Newton en diferencias finitas

ULPGC
Tutorial de Análisis Numérico
Interpolación : Fórmulas de Newton en
diferencias finitas
Informática
Página Web
Página de Inicio
Jesús Garcı́a Quesada
Departamento de Informática y Sistemas
Contenido
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, España
JJ
II
J
I
Email : jgarcia@dis.ulpgc.es
2 de Octubre de 2000, v0.3
Página 1 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Índice General
1 NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
1.1 NEWTON EN DIFERENCIAS PROGRESIVAS . . . . . . . . . . . . . .
1.2 NEWTON EN DIFERENCIAS REGRESIVAS . . . . . . . . . . . . . . .
3
8
12
Informática
2 PROBLEMAS
17
Página Web
Soluciones a los Problemas
20
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 2 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
1. NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
En el caso particular de que las abcisas de los nodos de interpolación sean equidistantes
la expresión del polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas adopta
otras formas que se han usado mucho, la fórmula en diferencias progresivas y la fórmula
en diferencias regresivas. Antes de desarrollarlas necesitamos de algunas definiciones
previas.
Dado un conjunto de puntos (xi , yi ), 0 6 i 6 n donde yi = f (xi ) se define diferencia
progresiva de orden 1 en yk y se denota por ∆yk a
Informática
Página Web
Página de Inicio
∆yk = f (xk + h) − f (xk ) = f (xk+1 − f (xk ) = yk+1 − yk = ∆1 yk
Contenido
y diferencia regresiva de orden 1 en yk y se denota por ∇yk a
∇yk = yk − yk−1 = ∇1 yk
Análogamente, se define diferencia progresiva de orden 2 en yk a
∆2 yk = ∆(∆yk ) = ∆(yk+1 − yk ) = ∆yk+1 − ∆yk =
= yk+2 − yk+1 − (yk+1 − yk ) = yk+2 − 2yk+1 + yk = ∇2 yk+2
JJ
II
J
I
Página 3 de 25
Volver
En general se definen
∆m yk
(def )
=
∆(∆m−1 yk )
∇m yk
(def )
∇(∇m−1 yk )
=
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
y convenimos en que ∆0 yk = yk , ∇0 yk = yk y ocurre además que ∆m yk = ∇m yk+m y
también
n
X
n
∆ yk =
(−1)
yk+n−j
j
j=0
n
j
En la tabla 1 aparece como se forman las diferencias de diferentes ordenes. Observe
la regularidad de la diagonal superior.
De la misma forma, en la tabla 2 aparecen las mismas diferencias que se calcularon
en la tabla de dif. progresivas, pero ahora con la notación propia de las diferencias
regresivas. Observe la regularidad de la diagonal inferior.
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
Necesitamos ahora establecer una relación entre diferencias divididas y diferencias
finitas para poder reescribir la fórmula de Newton en términos de diferencias progresivas
o regresivas. Dicha relación nos viene dada por el siguiente lema.
Lema 1.1.
