien se conserva por la expx0 .
Proposicion B1.1 (Lema de Gauss) Sea (M; g) una variedad semi{riemanniana, x0 2 M y v 2 Tx0 (M); v 6=
0. Si Vv ; Wv 2 Tv (Tx0 (M)) con Vv radial, entonces
g (expx0 ) (Vv ); (expx0 ) (Wv ) = Vv ; Wv :
Demostracion.- Cuando se dice que Vv es radial signica que Vv es la multiplicacion de v por un escalar.
Podemos entonces, eligiendo Vv = v, reemplazar Vv por v.
Consideremos la aplicacion biparametrica, para v; w 2 Tx0 (M), siguiente:
e: I J ! Tx0 (M)
y su imagen exponencial en M, = expx0 e, es
: I J ! M
(t; s) 7 ! e(t; s) = t(v + sw)
(t; s) 7 ! expx0 (t(v + sw)):
Se tiene et(1; 0) = vv 2 Tv (Tx0 (M)) y es(1; 0) = wv 2 Tv (Tx0 (M)), por tanto
t(1; 0) = (expx0 ) (vv )
s(1; 0) = (expx0 ) (wv ):
Por consiguiente, nos bastara demostrar que
g(t(1; 0); s(1; 0)) =< v; w > :
89
90
B Completitud riemanniana
La curva longitudinal t 7! (t; s) es una geodesica en M por x0 con vector inicial v + sw. Entonces
rt = 0;
g(t; t) =< v + sw; v + sw > :
dt
Ya que t es autoparalelo, es decir rdtt = 0, y el transporte paralelo conserva el producto escalar:
g(t ; t) = gx0 (t (0; s); t(0; s)) =< v + sw; v + sw > :
Por otro lado, se tiene rdts = rdst . En efecto, respecto a un sistema coordenado (x1 ; : : :; xn), poniendo
i = xi (i = 1; : : :n).
n @k @
n
k @
X
X
=
t = @
s
@t @xk
@s @xk
k=1
k=1
0
n @ 2 k X
n
rt = X
@
+
1
i j
k @ @ A @ = rs
ij
ds k=1 @t@s i;j =1 @t @s @xk dt
debido a la simetra de los subndices e kij e igualdad de las derivadas cruzadas de funciones diferenciables
reales.
Utilizando esto resulta
@ g( ; ) = g rt ; + g ; rs = g ; rt = 1 @ g( ; ) = 1 @ < v + sw; v + sw > :
t dt
t ds
@t t s
dt s
2 @s t t 2 @s
Por tanto:
@
8t
@t g(t ; s) =< v; w >;
Ya que s (0; 0) = 0, resulta que
j(t;0)
Concluimos que
gx0 (t(0; 0); s(0; 0)) = 0:
g(t (t; 0); s(t; 0)) = t < v; w > :
Tomando t = 1, se obtiene la igualdad buscada.
Nota B1.1 La aplicacion exponencial conserva la longitud de vectores radiales, es por lo que se puede decir
que el Lema de Gauss da un ejemplo de un tipo de isometras parciales. Ademas la maxima distorsion es en las
direcciones ortogonales a las direcciones radiales en Tx0 (M).
B2 Longitud de arco
El familiar concepto de longitud de un segmento de curva en espacios eucldeos se generaliza a variedades
semi-riemannianas como sigue:
Denicion B2.1 Sea : [a; b] ! M una curva diferenciable a trozos sobre una variedad semi{riemanniana M,
se dene longitud de arco de por
L() =
Zb
a
k0(t)kdt:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
B2 Longitud de arco
91
En coordenadas locales, y en el supuesto que la curva este contenida en un entorno cooordenado U de
funciones coordenadas (x1; : : :; xn), la longitud de se expresa por
L() =
Z b X
n
i
j 21
gij d(x ) d(x ) dt:
a
dt
i;j =1
dt
Sobre una variedad de Riemann viene a ser como en un espacio eucldeo, pero para metrica indenidas la
longitud puede ser enga~nosa, ya que por ejemplo una curva cuyos vectores tangentes veriquen g(0 (t); 0(t)) = 0,
tiene longitud nula.
Consideremos ahora los efectos sobre la longitud de una curva por un cambio de parametrizacion.
Denicion B2.2 Una reparametrizacion h: [c; d] ! [a; b] de una curva : [a; b] ! M es una funcion diferenciable
a trozos tal que o bien h(c) = a; h(d) = b (se dice entonces que h conserva la orientacion) o h(c) =
b; h(d) = a (h invierte la orientacion). Si las derivadas de h no cambian de signo entonces h es
monotona.
En estos terminos es facil establecer el siguiente resultado:
Proposicion B2.1 1) La longitud de un segmento de curva diferenciable a trozos es invariante por una
reparametrizacion monotona.
2) Si es un segmento de curva con k0k > 0, existe entonces una reparametrizacion h estrctamente
creciente tal que = h verica k 0 k = 1.
En este caso se dice que tiene parametrizacion longitud de arco.
Sea Ux0 un entorno normal de un punto x0 de M (Denicion 1.8.3).
Denicion B2.3 A la funcion
y 2 UxO 7! (y) = k expx01 (y)k
: Ux0 ! IR
se denomina funcion radio sobre M en x0. Siendo expx0 : Nx0 ! Ux0 la aplicacion exponencial, difeomorsmo local de Tx0 (M) en M.
En terminos de coordenadas normales (Denicion 1.8.5) se expresa por:
21
n
X
X
(yj )2 :
(yi )2 +
(y) = i=1
j = +1
As es diferenciable excepto cuando es cero, es decir en el punto x0 y en el cono de nulidad local de x0 .
Proposicion B2.2 Si : Ux0 ! IR es la funcion radio sobre un entorno normal Ux0 de x0 y si es la geodesica
radial desde x0 a y 2 Ux0 , se tiene que L() = (y).
Demostracion.- Si v = 0 (0), sabemos de la Proposicion 1.8.1 que v = expx01(y) para un unico y 2 Ux0 . Ya
que k 0 k es constante, se tiene
L() =
Z1
0
k 0 kdt =
Z1
0
kvkdt = kvk = (y):
En lo que queda de este Apendice, (M; g) sera una variedad de Riemann; esto es, en cada espacio tangente
g induce un producto interior <; >. As, en un entorno normal de un punto x0 2 M, la funcion radio es
diferenciable salvo en x0.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
92
B Completitud riemanniana
Proposicion B2.3 Sea Ux0 un entorno normal de un punto x0 de una variedad de Riemann M. Si y 2 Ux0
entonces la geodesica radial : [0; 1] ! Ux0 desde x0 a y es la unica curva mas corta en Ux0 desde x0 a
y.
Demostracion.- En virtud de la Proposicion B2.1, la unicidad de debe ser interpretada salvo una reparametrizacion monotona. As si : [0; b] ! Ux0 es una curva en Ux0 desde x0 a y, debemos demostrar que
a) L() L().
b) Si L() = L(), entonces es una reparametrizacion momotona de .
Para establer a), consideremos la funcion radio sobre el entorno Ux0 de x0, que es la composicion
= e expx01 ;
donde e: Nx0 ! IR es la funcion norma sobre Tx0 (M):
e(v) = kvk =< v; v > 21 :
A diferencia de lo que ocurre en variedades semi{riemannianas resulta que ahora es diferenciable excepto
solo en x0. Aplicando entonces la Proposicion 2.5.1, relativa a hipersupercies, para la funcion f: Ux0 !
IR; f(y) = ((y))2 , resulta que los conjuntos
H(r) = f 1 (r2 ) = y 2 Ux0 expx01(y); expx01 (y) = r2
1 grad f es el campo de vectores unitario normal sobre H(r).
son hipersupercies de Riemann y U = k grad
fk
A este campo de vectores se le denomina campo de vectores unitario radial (local) en x0 ; es proporcional a la
imagen mediante (expx0 ) del campo de vectores posicion P sobre expx01(Ux0 ) = Nx0 Tx0 (M), y por tanto es
tangente a todas las geodesicas radiales que parten de x0.
De hecho se tiene:
grad f = 2(expx0 ) (P);
en efecto, si v 2 Tx0 (M)
g(grad f; (expx0 ) (v)) = df (expx0 ) (v) =
= v(f expx0 ) = v(e2 ) =< grad e2 ; v >= 2 < P; v >= 2g (expx0 ) (P); (expx0 ) (v) ;
donde las dos ultimas igualdades surgen de la Proposicion 2.5.5 y del Lema de Gauss (pag. 89), respectivamente.
Restrinjamos ahora el campo de vectores U a ; en cada punto (t), U se descompone de forma unica como
sigue
0 = g(0 ; U)U + T
donde T es un campo de vectores sobre ortogonal a U (en t = 0, ponemos U(0) = 0 (0) y T(0) = 0). Entonces
1
k0 k = g(0 ; 0 ) 12 = g(0 ; U)2 + g(T; T) 2 jg(0; U)j g(0 ; U):
Pero como
y
resulta que
p
grad = grad f = 2p1 f grad f
f(y) = expx01 (y); expx01 (y) = Pexpx01 (y) ; Pexpx01(y) =
= g (expx0 ) (Pexpx01 (y) ); (expx0 ) (Pexpx01 (y) ) = gy 12 grad f; 12 grad f = 41 k grad f k2 ;
f
U = k grad
grad f k = grad :
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B2 Longitud de arco
93
As
k0 k g(0 ; U) = g(0 ; grad ) = 0 () = dtd ( )
L() =
Zb
0
k0kdt Zbd
dt ( )dt = ((b)) ((0)) = (y) = L():
0
La ultima igualdad es por la Proposicion B2.2.
Para demostrar b), si L() = L(), todas las desigualdades anteriores se convierten en igualdades:
k0 k = g(0 ; U)
0 = g(0 ; U)U + T ) T = 0
d = g(0 ; U) = jg(0 ; U)j 0
dt
9
>
=
=) 0 = d
>
dt U
;
Por tanto es transversalmente monotona en la direccion de las geodesica radial de x0 a y, es decir en la
direccion de . es pues un reparemetrizacion monotona de : (t) = ( (bt) ).
En los espacios eucldeos la distancia d(p; q) = kp qk, puede tambien denirse como la longitud del segmento
de lnea recta que une p con q. Pero, por ejemplo, en IR2 f(0; 0)g no existe una lnea recta desde p = ( 1; 0)
a q = (1; 0). No obstante la siguiente denicion funciona en general.
Denicion B2.4 Dados dos puntos x e y en una variedad de Riemann conexa M, consideremos el conjunto
C(x; y) = : [0; 1] ! M es una curva diferenciable a trozos que une x con y ((0) = x; (y) = 1) ;
la distancia riemanniana d(x; y) desde x a y es el nmo de fL()= 2 C(x; y)g.
Si x0 2 M y " 2 IR f0g el conjunto
Bx0 (") = fx 2 M=d(x0 ; x) < "g
se le llama un "{entorno de x0 en M. Usando esta notacion la proposicion precedente queda mejorada como
sigue:
Proposicion B2.4 Sea x0 un punto de una variedad de Riemann M.
1. Para " > 0, sucientemente peque~no, el "{entorno Bx0 (") es normal.
2. Para un "{entorno normal Bx0 (") la geodesica radial desde x0 a x 2 Bx0 (") es la unica curva
mas corta en M desde x0 a x. Y se tiene
L() = (x) = d(x0; x):
Demostracion.- 1) Sea Ux0 un entorno normal de x0 en M, con Nx0 un entorno normal de 0 en Tx0 (M), a
traves de la aplicacion exponencial. Para " > 0, sucientemente peque~no, Nx0 contiene un abierto estrellado
V = Bx0 (") = fv 2 Tx0 (M)=kvk < "g:
As, V = expx0 (Bx0 (")) es tambien un entorno normal de x0.
2) Si x 2 V , por la Proposicion B2.3, la geodesica radial desde x0 a x es la unica curva mas corta en V
desde x0 a x, y L() = (x). Y ya que expx01 (x) = v 2 V , se tiene que (x) = kvk < ", sera suciente probar
que:
\Si es una curva en M partiendo de x0 y permaneciendo en V , entonces L() "".
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94
B Completitud riemanniana
En efecto, esto demostrara que es la unica curva mas corta en M desde x0 a x, y consecuentemente
L() = (x) es d(x0; x). As, d(x0; x) < ". Pero si y 62 V , entonces d(x0; y) ", demostrando que V es un
"{entorno de x0 .
Para demostrar la armacion enunciada, notese primeramente que por pertencer a V intesecta a toda
esfera S(a); a < ". Si 1 es el segmento mas corto inicial de , desde x0 a S(a), entonces 1 queda en V ; as la
Proposicion B2.3 da L() L(1 ) a, para todo a < ". Por consiguiente L() ".
Ejemplo B2.1 Geodesicas en el cilindro
El siguiente ejemplo expresa la diferencia entre un entorno normal arbitrario
y un "{entorno normal:
Un cilindro M = f(x; y; z) 2 IR3 = x2 + y2 + z 2 = 1g puede considerarse
como una variedad producto riemanniana S 1 IR.
La aplicacion : IR2 ! M; (u; v) 7! (cos u; sen u; v) es una isometra local.
Por tanto, las geodesicas son curvas de la forma
(t) = (cos(at + b); sen(at + b); ct + d)
es decir, imagen de rectas en IR2. Ellas son helices que, en particular, se
reducen a una circunferencia cuando c = 0 y a una recta (generatriz del
cilindro) cuando a = 0.
El conjunto M `, donde ` es una generatriz, es un abierto de M que es un
entorno normal de todos sus puntos. Si p0 2 M `, por la Proposicion B2.3
la geodesica radial desde p0 a p 2 M ` es la unica curva mas corta en
M ` desde p0 a p, pero evidentemente la geodesica de la gura es la
curva mas corta desde p0 a p, pero no esta contenida en M `.
Para todo punto p0 2 M, su "{ entorno normal mayor es Bp0 (). As, por la Proposicion B2.4, un segmento
geodesico radial desde p0 a un punto p desde este entorno es la unica curva mas corta en M desde p0 a p. Para
un punto q fuera de Bp0 () existe siempre una curva mas corta desde p0 a q, pero la unicidad se pierde si q esta
en la generatriz vertical opuesta a aquella en la que este p0.
La siguiente proposicion demuestra que d tiene las propiedades de una distancia.
Proposicion B2.5 Si M es una variedad de Riemann conexa, la funcion d: M M ! IR de la Denicion B2.4
verica, para todo x; y; z 2 M:
1) d(x; y) 0:
d(x; y) = 0 , x = y
(denida positiva)
2) d(x; y) = d(y; x)
(simetrica)
3) d(x; y) + d(y; z) d(x; z)
(desigualdad triangular)
Ademas d es compatible con la topologa de M.
Demostracion.- Probemos, por ejemplo la desigualdad triangular.
