5.1y2 Diagonalizacio..

Bloque 5:
DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS Y MATRICES
5.1 Autovalores, autovectores y subespacios propios
5.2 Diagonalización por semejanzas
Programa:
0.- Concepto de diagonalización: matrices semejantes.
1.- Valores y vectores propios. Propiedades.
2.- Cálculo de autovalores y autovectores. Ecuación característica
3.- Endomorfismos y matrices diagonalizables. Condición necesaria y suficiente. Matrices simétricas
Bibliografía.-
"Algebra Lineal " J. Burgos (cap. IX)
"Algebra Lineal con aplicaciones" Grossmann (cap. VI)
"Problemas de Algebra Lineal" Pinilla
"Problemas de Algebra" A. de la Villa
Introducción:
Tratamos en este tema de estudiar cuando una matriz es semejante a una diagonal.
Recordamos que dos matrices A y B son semejantes, cuando existe una matriz regular P / B=PAP-1
A y B son matrices de la misma aplicación lineal f: E→E (endomorfismo) referidas a bases distintas.
El problema es, encontrar (si existe) una base respecto de la cual la matriz del endomorfismo sea Diagonal.
A este proceso le llamaremos diagonalización por semejanza
1.- VALORES Y VECTORES PROPIOS. PROPIEDADESSea f endomorfismo de E (e.v. sobre K) f: E Æ E
Definición 1: λ se le llama valor propio o autovalor si ∃ x ∈E-{0} / f(x)= λ.x
Definición 2: Decimos que x∈E- {0} es un autovector o vector propio, (asociado al autovalor λ)
⇔ f(x) = λ.x
λ∈K.
Definición 3 : Se llama espectro de f al conjunto de sus autovalores
Γ(f) = {λ ∈ K / λ es autovalor }.
Observación No siempre existen autovalores de un endomorfismo
Ejemplos:
1/ Si V={e.v. de las funciones derivables}. Y la aplicación lineal ϕ(f(x))=f ´(x)
2/ Si
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎝1 ⎠
⎡10 −18⎤
A=⎢
⎥
⎣ 6 −11⎦
ex es un autovector asociado al autovalor λ=1.
e2x es un autovector asociado al autovalor λ=2.
es un autovector propio asociado a λ=1.
⎛3⎞
⎜ ⎟ es un autovector propio asociado a λ=-2.
⎝2⎠
3/ f: R2→R2 cuya matriz es
⎡1 -2⎤
M(f) = ⎢
⎥
⎣2 1 ⎦
no tiene autovalores en R.
4/ f: R2→R2 siendo f(x,y)=(y,-x) tampoco tiene autovalores. En efecto, por definición de autovectores,
f (x,y) =λ(x,y) ⇒ λ(x,y)=(y,-x)→
fqg
⎧ y =λ⋅x
⎨
⎩ x = −λ ⋅ y
→ λ 2 = −1
sin sol. en R2 (de C2 en C2 si existiría solución).
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5/ V = C(I,R) = {funciones reales continuas} I= [0,1].
f: V→ V
x∈I→ R
y(t) =
t
∫ x( s )ds
(área )
0
La ecuación f(x) = λx ⇒ t∫0 x(s)ds = λ x (t)
x(0) = 0
x(t) =λ x′ (t) → x(t)=c⋅ et/λ (c=cte) como x(0)=0 ⇒ c=0 y por tanto x(t) =0 ⇒ no ∃ autovalores.
PROPIEDADESa) El conjunto de autovectores asociados al autovalor λ , junto con el vector ⎯0 forman un espacio
vectorial llamado subespacio propio asociado a λ .
Vλ = {x∈E/f(x) = λx } = {x ∈E/(f -λi )x= 0} = Ker(f-λi) i=identidad
b) Si λ , μ ∈ Γ(f) / λ ≠ μ entonces Vλ ∩ Vμ = {0}, -esto es la suma es directa-.
c) Si λ1,....,λr ∈ Γ(f) distintos dos a dos y ⎯x1,.......,⎯xr son autovectores asociados a los λi
→ {xi } i=1, .,r linealmente independientes.
d) Si x es un autovector asociado a λ ⇒ px es también autovector asociado a λ, siendo p∈K.
e) Si λ = 0 es autovalor de f ⇔ f es no inyectivo.
f) λ∈Γ(f) ⇔ ∀h∈K, λ-h∈Γ(f-hi).
g) λ ∈Γ(f) ⇔ f-λi es no inyectivo.
