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Electrodinámica Clásica
4º Curso – Física
MEDIDA DEL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN
1. INTRODUCCIÓN
En este documento se describe la práctica de laboratorio correspondiente a la
medida del coeficiente de reflexión producido por una lámina dieléctrica de espesor
“d”. Con la medida del coeficiente de reflexión se obtendrá la permitividad y la
conductividad (o tangente de pérdidas) del material que forma la lámina dieléctrica.
Para ello es necesario haber resuelto el problema de los tres medios que se indica en
la web de la asignatura.
Antes de comenzar con el desarrollo de la práctica, se va a proceder a
describir de forma abreviada los principales elementos que componen el banco de
microondas que es necesario montar para poder realizar las medidas del coeficiente
de reflexión.
Es necesario que antes de la realización de las prácticas de laboratorio se
estudie cada uno de los dispositivos que se relacionan a continuación, así como leer y
entender la estrategia a seguir para la realización de la práctica. Asimismo, es
necesario prepararse para hacer durante la realización de las prácticas las tareas
encomendadas que serán supervisadas in situ por el profesor. Se debe acudir también
con el programa de ordenador realizado y su informe correspondiente, para en el
mismo laboratorio obtener las características del dieléctrico y poder realizar así una
comprobación sobre el funcionamiento del programa de cálculo.
2. DISPOSITIVOS A UTILIZAR EN LA PRÁCTICA
2.1 GUÍA DE ONDA
Las guías de onda son medios de transmisión utilizados para transportar
energía de microondas entre dos puntos. El tipo de estructura que vamos a utilizar es
una guía de onda rectangular como la que se muestra en la figura. Idealmente, la
guía rectangular está compuesta de paredes perfectamente conductoras y, por tanto,
no tiene pérdidas. Algunas de las diferencias más importantes entre la propagación
guiada por una guía de onda y la propagación en espacio abierto se muestran en la
siguiente tabla.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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Propagación espacio abierto
Modos TEM
No existencia frecuencia de corte
Constante de fase: β = k0
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Propagación guiada
Modos TE y TM
Existencia de frecuencia de corte
Constante de fase:
⎛ nπ mπ ⎞
+ 2 ⎟ = k02 − kc2
2
b ⎠
⎝a
β = k02 − ⎜
La frecuencia de corte es una frecuencia por debajo de la cual la guía de onda
no puede transportar energía. Por tanto las guías de onda tienen un tamaño
dependiendo del intervalo de frecuencias en el que se vayan a usar. La que se utiliza
en el laboratorio tiene dimensiones transversales a=22,86 mm, b=10,16 mm y el
intervalo frecuencial de uso es de 8,2-12,4 GHz (habitualmente también se usa 8–12
GHz). Esta banda de frecuencias se denomina banda X.
Sección de guía de onda
rectangular. La dimensión
ancha (en el eje X) es “a”
y la estrecha (en el eje Y)
es “b”.
2.2 ANTENA TIPO CORNETE
La antena tipo cornete que se utiliza en esta práctica se construye
ensanchando las paredes ancha y estrecha de una guía de onda rectangular tal y
como se muestra en la figura. El objetivo de la antena es realizar una adaptación
entre la impedancia de la guía de onda y la impedancia intrínseca del aire, de
manera que se produzca la mejor transmisión de energía al aire desde la guía de
onda. La antena envía la mayor parte de la energía de microondas en un haz
principal con una anchura de unos pocos grados (10-15 grados) y, en otros lóbulos
adyacentes, llamados lóbulos secundarios, envía el resto de la energía. Nosotros
trabajamos con el lóbulo principal y en la zona de radiación, o zona lejana de la
antena, donde el campo electromagnético es prácticamente el de una onda plana
monocromática.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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2.3 AISLADOR DE FERRITA
Es un dispositivo no recíproco, denominado aislador de desplazamiento de
campo, que contiene en su interior una barra magnetizada de ferrita que va unida a
una placa resistiva paralela a la cara estrecha de la guía de onda rectangular. El
objetivo de un aislador es el de dejar pasar la potencia en un sentido y no en el otro.