Dado un " > 0, elijamos 2 C(x; y) y 2 C(y; z), tales que
L() < d(x; y) + "
L() < d(y; z) + "
Sea 2 C(y; z) union de las curvas ; , se tiene
d(x; z) L() = L() + L() < d(x; y) + d(y; z) + 2":
Ya que " es arbitrario, se tiene la desigualdad.
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B3 Variedades de Riemann completas
95
Las otras propiedades son inmediatas. Salvo acaso que d(x; y) = 0 implica x = y. Pero si fuera x 6= y, ya
que M es Hausdor, existe un entorno normal Ux de x que no contiene a y. Pero Ux contiene un "{entorno de
x, as llegamos a la siguiente contradiccion d(x; y) " > 0.
Para ver que la topologa de M coincide con la topologa inducida por la funcion distancia d, observemos
que todo entorno de un punto de M contiene un "{entorno y los "{entornos son conjuntos abiertos de M (ver
demostracion de la proposicion anterior).
B3 Variedades de Riemann completas
Enunciamos ahora, para terminar este Apendice, unos resultados fundamentales en variedades de Riemann
que relacionan la geometra riemanniana con la topologa subyacente de la variedad, para mas informacion y
demostracion de los mismos acudir, por ejemplo a [4],[6] o [11].
Por denicion de distancia de Riemann un segmento de curva desde x a y en una variedad de Riemann
M es el segmento de curva mas corto desde x a y si y solo si L() = d(x; y); en este caso decimos que es un
segmento de curva minimizante desde x a y.
Se tiene el siguiente resultado:
Proposicion B3.1 En una variedad de Riemann un segmento de curva minimizante desde x e y es una
reparametrizacion monotona de un segmento geodesico desde x a y.
Ejemplo B3.1 Geodesicas minimizantes en la esfera S n (r).
Si p y q son puntos no antipodales en S n (r) existe una unica circunferencia maxima a traves de p y q. Su
arco mas corto es la unica geodesica minimizante desde p a q. Si es el angulo 0 < < , entre p y q (como
vectores de IRn ), se sigue que
d(p; q) = L() = r:
0
Por continuidad cuando q se acerca a p (punto antipodal de p), d(p; p0) = r, As, el entorno normal S n (r) fp0g
coincide con el "{entorno Bp (r).
Cada semicrculo desde p a p0 es una geodesica minimizante desde p a p0. Con lo que una geodesica de S n (r)
es minimizante si y solo si su longitud es a lo mas r.
El hemisferio Bp ( r2 ) es el mayor "{entorno de p que es un entorno normal de cada uno de sus puntos.
El teorema fundamental de las variedades de Riemann completas es el siguiente:
Proposicion B3.2 (Teorema de Hopf{Rinow) En una variedad de Riemann conexa M las siguientes condiciones son equivalentes:
1) M es completo como espacio metrico relativo a la distancia riemanniana d; esto es, toda sucesion
de Cauchy es convergente.
2) Existe un punto x 2 M en el que M es geodesicamente completa; esto es, la aplicacion expx esta
denida en todo Tx (M).
3) M es completamente geodesica.
4) Todo subconjunto acotado de M es compacto.
El siguiente resultado esta estrechamente relacionado con el Teorema de Hopf{Rinow.
Proposicion B3.3 En una variedad de Riemann conexa y completa todo par de puntos pueden unirse con un
segmento geodesico minimizante.
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96
B Completitud riemanniana
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
APENDICE C
Nota sobre geometra semi{riemanniana y orbitas planetarias
Empezamos recordando algunos conceptos de Astronoma, describiendo el fenomeno conocido como precesion
de los equinoccios y citando alguna de sus consecuencias, entre las que se encuentra lo que se conoce como avance
del perihelio, del cual daremos una explicacion al nal de esta nota desde el punto de vista de la geometra
diferencial de los espacios riemannianos.
La segunda seccion esta dedicada a dar una somera descripcion de la ecuacion de Einstein, cuyas incognitas
(potenciales gravitatorios) son las componentes de un tensor metrico.
En la seccion tercera, se expresa, en coordenadas polares, la ecuacion de la conica trayectoria de una
partcula sometida a una fuerza central; utilizando para su determinacion las ecuaciones del movimiento de la
teora clasica de Newton. Solucion que es tomada como lmite de las geodesicas de la geometra denida sobre
el espacio-tiempo por una metrica, solucion de las ecuaciones de Einstein.
En el apartado cuarto comentamos la solucion de Schwarzschild a las ecuaciones de Einstein, basandonos en
la adopcion intuitiva de un sistema de coordenadas supeditado a la existencia de una masa con simetra esferica.
La ultima seccion esta dedicada al estudio de las geodesicas en el espacio-tiempo con la metrica obtenida por
Schwarzschild, lo que nos permitira comentar ciertas perturbaciones en las orbitas de los planetas (en particular,
la de Mercurio) no explicadas por la teora clasica de Newton y ademas justicar, considerando geodesicas de
longitud nula, la desviacion de un rayo luminoso cuando pasa junto a una gran masa.
C1 Precesion de los equinoccios
Los astros observados desde un cierto lugar de la Tierra se suponen proyectados sobre una gran esfera, a
la que llamaremos esfera celeste, y en ella observamos el Sol, la Luna, los planetas, las estrellas y demas astros
visibles durante la noche e invisibles cuando vemos al Sol.
En esta esfera consideraremos dos crculos maximos: Uno, que llamaremos ecuador celeste, es la interseccion
del plano que contiene al ecuador terrestre con dicha esfera. El otro, es la interseccion del plano que contiene a
la orbita terrestre, en su movimiento alrededor del Sol, con la esfera celeste, al que se le denomina eclptica. Es
el recorrido aparente que hace el Sol en dicha esfera.
Estos dos crculos se intersectan en dos puntos, denominados Aries y Libra (; ). El angulo que forman los
planos ecuatoriales y eclpticos es de 23 270, correspondiente a la inclinacion del eje de la Tierra respecto a la
perpendicular a su orbita.
En Astronoma se utilizan sistemas coordenados polares esfericos, ya que en general, como no se conoce la
distancia que existe desde un astro al origen de coordenadas, solo utilizamos las coordenadas ; , las cuales nos
dan la direccion en que se encuentra.
Para denir un sistema coordenado de este tipo debemos dar un crculo maximo, jar un punto en el y dar
un sentido para la medida de angulos. Aunque en Astronoma existen diferentes formas de elegir tal sistema,
aqu nos centraremos en dos, denominados coordenadas ecuatoriales absolutas y coordenadas eclpticas.
En el primer sistema se toma como crculo maximo el ecuador celeste y en el, el punto origen de medida
de angulos el punto (punto Aries, vernal o equinoccio de primavera), que es la posicion que ocupa el Sol
97
cuando atraviesa el ecuador celeste. El punto se llama as por ser el smbolo que designaba a la constelacion
Aries hace unos 2000 a~nos. En este sistema, un astro tendra dos coordenadas: ascension recta \ ", que es el
arco contado sobre el ecuador a partir del punto hasta el meridiano que pasa por el centro de dicho astro,
en sentido directo (contrario a las agujas del reloj); se mide en unidades angulares o bien en horas, minutos y
segundos (0h a 24h ) y declinacion \ ", que es el arco de meridiano desde el ecuador al astro, se cuenta de 0 a
+90 y de 0 a 90 , segun que el astro se encuentre sobre o debajo de el.
En el sistema de coordenadas eclpticas, el crculo maximo es la eclptica y como punto de referencia se toma
el punto Aries y sentido, el directo; las coordenadas en este sistema son: longitud celeste \ " y latitud celeste
\ ". Siendo la longitud celeste de un astro el arco de eclptica contado desde el punto hasta el punto donde
ella es cortada por el crculo maximo que pasa por el centro del astro y los polos de la eclptica (puntos donde la
perpendicular a la eclptica por el centro de la Tierra corta a la esfera celeste). Y la latitud celeste es el arco
del crculo maximo que pasa por el centro del astro y por los polos de la eclptica, contado desde la eclptica al
centro del astro.
Si observamos en epocas sucesivas una serie de estrellas y vamos anotando sus longitudes y latitudes celestes,
y , nos encontramos con que parece como si todas las estrellas se desplazasen en sentido directo.
Hiparco, de las observaciones realizadas por los caldeos, 600 a~nos antes de nuestra era, dedujo un cierto
valor para esta variacion anual de las longitudes de las estrellas. El valor que obtuvo fue de 3600 (el valor dado
actualmente es de 50:400).
Podra explicarse este fenomeno de la variacion de las longitudes de las estrellas, admitiendo que fuesen estas
las que se moviesen. Sin embargo, para justicar as este hecho, habra que admitir que las estrellas se mueven
a unas velocidades enormes, mayores cuanto mas lejos se encontrasen y ademas con velocidades diferentes pero
originando velocidades angulares iguales alrededor del eje perpendicular a la eclptica. Este fenomeno tiene otra
explicacion mas convincente y que Hiparco ya penso en ella: No es que las estrellas esten girando, sino que el
punto Aries, que es origen de las longitudes celestes, se mueva en sentido contrario.
De las precisas medidas efectuadas por Hiparco en el a~no -141 (dio como longitud para la estrella Espiga
de Virgo, = 174 70 3000) se valio el astronomo ingles Maskiline en 1802 para deducir el desplazamiento
anual del punto Aries en sentido retrogrado sobre la eclptica; midio la longitud de Espiga y obtuvo el valor
= 201 40 4100, con lo que resulta como desplazamiento anual del punto Aries 5000 aproximadamente.
Este fenomeno es conocido como precesion de los equinoccios y es debido a la atraccion que el Sol, la Luna
y ligeramente los planetas ejercen sobre el abultamiento acuatorial de la Tierra. Este produce un movimiento
del eje de la Tierra parecido al de un trompo cuando esta a punto de pararse.
Debido a la precesion se adelanta el momento del equinoccio, por tanto, al comienzo del a~no tropico (intervalo
de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por el punto Aries) el Sol coincide con y antes de
transcurrir los 360 vuelve a encontrar a (le faltaran 50:400 para recorrer los 360).
Este movimiento del eje terrestre hace que cada polo celeste (puntos de interseccion con la esfera celeste de
la prolongacion del eje terrestre) describa un circunferencia, as el polo norte celeste cada vez se va proyectando
en puntos distintos de la esfera celeste. Actualmente el polo norte celeste esta proximo a la estrella Polar y la
estrella {Dragon fue la estrella polar hace 4600 a~nos, y as la reconocio la antigua civilizacion china. El tiempo
que tarda en recorrer dicho circunferencia es de 26.000 a~nos. Actualmente la distancia de la Polar al polo norte
celeste es de 1 . Todava, durante 200 a~nos, seguira acercandose hasta que quede a una distancia de 300 .
Otra consecuencia del fenomeno de precesion es el cambio de los signos zodiacales. Se conoce como Zodiaco
la franja de esfera celeste comprendida entre dos paralelos a la eclptica de latitudes respectivas 8 . Zona sobre
la que se proyectan los planetas mas cercanos. Desde la epoca de Hiparco esta franja se divide en doce partes de
30 grados cada una, haciendole corresponder a cada una de ellas una constelacion. Pues bien, desde la epoca
de Hiparco (141 antes de nuestra era) han transcurrido 2133 a~nos por lo que, a razon de 50:400 por a~no, el punto
Aries se ha movido 2133 50:400 = 10750300 30 . Esto es, se ha desplazado una constelacion practicamente
y cuando el Sol se encuentra en el equinoccio de primavera o sea coincide con el punto , la constelacion sobre
la que el Sol se proyecta no es la de Aries sino la de Piscis. Sin embargo, se sigue diciendo que el Sol esta en
Aries, el 21 de marzo, y sucesivamente las restantes constelaciones del Zodiaco se corresponden con los otros
meses del a~no.
98
Polar
α
Polo Norte Celeste
Año 1960
CEFEO
OSA MENOR
α
α
Año -4490
Año 8410
Polo
de la
eclíptica
CISNE
α
DRAGON
23 o
27’
Deneb
α
Año 14860
Vega
LIRA
Este fenomeno es el causante de lo que se conoce como avance de la direccion del perihelio (punto de la
orbita terrestre en que la distancia al Sol es menor), por lo que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol no
es exactamente una elipse, sino una curva generada por una elipse que a la vez gira alrededor de su foco (el
centro del Sol). Trataremos de justicar esto en proximas secciones utilizando una solucion de las ecuaciones
de gravitacion de Einstein.
C2 Ecuaciones de la gravitacion de Einstein
La teora de la relatividad especial o restringida supone que el espacio{tiempo es un espacio de Lorentz, es
decir, espacio de Riemann con tensor metrico
g c2 dt2 dx2 dy2 dz 2 ;
(C2.1)
el cual tiene la misma expresion en todos los puntos del espacio.
La teora de la relatividad general, conserva la propiedad fundamental de que el espacio{tiempo es un espacio
de Riemann, pero supone que el tensor metrico depende de la distribucion de la materia y que, por tanto, debe
determinarse en cada caso. Es decir, los 10 coecientes gij (0 i; j 3) no pueden darse de una vez para
siempre, sino que deben calcularse por medio de ciertas ecuaciones, las cuales dependen de la distribucion de la
materia y de la energa en el espacio.
Para determinar estas ecuaciones Einstein parte de las siguientes condiciones:
1. Deben ser tensoriales. Ademas, tratandose de 10 funciones incognitas, se deben tener 10 ecuaciones, con
lo cual resulta que los primeros miembros de las ecuaciones deben ser componentes de un tensor de 10
componentes, en el espacio de 4 dimensiones; la unica manera de que esto sea posible es que se trate de
un tensor simetrico de segundo orden; lo denotaremos por Gij .
99
2. Por analoga con las clasicas ecuaciones de Poisson de la teora newtoniana de la gravitacion, Gij debe
contener las derivadas parciales segundas de las funciones incognitas gij , de ser posible linealmente por
razones de simplicidad. Tambien por analoga de la ecuacion de Poisson, = 4G (siendo = G M=d
el potencial gravitacional creado por una masa M a una distancia d, G es la constante de gravitacion
universal, es la densidad de masa y es el operador laplaciano), las ecuaciones deben ser de la forma
Gij = Tij , siendo una constante y Tij un tensor simetrico llamado tensor materia{energa, que depende
de la distribucion de la materia y de la energa en el espacio.
3. El principio de conservacion de la energa obliga a que la divergencia de Tij sea nula, lo que lleva consigo
que tambien se anule la divergencia de Gij .
Con estas condiciones se demuestra que el unico tensor (conocido como tensor de Einstein) que las cumple
tiene por componentes
Gij = Sij 12 rgij + gij ;
3
X
donde Sij = R`ij` es el tensor de Ricci (contraccion del tensor de curvatura) y r = gij Sij la curvatura escalar.
`=0
Prescindiendo del ultimo termino, que solo interesa para problemas de tipo cosmologico ( es una constante
llamada constante cosmologica cuyo valor es despreciable para distancias no astronomicas), las ecuaciones de la
gravitacion de Einstein son
(C2.2)
Sij 21 rgij = Tij
De estas 10 ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, deben determinarse las gij , con lo cual se
tendra el tensor metrico del espacio.
