TEMA 6: La valoración de opciones y futuros

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TEMA 6: La valoración de opciones y futuros
Índice
1. Introducción
2. Definición de futuros y opciones
2.1. Elementos en un contrato de opciones
2.2. Tipos de opciones
3. Funcionamiento de las opciones
3.1. Call: opción de compra
3.2. Put: opción de venta
4. Determinantes del valor de las opciones
5. Modelos de valoración de opciones
5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas
5.2. Valoración neutral al riesgo
5.3. Modelo de valoración Black–Scholes
Ignacio Requejo Puerto
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Bibliografía básica
Hull, J.C. (1996): Introducción a los mercados de futuros y
opciones. Prentice Hall, Hemel Hempstead.
Bibliografía complementaria
Bishop, M. (2009): Economics. An A–Z Guide. The
Economist, London.
Brealey, R.A. y Myers, S.C. (2003): Principios de finanzas
corporativas. McGraw-Hill, Madrid.
Constantinides, G.M.; Harris, M. y Stulz, R.M. (2003):
Handbook of the Economics of Finance. Volume 1B
Financial Markets and Asset Pricing. Elsevier,
Amsterdam.
Fabozzi, F.J. (1995): Investment Management. Prentice Hall
International, New Jersey.
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Hillier, D.; Ross, S.; Westerfield, R.; Jaffe, J. y Jordan, B.
(2010): Corporate Finance. European Edition. McGrawHill, Maidenhead.
Martín Marín, J.L. y Trujillo Ponce, A. (2004): Manual de
mercados financieros. Thomson, Madrid.
Suárez Suárez, A.S. (2005): Decisiones óptimas de inversión
y financiación en la empresa. Ediciones Pirámide,
Madrid.
Sharpe, W.F.; Alexander, G.J. y Bailey, J.V. (1995):
Investments. Prentice Hall International, New Jersey.
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1. Introducción
→ Opciones y futuros son derivados: instrumentos cuyos
precios dependen de otras variables subyacentes.
• Ej.: Precio de una opción sobre acciones depende del
valor de la acción subyacente.
• Ej.: Precio de futuros sobre una mercancía depende
del valor del producto subyacente.
→ Los contratos de opciones llevan menos tiempo
negociándose que los contratos de futuros.
→ Orígenes de los mercados de futuros: Edad Media.
Creados para satisfacer demandas de agricultores y
comerciantes.
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Ejemplo: Situación de incertidumbre de agricultor y
comerciante en el mes de abril.
Riesgos ante variaciones en precios del cereal
Escenario
Agricultor
Comerciante
Escasez
Precio alto
Precios exorbitantes
Abundancia
Precio bajo
Precios favorables
→ Cosecha del cereal en junio y se desconoce precio de la
cosecha ahora.
→ Agricultor y comerciante deberían acordar en abril (o
antes) precio del cereal => contrato de futuros, que
reducirá riesgo de un precio futuro del cereal incierto.
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2. Definición de futuros y opciones
→ Contrato de futuros: acuerdo para comprar o vender
un activo en una fecha futura a un precio cierto.
→ Contrato de opciones: otorga a su titular el derecho (no
obligación) a comprar o vender un activo en una fecha
determinada a un precio establecido.
Caso de las opciones: emisor de una opción de compra
(call) deberá vender las acciones al dueño de la call cuando
éste desee ejercitar su derecho. Emisor de una opción de
venta (put) está obligado a comprar las acciones al dueño
de la put siempre que éste decida ejercitar su derecho.
=> La obligación […]
=> El derecho [...]
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Diferencias entre opciones y futuros
→ Titular de un contrato de futuros a l/p […];
Mientras que el titular de una opción de compra […]
→ Suscribir un contrato de futuros no cuesta nada
(excepto requisitos de garantías);
Sin embargo, para suscribir un contrato de opciones el
inversor deberá pagar precio de adquisición o prima.