NOTA. Todas las definiciones anteriores se pueden trasladar al conjunto de matrices cuadradas Mp(K).
"λ es autovalor de
A ⇔ Ax=λx ⇔ (A-λI)x=0, x ∈ E"……......
2.- CALCULO DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. ECUACIÓN CARACTERISTICA.
Consideraciones previas.
Si f: V→V n=dim(V)
dimensiones de los subespacios propios
directa ⇔
r
∑d
i
λ1,.....,λr
autovalores (distintos) d1,d2,...,dr
Como Vλi ∩ Vλj ={0}
Vλi. i=1,2,....,r.
⇒
⊕ Vλi
≤ n. Además tengamos en cuenta que dim(Vλ) = n–rg( f-λi )
1
Sea f: V→V (dim V = n)
Demostración:
λ es autovalor de f ⇔ f(x ) = λx ⇔ (f -λi)(x) =0
SELH (I)
teniendo en cuenta que la ecuación de f es: f( x) = X.M(f) o en columnas
Los autovalores serán las soluciones de:
⏐M-λI ⏐= 0
Y=M ⋅ X
(II)
Condición de compatibilidad del sistema SELH (I).
A (II) se le llama ecuación característica de f.
Y al polinomio p(λ) =⏐M -λI ⏐ se le llama polinomio característico.
NOTA:
El polinomio característico tiene la forma : p(λ) = anλn + an-1λn-1+ .........+ a1λ + a0.
Siendo:
a0 =⏐M⏐
a1 =(-1)(α11+......+αnn)
:
fqg
:
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es
:
:
⎛n⎞
ap =(-1)p( ∑ de los ⎜ ⎟ menores diagonales de orden n-p)
⎝ p⎠
an-1 = (-1)n-1.(m11+m22+....+mnn) = (-1)n-1 traza A.
an = (-1)n.
En resumen:
Polinomio característico y ecuación característica.
Llamaremos ecuación característica a la ecuación que nos da los autovalores:
|f-λI|=0. (que es la CNS de compatibilidad del SEL (f-λI)x=0).
Llamaremos polinomio característico a P(λ)=|f-λI|.
Desde un punto de vista matricial: Dada una matriz cuadrada A, llamaremos ecuación característica a
|A-λI|=0. Y polinomio característico a P(λ)=|A-λI|.
Procedimiento para el cálculo de autovalores y autovectores:
1/ Obtener P(λ)=|A-λI|.
2/ Obtener las raíces (autovalores) de P(λ).
3/ Para cada λi obtener los xi / (A-λiI)X=0.
⎡1 -1 4 ⎤
A = ⎢⎢3 2 -1⎥⎥
⎢⎣2 1 -1⎥⎦
Ejemplo: Obtener los autovalores y autovectores de la matriz.
El polinomio característico es
Las raíces de dicho polinomio son λ1=1, λ2=-2 y λ3=3.
P(λ)=|f-λI|=-λ3+2λ2+5λ-6.
⎧x 1 + x 3 = 0
⎨
⎩x 2 − 4 x 3 = 0
Para λ1 =1, V1={x/(A-1.I)x=0}=
⇒ V1=<(-1,4,1)>.
Para λ2 =-2, V-2={x/(A+2.I)x=0} ⇒ V-2=<(-1,1,1)>.
Para λ3 =3, V3={x/(A-3.I)x=0} ⇒ V3=<(1,2,1)>.
⎡1
0
0⎤
⎢0
⎣
0
3⎥⎦
⎡−1 −1 1 ⎤
-1
⎥
1 2⎥ ⇔ P AP=D
⎢ 1 1 1⎥
⎣
⎦
La matriz diagonal es D= ⎢⎢0 − 2 0⎥⎥ y la matriz de paso es P = ⎢⎢ 4
Proposición:
El polinomio característico no depende de la base elegida.
En efecto: Sea Y = M⋅X ecuación de f P(λ)=⏐M -λI⏐.
Si se cambia la base
M′=P-1MP
X=P⋅X′
→ PY′ = MPX′ → Y′ = (P-1MP)X′
← Nueva matriz respecto a una nueva base B′
p′(λ)= ⏐M′-λI⏐ = ⏐P′MP-λI⏐= ⏐P-1(M-λI) P⏐ = ⏐P-1⏐⏐M-λI⏐⏐P⏐= p(λ)
Por tanto p(λ) es único y sólo depende de f.