Observaciones:
1. Fuera de la materia y de las regiones con energa, siendo Tij = 0, las ecuaciones (C2.2) quedan
Sij 12 rgij = 0:
(C2.3)
Multiplicando por gij y sumando respecto de i; j, teniendo en cuenta que r = Sij gij , resulta que debe ser
r = 0. Por tanto, fuera de la materia y energa, las ecuaciones de gravitacion toman la forma simple
Sij = 0:
(C2.4)
2. Conocido el tensor metrico se puede estudiar toda la geometra del espacio{tiempo. Falta entonces | y
este es el merito de Einstein | interpretar fsicamente esta geometra, estableciendo una correspondencia
entre los elementos geometricos del espacio{tiempo y los fenomenos fsicos del espacio tridimensional. Por
ejemplo, unos primeros postulados para establecer esta correspondencia son:
(a) Si un punto se mueve libremente, describe una geodesica en el espacio{tiempo.
(b) Si un punto se mueve con la velocidad de la luz, la geodesica que describe es de longitud nula.
Todos estos postulados son consecuencias de las ecuaciones (C2.2).
C3 Orbitas planetarias en la teora clasica de Newton
Antes de abordar el estudio de las orbitas planetarias desde el punto de vista de la relatividad general,
comencemos repasando someramente el problema clasico de Kepler del movimiento de una partcula en el
100
campo gravitatorio de una masa puntual. En el marco de la ley de gravitacion universal (1) suponemos que una
partcula de masa m se mueve bajo la inuencia de una fuerza cuyo centro de atraccion esta en el origen O, es
decir por
F~ = m rk2 ~u
(C3.5)
2
donde k es una constante. Por la segunda ley de Newton F~ = m ddt~2r , obtenemos la ecuacion del movimiento
2
m ddt~2r = m rk2 ~u:
(C3.6)
De la denicion del momento angular ~L de m y de su derivada
dL~ = d~r m d~r +~r m d2~r = ~r ( m k ~u) = ~0;
~L = ~r m d~r ;
dt
dt dt
dt
dt2
r2
r
(donde se ha usado que el producto vectorial de d~
dt por si mismo y de ~r por ~u se anulan por ser paralelos),
surge que el momento angular se conserva y
L~ = mh~ ;
(C3.7)
donde ~h es un vector constante. Si suponemos que ~h 6= ~0, se deduce que ~r es siempre perpendicular a ~h, y por
tanto la partcula se mueve en un plano.
En coordenadas polares, la ecuacion del movimiento (C3.6) se escribe (teniendo presente el cambio de
coordenadas cartesianas a polares) de la siguiente forma
!
d2 d 2 ~u + 1 d 2 d ~u = k ~u
(C3.8)
1 dt
dt2
dt
dt 2
2 1
donde ~u1 y ~u2 son los vectores tangentes unitarios a las curvas de parametros y , respectivamente.
Multiplicando escalarmente por u~ 2 = 1 @@ en ambos miembros de (C3.8) e integrando resulta
2 d
(C3.9)
dt = h;
de donde se obtiene de nuevo la conservacion del momento angular, siendo h el momento angular por unidad
de masa; ya que, si consideramos el movimiento en el plano XY ,
dx dy
dy dx
r
~
L~ = ~r m d~
dt = (x; y; 0) m( dt ; dt ; 0) = m(0; 0; x dt y dt ) = mh
dx = cos ( d sen + cos d ) sen ( d cos sen d ) = 2 d :
h = x dy
y
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
La ecuacion (C3.9) expresa que la velocidad aerolar es constante, que es la segunda ley de Kepler.(2)
Si multiplicamos ahora escalarmente por u~ 1 = @@ en ambos miembros de la ecuacion (C3.8), resulta
q
q
(1)
Ley de la gravitacion universal: Dos partculas se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional a sus masas
e inversamente proporcional a la distancia entre ellas.
F~ m2
m1 ~u
F~ = G mr1 2m2 ~u
donde G = 6:67 10 8 es la constante universal de Newton y ~u es un vector unitario.
(2)
Leyes de Kepler.
Johannes Kepler (1571{1630), haciendo un estudio cuidadoso de las tablas de posiciones de Marte en el cielo, postulo las siguientes
tres leyes que llevan su nombre:
1a. Los planetas se mueven alrededor del Sol en orbitas elpticas.
2a. La lnea que une un planeta con el Sol barre areas iguales en tiempos iguales.
3a. Los cuadrados de los periodos de los planetas orbitando alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores de sus orbitas elpticas T12 =T22 = R31 =R32.
101
-
d2 d 2 = k :
(C3.10)
dt2
dt
2
Para obtener las trayectorias = () de las partculas en el plano polar, introducimos la variable u = 1=,
con lo que utilizando (C3.9),
d2 = h d2 u d = hu2 d2u ;
d = 1 du d = 1 h du = h du ;
2
2
2
dt
u d dt
u d
d
dt2
d2 dt
d2
sustituyendo estas expresiones en (C3.10) obtenemos la ecuacion
d2 u + u = k ;
(C3.11)
d2
h2
conocida como la ecuacion diferencial de Binet, para las orbitas de una partcula. Esta ecuacion lineal de
segundo orden con coecientes constantes tiene como solucion particular u = k=h2 y la correspondiente ecuacion
homogenea (que resulta de suprimir el segundo miembro) tiene las dos soluciones independientes cos y sen ,
por lo que su solucion mas general se escribe de la forma
u = C1 cos + C2 sen + hk2 ;
e introduciendo las dos nuevas constantes C y 0 , poniendo C1 = C cos 0 y C2 = C sen 0, podemos poner la
solucion como sigue
p = 1 + e cos( )
u = hk2 + C cos( 0 )
o
(C3.12)
0
perihelio
p
ρ
φ
φ0
X
O
c
a
b
F´
donde p = h2=k y e = Ch2=k. Esa es la ecuacion de una conica en la que p = b2=a (siendo a y b las longitudes,
en el caso de la elipse, de los semiejes mayores y menores, respectivamente) y e = c=a es la excentricidad (c
es la distancia focal), que para el caso de la elipse, c < a, es 0 < e < 1; para la hiperbola es e > 1; y para la
parabola e = 1.
Si tomamos, como caso particular, un planeta de masa m1 y el Sol de masa m2 , la fuerza que sobre le planeta
ejerce el Sol es
2~ = m k u
F~ = G mr1m
2 u
r2 ~
donde m = m1 m2 =(m1 + m2 ) y k = G (m1 + m2 ). Por lo que el movimiento de un planeta describe una elipse
en la que en uno de sus focos esta el Sol: esta es la primera ley de Kepler.
102
C4 La solucion de Schwarzschild
Volviendo al espacio{tiempo de la teora de la relatividad general, hay que decir que el sistema (C2.2) es en
general imposible de integrar exactamente, debiendo hacerse de manera aproximada. Sin embargo, hay un caso
simple en que la integracion se logra de manera exacta, debido a ciertas simplicaciones que pueden hacerse a
priori por razones de simetra. Vamos a considerar el caso de encontrar una solucion de la ecuacion de Einstein
Sij = 0, cunado consideramos un masa central que produce un campo gravitacional con simetra esferica, que
podemos considerar como el correspondiente al Sol, jo en el origen del sistema de referencia.
En este caso, las condiciones de simetra del problema permiten simplicarlo mucho, y la integracion del
sistema (C2.2), que en este caso se reduce a Sij = 0, sistema de 10 ecuaciones no lineales en derivadas parciales
en las diez funciones incognitas gij , es posible realizarla.
Comenzamos exponiendo un metodo intuitivo para introducir un
sistema de coordenadas en el espacio tiempo adaptado a la simetra
esferica que se presupone. Por simetra esferica se entiende que
Z
existe un punto privilegiado, que llamamos origen O, tal que el sisP
tema es invariante respecto a rotaciones espaciales alrededor de O.
θ
Entonces, si jamos el tiempo y consideramos un punto P a una
a
distancia a de O, las rotaciones espaciales haran que P se quede soY
bre una 2{esfera de centro en O y radio a. Podemos introducir unas
O
coordenadas y sobre la 2{esfera de la forma usual: Trazando
una perpendicular desde P a Q en el plano ecuatorial (z = 0), es
φ
X
el angulo que OQ forma con el eje OX, y es el angulo que OP
Q
forma con el eje OZ.
La metrica (o elemento de arco) sobre la 2{esfera viene dada por
a2 (d2 + sen2 d2):
(C4.13)
Es entonces natural suponer que en cuatro dimensiones podemos a~nadir a y una coordenada temporal
t y otra radial r tal que la metrica referida a estas cuatro coordenadas se reduzca a (C4.13) sobre la 2{esfera
para t = cte y r = cte.
La simetra esferica requiere que la metrica no se altere cuando y varan y que y solo esten presentes
en la metrica en la forma d2 +sen2 d2 . Mas aun, no pueden existir terminos cruzados con d o d puesto que
la metrica debe ser invariante respecto a las reexiones ! 0 = y ! 0 = (es decir independiente
de los signos de d y de d).
Esto nos conduce a admitir que en presencia de un campo gravitacional estatico con simetra esferica existe
un sistema de coordenadas especial (x0 ; x1; x2; x3) = (; r; ; ), respecto del cual la metrica se expresa por
g A(; r)d 2 2B(; r)d dr C(; r)dr2 D(; r)(d2 + sen2 d2 ):
p
Si introducimos una nueva coordenada radial por la transformacion r ! = D(; r), resulta
)d 2 2B(;
)d d C(;
)d2 2 (d2 + sen2 d2):
g A(;
)d B(;
)d. La teora de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dice
Consideremos la 1{forma A(;
que existe un factor integrante M(; ) que hace que esta forma se convierta en diferencial exacta; usamos este
resultado para introducir una coordenada temporal t, requiriendo que
)d B(;
)d ;
dt = M(; ) A(;
de donde obtenemos
o bien Ad
2 2Bdd
dt2 = M 2 A2 d 2 2ABdd
+ B 2 d2
= A 1 M 2dt2 A 1 B 2 d2 :
Con lo que obtenemos la siguiente expresion para la metrica
g A 1 M 2dt2 (C + A 1B 2 )d2 2 (d2 + sen2 d2 ):
103
Deniendo las nuevas funciones y por e = A 1 M 2 y e = C + A 1 B 2 , se obtiene nalmente la siguiente
expresion para la metrica
g e dt2 e d2 2 (d2 + sen2 d2 ):
El siguiente paso consiste en calcular las funciones y que aparecen en esta expresion de la metrica,
utilizando la ecuacion de Einstein en el vaco (C2.4), Sij = 0.
Las componentes contravariantes no nulas del tensor metrico son
g00 = e ;
g11 = e ; g22 = 1 ;
g33 = 2 sen 2 :
Para escribir las ecuaciones Sij = 0 necesitamos calcular los smbolos de Christoel que, como gij = 0 para
i 6= j, son
k = 1 ghk @gih + @gjh @gij = 1 gkk @gik + @gjk @gij ;
(C4.14)
ij 2
@xj @xi @xh
2
@xj @xi @xk
obteniendose los siguientes valores no nulos e independientes (los subndices indican derivadas parciales):
0 = 1 t;
0 = 1 ;
0 = 1 e e t ;
00 2
01 2
11
2
1 = 1 e e ;
1 = 1 t ;
1 = 1 ;
1 = e ;
1 = e sen2 ;
00 2
01 2
11 2
22
33
2 = 1;
2 = sen cos ;
3 = 1;
3 = sen 1 cos :
12
33
13
23
Conocidos estos coecientes de la conexion, podemos ahora determinar los coecientes del tensor curvatura
h
@ h
Rhijk = @@xikj @xijk + `ik hj` `ij hk`;
siendo los independientes y distintos de cero:
R0101 = 12 + 14 e 2t 41 e tt + 21 e tt 41 2 + 14 ;
R0212 = 12 e t ; R0303 = 12 e sen2 ; R0313 = 21 e sen2 t ;
R0202 = 21 e ;
R1212 = 21 e ; R1313 = 12 e sen2 ; R2323 = e sen2 + sen2 :
Las componentes distintas de cero del tensor Gij = gik Gjk , metricamente equivalente al tensor de Einstein
Gij = Sij 21 rgij , son
G00 = 1 e 2 e + 2 ;
G01 = 1 e t ; G10 = 1 e t ; G11 = 1 e 2 e + 2 ;
G22 = 21 1 e 21 1 e 12 e + 41 e 2t 14 e tt + 21 e tt 14 e 2 + 41 e ; G33 = G22:
Ya que la anulacion de los coecientes Sij equivale a la anulacion de Gij { ver ecuaciones (C2.3) y (C2.4){
y que la anulacion de estos equivale a la anulacion de los Gij = 0, teniendose ademas que G10 = e G01 y que
G22 = 0 si G00 = G01 = G11 = 0, solo debemos resolver las tres ecuaciones diferenciales siguientes:
1
@ = 0;
1 1 @ + 1
1 1 @ 1 + 1 = 0;
e @ 2
2
@t
e @ 2
2 = 0:
Sumando la primera y la tercera, se tiene + = 0 e integrando da + = p(t), donde p es una funcion
arbitraria. De la segunda, obtenemos = b(), es decir, es solo funcion de ; por lo que la primera resulta ser
entonces una ecuacion diferencial ordinaria
d
e e d
o
d = 1
d e = 1:
104
Integrando se llega a e = + cte: y tomando como constante de integracion 2m, obtenemos
2m 1
e = 1 :
Con lo que la metrica toma la siguiente expresion
g ep(t) (1 2m=)dt2 (1 2m=) 1 d2 + 2 (d2 + sen2 d2):
p
R
Haciendo el ultimo cambio en la coordenada temporal dt = ep(t) dt o lo que es lo mismo t = at ep(u)=2 du
y prescindiendo de la barra sobre la coordenada temporal, obtenemos la metrica, solucion de la ecuacion de
Einstein en el vaco para un sistema se simetra esferica,
2m 1 d2 2 (d2 + sen2 d2);
2
g 1 2m
(C4.15)
dt
1
que es el elemento de arco del espacio{tiempo creado para una masa puntual inmovil y que fue obtenida por
primera vez por Schwarzschild (1916), donde m es una constante de integracion. Cuando m = 0 estamos en la
teora de la relatividad restringida, cuando se toma la velocidad de la luz como c = 1.
Por aproximacion de esta metrica a la de Lorentz (C2.1), se puede obtener que g00 = 1 2m= ' 1 +2=c2 ,
siendo = G M= el potencial gravitatorio generado por la masa M a una distancia , G la constante de
gravitacion universal y c la velocidad de la luz, con lo que m = G M=c2 . Cuando M es la masa del Sol, a m se
le suele denominar masa geometrica del Sol.