2.1. Elementos en un contrato de opciones
1. Fecha de vencimiento o de ejercicio.
2. Precio de ejercicio.
3. Precio de adquisición o prima.
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2.2. Tipos de opciones
1. En función del período de ejercicio (criterio temporal):
→ Americanas
→ Europeas
2. En función del activo subyacente:
→ Sobre mercancías (commodities)
→ Sobre instrumentos financieros:
a) Acciones
b) Divisas
c) Índices
d) Tipos de interés
e) Futuros
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3. En función del mercado donde se negocian:
→ En mercados organizados
→ OTC (over-the-counter)
4. En función del derecho que confieren:
→ Opción de compra (call)
→ Opción de venta (put)
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3. Funcionamiento de las opciones
3.1. Call: opción de compra
→ Un inversor compra opciones de compra (call)
europeas para adquirir 100 acciones de Movistar.
• Precio de ejercicio = 40€
• Precio actual de las acciones = 38€
• Vencimiento = 4 meses
• Precio de adquisición de la opción de compra = 5€
=> Inversión inicial o prima = […]
→ En fecha de vencimiento:
• Precio acción < 40€ => […]
• Precio acción > 40€ => […]
Ej.: precio acción = 55€. Inversor compra 100 acciones a
40€/acción => Bo bruto = […] y Bo neto = […]
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Ej.: precio acción = 42€/acción. Entonces […]
→ En la fecha de vencimiento, opciones de compra deben
ejercerse si […]
Beneficio de una opción de compra
Precio de ejercicio
Precio actual de cada acción
Precio de 1 opción para comprar 1 acción
Precio de adquisición o prima:
Resultado de la operación:
Precio por acción = 55€ => […]
Beneficio bruto = […]
Beneficio neto = […]
Precio por acción es < a 40€ => […]
Pérdida bruta = pérdida neta = […]
Precio por acción = 42€ => […]
Beneficio bruto = […]
Pérdida neta = […]
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40€
38€
5€
[…]
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Gráfico: Comprador de call
Beneficio de comprar una opción de compra europea
30
20
Beneficio (€) 10
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Precio de la acción en t+1 (€)
Características del comprador de call:
→ Paga la prima.
→ Obtiene derecho a comprar al precio de ejercicio.
→ Riesgo máximo = […]
→ Rentabilidad máxima = […]
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Gráfico: Vendedor de call
Beneficio de vender una opción de compra europea.
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Beneficio (€) -10
-20
-30
Precio de la acción en t+1 (€)
Características del vendedor de call:
→ Cobra la prima.
→ Se compromete a vender al precio de ejercicio.
→ Riesgo máximo = […]
→ Rentabilidad máxima = […]
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3.2. Put: opción de venta
→ Un inversor compra opciones de venta (put) europeas
para vender 100 acciones de Repsol
• Precio de ejercicio = 70€
• Precio actual por acción = 65€
• Vencimiento = 3 meses
• Precio de una opción de venta de = 7€
=> Inversión inicial = […]
→ En fecha de vencimiento:
• Precio acción < 70€ => […]
• Precio acción > 70€ => […]
Ej.: precio acción = 55€. Inversor compra 100 acciones a
55€/acción y, con opción de venta, vende a 70€/acción =>
Bo bruto = […] y Bo neto = […]
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→ En la fecha de vencimiento, las opciones de venta
deben ejercerse si […]
=> Comprador de call espera que precio de acciones […];
comprador de put espera que precio […]
Beneficio de una opción de venta
Precio de ejercicio
Precio actual de cada acción
Precio de 1 opción para vender 1 acción
Precio de adquisición o prima:
Resultado de la operación:
Precio por acción = 55€ => […]
Beneficio bruto = (70 – 55) x 100 = […]
Beneficio neto = 1.500 – 700 = […]
Precio por acción es > a 70€ => […]
Pérdida bruta = pérdida neta = […]
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70€
65€
7€
[…]
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Gráfico: Comprador de put
Beneficio de comprar una opción de venta europea
60
45
Beneficio (€) 30
15
0
-15
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Precio de la acción en t+1 (€)
Características del comprador de put:
→ Paga la prima.
→ Obtiene derecho a vender al precio de ejercicio.