El mecanismo consiste en magnetizar la ferrita mediante un campo magnético
estático paralelo al campo eléctrico que permite el paso de la onda en un sentido (el
marcado por la flecha) mientras que en el sentido contrario el campo está
principalmente concentrado en la placa resistiva que lo absorbe, de manera que en
ese sentido se produce (idealmente) una total absorción del campo no habiendo
transmisión de energía. En la figura se muestra un esquema del aislador utilizado
junto con el aspecto cualitativo del campo eléctrico en cada sentido de propagación.
2.4 MODULADOR
El modulador es un dispositivo que se utiliza para modular la señal de
microondas. El modulador consta de una sección de guía de onda rectangular en la
que se coloca un diodo en el plano medio de la sección transversal de la guía. Cuando
el diodo modulador se alimenta con una tensión positiva, presenta una impedancia
alta no afectando a la señal que se propaga por la guía; cuando se alimenta con una
tensión negativa, presenta una impedancia muy baja que hace las veces de
cortocircuito haciendo que la señal se refleje. Para modular se utiliza una señal de
onda cuadrada a una frecuencia de 1 KHz, de manera que la señal resultante es nula
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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en un semiperíodo. La necesidad de modular es debido a que el medidor de ROE sólo
trabaja con señales moduladas en amplitud. Además los cristales detectores dan
niveles de continua acompañados a una señal de ruido que perturba las medidas
especialmente cuando las señales recibidas son de muy baja potencia. Esta señal hay
que amplificarla, lo cual se puede hacer en una señal modulada sin problemas de
mantenimiento de la relación señal/ruido.
2.5 FRECUENCÍMETRO
El frecuencímetro es un dispositivo que se utiliza para medir la frecuencia
generada por el oscilador de microondas. Está formado por una
cavidad coaxial con
un émbolo móvil a modo de cortocircuito. La cavidad está
acoplada a través de unas ranuras a la guía rectangular por la
que viaja la señal, de manera que al mover el émbolo se varía el
tamaño de la cavidad y su frecuencia de resonancia. Cuando ésta
coincide con la frecuencia de la señal viajando por la guía, una
pequeña cantidad de potencia pasa de la guía a la cavidad,
pudiéndose detectar un “dip” de absorción en el medidor de ROE
al que lógicamente llega menos señal. La frecuencia se puede
leer directamente en la cavidad que está previamente calibrada.
2.6 CRISTAL DETECTOR
Un cristal detector es un sistema capaz de
transformar una señal de alterna funcionando a
frecuencia de microondas en una señal de continua
que puede ser recogida en un osciloscopio o un
medidor de razón de onda estacionaria. Un cristal
detector está compuesto de dos partes
a) Diodo rectificador
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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b) Montura
El diodo, generalmente de tipo Schottky, es el que realiza la rectificación de
la señal. La montura, además de constituir el soporte mecánico del diodo, se
encarga de adaptar el diodo a la señal de microondas de manera que la potencia
reflejada sea lo más pequeña posible. Además, en la montura se incorpora un filtro
paso bajo (por encima de una frecuencia dada la señal es rechazada) colocado en el
cable coaxial de salida, de manera que la señal de microondas queda aislada de la
señal de continua.
La relación entre la corriente que circula por un diodo y la tensión aplicada al
diodo viene dada por la expresión (curva característica del diodo)
⎛ V
⎞
I = I 0 ⎜ e V0 − 1⎟
⎝
⎠
donde
I es la corriente a través del diodo
I 0 es la corriente característica de un diodo, de valor algunos microamperios
V es la tensión de microondas
V0 = 25 − 50 milivoltios (tensión de barrera del diodo)
Si la tensión de microondas sobre la barrera del diodo es de la forma V cos ωt
y además V es mucho más pequeña que V0 , podemos desarrollar en serie de
potencias la exponencial de la curva característica del diodo y quedarnos únicamente
con los primeros términos; así
V
e
Empleando cos 2 α = 1
V
e
2
V0
V
1⎛V ⎞
= 1 + cos ωt + ⎜ ⎟ cos 2 ωt + ...
