Electrocinética.

CAPÍTULO 5
Í
Corriente eléctrica y circuitos de
Corriente eléctrica y circuitos de corriente continua
Índice del capítulo 5
5 1 Corriente eléctrica.
5.1
eléctrica
y de Ohm.
5.2 Resistencia y la ley
5.3 La energía en los circuitos eléctricos.
5.4 Asociaciones de resistencias.
5.5 Reglas de Kirchhoff.
5 6 Circuitos
5.6
Ci
it RC.
5.1 Corriente eléctrica
La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal: I=
∆Q
∆t
L
id d d l SI d i t id d d
i t
l
La unidad del SI de intensidad de corriente es el amperio (A): 1 A = 1C/s.
Figura 5.1: Segmento de un hilo conductor
portador de corriente. Si ∆Q es la cantidad
de carga que fluye a través del área
transversal A en el tiempo ∆t, la corriente
que atraviesa A es I = ∆Q/∆t.
En el movimiento de los electrones libres en un En el movimiento de los electrones libres en un
conductor en presencia un campo eléctrico, éstos posee una pequeña velocidad media llamada
velocidad de desplazamiento (vd).
)
velocidad de desplazamiento (v
La corriente se puede expresar como (ver figura 5.2):
∆Q
I=
= nqAvd
∆t
donde n es el número de portadores por unidad de volumen.
Figura 55.2:
2: En el tiempo ∆t todas las cargas
en el volumen sombreado pasan a través de A.
Si existen n portadores de carga por unidad de
vvolumen,
u , cada uuna de carga
g q, la carga
g total
de este volumen es ∆Q = qnAvd∆t, donde vd es
la velocidad de desplazamiento.
5.1 Corriente eléctrica
Ejemplo 5.1: ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento en un alambre de cobre típico de radio 0.815 mm que transporta una corriente de 1 A, suponiendo que existe un electrón libre por átomo?
electrón libre por átomo?
Solución: 3.54 x 10‐2 mm/s.
Si los electrones se mueven tan lentamente por el cable, ¿cómo puede ser que la luz eléctrica surja instantáneamente al cerrar el interruptor?
eléctrica surja instantáneamente al cerrar el interruptor?
Ejemplo 5.2:
j p
En un acelerador de partículas, un haz de protones de 5 MeV
p
,
p
yy radio 1.5 mm transporta una corriente de intensidad 0.5 mA. (a) Determinar la densidad de protones del haz. (b) Al incidir el haz contra el blanco, ¿cuántos protones chocan contra éste en un segundo?
Solución: (a) 1.43 x 1013 protón/m3; (b) 3.13 x 1015 protones.
5.2 Resistencia y la ley de Ohm
La figura 5.3 muestra un segmento de cable de longitud ∆L y de sección transversal A por el cual circula una corriente I. Como el campo eléctrico está
circula una corriente I. Como el campo eléctrico está siempre dirigido de las regiones de mayor potencial a las regiones de menor potencial, el potencial en el punto a es mayor que en el punto b. Si consideramos p
y q
p
la corriente como flujo de cargas positivas, estas cargas se mueven en el sentido en el que el potencial decrece. Suponiendo que el campo eléctrico E es constante, la diferencia de potencial V entre los puntos a y b es: V = Va – Vb = E∆L.
El cociente entre la caída de potencial y la corriente se llama resistencia (R):
Figura 5.3: Segmento de alambre portador
de una corriente I. La diferencia de
potencial está relacionada con el campo
eléctrico por la expresión Va – Vb = E∆L.
V
R=
I
La unidad del SI de resistencia se llama ohmio (Ω): 1 Ω
( )
= 1 V/A.
/
Para muchos materiales, la resistencia no depende de la caída de voltaje o de la i t id d ( t i l óh i )
intensidad (materiales óhmicos):
V = IR
( R constante) [La ley de Ohm]
5.2 Resistencia y la ley de Ohm
En los materiales no óhmicos la resistencia depende de la corriente I, de modo que V no es proporcional a I.
La resistencia de un alambre conductor es proporcional a su longitud e inversamente i
l
á
t
l
proporcional a su área transversal:
R=ρ
L
A
siendo ρ la resistividad que depende del material (ver tabla 5.1 en la siguiente página).
Figura 5.4: Gráficos de la corriente en función del
voltaje para (a) materiales óhmicos y (b) materiales
no óhmicos.
La resistividad de cualquier material depende de la temperatura (ver figura 5.5).
Esta dependencia es prácticamente lineal.
