Document

Mapas de actividad sísmica
I) Actividad sísmica. Métodos de distribución y suma.
El concepto de actividad sísmica fue introducido por Riznichenko (1959) como un método
de estudio de la ocurrencia de terremotos. Sea una relación magnitud-frecuencia
expresada de la forma:
lg[N (K )] = α − γ ⋅ (K − K 0 )
(1)
con N(K) igual al número de terremotos en intervalos de ancho ΔK=1, centrados en
valores enteros de K. Si se evalúa la expresión para K=K0 se tendrá que
AK 0 = N (K 0 ) = 10α
⇒ N ( K ) = A K • 10 −γ ⋅( K − K 0 )
(2)
0
O sea, se expresa la relación en términos de parámetro AK 0 , dependiente del valor K0. “A”
es llamado “actividad sísmica” y es un parámetro que tuvo una amplia utilización en la
antigua URSS, tanto para comparación entre zonas como para su cartografiado. Por regla
general se usaba un valor de K=10, por lo que en lugar de AK 0 , se usaba la
representación A10. También en algunos casos se usaba el valor de K=15 → A15, pero
solo para zonas con muy alta sismicidad. La clase energética K (Rautian, 1964) se
relaciona con la MS por:
K = 1 .8 ⋅ M + 4
(3)
La misma se consideraba una medición directa del logaritmo de la energía en ergios. El
caso del A10 usado por Riznichenko, en términos de magnitud MS correspondería a A3.3,
mientras que (ΔK=1) ≈ (ΔM=0.5). Para una discusión del uso de K en la antigua Unión
Soviética puede verse el trabajo de Rautian et al. (2007).
Veamos la aplicación de este concepto al modelo poissoniano de tipo "doble exponencial
truncada" en términos de "M". El tratamiento del modelo de doble exponencial truncada
se tomó de Alvarez y Bune (1985) y Alvarez (1985). La relación magnitud-frecuencia para
intervalos de ancho ∆M viene dada por:
N ( M ) = 10 a − b ( M − Mo ) ⋅ (10 bΔM / 2 − 10 − bΔM / 2 ) (b ln 10) = 10 a −b ( M − M 0 ) ⋅ F (b, ΔM )
donde
[
F (b, ΔM ) = 10 b⋅ΔM / 2 − 10 − b⋅ΔM / 2
] (b ⋅ ln 10)
(4)
(5)
El valor de N(M) para M=M0 constituye la llamada actividad sísmica A0
AM 0 = N (M ) M = M = 10 a (10bΔM / 2 − 10 − bΔM / 2 ) (b ln 10) = 10 a ⋅ F (b, ΔM )
0
(6)
AM 0 representa el número de terremotos en el intervalo (M0-ΔM/2, M0+ΔM/2). Nótese que
el valor de la actividad sísmica depende de la magnitud de referencia usada para los
gráficos magnitud-frecuencia.
En el aspecto práctico de calcular la actividad sísmica para un valor dado M0, en el caso
se que se esté cartografiando el parámetro, existe una indeterminación dada por el valor
de M (o K) que se elija para el conteo de terremotos.