∆i yk
∀i > 0 :
f [xk , xk+1 , . . . , xk+i ] =
i! hi
JJ
II
J
I
Página 4 de 25
Demostración. Por inducción tenemos :
• Lo demostramos para i = 0 : f [xk ] = f (xk ) = yk = ∆0 yk
• Lo suponemos cierto para i = n > 0. Y entonces
• Lo demostramos para i = n + 1. Tenemos
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
x y
x0 y0
∆y
∆2 y
∆3 y
∆4 y
∆5 y
∆6 y
∆7 y
∆8 y
∆y0
x1
Informática
2
y1
∆ y0
∆3 y0
∆y1
x2
2
y2
∆ y1
y3
∆3 y2
∆3 y3
x6
y6
∆7 y1
∆6 y2
II
∆ y4
J
I
3
∆ y5
∆2 y6
y7
JJ
∆ y3
4
∆ y5
Contenido
5
∆ y4
∆y6
x7
∆4 y3
2
∆8 y0
∆ y1
∆5 y2
3
∆y5
∆7 y0
6
∆ y2
∆2 y4
y5
∆5 y1
4
∆ y3
Página de Inicio
∆6 y0
∆ y1
2
∆y4
x5
4
∆ y2
y4
∆5 y0
∆ y1
2
∆y3
x4
∆ y0
3
∆y2
x3
Página Web
4
Página 5 de 25
∆y7
x8
y8
Volver
Tabla 1: Tabla de diferencias progresivas
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
x y
x0 y0
∇y
∇2 y
∇3 y
∇4 y
∇5 y
∇6 y
∇7 y
∇8 y
∇y1
x1
Informática
2
∇ y2
y1
∇3 y3
∇y2
x2
2
∇ y3
y2
∇3 y5
∇3 y6
x6
∇6 y8
II
∇ y8
J
I
3
∇ y8
∇2 y 8
y7
JJ
∇ y8
4
∇ y7
y6
∇7 y8
Contenido
5
∇ y7
∇y7
x7
∇4 y7
2
∇8 y8
∇ y7
∇5 y7
3
∇y6
∇7 y7
6
∇ y6
∇2 y6
y5
∇5 y6
4
∇ y5
y4
Página de Inicio
∇6 y0
∇ y1
2
∇y5
x5
4
∇ y2
y3
∇5 y5
∇ y4
2
∇y4
x4
∇ y4
3
∇y3
x3
Página Web
4
Página 6 de 25
∇y8
x8
y8
Volver
Tabla 2: Tabla de diferencias regresivas
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
f [xk , · · · , xk+n ] − f [xk+1 , · · · , xk+n+1 ]
=
xk − xk+n+1
∆n yk+1 − ∆n yk
∆n yk /n!hn − ∆n yk+1 /n!hn
=
=
=
−(n + 1)h
(n + 1)! hn+1
∆n (yk+1 − yk )
∆n (∆yk )
∆n+1 yk
=
=
=
(n + 1)! hn+1
(n + 1)! hn+1
(n + 1)! hn+1
f [xk , · · · , xk+n+1 ] =
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 7 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
1.1. NEWTON EN DIFERENCIAS PROGRESIVAS
Utilizando éste lema podemos entonces obtener la fórmula de Newton en diferencias
progresivas, que es la misma que en diferencias divididas pero expresada en diferencias
finitas, que es posible si en los puntos de interpolación las abcisas son equidistantes,
o sea, si
xi+1 − xi = h,
Página Web
∀i = 0, 1, . . . , n − 1
siendo h la diferencia constante entre dos abcisas consecutivas.
Tenemos entonces los puntos de interpolación (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde yi =
f (xi ) y además xi+1 = xi + h, ∀i = 0, 1, . . . , n − 1 y podemos escribir x1 = x0 + h =⇒
x2 = x1 + h = x0 + 2h =⇒ x3 = x0 + 3h =⇒ . . . xi = x0 + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n
La expresión del polinomio de interpolación en diferencias divididas es
pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
+ f [x0 , x1 , · · · , xn ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
(1)
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 8 de 25
Aplicando el lema anterior a ésta fórmula obtenemos :
∆2 y0
∆1 y0
pn (x) = y0 +
(x
−
x
)
+
(x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
0
1! h1
2! h2
∆n y0
+
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
n! hn
Informática
Volver
(2)
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
por otra parte, hacemos el cambio :
x − x0
x − xi
x − (x0 + i h)
x − x0 − i h
x − x0 i h
= s =⇒
=
=
=
−
=s−i
h
h
h
h
h
h
y sustituyendo en (2) :
(3)
Informática
Página Web
∆ 0 y0
z}|{
(x − x0 )
(x − x0 )(x − x1 )
pn (x) = y0 +∆1 y0
+ ∆2 y0
+ ···
h
2! h2
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
+ ∆n y0
=
n! hn
(2s)
s
z }| {
(1)
z}|{
s(s − 1)
1
2
= y0 + ∆ y0 s +∆ y0
+···
2!
(ns )
z
}|
{
s(s
−
1)
.
.
.