Esta dependencia es prácticamente lineal.
g 5.5: G
f de la resistividad en función
f
Figura
Gráfico
de la
temperatura para el cobre. Nótese la relación
prácticamente lineal.
5.2 Resistencia y la ley de Ohm
Tabla 5.1: Resistividades de diversos
materiales a temperatura ambiente.
Tabla 5.2: Diámetros y secciones
transversales de alambres típicos de cobre.
Material
Resistividad ρ
Resistividad
ρ a a
20 oC (Ω m)
Calibre
Diámetro a Diámetro
a
20 oC (mm)
Área Área
(mm2)
Plata
1.6 x 10‐8
4
5.189
21.15
C b
Cobre
1.7 x 10
1
7 10‐88
6
4 115
4.115
13 30
13.30
Aluminio
2.8 x 10‐8
8
3.264
8.366
Tungsteno
5.5 x 10‐8
10
2.588
5.261
Hierro
10 x 10‐8
12
2.053
3.309
Plomo
22 x 10‐8
14
1.628
2.081
Mercurio
96 x 10‐8
16
1.291
1.309
Carbono
3500 x 10‐8
18
1.024
0.8235
Germanio 0.45
20
0.8118
0.5176
Silicio
640
22
0.6438
0.3255
Madera 108‐1014
Vidrio
1010‐1014
Á b
Ámbar
5 x 10
5
1014
Azufre
1 x 1015
5.2 Resistencia y la ley de Ohm
Ejemplo 5.3: Un cable de nicrom (ρ = 10−6 Ω m) tiene un radio de 0.65 mm. ¿Qué longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2 0 Ω?
longitud de cable se necesita para obtener una resistencia de 2.0 Ω?
Solución: 2.65 m.
Ejemplo 5.4: Calcular la resistencia por unidad de longitud de un cable de cobre de calibre 14.
Solución: 8.17 x 10‐3 Ω/m.
Ejemplo 5.5: Determinar el valor del campo eléctrico en un cable de cobre de calibre 14 cuando éste transporta una corriente de 1.3 A.
Solución: 1.06 x 10‐2 V/m.
5.3 La energía en los circuitos eléctricos
Cuando una corriente circula a lo largo de un conductor, se produce una disipación constante de energía en forma de calor que se conoce con el
energía en forma de calor que se conoce con el nombre de efecto Joule.
La energía perdida por unidad de tiempo es la La
energía perdida por unidad de tiempo es la
potencia P disipada en un segmento del conductor:
Figura 5.6
P = IV
donde V es la caída de potencial en ese segmento.
Esta potencia se puede expresar de diversas p
p
p
formas: 2
V
P = IV = I R =
R
2
Ejemplo 5.6: Una resistencia de 12 Ω transporta una corriente de 3 A. Determinar la potencia disipada en esta resistencia.
Solución: 108 W.
5.3 La energía en los circuitos eléctricos
FEM y baterías: FEM y baterías: Un aparato o dispositivo que suministra energía eléctrica recibe el nombre de fuente de fem Una fuente de fem realiza trabajo sobre la carga de fem. Una fuente de fem
realiza trabajo sobre la carga
que pasa a su través. Este trabajo por unidad de carga recibe el nombre de fem de la fuente. La unidad de fem
es el voltio Una batería ideal una fuente de fem que es el voltio. Una batería ideal una fuente de fem
que
mantiene una diferencia de potencial constante entre Figura 5.7: Circuito eléctrico simple
sus terminales. formado por una batería, una
resistencia y cables de conexión.
conexión
El ritmo con el que una fuente de fem suministra energía es la potencia de salida: ∆Qξ
= ξI
P=
∆t
Figura 5.8: Fotografía de un circuito simple
formado por una batería real
real, una resistencia
y los cables de conexión.
5.3 La energía en los circuitos eléctricos
En una batería real la diferencia de potencial entre los bornes de la batería, denominada tensión en los bornes, no es simplemente igual al valor de la fem de la batería Una batería real puede considerarse como una batería ideal más una pequeña
batería. Una batería real puede considerarse como una batería ideal más una pequeña resistencia r, denominada resistencia interna de la batería. Considerando el circuito de la figura 5.10:
Va − Vb = ξ − Ir ⇒ I =
Figura
g 5.9: Tensión en los bornes V en ffunción de
I para una batería real. La línea de puntos
muestra la tensión en el caso de una batería ideal.
ξ
R+r
Figura
g 5.10: Una batería real ppuede
representarse por una batería ideal y una
pequeña resistencia r.