AM 0 = N (M i ) ⋅ 10b ( M i − M 0 )
(7)
Así se tendrán en principio, si usamos n valores de M para contar los terremotos, n
valores diferentes de la actividad sísmica AM 0 (M 1 ), AM 0 (M 2 ), ...., AM 0 (M n ) . Este
método de cálculo fue llamado por Riznichenko “de distribución”, y cuando se aplica
obliga a tomar en consideración varios valores de "Mi" y aplicar algún proceso de
promediación. Para soslayar la indeterminación inherente al mismo Riznichenko
desarrolló otro método que llamó “de suma” (Riznichenko, 1964). En el se considera un
gráfico magnitud-frecuencia acumulativo desde K=Ki-0.5 con K max → ∞ . En el caso de M
será desde M=Mi-ΔM/2 con M max → ∞ :
{
}
N S (M i ) = 10a −b( M i − M 0 ) ⋅ 10bΔM / 2 b ln 10
(8)
multiplicando arriba y abajo por (10bΔM / 2 − 10 − bΔM / 2 ) se obtiene:
N S (M i ) = AM 0 ⋅ 10 − b( M i − M 0 ) (1 − 10 − bΔM )
(9)
En el caso del gráfico magnitud-frecuencia acumulativo que corresponde al modelo doble
exponencial truncado, que va desde M=M-ΔM/2 hasta Mmax+∆Mmax, se obtiene
N Σ ( M i ) = 10
a −b( M i − M 0 )
(b ⋅ ln10)
{
− b (M max + ΔM max − M i + ΔM / 2 )
b⋅ ΔM
) ⋅ 10 ⋅ 1 − 10
'
}
(10)
multiplicando arriba y abajo por (10bΔM / 2 − 10 − bΔM / 2 ) se obtiene:
NΣ (M i ) =
(
(1 − 10
AM 0 ⋅ 10− b( M i − M 0 ) ⋅ 1 − 10− b ( M max + ΔM max − M i + ΔM / 2 )
− bΔM
)
)
(11)
De aquí se obtienen las expresiones para la actividad sísmica siguientes:
a) Modelo de gráfico con Mmax→∞, usado por Riznichenko, Cuando en este modelo se
necesitaba considerar para los cálculos de sacudibilidad la existencia de una Mmax finita,
se restaba una corrección a las frecuencias acumulativas.
AM 0 = N S (M i ) ⋅ (1 − 10 − bΔM )⋅ 10b ( M i − M 0 )
(12)
b) Modelo de doble exponencial truncada
AM 0 =
N Σ ( M i ) ⋅ (1 − 10 − bΔM )⋅ 10 b( M i − M 0 )
1 − 10 −b ( M max + ΔM max − M i + ΔM / 2 )
(
)
(13)
II) Cartografiado de la actividad sísmica
El método propuesto por Riznichenko consiste en ambos casos en sumar el número de
eventos comprendidos dentro de círculos de dimensiones determinadas alrededor de
cada punto con la normalización especial correspondiente (S0/S), donde S0 es el área con
respecto a la cual se normaliza el valor de la actividad, y S es el área del circulo.
Como las fórmulas (1-13) se refieren a frecuencia y no a número de terremotos, si se
desea realizar estos cálculos en base a mapas de epicentros o catálogos de terremotos a
este factor de normalización debe añadírsele la normalización temporal. De tal manera se
tendrá un factor de normalización multiplicativo dado por
γ = S0 S ⋅T
donde T es el período de registro en años.
(14)
En sus inicios se comenzó a trabajar con dos métodos diferentes de promediación
(Riznichenko y Gorbunova, 1968):
- método de detallamiento constante: La promediación se efectúa en círculos de radio
constante, determinado en base al error en la determinación de epicentros y la escala del
mapa.
- método de precisión constante: La promediación se efectúa en círculos de radio
variable, bajo la condición de que en cada uno se encuentre un número constante de
eventos.
En la época en que se elaboraron estos conceptos no había un gran desarrollo de la
computación y los mapas se construían a mano a partir de mapas de epicentros. Con el
paso posterior al cálculo usando computadoras se abandonó el método de precisión
constante, mucho mas difícil de programar.
Otro método de promediación, propuesto por Frankel (1995), consiste en aplicar un
modelo gaussiano en función de la distancia:
− Δ2ij / c 2
∑ j nj e
ñi =
− Δ /c
∑je
2
ij
2
(15)
donde c es llamada “distancia de correlación” y Δij es la distancia entre las celdas i y j. A
diferencia del anterior, la promediación se realiza en cuadrados de dimensiones 3cX3c.
En este caso varía la normalización espacial, pues la fórmula (15) lo que da es un valor
suavizado del número de terremotos en la celda, por lo que en la fórmula (14) S será el
área de la celda elemental en que se divide la región de estudio. Se debe señalar que en
los trabajos de Frankel y otros posteriores el método es llamado de “sismicidad
distribuida” sin hacer mención al original de Riznichenko.