V0
2 ⎝ V0 ⎠
1 + cos 2α ) podemos poner
2(
2
V0
2
1⎛V ⎞ V
1⎛V ⎞
= 1 + ⎜ ⎟ + cos ωt + ⎜ ⎟ cos 2ωt + ...
4 ⎝ V0 ⎠ V0
4 ⎝ V0 ⎠
con lo que
2
2
I ⎛V ⎞
V
⎛ V
⎞ I ⎛V ⎞
I = I 0 ⎜ e V0 − 1⎟ = 0 ⎜ ⎟ + I 0 cos ωt + 0 ⎜ ⎟ cos 2ωt + ...
V0
4 ⎝ V0 ⎠
⎝
⎠ 4 ⎝ V0 ⎠
Como se observa la corriente en el diodo está compuesta de una parte de
continua (el primer sumando) y otra parte de alterna (los restantes) de frecuencia
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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ω , 2ω etc. que son eliminadas por el filtro paso bajo, que sólo deja pasar
frecuencias por debajo de una dada. En este caso sólo pasaría la señal de continua,
que es proporcional al cuadrado de la tensión de continua, es decir, proporcional a la
potencia de microondas. Por tanto, la corriente a la salida del detector será
I DC
I ⎛V ⎞
= 0⎜ ⎟
4 ⎝ V0 ⎠
2
y se dice que el detector trabaja en la región cuadrática. Si la señal de microondas
es del orden de la tensión de barrera V0 el diodo ya no trabaja en la zona de
respuesta cuadrática, con lo que la medida de ROE en el medidor puede verse muy
afectada.
2.7 MEDIDOR DE RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIA
Para una onda plana polarizada en el eje x se
define la Razón de la Onda Estacionaria –ROE- (o S)
como
S=
Exmáx
Ex min
que también se puede definir en función de una onda
de tensión única asociada a ese campo eléctrico como
S=
vmáx
vmin
Como hemos visto, mediante el diodo detector es posible obtener una señal
de continua que es proporcional al cuadrado de la tensión de microondas, o lo que es
lo mismo, al cuadrado del campo eléctrico. Podemos entonces definir S como
S=
Vmáx
Vmín
donde Vmáx es la tensión de continua que produce el cristal detector cuando se toma
la señal de la onda estacionaria en un máximo y Vmín tiene análogo significado para
un mínimo. Cuando las señales detectadas son muy pequeñas es necesario
amplificarlas para ser detectadas adecuadamente. El proceso de amplificación no
sólo amplifica la señal sino también su ruido asociado, añadiendo además el propio
ruido del amplificador. Por ello se trabaja con señales moduladas que se amplifican
en banda estrecha con una relación señal/ruido mejor.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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El medidor de ROE es un amplificador bajo ruido de ganancia elevada
sintonizable a 1KHz y se utiliza conjuntamente con la sonda de campo eléctrico (o en
el caso de una guía de onda con la guía ranurada). La modulación del amplificador
puede ajustarse el 10% en torno a 1 KHz para mejorar en lo posible la recepción de la
señal de microondas que recibe de la sonda de campo eléctrico, y que está a su vez
modulada a 1 KHz. El ancho de banda del medidor se puede seleccionar a 10 o 100
Hz. El primero asegura un nivel bajo de ruido mientras que el segundo se utiliza en
aplicaciones con barrido de frecuencia para su observación en un osciloscipio. La
ganancia del amplificador se puede regular mediante un mando continuo y otro a
escalas de 10 dB.
El medidor de ROE tiene dos tipos de escala
I. Escala en ROE: sigue la relación
S=
V0
V
donde V0 es la tensión de la señal de entrada cuando la aguja se encuentra a
máxima deflexión (tensión en un máximo) y V es la tensión dada por la señal
de entrada para una deflexión desconocida (tensión en una posición
cualquiera). Cuando la entrada al medidor está conectado a la salida del
cristal detector trabajando en la zona cuadrática, la tensión de salida será
proporcional a la potencia de microondas, por lo que si V0 = Vmáx y V = Vmín
entonces
S=
Vmáx
=
Vmín
Pmáx Emáx
=
Pmín Emín
y se puede leer directamente en el medidor la ROE.