C5 Geodesicas del espacio de Schwarzschild
La trayectoria de un punto material que se mueve libremente en el campo creado por una masa puntual ja
en O seran las geodesicas correspondientes a la metrica (C4.15). Para hallarlas hay que resolver las ecuaciones
d2xk + k dxi dxj = 0
(0 k 3):
(C5.16)
ij ds ds
ds2
o en coordenadas ortogonales
2
n @g
d g dxk = 1 X
ii dxi
(0 k 3):
(C5.17)
kk
ds
ds
2 i=1 @xk ds
Utilizando las expresiones de los smbolos de Christoel para coordenadas ortogonales (C4.14) y poniendo
= 1 2m=, resulta que los ijk no nulos e independientes vienen dados por
1 = d ;
1 = 1 d ;
1 = ;
1 = sen2 ;
0 = 1 d ;
00 2 d
11
22
33
01 2 d
2 d
2 = 1;
2 = sen cos ;
3 = 1;
3 = cotag :
12 33
13 33
Con lo que obtenemos cuatro ecuaciones diferenciales, usando las ecuaciones (C5.17) para k = 0; 2; 3 y las
(C5.16) para k = 1:
dt d
(C5.18)
k = 0 ds ds = 0
k=1
k=2
k=3
d2 + d dt 2 1 d d 2 d 2 sen2 d 2 = 0
ds2 2 d ds
2 d ds
ds
ds
2
d 2 d
2 cos d
ds ds = sen
ds
d
2 2 d
ds sen ds = 0
105
(C5.19)
(C5.20)
(C5.21)
de las que se trata de encontrar las funciones incognitas t = t(s); = (s); = (s); = (s).
Sabemos que para la teora de Newton las curvas solucion, por (C3.7), quedan en un plano; ahora comprobemos que una solucion de (C5.20), satisfaciendo la condicion inicial d
ds = 0 en = =2 es (s) = =2, es decir,
que el movimiento queda en el plano ecuatorial = =2. Con lo que en la relatividad general las trayectorias
planas son tambien posibles.
Para comprobar que (s) = =2 es solucion de (C5.20), basta desarrollar en serie (s) en s = 0,
d d2 s2 d3 s3
(s) = 0 + ds s + ds2 2! + ds3 3! + 0
0
0
d y comprobar que, si ds = 0; de la ecuacion (C5.20) y de su diferenciacion surge que todas las derivadas
0
di dsi 0 = 0, con lo que (s) = 0 = =2 es solucion de (C5.20).
De la ecuacion (C5.18) y si sustituimos (s) = =2 en la ecuacion (C5.21), resultan respectivamente las
relaciones:
d = h
dt C
(C5.22)
ds = ;
ds 2
donde C y h son constantes arbitrarias.
Usando (C4.15) para despejar d=ds de
dt 2 1 d 2 d 2 2 sen2 d 2 = 1
ds
ds
ds
ds
y sustituyendo los valores recien obtenidos para dt=ds; d=ds y d=ds, resulta
d 2
dt 2
2
=
d 2
d 2
2
2
2
2
2C
2 h = C 2 h
=
ds
ds
ds
ds
2
4
2
Sustituyendo ahora, en la ecuacion diferencial que nos falta por usar (C5.19), las expresiones:
d = 2m ;
dt = C ; (s) = ;
d = 0;
d = h ;
d2 =
;
= 1 2m
2
2
d ds 2
ds
ds ds2
d = d d ;
ds d ds
d2 = d2 d 2 + d d2 ;
ds2 d2 ds
d ds2
d 2
ds
(C5.23)
:
2h d ;
3 ds
2
= C 2 h
2
;
se convierte en
d2 h 2 + d 2h d h + 2m C 2 1 2m C 2 h2 h 2 = 0
d2 2
d 3 d 2
2 2 2 2
2
2
o bien
h2 d2 2h2 d 2 + m h2 + 3mh2 = 0:
4 d2 5 d
2 3
4
Y en esta ecuacion, haciendo las sustituciones
= u1 ;
d = 1 du ;
d
u2 d
d2 = 2 du 2 1 d2u
d2 u3 d
u2 d2
nos queda
d2u + u = m + 3mu2
d2
h2
106
(C5.24)
y esta ecuacion, junto con la segunda de las ecuaciones (C5.22), nos permiten determinar las trayectorias.
Vamos a utilizar un metodo que nos permita dar una solucion aproximada de la ecuacion (C5.24) que sea
suciente para justicar el avance del perihelio observado en la orbita de Mercurio, que es de 4200 por siglo.
Si prescindimos del termino 3mu2 , la ecuacion que no queda
d2 u + u = m
(C5.25)
d2
h2
es la ecuacion de Binet (C3.11), y cuya integracion da la solucion
(C5.26)
u1 = hm2 (1 + e cos( 0 ))
donde e es la excentricidad de la conica que ella representa y 0 es la longitud del perihelio.
Para aproximar mas la solucion, sustituimos esta solucion en (C5.24), y nos queda
d2u + u = m + 3m2 + 6m3 e cos( ) + 3m2 e2 cos2 ( ):
0
0
d2
h2 h4
h4
h4
Si convenimos en simplicar esta ecuacion despreciando el termino que contiene e2, pues la orbita de los
planetas es casi circular (para Mercurio e2 = 0:04), y tambien la constante 3m3 =h4 que no inuye en la forma
de la orbita, nos queda
d2u + u = m + 6m3 e cos( );
(C5.27)
0
d2
h2 h4
cuya solucion se obtiene combinando la solucion u1 de (C5.25) con la solucion de
d2 u + u = 6m3 e cos( ):
(C5.28)
0
d2
h4
Esta ecuacion diferencial lineal de segundo orden con coecientes constantes tiene como solucion la suma
de las soluciones correspondientes a la ecuacion homogenea (sin el termino independiente) cos y sen , mas la
solucion particular
1 6m3 e cos( );
0
D 2 + 1 h4
donde aqu D denota el operador d=d. Apliquemos el operador D21+ 1 = 2i D 1+ i D 1 i a la funcion
cos( 0 ) = cos 0 cos + sen 0 sen , utilizando la expresion de la solucion de una ecuacion diferencial lineal
de primer orden (3) :
1
1 (cos cos + sen sen ) =
1 cos( ) = i
0
0
0
D2 + 1
2 D+i D i
Z
Z
= 2i e i ei (cos 0 cos + sen 0 sen )d 2i ei e i (cos 0 cos + sen 0 sen )d =
Z ei + e i
Z ei e i
i
i
i
i
i
= 2 cos 0e
e
ei 2i d
2 d + 2 sen 0e
i cos ei Z e i ei + e i d i sen ei Z e i ei e i d =
0
0
2
2
2
2i
Z
Z
= 4i cos 0e i e2i + 1 d 4i sen 0e i e2i 1 d
i cos ei Z 1 + e 2i d + i sen ei Z 1 e 2i d:
0
0
4
4
(3)
La solucion de y0 + ay = q(x) es y = e
ax R
q(x)eax dx.
107
Calculando estas integrales inmediatas y usando de nuevo las relaciones
i
i
i
i
sen = e 2ie ;
cos = e +2e
se llega a
1
1
4 sen( + 0 ) + 2 sen( 0);
donde observamos que el primer sumando proporciona soluciones de los tipos cos y sen que ya guran en
la solucion de la parte homogenea de (C5.28), por lo que la solucion de esta ecuacion se puede escribir bajo la
forma
3
u2 = C1 cos + C2 sen + 3m
h4 e sen( 0 ):
Combinando esta solucion con la u1 obtenida para (C5.25), tenemos la siguiente aproximacion para la
solucion de (C5.24)
2
u = hm2 1 + e cos( 0) + 3m
e
sen(
)
0 :
h2
Usando la formula trigonometrica
s
2 2 2 2
cos( 0) + 3mh2 sen( 0 ) = 1 + 3mh2 cos 0 arctag 3mh2 ;
y despreciando, ya para terminar, ciertos terminos, tenemos la siguiente aproximacion para la solucion de
(C5.24)
2 2 m
3m
p
3m
u = h2 1 + e cos 0 h2 o = 1 + e cos 0 h2 ;
(C5.29)
donde p = h2 =m. Se trata de una curva parecida a una elipse que al mismo tiempo girase alrededor del foco O.
0≤ϕ≤ 2π
0≤ϕ≤ 3π
0≤ϕ≤ 4π
0≤ϕ≤ 6π
El punto de mnima distancia a O va girando alrededor de este punto, fenomeno llamado precesion del
perihelio o avance del perihelio, el cual sera tanto mas apreciable cuanto mayor sea la inuencia del termino
3mu2 en (C5.24), o sea cuanto menor sea la distancia al punto central. En el caso del sistema solar es solo
apreciable para el planeta Mercurio. Es este, un fenomeno en el que la teora de Einstein aventaja a la de
Newton.
Observemos que despues de un incremento de en 2 aun faltan 3hm22 2 radianes para llegar al perihelio;
para determinar este valor en un planeta particular basta recordar (ver pagina 102) que si a y b son los semiejes
mayor y menor de la conica que el describe, p = b2=a = a(1 e2 ) y, por tanto, h2 = mp = ma(1 e2 ); as el
avance del perihelio es
6m2 = 6m ;
h2
a(1 e2 )
donde m es la masa del Sol. Para Mercurio es valor es 4:9 10 7, angulo muy peque~no para ser observado
despues de una revolucion, pero disponiendo de los datos de observaciones de dicho planeta durante un siglo,
108
periodo en el que Mercurio da 415 revoluciones (88 das en cada revolucion), resulta que el perihelio habra
avanzado 415 4:9 10 7 radianes ' 4500 por siglo.
Para determinar la trayectoria de un rayo de luz (geodesica de longitud cero) los calculos son esencialmente
los mismos que los hechos para determinar las orbitas planetarias, salvo que ahora hay que considerar, en vez
de la ecuacion (C5.23) para despejar d=ds, la ecuacion
dt 2 1 d 2 d 2
d 2
2
2
ds
ds
sen ds = 0;
ds
d 2
2
2 h :
=
C
ds
2
Con lo que efectuando en la ecuacion (C5.19) las mismas sustituciones que las hechas en la pagina 106, con
la variante del valor obtenido aqu para (d=ds)2 , y haciendo el cambio u = 1=, obtenemos, sin dicultad, la
ecuacion diferencial de las trayectorias de los rayos de luz siguiente
d2u + u = 3mu2 :
(C5.30)
d2
Para la relatividad especial (m = 0), esta ecuacion se reduce a
d2 u + u = 0;
d2
cuya solucion la podemos escribir bajo la forma
1 1
= d sen( 0 );
que es la ecuacion de una recta en coordenadas polares de distancia al origen d y que forma un angulo 0 con
el eje polar.
Si consideramos la ecuacion (C5.30) completa y siguiendo el mismo metodo que para resolver la ecuacion
(C5.24), podemos obtener una solucion aproximada, que ya no representa una lnea recta. Fsicamente, signica
que los rayos luminosos deben curvarse al pasar cerca de una masa puntual, curvatura que se calcula a partir
de las ecuaciones de su trayectoria. Este fenomeno ha sido comprobado experimentalmente durante los eclipses
totales de Sol en 1919 y 1922.
109
de donde
110
EJERCICIOS
1. Sea B una forma bilineal simetrica sobre un espacio vectorial real E. Se consideran los siguientes subconjuntos de E
C = u 2 E f0gB(u; u) = 0 F = C [ f0g:
N = u 2 E B(u; v) = 0; 8v 2 E
Probar que:
N es un subespacio vectorial y F no siempre es un subespacio vectorial.
B es no degenerada () N = f0g.
B es denida () F = f0g.
B es semidenida () N = F.
2. Sean gi (i = 1; 2) productos escalres dendice 1 en un espacio vectorial E y Fi = v 2 E f0g gi (v; v) = 0 .
Entonces, si F1 = F2 se tiene g2 = cg1.
3. Si T es una traslacion y H es una transformacion ortogonal ambas en IR3 , en general, no es lo mismo
T H que H T . No obstante se tiene el siguiente resultado:
Demostrar que si Ta es una traslacion de vector a y H una transformacion ortogonal, se tiene
H Ta = TH (a) H
4. Demostrar que el conjunto de las isometras eucldeas en IR3 forman grupo.
Dadas las isometras eucldeas F = Ta A y G = Tb B, descomponer las isometras F G; G F; F 1 en
el producto de transformaciones ortogonales por traslaciones.
5. >Cual de las siguientes aplicaciones F: IR3 ! IR3 son isometras eucldeas? Determinar su descomposicion
en el producto de transformaciones ortogonales y traslaciones, de aquellas que lo sean
a) F(p) = p
b) F(p) =< p; a > a; kak = 1
c) F(p) = (p3 1; p2 2; p1 3) d) F(p) = (p1 ; p2; 1)
6. Dados los sistemas de referencias ortogonales en p = (0; 1; 0):
B1 u1 = 23 ; 23 ; 31 ; u2 = 23 ; 31 ; 32 ; u3 = 31 ;
y en el punto q = (3; 1; 1):
B2 v1 = p1 ; 0; p1 ; v2 = (0; 1; 0); v3 = p1 ; 0;
2
2
2
Encontrar la isometra eucldea que transforma B1 en B2 .
111
2; 2
3 3
p1
2
112
Ejercicios
7. En una variedad semi{riemanniana (M; g), sea la aplicacion r: X(M) X(M) ! X(M), denida por la
formula de Koszul:
2g(rX Y; Z) = Xg(Y; Z) + Y g(Z; X) Zg(X; Y ) g(X; [Y; Z]) + g(Y; [Z; X]) + g(Z; [X; Y ])
Comprobar que para todo X; Y; Z 2 X(M), f 2 F(M), r verica:
A1
A2
A3
r es IR{lineal.
rfX Y = f rX Y:
rX fY = (Xf)Y + f rX Y:
A4
A5
[X; Y ] = rX Y rY X:
Xg(Y; Z) = g(rX Y; Z) + g(Y; rX Z)
8. Si X e Y son dos campos de vectores con expresion local X =
y si
k
ij
n
X
i=1
@
X i @x
i
e
son los coecientes de una conexion lineal r sobre una variedad M,
r @ i @x@ j =
@x
n
X
k=1
Y=
n
X
j =1
Y j @x@ j
k @ ;
ij @xk
establecer
a)
b)
0n
1
n X
n
k
X
X
k XiXj A @ :
rX Y = @ X j @Y
ij
@xj +
@xk
i;j =1
k=1 j =1
n
n @ 2 x` @x
X k @xi @xj @x X
=
+
ij k
`
i;j;k=1 @x @x @x
`=1 @x @x @x
en la interseccion U [ U de los abiertos de dos cartas locales (U; (x1 ; : : :; xn)), (U; (x1 ; : : :; xn )).