(s
−
n
+
1)
+ ∆n y0
=
n!
n
n
X
s(s − 1) . . . (s − k + 1) X k
s
k
=
∆ y0
=
∆ y0
k!
k
k=0
k=0
Página de Inicio
Contenido
(4)
JJ
II
J
I
Página 9 de 25
Volver
con lo cual tenemos :
pn (x) =
n X
s
k=0
k
Pantalla completa
∆k y0
Cerrar
Salir
ULPGC
que se conoce con el nombre de fórmula de Newton en diferencias finitas progresivas.
Ejemplo. Obtener una fórmula para la suma de los primeros números naturales.
Solución:
n
P
Sabemos que
k = n(n+1)
y como queremos obtenerla por interpolación con abcisas
2
Informática
k=1
equidistantes construimos un conjunto de valores según los diferentes valores de n:
P
n
y ∆1 ∆2 ∆3 ∆4
1 −→ 1
1
2
2 −→ 1 + 2
3
1
3
0
3 −→ 1 + 2 + 3
6
1
0
4
0
4 −→ 1 + 2 + 3 + 4 =
10
1
5
1 −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
P
Tenemos pn (x) = nk=0 ks ∆k y0
con s = (x − x0 )/h = x − 1 con lo que
1
x2 − 3x + 2 + 4x − 2
(x − 1)(x − 2) =
=
2!
2
x2 + x
x(x + 1)
=
=
2
2
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 10 de 25
Volver
p(x) =1 + 2(x − 1) +
Pantalla completa
(5)
Cerrar
Salir
ULPGC
que es lo que debı́amos obtener.
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 11 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
1.2. NEWTON EN DIFERENCIAS REGRESIVAS
También en éste caso las abcisas son equidistantes, o sea
xi+1 − xi = h,
∀i = 0, 1, . . . , n − 1
Informática
siendo h la diferencia constante entre dos abcisas consecutivas.
Tenemos entonces los puntos de interpolación (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde yi =
f (xi ) y además xi+1 = xi + h, ∀i = 0, 1, . . . , n − 1 y podemos escribir x1 = x0 + h =⇒
x2 = x1 + h = x0 + 2h =⇒ x3 = x0 + 3h =⇒ . . . xi = x0 + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n
Consideramos ahora los puntos de interpolación en el orden (xn , yn ), (xn−1 , yn−1 ), . . . , (x0 , yo )
y para éste orden la expresión del polinomio de interpolación en diferencias divididas es
pn (x) = f [xn ] + f [xn , xn−1 ](x − xn ) + f [xn , xn−1 , xn−2 ](x − xn )(x − xn−1 ) + · · ·
+ f [xn , xn−1 , · · · , x0 ](x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
(6)
Aplicando el lema anterior 1.1 a ésta última fórmula y considerando la relación entre
diferencias progresivas y regresivas obtenemos :
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 12 de 25
∆k yi
∇k yi+k
=
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] =
k! hk
k! hk
Considerando además que la diferencia dividida es una función simétrica de sus argumentos, o sea, que
f [x0 , x1 , · · · , xk ] = f [xi0 , xi1 , · · · , xik ]
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
para cualquier permutación posible (i0 , i1 , . . . , ik ) de (0, 1, . . . , k) tendrı́amos por ejemplo que
f [xn , xn−1 ] = f [xn−1 , xn ], f [xn , xn−1 , xn−2 ] = f [xn−2 , xn−1 , xn ], etc.
Sustituyendo entonces en la ecuación anterior (6):
Informática
∇1 yn
∇2 yn
(x
−
x
)
+
(x − xn )(x − xn−1 ) + · · ·
n
1! h1
2! h2
∇n yn
+
(x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
n! hn
pn (x) = yn +
Página Web
(7)
Página de Inicio
por otra parte, hacemos el cambio :
x − xn
= u =⇒
h
x−xn−1
n
= x−(xhn −h) = x−xhn + h = x−x
+ hh = u + 1
h
h
x−xn−2
n
= x−(xhn −2h) = x−xnh+2 h = x−x
+ 2hh = u + 2
h
h
h)
x−xi
h
h
n
= x−(xn −(n−i)
= x−xn +n−i
= x−x
+ n−i
=u
h
h
h
h
h
Contenido
+n−i
JJ
II
J
I
Página 13 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
y sustituyendo en (7) :
∇ 0 yn
z}|{
(x − xn )(x − xn−1 )
(x − xn )
pn (x) = yn +∇1 yn
+ ∇2 yn
+ ···
h
2! h2
(x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
+ ∇n yn
=
n! hn
(u+1
2 )
u
z
}| {
(1)
z}|{
u(u + 1)
= yn + ∇1 yn u +∇2 yn
+···
2!