II. La segunda escala da
10 log
V0
P
= 10 log 0
V
P
es decir, la escala en decibelios da la razón entre dos niveles de potencia
medidos con la sonda de campo eléctrico.
La misión principal de este aparato es la medida de la razón de la onda
estacionaria ROE producida por una reflexión. También se utiliza para determinar
niveles de potencia relativa.
Una vez vistos los dispositivos que vamos a utilizar en la práctica, pasemos a
explicar el proceso de medida del coeficiente de reflexión de una lámina dieléctrica
rodeada por aire.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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3. REFLEXIÓN POR UNA LÁMINA DIELÉCTRICA
Un esquema que hay que montar en el laboratorio se muestra en la foto
siguiente. Este esquema será montando con la ayuda del profesor que indicará la
funcionalidad de cada instrumento en cada momento.
Frecuencímetro
Antena
Cornete
Guía de
onda
Sonda
Campo
Eléctrico
Medidor
de ROE
Si una onda plana incide sobre una lámina dieléctrica según muestra la figura
3.1, en la zona 1 se produce una onda estacionaria cuyo campo eléctrico es (lo
suponemos polarizado en la dirección X) en una posición z=-l, 1
⎛
⎞
E−
E1 ( z = −l ) = E1+ e jk0l + E1− e − jk0l = E1+ e jk0l ⎜ 1 + 1+ e −2 jk0l ⎟ = E1+ e jk0l (1 + Γ ( z = 0 ) e −2 jk0l )
E1
⎝
⎠
donde Γ( z = 0) es el coeficiente de reflexión que se ve en z=0 mirando hacia la
derecha. Por simplicidad lo llamaremos a partir de ahora Γin . En general Γin es un
número complejo dado por Γin = ρ e jθ .
1
En microondas es muy habitual utilizar la notación seguida en este documento. Se elige
como eje “l” el eje z negativo. Ya que trabajamos en la zona de z negativo, pues trabajamos
en el medio 1, para trabajar con distancias positivas usamos el “eje de las eles” (eje “l”).
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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Medio 1
εr = 1
Medio 2
εr
Onda
incidente
X
Y
d
Onda
reflejada
z=-l
Medio 3
εr = 1
z=0
Z
z=d
Figura 3.1.- Esquema de una lámina dieléctrica sumergida en aire.
El patrón de la onda estacionaria se puede escribir como
E1 ( z = −l ) = E1+ 1 + ρ e j(θ −2 k0l )
que haciendo algo de algebra se puede poner como
(
)
E1 ( l ) = E1+ ⎡(1 + ρ 2 ) − 4 ρ sen 2 k0l − θ ⎤
2 ⎦
⎣
1/ 2
(1)
Esta ecuación muestra que E1 ( l ) , a medida que nos vamos alejando de z=0 hacia
valores de z negativos (es decir, valores de l positivos) oscila entre unos valores
máximos y mínimos. Estos valores son
o Máximos E1+ (1 + ρ ) que se producen en k0l − θ
o Mínimos E1+ (1 − ρ ) que se producen en k0l − θ
2
2
= nπ ,
n = 0,1, 2,...
= nπ + π ,
2
n = 0,1, 2,...
(2)
(3)
Además, ya sabemos que la separación entre dos mínimos (máximos)
consecutivos es λ0 / 2 y entre un mínimo (máximo) y un máximo (mínimo) es λ0 / 4 .