5.3 La energía en los circuitos eléctricos
Ejemplo 5.7: Tenemos una batería de una determinada fem y una resistencia interna r. ¿Qué valor de la resistencia externa R debemos conectar entre los bornes para obtener la máxima potencia en la resistencia?
Solución: R = r (ver figura 5.11).
Figura 5.11: La potencia suministrada entre los extremos
de la resistencia es máxima si R = r.
5.4 Asociaciones de resistencias
Resistencias en serie: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la figura Resistencias en serie: 5.12(a) es la suma de las caídas de potencial a través de las resistencias individuales:
V = IR1 + IR2 = I ( R1 + R2 )
La resistencia equivalente es:
La resistencia equivalente es:
Req = R1 + R2
Cuando hay más de dos resistencias en serie:
Req = R1 + R2 + R3 + ...
Figura
g 5.12: ((a)) Dos resistencias en serie transportan
p
la misma corriente.(b)
( ) Las resistencias de la ffigura
g (a)
( )
pueden substituirse por una sola resistencia equivalente Req = R1 + R2 que proporciona la misma caída de
potencial total cuando circula la misma corriente que en (a).
5.4 Asociaciones de resistencias
Resistencias en paralelo: La caída de potencial a través de las dos resistencias de la Resistencias en paralelo: figura 5.13(a) es la misma y la corriente total es la suma de las corrientes que circulan por cada una de las resistencias:
por cada una de las resistencias:
V = IR1 = IR2 y I = I1 + I 2
La resistencia equivalente es:
La resistencia equivalente es:
1
1
1
= +
Req R1 R2
Cuando hay más de dos resistencias en serie:
Cuando hay más de dos resistencias en serie:
1
1
1
1
= +
+ + ...
Req R1 R2 R3
Figura
g 5.13: ((a)) Dos resistencias están conectadas en pparalelo cuando se conectan juntas
j
en ambos
extremos, de modo que la caída de potencial es la misma a través de cada una de ellas. (b) Las resistencias
de la figura (a) pueden substituirse por una sola resistencia equivalente 1/Req = 1/R1 + 1/R2.
5.4 Asociaciones de resistencias
Ejemplo 5.8: Considere el circuito de la figura 5.14. Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la intensidad total de la corriente (c) la corriente que
intensidad total de la corriente, (c) la corriente que circula por cada resistencia, (d) la potencia disipada en cada resistencia y (e) la potencia suministrada por la batería.
batería
Ejemplo 5.9: Considere el circuito de la figura 5.15. Determinar (a) la resistencia equivalente, (b) la corriente Determinar (a)
la resistencia equivalente (b) la corriente
que circula por el circuito, (c) la caída de potencial a través de cada resistencia, (d) la potencia disipada en cada resistencia y (e) la potencia total disipada.
y( ) p
p
Figura 5.14
Figura 5.15
Ejemplo 5.10: Considere el circuito de la figura 5.16. Determinar (a) la resistencia equivalente del circuito y
(b) la corriente que circula por cada una de las resistencias y su correspondiente caída de potencial.
Figura 5.16
5.5 Las reglas de Kirchhoff
Existen muchos circuitos simples, tales como el de la figura 5.17,que no pueden analizarse meramente reemplazando combinaciones de resistencias por
reemplazando combinaciones de resistencias por una resistencia equivalente. Existen dos reglas, llamadas reglas de Kirchhoff, que se aplican a éste y a cualquier otro circuito:
a cualquier otro circuito:
Figura 5.17
1. La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o malla del circuito debe ser igual a cero.
2. En un punto o nudo de ramificación de un circuito en donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.
‰ La primera regla, llamada regla de las mallas, es una consecuencia de que el campo eléctrico es conservativo.
[Reglas de Kirchhoff]
‰ La segunda regla, llamada regla de los nudos, se d d
deduce de la conservación de la carga (ver figura 5.18):
d l
ió d l
(
fi
5 18)
I1 = I 2 + I 3
Figura 5.18
5.5 Las reglas de Kirchhoff
Circuitos de una sola malla: Como ejemplo de la aplicación de la primera regla de Kirchhoff consideramos el circuito de la figura 5.19. Deseamos determinar la corriente en función de las fems y resistencias:
− IR1 − IR2 − ξ 2 − IR3 + ξ1 − Ir1 = 0
I=
ξ1 − ξ 2
R1 + R2 + R3 + r1 + r2
Figura 5.19: Circuito formado por dos
baterías y tres resistencias.
