Transiciones a Sincronización en Islotes de Células Pancreáticas Juan Gonzalo Barajas Ramı́rez Laboratorio de Biodinámica y Sistemas Alinéales, DMAp-IPICyT, Apdo Postal 3-90, Tangamanga, CP 78231, San Luis Potosı́, S.L.P., México Email: jgbarajas@ipicyt.edu.mx Resumen— Se investiga el comportamiento sincronizado en arreglos de células pancreáticas β a partir de un modelo simplificado de la actividad eléctrica en la membrana de una célula aislada. Concibiendo al islote como una red de células acopladas eléctricamente, el comportamiento acoplado de las células pancreáticas dentro del islote se analiza en términos de la estabilidad de la dinámica transversal de la red acoplada. Analizando de esta manera las transiciones a comportamiento sincronizado es posible establecer pautas para la modelación de condiciones precursoras de la secreción de insulina e inclusive escenarios bajo los cuales atrofia en el proceso libración de insulina, relacionando estos fenómenos con la actividad eléctrica de las células β y la topologı́a del islote pancreático. Palabras clave: Sincronización, Osciladores Redes Dinámicas, Células pancreáticas β. acoplados, I. I NTRODUCCI ÓN Las células del páncreas se agrupan en islotes de Langerhans, los cuales están constituidos por millones de células capaces de secretar compuestos endocrinos. Las células pancreáticas β, que son las encargadas de secretar insulina, constituyen aproximadamente el 80 % de todas las células en el islote. La liberación de insulina de las células β esta directamente relacionada con su actividad eléctrica de su membrana celular, la cual se presenta en forma de disparos de picos (ddp), también llamados spike-bursts (Izhikevich, 2000; Dhamala et al, 2004). Diversos estudios experimentales han demostrado que la aparición de ddp en la actividad eléctrica de las células β se puede observar en islotes intactos, mientras que para una célula aislada, en general la membrana celular no presenta ddp (Pernarowski, 1998). Este contraste en el comportamiento de una célula por el simple hecho de pertenecer o no al islote pone de manifiesto la necesidad de investigar el efecto que las caracterı́sticas del arreglo de células tienen sobre la dinámica local de cada uno de sus miembros. Un islote pancreático puede concebirse como una red eléctricamente acoplada donde cada célula es un oscilador que esta acoplado con los demás mediante canales de flujo de iones, llamados gap junction channels (PerezArmendariz et al, 1991). En (Smolen et al, 1993) se utilizo el modelo eléctrico del islote para proponer una explicación de porque las células β generan ddp cuando están eléctricamente acopladas, la cual llamaron la hipótesis de la heterogeneidad. En esta explicación la falta de ddp se atribuye a una posible diversidad paramétrica entre las células β del islote, de modo que aunque individualmente una célula dada no presente ddp, al verse afectadas por el acoplamiento con otras células en el islote finalmente se alcanza la sincronización de todas las células a un estado donde se presentan disparos de pulsos. Cabe mencionar que esta hipótesis fue justificada originalmente mediante estudios numéricos. El comportamiento eléctrico de las células β surge de la interacción entre dos subsistemas con diferentes escalas de tiempo, oscilaciones lentas (disparos) y rápidas (picos). En un arreglo de células con este tipo de dinámica la sincronización involucra tanto sincronı́a entre disparos como sincronı́a entre picos, bajo diferentes condiciones de acoplamiento la red puede presentar la primera, la segunda o ambas formas de sincronı́a (Dhamala, 2004). En trabajos recientes (Pecora y Carroll, 1998; Wang y Chen, 2002) se ha mostrado que la estabilidad del comportamiento sincronizado en una red de osciladores acoplados puede ser determinada analizando los exponentes de Lyapunov transversales (eLt) de la red (Rangarajan y Ding, 2002). En esta contribucion se propone utilizar el análisis de eLt para determinar condiciones bajo las cuales un islote de células β logra un estado de sincronización. En particular, se considera el caso de una red con células que aisladas no presentan ddp y que logran producir ddp como resultado de la sincronización dinámica del islote. Analizando de esta manera las transiciones a comportamiento sincronizado en la red de células β es posible establecer pautas para la modelación de condiciones precursoras de la secreción de insulina