→ Riesgo máximo = […]
→ Rentabilidad máxima = […]; Bo neto máximo = […]
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Gráfico: Vendedor de put
Beneficio de vender una opción de venta europea
5
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Beneficio (€) -25
-40
-55
-70
Precio de la acción en t+1 (€)
Características del vendedor de put:
→ Cobra la prima.
→ Se compromete a comprar al precio de ejercicio.
→ Riesgo máximo = […] (pda. bruta); riesgo máximo =
[…] (pda. neta).
→ Rentabilidad máxima = […]
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Tabla resumen
Decisión del comprador de opciones
Tipo de opción
Call
Put
Relación
Pr.Mercado/Pr.Ejercicio
Pr.Mercado > Pr.Ejercicio
Pr.Mercado ≤ Pr.Ejercicio
Pr.Mercado ≥ Pr.Ejercicio
Pr.Mercado < Pr.Ejercicio
Decisión
[…]
[…]
[…]
[…]
Resultado de la operación
Call:
Pr.Mercado >
Pr.Ejercicio
Put:
Pr.Mercado <
Pr.Ejercicio
[…]
[…]
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4. Determinantes del valor de las opciones
→ ¿Cómo se determina el valor de mercado de una
opción (no al vencimiento)?
Límite inferior – Opción de compra (call)
→ Ej.: opción de compra (americana) que se encuentra
“dentro de dinero” (“in the money”) antes de la fecha
de vencimiento.
• Precio de la acción = 60€
• Precio de ejercicio = 50€
=> Opción no puede venderse por menos de 10€.
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→ ¿Qué sucedería si la opción se vende a 9€?
Fecha
Hoy
Hoy
Hoy
Bo del
arbitraje
Transacción
(1) Compra de la call.
(2) Ejercicio de la call (compra del activo
subyacente al precio de ejercicio).
(3) Venta de la acción al precio de mercado.
(€)
[…]
[…]
[…]
[…]
→ Un beneficio de arbitraje no se puede dar regularmente
en mercados financieros que funcionan correctamente.
→ Exceso de demanda de estas opciones hará que su
precio […]
→ Probablemente precio opción > 10€. Ej.: precio = 12€
=> valor intrínseco de la opción = 10€; valor restante =
12€ – 10€ = 2€ = prima del tiempo (cantidad adicional
que inversor está dispuesto a pagar por posibilidad de
que precio acción ↑ antes del vencimiento).
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Límite superior – Opción de compra (call)
→ ¿Existe un límite superior al precio de las opciones?
→ Límite superior del precio de una opción = precio del
activo subyacente.
→ Intuición: La acción proporciona resultado mejor que la
opción. Ej.: Si en el vencimiento, precio de la acción >
precio de ejercicio => valor de la opción = […]. Si precio
de la acción < precio de ejercicio => valor de la opción =
[…], pero propietario de la acción posee aún un título
con valor.
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Determinantes del valor de una opción
→ Pueden clasificarse en dos grupos:
• Relacionados con características del contrato de la
opción.
• Relacionados con características del título y del
mercado.
1. El precio de ejercicio
→ Cuando el precio de ejercicio ↑, el valor de la opción
de compra (call) […]. (Intuición: adquirimos un derecho
a comprar más caro).
→ Cuando el precio de ejercicio ↑, el valor de la opción
de venta (put) […]. (Intuición: adquirimos un derecho a
vender más caro).
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2. El período de tiempo hasta el vencimiento
→ El valor de las opciones de compra (call) y venta (put)
americanas ↑, cuando el período de vencimiento […].
(Intuición: se otorga a propietarios mismos derechos y
> flexibilidad para ejercerlos).
→ Relación […] no necesariamente cierta en caso de
opciones de compra y venta europeas.
3. El precio de la acción
→ Si precio de la acción↑, valor de la opción de compra
(call) […]. (Intuición: adquirimos derecho a comprar a
precio fijo un título que es más caro en el mercado).
→ Si precio de la acción ↑, valor de la opción de venta
(put) […]. (Intuición: adquirimos derecho a vender a
precio fijo un título que podríamos vender a precio > en
el mercado).
