Proposición 1

Proposición 1: Sea (X1 , X2 , . . . , Xn ) una muestra aleatoria simple (M.A.S.) de una población
X con esperanza E[X] = µ y varianza V(X) = σ 2 . Entonces:
(i ) E[X̄] = µ.
2
(ii ) V(X̄) = σn .
(iii ) E[S 2 ] = σ 2 .
Demostración:
Parte (i ):
"
#
" n
#
n
X
1X
1
E[X̄] = E
Xi = E
Xi ,
n i=1
n
i=1
(1)
donde hemos utilizado que E[aX] = aE[X] siendo a una constante real y X una variable
aleatoria.
" n
#
n
X
1
1X
(1) = E
Xi =
E [Xi ] ,
(2)
n
n i=1
i=1
donde hemos utilizado que la esperanza de una suma de v.a. es la suma de las esperanzas de
esas variables. Por ejemplo, E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. 1
n
n
n
1X
1X
1X
(2) =
E [Xi ] =
E [X] =
µ,
n i=1
n i=1
n i=1
(3)
donde hemos utilizado que todas las Xi tienen la misma distribución que X y por tanto
E [Xi ] = E [X] = µ.
Finalmente,
1
nµ = µ,
n
P
donde hemos utilizado que ni=1 µ = µ + µ + · · · + µ = nµ.
|
{z
}
E[X̄] =
(4)
n veces
Parte (ii ):
"
#
" n
#
n
X
1X
1
V[X̄] = V
Xi = 2 V
Xi ,
n i=1
n
i=1
donde hemos utilizado que V[aX] = a2 V[X].
" n
#
n
X
1
1 X
(5) = 2 V
Xi = 2
V [Xi ] ,
n
n
i=1
i=1
(5)
(6)
donde hemos utilizado que la varianza de una suma de v.a. independientes es la suma de las
varianzas de esas variables. Notemos que “independientes” es fundamental en la validez de
este paso, pues en general lo que se cumple es V[X + Y ] = V[X] + V[Y ] + 2Cov[X, Y ].
1
En la relación (2) aparece “(1) =
1
nE
1
n
. . . ”, lo que significa ese (1) es que viene de la relación (1).
1
n
n
n
1 X
1 X
1 X 2
(6) = 2
V [Xi ] = 2
V [X] = 2
σ ,
n i=1
n i=1
n i=1
(7)
donde hemos utilizado que todas las Xi tienen la misma distribución que X y por tanto
V [Xi ] = V [X] = σ 2 .
Finalmente,
1
σ2
2
nσ
=
,
n2
n
P
2
2
2
2
donde hemos utilizado que ni=1 σ 2 = σ
| +σ +
{z · · · + σ} = nσ .
V[X̄] =
(8)
n veces
Parte (iii ):
"
#
" n
#
n
X
X
1
1
E[S 2 ] = E
(Xi − X̄)2 =
E
(Xi − X̄)2 ,
n − 1 i=1
n−1
i=1
donde hemos utilizado que E[aX] = aE[X].
" n
#
" n
#
X
X
1
1
2
2
(9) =
E
(Xi − X̄) =
E
(Xi − µ + µ − X̄) ,
n−1
n−1
i=1
i=1
(9)
(10)
donde hemos sumado y restado µ dentro del cuadrado.
Ahora efectuaremos el cuadrado agrupando (Xi − µ) y (µ − X̄):2
P
1
(10) = n−1
E ni=1 (Xi − µ + µ − X̄)2
Pn
1
2
2
= n−1
E
,
i=1 (Xi − µ) + (µ − X̄) + 2(Xi − µ)(µ − X̄)
(11)
que agrupamos en las siguientes tres sumas:
Pn
Pn
Pn
1
2
(11) = n−1
E
(Xi − µ)2 +
(µ
−
X̄)
+
2(X
−
µ)(µ
−
X̄)
i
i=1
i=1
i=1
Pn
Pn
P
1
2
E [ ni=1 (Xi − µ)2 ] + E
+ E
= n−1
i=1 (µ − X̄)
i=1 2(Xi − µ)(µ − X̄)
1
(A + B + C) .
= n−1
(12)
Para mantener las expresiones manejables, en (12) hemos dividido la expresión en tres sumandos: A, B y C. Trabajaremos con ellos por separado y en el último paso los reuniremos.
A:
"
(A) = E
n
X
#
(Xi − µ)2 =
i=1
n
n
n
X
X
X
E (Xi − µ)2 =
V[X] =
σ 2 = nσ 2 ,
i=1
i=1
(13)
i=1
donde hemos utilizado que la esperanza de una suma de v.a. es la suma de las esperanzas,
y que todas las Xi tienen la misma distribución que X y por tanto E [(Xi − µ)2 ] = V [Xi ] =
V [X] = σ 2 .
2
((Xi − µ) + (µ − X̄))2 ) = (Xi − µ)2 + (µ − X̄)2 + 2(Xi − µ)(µ − X̄)
| {z } | {z }
| {z } | {z } |
{z
}
a
b
a2
b2
2ab
2
B:
"
#
n
X
σ2
(µ − X̄)2 = E n(X̄ − µ)2 = nE (X̄ − µ)2 = n = σ 2 ,
(14)
n
i=1
2
donde hemos utilizado que E (X̄ − µ)2 = V X̄ = σn ya que por las partes (i ) y (ii ) de esta
2
proposición tenemos que E[X̄] = µ y V(X̄) = σn , respectivamente.
(B) = E
C:
P
(C) = E 2 ni=1 (XiP
− µ)(µ − X̄)
= 2E (µ − X̄) Pni=1 (Xi − µ)
Pn
(15)
= 2E (µ − X̄) ( ni=1 Xi −
µ)
i=1
= 2E (µ − X̄) nX̄ − nµ ,
P
Pn
donde
hemos
utilizado
que
(µ
−
X̄)
puede
salir
del
sumatorio
,
que
i
i=1 Xi = nX̄ y que
Pn
i=1 µ = nµ.
σ2
(15) = −2nE (X̄ − µ)2 = −2n = −2σ 2 ,
n
donde hemos utilizado el mismo argumento que en (B).
(16)
Finalmente, uniendo A, B y C, obtenemos que:
E[S 2 ] =
=
1
n−1
1
n−1
(A + B + C)
(nσ 2 + σ 2 − 2σ 2 ) =
1
σ2
n−1
(n + 1 − 2) = σ 2 .
(17)
Si tenéis alguna duda en la demostración podéis enviarme
un email a: <andres.alonso@uc3m.es>.
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