(u+n−1
)
n
z
}|
{
u(u
+
1)
.
.
.
(u
+
n
−
1)
+ ∇n yn
=
n!
n
n
X
u(u + 1) . . . (u + k − 1) X k
u+k−1
k
=
∇ yn
=
∇ yn
k!
k
k=0
k=0
Informática
Página Web
Página de Inicio
(8)
con lo cual tenemos :
Contenido
JJ
II
J
I
Página 14 de 25
pn (x) =
n X
u+k−1
k=0
k
∇k y n
que se conoce con el nombre de fórmula de Newton en diferencias regresivas.
Volver
Pantalla completa
Ejemplo. Obtener una fórmula para la suma de los primeros números naturales.
Cerrar
Salir
ULPGC
Solución:
La tabla es exactamente la misma que se construyó para diferencias progresivas, pero
se toma ahora la diagonal inferior, que aparece en negrita
P
n
y ∇1 ∇2 ∇3 ∇4
1 −→ 1 =
1
2
2 −→ 1 + 2 =
3
1
3
0
3 −→ 1 + 2 + 3 =
6
1
0
4
0
4 −→ 1 + 2 + 3 + 4 =
10
1
5
5 −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
k
P
Ahora la ecuación es: pn (x) = nk=0 u+k−1
∇ yn
k
siendo
x − xn
u=
= x − 5, h = 1
h
u(u + 1) 2
∇ yn =
2!
1
x2 − 9x + 20 + 10x − 20
=
= 15 + 5(x − 5) + (x − 5)(x − 4) =
2!
2
x2 + x
x(x + 1)
=
=
2
2
p(x) = yn + u∇yn +
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 15 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
que es de nuevo lo que debı́amos obtener.
Ejemplo. Encontrar el polinomio de interpolación p(x) de segundo grado tal que p(0) = −1,
p(1) = 2, p(2) = 7.
Solución:
Tomando las xi e yi en el orden dado: x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2; y0 = −1, y1 = 2, y2 = 7
Construimos la tabla de diferencias finitas:
x y ∆1 /∇1
0 −1
3
1 2
5
2 7
∆2 /∇2
Contenido
x−x0
h
=
x−0
1
= x y por tanto:
2
p(x) = −1 + 3x + x(x − 1) = x2 − x + 3x − 1 = x2 + 2x − 1
2!
n
Análogamente, para aplicar la fórmula en diferencias regresivas es u = x−x
=
h
x − 2 y entonces:
p(x) = 7 + 5(x − 2) +
Página Web
Página de Inicio
2
Para aplicar la fórmula en diferencias progresivas es s =
Informática
JJ
II
J
I
Página 16 de 25
x−2
1
=
Volver
2
(x − 2)(x − 1) = 7 + 5x − 10 + x2 − 3x + 2 = x2 + 2x − 1
2!
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
2. PROBLEMAS
Problema 1. Construir la tabla de diferencias finitas para el conjunto de nodos siguiente:
x
f (x)
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.79168 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228
Usar la fórmula progresiva de Newton con polinomios de grado tres para estimar
f (0.158) y f (0.636). Para el primer polinomio, elegir x0 = 0.125 y para el segundo
x0 = 0.375.
Problema 2. Con los mismos datos del problema 1, usar la fórmula regresiva de Newton,
eligiendo xn = 0.500 en el primer caso y xn = 0.750 en el segundo polinomio ¿se obtienen
los mismos resultados?
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
Problema 3. Con los mismos datos del problema 1, obtener los polinomios que interpolan en las abcisas 0.500, 0.625 y 0.750, usando las fórmulas progresiva y regresiva de
Newton. Demostrar que se trata del mismo polinomio.
