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Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM
2000), Matemático (PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002)
y Maestro (Salomé Uneña 1985)
rubendarioestrella@hotmail.com /
rubendarioestrellas@gmail.com
www.atalayadecristo.org
ADM-237-T
MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS II
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones


Objetivo General:
Este curso persigue desarrollar habilidades en los
gerentes y futuros gerentes de negocios/proyectos que
le permitan valorizar, aplicar y crear diferentes modelos
matemáticos, útiles en el proceso de toma de decisiones
en el mundo de los negocios, con la finalidad de
optimizar los resultados a obtener en las diferentes
situaciones del mundo real. Los encargados de toma de
decisiones estarán mejor preparados para trabajar en
este tipo de ambiente si se familiarizan con las clases
más comunes de los análisis cuantitativos y con la
tecnología de la computadora. Este dominio les ayudará
a ser mejores “críticos” y “usuarios” de estas
herramientas y, según se supone, perfeccionarán su
habilidad en la toma de decisiones.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100


Generalmente las poblaciones son demasiado grandes
como para ser estudiadas en su totalidad. Es necesario
seleccionar una muestra representativa de un tamaño
más manejable. Esta muestra se utiliza luego para
sacar conclusiones sobre la población.
Distribución Muestral: Es una lista de todos los valores
posibles para un estadístico y la probabilidad
relacionada con cada valor.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100



La Desviación Normal
o Formula Z
Número de desviaciones
 Z=
(X - µ)/σ
 Z= (X' - µ)/σ
 Z=
(X - µ)/(σ/√n)
 Z= (X' - µ)/(σ/√n)
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100






Error de Muestreo: Es la diferencia entre el parámetro
poblacional y el estadístico de la muestra para estimar
el parámetro.
X'-X"
X'-µ
Parámetro: Es una medición numérica que describe alguna
característica de una población.
Medida descriptiva de la población completa de observaciones que
tienen interés para el investigador.
Estadístico: Es una medición numérica que describe alguna
característica de una muestra.
El estadístico se utiliza como estimador del parámetro. Al confiar
en una muestra para sacar alguna conclusión o inferencia sobre la
población.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100

Caso I. Las ventas en miles de dólares de
Electrom, S.A. durante los últimos 6 meses fueron
de 70, 77, 73, 78, 85 y 80. Asumiendo que estos
seis meses constituyen una población, la media
claramente es µ = 77.17. El director de Marketing
desea estimar esta media "desconocida" tomando
una muestra de tamaño n=4. Se espera que el
error de muestreo que es probable que ocurra sea
relativamente pequeño. Realice la distribución
muestral.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100






1º Podemos obtener muchas muestras de
tamaño 4. Específicamente 6C4 = 15.
nCr = n!/r!(n-r)! = 6!/4!(6-4)!=6!/4!*2!
nCr = 6*5*4!/4!*2*1 = 30/2=15
2º Construya la tabla en base a la cantidad de
muestra del primer punto, indicando los
elementos
muestrales
(Xi),
y
Medias
Muestrales (X’) .
3º Construya la tabla con la Probabilidad de
cada media muestral.
4º Calcule la media de las medias muéstrales.
70
73
77
78
80
85
TABLA DE DISTRIBUCION MUESTRAL
POBLACION
VENTAS
NUMERO
ELEMENTOS DE
MEDIA (X')
ERROR DE
CUADRADO DEL
MENSUALES
70
77
73
78
85
MUESTRA
1
2
3
4
5
LA MUESTRA (X)
70
73
77
70
73
77
70
73
77
70
73
78
70
73
78
MUESTRAL
MUESTREO (X'-X")
ERROR (X'-X")
78
80
85
80
85
80
77.17
6
7
8
9
10
11
12
13
14
70
70
70
70
70
73
73
73
73
73
77
77
77
78
77
77
77
78
80
78
78
80
80
78
78
80
80
85
80
85
85
85
80
85
85
85
15
77
78
80
85
MEDIA
VARIANZA
DESVICION
MEDIA DE X'
VARIANZA
ERROR ESTANDAR
VENTAS
VALORES DE
CUADRADO DE
MENSUALES
DESVIACION X-X'
VALORES DE DESV.
70
77
73
78
85
80
MEDIA
SUMATORIA
VARIANZA
DESVIACION
SQRT
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100