e inclusive escenarios bajo los cuales se atrofia el proceso libración de insulina en el islote pancreático. En la Sección II se presenta un modelo simplificado de la actividad eléctrica de una célula pancreática β ası́ como las condiciones paramétricas para las cuales el modelo reproduce los comportamientos de ddp. En la Sección III se modela el islote de células pancreáticas β acopladas mediante canales de flujo de iones como un arreglo de osciladores idénticos linealmente acoplados. Analizando este modelo en términos de exponentes de Lyapunov en la Sección IV se establecen condiciones bajo las cuales el islote logra sincronizarse. Enseguida se analiza el caso de un islote donde algunas de las células que lo conforman tienen un punto fijo estable, es decir, no presentan ddp, entonces Congreso Nacional de Control Automático A.M.C.A. 2007 24-26 de octubre, Monterrey, N.L. al ser acopladas apropiadamente en el islote se genera un estado de sincronización donde todas las células se disparan, aunque no necesariamente en sincronı́a de ambas escalas de tiempo. Para ilustrar estos resultados, se presentan simulaciones numéricas en la Seccion V. Por ultimo, en la Sección VI se presentan conclusiones y comentarios sobre los resultados presentados. II. M ODELO Para diferentes valores de los parámetros el modelo (1)-(7) el sistema dinámico (1)-(3) exhibe diferentes tipos de comportamientos. En particular, un patrón de disparos cuadrados similar al observado para la actividad eléctrica de las células pancreáticas β se obtiene para los parámetros (ver Figura 1): a = 41 , η = 43 , û = 32 , β = 4, uβ = −0,954, ǫ = 0,0025, τ̄ = 1 DE LA D IN ÁMICA E L ÉCTRICA DE UNA C ÉLULA β A ISLADA El modelo adimensional simplificado de la actividad eléctrica en una célula pancreática β esta descrito por las ecuaciones (Pernarowski, 1998): du = f (u) − w − k(c) (1) dt dw 1 = (w∞ (u) − w) (2) dt τ̄ dc = ǫ(h(u) − c), 0 < ǫ ≪ 1 (3) dt donde u es relativo al potencial de la membrana; w es relativo a parámetros de activación de los canales de flujo iónico y capacitancı́a de membrana; c es relativo a las concentraciones de agentes reguladores intracelulares. Para que el sistema (1)-(3) se ajuste a los resultados experimentales se construye el sistema usando las siguientes funciones: a f (u) = − u3 + aûu2 + (4) 3 1 ( − a(û2 − η 2 ))u τ̄ k(c) = τ̄ c (5) a 3 2 (6) w∞ (u) = (τ̄ − )u + aûu + 3 1 ( − a(û2 − η 2 ) − 3τ̄ ) τ̄ h(u) = β(u − uβ ) (7) (8) La relación de las escalas de tiempo esta dada por ǫ, de modo que el subsistema rápido esta formado por (u, w) para ǫ = 0, mientras que el subsistema lento esta formado por (c). Es el subsistema lento el encargado de establecer la dinámica de los disparos cuadrados, de modo que el parámetro mas significativo es uβ (Pernarowski, 1998), para un valor uβ = −1,375 el sistema va a un punto fijo (ver Figura 2) 4 2 0 −2 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 Time 400 500 600 5 0 −5 2 1.5 1 0.5 Figura 2. Actividad Eléctrica en un punto fijo 4 III. 2 0 −2 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 Time 400 500 600 5 0 −5 2 1.5 1 0.5 Figura 1. Actividad Eléctrica con disparon de pulsos M ODELO DE UN I SLOTE DE C ÉLULAS β Dentro del islote cada célula β esta conectadas a las demás mediante diversos canales de flujo de iones con diferentes inductancias. De modo, que la corriente que conecta dos células m y n esta dada por Imn = gmn (um − un ), donde gmn es la conductancia de la red entre las dos células. No es claro de los resultados experimentales la forma de gmn , para fines de análisis, en modelos previamente propuestos el acomodo de las células dentro del islote se asume regular y la conductancia de la red homogénea gmn = gc . Otros aspectos importantes del modelo del islote de células pancreáticas β es que las conexiones entre células solo afectan el voltaje de membrana y la estructura de conexiones es simétricamente difusiva (PerezArmendariz, 1991; Smolen, 1993; Pernarowski, 1998). Un modelo simplificado de la actividad eléctrica en un Congreso Nacional de Control Automático A.M.C.A. 2007 24-26 de octubre, Monterrey, N.L. islote con M células β esta dado por: dui dt dwi dt dci dt = f (ui ) − wi − k(ci ) + gc M X aij (ui − uj ) (9) j=1 = η̇i = DF (s)ηi + gc 1 (w∞ (ui ) − wi ) τ̄ (10) = ǫ(h(ui ) − ci ), 0 < ǫ ≪ 1 (11) para i = 1, 2, ..., M . Donde la matriz constante de elementos cero y uno A = {ai j} ∈ RM×M es llamada la matriz