5.5 Las reglas de Kirchhoff
Ejemplo 5.11: Considere el circuito de la figura 5.20. (a) Hallar los potenciales en los puntos a hasta e
(a) Hallar los potenciales en los puntos a
hasta e
indicados en la figura suponiendo que el potencial en el punto e es cero. (b) Determinar la potencia de entrada y de salida del circuito.
Figura 5.20
Ejemplo 5.12: Una batería de automóvil totalmente cargada se conecta mediante cables a otra batería descargada para proceder a su carga. (a) ¿A qué b
borne de la batería débil debemos conectar el borne d l b
í déb l d b
lb
positivo de la batería cargada? (b) Suponer que ésta tiene una fem de 12 V mientras que la débil tiene una fem
f
d 11 V
de 11 V, que las resistencias internas de las l
it i i t
d l
baterías son r1= r2= 0.02 Ω y que la resistencia de los cables es R = 0.01 Ω. ¿Cuál será la corriente de carga? (c) ¿Y si las baterías se conectan
carga? (c) ¿Y si las baterías se conectan incorrectamente, cuál sería la corriente?
Figura 5.21
5.5 Las reglas de Kirchhoff
Circuitos de múltiples mallas:
Para cada rama del circuito dibujamos una flecha indicando el sentido positivo de la corriente. La diferencia de potencial entre los extremos final e inicial de una determinada resistencia es igual a –IR, y entre el inicial y final es IR.
Ejemplo 5.13: (a) Determinar la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figura 5.22. (b) Calcular la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4 Ω.
Figura 5.22: Circuito del ejemplo 5.13.
Figura 5.23: Solución del ejemplo 5.13.
5.5 Las reglas de Kirchhoff
Ejemplo 5.14: (a) Determinar la intensidad de la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figura 5.24. Dibujar el diagrama del circuito
la figura 5.24. Dibujar el diagrama del circuito con los valores absolutos y los sentidos de la corriente en cada una de las partes. (b) Asignar V = 0 en el punto c
p
yy después especificar el p
p
potencial en cada uno de los puntos de a a f
respecto de aquel.
Figura 5.24
Planteamiento y solución: ver figuras 5.25 y 5.26. Figura 5.25
Figura 5.26
5.5 Las reglas de Kirchhoff
A
Amperímetros, voltímetros y ohmímetros:
í t
ltí t
h í t
Figura 55.27:
27: Para medir la corriente
que circula por una resistencia R se
coloca un amperímetro en serie con
ella,, de tal modo qque ppor él circula
la misma corriente que por la
resistencia.
Figura 5.28: Para medir la caída
de tensión entre los extremos de
una resistencia se coloca un
voltímetro en paralelo con ella, de
modo qque las caídas de potencial
p
a
través del voltímetro y la
resistencia sean las mismas.
Figura 5.29:
Fi
5 29 Un
U amperímetro
í t se
compone de un galvanómetro cuya
resistencia es Rg y una resistencia
pequeña en paralelo Rp. (b) Un
voltímetro se compone de un
galvanómetro y una resistencia
grande en serie Rs.
Figura 5.30: (a) Ohmímetro formado por una batería en serie
con un ggalvanómetro y una resistencia Rs. ((b)) Cuando una
resistencia R se sitúa entre a y b, la aguja del galvanómetro se
desvía en una cantidad que depende del valor de R.
5.6 Circuitos RC
Descarga de un condensador:
Q
dQ
+R
=0
C
dt
Figura 5.31: Circuito RC.
Q(t ) = Q0 e
− t / RC
= Q0 e
−t /τ
Figura 5.32: Carga como función del tiempo en el
proceso de descarga de un condensador en un circuito
RC.
Q0 −t / RC
y I (t ) =
e
= I 0 e −t /τ
RC
Figura 5.32: Corriente como función del tiempo en el
proceso de descarga de un condensador en un circuito
RC.
5.6 Circuitos RC
Carga de un condensador:
Q
dQ
ξ − −R
=0
C
dt
Q(t ) = Cξ (1 − e
− t / RC
) = Q f (1 − e
Figura 5.35: Carga como función del tiempo en el
proceso de carga de un condensador en un circuito RC
con una batería.
Figura
g 5.34: Circuito RC
con batería.
−t /τ
) y I (t ) =
ξ
R
e −t / RC = I 0 e −t /τ
Figura 5.36: Corriente como función del tiempo en el
proceso de carga de un condensador en un circuito RC
con una batería.