En general, el método de trabajo consiste en realizar el conteo de terremotos en celdas
pequeñas y luego aplicar una promediación simple o gaussiana en círculos de
dimensiones definidas.
III) Los datos para el cálculo de la actividad sísmica
La base para construir los mapas de actividad sísmica la constituyen los catálogos de
terremotos. Hay diferentes posibilidades de selección de datos desde el catálogo
a) Catálogo homogéneo. Consiste en considerar todos los terremotos en un espacio
(Mmin→Mmax, tmin→tmax) en el cual todos los intervalos de magnitud están completos. Esto
tiene la gran limitante de que por lo general la condición de completitud para un rango
amplio de magnitud solo se logra para un intervalo temporal pequeño. Para zonas de alta
actividad sísmica con una buena cobertura de estaciones sismológicas es posible usarlo,
pero para zonas de baja o media actividad no da buenos resultados.
b) Catálogo representativo. Es conocida la existencia de diferentes períodos de
completitud para diferentes magnitudes. Por tanto, si se dan como datos los valores del
intervalo de registro completo (o representativo) para cada intervalo de magnitud, se
puede calcular entonces un factor de normalización diferente para cada uno (Alvarez et
al., 1985)
intervalo de magnitud
⎛ R11 o o R1n ⎞
⎜
⎟
⎜ o o o o ⎟
intervalo de tiempo
⎜ o o o o ⎟
⎜
⎟
⎜R
⎟
o
o
R
m
1
mn
⎝
⎠
(16)
lo cual constituye una modificación del método de Riznichenko. En esta matriz Rij toma
los valores:
intervalos no representativos
⎧ 0
⎪
(17)
Rij = ⎨
⎪⎩1 T j
intervalos representativos
donde Tj es el tiempo en que ese intervalo de magnitud es representativo. En la práctica,
la matriz queda en forma de escalera a partir del término Rm1.
Este método permita la inclusión de terremotos fuertes que en el caso anterior son
eliminados. Para zonas de media actividad arroja muy buenos resultados.
c) Catálogo completo. El uso solo de terremotos representativos deja fuera del análisis
gran cantidad de terremotos. En algunos casos el % del total puede ser significativo. Para
incluirlos se hace uso de un concepto desarrollado para el método llamado del “kernel”
(Woo, 1996). Dicho concepto es denominado “tiempo de observación efectiva” y consiste
en estimar un tiempo de observación en que en condiciones de completitud se registraría
el número de terremotos que para un intervalo de magnitud existe en el catálogo
completo. Esto es de gran importancia para zonas de baja actividad, donde la exclusión
de algunos terremotos puede dejar vacías algunas áreas.
La forma de calcular estos tiempos es mediante un análisis del catálogo de terremotos
usando los tiempos de completitud dados por las fórmulas (13-14). Se realiza un conteo
j
de terremotos en el catálogo determinando el número que se encuentran dentro N den
y
j
fuera N fue
del intervalo de representatividad para cada intervalo de magnitud (j). El
j
tiempo de observación efectiva Tefec
se calcula como:
j
Tefec
= Tj +
Tj
j
N den
j
⋅ N fue
(18)
IV) Determinación del λ que se usa en la f.d.p. del modelo doble
exponencial truncado
La formulación del modelo doble exponencial truncado no usa los parámetros “a” y “b” del
gráfico magnitud frecuencia, sino los parámetros “λ” y “β”, donde “β=b٠ln10”, mientras
que “λ=λ(Mmin)” es la frecuencia acumulativa de terremotos a partir de un valor “Mmin”.