Un parámetro esencial que caracteriza el patrón de la onda estacionaria es la
Razón de la Onda Estacionaria (ROE), que denotamos también abreviadamente por S,
y que se define como el cociente entre el valor máximo y mínimo del patrón de la
onda estacionaria, es decir
ROE = S =
1+ ρ
1− ρ
(4)
Este parámetro es muy importante en la práctica pues se puede medir
directamente en el laboratorio, utilizando dispositivos de medida relativa de campo
eléctrico (o magnético) que no son difíciles de construir. Un ejemplo es el de una
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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sonda de campo eléctrico que se sumerge en la zona de campo a medir y cuya salida
se conecta a un diodo o cristal rectificador que produce una salida que es una
medida relativa del campo eléctrico en la posición de la sonda. Moviendo la sonda a
lo largo de la dirección de propagación de la onda electromagnética, se puede medir
la ROE directamente en función de los máximos y mínimos del campo, utilizando, por
ejemplo, un medidor de ROE, del que directamente se puede leer su valor
experimental. Además, al desplazar la sonda se pueden localizar posiciones de
máximos y mínimos del patrón de la onda estacionaria, con lo que se puede
determinar la fase θ del coeficiente de reflexión utilizando (2) o (3). Puesto que de
la medida de la ROE se puede obtener el módulo del coeficiente de reflexión ρ ,
podemos obtener el valor experimental del coeficiente de reflexión Γin que produce
la lámina dieléctrica.
El proceso de medida del coeficiente de reflexión se muestra a continuación.
Supongamos que una onda plana a frecuencia f0 se propaga por el vacío (medio 1).
Esta onda es generada en el oscilador y transmitida al aire por el cornete. Para poder
estar en situación lo más próxima a la de onda plana, debemos realizar la medidas a
una distancia mucho mayor que la longitud de onda. En este caso nos
“conformaremos” con unas 8-10 veces mayor.
Tarea 3.1: para una frecuencia f0 dada (entre 8 y 12 Ghz), obtener
la distancia mínima a la que hacer las medidas. Explicar porqué no
se deben hacer las medidas cerca de la antena
Supongamos que en una posición adecuada, que denotaremos por z = 0 , colocamos
una plancha perfectamente conductora. En el medio 1 (aire) se produce una onda
estacionaria pura como la que se muestra en la figura 3.2.
Tarea 3.2: explicar porqué los mínimos de la onda estacionaria son
nulos y porqué sobre el conductor se produce un nulo de la onda
estacionaria.
Medio 1: aire εr = 1
Pared
Eléctrica
Perfecta (PEP)
(σ=∞)
Dc3
Dc2
Dc1
z=0
Figura 3.2.- Onda estacionaria pura producida por una PEP.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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Desplazando la sonda de campo eléctrico entre la lámina y la antena podemos ir
detectando los nulos de la onda estacionaria, por ejemplo los tres marcados en la
figura 3.2. Con las medidas de estos puntos podemos calcular la longitud de onda λ0
de la onda plana que se propaga por el aire.
Tarea 3.3: obtener la longitud de onda λ0 usando los valores medidos de
la pareja Dc1 y Dc2 y de la pareja Dc2 y Dc3. El valor final será la media de
los dos obtenidos. Obtener, asimismo, el valor de la frecuencia f0
utilizando el valor medido de λ0 y compararlo con el valor teórico de la
frecuencia elegida en el oscilador de microondas. Estimar el error
relativo en la medida de la frecuencia λ0.
El proceso consiste ahora en quitar el conductor y poner en su lugar la lámina
dieléctrica, con cuidado de que la cara izquierda de la lámina coincida exactamente
con la posición ocupada por la cara izquierda del conductor, que es la posición que
denominamos z=0. Lo que ahora sucede es que en el medio 1 (aire) se produce una
onda estacionaria cuyos mínimos no son nulos y, en general, ya no están donde antes
estaban los correspondientes a la onda estacionaria pura generada por el conductor.
La situación podría ser, por ejemplo, la de la figura 3.3
Medio 1: aire εr = 1
Medio 2: εr
d
Dd3
Dd2
Dd1
z=0
Medio 3
(aire)
εr = 1
z=d
Figura 3.3.- Onda estacionaria producida por una lámina dieléctrica
El objetivo es calcular el coeficiente de reflexión Γ ( z = 0) = Γin que presenta la
lámina de espesor “d” rodeada por aire, en z=0. En primer lugar, podemos medir la
ROE de la onda estacionaria producida utilizando directamente el medidor de ROE.