La Media de las Medias Muestrales:
 X"= ∑ X’/K
Varianza de la Distribución Muestral de las
Medias Muestrales: σ²x'= ∑(X'-X")²/K
Error Estándar de la Muestral de las Medias
Muestrales: σx'= √(σ ²x‘)
NUMERO
ELEMENTOS DE
MEDIA (X')
ERROR DE
CUADRADO DEL
MUESTRA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
LA MUESTRA (X)
70 73 77 78
70 73 77 80
70 73 77 85
70 73 78 80
70 73 78 85
70 73 80 85
70 77 78 80
70 77 78 85
70 77 80 85
70 78 80 85
73 77 78 80
73 77 78 85
73 77 80 85
73 78 80 85
77 78 80 85
MUESTRAL
74.50
75.00
76.25
75.25
76.50
77.00
76.25
77.50
78.00
78.25
77.00
78.25
78.75
79.00
80.00
MUESTREO (X'-X")
-2.67
-2.17
-0.92
-1.92
-0.67
-0.17
-0.92
0.33
0.83
1.08
-0.17
1.08
1.58
1.83
2.83
ERROR (X'-X")
7.11
4.69
0.84
3.67
0.44
0.03
0.84
0.11
0.69
1.17
0.03
1.17
2.51
3.36
8.03
MEDIA DE X'
77.17
VARIANZA
ERROR ESTANDAR
2.31
1.52
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100





Una aproximación cercana puede obtenerse
mediante:
σ²x‘ = σ ²/√n
σ x‘ = σ/√ n
Si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población, n>0.05N,
debe aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas (fpc).
Error Estándar utilizando el fpc:
σ x'=(σ /√n) * (√(N-n/N-1))
√(N-n/N-1) es el fpc.
NUMERO
ELEMENTOS DE
MEDIA (X')
ERROR DE
CUADRADO DEL
MUESTRA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
LA MUESTRA (X)
70
73
77
70
73
77
70
73
77
70
73
78
70
73
78
70
73
80
70
77
78
70
77
78
70
77
80
70
78
80
73
77
78
73
77
78
73
77
80
73
78
80
77
78
80
MUESTRAL
74.50
75.00
76.25
75.25
76.50
77.00
76.25
77.50
78.00
78.25
77.00
78.25
78.75
79.00
80.00
MUESTREO (X'-X")
-2.67
-2.17
-0.92
-1.92
-0.67
-0.17
-0.92
0.33
0.83
1.08
-0.17
1.08
1.58
1.83
2.83
ERROR (X'-X")
7.11
4.69
0.84
3.67
0.44
0.03
0.84
0.11
0.69
1.17
0.03
1.17
2.51
3.36
8.03
MEDIA DE X'
78
80
85
80
85
85
80
85
85
85
80
85
85
85
85
77.17
VARIANZA
ERROR ESTANDAR
ERROR ESTANDAR
FACTOR DE CORRECCION
POBLACION FINITA
ERROR ESTANDAR
2.31
1.52
1.52
0.632455532
0.962057979
MEDIA DE X
VENTAS
VALORES DE
CUADRADO DE
MENSUALES
DESVIACION X-X'
VALORES DE DESV.
70
-7.17
51.36
77
-0.17
0.03
73
-4.17
17.36
78
0.83
0.69
85
7.83
61.36
80
2.83
8.03
77.17
VARIANZA
DESVIACION
23.14
4.81
TABLA DE PROBABILIDADES
F/K
MEDIAS (X')
FRECUENCIA
P(X')
TABLA DE PROBABILIDADES
MEDIAS (X')
74.50
75.00
75.25
76.25
76.50
77.00
77.50
78.00
78.25
78.75
79.00
80.00
FRECUENCIA
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
F/K
P(X')
0.0667
0.0667
0.0667
0.1333
0.0667
0.1333
0.0667
0.0667
0.1333
0.0667
0.0667
0.0667
SUMATORIA
15
1.0000
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100





Teorema del Limite Central
A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las
medias muestrales se aproxima a una distribución normal
con una media X"=µ y un error estándar de σx'= σ/√ n.
A mayor n menor σx'
Por tanto, incluso si la población no esta distribuida
normalmente, la distribución de muestreo de las medias
muestrales será normal si n es lo suficientemente grande.
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema
del Limite Central asegurara una distribución normal en las
medias muestrales incluso si la población no es normal.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100
Conclusiones:
1.- A medida que aumenta el tamaño de las
muestras, la distribución de las medias de
muestra se acercara a una distribución
normal.