de conectividad del islote; construida tal que si existe una conexión entre los nodos i y j entonces, aij = aji = 1, si no hay conexión aij = aji = 0. Además para satisfacer la condición de simetrı́a difusiva los elementos de A se relacionan entre si tal que PM PM (12) aii = j=1 aij = j=1 aji Se dice que la red (9)-(11) alcanza la sincronización cuando se satisface el siguiente criterio x1 = x2 = ... = xM = s, t→∞ (13) donde xi = (ui , wi , ci ) y s es la solución de sincronización de la red, la cual es la solución de un nodo aislado, por lo tanto satisface las ecuaciones (1)-(3), e.g. ṡ = F (s), donde F (s) = ⊤ f (s1 ) − s2 − k(s3 ), τ1 (w∞ (s1 ) − s2 ), ǫ(h(s1 ) − s3 ) IV. Linealizando la ecuación (15) al rededor de la solución de sincronización s, tenemos la ecuación de variacional del comportamiento transversal: S URGIMIENTO DE SINCRONIZACI ÓN EN UN ISLOTE DE C ÉLULAS β ẋi = F (xi ) + gc aij Γ(xi − xj ) (14) j=1 donde la matriz Γ = diag([1, 0, 0]) ya que las células están acopladas solo por sus primeras coordenadas. Para determinar la estabilidad del comportamiento sincronizado en el islote, se analiza la dinámica del error de sincronización (ei = xi − s), la cual esta dada por: ėi = F̄ (ei ) + gc M X aij Γei (15) j=1 donde F̄ (ei ) = F (xi ) − F (s). Asumiendo que ninguna célula esta aislada del islote, la matriz de conectividad A tendrá las siguientes propiedades: (1) es simétrica e irreducible; (2) cero es un eigenvalor de A que es de multiplicidad uno; (3) el resto de eigenvalores de A son reales estrictamente negativos, de modo que se pueden ordenar de la siguiente manera: 0 = λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥ ... ≥ λM aij Γei (17) j=1 para i = 1, 2, ..., M , donde DF (s) es el Jacobiano de F (·) evaluado en s. Dado que A es una matriz real y simétrica existe una matriz unitaria, tal que A se puede diagonalizar mediante una transformación de coordenadas, tal que (Wang, 2002): ν̇i = [DF (s) + gc λi Γ]νi (18) para i = 2, ..., M De esta manera, la estabilidad del estado sincronizado en el sentido de (13) se determina a partir de la estabilidad del sistema linealizado (18). Existen dos maneras básicas de establecer la estabilidad de la ecuación variacional (18), en primera instancia es posible utilizar el método de la Master Stability Function (Pecora, 1998) en el cual se utiliza el cambio de varaible α = gc λi en la ecuación (18), entonces debido a que los eigenvalores de A están ordenados por tamaño, sı́ λ2 (el eigenvalor más grande de A) es negativo, todos los exponentes de Lyapunov transversales de la red serán asintóticamente estables y la red alcanzara asintóticamente un estado sincronizado. Alternativamente, la estabilidad de (18) puede ser establecida mediante un analisis de estabilidad basado en los teorema de Lyapunov (Wang, 2002): Si existe una matriz diagonal D ∈ RM×M y dos constantes α > 0 y τ > 0 tales que se satisface [DF (s) + dΓ]⊤ D + D[DF (s) + dΓ] ≤ −τ IM La red (9)-(11) se puede rescribir como: M X M X (19) para todo d ≤ α. Entonces, la red (9)-(11) se sincronizará en el sentido de (13), si α gc ≥ (20) λ2 Uno de los aspectos más interesantes del comportamiento eléctrico de las células β es que asiladamente no producen ddp, mientras que una vez acopladas en forma de islotes, se presenta un fenómeno de sincronización a través del cual todas las células producen ddp. Una hipótesis sobre este comportamiento es sugerida en (Smolen, 1993) al acoplar en una misma red células β apagadas, es decir, con parámetros que no presentan ddp, con células activas, las cuales si presentan ddp; ellos demostraron numéricamente que para una fuerza de conexión suficientemente grande todas las células del islote se activan. Desde el punto de vista del análisis de estabilidad del estado sincronizado esto se puede ver como un sistema con incertidumbres paramétricas aditivas, de modo que la dinámica de error tendrá la forma: ėi = F̄ (ei ) + ∆F (ei ) + gc (16) Congreso Nacional de Control Automático A.M.C.A. 2007 M X aij Γei (21) j=1 24-26 de octubre, Monterrey, N.L. Dynamical evolution Dynamical evolution 4 4 2 2 0 0 −2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 −2 10 10 5 5 0 0 −5 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 −5 3 3 2 2 1 1 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Time Time Figura 3. Sincronizacion en celulas β identicas Figura 4. Sincronización en células β diferentes Dynamical evolution donde ∆F (ei ) es el resultado de los errores paramétricos entre el valor nominal de las células activadas y la células apagadas. Asumiendo k∆F (ei )k < γei , es posible diseñar la ganancia gc tal que las condiciones (18) y (20) se satisfagan dando lugar a una sincronización en el sentido de (13) en la cual todas las células se activan. 