Tomando en cuenta esta definición y que las frecuencias acumulativas en la fórmula (10)
se calculan a partir de “Mi-ΔM/2”, podemos calcular “λ” como “NS(Mλ+ΔM/2)” o
“NΣ(Mλ+ΔM/2)” de acuerdo al caso de tratamiento de la actividad sísmica suma que se
esté usando:
λ = λ( M λ ) = N S ( M i ) M =M
i
λ = λ ( M λ ) = NΣ ( M i ) M =M
i
=
λ + ΔM
λ + ΔM
AM 0 ⋅ 10
/2
/2
=
AM 0 ⋅ 10 − b( M λ + ΔM / 2− M 0 )
=
AM 0 ⋅ 10 −b( M λ + ΔM / 2− M 0 ) ⋅ 1 − 10 − b ( M max + ΔM max − M λ )
(1 − 10
)
=
(10
(
−b( M λ − M 0 )
(10
− bΔM
AM 0 ⋅ 10 − b( M λ − M 0 )
(
(1 − 10
⋅ 1 − 10
b⋅ΔM / 2
− bΔM
− b ( M max + ΔM max − M λ )
− 10 −bΔM / 2 )
)
b⋅ΔM / 2
)
− 10 −bΔM / 2 )
(19)
)=
(20)
En los algoritmos de calculo de la PS se acostumbra a "denominar a "Mλ" como "m1" o
"mmin", mientras que "Mmax+ΔMmax" como "m2" o "mmax".
V) Estructura y principio de funcionamiento de la aplicación
En la página web de la aplicación está una planilla "html" donde se suministran todos los
datos necesarios (región, catálogo, opciones, métodos de cálculo y parámetros de los
mismos). Al introducir los datos se pasa el control a la aplicación "actsis.cgi", la cual
gestina controla la realización de los cálculos y su representación gráfica mediante
llamadas a diferentes programas.
El programa fundamental es el "actsiswww.f". Recibe todos los datos de la planilla, realiza
los cálculos de actividad sísmica y prepara los ficheros de resultados para su
representación gráfica. Primeramente se calculan los términos de las fórmulas que no
dependen del número de terremotos y el tiempo de representatividad. Luego en función
del método se ajustan los parámetros que se usarán en la lectura y clasificación de los
datos del catálogo:
- clasificación espacial: ubicación dentro de una celda elemental de latitud-longitudprofundidad dentro de la región o exclusión.
- clasificación energo-temporal: ubicación energo-temporal del evento. De acuerdo al
método se ubica dentro o fuera del espacio E-T a considerar.
Se realiza el conteo del número de terremotos en cada celda espacial para 5 intervalos
de magnitud consecutivos a partir de la magnitud mínima bajo el criterio
N M i = (terremotos en intervalos de magnitud de ancho ΔM ) Ti , y del número total de terremotos
bajo el criterio N T = ∑ (terremotos en intervalos de magnitud de ancho ΔM ) Ti . De esta forma
i
(
)
se crean 6 matrices N M1 , N M 2 , N M 3 , N M 4 , N M 5 , N T del número de eventos por celda
elemental, para calcular 5 mapas diferentes por el método distributivo y uno por el de
suma. No existe diferencia entre NS y NΣ en lo que respecta a la parte experimental
(conteo de terremotos), por eso se le ha llamado NT, la diferencia está en el modelo que
se aplique a la hora de construir el gráfico..
El conteo de terremotos se hace de dos formas (a seleccionar una), la simple, propuesta
por Riznichenko, o la gaussiana, propuesta por Frankel. En cada caso se efectúa en el
área cuadrada determinada por NC celdas a partir de la celda central, con la condición
adicional de que la celda se encuentre dentro de un circulo de radio determinado por el
usuario. Esto introduce un ligero error por no considerar círculos reales; no obstante se
prefirió el método por simplicidad en los cálculos.