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4. La volatilidad o riesgo del activo subyacente
→ Cuando volatilidad del activo subyacente ↑, valores de
la opción de compra (call) y de venta (put) […].
Ejemplo:
→ Justo antes de la fecha de vencimiento:
• Precio de la acción = 100€ con prob. = 50%
• Precio de la acción = 80€ con prob. = 50%
→ ¿Valor de la call con precio de ejercicio = 110€?
• […]
→ ¿Qué sucede con un precio de la acción más variable?
(Añadimos y descontamos 20€ a los escenarios).
• Precio de la acción = 120€ con prob. = 50%
• Precio de la acción = 60€ con prob. = 50%
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→ Variabilidad en precio de la acción ↑, pero valor
esperado de la acción es el mismo:
[…]
→ ¿Valor de la call con precio de ejercicio = 110€?
• Ahora […]
Importante: diferencia entre “poseer una opción sobre un
activo subyacente” vs. “poseer activo subyacente”
→ Si los inversores son adversos al riesgo, un ↑ en
variabilidad del título ↓ su valor de mercado.
→ Pero, propietario de una call obtiene un Bo de la cola
positiva de la distribución de probabilidad => un ↑ en
la variabilidad del título subyacente ↑ valor de
mercado de la call.
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5. Tipos de interés
→ Cuando tipos de interés ↑, valor de la call […].
(Intuición: la posibilidad de diferir el pago es más
valiosa cuando los tipos de interés son elevados).
→ Cuando tipos de interés ↑, valor de la put […].
(Intuición: posibilidad de vender acción a un precio de
ejercicio fijo en algún momento futuro es menos
valiosa si el valor actual del precio de ejercicio se
reduce por un tipo de interés alto).
Supongamos: tenemos opción que será canjeada por una
acción => somos hoy propietarios de la acción pero no
tenemos que pagar precio de ejercicio hasta más tarde.
a) Compra de opción = compra de acción financiada con
deuda (préstamo = valor actual del precio ejercicio).
b) Valor de la call = […]
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Importante: inversores que adquieren acciones a través de
una opción de compra lo hacen “a crédito”.
→ Este pago aplazado es más valioso cuando tipos de
interés son altos y opción tiene un período de
vencimiento largo.
=> Valor de la call […] con:
a) tipos de interés y
b) período de vencimiento.
6. Dividendos
→ Dividendos ↓ precio acción en fecha ex-dividendo.
Esto afecta […] al valor de opción de compra y […] al
valor de opción de venta.
→ Es decir, valor de la call […], cuando valor de los
dividendos anticipados ↑; pero valor de la put […],
cuando valor de los dividendos anticipados ↑.
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5. Modelos de valoración de opciones
5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas
→ Supongamos que:
• Valor de mercado de acción en t0 = 50€
• Valor de mercado en t1 puede ser = 60€ o 40€
• Call sobre esta acción con vencimiento = 1 año y
precio ejercicio = 50€
• Inversor puede endeudarse a tipo de interés = 10%
=> ¿Cuál es el valor de la opción de compra?
→ Vamos a analizar dos estrategias:
• Estrategia 1. […]
• Estrategia 2. […]:
a) […], y
b) […]
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Flujos de caja Estrategia 1 = Flujos de caja Estrategia 2
→ Como flujos de caja son equivalentes => estamos
duplicando opción de compra con segunda estrategia
→ Al final del año (en t1), los pagos son:
Estrategia inicial
1. Comprar una call
2. Comprar acción
ordinaria
Tomar dinero
prestado
Total de la estrategia
acciones ordinarias +
endeudamiento
Pagos futuros en t + 1
Precio de la
Precio de la
acción = 60€
acción = 40€
[…]
[…]
[…]
[…]
[…]
[…]
[…]
[…]
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→ Estrategia “opción de compra” = estrategia “acción
ordinaria y endeudamiento” (en estructura de pagos
futuros) => Con cualquier estrategia un inversor
acabaría con […]€ si precio de acción ↑ y […]€ si precio
de acción ↓. Ambas estrategias son equivalentes.
→ ¿Qué relación debería existir entre sus costes iniciales?
