espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Departamento de Matemática Aplicada II
E.E.I.
ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA
Boletı́n no 2 (2010-2011)
ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
1. En el espacio vectorial ordinario R4 , estudiar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales:
a) A = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 − 2x3 + x4 = 2}
b) B = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 − x3 = x2 }
2. Sea M2×2 (R) el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden dos. Se consideran los siguientes
subconjuntos de M2×2 (R) :
µ
U1 = { A =
a b
c d
¶
∈ M2×2 (R) ; tr(A) = b = 0 }
U2 = { A ∈ M2×2 (R) ; rang(A) = 1 }
Estudiar cuáles de los Ui son subespacios vectoriales de M2×2 (R).
3. Se consideran los siguientes subconjuntos del espacio vectorial real Π2 (R) de los polinomios con
coeficientes reales de grado menor o igual que dos:
a) A = {p(x) / p(x) = p(−x)}
b) B = {p(x) / p(1) = p0 (−1) = 0}
Estudiar cuáles de ellos son subespacios vectoriales de Π2 (R).
4. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos generan R3 ?
a) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2, 3), (0, 0, 1), (2, 2, 2)}.
b) B = {(2, 1, −2), (3, 2, −2), (2, 2, 0)}.
5. ¿Para qué valores de α el vector y=(−4, 3, α) pertenecerá al subespacio de R3 generado por
v1 =(1, −1, −2),v2 =(5, −4, −7),v3 =(−3, 1, 0)?
6. En el espacio vectorial ordinario R4 se consideran los siguientes subespacios vectoriales:
a) G = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 = x4 , x2 = x3 = 0}
b) H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 − 2x3 + x4 = 0}
Determinar un sistema generador de cada uno de ellos.
7. En el espacio vectorial Π3 (R) se consideran los siguientes subespacios vectoriales:
a) W = {a + bx + cx2 + dx3 / a = c}
b) X = {p(x) ∈ Π3 (R) / p(0) = p0 (1) = 0}
Determinar un sistema generador de cada uno de ellos.
1
8. En el espacio vectorial ordinario R4 , estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes
sistemas de vectores:
a) A = {(1, −2, 1, 0), (−1, 1, 0, 1)}
b) B = {(1, 0, −3, 2), (0, 1, 2, −3), (−3, −4, 1, 6)}
c) C = {(7, 4, −9, −5), (4, −7, 2, 5), (1, −5, 3, 4)}
9. En el espacio vectorial R4 , hallar la dimensión, las ecuaciones cartesianas y una base de los siguientes
subespacios vectoriales:
a) U =< {(1, −1, 2, 3), (−2, 2, −4, −6), (2, −1, 6, 8), (1, 0, 4, 5), (0, 0, 0, 1)} >
b) U =< {(1, −2, −3, 1), (0, 1, 2, 0), (3, −2, −1, 3)} >
Completar cada una de estas bases obtenidas a una base de R4 .
10. En el espacio vectorial Π2 (R), hallar la dimensión y una base de los siguientes subespacios vectoriales:
a) U =< {1 − x − 5x2 , 7 + x + 4x2 , 8 − x2 } >
b) U =< {1 + x + x2 , 1, −1 − x2 , x2 } >
11. En el espacio vectorial real de las matrices cuadradas reales de orden dos M2×2 (R) se consideran
los siguientes subespacios:
µ
¶
a b
U1 = { A =
∈ M2×2 (R) / tr(A) = b = 0 }
c d
U2 = { A ∈ M2×2 (R) / A + At = 0 }
a) Encontrar una base de cada uno de ellos. Hallar su dimensión.
b) Completar las bases obtenidas anteriormente a una base de M2×2 (R).
c) Dadas las matrices
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
0 −4
1 3
1 1
0 2
2 0
,
,
,
,
4 0
3 −1
1 −3
0 1
0 −2
estudiar a qué subespacios pertenecen y calcular sus coordenadas respecto de las bases halladas
en el apartado a).
12. Sea el espacio vectorial M3×3 (R).
Se pide
(a) Determinar una base para el subespacio U de M3×3 (R) formado por las matrices antisimétricas.
(b) Determinar una base para el subespacio W de M3×3 (R) formado por las matrices diagonales.
13. Para cada uno de los siguientes casos, demostrar que U es un subespacio vectorial de R4 , encontrar
una base de U y calcular la dimensión de U .
a) U = {X ∈ R4 / XA = 0} donde
µ
A=
0
1 2 −1
1 −1 0
3
2
¶t
.
b) U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 / x1 + 2x3 + 3x4 = 0}.
14. Se consideran los subespacios de M2×2 (R)
½µ
U=
a b
c d
¶
¾
∈ M2×2 (R) \ a + b − c + d = 0 .
©
ª
T = A ∈ M2×2 (R) \ At = A − tr(A).I2 .
(a) Hallar una base y dimensión de U .
(b) Hallar una base y dimensión de T.
15. Sea la matriz real
y los vectores