9. Para un sistema de coordenadas ortogonal las ecuaciones diferenciales de las geodesicas vienen dadas por
n @g dxi 2
d g dxk = 1 X
ii
kk
2
k ds
ds
ds
i=1 @x
(1 k n):
10. Las curvas parametricas de una supercie ~x = ~x(u1; u2) de clase n > 2 son geodesicas si y solo si 122 = 0
y 211 = 0, respectivamente.
11. Probar que toda curva es una geodesica de la supercie generada por sus binormales.
12. Probar que la proyeccion desde el centro de una esfera sobre otra esfera concentrica de diferente radio
aplica geodesicas en lneas geodesicas, aunque no es una isometra.
13. Sea una supercie de ecuacion ~x = ~x(u; v) cuya primera forma fundamental es I = du2 + f(u; v)dv2 .
Probar que las curvas v = cte: son geodesicas.
14. Sea ~ (s) = ~x(u1 (s); u2(s)) una geodesica en una supercie ~x = ~x(u1 ; u2) tal que g11 = g11(u1 ); g12 =
0; g22 = g22(u1 ):
Probar que pg22cos = cte:, siendo el angulo que forma la geodesica con las curvas u1 = cte:
15. Sea ~x = ~x(u1; u2) una supercie de clase 2 tal que g11 = g11(u1); g12 = 0; g22 = g22(u1). Probar que:
a) Las curvas coordenadas u2 = cte: son geodesicas.
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Ejercicios
113
22
b) Las curvas coordenadas u1 = cte: son geodesicas si y solo si @g
@u1 ju10 = 0.
c) La curva ~ (u1) = ~x(u1 ; u2(u1)) es geodesica si y solo si
Z
cpg
2
u = p p 11 2 du1:
g22 g22 c
16. Probar que en una supercie de revolucion todos los meridianos son geodesicos, pero para que el paralelo
que pasa por un punto P de un meridiano sea geodesico es necesario y suciente que la tangente al
meridiano en P sea paralela al eje de revolucion.
17. Hallar las geodesicas del plano dado en coordenadas polares.
18. Si una geodesica en una supercie de revolucion forma un angulo con los meridianos a lo largo de la
geodesica, entonces se verica que
u sen = cte:
(siendo u el radio del paralelo)
19. Probar que las curvas de la familia v3 =u2 = cte: son geodesicas sobre la supercie de primera forma
fundamental
I = v2 du2 2uvdu dv + 2u2dv2
20. Sea la parametrizacion de la esfera de radio a
~x(; ) = (a cos cos; a cos sen ; a sen )
Calcular la derivada covariante respecto a del campo de vectores unitario formado por las tangentes
unitarias a los meridianos a lo largo del paralelo = 0 .
21. Sea ~ una curva alabeada. Consideremos la supercie generada por las binormales : ~x(u; s) = ~ (s)+u~b(s).
Calcular las derivadas covariantes a lo largo de las curvas coordenadas del campo de vectores tangente
unitario a las lneas parametricas s = cte:
22. Sea C el paralelo = 0 sobre la esfera de ecuacion:
~x(; ) = (a sen cos; a sen sen ; a cos )
A) Probar que el transporte paralelo del vector ~x1 (0 ; ) a lo largo de C es
0 )( 0) ~x :
Y () = cos (cos0 )( 0) ~x1 sen (cos
2
sen0
B) Y (0) = Y (2) ) C es el ecuador.
23. Consideremos la esfera
~x(u1 ; u2) = (cos u2 cos u1 ; cos u2 sen u1 ; senu2 )
Se desplaza paralelamente
el vector de componentes (1,0) desde el punto
p
p de coordenadas (0,0) hasta
el puntop(= 2; 0) a lo largo del ecuador, luego hasta el punto (= 2; =4) a lo largo del meridiano
u1 = = 2, despues hasta el punto (0; =4) a traves del paralelo u2 = =4, y por ultimo hasta el punto
inicial por el meridiano u1 = 0. Determinar el angulo entre el vector dado y el vector obtenido al nal del
desplazamiento.
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114
Ejercicios
24. Coordenadas cilndricas en IR3. Sean r; '; z las coordenadas cilndicas usuales en IR3. (r; '; z) es un sistema
coordenado sobre IR3 f(x; y; z) 2 IR3=x 0; y = 0g. Estas funciones coordenadas estan bien denidas
y sus aplicaciones inversas y campos de vectores basicos tienen la siguiente expresion:
@
6Z
@' =rv
x = r cos '; y = r sen '; z = z
H... Hr H v
HHH
..
..
@ = cos ' @ + sen ' @
HHj @r@
..
@r
@x
@y
..
..
z
..
@ = r v; v = sen ' @ + cos ' @
..
@'
@x
@y
-Y
.. . ...... .. . . . . . .
.. ' ....
@ = @
.. .
.
@z @z
..
X
@ son paralelos a lo largo
Demostrar que que el campo de vectores @z@ es paralelo y que los campos @r@ y @'
de las rectas paralelas al eje Z.
25. Se dene la diferencial covariante de un campo tensorial A de tipo (r; s) sobre una variedad diferenciable
M, como el campo de tensores de tipo (r; s + 1), rA, tal que
(rA)(X1 ; : : :; Xs; X; 1 ; : : :; r ) = (rX A)(X1 ; : : :; Xs ; 1 ; : : :; r )
para todo X; Xi 2 X(M) y j 2 1 (M).
Comprobar que, si respecto a un sistema coordenado las componentes de A son Aji11ijrs , las de rA vienen
dadas por
Aji11ijrs ;k =
! X
!
s X
n
r X
n
@Aij11ijrs X
i
i
`i
i
i
1
1
+1
r
i
i
h
1
r
kj Aj1 j 1 hj+1 js :
@xk + =1 `=1 k` Aj1 js
=1 h=1
26. Si Y es un campo de vectores sobre una curva , entonces
rY (s) = lim 1 1 Y (s + t) Y (s)
t!0 t t
dt
donde t es el desplazamiento paralelo a lo largo de la curva de (s) a (s + t).
27. En una variedad M con una conexion r, respecto a un sistema de coordenadas (x1 ; : : :; xn), denimos las
componentes del tensor curvatura por
n
X
R @x@ k ; @x@ ` @x@ j = Rijk` @x@ i :
i=1
Entonces
@ i
Rijk` = @x`jk
n
@ ikj X
h i
+
@x` h=1 `j kh
h i :
kj `h
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Ejercicios
115
28. Sea F: M ! M una aplicacion diferenciable entre variedades semi{riemannianas (M; g) y (M; g). Para
sistemas coordenados (x1 ; : : :; xn) alrededor de x y (x1 ; : : :; xn) alrededor de F(x), probar que F(x)
conserva los productos escalares si y solo si, para todo i; j = 1; : : :; n
gij (x) =
n
X
k;`=1
k
`
gk` (F(x)) @(x@xi F) (x) @(x@xjF) (x):
29. Sea M una supercie semi{riemanniana. Respecto a su sistema coordenado (u; v), las componentes de su
tensor metrico las denotamos por
@ @
@ @
@ @
; @u ; F = g12 = g21 = g @u
; @v ; G = g22 = g @v
; @u ; Q = EG F 2:
E = g11 = g @u
Entonces los smbolos de Christoel vienen dados por
1
1
1 Gu F F
E
F
E
F
v
u
v
2
2
2
Q 112 = Q 122 = Q 111 = Fu 12 Ev G 12 Gu G 21 Gv G 1 1 Eu E 2 Ev E Fv 21 Gu E
2
Q 212 = Q 222 = Q 211 = 1
1
F 2 Gu F 21 Gv F Fu 2 E v Ya que el espacio tangente Tx (M) es bidimensional, la curvatura seccional K es una funcion denida sobre
M, llamada curvatura de Gauss.
Demostrar que si (u; v) es un sistema de coordenadas ortogonal (F = 0):
@ = Eu @ Ev @ ; r @ = Gu @ + Gv @ ; r @ = r @ = Ev @ + Gu @ ;
a) r @ @u
@
@
@
2E @u 2G @v
2E @u 2G @v
@u
@v @v
@u @v
@v @u 2E @u 2G @v
b) Si e = jE j1=2; g = jGj1=2 y "1 = 1 signo de E y "2 signo de G, entonces
gu ev 1
K = eg "1 e u + "2 g v :
30. En virtud de las propiedades de simetra de tensor curvatura de Riemann{Christoel, R 2 T04 (M), sus n4
componentes Rijk` no son todas independientes. Probar que el numero de componentes independientes es
1 2 2
12 n (n 1):
31. Probar la segunda identidad de Bianchi
S (r R)(X; Y ) = 0
X;Y;Z Z
o bien
Rijk`;h + Rij`h;k + Rijhk;` = 0;
donde XYSZ signica suma cclica y el ";" indica derivada covariante.
32. El tensor gravitatorio de Einstein sobre una variedad semi{riemanniana (M; g) es el campo tensorial
G 2 T02(M), cuyas componentes vienen dadas por
Gij = Sij 21 rgij ;
donde S es el tensor de Ricci y r la curvatura escalar.
Probar que G es simetrico , div G = 0 (G es conservativo) y S = G + 21 C12Sg.
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116
Ejercicios
33. Considerar la supercie cuyo elemento de arco es ds2 = du2 + G dv2 ; probar que en ella, se tiene (ver
notacion en Ejercicio 29)
p
1 @ 2 G (curvatura de Gauss)
p
K = R1212
=
Q
G @u2
Sij = Kgij (tensor de Ricci); r = 2K (curvatura escalar).
34. Sea g un tensor metrico denido en una variedad M. Respecto a un sistema de coordenadas (x1; : : :; xn),
las componentes gij = g( @x@ i ; @x@ j ) de g, determinan una matriz no singular en cada punto. La matriz
inversa la denotamos por (gij ). Vericar que las funciones gij son las componentes de un tensor de tipo
(2; 0), y que la diferencial covariante de dicho tensor, respecto a la conexion de Levi{Civita en (M; g), es
nula.
35. Sea (M; g) una variedad semi{riemanniana y fE1; : : :; Eng una referencia ortonormal, pongamos X = E1
n
X
y i es la seccion plana generada por X y Ei (i = 2; : : :; n). Demostrar que S(X; X) = "1 K(i ),
i=2
donde S es el campo de tensores curvatura de Ricci y K(i ) es la curvatura seccional.
36. Sea r la conexion de Levi{Civita sobre una variedad de Riemann (M; g). Consideremos en un entorno
abierto U de M un campo de referencias fE1: : : :; Eng y sus correspondientes 1{formas duales f1 ; : : :; n g,
denimos las formas de conexion jk por
jk (Ei) = kij ;
X k
siendo kij los smbolos de Christoel en U respecto a fE1; : : :; Eng; o sea rEi Ej =
ij Ek . Establecer
n
rX Ei =
di =
dgij =
n
X
k=1
n
X
j =1
n
X
k=1
k=1
ik (X)Ek
j ^ ji
(1a ecuacion de estructura)
ik gkj + jk gki
donde gij = g(Ei ; Ej ).
En particular, si fE1; : : :; Eng es una referencia ortonormal
di =
n
X
j =1
jk + kj = 0:
j ^ ji ;
37. Sea U un entorno abierto en una variedad semi{riemanniana (M; g) tal que
sobre U esta denido un campo
de referencias fE1; : : :; Eng y sus 1{formas duales f1 ; : : :; ng. Si Rjik` son las componentes del tensor
curvatura respecto a esta referencia; es decir,
R(Ek ; E`)Ei =
n
X
j =1
Rjik`Ej ;
denimos las n2 2{formas ji , llamadas formas de curvatura, por
ji =
X
1k<`n
Rjik`k ^ ` = 21
n
X
k;`=1
Rjik`k ^ ` :
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Ejercicios
117
Vericar que
ji = dij
jk
38.
39.
40.
41.
n
X
k=1
ik ^ kj
(2a ecuacion de estructura)
donde son las formas de conexion, dadas por jk (Ei ) = kij , y kij los smbolos de Christoel en U,
respecto a fE1; : : :; Eng:
Si M es una variedad de dimension 2, entonces d12 = 21 = K 1 ^ 2 , donde K es la curvatura de Gauss
de M. Siendo f1 ; 2 g duales de un sistema de referencia ortonormal.
Demostrar que la variedad bidimensional M = f(x; y) 2 IR2 = y > 0g, con metrica riemanniana, respecto a
las coordenadas x; y, dada por g11 = g22 = 1=y2 y g12 = g21 = 0, tiene curvatura de Gauss K = 1.
Sean x1 = x y x2 = y las coordenadas usuales sobre IR2 . Denimos la conexion r sobre IR2 poniendo
i = 0, excepto para 1 = 1 = 1. Obtener y resolver las ecuaciones diferenciales de las geodesicas
12
21
jk
a traves de todo punto de IR2. Encontrar, en particular, la geodesica con punto inicial (2; 1) y vector
tangente inicial @x@ + @y@ . >r es completa?
Idem para la conexion r para la que ijk 0, salvo 112 1.
Sea (M; g) una variedad semi{riemanniana. Si f; h 2 F(M); X 2 X(M) y A 2 Trs (M), entonces
a)
c)
e)
r(fA) = df A + f rA;
div(fX) = Xf + f div X;
H fh = fH h + hH f + df dh + dh df:
b)
d)
grad(fh) = f grad h + h grad f;
(fh) = fh + hf + 2g(grad f; grad h);
42. Sea M una variedad n{dimensional con tensor metrico g. Establecer que la contraccion de g es n. Y que
div(fg) = df (f 2 F(M)).
43. El rotacional de X 2 X(M) esta denido por
(rot X)(Y; Z) = g(rY X; Z) g(rZ X; Y ):
Establecer los siguientes hechos:
a) rot X es antisimetrico y determinar sus componentes.
b) rot(grad f) = 0; 8 f 2 F(M).
c) rot X = 2d, donde es la 1{forma metrica equivalente a X.
d) Sobre IR3, (rot X)(Y; Z) = (Y Z) (r X). (Aqu, r es el operador ( @x@ ; @y@ ; @z@ )).
44. Probar que dada una conexion lineal arbitraria de coecientes ijk , los coecientes
i
1 i
i
jk = 2 ( jk + kj )
denen una nueva conexion. Sea
K`k =
n X
i=1
i
i`;k
n
i X
ik;` =:
i=1
@ ii`
@xk
!
@ iik :
@x`
>Son las K`k componentes de un tensor de tipo (0; 2)?
45. Probar que respecto a una conexion simetrica (sin torsion), para cualquier una 1{forma , se tiene
i;j j ;i = i;j j;i . Y para A 2 T02 (M), antisimetrico: Aij ;k + Ajk;i + Aki;j = Aij;k + Ajk;i + Aki;j :
46. Si F: M ! M es una isometra local, F conserva:
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
118
Ejercicios
La derivada covariante inducida sobre una curva.
El transporte paralelo.
Las geodesicas.
Las aplicaciones exponenciales.
El tensor curvatura de Riemann.
La curvatura seccional.
La curvatura de Ricci.
La curvatura escalar.