[…]
→ Coste inicial en estrategia de compra de acciones
ordinarias y endeudamiento:
Comprar acción ordinaria =>
Tomar dinero prestado =>
Desembolso a realizar
€
€
€
→ Como opción de compra proporciona mismos pagos
que estrategia de compra de acciones ordinarias y
endeudamiento => valor de la call (en mercado sin
oportunidades de arbitraje) = […]€.
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→ Quedan 2 cuestiones por aclarar:
1. Delta
→ ¿Cómo calculamos el porcentaje de acción que es
preciso comprar en la estrategia equivalente?
• Precio de la call al final del año = […]
• Precio de la acción = […]
• Dispersión de precios de opción = […]
• Dispersión de precios de acción = […]
𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒄𝒊ó𝒏
𝑫𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒄𝒊ó𝒏
=
𝑫𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏
→ Delta => variación en precio acción de 1€ origina
variación en precio opción de ½€. (Intuición: riesgo de
½ acción ordinaria = riesgo de 1 opción compra).
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2. Préstamo
→ ¿Qué cantidad de dinero debemos tomar prestada?
• Si compramos ½ acción ordinaria => obtenemos […]
a la fecha de vencimiento
• Si compramos 1 opción de compra => obtenemos
[…] en la fecha de vencimiento
=> La diferencia es la misma en ambos escenarios: […]
→ Para replicar compra de la call mediante compra de
acciones ordinarias => préstamo que suponga devolver
20€ de principal e intereses:
[…]
Podemos expresar valor de la opción como:
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒄𝒊ó𝒏
= 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 × 𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂 − 𝑷𝒓é𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐
1
= 50€ × − 18,18€ = 6,82€
2
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5.2. Valoración neutral al riesgo
→ ¿Por qué debe venderse opción de compra por 6,82€?
→ Al decir precio de una opción = 6,82€, no es necesario
saber nada sobre posición del inversor frente al riesgo.
→ Si inversor es indiferente al riesgo, tasa de rentabilidad
esperada de la acción = tipo de interés libre de riesgo:
→ Las acciones pueden subir un 20% o bajar un 20%.
=> Prob. de un ↑ de precios en mundo neutral al riesgo:
Rentabilidad esperada = [prob. aumento x 20%] +
[(1–prob. aumento) x –20%] = 10%
→ Tras resolver esta ecuación:
• Prob. de un ↑ en los precios = […]
• Prob. de una ↓ en los precios = […]
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→ Prob. de 3/4 no es verdadera prob. de ↑ en precio de
acciones => como inversores son adversos al riesgo
requerirán rentabilidad esperada de acciones > a tipo
de interés libre de riesgo => verdadera prob. es > 3/4.
→ Sabemos que:
• Si precio acción ↑ => opción de compra valdrá […]€
• Si precio acción ↓ => opción de compra valdrá […]€
→ Si inversores son neutrales al riesgo => valor esperado
de la opción de compra es:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 =
Conclusión: 2 formas de calcular valor de una opción
1. Encontrar combinación entre acciones ordinarias y
préstamo que replica inversión en la opción
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2. Simular que inversores son indiferentes al riesgo, con lo
que tasa de rentabilidad de la acción = tipo de interés.
Calcular valor esperado futuro de la opción en este
mundo neutral al riesgo y descontarlo al tipo de interés
libre de riesgo.
5.3. Modelo de valoración Black–Scholes
→ Fórmula final que obtuvieron Black y Scholes es:
donde
𝑪 = 𝑺𝑵(𝒅𝟏 ) − 𝑬𝒆−𝑹𝒕 𝑵(𝒅𝟐 )
𝑑1 =
ln(𝑆⁄𝐸 ) + (𝑅 + 𝜎 2 /2)𝑡
√𝜎 2 𝑡
𝑑2 = 𝑑1 − �𝜎 2 𝑡
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→ 5 parámetros determinan valor de la call (C):
• S = precio actual de la acción
• E = precio de ejercicio de la opción
• R = tasa de rentabilidad anual libre de riesgo
• σ2 = varianza de rentabilidad de precio acción
• t = período de tiempo hasta fecha de vencimiento
→ También aparece en la fórmula la función estadística:
• N(d) = […]
Ejemplo de Black–Scholes
Consideremos la compañía X. El 4 de octubre del año X0, la
opción de compra de esta compañía con fecha de
vencimiento el 21 de abril (precio ejercicio = 49€) tenía un
valor de 4€. La acción se estaba vendiendo a 50€. El 4 de
octubre, la opción tenía un período de vencimiento de 199
días (fecha de vencimiento = 21 de abril del año X1). La
tasa de rentabilidad anual libre de riesgo era del 7%.