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ.
Todo lo dicho anteriormente para endomorfismos, se traslada a las matrices cuadradas de orden n,
dada la biyección existente entre f(E,E) =End (E) y Mn (ℜ) (fijada una base en E).
fqg
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Si se ha visto que p(λ) es invariante ante un cambio de bases, por tanto iguales autovalores y
ordenes de estos.
La implicación contraria no es cierta:
⎡1 1⎤
⎡1 0 ⎤
2
A= ⎢
y B=⎢
⎥
⎥ tienen la misma ecuación característica (λ -1) =0 y sin embargo no son
0
1
⎣0 1 ⎦
⎣
⎦
⎡a
P=⎢
⎣c
semejantes pues no existe
b⎤
d ⎥⎦
tal que P-1AP =B pues sería a=0=c ⇔
no existiría P-1
3.- ENDOMORFISMOS Y MATRICES DIAGONALIZABLES. Condición necesaria y suficiente.
MATRICES SIMETRICAS
Definición 1.1 Llamaremos multiplicidad geométrica del autovalor λj a la dimensión del
Ker(f-λji)=dj =dim(Vj)
Definición. 2- Llamaremos multiplicidad algebraica del autovalor λj al grado αj de multiplicidad de la
raíz λj en el polinomio característico P(λ).
Teorema 1.a) ∀λi∈σ(f) se cumple di≤αi
b) Si λ1......,λr son autovalores con multiplicidades algebraicas α1,.....,αr respectivamente,
entonces se cumple:
r
r
r ≤ ∑ d i ≤ ∑ α i ≤n siendo (n=dim(E)).
i=1
i=1
Teorema 2.- Un endomorfismo f es diagonalizable (existe una base de vectores propios) ⇔
r
∑α i = n
a)
b)
i=1
αi =di i=1,2.....,r.
En particular el endomorfismo es diagonalizable si el polinomio característico P(λ) se descompone
totalmente.
En términos de matrices diremos que es diagonalizable (por semejanza) cuando:
∃ P regular/ P-1AP = D
(P es igual a la matriz formada por los vectores propios, matriz del cambio de bases).
Con todo lo anterior tenemos las siguientes conclusiones:
a) el nº máximo de autovectores linealmente independientes es d1+d2+....+dr número que está
acotado por r ≤ ∑ di ≤ n. Y además Vλ1⊕ ......⊕ Vλn.
b) Para que exista una base de vectores propios se precisa que
r
∑d
i
=n
1
r
(o sea V= ⊕ Vλi ),
i =1
en consecuencia habrá una tal base si se cumple:
1) α1+......+αr = n (el polinomio se descompone totalmente).
2) αi = di (el orden de multiplicidad de cada autovalor = a la dimensión del espacio
propio asociado).
Casos particulares:
1.- Si K es algebraicamente cerrado la condición 1) se cumple.
fqg
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2.- Si f tiene
di=1 =αi ⇒
n
autovalores distintos dos a dos entonces se cumple 1) y 2) pues dim(Vλi) =1,
n
∑α
i
=n
con lo que V = Vλ1⊕........⊕Vλn.
1
Demostración de:
Si el autovalor λ0, tiene multiplicidad α y d=dimensión (Vλo) entonces 1≤ d ≤ α.
En efecto:
Si d= dim(Ker(f-λoi) =dim (Vλo) sea una base de V que contenga un base de Vλo B={v1,⎯v2,....,⎯vd,⎯vd+1,.....,⎯vn }
Entonces la matriz de f:
⎡ λ0
⎢
⎢
⎢
M= M(f) = ⎢
⎢
⎢ −−
⎢
⎢a d +1,1
⎢ M
⎢
⎣⎢ a n1
|
⎤ ← f (v1 )
⎥ ← f (v )
λ0
|
2
⎥
⎥
|
O
⎥
λ0 |
⎥ ← f (v d )
− − − − − − | − − − − −⎥
⎥
| K a d +1, 2 ⎥ ← f (v d +1 )
K K
⎥
|
⎥
K K
| K
a nn ⎦⎥ ← f (v n )
el polinomio característico es :
⎡a d +1,d +1 − λ K a d +1,n ⎤
M − λI = (λ d − λ ) ⎢
M
O
M ⎥⎥
⎢
⎢⎣
a n1
K a nn − λ ⎥⎦
d
Por tanto la multiplicidad de λ0 será d como mínimo. d ≤ α
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES REALES SIMETRICAS.