47. En una variedad semi{riemanniana M, con tensor metrico g y tensor curvatura R, denotamos por jgj el
determinante de (gij ) respecto a un sistema coordenado (x1 ; : : :; xn).
Establecer que
p
n
X
i = 1 @ lnjgj = p1 @ jgj :
ik 2 @xk
jgj @xk
i=1
Deducir de esto que la contraccion C11 R = 0.
48. Respecto al sistema de coordenadas esfericas (; ; ) en IR3, los coecientes de la metrica eucldea son
g12 = 2
g11 = 1
g22 = 2 sen2 :
Utilizando la expresion en coordenadas de la laplaciana y las expresiones de los smbolos de Christoel
del Ejercicio 47, comprobar que:
@ 2 @f
@ sen @f
@
@
1
1 @2f :
1
+
f = 2 @ + 2 sen @
2 sen2 @2
49. Sea M una variedad semi{riemanniana conexa de dimension 3, con tensor metrico g y tensor de Ricci
S. Si S = hg, donde h 2 F(M), entonces h es necesariamente constante.
50. Una variedad M con tensor metrico g se dice que es de Einstein si su tensor de Ricci es proporcional al
tensor metrico: S = cg (c = cte:). Probar que si M es de curvatura constante, M es una variedad de
Einstein.
51. Si M es una variedad tridimensional de Einstein, entonces es de curvatura constante.
52. El espacio con metrica ds2 = A dr2 + r2d2 + r2 sen2 d2 A 1 dt2, A = (1 + ar32 + rc ) 1 , a 6= 0, es un
espacio de Einstein con curvatura no constante salvo que c = 0.
53. Sea M una variedad diferenciable con conexion lineal r de tensor curvatura R y X 2 X(M), denimos el
campo de tensores de tipo (1; 1) AX (denotando por L la derivada de Lie) por
AX = LX rX :
Demostrar que: a) Si X es una transformacion afn innitesimal; es decir, si se verica
LX rZ rZ LX = r[X; Z]; 8Z 2 X(M), entonces
rZ (AX ) = R(X; Z); 8Z 2 X(M):
b) Si X e Y son transformaciones anes innitesimales
A[X; Y ] = AX AY AY AX + R(X; Y ):
c) Si g es un tensor metrico sobre M y si X 2 X(M) es una isometra innitesimal
(o campo de vectores de Killing); es decir, si LX g = 0, entonces, AX es antisimetrico con respecto a g,
esto es
g AX Y; Z = g AX Z; Y ; 8 Y; Z 2 X(M):
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Ejercicios
119
54. Si X un campo de vectores de Killing (ver Ejercicio 53) en una variedad de Riemann (M; g), consideremos
la funcion f = 21 g(X; X) sobre M. Probar:
a) Y f = g(Y; AX X); 8 Y 2 X(M).
b) Y 2 f = g Y; rY (AX X) ; 8Y 2 X(M) autoparalelo, o sea, tal que rY Y = 0.
AX es el campo de tensores de tipo (1; 1) denido por AX = LX rX .
55. Sea 't el grupo uniparametrico local de isometras generado por una isometra innitesimal X (Ejercicio 53.c) en una variedad de Riemann (M; g). Si x es un punto crtico de la funcion longitud de X,
g(X; X)1=2 , entonces la curva 't (x) es una geodesica (usar el Ejercicio 54.a).
56. Sea M una variedad de Riemman orientada. Denimos el elemento de volumen natural ! sobre M como
sigue: En un punto arbitrario x 2 M sea fE1; : : :; Eng una base ortonormal de Tx (M) compatible con la
orientacion de M, entonces la n{forma ! esta dada por
!(E1 ; : : :; En) = 1:
a) ! esta denida independientemente de la referencia fE1 ; : : :; Eng elegida.
b) En terminos de un sistema de coordenadas (x1 ; : : :; xn) y de las componentes gij del tensor metrico,
tenemos
p
! = n!1 jgj dx1 ^ ^ dxn; donde jgj = det(gij ):
c) ! es paralela con respecto a la conexion de Levi{Civita.
57. Sea (M; g) una variedad de Riemann orientada con elemento de volumen ! y conexion de Levi{Civita r,
entonces para cada X 2 X(M) tenemos
a) (div X)! = LX !.
b) div X = traza AX
(AX = LX rX ).
c) Deducir de los anteriores que (div X)x es la traza del endomordmo v 7! rv X; v 2 Tx (M).
58. Demostrar que si X es una transformacion innitesimal afn (Ejercicio 53) sobre una variedad diferenciable
M, entonces
div(AX Y ) = S(X; Y ) traza(AX AY ) donde AX = LX rX :
59. Probar que en un sistema de coordenadas normales, se tiene
i;jk = i;jk hij;k h ;
siendo 2 1(M), ijk los coecientes de una conexion lineal r en M y donde el \ ; " signica derivada
covariante y la \ , " derivada parcial.
60. Sea M una supercie en IR3 , dada vectorialmente por la ecuacion ~x = ~x(u; v) e Y un campo de vectores
en IR3 denido sobre M: Y = Y (u; v). Consideremos la supercie M denida por
~x = ~x (u; v) = ~x(u; v) + Y (u; v)
Demostrar que la aplicacion F: M ! M ; ~x(u; v) 7! ~x (u; v) conserva el area si y solo si div Y = 0.
****************************
61. Si (M; g) tiene curvatura constante y se dene una metrica sobre M M por
g^ (X1 ; Y1); (X2 ; Y2) = g(X1 ; X2) + g(Y1 ; Y2 ):
>(M M; g^) tiene curvatura constante?
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120
Ejercicios
62. Sea N una subvariedad de M. Vericar que toda geodesica de M contenida en N es una geodesica de N.
63. Sea M1 y M2 subvariedades, ambas de dimension n, de una variedad riemanniana M de dimension n + p.
Sea (t); 0 t 1, una curva difenciable en M1 \ M2. Se dice que M1 y M2 son tangentes una a otra
a lo largo de si T (t) (M1 ) = T (t) (M2 ), para todo t 2 [0; 1].
En este caso probar que el desplazamiento paralelo a lo largo de en M1 coincide con el desplazamiento
paralelo a lo largo de en M2 . En particular, si es una geodesica en M1 , tambien es una geodesica en
M2 .
64. Sea (x1 ; : : :; xn; xn+1; : : :; xn+p) un sistema de coordenadas adaptado a M M.
a) El campo de vectores curvatura media es
@ @
n
X
gij B @x
H = n1
i ; @xj :
i;j =1
b) Si @x@n+1 ; : : :; @x@n+p son normales a M, entonces la segunda forma fundamental es
X k @
B @x@ i ; @x@ j =
ij k :
k>n @x
65. Sea un plano tangente no degenerado a M en x. Si X esta en un entorno del 0 en , probar que
expx (X) es una subvariedad semi{riemanniana de M cuya curvatura de Gauss en x es K(), donde K es
la curvatura seccional de M.
66. Demostrar que el tensor curvatura de Ricci de una hipersupercie M IRn +1 esta dado por
S(X; Y ) = "(< S(X); S(Y ) > < S(X); Y > traza S)
(S es el operador forma):
1 grad f sobre una supercie semi{
67. Sea S el operador forma deducido de la normal unitaria U = k grad
fk
riemanniana M = f 1 (c) M.
1 H f (u; v).
a) Demostrar que g(S(u); v) = k grad
fk
b) Determinar S en (1,0,0) para el hiperboloide x2 + y2 z 2 = 1 en IR3 , primero usando a), y luego
usando S(u) = ru U.
68. Sea M una hipersupercie tal que g(u; u) > 0 o u = 0 para todo vector u tangente a M y de signatura
", de una variedad de Riemann o de Lorentz ( = 1) M. Sea S el operador forma deducido de la normal
unitaria U, y k1; : : :; kn los valores propios de S (n = dim M). Probar
n
X
(H campo de vectores curvatura media).
a) g(H; U) = n1 ki
i=1
b) K() = "ki kj + K(), donde esta generado por los vectores propios asociados a ki y kj .
c) x 2 M es un punto umbilical () k1 = = kn en x.
69. Si M es una subvariedad semi{riemanniana conexa, de dimension 2, totalmente umbilical en una variedad
M de curvatura constante c, entonces
a) El campo de vectores curvatura normal Z es paralelo respecto a la conexion normal.
b) M tiene curvatura constante c = c + g(Z; Z).
70. Sea M una hipersupercie riemanniana de una variedad semi{riemanniana M. Si M y M tienen curvatura
constante c 6= c y dim M 3, entonces M es totalmente umbilical.
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Ejercicios
121
71. Sea M una subvariedad k{dimensional (k > 1) de una variedad riemanniana M, n{dimensional. Sean
una geodesica de M que queda en M, T el campo de vectores unitario tangente a , X un campo de
vectores unitario tangente a M que es paralelo en M a lo largo de y ortogonal a T y el subespacio
generado por X y T . Entonces probar que:
a) K() K() a lo largo de .
b) K() = K() si y solo si X es paralelo a lo largo de en M.
72. Sea M una hipersupercie en IRn , U un campo de vectores unitario normal a M, h 2 F(M) y ft : M ! IRn
la aplicacion denida por
ft (x) = x + th(x)Ux
Demostrar que
(ft ) (X) = X + t(Xh)U thS(X);
8X 2 X(M);
donde S es el operador forma derivado de U. Ademas, si ft son isometras para t > 0, demostrar que M
es llana.
73. Si (U; x1; : : :; xn) es un sistema coordenado en una hipersupercie M de IRn+1 , sean
@ @
bij = S @xi ; @xj
@; @
gij = @x
i @xj
@ X
n
S @xj = aij @x@ i :
i=1
Demostrar que :
aij =
Rijk` =
@bir
@xs
n
X
k=1
n
X
r=1
gik bkj
Ecuacion de Weingarten
gir (b`j brk bkj br` ) Ecuacion de Gauss
n
@bis = X
k bks k b
kr
is
ir
r
@x
k=1
Ecuacion de Codazzi{Mainardi
74. Sea M una supercie de IR3 denida por z = f(x; y) con f(0; 0) = fx0 (0; 0) = fy0 (0; 0) = 0. Demostrar que
(a) Los vectores basicos e1 y e2 de IR3 son tangentes a M en el origen, y que
0
0
U = qfx e1 0 f2y e2 + 0e32
1 + (fx ) + (fy )
es un campo de vectores normal y unitario sobre M.
(b) Si S es el operador forma que se deriva de U sobre M, se tiene
S(e1) = fxx00 (0; 0)e1 + fxy00 (0; 0)e2
S(e2) = fyx00 (0; 0)e1 + fyy00 (0; 0)e2:
(c) En los casos particulares siguientes, calcular S(e1 + e2) en terminos de e1 y e2 , y determinar su
rango en 0:
a) z = xy:
b) z = 2x2 + y2 :
c) z = (x + y)2 :
d) z = xy2 :
75. Sea G: M ! S 2 la aplicacion esfera (o aplicacion de Gauss) de la supercie silla de montar z = xy, relativa
a su normal unitaria U. >Cual es la imagen mediante G de las lneas rectas y = cte: en M? >Que parte de
la esfera es recubierta por la imagen de G(M)?
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122
Ejercicios
76. Sea M una hipersupercie de IRn+1 con campo de vectores unitario U y consideremos la aplicacion de
Gauss (o aplicacion esfera)
G: M ! S n
x 7! G(x) = Ux
Si denotamos por x el isomorsmo natural de Tx (IRn+1 ) sobre TG(x) (IRn+1). Demostrar que la transformacion lineal x 1 (G )x de Tx (M) coincide con el operador forma, Sx de M derivado de U.
77. Sea M una hipersupercie de IRn+1 con campo de vectores normal unitario U. G: M ! S n la aplicacion
de Gauss de M. x : Tx(IRn+1 ) ! TG(x) (IRn+1 ) el isomorsmo natural. una curva sobre M. Supongamos
que Yt es un campo de vectores paralelo a lo largo de sobre M. Probar entonces que (t) (Yt ) es paralelo
a lo largo de G((t)) en S n .
78. Sea M una hipersupercie del espacio eucldeo IRn+1, expresada localmente por y = y(x1 ; : : :; xn), donde
(x1 ; : : :; xn) es un sistema de coordenadas locales arbitrarias en M e y = (y1 ; : : :; yn+1 ) es el vector posicion
de un punto de coordenadas cartesianas rectangulares (y1 ; : : :; yn+1) en IRn+1. Sea ademas U un campo
de vectores unitario normal a M, expresado localmente por U = U(x1; : : :; xn).
Entonces la formula de Gauss puede escribirse como
Dy i y j =
n
X
k=1
k y + bij U
ij k
@y = @ , k son los smbolos de Christoel de la conexion de Riemann relativa a la metrica
donde y i = @x
i @xi ij
inducida g en M por el producto interior extandard en IRn+1 , y bij son los coecientes de la segunda forma
fundamental de M en IRn+1.
As mismo, la formula de Weingarten toma la expresion
n
@U = X
k
@xi k=1 ai y k ;
donde (akj ) es la matriz de AU con respecto a y i = @x@ i 1in. Teniendose ademas que:
aki =
n
X
j =1
gkj bji:
79. Sea M una subvariedad de dimension n en una variedad de Riemann M de
x0 2 M y
on n + r.@ Sea
dimensi
@
1
n
+
r
(x ; : : :; x ) un sistema de coordenadas normales con origen x0 tal que @x1 ; : : :; @xn generan
x0
x0
@ @ ?
a Tx0 (M) y
@xn+1 x0 ; : : :; @xn+r x0 forman una base de Tx0 (M) .
Sea ahora (x1; : : :; xn) un sistema de coordenadas arbitrarias en un entorno de U de x0 en M y
xj = xj (x1; : : :; xn);
1 j n+r
el sistema de ecuaciones que dene el embebimiento de U sobre M. Demostrar que el tensor forma B de
M M tiene la siguiente expresion
B
@ @ nX
+r @ 2 xk @ ;
=
@xi x0 @xj x0 k=n+1 @xi @xj x0 @xk x0 :
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Ejercicios
123
80. Sea M una supercie en IR3 y fX; Y g una base ortonormal en Tx (M). Entonces la curvatura de Gauss y
vector curvatura media, tienen respectivamente las siguientes expresiones
K(x) =< R(X; Y )Y; X >= det Sx
H = 21 (traza Sx)U;
donde, S es el operador forma derivado de la normal unitaria U.
81. Sea M una hipersupercie de IRn+1 con normal unitaria U. Para cada 2 IR, consideremos la hipersupercie M = fx + U=x 2 Mg y la aplicacion f: M ! M , dada por x 7! f(x) = x + Ux . Establecer:
(a) f (v) = v S(v);
v 2 Tx (M) (S operador forma derivado de U)
(b) S (f (v)) = S(v)
(S operador forma derivado de U en M )
(c) Si v 2 Tx (M) tal que S(v) = kv, entonces
S(f(v)) = 1 kk f (v)
(d) Si x es un punto umbilical en M, f(x) es un punto umbilical en M .