1
2 −1
0 ,
P =  −3 −5
4
6
1


−2
v1 =  2  ,
3


−8
v2 =  5  ,
2


−7
v3 =  2  ,
6
de R3 .
a) Probar que B = {v1 , v2 , v3 } es una base de R3 .
b) Hallar una base C = {u1 , u2 , u3 } de R3 tal que la matriz P sea la matriz de cambio de la base
C a la base B.
16. En el espacio vectorial R3 se consideran los siguientes sistemas:
B = {(1, 1, 1), (2, 3, 2), (1, 5, 4)}
y
C = {(1, 1, 0), (1, 2, 0), (1, 2, 1)}.
a)
b)
c)
d)
Probar que B y C son bases de R3 .
Hallar la matriz de cambio de la base B a la base C.
Hallar las coordenadas del vector x = (3, 2, −1)B respecto de la base C.
Hallar las coordenadas del vector z = (1, 1, 1) respecto de la base B y respecto de la base C.
17. En el espacio vectorial real Π3 (R) de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual
que tres, se consideran las bases C = {1, x, x2 , x3 } y B = {1 + x3 , 1 + x2 , 1 + x, 1}.
a) Determinar las matrices de cambio de base de B a C y de C a B.
b) Hallar las coordenadas del polinomio p(x) = x + x2 + 4x3 respecto de las bases B y C.
18. En el espacio vectorial real M2×2 (R) se considera la base
½µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶¾
1
0
1 −1
−1 1
0 0
B=
,
,
,
−1 −1
0 −1
1 1
1 1
y el subespacio
½µ
U =<
1
1
1 −1
¶ µ
¶ µ
¶¾
0 2
3 −1
,
,
>.
2 0
−1 −3
3
a) Hallar la dimensión y una base C de U .
¶
µ
−5 6
. Estudiar si M ∈ U . En caso afirmativo, hallar las coordenadas de la
b) Sea M =
6 5
matriz M respecto de las bases B y C.
19. Consideremos el subespacio H ⊂ R5 formado por los vectores (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) que satisfacen:
x1 + x3 + x4
x1 + x2 + x4 + x5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x1 + x3 + x5
=
=
=
=
0
0
0
0
(a) Hallar una base del subespacio H.
(b) Calcular si es posible, las coordenadas de los vectores v1 = (0, −1, 0, 1, 1), v2 = (7, 7, 0, −7, −7)
en dicha base.
20. Se considera la matriz real


1 2 1 β
A= 2 α 1 8 
α δ 3 γ
cuya forma escalonada reducida de filas es


1 2 0 3
R =  0 0 1 2 .
0 0 0 0
(a) Calcular, si es posible, los valores de α, β, γ y δ.
(b) Sea U el subespacio de R4 engendrado por los vectores fila de la matriz A.
i. Hallar la dimensión y una base C de U .
ii. Estudiar si el vector w = (1, 2, −2, −1) ∈ U . En caso afirmativo, calcular las coordenadas
del vector w respecto de la base C de U .
21. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales sobre R2 .
a) f (x, y) = (x, 1 + y)
b) f (x, y) = (x − y, −2x + y)
22. Hallar la matriz asociada a cada una de las siguientes aplicaciones lineales de R3 en R2
a) f (x, y, z) = (z, x).
b) f (x, y, z) = (2y, −x).
respecto de las bases canónicas de R3 y R2 respectivamente. Asimismo, calcular una base del núcleo
de cada una de ellas.
23. Sea f : R5 → R4 la aplicación lineal definida por f (x) = Ax siendo


1 −1
0
1
1
 0
1
2 −1
0 
.
A=
 −2
5
6 −5 −2 
0
1 −1
1
0
4
a) Hallar el rango de f . ¿Es f inyectiva?
b) Calcular una base de la imagen de f .
24. Sea f : R4 −→ R3 la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas de R4 y
R3 es


1 0 −1 2
M (f ) =  2 1 0 −1  .
3 1 −1 1
(a) Hallar una base de la Im(f ) y su dimensión.
(b) Siendo X = (x, y, z, t)t , ¿tiene solución f (X) = (2, 2, 4)? Razónese la respuesta.
5