En el caso de las matrices reales simétricas (muy frecuente en problemas de física, por ejemplo),
se prueba que:
-
Todos los autovalores son reales.
-
La matriz es diagonalizable.
-
Los vectores propios pueden tomarse real.
Además en el caso de matrices reales simétricas, la situación es aún más rica en resultados:
La matriz de paso P es ortogonal, se dice que la matriz es ortogonalmente semejante.
Definición.-
A es ortogonal ⇔ A-1= At
⎧= 0 si i ≠ j⎫
Definición.- Una familia de vectores {vi}es ortogonal ⇔ vi .v j = ⎨
⎬
⎩ = 1 si i = j ⎭
Teorema 3.- (Caso de matrices simétricas reales)
Si A es una matriz simétrica real entonces:
a) Todos los autovalores son reales.
b) Si λ≠μ (autovalores)⇒ los autovectores asociados son ortogonales y reales.
Por ello la matriz de paso P es ortogonal (P-1 = Pt).
fqg
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AUTOVALORES DE UNA MATRIZ REAL SIMETRICA.
A ∈Mn (ℜ) es como un caso particular de las Mn (C) y en este caso hay n autovalores pues C es
algebraicamente cerrado.
Con A es real ⇒ p(λ) =⏐A-λI⏐ es polinomio grado n con coeficientes reales
−
→Si λ es autovalor complejo → λ (conjugado) también es autovalor.
Proposición: A matriz real simétrica λ1 , λ2 autovalores reales de A y x1 es vector propio asociado a λ1,
x2
a λ2
(λ1 -λ2) X2t⋅X1 = 0.
entonces
En efecto: AX1 =λ1X1 → X2t AX1 =λ1 X2t X1
λ1 X2t X1 = λ2 X2t X1 →
AX2 =λ2X2 → X1t AX2 =λ2 X1t X2
→ (λ1 -λ2) X2t X1 =0 cqd.
Proposición: Todos los autovalores de una matriz real simétrica son reales
−
Sea λ autovalor de A q.d. λ = λ
En efecto:
−
−
−
−
−
Sea AX= λX → A X = λ X (conjugados) → X es vector propio correspondiente a λ
⎛ X1 ⎞
⎜ ⎟
Entonces (λ - λ ) X X =0 ⇒ Si λ≠ λ → X X= 0 → ( X 1,....., X n) ⎜ M ⎟ = 0
⎜X ⎟
⎝ n⎠
−
→
−
n
−
∑ X i X i =0 ⇒
1
−
t
−
−
t
−
−
n
∑ | X i | = 0 ⇒ Xi =0 ∀i imposible por tanto λ = λ .
1
SEMEJANZA ORTOGONAL.
Si A, B ∈ Mn (ℜ) se dicen semejantes si ∃ P regular / P-1AP = D.
A,B ∈ Mn (ℜ) ortogonalmente semejantes si existe P ortogonal / B =P-1AP. P ortogonal
⇔
P-1= Pt
Proposición: A matriz real simétrica, λ ≠ μ, λ,μ∈Γ(f) ⇒ Vλ ⊥ V
Si
x ∈ Vλ → A ( x ) = λ ⋅ x →
y ∈ Vμ → A ( y ) = μ ⋅ y →
(1
μ2
− λ ) ⋅ y t ⋅ x = 0 ⇒ yt x = 0 → y ⊥ x
3
≠0
Proposición. Si f: ℜn → ℜn es una aplicación lineal simétrica y V subespacio de ℜn / f(V)⊂V entonces
V tiene al menos una base ortogonal constituida por vectores propios.
TEOREMA ESPECTRAL. Si f: ℜn → ℜn es aplicación lineal simétrica entonces existe base
ortonormal de ℜn, constituida por vectores propios.
TEOREMA. Toda matriz real simétrica es ortogonalmente diagonalizable es decir:
fqg
A ∈ Mn (ℜ)
Existe P , regular ortogonal.
A simétrica
/ P-1AP = D.
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