(e) < f (u); f (v) >=< u; v > 2 < S(u); v > +2 < S2(u); v >;
u; v 2 Tx (M).
82. (Continuacion Ejercicio 81) Sea, en particular, n = 2, y las funciones curvatura de Gauss y curvatura
media de M (y M ) las denotamos por K (y K ) y h (y h ), donde H(u; v) = h(u; v)Ux ; u; v 2 Tx (M)
y analogamente para h . Demostrar que
h = 1 h2h K
K = 1 2hK+ 2 K
+ 2 K
1
83. Sea f 2 F(IR2 ). M el grafo de f: M = f(x; y; f(x; y))=(x; y) 2 IR2g, a = (fx0 )2 + (fy0 )2 + 1 2 y U =
a 1 ( fx0 ; fy0 ; 1). Demostrar que X = (1; 0; fx0 ) e Y = (0; 1; fy0 ) generan el espacio tangente Tp (M) para
todo p = (x; y; z) y que U es un campo de vectores unitario normal sobre M.
Sea E =< X; X >, F =< X; Y > y G =< Y; Y >. Demostrar que
S(X) = a 3 (fxx00 G fxy00 F)X + (fxy00 E fxx00 F)Y S(Y ) = a 3 (fxy00 G fyy00 F)X + (fyy00 E fxy00 F)Y 00 E 2fxy
00 F
f 00 G + fyy
f 00 f 00 (f 00 )2
h = xx
;
K = xx yy a4 xy
2a3
siendo K la curvatura de Gauss y h la curvatura media (H = hU).
84. Sea M una supercie de IR3 y X; Y campos de vectores tangentes a M, que son linealmente independientes
en cada punto de una region orientada, entonces la curvatura de Gauss y curvatura media tienen las
siguientes expresiones:
< S(X); X > < S(X); Y > < S(Y ); X > < S(Y ); Y > K = X > < X; Y > << X;
Y; X > < Y; Y > < S(X); X > < S(X); Y > < X; X > < X; Y > < X; Y > < Y; Y > + < S(Y ); X > < S(Y ); Y > h=
X > < X; Y > 2 << X;
Y; X > < Y; Y > Ademas si Z = X Y y D es la derivada covariante en IR3 .
h = < Z; DX Z 2kYZ+k3X DY Z > :
K = < Z; DXkZZ k4 DY Z >
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124
Ejercicios
85. El transporte paralelo normal es una isometra lineal.
86. La conexion normal se conserva por un par isometrico.
87. Sea M una variedad semi{riemanniana con conexion r y : ]a; b[]c; d[ IR2 ! M una aplicacion dife@ ) y 0 = ( @ ). Si Z es un campo de vectores diferenciable
renciable. Denotamos por 0u = ( @u
v
@v
r
Z
r
Z
sobre , por @u ; @v denotamos las derivadas covariantes de Z a lo largo de las curvas u{parametricas
y v{parametricas, respectivamente. Demostrar
0
0
1) r@vu = r@uv
rZ r rZ r
0 0
@u
@v
2)
@v
@u = R(u ; v )Z;
donde R es el tensor curvatura de Riemann de M.
88. Sea M una subvariedad semi{riemanniana de una variedad semi{riemanniana M, denimos
T: X(M) X(M) ! X(M)
TX Y = T rX (N Y ) + N rX (T Y ) :
Probar:
a) T es F(M){lineal.
b) T es anti{autoadjunto: g(TX Y; Z) = g(Y; TX Z).
c) TX X(M) X(M)? , TX (X(M)? ) X(M).
d) TX Y = B(X; Y ); TX Z = AZ (X);
X; Y 2 X(M); Z 2 X(M)? :
e) T esta completamente determinado por B.
89. Si : M ! N es una homotecia entre variedades semi{riemannianas que no es una anti-isometra, entonces
el grafo de : f(x; (x))=x 2 Mg es una subvariedad totalmente geodesica de M N.
90. Si M es una subvariedad semi{riemanniana de una variedad semi{riemanniana M, la aplicacion
R? : X(M) X(M) X(M)? ! X(M)?
dada por
?
?
R? (X; Y )Z = rX rY? Z rY? rX? Z r[X;
Y ]Z
se denomina tensor curvatura normal de M M.
Probar que R? es F(M){multilineal, y establecer la ecuacion de Ricci:
g(R? (X; Y )Z; W) = g(R(X; Y )Z; W) g(AZ (X); AW (Y )) + g(AW (X); AZ (Y ));
donde X; Y 2 X(M); Z; W 2 X(M)? y A: X(M) X(M)? ! X(M); AZ (X) = T (rX Z).
91. Sea M una subvariedad semi{riemanniana de M, y X un campo de vectores de Killing (Ejercicio 53) sobre
M. Probar:
a) Si X es tangente a M, entonces XjM es un campo de vectores de Killing sobre M.
b) Si M es totalmente geodesica, entonces T (X) es de Killing sobre M.
92. Si Y 2 X(M) es un campo de vectores arbitrario y X 2 X(M) de Killing, entonces
r[X; Y ] = LX rY rY LX
y
rY (rX) = R(X; Y ):
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
Ejercicios
125
93. Si es X es un campo de vectores de Killing sobre una variedad semi{riemannniana M, sea f = 21 g(X; X).
Probar
a) grad f = rX X.
b) H f (Y; Z) = g(rY X; rZ X) + g(R(X; Y )X; Z) = g(rY (rX X); Z).
c) f = traza(rX rX) + S(X; X).
94. Sea M una supercie en IR3 y Z un campo de vectores normal a M no nulo. Demostrar que v 2 Tx (M) es
principal (S(v) = v) si y solo s
v; Z r Z = 0:
x
v
95. En una supercie semi{riemanniana, si (t; r) es un sistema de coordenadas con ds2 = E(r)dt2 + G(r)dr2.
Establecer
@ @ Er0
; @t = 2G ;
a) H r @t
@
b) grad r = G1 @r
@ @ G0r
H r @r
; @r = 2G :
E0 G0 1
c) r = 2G Er Gr :
@ @ H r @t
; @r = 0
@)=
96. En una supercie de Lorentz M (n = 2; = 1), para un sistema coordenado (u; v) tal que g( @u@ ; @u
@
@
@
@
g( @v ; @v ) = 0, g( @u ; @v ) = F, establecer
@ = Fu0 @ , r @ = Fv0 @ , r @ = r @ = 0.
a) r @ @u
@
@
@
F @u
@u
@v @v F @v
@u @v
@v @u
b) La curvatura de Gauss es
0
0
K = F1 FFu = F1 FFv :
v
c) Para una funcion f,
f0 @ + f0 @
grad f = v @u F u @v ;
d) Las ecuaciones diferenciales de las geodesicas son
0
u00 + FFu u02 = 0
u
00 :
f = F2 fuv
0
v00 + FFv v02 = 0:
97. a) Sea M y N variedades semi{riemannianas con tensores metricos g1 y g2. Si 1 y 2 son las proyecciones
canonicas de M N sobre M y N, respectivamente, sea g = 1 (g1 ) + 2 (g2). Entonces, demostrar que g es
un tensor metrico sobre la variedad producto M N.
b) Si f 2 F(M); f > 0. El producto cruzado M = M f N es la variedad producto M N con el tensor
metrico
gf = 1 (g1 ) + (f 1)2 2 (g2 ):
Demostrar que si f = f, la aplicacion producto : M f N ! M f N es una isometra si y solo si
: N ! N y : M ! M son isometras.
**********************
98. En la esfera S 2 (r) consideramos la variacion
i
h
: 2 ; 2 ] ; [ ! S 2 (r)
(u; v) 7! (r cos u cos v; r cos u sen v; r sen u):
(a) Demostrar que es una variacion geodesica.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
126
Ejercicios
(b) Determinar el campo de vectores variacion de y comprobar que es un campo de Jacobi sobre la
geodesica base de la variacion.
99. Sea Y un campo de vectores sobre una geodesica en una variedad semi{riemanniana (M; g).
(a) Si Y es tangente a ) (Y es un campo de Jacobi , dtr rdsY = 0 , Y (s) = (as+b) 0 (s); a; b 2 IR):
(b) Si Y es un campo de Jacobi sobre la geodesica ) (Y es perpendicular a () 9a; b 2 IR; a 6= b tales
que Y (a) y Y (b) son perpendiculares a () 9a 2 IR tal que Y (a) y rdsY (a) son perpendiculares
a ).
100. Sea M una variedad semi{riemanniana llana, conexa y completa en x0 (esto es, expx0 esta denida en
todo Tx0 (M)). Probar que expx0 : Tx0 (M) ! M es una aplicacion recubridora semi{riemanniana.
101. Sea B: IRn IRn ! IR una forma bilineal, y para 2 IRn jo, sea f: ] 1; 1[ ! IR t 7! f(t) = A(t),
donde A(t) 2 End(IRn ) tal que t 7! A(t) es diferenciable sobre ] 1; 1[ y A(0) = I.
(a) Demostrar que si h: ] 1; 1[ ! IR esta denida por h(t) = B f(t); f(t) .
d h dt
= B(A0 (0); ) + B(; A0 (0)):
jt=0
(b) Si los endomorsmos A(t) son B{isometrias, es decir,
B A(t); A(t) = B(; );
8 2 IRn;
A0(0) verica B(A0 (0); ) + B(; A0 (0)) = 0; 8 2 IRn .
102. Sea B: IR2 IR2 ! IR2 la forma bilineal dada por B (x1 ; x2); (y1 ; y2 ) = x1 y2 x2y1 . Respecto a la base
canonica de IR2 , sean los endomorsmos:
t
A(t) = e0 e0 t
B(t) = 10 1t
C(t) = 1t 01
D(t) = A(at)B(bt)C(ct)
para a; b; c 2 IR y t en un conveniente entorno de IR.
(a) Demostrar que A(t); B(t); C(t) y D(t) son B{isometras.
(b) Calcular D0 (0).
103. Demostrar que mediante la aplicacion k: IR2 ! IR f0g; (x; y) 7! (ex cos y; ex sen y), IR2 es un espacio
de rebestimiento simplemente conexo de IR2f 0g.
104. Un modelo de Sf12 . Considerar la aplicacion diferenciable
: IR2 ! IR31;
(t; ) 7! (senh t; cosh t cos ; cosh t sen )
(a) Probar que es una aplicacion recubridora de IR2 sobre la pseudoesfera unidad en IR31.
(b) Probar que IR2 dotado de la metrica imagen recproca mediante es Sf12 y el elemento de arco es
dt2 + cosh2 td2 .
105. Sea G una variedad diferenciable que es un grupo. Demostrar que G es un grupo de Lie si y solo si es
diferenciable la aplicacion
: G G ! G (x; y) 2 G G 7! (x; y) = xy 1 :
106. Sea IR la variedad diferenciable de los numeros reales con la coordenada usual u: IR ! IR; t 7! u(t) = t,
y denimos
: IR IR ! IR
(x; y) 7! (x3 + y3 )1=3
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
Ejercicios
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
127
(a) Entonces (IR; ) es un grupo topologico pero no es un grupo de Lie.
(b) Demostrar que IR con la multiplicacion anterior es un grupo de Lie relativo a la estructura diferenciable en IR dada por
v: IR ! IR
v(t) = t3 :
El toro unidimensional puede ser denido como el grupo cociente T = IR=Z. Establecer que T es un grupo
de Lie con la operacion natural.
El grupo lineal general GL(n; IR), de las matrices cuadradas de orden n con coecientes reales y determinante no nulo, es un grupo de Lie, con la operacion producto de matrices.
SL(n; IR) = fA 2 GL(n; IR)= det A = 1g es un subgrupo de Lie de GL(n; IR).
O(n) = fA 2 GL(n; IR)=t AA = I g es un subgrupo de Lie de GL(n; IR).
El conjunto H = IR2 f0g de IR3 admite una carta global ': H ! IR2 (z; 0) 7! z. Demostrar que esta
determina una estructura de subvariedad en H tal que convierte a H en un subgrupo de Lie del grupo
aditivo IR3 .
a b .
a; b 2 IR; a > 0 . Demostrar que G es un grupo de Lie.
Sea G =
0 1
Sea el grupo de Lie de las matrices reales de orden n no singulares GL(n; IR), demostrar que su algebra
de Lie es gl(n; IR), conjunto de todas las matrices reales de orden n.
Demostrar que la aplicacion exponencial exp: gl(n; IR) ! GL(n; IR) coincide con la aplicacion exponencial
1
X
usual exp A = eA = k!1 Ak .
k=0
115. Sea G un grupo de Lie y denotamos por la operacion del grupo; para v 2 Te (G), consideramos los campos
de vectores
Xa = (0; v) Ya = (v; 0);
v 2 Te (G); a 2 G:
>Son X e Y campos de vectores invariantes a la izquierda o la derecha? Es decir, >quedan invariantes por
las traslaciones a la izquierda o la derecha?
116. Encontrar los subgrupos uniparametricos de GL(3; IR), denidos por las matrices, con x; y 2 IR e y > 0,
siguientes
00 1 x1
@0 0 yA
0 0 0
117. Sean G y G' grupos de Lie y G y G' sus algebras de Lie, Consideremos el algebra de Lie producto G G0 .
Demostrar que el algebra de Lie del grupo de Lie producto G G0 es G G0.
118. Sean G y G' grupos de Lie y f: G ! G0 un homomorsmo de grupos de Lie y si f : G ! G0 es el
homomorsmo de algebras que f induce, vericar que
f(expG X) = expG0 (f (X));
8X 2 G:
119. Sean G y G' grupos de Lie y f: G ! G0 un homomorsmo de grupos de Lie. Establecer que:
(a) El nucleo de f, Ker f, es un subgrupo normal de G y el algebra de Lie de Ker f es Ker f (donde
f : G ! G0 es el homorsmo inducido entre las algebras de Lie G y G').
(b) Si G es conexo, Im(f) (imagen de f) es un subgrupo de Lie de G' y su algebra de Lie es Im(f ).
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
128
Ejercicios
120. Demostrar que det: GL(n; IR) ! IR f0g, aplicacion determinante, es un homomorsmo de grupos de Lie
cuya aplicacion inducida entre las algebras de Lie es tr: gl(n; IR) ! IR (traza de matrices).
Como consecuencia el albegra de Lie del subgrupo lineal especial:
SL(n; IR) = fA 2 GL(n; IR)=det A = 1g es sl(n; IR) = fA 2 gl(n; IR)=tr A = 0g:
121. Sea O(n) = fA 2 GL(n; IR)= < AX; AY >=< X; Y >g. Establecer que O(n) es un subgrupo cerrado de
GL(n; R) y por tanto O(n) es un subgrupo de Lie (grupo ortogonal) de GL(n; IR).
Sea SO(n) = Ker f, donde f = det: O(n) ! IR f0g. Establecer que el algebra de Lie de SO(n) (grupo
ortogonal especial) es so(n) = fA 2 gl(n; IR)=tA = Ag.