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→ Esta información nos proporciona 3 variables:
1. Precio de la acción (S) = […]
2. Precio de ejercicio (E) = […]
3. Tasa de rentabilidad libre de riesgo (R) = […]
→ Además, la fecha de vencimiento (t) en años es:
4. Fecha de vencimiento (t) = […]
Problema: […]
¿Por qué?
Solución
→ En nuestro ejemplo, suponemos que inversor ha
obtenido una estimación de la varianza:
5. Varianza de acciones de la empresa X = 0,09 al año.
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Con estos 5 parámetros, podemos calcular valor de la
opción de compra de una acción de la empresa X mediante
la fórmula de Black–Scholes en tres pasos:
Paso 1: Calcular d1 y d2
→ Calculamos estos valores de un modo directo:
𝑆
𝜎2
𝑑1 = �ln � � + �𝑅 + � 𝑡���𝜎 2 𝑡
2
𝐸
50
0,09
199
199
�
= �ln � � + �0,07 +
�×
�� 0,09 ×
49
2
365
365
=
0,0202 + 0,0627
= 𝟎, 𝟑𝟕𝟒𝟐
0,2215
𝑑2 = 𝑑1 − �𝜎 2 𝑡 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟕
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Paso 2: Calcular N(d1) y N(d2)
→ Mejor manera de comprender valores de N(d1) y N(d2)
es examinando gráfica de una función normal:
Gráfica de la distribución normal
Probabilidad
-2
-1
0
Valor
1
2
→ Figura representa una distribución normal con media
esperada = 0 y desviación típica = 1 => distribución
normal estandarizada.
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→ ¿Cuál es la prob. de que representación de la función
normal estandarizada se encuentre por debajo de un
valor?
P. ej.: ¿Prob. de que la representación esté por debajo
de 0? […]
→ En nuestro caso concreto:
N(d1) = N(0,3742) = […]
N(d2) = N(0,1527) = […]
• 1er valor => […]% de prob. de que distribución
normal estandarizada sea < 0,3742
• 2o valor => […]% de prob. de que distribución
normal estandarizada sea < 0,1527
→ En general, N(d) = prob. acumulada de d.
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→ Forma más sencilla de calcular N(d1) y N(d2) es con la
función DISTR.NORM.ESTAND de Microsoft Excel.
→ En nuestro ejemplo:
DISTR.NORM.ESTAND(0,3742) = […]
DISTR.NORM.ESTAND(0,1527) = […]
Paso 3: Calcular C
→ Tenemos lo siguiente:
𝐶 = 𝑆 × 𝑁(𝑑1 ) − 𝐸𝑒 −𝑅𝑡 × 𝑁(𝑑2 )
−0,07×�
199
�
395
= [50€ × 𝑁(𝑑1 )] − [49€ × 𝑒
× 𝑁(𝑑2 )
= (50€ × 0,6459) − (49€ × 0,9626 × 0,5607)
= 32,295€ − 26,447€ = 5,85€
→ Precio estimado = 5,85€ > al precio actual = 4€.
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¿Intuición detrás de la fórmula de Black–Scholes?
→ Estrategia compra acción ordinaria + endeudamiento.
→ La ecuación de Black–Scholes es:
𝐶 = 𝑆𝑁(𝑑1 ) − 𝐸𝑒 −𝑅𝑡 𝑁(𝑑2 )
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛
= 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 × 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 − 𝑃𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜
=> El modelo nos dice: es posible replicar opción de
compra:
a) Comprando […] acciones ordinarias
b) Tomando prestado […]
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