4 2 0 −2 −4 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 200 400 600 800 1000 Time 1200 1400 1600 1800 2000 10 5 V. R ESULTADOS NUM ÉRICOS Se simulo numéricamente una red de dieciséis células β idénticas todas activadas y globalmente acopladas de acuerdo a la estructura descrita por (9)-(11). Inicialmente la fuerza de conectividad es menor a la requerida por el criterio (20), en el instante t = 35 la fuerza de conectividad es cambiada tal que (20) se satisface. Se observa que asintóticamente las células llegan a un estado de sincronı́a tanto en disparos con en pulsos. En la Figura 3 se presenta la evolución dinámica del islote de tres de las células del islote. Enseguida se acoplaron ocho células apagadas y ocho activas, para un valor de conectividad suficientemente grande se observo, que para una fuerza de conectividad que satisface el criterio (20) se logra sincronı́a en los disparos pero a una frecuencia menor (ver Figura 4). Por otro lado, al aumentar la fuerza de conectividad aun más, se logra una sincronı́a en los pico pero deformados (ver Figura 5). VI. C OMENTARIOS Y DISCUSI ÓN DE RESULTADOS El problema de la transición a sincronización en islotes de células β es investigado. Los resultados del análisis dinámico del islote pancreático pueden ser vistos como una justificación analı́tica de la hipótesis de la heterogeneidad para la activación de las células β al acoplarse en islotes. Es particularmente interesante observar que para islotes de células idénticas (todas activas), es posible establecer un criterio de fuerza de sincronización el cual depende de la dinámica de las células y la estructura del islote (λ2 ). 0 −5 6 4 2 0 Figura 5. Sincronización de células diferentes con conexión fuerte Mientras que para arreglos de células diferentes (activas y apagadas) la sincronı́a se presenta pero en diferentes términos de acuerdo con la fuerza de conexión, esto puede ser resultado de las células tiene diferentes escalas de tiempo debido a la diversidad paramétrica de las células β consideradas en este caso. En particular respecto del surgimiento de ddp en las células apagadas como producto de su interconexión con la red, se observa que sucede en ambos casos, con una fuerza suficiente para satisfacer el criterio (21) o con una fuerza mayor, sin embargo cuando la fuerza de conectividad es muy fuerte los disparos se deforman, de modo que es posible pensar que hay un limite para el cual las células fallaran cuando la fuerza de conexión sea muy fuerte, esto podrı́a modelar una forma de atrofia en los islotes de células pancreáticas la cual esta relacionada con aspectos topológi- Congreso Nacional de Control Automático A.M.C.A. 2007 24-26 de octubre, Monterrey, N.L. cos del islote. Los resultados presentados abren muchas interrogantes las cuales serán atendidas como continuación del presente trabajo y serán reportadas en publicaciones posteriores. R EFERENCIAS Dhamala, M., Jirsa, V. K., y Ding M. (2004). Transitions to synchrony in coupled bursting neurons. Phys Rev Lett 92(2), 028101. Izhikevich, E. M. (2000). Neural excitability, spiking and bursting. Int. J. Bifurcation and Chaos 10(6), 1171-1266. Pecora, L. M., Carroll, T. L. (1998). Master Stability Functions for synchronized coupled systems . Phys Rev Lett 80, 2109–2112. Perez-Armendariz, M., Roy, C., Spray, D. C., y Bennett, M. V. L. (1991). Biophysical properties of gap juntions between freshly dispersed pairs of mouse pancreatic beta cells. Biophys. J. 59, 76–92. Pernarowski, M. (1998). Fast and Slow Subsystems for a continuum model of busting activity in the pancreatic islet. SIAM J. Appl. Math 58, 1667–1687. Rangarajan, G. y Ding, M. (2002). Stability of synchronized chaos in coupled dynamical systems. Phys Lett A 296, 204-209 Smolen, P., Rinzel, J. y Sherman, A. (1993). Why pancreatic islets burst but single β cells do not. The heterogeneity hypotesis. Biophys J. 64, 1668–1680. Wang, X. F., y Chen, G. (2002). Synchronization in scale-free dynamical nteworks. Robustness and fragility.IEEE Trans. C. Syst. 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