1 .
; 2 IR; > 0 . Encontrar su algebra de Lie y una base de la misma.
122. Sea H =
0 x y .
x; y 2 IR f0g . Demostrar que H es un subgrupo de Lie de GL(2; IR), encontrar
123. Sea H =
y x
su algebra de Lie y una base de campos de vectores invariantes.
80 1 0 0 19
>
<B 1 0 C>
=
C
124. Sea H = >B
GL(n; IR). Encontrar su algebra de Lie y una base de dicha
@
A
>
: 1 ;
algebra.
125. Establecer que el centro de un grupo de Lie es el nucleo de la representacion adjunta.
126. Sea g un algebra de Lie real de dimension 2. Probar que g es abelina o existe una base fX; Y g de g, tal
que [X; Y ] = X.
127. Sea Ad la diferencial de la representacion adjunta ad: G ! Aut(G). Establecer que
Ad X([Y; Z]) = [Ad X Y; Z] + [Y; Ad X Z]:
128. Sea E un espacio vectorial real y B: E E ! IR una froma bilineal (simetrica o antisimetrica) no degenerada sobre E. Sea
H = fA 2 GL(E)=B(AX; AY ) = B(X; Y ); 8X; Y 2 E g
Demostrar que H es un subgrupo de Lie de GL(E) con algebra de Lie
H = fA 2 gl(n; IR)=B(AX; Y ) + B(X; AY ) = 0; 8X; Y 2 E g:
129. Demostrar que toda semi{riemanniana homogenea y compacta es completa.
130. La forma de Killing B de un algebra de Lie g es una forma bilineal simetrica, invariante respecto a todos
los automorsmos de g y satisface
B([X; Y ]; Z) = B(X; [Y; Z])
8X; Y; Z 2 g:
131. Sean M una variedad diferenciable, G un grupo de Lie y : G M ! M; (a; x) 7! ax una accion transitiva
de G sobre M. Sea H = fa 2 G=ax0 = x0 g el grupo de isotropa de x0 2 M. Establecer que la aplicacion
canonica : G=H ! M; aH 7! ax0 es un difeomorsmo.
132. Encontrar los subgrupos de isotropa y subalgebras del grupo de las rotaciones SO(3).
133. La esfera S n es difeomorfa, de forma natural, al espacio homogeneo O(n + 1)=O(n), siendo O(n) el grupo
ortogonal. Analogamente, S n ' SO(n + 1)=SO(n), siendo SO(n) el grupo ortogonal especial.
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
Ejercicios
129
134. La esfera S 2n 1 es difeomorfa a los espacios homogeneos U(n)=U(n 1) y SU(n)=SU(n 1), donde
U(n) = fA 2 GL(n; C )=A 1 = t Ag (grupo unitario) y SU(n) = fA 2 U(n)=det A = 1g (grupo unitario
especial).
135. La esfera S 4n+3 es difeomorfa al espacio homogeneo Sp(n + 1)=Sp(n), donde
Sp(n) = fA 2 GL(n; Q)=A conserva el producto interior en Qng;
(grupo simplectico). Q es el cuerpo de los cuaterniones y el producto escalar en en Qn esta dado por
X Y =
n
X
i=1
X iY i
(X i es el conjugado de X i )
136. El espacio proyectivo real Pn 1(IR) es difeomorfo al espacio homogeneo SO(n)=O(n 1).
137. Sea Gpq el conjunto de todos los espacios p{dimensionales de IRn (p + q = n). Gpq es una variedad
diferenciable, denominada variedad de Grassman difeomorfa al espacio homogeneo O(n)=O(p) + O(q).
138. a) El conjunto de todos los campos de vectores de Killing (Ejercicio 53) i(M), sobre una variedad semi{
riemanniana (M; g) es un algebra de Lie.
b) El conjunto ci(M) de todos los campos de vectores de Killing completos es un subalgebra de Lie de
i(M). Ademas si X 2 I(M) (algebra de Lie del grupo de Lie I(M) de las isometras de M), denimos
el campo de vectores fundamental X sobre M, como sigue: Sea t 7! t el subgrupo unipametrico deX,
para cada x 2 M consideramos la curva (t) = t(X), entonces Xx = 0(0). Demostar que la aplicacion
X 2 I(M) 7! X 2 i(M) es un anti{isomorsmo de Lie, es decir: [X ; Y ] = [X; Y ] ; 8X; Y 2 I(M).
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
130
BIBLIOGRAFIA
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[18] T.J. Willmore.- An introduction do dierental geometry. Oxford University Press 1959
131
132
ad a
Ad X
AZ (X)
B
B
Bx0 (")
Bqp
C
Cqp
Cpq ; C pq
div K
E
g
(gij )
(gij )
grad f
G
gl(n; IR)
GL(n; IR)
Hf
Hx
Hv
Hn(r)
g
H1n(r)
I(M)
ja
k
L(M)
L()
LX Y
M
(M; g)
Q
r
IR
IRn
rot X
sx
S
Sn
S (r)
SIMBOLOS
representacion adjunta : ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: 65
representacion adjunta de G :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: 65
Parte tangente de la derivada covariante de un campo normal : :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: :: 50
segunda forma fundamental : :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 35
forma de Killing :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : 69
"{entorno :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: 115
operador bajada de ndice : :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: : 24
operador contraccion en el algebra tensorial sobre M : :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: 13
operador contraccion : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: : 26
contracciones metricas :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: 26
divergencia de una campo de tensores :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 26
espacio vectorial real : ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: : 1
producto escalar : :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: : 2
tensor metrico :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 5
matriz metrica : :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: 5
inversa de la matriz metrica :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 5
gradiante de una funcion diferenciable : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 26
grupo de Lie :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: : 65
matrices cuadradas de orden n con coeentes reales : :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 99
grupo lineal general :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 94
hessiano de una funcion :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: 27
curvatura media :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: : 37
subespacio horizontal en T(M) :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 91
espacio pseudohiperbolico ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 43
recubrimiento universal de H1n :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: 64
grupo de isometras de M :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : 65
automorsmo interior :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 65
funcion curvatura normal ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 41
brado de referencias lineales sobre M : ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: : 94
Longitud de una curva : ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : 112
derivada de Lie :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: : 100
variedad diferenciable : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: 5
variedad semi{riemanniana :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 5
forma cuadratica : ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: 1
curvatura escalar : :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: : 29
conjunto de los numeros reales : :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: 1
espacio semi{eucdeo de ndice :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: 13
rotacional de X :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: 131
simetra geodesica :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: : 60
tensor curvatura de Ricci : :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: 28
operador forma : :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: : 40
esfera de radio r :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: : 38
133
134
Smbolos
Sn (r)
pseudoesfera : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::
Sn Sn (1) pseudoesfera unidad : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: ::
n
S]
recubrimiento universal de Sn 1 : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::
1(r)
Sqp
operador subida de ndice :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::
T(M)
brado tangente :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :
Vv
subespacio vertical en T(M) :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: ::
A?B
DX Y
rX Y
43
43
64
25
18
91
conjuntos perpendiculares ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : 2
derivada covariante en IRn :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: : 9
derivada covariante de Y con respecto a X :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: : 10
rX? Y
derivada covariante normal :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 46
dt
derivada covariante respecto a una curva :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: : 15
reX B
rZ
derivada covariante de la segunda forma fundamental : :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: : 46
r? Y
derivada covariante normal inducida : :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: 51
F
subespacio ortogonal :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 2
u?v
vectores perpendiculares ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 2
v(f)
derivada direccional : :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 9
X
restriccion de un campo de vectores a una curva ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: 15
0
vector tangente a una curva :: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 15
f
laplaciana de una funcion : ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 27
"j
terminos de la matriz metrica asociada a una base ortonormal : ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: 3
("1 ; : : :; "n ) signatura de un producto escalar :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: 3
v
geodesica con vector inicial v :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : 17
k
coecientes
de una conexion o smbolos de Christoel :: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: 12
ij
cono de nulidad : :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: 43
ndice de una forma bilineal ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: : 1
ndice de una variedad semi{riemanniana :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: 5
1(M)
1{formas diferenciables sobre M :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: : 11
T ; N
proyecciones ortogonales :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 33
F(M)
funciones diferenciables sobre M : :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 10
T(M)
algebra tensorial sobre M : :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: 13
Trs (M)
tensores de tipo (r; s) sobre M :: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: : 13
X(M)
campos de vectores diferenciables sobre M :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 10
X(F)
conjunto de los campos de vectores diferenciables sobre una aplicacion F :: :: :: :: :: ::: :: : 33
X()
conjunto de los campos de vectores diferenciables sobre la curva : :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: 15
X(M)
campos de vectores diferenciables sobre una subvariedad M de M : ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: 33
X(M)?
conjunto de los campos de normales a la subvariedad M ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: :: 33
kuk
norma del vector u :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: : 3
suma cclica : :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: : 129
S
~
notacion de nal de demostracion : :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: 2
?dt
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
Index
"{entorno 115
1{formas de conexion 101
abiertos simples del recubrimiento 61
accion 65
natural 69
transitiva 65
ad(H){invariante 66
aplicacion conforme 31
exponencial 18
polar 58
que conserva el producto escalar 4
recubridora 61
semi{riemanniana 61
regular 15
bajada de ndice 25
banda de Moebius 40
base ortonormal 3
campo de referencias basico 94
ortonormales 27
ortonormales sobre una curva 28
campo de tensores paralelo 14
campo de vectores curvatura normal 39
de Jacobi 55
de Killing 132
fundamental 100
horizontal 92, 96
normal 33
normal paralelo 47
paralelo 13, 16
sobre una aplicacion 33
sobre una curva 15
unitario radial 114
variacion 55
vertical 94
campo paralelo respecto a la conexion normal 52
campos de tensores metricamente equivalentes 25
coecientes de la conexion 12, 79, 89
componente horizontal de una conexion 93
de una conexion 93
componentes del campo de tensores curvatura 80
de tensores torsion 79
conexion 96, 101
de Levi{Civita 12
enfoque clasico 81
tensorial 81
inducida 34
lineal 10, 79, 89
metrica 12
natural en IRn 9
normal 46
simetrica 12, 79
sin torsion 79
sobre T (M ) 92
congruencia 37
conjunto estrellado 19
ortonormal 3
cono de nulidad 42
contraccion 26
metrica 26
convenio de Einstein 81
curva en una variedad diferenciable 15
horizontal 96
minimizante 117
curvatura 80, 104
135
constante 23
de Gauss 129, 131
de hipercuadricas 45
escalar 29
media 36
seccional 22
de la esfera 36
derivacion 13
covariante 81
derivada covariante 9, 10, 14, 82
de la 2a forma fundamental 46
sobre una curva 15
normal 46
normal inducida 51
diferencial covariante 14
distancia eucdea 6
riemanniana 115
distribucion horizontal 92, 96
divergencia 26
ecuacion de Codazzi 47
de estructura 130, 131
de Gauss 36
para hipersupercies 41
de Ricci 138
de Jacobi 55
ecuaciones de estructura 102
de Cartan 80
entorno normal 19
espacio de Minkowski 44
de recubrimiento 61
forma 63
homogeneo 69
reductivo 70
naturalmente reductivo 72
proyectivo real 143
pseudohiperbolico 43
recubridor 61
semi{riemanniano homogeneo 65
simetrico 63
bra 94
brado de referencias lineales 94
forma bilineal denida 1
denida negativa 1
denida positiva 1
indenida 2
no degenerada 1
semidenida 1
semidenida negativa 1
semidenida positiva 1
simetrica 1
forma cuadratica 1
forma curvatura 80
forma de Killing 69, 142
forma torsion 80
formas canonicas 102
de conexion 80, 130, 131
de curvatura 130
formula de Gauss 35
de Koszul 12
de Weingarten 50, 52
funcion curvatura normal 41
radio 113
geodesica 17
en subvariedades 37
136
quebrada 20
geodesicas de la esfera 37
en hipercuadricas 44
geometra extrnseca 37
intrinseca 37
semi{riemanniana 5
gradiante 26
grupo ortogonal 142
ortogonal especial 142
semi{riemanniano 68
simplectico 143
unitario 143
unitario especial 143
hessiano 27
hipercuadrica totalmente umbilical 44
hipercuadricas 42
hipercuadricas de Riemann 44
hipersupercie 39
totalmente umbilical 41
semi{riemannianas en IRn +1 41
homotecia 31
identidad de Bianchi 21, 29
de Jacobi 69
ndice de una forma bilineal simetrica 1
de una variedad semi{riemanniana 5
isometra 5
eucldea 6
innitesimal 132
lineal 4
local 30
k{plano 39
laplaciana 27
lema de Gauss 111
levantamiento horizontal 96
levantamiento horizontal de una curva 96
longitud de arco 112, 113
matriz asociada a una forma bilineal 1
metrica bi{invariante 67
invariante a la izquierda 67
G{invariante 70
norma de un vector 3
objetos congruentes 52
operador curvatura 21
operador forma 40
par isometrico 37
primera ecuacion de estructura 81
forma fundamental 41
producto escalar 2
interior 2
proyecciones ortogonales 33
pseudoesfera 43
recta binormal 126, 127
recubrimento universal 62
referencia ortonormal 27
INDEX
reparametrizacion 113
representacion adjunta 65, 142
rotacional 131
seccion local canonica 94
plana 22
segunda ecuacion de estructura 81
forma fundamental 41, 35
forma fundamental de la esfera 36
identidad de Bianchi 129
signatura de una hipersupercie 40
de un producto escalar 3
smbolos de Christoel 12
de Christoel de segunda especie 86
simetra geodesica local 60
global 63
sistema de coordenadas normales 20
subconjuntos ortogonales 2
subespacio de Lie 70
horizontal 91, 92, 96
no degenerado 3
ortogonal 2
subgrupo de isotropa 65, 70
subida de ndice 25
subvariedad semi{riemanniana 5
totalmente geodesica 38
totalmente umbilical 39
subvariedades congruentes 52
supercie de revolucion 127
tensor curvatura 21, 85
curvatura de Ricci 28
curvatura de Riemann 21
curvatura de Riemann{Christoel 25
curvatura normal 138
gravitatorio 129
metrico 5
torsion 84
torsion 79, 104
transformacion afn innitesimal 132
ortogonal 6
transporte paralelo 16, 97
paralelo normal 52
traslacion a la derecha 94
trasladado paralelo normal 52
triangulos congruentes 6
variacion 55
geodesica 55
variedad de Einstein 132
de Grassman 143
de Lorentz 5
de Riemann 5
homogenea 69
llana 23
localmente simetrica 57
paralelizable 10
semi{riemanniana 5
semi{riemanniana completa 17
variedades isometricas 5
vector curvatura normal 39
horizontal 92, 96
unitario 3
vertical 90
vectores ortogonales 2
Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998
INDEX
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Variedades de Riemann: Angel Montesdeoca: La Laguna; 1998