JJ
II
Problema 4. Probar que:
J
I
(a)
Página 17 de 25
∆[f (x).g(x)] = f (x).∆g(x) + g(x + h).∆f (x)
(b) ∆n xn = ∇n xn = n! cuando h = 1.
Volver
(c)
f (x)
g(x).∆f (x) − f (x).∆g(x)
∆
=
g(x)
g(x + h).g(x)
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Referencias
[Act90] F.S. Acton. Numerical Methods That (Usually) Work. The Mathematical Association of America, Washington, 1990.
[Atk89] K. E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley, New York,
2nd. edition, 1989.
[BF80]
[CC89]
Informática
Página Web
R.L. Burden and D. Faires. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1980.
Página de Inicio
S.C. Chapra and R.P. Canale. Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill
International, New York, second edition, 1989.
Contenido
[CdB80] S. D. Conte and C. de Boor. Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic
Approach. McGraw–Hill, New York, third edition, 1980.
JJ
II
[DB74]
J
I
Germund Dahlquist and Åke Björck. Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1974.
[Fad59] V.N. Faddeeva. Computational Methods of Linear Algebra. Dover Publications,
Inc, New York, 1959.
Página 18 de 25
Volver
[Frö79]
C.-E. Fröberg. Introduction to Numerical Analysis. Adison–Wesley, Reading,
Massachusetts, 2nd. edition, 1979.
[GW89] C.F. Gerald and P.O. Wheatley. Applied Numerical Analysis. Addison–Wesley
Publishing Co., Reading, Massachusets, fourth edition, 1989.
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
[Hen72] P. Henrici. Elementos de Análisis Numérico. Ed. Trillas, México, 1972.
[Hil74]
F. B. Hildebrand. Introduction to Numerical Analysis. McGraw–Hill, New
York, second edition, 1974.
[KC94]
D. Kincaid and W. Cheney. Análisis Numérico : las matemáticas del cálculo
cientı́fico. Addison-Wesley Iberoamericana, 1994.
Informática
Página Web
[Mar87] M. J. Maron. Numerical Analysis: A Practical Approach. Macmillan Publishing
Co., New York, second edition, 1987.
[ML91]
M. J. Maron and R. J. Lopez. Numerical Analysis: A Practical Approach.
Wadsworth, Belmont, California, third edition, 1991.
Página de Inicio
Contenido
[RR78]
Anthony Ralston and Philip Rabinowitz. A First Course in Numerical Analysis.
McGraw-Hill, New York, 2nd. edition, 1978.
JJ
II
[Sch89]
H.R. Schwarz. Numerical Analysis. John Wiley & Sons, Chichester, 1989.
J
I
[Wer84] W. Werner. Mathematics of Computation, 43:205–217, 1984.
Página 19 de 25
[YG73a] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume I. Dover Publications, New York, 1973.
Volver
[YG73b] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume II. Dover Publications, New York, 1973.
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Soluciones a los Problemas
Problema 1. Los valores son f (0.158) = 0.78801042 y f (0.636) = 0.65178537.
J
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 20 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Problema 2. Se obtienen los mismos resultados:
f (0.158) = 0.78801042 y f (0.636) = 0.65178537. El polinomio resultante es:
0.114346666667x3 − 0.44704x2 + 0.00841333333334x + 0.79739
Informática
en el primer caso y
Página Web
0.170666666667x3 − 0.51936x2 + 0.0391333333333x + 0.79307
en el segundo caso.
Página de Inicio
J
Contenido
JJ
II
J
I
Página 21 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Problema 3.
El polinomio en ambos casos es:
−0.19936x2 − 0.1582x + 0.83307
J
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 22 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Problema 4(a)
∆[f (x).g(x)] = f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x) =
= f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x) + f (x).g(x + h) − f (x).g(x + h) =
= f (x).g(x + h) − f (x).g(x) + g(x + h).f (x + h) − g(x + h).f (x) =
= f (x).∆g(x) + g(x + h).∆f (x)
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 23 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
ULPGC
Problema 4(b) Por inducción.
Informática
Página Web
Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 24 de 25
Volver
Pantalla completa
Cerrar
Salir
Problema 4(c) Es sencillo. Se deja como ejercicio.