Se calculan los valores de los 6 mapas:
AM 0 (M 1 ), AM 0 (M 2 ), AM 0 (M 3 ), AM 0 (M 4 ), AM 0 (M 5 ), AM 0 (T ) , y además la media de los 5 primeros
(de dos formas, promedio simple y promedio logarítmico). Los resultados fundamentales
de este programa son de 2 tipos: ficheros "xyz" con [lat,lon,A(o λ)] (*.dat) y ficheros de
parámetros de control para la representación gráfica (postmapa3.par.*). Se calcula "λ" a
partir de "A" solo en 3 casos: suma, distributivo promedio y distributivo promedio
logarítmico.
Los mapas (*.DT.*) se realizan con el GMT mediante un script en perl (postmapa3.pl).
Este hace llamadas a programas auxiliares (estadigra y cambiaNaN) así como a
programas de UNIX (ps2eps y el convert del imageMagick). Las interpolación se realiza
mediante triangulación de Delaunay. Los campos se representan en escala logarítmica, lo
que tiene la limitante de que cuando el rango de variación es pequeño, no pueden ser
ploteados. Este problema, cuando ocurre, se presenta en los mapas por el método de
distribución para los intervalos mayores donde puede haber muy pocos terremotos. No
obstante, esos valores se usan en la preparación de los estimados promedio. Se
preparan además mapas de los puntos donde existen datos (*.XY.*)
(
)
El script "actsis.cgi" representa los mapas de A y λ en la web de resultados, amén de
escribir información diversa sobre el proceso. En la web de la aplicación hay enlaces para
descargar los resultados básicos y el contenido completo del directorio de trabajo.
Bibliografía
ALVAREZ, L. (1985): Sismicidad de Cuba oriental. Ph.D. Tesis (en ruso). Instituto de
Física de La Tierra, Academia de Ciencias de la URSS, Instituto de Geofísica y
Astronomía, Academia de Ciencias de Cuba, 162 pp.
http://users.ictp.it/~leoalvar/papers/Liblice2.pdf
ALVAREZ, L.; BUNE, V.I. (1985): A computer program for seismic hazard estimation. In:
Proceedings of the 3rd. International Symposium on the Analysis of Seismicity and
on Seismic Risk, Liblice Castle, Czechoslovakia, June 17-22, pp. 432-439.
http://users.ictp.it/~leoalvar/papers/LeonardoAlvarez.pdf
ALVAREZ, L., CHUY, T.; COTILLA, M.; RUBIO, M. (1985): Estudio de la sismicidad de la
región del Caribe y estimación preliminar de la peligrosidad sísmica en Cuba.
Informe Final Tema 31001, Fondos del CENAIS, 600 pp.
FRANKEL, A. (1995): Mapping seismic hazard in the Central and Eastern United States,
Seism. Res. Lett., v. 66, no. 4, pp. 8-21.
RAUTIAN, T.G. (1964): Sobre la determinación de la energía de los terremotos a
distancias de hasta 3 000 Km (en ruso). En: Sísmica Experimental, Moscú, Nauka,
No. 32(199), pp. 88-93.
Rautian, T.G.; Khalturin, V.I.; Fujita, K.; Mackey, K.G.; Kendall, A.D. (2007): Origins and
Methodology of the Russian Energy K-Class System and Its Relationship to
Magnitude Scales. Seism. Res. Lett., v. 78, N. 6, pp. 579-590.
RIZNICHENKO, Yu.V. (1959): On quantitative determination and mapping of seismic
activity. Annali di Geofisica. Vol. XII, X-1862, pp. 227-237.
RIZNICHENKO, Yu.V. (1964): Método de suma de terremotos para el estudio de la
actividad sísmica (en ruso). Izvestiya AN SSSR, Seriya Geofizicheskaya, No. 7. pp.
969-977.
RIZNICHENKO, Yu.V.; GORBUNOVA, I.V. (1968) : Sobre los métodos de preparación de
mapas de actividad sísmica (en ruso). En: Regionalización sísmica de la URSS,
Nauka, Moscú, pp. 71-83.
WOO, G. (1996): Kernel Estimation Methods for Seismic Hazard Area Source Modeling,
Bull. Seism. Soc. Am., v. 86, pp. 353–362.