2. - La media de las medias de muestra será
la media de la población X"= µ.
3.- La desviación estándar de las medias de
muestra será σx'= σ /n.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100



Reglas prácticas de uso común:
1.- Para muestras de tamaño n mayor que 30, la
distribución de las medias de muestra se puede
aproximar
razonablemente
bien
con
una
distribución normal.
La aproximación es más
exacta a medida que aumenta el tamaño de
muestra n.
2.- Si la población original también esta distribuida
normalmente, las medias de muestra tendrán una
distribución normal para cualquier tamaño de
muestra n.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100
 El
Teorema del Limite Central
indica que en el caso de muestras
grandes (n > 30), la distribución
de las medias de muestra es
aproximadamente
normal
con
media µ y desviación estándar
σ/n. Provocando así una variación
de la ecuación:
 Z= (X' - µ)/(σ/√n)
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100







Caso I. Tartus Industries cuenta con siete
empleados de producción (a quienes se les
considera población). En la tabla siguiente
se incluyen los ingresos por hora de cada
empleado.
Encontrar:
La media de la población.
La desviación estándar de la población.
La media de la distribución muestral de
media con muestras de tamaño 2.
La desviación estándar de la distribución
muestral de medias, es decir, el error
estándar de las medias.
La tabla de Probabilidades.
Ingresos
Empleado por hora
Joe
7
Sam
7
Sue
8
Bob
8
Jan
7
Art
8
Ted
9
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100







Caso II. Los tiempos de servicio de los
ejecutivos que laboran en Standard Chemicals
son los siguientes:
¿Cuántas muestras de tamaño 2 son
posibles?
Elabore una lista de todas las muestras
posibles de 2 ejecutivos de la población y
calcule las medias.
Organice las medias en una distribución
muestral.
Compare la media poblacional y la media de
las medias de las muestras.
Compare la dispersión en la población con la
dispersión de la distribución muestral de la
media.
Construya la tabla de probabilidades.
Nombre
Años
Snow
20
Tolson
22
Kraft
26
Irwin
24
Jones
28
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100


Caso VIII. Orange registró los mensajes telefónicos de
sus clientes, los cuales promedian 150 segundos, con
una desviación de 15 segundos, por lo que planea
instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de
sus operaciones.
Sin embargo, antes que los
ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz
en función de los costos, deben determinar la
probabilidad de que la media de una muestra de n=35:
Z= (X - µ)/(σ/√n)  σx'= σ /√n = 15/ √35 = 2.5355
◦ Esté entre 145 y
◦ Sea mayor que
◦ Sea menor que
◦ Esté entre145 y
◦ Sea mayor que
150.
145.
155.
155.
155.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100








Caso VIII.
µ = 150 segundos
σ = 15 segundos,
n=35
Z= (X - µ)/(σ/√n)
σx'= σ /√n
= 15/ √35
= 2.5355
Probabilidad esté
entre 145 y 150.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100


Caso VIII. Orange registró los mensajes telefónicos de
sus clientes, los cuales promedian 150 segundos, con
una desviación de 15 segundos, por lo que planea
instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de
sus operaciones.
Sin embargo, antes que los
ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz
en función de los costos, deben determinar la
probabilidad de que la media de una muestra de n=35:
Z= (X - µ)/(σ/√n)  σx'= σ /√n = 15/ √35 = 2.5355
◦ Esté entre 145 y
◦ Sea mayor que
◦ Sea menor que
◦ Esté entre145 y
◦ Sea mayor que
150.
145.
155.
155.
155.
Distribución Muestral
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.100
Resolver
los casos del
I al VIII de la página
106 a la página 109.
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110





Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la
población.
Una firma de marketing puede querer
averiguar si un cliente (1) compra o (2) no compra el
producto. Un banco con frecuencia debe determinar si
un depositante (1) pedirá o (2) no pedirá un crédito para
auto. Muchas firmas deben determinar la probabilidad
de que un proyecto para presupuestar capital (1)
generará o (2) no generará un rendimiento positivo.
un cliente (1) compra (p = π)
o (2) no compra el producto (q = 1 - π)
un depositante (1) pedirá un crédito para auto (p = π)
o (2) no pedirá un crédito para auto (q = 1 - π)
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
 Valor
esperado (media) de la
 Distribución Muestra de la
Proporción: E(p) = π = ∑p/K
 Error
estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:

____________
________

σp = √(π * (1- π))/n = √(p*q)/n
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
 Si
el tamaño de la muestra es mas del
5% de la población, n>0.05N, debe
aplicarse el factor de corrección para
poblaciones finitas (fpc) √(N-n/N-1).
 Error
estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:

____________
________

σp = √(π * (1- π))/n = √(p*q)/n
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110

Caso I. Publicidad Sarmiento pregunta a toda la
población N=4 clientes si vieron el anuncio
publicitario de Sarmiento en el periódico de esta
mañana. Se registro una respuesta “si” como
éxito, y “no” como fracaso. Los cuatros clientes
S1, N2, N3 y S4. La proporción poblacional de
éxitos es = 0.5. Se tomaron muestras de tamaño
n = 2, y la proporción de éxitos se registra en la
siguiente tabla:
p
= x/n
1
2
3
4
5
6
4C2 =
S1
N2
N3
S4
6
Xi
S1, N2
S1, N3
S1, S4
N2, N3
N2, S4
N3, S4
Núm. De éxitos
1
1
2
0
1
1
TOTAL
p
0.50
0.50
1.00
0.50
0.50
3.00
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110










Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) = π = ∑p/K = 3/6 = 0.5
Error estándar de la Distribución Muestra de la
Proporción:
_____________
_______
σp = √(π * (1- π))/n = √(pq)/n
_____________
__________
σp = √(π * (1- π))/n * √(N-n/N-1)
σp = √ 0.5*0.5/2 * √(4-2/4-1)
σp = 0.35355339 * 0.81649658 = 0.289

Z = (p - π)/ σ p
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110

Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus
teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Palo
Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%.
Una política establecida recientemente por BellLabs
establece que si el siguiente envío tiene:
◦ Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un
nuevo suplidor.
◦ Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo
proveedor.
◦ Entre el 5 y 10% de defectos, definitivamente no
conseguirá un nuevo proveedor.
◦ Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
 Cúal decisión es más probable que tome BellLabs?
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110







Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares
en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una
tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente
por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene:
◦ Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo
suplidor.
◦ E(p) = π = 0.10
σp = √ 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p > 0.12):
Z = (p - π)/ σ p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(p > 0.12) = P(Z > 0.95) = 0.5 - 0.3289 = 0.1711
Distribución de Proporciones Muestrales







ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares
en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una
tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente
por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene:
◦ Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor.
◦ E(p) = π = 0.10
σp = √ 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.10 <= p <= 0.12):
Z = (p - π)/ σ p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289
Distribución de Proporciones Muestrales
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ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares
en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El componente tiene una
tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por
BellLabs establece que si el siguiente envío tiene:
◦ Entre el 5 y 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un
nuevo proveedor.
◦ E(p) = π = 0.10
σp = √ 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.05 <= p <= 0.10):
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Z = (p - π)/ σ p
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Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0. 4913
P(0.05 <= p <= 0.10) = 0.4913
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
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Caso II. BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos
celulares en lotes de 200 de una firma en Palo Alto. El
componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política
establecida recientemente por BellLabs establece que si el
siguiente envío tiene:
◦ Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
Cúal decisión es más probable que tome BellLabs?
E(p) = π = 0.10
σp = √ 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p < 0.05):
Z = (p - π)/ σ p
Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0. 4913
P(p < 0.50) = 0.5 - 0.4913 = 0.0087
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
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Caso II. El 30% de todos los empleados de una empresa
tienen capacitación avanzada. Si en una muestra de 500
empleados menos del 27% estaba preparado de forma
adecuada, todos los nuevos contratos necesitarán
registrarse en un programa de capacitación. ¿Cuál es la
probabilidad de que inicie el programa?
Caso III. La proporción de todos los clientes de Pizza Hut
que comen en el sitio es del 75%. En una muestra de
100 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que menos del
20% lleven su comida a casa?
Distribución de Proporciones Muestrales
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág.110
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Webster: Ejercicios 9 al 12 - Pág. 157
Webster: Ejercicios 13 al 17 - Pág. 160
Webster: Ejercicios 18 al 46 - Pág. 164-166
Investigar los siguientes Métodos de Muestreo y dar
dos Ejemplos: Valor 2 adicionales a los 100.
Muestreo Aleatorio Simple.
 Muestreo Sistemático.
 Muestreo Estratificado.
Muestreo por Conglomerados.
 Muestreo de Conveniencia.
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