Con este valor se puede calcular el valor del módulo del coeficiente de reflexión ρ
Tarea 3.4: a partir de la medida de ROE y utilizando la expresión (4)
obtener el módulo ρ del coeficiente de reflexión Γin .
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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El patrón de la onda estacionaria se repite cada λ0 / 2 por lo que el coeficiente de
reflexión que se ve en z = 0 es igual al que se ve en múltiplos enteros de z = −λ0 / 2 .
Esto significa que no hace falta acceder físicamente a la posición z = 0 , que es
donde está la lámina y donde se quiere medir el coeficiente de reflexión (además eso
sería imposible), sino solamente ver qué pasa en cualquier posición alejada un
múltiplo de λ0 / 2 de z = 0 , pues el coeficiente de reflexión en z = 0 es el mismo
que en cualquiera de esas posiciones. La cuestión es ¿cómo localizamos sobre la regla
por la que desplazamos la sonda de campo eléctrico, una posición equivalente a la
posición z = 0 , donde poder realizar la medida del coeficiente de reflexión
exactamente igual que si estuviésemos en z = 0 ?. Lo que hay que hacer, entonces, es
localizar una posición equivalente a z = 0 , es decir, alejada un múltiplo entero de
veces λ0 / 2 .
Tarea 3.5: explicar cómo podemos localizar una posición equivalente a
la posición z = 0 , localizando cualquier posición múltiplo entero de
λ0 / 2 hacia la izquierda de ella, utilizando las medidas de las
posiciones de los mínimos realizadas hasta este momento.
Una vez resuelto el asunto de la tarea 3.5, supongamos que nos fijamos en la
posición Dc1 y en la posición Dd2, de manera que Dd2 está más a la izquierda que Dc1,
Figura 3.4. Esto significa que el mínimo más cercano a la posición donde está
colocado el dieléctrico se produce a una distancia d mín = Dd 2 − Dc1 ; de este valor es
posible conocer la fase θ del coeficiente de reflexión.
d
Dd3
Dc3
Dd1
Dd2
Dc2
z=0
z=d
Dc1
Figura 3.4.-Superposición de las ondas estacionarias producidas por una PEP y una
lámina dieléctrica
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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Tarea 3.6: aplicando la expresión (3) para n = 0 calcular el valor de la
fase θ del coeficiente de reflexión Γin .
Con esto tenemos calculado el coeficiente de reflexión Γin a la frecuencia f 0 .
4. CÁLCULO DE LA PERMITIVIDAD DE LA LÁMINA
DIELÉCTRICA 2
Una vez medido el coeficiente de reflexión Γin de la lámina dieléctrica, podemos
aplicar un proceso inverso para obtener la constante dieléctrica relativa ε r del
dieléctrico. Para ello debemos haber previamente resuelto teóricamente el caso
indicado en la figura 4.1 y haber realizado el programa de cálculo correspondiente al
trabajo previo pedido sobre esta práctica. Recordemos que el coeficiente de
reflexión teórico en z = − d está indicado en el trabajo previo, para los dos casos a
estudiar: a) la lámina se considera sin pérdidas y b) la lámina se considera con
pérdidas. Notemos que ahora la posición z = − d es la misma que la utilizada en el
esquema de laboratorio, es decir, z = 0 .
d
ε1, μ1
ε3, μ3
ε2, μ2, tg δ
Γ12 =
Z 2 − Z1
Z 2 + Z1
z=-d-
Γ21 =
Z1 − Z 2
Z1 + Z 2
Γ23 =
z=-d+
z=-d
Z3 − Z2
Z3 + Z2
z=0-
z=0
z=0+
z=0
z
Figura 4.1.- Esquema de la reflexión de una lámina dieléctrica.
Tarea 3.7: utilizando los programas realizados de obtención de la
permitividad compleja, obtener los valores de la constante
dieléctrica y de la tangente de pérdidas para los dos casos
considerados: sin pérdidas y con pérdidas.
2
Esta parte es optativa y sólo la deben hacer aquellos que hayan realizado el programa de
obtención de la permitividad compleja.
Práctica: Medida del Coeficiente de Reflexión
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